Átomo de hidrógeno - UPRH · 2014. 4. 1. · 1 Átomo de hidrógeno Ileana Nieves Martínez QUIM...

1

Átomo de hidrógeno

Ileana Nieves Martínez

QUIM 4042 e-

mm22

p+

mm11

r

2

20; 0r

V

2

20; 0r

V

1

mm11

Dos partículas interaccionan por atracciónde carga eléctrica y culómbica.

Ley de Coulomb 2' ' l b

Descripción del sistema del Átomo de Hidrógeno

Cgs

Internacional ε = permitividad al vacío

312 2

2' '1 2

2 2

1

statcoulombQQ g cmF

r r s

g cmstatcoulomb

s

' '1 2

2

1

4

QQF

2

ε0 = permitividad al vacío = 8.85 x 10-12 C2 N-1 cm-1

1 C = 2.9979 x 109 esu o statcoulomb r = metros F = Newtons

204 r

4/1/2014

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 20TE V

m x y z m x y z

Ecuación de Schrödinger: Coordenadas cartesianas

1 1 1 1 2 2 2 2

2

2 2 2

2 1 2 1 2 1

m x y z m x y z

ZeV

x x y y z z

2 21 1 Coordenadas polares

3

22

2 2

0

1 1sin sin , , ,

2 sin sin

4

r U r r E rr r r

Ze ZeU r V SI V

r r

Función de onda con Hamiltoneano , ,r R r

n (Principal) l (orbital) ml (magnético)

Números Cuánticos

2 2

22

1 1sin sin , , ,

2 sin sinr U r r E r

r r r

4

2 2

04

Ze ZeU r V SI V

r r

4/1/2014

3

, ,r R r

Ecuación de Schrödinger en tres variables

, ,r R r P F

2

2 2 22 2

1 2 1 1sin 0

sin sin

d dR d dP d Fr Er ke r

R dr dr P d d F d

5

Solución existesolo si

Funciones por separado


:masa reducida

m m

6


e P

e p

m m

m m

4/1/2014

4

Ecuación azimutal2 2 2

22 2 2 2

1 1 2

2 sin l

d d IEE m

I d d

2

22

12l

d FC m F F n

F d

7

, 1,...liml

z l

F Ae m l l l

L m


Funciones por separado


:masa reducida

m m

8


e P

e p

m m

m m

4/1/2014

5

Solución y polinomios asociados de Legendre

2

2

2

s ins in s in

1m

r

mlm

d d PC C

P d d

d P xP x x

12

,

,

1

2 1 !

2 !

c o s

l m

l m

mlm l m l

P x xd x

l l mN

l m

N P

9

0 1

2 32 3

4 2 5 34 5

1

1 13 1 5 3

2 21 1

3 5 3 0 3 6 3 7 0 1 58 8

P x P x x

P x x P x x x

P x x x P x x x x

Polinomios de Legendre

E ió d L d

221m

mlm

l m

d P xP x x

dx

Ecuación de Legendre

Forma general de los Polinomios de Legendre

2

22

1 2 1 0d y dy

x x n n ydx dx

10

2

0

12 2

2 21

2 ! ! 2 !

ó se escoge el que sea entero

mMl m

l lm

ll

lP x x

m l m l m

M

4/1/2014

6

Funciones asociadas de Legendre normalizadas

31,0 3,0

1 3 56 cos 14 cos cos

2 4 3

21,1 3,1

2 22,0 3,2

3

1 13 sin 42 sin 5cos 1

2 81 1

10 3cos 1 105 sin cos4 41 1

15 sin cos 70 sin

11

2,1 3,3

22,2

15 sin cos 70 sin2 81

15 sin4

Solución radial

2

2 2 22 2

1 2 1 1sin 0

sin sin

d dR d dP d Fr Er ke r

R dr dr P d d F d

2 2 21 21

d dRr Er ke r l l

21r Er ke r l l

R dr dr

,k

n l kL a r

0

2 2

, , 0 2 20.529

rnal

n l n le

R r L e donde a nme m e

12

1

donde el contador se asocia a por: 1k

k l n l k

4/1/2014

7

Resultado de energía

Condición de frontera solución satisfactoria:

2 2

20

4

donde Z=carga efectiva y 1,2...2n

Z eE n

n a

13

4

2 2 20

1 13.61,2,3,...

8n

me eVE n

h n n

+

Energía de electrones y núcleos separados

R

continuo

Energías clásicamenteener

gía

+2

2 2 2 2

1 1

n

f i i f

RE

n

R RE h R

n n n n

14

e g as c ás ca e teperimitidas

-

©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición

4/1/2014

8

Espectroscopía atómica

15

“Physical Chemistry” © 2006 P.W. Atkins & J. de Paula W.H. Freeman & Company; 8va. edición

Determinación de constante de Rydberg

16 ©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición

4/1/2014

9

Estados energéticos de degeneración nn22 = 4

nn ll mm n, l, mn, l, m2

20

2

2n

eE

a n

1 0 0 1 0 0

2 0 0 2 0 0

2 1 0 2 1 0

2

0

2

0

2

0

2

1

4 2

1

4 2

n

n

n

eE

a

eE

a

eE

a

17

2 1 +1 2 1 +1

2 1 -1 2 1 -1

2

0

2

0

1

4 2

1

4 2

n

n

eE

a

eE

a

Número cuántico orbital

2

2 2

1

1 1

r lC l l C m

l l L l l

NotaciónNotación espectroscópicaespectroscópican=1 n=2 n=3 n=4

“sharp” s l = 0 1s 2s 3s 4s“principal” p l = 1 2p 3p 4p“difuso” d l = 2 3d 4d

donde 0,1,2,3,... 1l n

18

difuso d l 2 3d 4d“fundamental” f l = 3 4f

g l= 4h l= 5

Por ejemplo, si n = 2, l = 1 el estado se designa 2p

Después de este punto la notaciónsigue el alfabeto.

4/1/2014

10

Números cuánticos del átomo de hidrógeno

,

,

1, 2, 3, 4....

0,1, 2, ... 1

, 1, ...0... 1,

n l

l m

m l

R r n

l n

m l l l l

Tres coordenadas esféricasQue se asocian a tresnúmeros cuánticos espaciales

, , , ,n l m n l l m mR r

o 2 1 valoresl

19

,

,

distancia del núcleo al electrón

geometría orbital

n l

l m m

R r

Normalización para funciones de hidrógeno

2

*

0

1m m d

*

0

sin 1m m d

20

* 2

0

* 2, , , ,

1

sin 1

m m

n l m n l m

R r R r r dr

r d d dr

4/1/2014

11

Funciones radiales

21 ©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición

Funciones hidrógeno - separadasn l ml F() P() R(r)

1 0 0 1

20

32

2 rae

1

2

2 0 0

2 1 0

2 20a2

2 03

200

12

2 2

rar

eaa

2 03

200

1

2 6

rar

eaa

1

2

1

21

26

cos2

22

2 1 ±1 2 03

200

1

2 6

rar

eaa

3sin

2

1

2ie

2

0 20.529 primer radio de Bohra nm

me

4/1/2014

12

Otras propiedades de l

2 2

( ) :

1. : 1

Número cuántico momentum angular orbital l

valores permitidos L l l

4.

ˆ

orientación con respecto al eje de z

Lm

2. : 1 0,1, 2,3... 1magnitud L l l donde l n

3. se asocia a geometría del orbital

23

cos

1zLm

Ll l

Geometría y orientación (propiedades de l)

ˆ

cos1

zLm

Ll l


4/1/2014

13

Características de números cuánticos

nn Número cuántico principal Tamaño del orbital Energía cinética del electrón Grado de degeneración nn22

ll Orientaciones del momentum angular (22ll+1+1)

25

g ( ) Número de nodos radiales (nn − − ll −1−1) Número de máximos (nn –– ll)

Geometría del orbital 1s de hidrógeno


4/1/2014

14

Probabilidad radial de hidrógeno para 11ss

1

0

Número

cuántico

n

l

12

0

0

2

l

s

l

m

m

Máximo

electrones

dad

rad

ial

27

Probab

ilid

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1

Función de distribucióndistribución radial radial tipo ss

Válido solo para orbital tipo ss cascarónProbabilidad x VolumenVolumen

3 3 24 4~ 4r dr r r dr

r

~ 43 3

r dr r r dr

0

222 *

1 1 30

:

44

r

as s

Densidad de probabilidad

rD r r e

a

28

r+dr

0 0

2 22

3 30 0 0

:

8 4 20

r r

a a

Radio mas probable

dD r r re e

dr a a a

4/1/2014

15

Determinación del radio radio masmas probable probable tipo ss

1sProbabilidadRadial 2

0 03

2

2

23

1 44

r ra adP e dr r e dr

2

2 20 0

20

300

2

0

20 2

2 1 0

r ra a

ra

aa

dPre r e

dr a

rre

a

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydr.html#c1

29

0

2 2

0 2 20.509

a

cr a nm

mke mc

Determinación del radio radio promediopromedio tipo ss

0* 21 1 3

0

1ˆ sin

r

as sr r d re r d dr

a

234 rdP

2

03300 0

4 radP

r r dr r e drdr a

1sProbabilidadRadial

30

20 0 00

2 2 3 430 0

30

0

3 3 34 3

2 4 4 8 2

ra

r

r

a r a r aa r ar e

a


4/1/2014

16

Determinación de la probabilidadprobabilidad radialradial

202 2

30

4*

ra

c c

b b

P R r R r r dr r e dra

2 324

r c

a r aa r

En el intervalo:b =0.5 a0 a c= 2.0a0

la probabilidad es 0.681

1sProbabilidadRadial

20 00 0

30

4

2 2 4

ra

r b

a r aa rP e

a

31


Dependencia angular de los orbitales hidrogénicos

Tipo ss:

No dependen de ni

Su variación angular o geométrica se representa:

Coordenadas planares

32

(r): ()00 =1/(2)1/2

Coordenadas polares |()()|= 1/(4)1/2(valor absoluto)

4/1/2014

17

Dependencia angular de los orbitales hidrogénicos

Tipo ss: Densidad de puntos ofreceDensidad de puntos ofrece un índice de la

densidad de probabilidaddensidad de probabilidad relativapp

NoNo eses una nube difusanube difusa de carga con esa geometría.

La probabilidadprobabilidad de encontrar el electrón en esta superficie no es uniformeno es uniforme ya que depende depende de la distancia radialde la distancia radial

33

de la distancia radialde la distancia radial.

Superficie o curvas de probabilidad se hace con mapa de contorno mapa de contorno (posición en el 90%90%dentro de la superficie para determinar el tamaño del orbital.

Radio 0.900.90 – superficie de contornoz

x x

z

1 1 2

2 2* * 21 1 1 1

0 0 0 0

0.90 sins sr r

s s s sd R R r dr d d

Coordenadas planares Coordenadas polares

Å

34

1 1.41Åsr

4/1/2014

18

Densidad de probabilidad del orbital 1s1s


Probabilidad radial de hidrógeno para 2s2s

2

0

Número

cuántico

n

l

12

0

2

l

s

m

m

Máximo

electrones

dad

rad

ial

36

Probab

ilid


4/1/2014

19



Función de distribución radial para pp y dd

Volumen diferencial de coordenadas polaresentre: r y r + dr y + d y + dy y y

Fución de distribución radial

0

22 2* 2

, , , , 300 0

4sin

r

an l m n l m

rP r r dr r d d dr e

a

11

38

2

* 2 * *. . , ,

0 0

sinn l n l l m l m m mP R r R r r dr d d

11

4/1/2014

20

Probabilidad radial de hidrógeno para 2p2p

2

Número

cuántico

n

12

1

1, 0,1

6

l

s

l

m

m

Máximo

electrones

dad

rad

ial

39

Probab

ilid


Funciones de onda de orbitales 1s, 2s, y 2p1s, 2s, y 2p

n l ml

1 0 0 1s0

32

1 rae

, , , ,ln l m r

2 0 0

2 1 0

20a

2 03

200

12

4 2

rar

eaa

2 03

200

1cos

4 2

rar

eaa

2s

2 p

40

2 1 ±1 2 03

200

1sin

8

ra ir

e eaa

2 p

2


me

4/1/2014

21

m = ± 1

Orbitales tipo pp (l = 1): Geometría y orientación de los orbitales 2p0 (mm = 0)

, , , , 2,1 1,0 0

, , 2,1

3cos

4

n l m n l l m m

n l m

R r R r

R r

mm = 0 Signo de la función cambia con los

ángulos en .

n = 2n = 2 ll = 1= 1 m = 0m = 02p2p00 = 2p= 2pzz

NoNo depende del ángulo . El (coscos es un máximomáximo cuando:

4

41

“Physical Chemistry” © 2006 P.W. Atkins & J. de Paula W.H. Freeman & Company; 8va. edición

El (coscos es un máximomáximo cuando: = 0 y =

Es un mínimomínimo cuando: = /2 (nodo)

Funciones 22pp±±11

En este caso a pesar de que el signo de la funcióncambia con los ángulos en hay cierta dependenciadel ángulo . n = n = 22 l = l = 11 m = m = ±±11 2p2p±±11

1, 1 1 1

2 2 21, 1 1

3sin 2

83

: sin8

ie P

Forma real

42

1 12 2La función P y P tiene lamisma forma o distribución espacial.

Ambas son independientes de . La densidad de probabilidad es simétrica

con respecto al eje de z y el mínimo es en =0 y el máximo es en =

.2

4/1/2014

22

Geometría y orientación de los orbitales 22pp±±11 Signo de la función cambia con los ángulos en .

n = 2n = 2 ll = 1 = 1 m = m = ±±11 2p2p±±11 independiente del ángulo .

El (sin sin es un máximomáximo cuando: El (sin sin es un máximomáximo cuando: =

Es un mínimomínimo cuando: = 0 y = (nodo)

m = ± 1

43“Physical Chemistry” © 2006 P.W. Atkins & J. de Paula W.H. Freeman & Company; 8va. edición

Orbitales 2ppxx y 2ppyyPor geometría se construye una combinación lineal usando las dos funciones.

1

32 sin

8iP = e

1

3 32 sin sin cos sin

8 8iP e i

1 8

44

1


8 8iP e i

4/1/2014

23

1


8 8


i

i

P e i

P e i

Orbitales 2px y 2py

12 sin sin cos sin8 8

P e i

1, 1 1 1, 1 1 1 1

12 2

21

x

Combinación lineal:

2P P P

45

1, 1 1 1, 1 1 1 1

12 2

2y2P P P

1 1

1 1 32 2 sin cos sin cos sin

82 2x2P P P i i

Orbitales 2px y 2py (continuación)combinacióncombinación lineal lineal

2 3

1 1

1 32 2 sin cos sin cos sin

82y2P P P i i

2 3sin cos sin cos

82x2P A

46

2 3sin sin 'sin sin

82y

i2P A

4/1/2014

24

n l ml F() P() R(r)

Funciones de onda de orbitales 3s3s y 3p3p

1 1 3 0 0

3 1 0

3 1 ±1

1

21

2

3 03

46

rar r

e

3 03

2

0

2

200

227 18 2

81 3

rar r

ea aa

1

26

cos2

3sin

1 ie

3 03

20 00

46

81 6

rar r

ea aa

3 1 1

47

32

0 0081 6 a aa

sin2

2

e

2


me

Funciones de onda de orbitales 3d3d

n l ml F() P() R(r)

3 2 0

3 2 ±1

1

23 0

32

0

2

20

4

81 30

rar

eaa

2103cos 1

4

15sin cos

2

1

2ie

3 03

2

0

2

20

4

81 30

rar

eaa

3 0

24 rar

e

215i

21 ie

48

3 2 ±2

2


me

32

0

2081 30

eaa

2sin2

2e

4/1/2014

25

Funciones de onda del nivel 33

n l ml

3

, , , ,ln l m r

21 rr r 3 0 0

3 1 0

3 1 ±1

3s

3p

3p

3 03

2

0

200

127 18 2

81 3

rar r

ea aa

3 03

20 00

26 cos

81

rar r

ea aa

3 03

20 0

26 sin

81

ra ir r

e ea aa

49

3 2 0 3 03

2

0

22

20

13cos 1

81 6

rar

eaa

3d

2


me

0 0081 a aa


3

Número

cuántico

n

12

0

0

2

l

s

l

m

m

Máximo

electrones

ad r

adia

l

50

Probab

ilida


4/1/2014

26

Densidad de probabilidad del orbital 3p3p

3

Núm ero

cuántico

n

12

3

1

1, 0,1

6

l

s

n

l

m

m

M áxim o

electrones

ad r

adia

l

51

electrones

Probab

ilida


Funciones de onda orbitales 3d3d

n l ml

3

, , , ,ln l m r

3

221

3 1rr

3 2 0

3 2 ±1

3 2 ±2

3s

3p

3d3 0

32

22 2

20

1sin

162

ra ir

e eaa

3 03

2

0

2

20

1sin cos

81

rar

e e iaa

3 03

2

0

22

0

3cos 181 6

aeaa

52

00

4/1/2014

27

Densidad de probabilidad del orbital 3d3d

3

2

Número

cuántico

n

l

12

2

2, 1, 0

10

l

s

l

m

m

Máximo

electrones

dad

rad

ial

53

Probab

ilid


Geometría de orbitales 3d3d

54“Physical Chemistry” © 2006 P.W. Atkins & J. de Paula

W.H. Freeman & Company; 8va. edición

4/1/2014

Átomo de hidrógeno - UPRH · 2014. 4. 1. · 1 Átomo de hidrógeno Ileana Nieves Martínez QUIM...

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