ΓΗΖΜΔΡΗΓΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΩΝ

Θέμα: Σετνικές Ολοκλήρωζης

Διζηγηηής: Κσλ/λνο Λ. Κσλζηαληόπνπινο

Σρνιηθόο Σύκβνπινο Μαζεκαηηθώλ

Ηξάθιεην 7-8 Μαξηίνπ 2014 – ΠΔΚ

A. Ολοκλήρωζη ρηηής ζσνάρηηζης

Έζησ κία ξεηή ζπλάξηεζε ( )( )

( )A x

R xB x

. Δπεηδή ηα ( ), ( )A x B x είλαη

πνιπώλπκα, ε ( )R x είλαη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζε θάζε δηάζηεκα

εθηόο ηεο ξίδαο ηνπ παξαλνκαζηή. Άξα ζε απηό ην δηάζηεκα

είλαη νινθιεξώζηκε.

Η ξεηή ζπλάξηεζε ( )( )

( )A x

R xB x

, γξάθεηαη ζαλ άζξνηζκα ελόο

πνιπσλύκνπ ( )x θαη κηαο ξεηήο ζπλάξηεζεο ( )( )x

B x , όπνπ

. . , δειαδή: ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )A x x

R x xB x B x

.

Κάζε ηώξα ξεηή ζπλάξηεζε ( )( )x

B x , όπνπ . . , γξάθεηαη

ζαλ άζξνηζκα ξεηώλ ζπλαξηήζεσλ ηεο κνξθήο:

* 2, , , 4 0

2

Bxό n mn m

x x x

,

πνπ νλνκάδνληαη απιά θιάζκαηα.

To ( )B x αλαιύεηαη ζε γηλόκελν πξσηνβαζκίσλ θαη

δεπηεξνβαζκίσλ πνιπσλύκσλ κε κηγαδηθέο ξίδεο σο εμήο:

2 21 1( ) ( ) ...( ) .( ) ...( )1 1 1 1

n mn mkB x a x x a x x a x x

k

, όπνπ

2, , , , , , , 4 0, , 0.j

a R n m a n mi j j j i j j j i j

Άξα ην ( )( )x

B x γξάθεηαη σο εμήο:

( ) 1 2 1 2... ... ...2( )

( ) ( )1 2

1 1 1 11 1... ... ... ... .2 22 21( ) ( )1 1 1 1 1 1

TnAA A T Tx n knB x kx x x x x xn k k k

E x ZC x D m mm mC x D E x Z

m ma x x a x xa x x a x x

Οπόηε θάζε ζπλάξηεζε ( )( )

( )

A xR x

B x γξάθεηαη σο εμήο:

2

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )n m

A BxA xR x x

B x x x x

.

Τα νινθιεξώκαηα: 2

( ) , ,n m

xx dx dx dx

x x x

είλαη

ζηνηρεηώδεηο ζπλαξηήζεηο, νπόηε ην ( )R x dx είλαη ζηνηρεηώδεο

ζπλάξηεζε, πνπ βξίζθεηαη αλ γξάςνπκε απηή ηε ξεηή

ζπλάξηεζε ζαλ άζξνηζκα απιώλ θιαζκάησλ θαη

νινθιεξώζνπκε απηά.

ΜΔΘΟΓΟΗ ΤΠΟΛΟΓΗΜΟΤ ΣΩΝ ΤΝΣΔΛΔΣΩΝ

« Κλαζική μέθοδος»

Παράδειγμα: Nα ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: 2 11

( 1)( 2)( 3)

xdx

x x x

.

Απάνηηζη Η ζπλάξηεζε 2 11

( )( 1)( 2)( 3)

xf x

x x x

γξάθεηαη σο εμήο:

2 11

1( 1)( 2)( 3) 1 2 3

x

x x x x x x

θάλνληαο απαινηθή παξαλνκαζηώλ, έρνπκε

2 2 2 2

2 2

11 ( 5 6) ( 3) ( 2 3)

11 5 2 (6 3 3 )

x x x x x x x

x x x

Η ηειεπηαία ηζόηεηα καο δίλεη: Α=1, Β=-5 θαη Γ=5.

Άξα

2 11 1 5 5ln 1 5ln 2 5ln 3

( 1)( 2)( 3) 1 2 3

xdx dx dx dx x x x c

x x x x x x

(Άλλη ηετνική).Αλ έρνπκε ( )( )

( )

h xf x

g x θαη

1 2 1 2( ) ( )( )...( ) ... ,

k k ig x x x x R ηόηε

1 2

1 2

( )( ) ...

( )

k

k

h xf x

g x x x x

θαζέλαο από ηνπο ζπληειεζηέο , 1,2,...,m

m k ππνινγίδνληαη σο

εμήο: ( )lim ( ) , 1,2,...,

( )mm m

x

h xx m k

g x

δειαδή ( ), 1,2,...,

( )

mm

m

hm k

g

Παράδειγμα: Nα ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: 2 11

( 1)( 2)( 3)

xdx

x x x

.

Απάνηηζη Η ζπλάξηεζε 2 11

( )( 1)( 2)( 3)

xf x

x x x

γξάθεηαη σο

εμήο: 2 11

1( 1)( 2)( 3) 1 2 3

x

x x x x x x

2

1

11 12lim 1 1

( 1)( 2)( 3) 12x

xx

x x x

2

2

11 15lim 2 5

( 1)( 2)( 3) 3x

xx

x x x

2

3

11 20lim 3 5

( 1)( 2)( 3) 4x

xx

x x x

ή αλ 2( ) 11h x x θαη ( ) 2 3 1 3 1 2g x x x x x x x

ηόηε έρνπκε ( ( ), 1,2,...,

( )

mm

m

hm k

g

):

2(1) 1 11 121

(1) 3.4 12

h

g

2

2 11( 2) 155

( 2) 3 1 3

h

g

23 11( 3) 20

5( 3) 4 1 4

h

g

Άξα

2 11 1 5 5ln 1 5ln 2 5ln 3

( 1)( 2)( 3) 1 2 3

xdx dx dx dx x x x c

x x x x x x

Αλ έρνπκε ( )( )

( )

h xf x

g x θαη

1 2 1 2( ) ( ) ( )...( ) ... ,p

k k ig x x x x R ηόηε

111 12 2

1

1 1 1 2

( )( ) ... ...

( ) ( ) ( )

p k

p p

k

h xf x

g x x x x x x

Οη ζπληειεζηέο ππνινγίδνληαη σο εμήο:

1

11 1

1 2

( )

( )...( )

p

p

k x

h xx

x x x

1

12 1( )

p

x

dx f x

dx

………….

……………… 1

1

1 11

1[ ( )]

( 1)!

pp

p p

x

dx f x

p dx

Παράδειγμα: Nα ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: 4 3 2

2 3

3 2 17 109

( 3) ( 2)

x x x xdx

x x

.

Απάνηηζη H ζπλάξηεζε γξάθεηαη:

4 3 2

2 3 2 2 3

3 2 17 109, (1)

( 3) ( 2) 3 ( 3) 2 ( 2) ( 2)

x x x x

x x x x x x x

Πνιιαπιαζηάδνληαο θαη ηα δύν κέιε κε 2( 3)x θαη

ζέηνληαο x=-3, έρνπκε:

4 3 22

3 333

3 2 17 109( 3) ( 3) ............(2)

( 2) 2xxx

x x x xx x

x x

243 54 153 3 1092

125

.

Γηα λα βξνύκε ην Α παξαγσγίδνπκε κία θνξά ηελ (2)

θαη ζέηνπκε x=-3, δειαδή:

4 3 2

3

3

3 2 4 3 2

4

3

3 2 17 109

( 2)

12 6 34 1 2 3 3 2 17 109

2

275 ( 5) 3 2501

625

x

x

d x x x x

dx x

x x x x x x x x

x

Τν Δ βξίζθεηαη όπσο ην Β, δειαδή:

4 3 2

2

2

3 2 17 1093

3x

x x x x

x

.

Όκνηα: 4 3 2

2

2

3 2 17 109....... 1.

( 3)x

d x x x x

dx x

2 4 3 2 4 3 2

2 3

2 2

3 2 17 109 6 34 18 103 2154

( 3) ( 3)x x

d x x x x d x x x x

dx x dx x

Άξα 4 3 2

2 3 2 2 3

3 2 17 109 1 2 4 1 3

( 3) ( 2) 3 ( 3) 2 ( 2) ( 2)

x x x x

x x x x x x x

Οπόηε:4 3 2

2 3 2 2 3

1 1 2

3 2 17 109 1 2 4 1 3

( 3) ( 2) 3 ( 3) 2 ( 2) ( 2)

3ln 3 2( 3) 4ln 2 ( 2) ( 2)

2

x x x xdx dx dx dx dx dx

x x x x x x x

x x x x x c

« Ανηικαηάζηαζη»

Παράδειγμα 1: 2

4

1( )

( 2)

xf x

x

Απάνηηζη: Έρνπκε 2

31 2 4

4 2 3 4

1(1)

( 2) 2 ( 2) ( 2) ( 2)

x

x x x x x

Θέηνπκε 2 2x x , νπόηε ε (1) γίλεηαη:

2

31 2 4

4 2 3 4

2 1(2)

Αιιά 2 2 2

4 4 4 2 3 4

2 1 4 4 1 4 3 1 4 3(3)

Από (2) θαη (3) έρνπκε: 1 2 3 4

0, 1, 4, 3 Οπόηε: 2

4 2 3 4

1 1 4 3

( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

x

x x x x

Παράδειγμα 2:

3 2

5

1 1

xdx

x x

Απάνηηζη:

31 2

3 2 3 22

5(1)

1 11 1 1 1

x x

x xx x x x

Θέηνπκε 1 1x x , νπόηε ε (1) γίλεηαη:

31 2

2 3 23 2

2 3

1 2 32 2

6 ( )

2 22 2

6 ( )2

2 2 2 2

Παξαηεξνύκε όηη ην 2

1 2 3 είλαη ην δεπηεξνβάζκην

πειίθν ηεο δηαίξεζεο ηνπ 6 δηα ηνπ 22 2 δηαηεηαγκέλα

θαηά ηηο αληνύζεο δπλάκεηο ηνπ σ .

Η δηαίξεζε καο δίλεη:

2 3

2 2

16 5 23

2 2 2 2 2

(3)

Έρνληαο ππ΄ όςηλ θαη ηελ (2):

2 3

1 2 32 2

6 ( )

2 2 2 2

, έρνπκε:

1 2 3

5 11, , 3, 1,

2 2

Οπόηε:

3 2 3 22

5 35 1 32 2

1 11 1 1 1

xx

x xx x x x

Άξα 3 2 3 22

2

2

5 35 1 32 2

1 11 1 1 1

5 31 32 2ln 1 ln(1 )

1 ( 1) 2 2

xxdx dx dx dx dx

x xx x x x

x x x cx x

Β. ΜΟΡΦΔ ΟΛΟΚΛΖΡΩΜΑΣΩΝ ΤΠΟΛΟΓΗΕΟΜΔΝΑ

ΜΔ ΠΑΡΑΓΟΝΣΗΚΖ ΟΛΟΚΛΖΡΩΖ

Η. ( ) axx e dx

ΗΗ. ( ) , ( )x xx e dx x e dx

ΗΗΗ. ( ) ( ) , ( ) ( )x x dx x x dx , ( )x ώ

IV. ( ) ( ) , ( ) ( )ax axx x e dx x x e dx

V. ( ) ln ( )R x x dx , ( ), ( )R x x ή ά

VI. ( )R x xdx θαη VII. ( ) ( )R x x dx

ΤΠΟΛΟΓΗΜΟ ΣΩΝ ΑΝΩΣΔΡΩ ΟΛΟΚΛΖΡΩΜΑΣΩΝ

I. 1η Περίπηωζη. 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) 1ax ax ax axx e dx x e dx x e x e dxa a a

Τν ( )x είλαη πνιπώλπκν κε βαζκό θαηά κία κνλάδα

κηθξόηεξν ηνπ βαζκνύ ηνπ ( )x .

Με δηαδνρηθέο νινθιεξώζεηο θαηά παξάγνληεο ζα έρνπκε:

2 2

2 2

12

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1..... ( ) ( ) ... ( ) ( ) ...

1 1 1( ( ) ( ) ... ) ( )

ax ax ax ax

ax ax ax

ax ax ax ax ax ax

ax ax

x e dx x e dx x e x e dxa a a

x e x e x e dxa a a

x e x e e dx x e x e ea a a a a

e x x x ea a a

Άξα 1

( ) ( )ax axx e dx x e , όπνπ 1( )x πνιπώλπκν ίζνπ βαζκνύ

κε ην ( )x . Οη ζπληειεζηέο ηνπ 1( )x ππνινγίδνληαη κε

παξαγώγηζε ησλ 2 κειώλ, εμηζώλνληαο ηνπο ζπληειεζηέο

ησλ ίζσλ δπλάκεσλ ηνπ x θαη ιύλνληαο ην ζρεκαηηδόκελν

ζύζηεκα.

Παράδειγμα 1: 3 32 1 x xx e dx ax e θαη παξαγσγίδνληαο

3 3 3

3 3

2 1 ( )

2 1 3 3

23 2 3

3 1 19

x x x

x x

x e ax e ax e

x e ax a e

aa

a

Άξα 3 32 12 1

3 9

x xx e dx x e c

Παράδειγμα 2: 2 5 2 5(5 8 13) x xx x e dx ax x e

θαη παξαγσγίδνληαο:

2 5 5 2 5

2 5 2 5

(5 8 13) 2 5

... (5 8 13) 5 2 5

5 5 1

2 5 8 2

5 13 3

x x x

x x

x x e ax e ax x e

x x e ax a x e

a a

a

Άξα 2 5 2 5(5 8 13) 2 3x xx x e dx x x e c

τημαηική μέθοδος

Μία ζρεκαηηθή κέζνδνο γηα ηελ νινθιήξσζε θαηά

παξάγνληεο ηνπ γηλνκέλνπ 2 ζπλαξηήζεσλ ηνπ x ζα

παξνπζηάζνπκε ζηα επόκελα παξαδείγκαηα.

Παράδειγμα 1: To γηλόκελν δύλακεο ηνπ x κε κία

ηξηγσλνκεηξηθή ζπλάξηεζε ηνπ x κπνξεί λα ππνινγηζηεί

αθξηβώο.

5

1x xdx

Έζησ 5( ) ( )f x x g x x .

Γξάθνπκε ηηο παξαγώγνπο ηεο f σο πξνο x ζε κία

ζηήιε θαη ηα νινθιεξώκαηα ηεο g σο πξνο x ζε

δεύηεξε ζηήιε, ζπλερίδνληαο κέρξη ηελ γξακκή όπνπ ε ( )nf γίλεηαη 0.

x5 ζπλx

5x4 εκx

20x3 -ζπλx

60x2 -εκx

120x ζπλx

120 εκx

0 -ζπλx Οπόηε:

I1=x5εκx+5x4ζπλx-20x3εκx-60x2ζπλx+120xεκx+120ζπλx+c

+

-

+

-

+

-

Παράδειγμα 2: Τν γηλόκελν κηαο εθζεηηθήο ζπλάξηεζεο κε

κία ηξηγσλνκεηξηθή

2

axe bxdx

Έζησ ( ) axf x e θαη ( )g x bx . Γνπιεύνπκε όπσο ζην

παξάδεηγκα 1, αιιά ζπλερίδνπκε σο ηε γξακκή όπνπ ην

γηλόκελν ( )n

nf g είλαη ζηαζεξό πνιιαπιάζην ηνπ δνζέληνο.

eαx εκbx

αeαx 1bx

b

α2eαx 2

1bx

b

+

-

+

2

22 2

1ax ax ax axae bxdx e bx e bx

b b

ae bxdx

b

2

2 22 2

2

2 2 22 2 2 2

1

1

ax ax ax

ax

ax

a ae bxdx e bx e bx

b b b

e b bx a bxa ae bx bx c

b b b a b

Παράδειγμα 3: 3

2xxe xdx

xex εκ2x

(x+1)ex 12

2x

(x+2)ex 12

4x

+

-

+

3

1 1 12 ( 1) 2 ( 2) 2

2 4 4

x x xxe x e x x x e xdx

3

1 1 1 12 ( 1) 2 2 2

2 4 4 2

x x x xxe x e x x xe xdx e xdx

I3

3 3

1 1 1 12 ( 1) 2 2

4 2 4 2

x x xxe x e x x e xdx

3

2 1 22 ( 1) 2 2 (1)

5 5 5

x x xxe x e x x e xdx

I

Έζησ 2xe xdx

ex εκ2x

ex 12

2x

ex 12

4x

1 1 12 2 2 2

2 4 4

x x x xe xdx e x e x e xdx

1 1 12 2

2 4 4

x xe x e x 2 12 2

5 5

x xe x e x (2)

(1)(2)

3

2 1 4 22 ( 1) 2 2 2

5 5 25 25

x x x xxe x e x x e x e x

33 5 2 (4 10 ) 2

25

xex x x x c

+

-

+

Βιβλιογραθία:

[1] J.B.Reynolds, Undetermined coefficients in integration,

American Mathematical Monthly, vol. 54 (1947), pp. 37-38.

[2] K.W.Folley, Integration by parts, American Mathematical

Monthly, vol. 54 (1947), pp. 542-543.

[3] M.R.Spiegel, Partial fractions with repeated linear or

quadratic factors, American Mathematical Monthly, vol. 57

(1950), pp. 180-181.

[4] Γ. ηραηηγόποσλος, Ανώηερα Μαθημαηικά, Κλαζζική

Ανάλσζη, Εκδόζεις Πανεπιζηημίοσ Παηρών, Πάηξα 1989.

Α ΔΤΥΑΡΗΣΩ ΠΟΛΤ