TIRO VERTICAL1) Se lanza verticalmente hacia abajo una piedra de la parte alta de un edificio de 14 pisos, llega al suelo en 1,5 s, tomando en cuenta que cada piso mide 2,6 m de altura. Calcular la velocidad inicial de la piedra y la velocidad al llegar al piso.Datos:Nmero de pisos = 14Altura de cada piso = 2,6 mt = 1,5 sg = 9,81 m/sEcuaciones:1) h = v0.t + g.t/22) vf = v0 + g.tSolucin:La altura ser:h = 14.2,6 mh = 36,4 m Despejando v0 de la ecuacin (1):h = v0.t + g.t/2 v0.t = h - g.t/2 v0 = (h - g.t/2)/tv0 = (36,4 m - [(9,81 m/s).(1,5 s)]/2)/(1,5 s)v0 = (36,4 m - [(9,81 m/s).(2,25 s)]/2)/(1,5 s)v0 = (36,4 m - (22,0725 m)/2)/(1,5 s)v0 = (36,4 m - 11,03625 m)/(1,5 s)v0 = (25,36375 m)/(1,5 s)v0 = 16,91 m/sLuego, empleando la ecuacin (2):vf = v0 + g.tvf = 16,91 m/s + (9,81 m/s).(1,5 s)vf = 16,91 m/s + 14,715 m/svf = 31,625 m/s___________________________________________________________________________2)Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto desde una altura de 60 m y se observa que emplea 10 s en llegar al suelo. Con que velocidad se lanzo el objeto?Datos:h0 = 60 mt = 10 sg = 9,81 m/s.Ecuaciones:y = v0.t + g.t/2Despejamos la velocidad inicial:h = hf - h0 = V0.t + g.t/2V0.t = hf - h0 - g.t/2V0 = (hf - h0 - g.t/2)/tEmpleamos los signos correctos para las variables, segn la grfica:V0 = [0 m - 60 m - (-9,81 m/s).(10 s)/2]/(10 s)V0 = [- 60 m + (9,81 m/s.100 s)/2]/(10 s)V0 = (- 60 m + 490,5 m)/(10 s)V0 = (- 60 m + 490,5 m)/(10 s)V0 = 43,05 m/s ___________________________________________________________________________3)Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 60 km/h, se desea saber la altura mxima alcanzada, la velocidad que posee al cabo de 4 s y 30 s, la altura alcanzada a los 8 s, el tiempo total que se encuentra en el aire.Datos:v0 = 60 km/h = (60 km/h).(1000 m/km).(1 h/3600 s) = 16,67 m/st1 = 4 st2 = 30 st3 = 8 sUsar g = 10 m/s.Ecuaciones:(1) vf = v0 + g.t(2) y = v0.t + g.t/2(3) vf - v0 = 2.g.ha) Altura mximaLa altura mxima ocurre cuando la velocidad final es nulaEmpleando la ecuacin (3) y para Vf = 0 m/s:Vf - Vi = 2.g.hVi = 2.g.hh = - Vi/2.gPara el caso h = hmx:h mximo = -Vi/2.gh mximo = -(16,67 m/s)/2.(-10 m/s)h mximo = 13,89 m b) De la ecuacin (1):Vf = Vi + g.t1Vf = 16,67 m/s + (-10 m/s).4 sVf = -23,33 m/s c) De la ecuacin (1):Vf = Vi + g.t2Vf = 16,67 m/s + (-10 m/s).30 sVf = -283,33 m/s e) Ante la falta del dato de la altura inicial se supone hi = 0 mEmpleando la ecuacin (2):h = Vi.t3 + g.t3/2hf - hi = Vi.t + g.t3/2hf = 0 m + 16,67 m/s.8 s + (-10 m/s).(8 s)/2hf = -186,64 m (hacia abajo) f) De la ecuacin (2):h = Vi.t + g.t/20 = Vi.t + g.t/2 - h0,00 s (Tiempo de ida)12,00 s (Tiempo de vuelta)___________________________________________________________________________4)Se lanza una pelota de tenis hacia abajo desde una torre con una velocidad de 5 m/s.a) Qu velocidad tendr la pelota al cabo de 7 s?.b) Qu espacio habr recorrido en ese tiempo?.Usar g = 10 m/s.DesarrolloDatos:v0 = 5 m/st = 7 sEcuaciones:(1) vf = v0 + g.t(2) y = v0.t + g.t/2(3) vf - v0 = 2.g.ha) De la ecuacin (1):vf = 5 m/s + (10 m/s).(7 s)vf = 75 m/sb) De la ecuacin (2):y = (5 m/s).(7 s) + (1/2).(10 m/s).(7 s)y = 280 m___________________________________________________________________________5)Se lanza una pelota hacia arriba y se recoge a los 2 s, calcular:a) Con qu velocidad fue lanzada?.b) Qu altura alcanz?.Usar g = 10 m/s.DesarrolloDatos:t = 2 sEcuaciones:(1) vf = v0 + g.t(2) y = v0.t + g.t/2(3) vf - v0 = 2.g.ha) Los 2 s se componen de 1 s hasta alcanzar la altura mxima (vf = 0) y 1 s para regresar, de la ecuacin (1):0 = v0 + g.tv0 = -g.tv0 = -(-10 m/s).(1 s)v0 = 10 m/sb) De la ecuacin (2):y = (10 m/s).(1 s) + (1/2).(-10 m/s).(1 s)y = 5 m___________________________________________________________________________6)Un auto choca a 60 km/h contra una pared slida, desde qu altura habra que dejarlo caer para producir el mismo efecto?.Usar g = 10 m/s.DesarrolloDatos:vf = 60 km/hvf = 16,67 m/sv0 = 0 m/sEcuaciones:(1) vf = v0 + g.t(2) y = v0.t + g.t/2(3) vf - v0 = 2.g.hDe la ecuacin (3):vf/2.g = hh = (16,67 m/s)/[2.(-10 m/s)]h = 13,9 m___________________________________________________________________________7)Desde un 5 piso de un edificio se arroja una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 90 km/h, cunto tardar en llegar a la altura mxima?.Usar g = 10 m/s.DesarrolloDatos:v0 = 90 km/hv0 = 25 m/sEcuaciones:(1) vf = v0 + g.t(2) y = v0.t + g.t/2(3) vf - v0 = 2.g.hPara vf = 0 empleamos la ecuacin (1):0 = v0 + g.tt = -v0/gt = -(25 m/s).(-10 m/s)t = 2,5 s___________________________________________________________________________8)Un observador situado a 40 m de altura ve pasar un cuerpo hacia arriba con una cierta velocidad y al cabo de 10 s lo ve pasar hacia abajo, con una velocidad igual en mdulo pero de distinto sentido.a) Cul fue la velocidad inicial del mvil?.b) Cul fue la altura mxima alcanzada?.Usar g = 10 m/s.DesarrolloDatos:t = 10 sy = 40 mEcuaciones:(1) vf = v0 + g.t(2) y = y0 + v0.t + g.t/2(3) vf - v0 = 2.g.h a) Los 10 s se componen de 5 s hasta alcanzar la altura mxima (vf = 0) y 5 s para regresar, de la ecuacin (1):0 = v0 + g.tv0 = -g.tv0 = -(-10 m/s).(5 s)v0 = 50 m/s (a nivel del observador).Esta velocidad inicial la tomaremos como la final usando la frmula (3):vf - v0 = 2.g.h(50 m/s) - v0 = 2.(-10 m/s).(40 m)(50 m/s) - 2.(-10 m/s).(40 m) = v0v0 = 57,45 m/s (a nivel de lanzamiento)b) Nuevamente con la ecuacin (3) calculamos la distancia recorrida desde el observador hasta la altura final:vf - v0 = 2.g.h(0 m/s) - (50 m/s) = 2.(-10 m/s).hh = 125 mFinalmente sumamos la altura mxima y la altura del observador:h = 125 m + 40 mh = 165 m___________________________________________________________________________9)Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/s, luego de 4 s de efectuado el lanzamiento su velocidad es de 60 m/s.a) Cul es la altura mxima alcanzada?.b) En qu tiempo recorre el mvil esa distancia?.c) Cunto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo?.d) Cunto tarda en alcanzar alturas de 300 m y 600 m?.Usar g = 10 m/s.DesarrolloDatos:v0 = 100 m/svf = 60 m/st = 4 sy1 = 300 my2 = 600 mEcuaciones:(1) vf = v0 + g.t(2) y = v0.t + g.t/2(3) vf - v0 = 2.g.h a) Para la altura mxima vf = 0, de la ecuacin (3):-v0 = 2.g.hh mx = -vf/(2.g) h mx = -(100 m/s)/[2.(-10 m/s)]h mx = 500 mb) De la ecuacin (1) y para vf = 0:t = v0/gt = (-100 m/s)/(-10 m/s)t = 10 sc) Recordemos que en tiro vertical, cuando un objeto es lanzado hacia arriba y luego cae, cuando vuelve a pasar por el punto de partida posee la misma velocidad que en el momento del lanzamiento pero con sentido contrario (vf = -v0).Podemos asegurar que el resultado pedido es el doble del tiempo que requiri para alcanzar la altura mxima.t = 20 se) No puede alcanzar una altura de 600 m porque la mxima es de 500 m. Para h = 300 m empleamos la ecuacin (2):0 = v0.t + g.t/2 - yAplicamos la ecuacin cuadrtica (Bscara) que dar dos resultados:t1 = 3,67 st2 = 16,32 s (NO ES SOLUCION)___________________________________________________________________________10)Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s.a) Cul ser su velocidad luego de haber descendido 3 s?.b) Qu distancia habr descendido en esos 3 s?.c) Cul ser su velocidad despus de haber descendido 14 m?.d) Si el cuerpo se lanz desde una altura de 200 m, en cunto tiempo alcanzar el suelo?.e) Con qu velocidad lo har?.Usar g = 10 m/s.DesarrolloDatos:v0 = 7 m/st = 3 sy = 200 mh = 14 mEcuaciones:(1) vf = v0 + g.t(2) y = v0.t + g.t/2(3) vf - v0 = 2.g.h a) De la ecuacin (1):vf = (7 m/s) + (10 m/s).(3 s)vf = 37 m/sb) De la ecuacin (2):h = (7 m/s).(3 s) + (10 m/s).(3 s)/2 h = 66 mc) De la ecuacin (3):vf = v0 + 2.g.hvf = 18,14 m/sd) De la ecuacin (2):0 = v0.t + g.t/2 - yAplicamos la ecuacin cuadrtica que dar dos resultados: t1 = 5,66 st2 = -7,06 s (NO ES SOLUCION)e) De la ecuacin (3):vf = v0 + 2.g.hvf = 63,63 m/s___________________________________________________________________________11)se dispara un tiro vertical hacia arriba con una velocidad de 80m/s calcular el tiempo que demora en alcanzar su maxima altura (g=10m/s2)___________________________________________________________________________12)Se dispara un proyectil verticalmente haca arriba con una velocidad de 50m/s. Al cabo de que tiempo la velocidad es de 10 m/s por primera vez y aque altura se encuentra (g = 10 m/s2).___________________________________________________________________________13)Desde un 5 piso de un edificio se arroja una piedra verticalmente haciaarriba con una velocidad de 90 km/h, cunto tardar en llegar a la altura mxima?.___________________________________________________________________________14)Se lanza una pelota hacia arriba y se recoge a los 2 s, calcular:a. Con qu velocidad fue lanzada?.b. Qu altura alcanz?.___________________________________________________________________________15)Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 250m/s, determinar:a. Cul es la velocidad a los 4 s?.b. Qu altura alcanz en esos 4 s?.c. Cunto tiempo tardar en alcanzar la altura mxima?___________________________________________________________________________16)La frmula que nos da el recorrido (x) en funcin del tiempo (t) alcanzada por un cuerpo en cada libre es x = 1/2 gt Luego, para la pelota que cae desde 100 m la altura queda determinada por 100 - x = 1/2 . 9.8t x = 100 - 4.9t Para la pelota que sube la frmula a aplicar es x = v0 t - 1/2 gt, porque debe alcanzar la altura x de la pelota que baja, por ello se tiene x = 50t - 4.9t . . . . . . . . . [1] Ahora, por igualacin, queda 50t - 4.9t = 100 - 4.9t 50t = 100 t = 2 Aplicando en la [1], da x = 50 (2) - 4.9 (2) = 80.4 Luego, resulta Respuesta: Chocarn a los 2 segundos a una altura de 80.4 m. ___________________________________________________________________________17)una particula es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 24.5 m/s desde un edificio que tiene una altura de 68.6 m por encima del suelo calculese: a)la altura maxima alcanzada b)el tiempo para volver otra vez al punto de lanzamiento c)el tiempo para alcanzar una altura de 19.6 m d)el tiempo total de vuelo e)la velocidad de llegada al sueloVi = 24.5 m/s h edificio = 68.6 m Frmula para la altura mxima en Tiro Vertical: h mx = (Vi ^ 2) / (2 g) h mx = (24.5 m/s ^ 2) / (2 * 9.81 m/[s^2]) h mx = 30.59378186 m h mx + h edificio = 30.59378186 m + 68.6 m h mx + h edificio = 99.19378186 m Frmula para el tiempo de subida en Tiro Vertical: t subida = Vi / g t subida = (24.5 m/s) / (9.81 m/[s^2]) t subida = 2.49745158 s Y como el tiempo en que tarda en subir (hasta alcanzar la altura mxima, claro) es el mismo que tarda en bajar (en llegar, pues, al punto de partida), el resultado es 2.49745158 segundos. Usaremos las siguientes frmulas de Tiro Vertical para encontrar el tiempo en que tarda el proyectil en llegar a una altura de 19.6 metros (frmulas donde "Vf" significa "Velocidad final" y "X ^ 1/2" significa "Raz Cuadrada de X"): Vf = Vi - g * t Vf ^ 2 = (Vi ^ 2) - 2 * g * h ---> Vf = ([Vi ^ 2] - 2 * g * h) ^ 1/2 Y si Vf = Vf, ergo Vi - g * t = ([Vi ^ 2] - 2 * g * h) ^ 1/2 Despejamos "t" y tenemos: t = (Vi - [{Vi ^ 2} - 2 * g * h] ^ 1/2) / g Sustituimos: t = (24.5 m/s - [{24.5 m/s ^ 2} - {2 * 9.81 m/{s^2} * 19.6 m}] ^ 1/2) / 9.81 m/{s^2} t = 1.000340406 s Para verificarlo, sustituimos el valor obtenido en la siguiente frmula de Tiro Vertical: h = (Vi * t) - ([g * {t ^ 2}] / 2) h = (24.5 m/s * 1.000340406 s) - ([9.81 m/{s^2} * {1.000340406 s ^ 2}] / 2) h = 19.6 m El tiempo total de vuelo (que es el tiempo en que el proyectil permanece en el aire) es la suma del tiempo de subida ms el tiempo de bajada (que es lo mismo que multiplicar por dos el tiempo de subida): t total = t subida + t bajada = 2 t subida = 2 * 2.49745158 s = 4.99490316 s Para encontrar la Velocidad final podemos usar dos de las siguientes frmulas ya citadas: a) Vf = Vi - g * t b) Vf ^ 2 = (Vi ^ 2) - 2 * g * h ---> Vf = ([Vi ^ 2] - 2 * g * h) ^ 1/2 Si trabajamos con la primera, obtenemos: Vf = 24.5 m/s - (9.81 m/[s^2] * 4.99490316 s) Vf = -24.5 m/s El dato "-24.5 m/s" debe interpretarse como la velocidad que se alcanza al ir de la altura mxima al punto de partida, pues va de arriba hacia abajo (en sentido negativo, pues). Te dars cuenta que la Velocidad inicial es igual a la Velocidad final, pero que va en sentido contrario (porque el proyectil, como dije, va de arriba para abajo -como en Cada Libre). Si ahora trabajamos con la segunda, obtenemos: Vf = ([24.5 m/s ^ 2] - [2 * 9.81 m/{s^2} * 61.18756371 m]) ^ 1/2 Vf = -24.5 m/s i Tmese en cuenta que la altura debe multiplicarse por el doble porque el proyectil recorre esa distancia, y que al obtener la Raz Cuadrada de "-600.25 (m^2)/(s^2)" el signo negativo debe de interpretarse como el sentido en el que dicha velocidad se manifiesta (de arriba para abajo). La letra "i" de "nmero imaginario" debe ser ignorada. La Velocidad final queda entonces como: Vf = 24.5 m/s (igual que la Velocidad inicial).___________________________________________________________________________18)Una piedra lanzada linealmente hacia arriba por un muchacho alcanza una altura de 12m. Calcular:a)El tiempo que tarda enalcanzar el punto ms alto:g=Vf-Vo/t-9.8= 0-15.34/t-9.8t= -15.34t= 1.565 seg.b) Su velocidad de llegada al sueloVf Vo = 2ghVo = 2 (-9, 8)(12) Vo = -235, 20Vo =15, 34 m/sc) su posicin al trmino del primer segundo.H=Vot+1/2gt2H=15.34 x 1 -9.8 x 12H= 15.34 9.8H= 5.54 mts.___________________________________________________________________________19)Una flecha disparada verticalmente hacia arriba llega a una altura mxima de 490 metros.Datos:y=490mg=9.8m/s2Vf= 0Vf=?t=?vf5=? a) Eltiempo que tarda en alcanzar el punto ms alto,y=(Vo+Vf/2)tt=2y/(Vo+Vf)t=2(490)/(98+0)t=10 seg.b) su velocidad de llegada al sueloVf2=vo2+2ghvo2= -2ghvo2=-2(-9.8) (490)Vo=98m/sc)Su velocidad a los 5 segundos.g=Vf-Vo/tgt=Vf-Vovf5=gt+ Vovf5= (-9.8) (5) +98vf5=49m/s___________________________________________________________________________20)Una pelota debeisbol tirada recta hacia arriba se recobra 9 segundos despus por el ctcher encontrar:DatosVf=0g=9.8t=4.5 (9/2)a)la altura mxima alcanzada:Vo=g.tVo=(9.8 . 4.5)V0=44.1m/sy=(Vf+Vo) / 2 ty=( 44.1 / 2 ) . 4.5y= 22.05 .4.5y= 99.225 b)la velocidad que tena al dejar el bate:vf=vo+v.tvf=0+(9.8.4.5)vf=44.1m/s