Regime senoidal

Na figura ao lado, vemos a simbologia adotada para fontes senoidais.

Fontes senoidais

Aula 01 1

Fasores

Seja f uma função real senoidal,

Função excitação complexa

)cos()( θω += tAtfdefinimos a função excitação complexa associada a f por

)( θω += tjAe

Aula 01 2

)( θω += tjAeF(t)

Fasores

O fasor associado a uma função senoidal )cos()( θω += tAtf

É definido por F θθ ∠== AAe j

Aula 01 3

Exemplo. Determine o fasor associado a cada senoide abaixo.

))(º702cos(10)º1202cos(12)()

))(º2020(10)()

))(º303cos(7)()

))(º205cos(5)()

Atttid

vtsentvc

Attib

vttva

+++=−=

+=−=

Aula 01 4

Relação entre fasores

Vamos determinar a relação entre os fasores de tensão e de corrente num indutor, num capacitor e num resistor.

Indutor

Aula 01 5

IV Ljω=

Capacitor

Aula 01 6

IVC

j

ω−=

Exemplo. Determine as grandezas indicadas em regime permanente.

Aula 01 7

Aula 01 8

Aula 01 9

Impedância e Admitância

Num circuito em regime senoidal, a razão entre os fasores

é um número complexo denominado impedância.IV

V

Aula 01 10

)( bjaIV

Z Ω+==

O número complexo dado pela razão é denominado admitância. V

I

MjGZ

1

V

IY +=== (Ƒ)

Aula 01 11

Exemplo. Considere o circuito em regime permanente e determine i(12s) e v(14s).

Faça o diagrama dos fasores associados a v, i e à tensão da fonte.

Aula 01 12

Exemplo. Determine i usando o teorema de Thevenin.

Aula 01 13

Exemplo. Determine i(15s).

Aula 01 14

Exemplo. Determine vR, vL e vC. Construa os gráficos de i, vR, vL e vC em sincronismo.

Aula 01 15

Potência

A potência elétrica instantânea absorvida por um dispositivo qualquer em função do tempo, é dada pelo produto da tensão (v(t)) pela corrente (i(t)).

Potência instantânea

Aula 01 16

)().()( titvtp =

Potência Média

Seja p(t) uma função periódica de período T. O valor médio de p(t) é definido por:

∫+

=Ta

dttpT

P )(1

Aula 01 17

∫a

T

Potência Média em Regime senoidal

Dado um circuito em regime senoidal, a potência média absorvida por um dispositivo é dado por:

)cos(2

φθ −= VIP

Aula 01 18

2

Exemplo. Determine a potência absorvida por ZL no circuito abaixo.

Aula 01 19

Exemplo. Determine, nos circuitos a seguir, as potências absorvidas por cada elemento de circuito.

Aula 01 20

Máxima transferência de energia

Considerando uma fonte prática de tensão senoidal, qual deve ser o valor de ZL que absorve a máxima potência da fonte?

Aula 01 21

Exemplo. Determine a potência absorvida por ZL considerando que a mesma absorve a máxima potência do circuito.

Aula 01 22

Aula 01 23

Superposição e Potência

Considere um resistor submetido a uma corrente dada pela soma de duas senoides em frequências diferentes.

A potência média absorvida por R é

Aula 02 24

dada por:

Exemplo. Determine a potência média absorvida pelo resistor e por cada fonte.

Aula 02 25

Exemplo. Determine a potência média absorvida pelo resistor.

Aula 02 26

Potência Complexa

Seja ZL uma impedância submetida a uma tensão senoidal conforme a figura abaixo.

jQPS +=

Aula 02 27

potência) de(Fator S

Pfp =

Exemplo. Considerando o circuito abaixo, determine a potência complexa, a potência aparente, a potência real e a potência reativa absorvida pela carga. Construa o triângulo de potência da carga.

Aula 02 28

Exemplo. Calcule a potência complexa entregue a uma carga que tem fator de potência de 0,85 (adiantado) e absorve:

a)P = 10kW

b)|Q| =10 kvar

c)|S| = 1kVA

Aula 02 29

c)|S| = 1kVA

Exemplo. Calcule o fator de potência da carga equivalente quando temos duas cargas conectadas em paralelo. Z1 representa uma carga de 10kW com fator de potência fp1= 0,9 (atrasado) e Z2 uma carga de 5kW com fator de potência fp2= 0,95 (adiantado) .

Aula 02 30

Medição de potência

O instrumento utilizado para medir a potência real absorvida ou fornecida por um dispositivo denomina-se Wattímetro. Abaixo vemos a simbologia adotada para um wattímetro:

B1 é uma bobina de tensão.

Aula 03 31

B1 é uma bobina de tensão. Bobina de alta resistência.

B2 é uma bobina de corrente. Baixa resistência.

Wattímetro

O wattímetro está calibrado para indicar o valor da potência real considerando a tensão senoidal em B1 e a corrente senoidal em B2.

( )φθ −= cos2

IVP

Aula 03 32

2

Exemplo. Determine o valor da potência indicada pelos wattímetros a seguir:

Aula 03 33

Aula 03 34

Fonte monofásica a três fios

Duas fontes senoidais conectadas conforme diagrama onde as fontes tem mesma amplitude e mesmo ângulo de fase é denominado

Aula 03 35

ângulo de fase é denominado uma fonte monofásica a três fios balanceada.

Considerando o circuito abaixo

Aula 03 36

Exemplo. No circuito abaixo, determine as potências absorvidas pelas cargas e a potência fornecida pela fonte monofásica a três fios.

Aula 03 37

Fonte trifásica

Uma fonte trifásica é composta de quatro terminais e três fontes senoidais conforme a figura ao lado. A conexão é denominada conexão Y ou estrela.

Aula 03 38

conexão Y ou estrela.

As fontes são senoidais e operam numa mesma frequência. Numa fonte trifásica balanceada os fasores associados a cada uma delas são :

120ºVV ,120ºVV ,0ºVV pcnpbnpan ∠=−∠=∠=Sequência positiva

Van, Vbn e Vcn são chamadas de tensões de fase.

Aula 03 39

Diagrama fasorial

Exemplo. Mostre que num sistema trifásico balanceado, a soma das tensões de fase é zero.

Exemplo. Determine Vab, Vbc e Vca sendo Vp = 120 v (eficaz)

Aula 03 40

Sistemas trifásicos Y-Y

Analisemos o circuito trifásico abaixo, sistema Y-Y.

Aula 04 41

Exemplo. Determine as correntes de linha e a potência média fornecida à carga trifásica. Represente num mesmo diagrama de fasores as tensões de linha e as correntes de linha

Aula 04 42

Exemplo. Determine as correntes de linha.

Aula 04 43

Exemplo. Determine as correntes de linha do circuito anterior retirando a ligação do neutro.

Aula 04 44

Exemplo. Determine as correntes de linha.

Aula 04 45

Sistema trifásico Y-∆

Analisemos o circuito trifásico abaixo.

Aula 04 46

Exemplo. Uma carga equilibrada conectada em ∆ temimpedância Zp=4 + j3 Ω alimentada por uma fonte trifásicaequilibrada com Van=200∠0º v (eficaz). Calcule a energiaconsumida pela carga em 8 horas de atividade.

Exemplo. Uma carga equilibrada conectada em ∆ alimentada por uma fonte trifásica equilibrada com |Vab |=100 v (eficaz)

Aula 04 47

por uma fonte trifásica equilibrada com |Vab |=100 v (eficaz) absorve uma potência total de 4,8kW. Se o fator de potência da carga é 0,8 adiantado encontre a impedância por fase.

Transformações Y-∆

Vamos determinar asrelações que existem entre as admitâncias dos doiscircuitos para que umacarga trifásica conectada

Aula 04 48

carga trifásica conectadaem Y seja equivalente auma carga conectada em ∆.

cba

cby

cba

bax

YYY

YYY

YYY

YYY

++=

++=

Aula 04 49

cba

caz YYY

YYY

++=

zyx

yxb

zyx

zxa

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

++=

++=

Aula 04 50

zyx

zyc ZZZ

ZZZ

++=

Exemplo. Determine i no circuito abaixo.

Aula 04 51

Medindo potência emcarga trifásica

Considerando uma carga trifásica conectada em Y. A potência ativa total é a soma das potências ativas absorvidas por cada fase da carga trifásica.

Aula 04 52

É possível mostrar que a potência total pode ser obtida medindo-se as tensões em relação a qualquer ponto X.

Aula 04 53

A potência pode ser medida utilizando somente dois medidores.

Aula 04 54

Exemplo. O circuito abaixo é equilibrado com sequência positiva e Vab=300∠0º v (eficaz). Calcule as leituras dos medidores 1 e 2 e a potência ativa entregue à carga, se Zp= 10 ∠30º Ω.

Aula 04 55

Transformadores

Considerando duas bobinas acopladas magneticamente, isto é, o campo magnético gerado por uma das bobinas interfere no comportamento da outra bobina e vice-versa.

+= diS

diLv 21

Aula 05 56

+=

+=

dt

diL

dt

diRv

dt

diS

dt

diLv

22

12

2111

Simbologia

+=

+=

dt

diL

dt

diMv

dt

diM

dt

diLv

22

12

2111

Aula 05 57

Exemplo. Dado o transformador linear abaixo, estabeleça o sistema de equações envolvendo v1, v2, i1

e i2.

Aula 05 58

Exemplo. No circuito abaixo, determine v1 e v2 . Sabe-se que :

sAdt

di

sAdt

di

/1

/2

2

1

=

−=

Aula 05 59

dt

Exemplo. No circuito abaixo, determine as potências fornecidas pelas fontes.

Aula 05 60

Exemplo. Determine a potência fornecida pela fonte.

Aula 05 61

Armazenamento de energia

Considerando duas bobinas acopladas magneticamente (transformador linear), vamos determinar a energia armazenada por este elemento em função de seus parâmetros. Ao final, vamos mostrar que S=R.

+= didi 21

Aula 05 62

+=

+=

dt

diL

dt

diRv

dt

diS

dt

diLv

22

12

2111

Fazendo as correntes no primário e no secundário do transformador variarem conforme o gráfico abaixo, temos:

Aula 05 63

Impondo as correntes conforme o gráfico abaixo, temos:

Aula 05 64

Impedância refletida

Vamos determinar no circuito ao lado, a impedância vista pela fonte senoidal.

Aula 06 65

( )2

2

11 LjZ

MLjZ

ωωω+

+= ( )2

2

LjZ

MZr ω

ω+

=

Exemplo. No circuito da figura abaixo, determine:

a) Zr b)Zin c)i1 d)k (coeficiente de acoplamento)

Aula 06 66

Transformador Ideal

Um transformador ideal é um transformador sem perdas, com acoplamento unitário (k = 1) e indutâncias próprias do

primário e do secundário tendendo a infinito.

Aula 06 67

primário e do secundário tendendo a infinito.

Simbologia

Onde é a razão entre o

número de espiras do secundário e o número de espiras do primário.

1

2

N

Nn =

Relações entre tensões e correntes

Tendo as tensões e correntes adotadas conforme a figura ao lado, é possível mostrar que as relações entre tensões e correntes do primário e do secundário são:

Aula 06 68

nV

V =1

2

são:

nI

I =2

1

Exemplo. Determine a potência fornecida pela fonte de tensão e a potência absorvida pelo resistor.

Aula 06 69

Exemplo. Determine i1, i2 e v2.

Aula 06 70

Impedância refletida

A impedância vista pela fonte é dada por:

Aula 06 71

Série Trigonométrica de Fourier

Seja f uma função periódica tal que f(t)=f(t+T), podemos escrever f como uma soma infinita de senos e cossenos conforme a expressão abaixo:

[ ]∑+∞

++= 000 )()cos(2

)( nn tnsenbtnaa

tf ωω

Aula 07 72

[ ]∑=

++=1

00 )()cos(2

)(n

nn tnsenbtnatf ωω

T

πω 20 =

∫

∫

+

+

=

=

Tt

n

Tt

t

dttntfT

a

dttfT

a

0

0

0

)cos()(2

)(2

0

0

ω

Onde:

Aula 07 73

∫

∫

+=

=

Tt

tn

tn

dttnsentfT

b

dttntfT

a

0

0

0

)()(2

)cos()(

0

0

ω

ω

Exemplo. Determine a série de Fourier da tensão periódica definida por:

)2()( e

t- para )(

πππ

+=<<=

tvtv

ttv

Aula 07 74

)5(5

2)4(

2

1

)3(3

2)2(1)(2)(

temos5n para

tsentsen

tsentsentsentv

+−

+−=

≤

Traçando o gráfico das senóides separadamente:

Aula 07 75

Vemos abaixo o gráfico da soma das senoides e sua aproximação à função original:

Aula 07 76

Gráfico com 200 termos da série:

Aula 07 77

Exemplo. Determine a série de Fourier da tensão periódica definida por:

)2()(

2t para 0

t0 para 10)(

πππ

π

+=

≤<≤<

=

tvtv

tv

Aula 07 78

Resposta a funções periódicas

Usando o teorema da superposição, vamos determinar a tensão no capacitor no circuito a seguir onde:

2t para 0

t0 para 10)(

πππ

≤<≤<

=tv

Aula 07 79

)2()(

2t para 0

πππ

+= ≤<

tvtv