4. MONGEOVOPROJICIRANJE

4.1. Projiciranje tocke

Niti centralno ni paralelno projiciranje tocaka prostora na ravninu nije bijek-cija. Stoga se pri takvim preslikavanjima suocavamo s problemom nejednoznacnogzamisljanja prikazanog objekta. Kako bi se uklonio taj nedostatak proucimo proji-ciranje na dvije ravnine.

Neka su π1 i π2 dvije medusobno okomite ravnine ciju presjecnicu oznacimos 1x2. Neka je T proizvoljna tocka prostora. Ortogonalno projicirajmo tocku T naravninu π1. Tu ortogonalnu projekciju nazivamo prva projekcija ili tlocrt tocke Ti oznacavamo s T ′. Ortogonalnu projekciju tocke T na ravninu π2 nazivamo drugaprojekcija ili nacrt tocke T i oznacavamo s T”. Time je tocki T pridruzen partocaka prostora (T ′, T”). Zarotirajmo ravninu π1 oko pravca 1x2 za 90◦. Pri tojrotaciji tocka T ′ preslika se u tocku T ′ koja se nalazi u ravnini π2. Ovu tocku T ′

takoder cemo zvati tlocrt tocke T . Sada je tocki T pridruzen par (T ′, T”) tocakaiz ravnine π2. Ovo pridruzivanje nazivamo Mongeovo projiciranje ili dvocrtnaprojekcija.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 52

Prikazemo li tocke ravnine π2 na papiru, spojnica tocaka T ′ i T” je okomitana pravac 1x2. Ovu spojnicu nazivamo ordinala. Ravninu π1 nazivamo tlocrtnomravninom, ravninu π2 nacrtnom, a pravac 1x2 os.

Uvedimo u prostor lijevi pravokutni koordinatni sustav (O, x, y, z) tako da seos x podudara s osi 1x2, os y lezi u π1, a os z u ravnini π2. Time je tocki T prostorapridruzena jedinstvena trojka koordinata (x, y, z).

U ravnini crtnje, projekcije tocke T su u sljedecem polozaju.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 53

Ravnine π1 i π2 dijele prostor na cetiri kvadranta: prvi, drugi, treci i cetvrti.

Predznaci koordinata tocaka u tim kvadrantima dani su u sljedecoj tablici:

x y zI. kvadrant po volji + +II. kvadrant po volji − +III. kvadrant po volji − −IV. kvadrant po volji + −

Primjer 4.1. Nacrtajmo tlocrt i nacrt tocaka A(1, 2, 1), B(2,−1, 2), C(−1,−2,−1),D(1.5, 1,−2), K(,−2, 2), L(6, 3, 3). Odredimo kvadrante u kojima se nalaze.

Tocke A, B, C i D leze redom u I., II., III. i IV kvadrantu. Tlocrt i nacrt tockeK se podudaraju. To je tocka koja lezi u simetralnoj ravnini II. i IV. kvadranta kojujos nazivamo ravnina koincidencije.

Tocka L lezi u simetralnoj ravnini I. i III. kvadranta.

Radi zornijeg prikaza objekata u Mongeovoj projekciji, ponekad se osim pro-jekcija na dvije ravnine promatra jos i projekcija na trecu ravninu, tzv. bokocrt. Utu svrhu uvodimo trecu ravninu π3 koja je okomita na ravnine π1 i π2. Ortogonalna

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 54

projekcija na ravninu π3 tocki T pridruzuje tocku T′′′

koja lezi u ravnini π3. Potomtu ravninu π3 rotiramo za 90◦ oko presjecnice ravnina π2 i π3 i tocka T

′′′se preslika

u tocku T ′′′ koju nazivamo bokocrt tocke T . Na desnoj slici uocite da su duzineT ′Tx i T ′′′Tz jednake duljine.

4.2. Projekcije pravaca i ravnina

Ako je pravac u opcem polozaju prema tlocrtnoj i nacrtnoj ravnini, tada sunjegove projekcije takoder pravci. Ukoliko je pravac okomit na tlocrtnu ravninu,tada je njegov tlocrt tocka, a nacrt pravac okomit na os. Analogno, ukoliko jepravac okomit na nacrtnu ravninu, tada je njegov nacrt tocka, a tlocrt mu je pravac.

Kod pravca zanimljivi su nam sljedeci pojmovi: prvo i drugo probodistepravca, te prvi i drugi prikloni kut pravca. Prvo probodiste pravca je presjekpravca i tlocrtne ravnine π1, drugo probodiste je presjek pravca i nacrtne ravnineπ2. Prvi prikloni kut je kut pravca i tlocrtne ravnine π1, a drugi prikloni kutje kut pravca i nacrtne ravnine π2.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 55

Na gornjoj slici tocka P1 je prvo probodiste pravca p, a tocka P2 je drugoprobodiste pravca p. Pravokutni trokut P ′

1P′2P

′′2 rotirajmo oko P ′

1P′2 tako da padne

u ravninu π1. Dobivamo sukladni trokut P ′1P

′2P20 u kojem je kut pri vrhu P ′

1 upravoprvi prikloni kut pravca p. Osim toga, iz sukladnosti trokuta slijedi da je kut privrhu P ′

2 pravi kut i da je |P ′2P20| = |P ′

2P′′2 |, tj. jednako je visini nacrta tocke P2.

Analogni se postupak prevaljivanja radi kad zelimo odrediti pravu velicinudrugog priklonog kuta.

Primjer 4.2. Dan je pravac p = AB, [A(−1, 3, 1), B(1, 1.5, 3)]. Odredimo projek-cije tog pravca, te projekcije prvog i drugog probodista.

Primjer 4.3. Pravcu iz prethodnog zadatka odredimo pravu velicinu prvog i drugogpriklonog kuta.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 56

.

Odredivanje prave velicine duzine Buduci da iz tlocrta i nacrta duzineu opcem slucaju ne mozemo direktno ocitati pravu velicinu (duljinu) duzine prirjesavanju ovog problema takoder posizemo za prevaljivanjem nekog lika u ravnineπ1 ili π2.

Promotrimo sliku i uocimo trapez A′B′BA. To je trapez koji ima dva pravakuta (pri vrhovima A′ i B′). Rotirajmo ga oko pravca A′B′ tako da padne u ravninuπ1. Dobivamo trapez A′B′B0A0 koji je sukladan prvome, a kojega mozemo lakokonstruirati. Uocimo da je duzina A0B0 sukladna duzini AB.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 57

Medusobni polozaj pravaca u prostoru

Kao sto znamo, dva pravca u prostoru mogu biti ukrsteni, mimoilazni iparalelni. Na sljedecim slikama prikazane su projekcije u tim slucajevima redom.

Primjer 4.4. Zadani su pravac p = AB, [A(−2, 1, 5), B(5.5, 4.5, 1)] i tlocrt pravcaq = CD, [C(−1, 4,− ), D(4, 2, 3)]. Odredimo nacrt pravca q tako da se p i q sijeku.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 58

Primjer 4.5. Nacrtajmo projekcije pravca p koji prolazi tockom A(1,−1, 3) iparalelan je s ravninom π1.

Primjer 4.6. Pravac g odreden je tockama A(6, 4, 3) i G(2, 0, 1). Nacrtajmo pro-jekcije pravca t koji prolazi tockom M(4,− ,− ), M ∈ g i paralelan je s osi 1x2.

Primjer 4.7. Pravac p odreden je tockama A(6, 1, 3) i B(1,−2, 0). Odredimo pravuvelicinu duzine AB. Odredimo projekcije tocaka C i D na pravcu p za koje vrijedi|AC| = |AD| = 4.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 59

.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 60

Projekcija ravnine

Ukoliko ravnina ρ nije paralelna s ravninama π1 i π2, tada ona sijece te ravninepo pravcima. Pravac r1 nastao kao presjek ravnine ρ i ravnine π1 naziva se prvi tragili tlocrtni trag ravnine ρ. Analogno, pravac r2 nastao kao presjek ravnine ρ i ravnineπ2 naziva se drugi trag ili nacrtni trag ravnine ρ. Ta dva pravca se sijeku u tocki Ekoja lezi na osi 1x2 i nazivamo je cvor ravnine ρ. Pri Mongeovoj projekciji ravninuρ prikazujemo njezinim tragovima r1 i r2. Ponekad se promatra i treci trag ravninekoji nastaje presjekom ravnine i bokocrtnom ravninom.

Zapazimo jos da ako pravac p lezi u ravnini ρ, tada, buduci da njegovo prvoprobodiste lezi u tlocrtnoj ravnini π1, a ravnina ρ sijece π1 po prvom tragu, slijedi daprvo probodiste pravca p lezi na prvom tragu. Analogno, drugo probodiste pravcaravnine lezi na drugom tragu te ravnine.

Ravninu ρ koja je okomita na tlocrtnu ravninu π1 nazivamo prvoprojicirajucaravnina (donja slika). Njezin je drugi trag okomit na os 1x2.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 61

Ravninu ρ koja je okomita na nacrtnu ravninu π2 nazivamo drugoprojicirajucaravnina. Njezin je prvi trag okomit na os (donja slika).

Uz svaki sustav ravnina π1-π2 vezane su i dvije posebne ravnine: ravninasimetrije i ravnina koincidencije. Na donjoj su slici prikazani tragovi ravninesimetrije σ, tj. simetralne ravnine I. i III. kvadranta. Buduci da prvi i drugi tragravnine ne daju potpunu informaciju o promatranim ravninama, ovo je jedan odprimjera kad je u sliku pogodno uvesti i treci trag ravnine kako bi se dobila potpunainformacija o izgledu promatranog objekta u prostoru.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 62

Na donjoj su slici prikazani tragovi ravnine koincidencije κ, tj. simetralneravnine II. i IV. kvadranta.

U ravnini ρ isticu se cetiri klase posebnih pravaca. Pravci ravnine ρ koji suparalelni s ravninom π1 nazivaju se sutraznice prve skupine. Zbog paralelnosti s π1

njihov je nacrt paralelan s osi (donja slika)

Pravci ravnine ρ koji su paralelni s nacrtnom ravninom π2 nazivaju se su-traznice druge skupine. Njihov tlocrt je paralelan s osi. Na donjoj slici prikazan jetlocrt i nacrt jedne sutraznice druge skupine.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 63

Pravci ravnine ρ okomiti na prvi (drugi) trag ravnine nazivaju se prikloniceprve (druge) skupine. Tlocrt priklonice prve skupine okomit je na prvi trag ravnine,dok je nacrt priklonice druge vrste okomit na drugi trag. Ovo svojstvo slijedi izsljedeceg teorema.

Teorem 4.1. Ako je jedan krak pravog kuta paralelan s ravninom projekcije, ondaje ortogonalna projekcija tog kuta pravi kut.

Dokaz. Pogledajmo prvo specijalan slucaj, tj. situaciju kad je jedan krakpromatranog pravog kuta upravo u ravnini projekcije π.

Uvedimo oznake: promatrani kut je 6 aV b pri cemu krak lezi u ravnini π.Vrhom V polozimo pramen (sve) pravaca koji su okomiti na pravac a. Ima ihbeskonacno mnogo, medu njima je i pravac b i njihova unija je ravnina σ ciji jevektor normale upravo vektor smjera pravca a. Ta je ravnina σ okomita na π.Zasto? Oznacimo s p presjecnicu ravnine σ i ravnine π. Presjecnica lezi u σ iokomita je na pravac a. Kako se trazi kut dvije ravnine? Na presjecnici p uzme setocka, neka je to V . U toj se tocki povuku okomice na p svaka u svojoj ravnini. Uravnini π to je pravac a, a u ravnini σ to je pravac c. Zbog toga sto je c ⊂ σ slijedida je c okomit na a, a to je ujedno i kut izmedu ravnina σ i rho. Za ortogonalnuprojekciju kuta 6 aV b trebaju nam ortogonalne projekcije krakova. Ortogonalnaprojekcija pravca a na ravninu π je taj isti pravac a, dok je ortogonalna projekcijapravca b ujedno i ortogonalna projekcija ravnine σ, a to je upravo pravac p i vrijedip ⊥ a.

Promotrimo sada opci slucaj, tj. situaciju kad krak promatranog pravog kutanije u ravnini projekcije (ali je paralelan s njom). Tada taj kut translatiramo upolozaj da krak padne u ravninu projekcije i onda smo u prethodnoj situaciji. 2

Vratimo se na proucavanje priklonica. Priklonica prve vrste je pravac okomitna prvi trag ravnine, tj. priklonica prve vrste i prvi trag cine pravi kut ciji je jedantrag u ravnini projekcije (u ovom slucaju je to π1). Prema prethodnom teoremu,

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 64

ortogonalna projekcija tog pravog kuta je opet pravi kut, a ortogonalna projekcijatog pravog kuta je kut sto ga cine tlocrt priklonice i prvi trag.

Donja slika prikazuje priklonicu prve skupine prikazanu u Mongeovoj projek-ciji. Tocke P1 i P2 su probodista priklonice.

Opisimo jos i koordinatno zadavanje ravnine. Promatramo li vec opisani ko-ordinatni sustav uveden u sustav ravnina π1-π2, vidimo da u tom sustavu tocka Eima, opcenito, netrivijalnu apscisu, oznacimo je s x. Prvi trag sijece y os u tockiciju drugu koordinatu oznacimo s y, a drugi trag sijese os z u tocki cija je aplikataoznacena sa z. Ta tri broja nazivamo koordinate ravnine i zapisuje ρ(x, y, z).

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 65

Primjer 4.8. Nacrtajmo tragove zadanih ravnina, ako je:

a) α(1, 2, 3); b) β(−1, 2, 3); c) γ(−2,−3, 4).

Primjer 4.9. Nacrtajmo tragove zadanih ravnina, ako je:

a) α(−2, 3, 1);b) β(−3,∞, 2);

c) γ(2, 3,∞);d) δ(∞, 2, 4).

Primjer 4.10. Zadana je ravnina ρ(r1, r2) i tlocrt tocke T te ravnine. Odredimonacrt tocke T .