TESTES DE HIPÓTESES Noturno/Aula 8... · Tipos de Hip oteses Tipos de erros Constru˘c~ao de um...

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Introdu¸ ao Testes de hip´ oteses para a m´ edia (μ) Testes de hip´ oteses para a propor¸ ao (π) Exerc´ ıcios TESTES DE HIP ´ OTESES Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 16 e 18 de outubro de 2017 Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ ESTAT ´ ISTICA ECON ˆ OMICA - TURMA 1000

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IntroducaoTestes de hipoteses para a media (µ)

Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

TESTES DE HIPOTESES

Lucas Santana da Cunhahttp://www.uel.br/pessoal/lscunha/

Universidade Estadual de Londrina

16 e 18 de outubro de 2017

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ ESTATISTICA ECONOMICA - TURMA 1000

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses

Introducao

Viu-se a construcao de intervalos de confianca e que eles podemser usados para tirar conclusoes a respeito de parametros dapopulacao;

Entretanto, existem situacoes em que e necessario decidir seuma determinada hipotese especıfica e verdadeira ou nao. As-sim, lanca-se mao dos chamados testes de hipoteses;

Portanto, teste de hipoteses e uma suposicao ou afirmacao re-lativa a uma ou mais populacoes, baseada nos parametros po-pulacionais, que pode ser verdadeira ou falsa.

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IntroducaoTestes de hipoteses para a media (µ)

Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses

Introducao

Viu-se a construcao de intervalos de confianca e que eles podemser usados para tirar conclusoes a respeito de parametros dapopulacao;

Entretanto, existem situacoes em que e necessario decidir seuma determinada hipotese especıfica e verdadeira ou nao. As-sim, lanca-se mao dos chamados testes de hipoteses;

Portanto, teste de hipoteses e uma suposicao ou afirmacao re-lativa a uma ou mais populacoes, baseada nos parametros po-pulacionais, que pode ser verdadeira ou falsa.

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IntroducaoTestes de hipoteses para a media (µ)

Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses

Introducao

Viu-se a construcao de intervalos de confianca e que eles podemser usados para tirar conclusoes a respeito de parametros dapopulacao;

Entretanto, existem situacoes em que e necessario decidir seuma determinada hipotese especıfica e verdadeira ou nao. As-sim, lanca-se mao dos chamados testes de hipoteses;

Portanto, teste de hipoteses e uma suposicao ou afirmacao re-lativa a uma ou mais populacoes, baseada nos parametros po-pulacionais, que pode ser verdadeira ou falsa.

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses

A ideia basica e que a partir de uma amostra da populacao seraestabelecida uma regra de decisao, segundo a qual a hipoteseproposta sera nao rejeitada ou rejeitada. Esta regra de decisaoe chamada de teste.

Para conduzir um teste de hipotese, vamos considerar duasafirmacoes a respeito do parametro as quais chamaremos dehipotese nula, H0 e hipotese alternativa, H1.

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses

A ideia basica e que a partir de uma amostra da populacao seraestabelecida uma regra de decisao, segundo a qual a hipoteseproposta sera nao rejeitada ou rejeitada. Esta regra de decisaoe chamada de teste.

Para conduzir um teste de hipotese, vamos considerar duasafirmacoes a respeito do parametro as quais chamaremos dehipotese nula, H0 e hipotese alternativa, H1.

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses

Tipos de Hipoteses

A hipotese nula e expressa sempre pela igualdade. Assim, as possıveishipoteses sao:

a) H0 : θ = θ0 vs H1 : θ 6= θ0 (para testes bilaterais);

b) H0 : θ = θ0 vs H1 : θ > θ0 (para testes unilaterais a direita);

c) H0 : θ = θ0 vs H1 : θ < θ0 (para testes unilaterais a es-querda).

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses

Exemplos

Alguns exemplos de hipoteses estatısticas sao:

a) A altura media da populacao brasileira e superior a 1,65 m;

c) A proporcao de paulistas com aplicacoes financeiras e inferiora 12%;

d) O tempo medio para a realizacao de um teste e de 80 min.

e) A media do consumo de gasolina e a mesma para duas marcasdiferentes de carros;

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses

Tipos de erros

Ao testarmos uma hipotese chegamos a uma decisao (de rejeitar ounao H0) que pode ser correta ou incorreta. Ao concluirmos a favor,ou contra H0, estamos sujeitos a dois tipos de erros.

Situacao Real

H0 verdadeira H0 falsa

Nossa decisaoRejeitar H0 Erro do tipo I Decisao correta

nao rejeitar H0 Decisao correta Erro tipo II

α = P(Erro do tipo I) = P(rejeitar H0 dado H0 verdadeira);

β = P(Erro do tipo II) = P(nao rejeitar H0 dado H0 falsa).

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses

Construcao de um teste de hipoteses

1) Formulacao da hipotese nula H0 (a ser testada) e da hipotesealternativa H1;

2) Use a teoria estatıstica e as informacoes disponıveis para decidirqual estatıstica (estimador) sera usada para testar a hipoteseH0;

3) Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valorpara construir a regiao crıtica (regra de decisao);

4) Use as observacoes da amostra para calcular o valor da es-tatıstica do teste;

5) Se o valor da estatıstica calculado com os dados da amostranao pertencer a regiao crıtica, nao rejeite H0, caso contrario,rejeite H0.

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses

Construcao de um teste de hipoteses

1) Formulacao da hipotese nula H0 (a ser testada) e da hipotesealternativa H1;

2) Use a teoria estatıstica e as informacoes disponıveis para decidirqual estatıstica (estimador) sera usada para testar a hipoteseH0;

3) Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valorpara construir a regiao crıtica (regra de decisao);

4) Use as observacoes da amostra para calcular o valor da es-tatıstica do teste;

5) Se o valor da estatıstica calculado com os dados da amostranao pertencer a regiao crıtica, nao rejeite H0, caso contrario,rejeite H0.

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses

Construcao de um teste de hipoteses

1) Formulacao da hipotese nula H0 (a ser testada) e da hipotesealternativa H1;

2) Use a teoria estatıstica e as informacoes disponıveis para decidirqual estatıstica (estimador) sera usada para testar a hipoteseH0;

3) Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valorpara construir a regiao crıtica (regra de decisao);

4) Use as observacoes da amostra para calcular o valor da es-tatıstica do teste;

5) Se o valor da estatıstica calculado com os dados da amostranao pertencer a regiao crıtica, nao rejeite H0, caso contrario,rejeite H0.

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses

Construcao de um teste de hipoteses

1) Formulacao da hipotese nula H0 (a ser testada) e da hipotesealternativa H1;

2) Use a teoria estatıstica e as informacoes disponıveis para decidirqual estatıstica (estimador) sera usada para testar a hipoteseH0;

3) Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valorpara construir a regiao crıtica (regra de decisao);

4) Use as observacoes da amostra para calcular o valor da es-tatıstica do teste;

5) Se o valor da estatıstica calculado com os dados da amostranao pertencer a regiao crıtica, nao rejeite H0, caso contrario,rejeite H0.

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses

Construcao de um teste de hipoteses

1) Formulacao da hipotese nula H0 (a ser testada) e da hipotesealternativa H1;

2) Use a teoria estatıstica e as informacoes disponıveis para decidirqual estatıstica (estimador) sera usada para testar a hipoteseH0;

3) Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valorpara construir a regiao crıtica (regra de decisao);

4) Use as observacoes da amostra para calcular o valor da es-tatıstica do teste;

5) Se o valor da estatıstica calculado com os dados da amostranao pertencer a regiao crıtica, nao rejeite H0, caso contrario,rejeite H0.

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IntroducaoTestes de hipoteses para a media (µ)

Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Variancia conhecidaVariancia desconhecida

Variancia conhecida

Se temos um teste para a media em que a variancia e conhe-cida, entao, a estatıstica do teste e dada por:

Z =Y − µ0σ√n

∼ N(0, 1)

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Variancia conhecidaVariancia desconhecida

Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0, entao

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Variancia conhecidaVariancia desconhecida

Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0, entao

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Variancia conhecidaVariancia desconhecida

Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0, entao

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Variancia conhecidaVariancia desconhecida

Exemplo 1

Um fabricante informa que a duracao media da vida de um equipa-mento e 500 horas com desvio padrao de 5 horas. Foram amostra-das 100 desses equipamentos, obtendo-se media de 498 horas. Haevidencias suficientes para rejeitar a afirmacao do vendedor, com umnıvel de confianca de 95%?

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Variancia conhecidaVariancia desconhecida

Exemplo 2

Num estudo de custos de seguro contra colisao de automoveis, umaamostra de n = 35 consertos de colisoes frontais contra um muro auma velocidade especıfica teve um custo medio de 1438,00 unidadesmonetarias. Sabendo σ = 269, 00 unidades monetarias, pode-seafirmar que o custo medio verdadeiro e inferior a 1500,00 unidadesmonetarias, a um nıvel de significancia de 5%?

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Variancia conhecidaVariancia desconhecida

Variancia desconhecida

Se temos um teste para a media em que a variancia e desco-nhecida, entao, a estatıstica do teste e dada por:

T =Y − µ0

s√n

∼ t(α,n−1)

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Variancia conhecidaVariancia desconhecida

Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0, entao

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Variancia conhecidaVariancia desconhecida

Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0, entao

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Variancia conhecidaVariancia desconhecida

Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0, entao

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Variancia conhecidaVariancia desconhecida

Exemplo 1

O gerente de um banco presume que a renda media anual de seusclientes e no maximo R$ 38000,00. Uma amostra aleatoria de 60clientes acusou uma media de R$ 39500,00 e um desvio padrao deR$ 3000,00. Considerando um nıvel de significancia de 2,5%, pode-se dizer que a renda media anual dos clientes desse gerente e superiora R$ 38000,00?

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Teste de hipoteses para Proporcao

Se temos um teste para a proporcao, π, entao, a estatısticado teste e dada por:

Z =P − π√π(1−π)

n

∼ N(0, 1).

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Se H0 : π = π0 vs H1 : π 6= π0, entao

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Se H0 : π = π0 vs H1 : π < π0, entao

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Se H0 : π = π0 vs H1 : π > π0, entao

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Exemplo 1

Uma estacao de televisao afirma que 60% dos telespectadores es-tavam ligados no seu programa especial da ultima segunda-feira.Um canal concorrente contestando tal afirmacao decide coletar umaamostra com 200 famılias e perguntar se o programa escolhido pelafamılia era o programa do canal concorrente. Na amostra foramregistradas 104 respostas afirmativas. O que voce conclui ao nıvelde 5% de significancia?

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Exercıcios

Exercıcio 1

Numa industria de autopecas, sabe-se que o nıvel de dureza de umproduto feito a base de ceramica tem variabilidade σ2 = 0, 49. Umaamostra de 16 pecas foram testadas e o resultado e apresentadoabaixo:

18,1 19,0 18,8 18,5 18,1 18,8 18,1 18,018,5 19,8 17,8 19,1 18,0 19,2 19,8 19,2

Com um nıvel de significancia de 10%, pede-se:

a) pode-se afirmar que a media do nıvel de dureza e superior a18,4?

b) testar a hipotese bicaudal de que a media e igual a 18,4.

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Exercıcio 2

Em fevereiro de 2016, o custo medio para um voo domestico compassagens de ida e volta com desconto foi de R$ 290,00. Umaamostra aleatoria dos precos de 15 passagens de ida e volta comdesconto durante o mes de marco forneceu os seguintes valores:

310 260 265 255 300 310 230 250265 280 290 240 285 250 260.

Usando α = 5% de significancia, pode-se dizer que o preco medioda passagem de ida e volta, com desconto, diminui em marco, emrelacao a fevereiro?

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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios

Exercıcio 3

Um fabricante de creme dental alega que no maximo 3% dos seusprodutos apresentam menos de 100 gramas por embalagem. Umaamostra aleatoria com 300 produtos revelou que 14 possuıam menosde 100 gramas. Assumindo o nıvel de significancia de 1% e possıveldizer que o fabricante esta mentindo?

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ ESTATISTICA ECONOMICA - TURMA 1000