Kriging

Generalidades del KrigingMtodo estadstico de interpolacin Objetivo: Predecir los valores de la variable de inters en lugares no muestreados Predictor lineal Insesgado Mnima varianza

Generalidades del Kriging ReportaMapa de predicciones en todas las ubicaciones de inters s0

Z (s0 ) Z (s0 ) = i z (si )* i =1

n

Varianza estimada del error de prediccin

Generalidades del KrigingMedia de los residuales de prediccin

[Z (s ) Z (s )]n * i =1 i i

0

n

Cuadrado medio del error

[Z (s ) Z (s )]2 n * i =1 i i

lo menor posible

n

Error cuadrtico medio estandarizado

n 2 * Z (si ) Z (si ) 1 i =1 1 2 n si

[

]

( )

Generalidades del KrigingCoeficiente de Correlacin de Pearson entre los n observados y sus prediccciones

r z (si ), z (si ) 1*

(

)

Tambin es necesario comparar mximo y mnimo de los errores de prediccin, diagramas de caja tanto de las predicciones como de los errores, as como todas las medidas involucradas

Diferentes tipos de prediccin Valor de la variable de inters Residuos de cada prediccin Probabilidad de que la variable supere o no supere un umbral definido Cuantiles

Kriging SimpleEstacionariedad de segundo orden Media constante y conocida Difcilmente aplicable por requerir demasiado conocimiento de la variable Siempre insesgado (sin ninguna restriccin) n No es preciso que se cumpla que i = 1i =1

Kriging SimpleVarianza menor a la de la variable en estudio sin regionalizar Var Z ( s0 ) Z ( s0 ) = Var ( Z ( si ) ) iCov ( si s0 )i =1

(

)

n

EjemploZ (s ) : Temperatura en el lugar con ubicacin espacial s E[Z (s )] = : Temperatura media de la regin

Kriging OrdinarioMedia constante pero desconocida Puede usarse ya sea en presencia de estacionariedad de segundo orden o de estacionariedad intrnseca Para cumplir la propiedad de insesgamiento, requiere ser sometido a n la restriccin de que

i =1

i

=1

Kriging OrdinarioE Z * (s0 ) Z (s0 )n i i

[

]

n = E i Z (si ) Z (s0 ) = i =1 n 0 i =1 i

E[Z (s )] E[Z (s )] = = 0i =1

n n i 1 = 0 i 1 = 0 i =1 i =1 Cuando

i =1

n

i

=1

Varianza del KOMayor en general que la varianza del kriging simple Var Z ( s0 ) Z ( s0 ) = Var ( Z ( si ) ) iCov ( si s0 ) + i =1

(

)

n

Kriging residualLa media no es constante, existe tendencia Se estima la tendencia mediante un modelo de regresin, en general, por Mnimos Cuadrados Ordinarios Se calculan los residuos y se aplica KO a la lista de residuos Se le suma la tendencia a las predicciones de los residuos

Kriging residual

Z (s 0 ) = m (s 0 ) + e (s 0 )* *

e (s0 ) = i e(si )* i =1

n

Kriging IndicadorEl inters recae en el cumplimiento o no de una condicin Se define un umbral No tiene ningn supuesto. Se considera un mtodo de prediccin no paramtrico Se predice la probabilidad de que en cada punto se cumpla o no la condicin

Kriging IndicadorSe redefine la variable a travs de una variable indicadorai.

1 Si Z (si ) zl I (s i , z l ) = = 0 Otro caso

E (I (s0 , zl )) = 1 Pr (I (s0 , zl ) = 1) + 0 Pr (I (s0 , zl ) = 0 )

Pr (I (s0 , zl ) = 1) = Pr (Z (s0 ) zl ) = F ( zl )

Kriging Indicador0 I (s 0 , z l ) 1*

I (s0 , zl ) I (s0 , zl )* *

cuando

z l z l

Kriging MultigaussianoSe encuentra la funcin de probabilidad acumulada emprica . Se calculan con base los puntajes normal estndar es decir los valores de una distribucin de probabilidad normal estndar para los cuales la probabilidad acumulada corresponde a la emprica Se predice utilizando kriging simple

Kriging Transgaussiano

Z (s ) = (Y (s )) sD donde Y (s ) es una variable aleatoria con distribucin de probabilidad normal Z (s 0 ) = Z (s 0 ) *

(

)

2 y ,ko + ' ' ( y ) 2