S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 67

Primjer 4.12. Zadana je ravnina i tocka te ravnine jednom svojom projekcijom.Odredimo pomocu sutraznice drugu projekciju te tocke, ako je:

a) α(−2, 2, 1), K(2, 1,− );

b) β(−3,∞, 2), L(2, 3,− );

c) γ(2, 2,∞), M(−, 3, 2);

d) δ(−2,−3,−4), N(2,− , 3).

Primjer 4.13. Zadanim pravcem p = AB, [A(−0.5, 0.5, 2.5), B(1.5, 1.5, 1)] polozimoprvoprojicirajucu ravninu.

Rjesenje. Prvi trag prvoprojicirajuce ravnine sadrzi tlocrte svih tocaka teravnine, pa i tocke A′ i B′. Dakle, prvi je trag odreden tockama A′ i B′. Cvor je

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 68

tocka u kojoj pravaca A′B′ sijece os 1x2, a okomica u na tu os u cvoru je drugi tragprvoprojicirajuce ravnine.

Primjer 4.14. Nacrtajmo tlocrt i nacrt trokuta ABC koji lezi u ravnini ρ(3, 2,∞)ako je zadano A(−2,− , 1), B(1,− , 3), C(−1,− , 4).

Rjesenje. Tlocrti svih tocaka ravnine ρ nalaze se na prvom tragu r1. Dakle,samo iz nacrta A′′, B′′, C ′′ spustimo ordinale do traga r1 i dobivene presjecne tockesu tlocrti A′, B′, C ′.

Primjer 4.15. Nacrtajmo tlocrt i nacrt trokuta ABC koji lezi u ravnini ρ(−1,−2, 1)ako je zadano A(−1, 3,− ), B(3, 2,− ), C(2,−1,− ).

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 69

Rjesenje. Pomocu sutraznica dovrsimo nacrte tocaka A, B i C. Spojimo litocke A′, B” i C ′ dobivamo tlocrt trokuta ABC, a spojimo li nacrte tih tocakadobivamo nacrt trokuta ABC.

Primjer 4.16. Nacrtajmo tlocrt, nacrt i bokocrt kvadrata ABCD koji je paralelans ravninom π3 ako je zadano A(1, 3, 4), C(1, 2, 1).

Rjesenje. Nacrtamo bokocrt tocaka A i C. U bokocrtu je projekcija kvadratabas sukladna kvadratu ABCD, pa uz dane tocke A′′′ i C ′′′ koje su nasuprotni vrhovikvadrata konstruiramo i druga dva vrha B′′′ i D′′′. potom te tocke vratimo u nacrtpri cemu koristimo cinjenicu da je nacrt kvadrata duzina paralelna sa z osi. Zatimnacrtamo i tlocrt tocaka B i D.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 70

.

Primjer 4.17. Konstruirajmo tragove ravnine σ(2, 2,− ) koja prolazi tockom T (1, 3, 1).

Rjesenje. Imamo prvi trag, pa paralelno njime povucimo tlocrt sutraznice s′

kroz tocku T ′. Istovremeno, tockom T ′′ povucemo paralelu s oso 1x2, to je nacrtsutraznice s′′. U tocki gdje tlocrt sutraznice sijece os 1x2 podignemo ordinalu donacrta s′′. Spojnica tocke u kojoj ordinala sijece nacrt s′′ i cvora je drugi tragravnine.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 71

Primjer 4.18. Odredimo projekcije priklonice prve skupine ravnine ρ(−2, 1, 2) kojaprolazi tockom T (1,− ,− ) na prvom tragu.

Rjesenje. Prvo dovrsimo tocku T . Buduci da se nalazi na prvom tragu, ordi-nalu s x koordinatom 1 produoljimo do prvog traga i presjecna tocka je upravo T ′.Tocka u kojoj ordinala sijece 1x2 je nacrt tocke T .

Priklonica prve skupine p je okomita na prvi trag. Iz prethodne diskusije opriklonicama imamo da je tlocrt priklonice okomit na r1. Nacrt priklonice odredimopomocu probodista. Jedno probodiste je tocka T koju vec imamo na slici. TlocrtP ′

2 drugog probodista je tocka u kojoj pravac p′ sijece os 1x2. Nacrt P ′′2 drugog

probodista dobivamo dizanjem ordinale do drugog traga. Spojnica tocaka P ′′2 i T ′′

je nacrt priklonice.

Okomica na ravninu. Ukoliko je pravac p okomit na ravninu ρ, tada jeprema definiciji okomitosti pravca i ravnine, on okomit na svaki pravac te ravnine.Dakle, pravac p je okomit na prvi trag r1. Pravci p i r1 su opcenito mimoilazni, alip se moze translatirati tako da sijece r1 (i pri tome je kut izmedu translatiranogpravca i r1 ostao sacuvan, tj. pravi je). No sada translatirani pravac p i trag r1 cinepravi kut ciji je jedan krak u ravnini projekcije, pa je ortogonalna projekcija togkuta i dalje pravi kut. Tako smo dobili da je tlocrt pravca p okomit na prvi trag r1.Analogno, p′′ ⊥ r2.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 72

.

Primjer 4.19. Tockom T (3, 4,−1) povucimo okomicu n na ravninu σ(4,−5, 2).

Rjesenje. Iz tocke T ′ povucimo okomicu na prvi trag s1 i to je tlocrt okomice.Nacrt okomice je okomica na drugi trag kroz tocku T ′′.

Primjer 4.20. Odredimo tragove ravnine ρ koja prolazi danom tockom T (T ′, T ′′) iokomita je na zadani pravac p(p′, p′′).

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 73

Rjesenje. Tragovi ravnine ρ okomiti su na projekcije pravca p, tj. r1 ⊥ p′ ir−2 ⊥ p′′. Buduci da su p′ i p′′ poznati, znamo i smjerove tragova ravnine. Tocka Tpripada ravnini pa povucimo sutrazncu prve skupine kroz nju. Tlocrt te sutraznices prolazi kroz T ′ i paralelan je s prvim tragom, tj. okomit je na tlocrt p′. A nacrtsutraznice paralelan je s osi 1x2 i prolazi tockom T ′′.

Tlocrt sutraznice sijece 1x2 u tocki F ′,a nacrt te tocke je na s′′, pa povlacenjemordinale iz F ′ do s′′ dobivamo tocku F ′′. Tom tockom mora proci drugi trag ravnine.Stoga tockom F ′′ povucemo okomicu na p′′ i to je drugi trag ravnine ρ. Prvi trag teravnine dobivamo kao okomicu na p′ kroz cvor.

Primjer 4.21. Odredimo pravac koincidencije ravnine ρ(s1, s2).

Rjesenje. Pravac koincidencije k neke ravnine je presjek te ravnine s ravninomkoincidencije. Dakle, karakteristika tocaka na pravcu k jest da je T ′ = T ′′. Jednatocka pravca k jest cvorna tocka E. Uzmimo po volji odabran pravac p ravnine ρ(tlocrt biramo proizvoljno, ali onda nacrt konstruiramo koristeci probodista). Onatocka G na pravcu p kojoj je i tlocrt i nacrt u presjeku p′ ∩ p′′ pripada ravninikoincidencije, a samim time i pravcu k. Dakle, k = EG.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 74

.

Promotrimo jos malo gornju sliku. Izmedu tlocrta i nacrta tocaka P i pravacag neke ravnine σ vrijede ovi odnosi:

- tlocrt i nacrt neke tocke P ravnine ρ leze na ordinali,

- tlocrt i nacrt nekog pravca p ravnine ρ sijeku se na pravcu koincidencije k.

To su upravo karakteristicna svojstva afinosti, pa imamo sljedeci teorem.

Teorem 4.2. Tlocrt i nacrt nekog ravninskog lika perspektivno su afini. Zrake afi-nosti su okomice na os 1x2 (ordinale), a os afinosti je pravac koincidencije te rav-nine.