Test hipótesis

1

RELACIÓN 6. TESTS DE HIPOTESIS PARAMETRICOS

1.- La nicotina contenida en 5 cigarrillos de cierta clase dio una media de 21.2 miligramos y una desviación típica de 2.05 miligramos. Suponiendo que la distribución es normal, contrastar la hipótesis de que la nicotina media en esta clase de cigarrillos no excede de 19.7 miligramos al nivel = 0.05.

X = { Nicotina contenida en un cigarrillo }

5; 21.2; 2.05n x

0 0

1 0

: 19.7

: 19.7

H

H

( ; )X N

2

; 1 0.05; 40.05; 2.132nt t

Criterio de rechazo: exp ; 1nt t

0 0exp

21.2 19.71.463

ˆ 2.051 4

X X

Sn n

t

No rechazamos H0 La nicotina media

en esta clase de cigarrillos no excede de 19.7

5; 21.2; 2.05n x

0 0

1 0

: 19.7

: 19.7

H

H

0.050.95

0.05;4texpt

Estadístico de contraste:0

1nx

Sn

t

3

2.- Una variable estudiada por los biólogos es la temperatura interna del cuerpo en los animales poiquilotermos (animales cuya temperatura corporal fluctúa con el ambiente circundante). El nivel letal (DL50) para los lagartos del desierto es de 45ºC. Se ha observado que la mayor parte de estos animales se oculta del calor en verano para evitar aproximarse a este nivel letal. Se realiza un experimento para estudiar X: “Tiempo (minutos) que se requiere para que la temperatura del cuerpo de un lagarto del desierto alcance los 45ºC partiendo de la temperatura normal de su cuerpo mientras está a la sombra”. Se obtuvieron las siguientes observaciones:

X = {Tiempo en alcanzar 45º C }

a.- Hallar estimaciones puntuales de la media y la varianza.

b.- Supóngase que X es normal. ¿Puede concluirse que el tiempo medio requerido para alcanzar la dosis letal es inferior a 13 minutos?. ¿Puede concluirse que la desviación típica de X sea inferior a 1.5 minutos?

10.1 12.5 12.2 10.2 12.8 12.1

11.2 11.4 10.7 14.9 13.9 13.3

4

a.-

1

1 145.312.1083

12

n

ii

x xn

2 2 22

1 1

1 1n n

i i i ii i

n x x n x xn n

211783.39 12.1083 2.004; 1.415

12

1.478922 12

2.004 2.187 ;1 11

n

nSS

X = {Tiempo en alcanzar 45º C }

5

b.-

0 0

1 0

: 13

: 13

H

H

( ; )X N

b-1.

; 1 0.05;1112; 0.05 ; 1.796nn t t

0exp

12.1083 132.0886

1.478912

X

Sn

t

exp ; 1nt t Criterio de rechazo:

Rechazamos H0 Puede concluirse que

el tiempo medio para alcanzar la dosis letal es inferior a 13 minutos

0.05 0.95

0.05;11texpt

12.1083 1.4789;x S


1nx

Sn

t

6

b-2.

22 21 0

22 21 0

: 1.5

: 1.5

H

H

22

exp 20

11 2.18710.692

21.5

1n S

2 21 ; 1 0.95;1112; 0.05; 4.57nn

2 2exp 1 ; 1n Criterio de rechazo:

No Rechazamos H0 No Puede concluirse que la desviación típica de X sea inferior a 1.5 minutos

12.1083 ; 1.4789x S

( ; )X N

0.950.05

20.95;11 2

exp

Estadístico de contraste: 2

2212

0

1n

n S

7

3.- En una fábrica de productos estéticos, se analiza el contenido en los tubos de una determinada crema hidratante. Se toman 10 tubos y se determina el contenido en gramos de crema de cada uno de ellos, obteniendo los siguientes resultados:

Tubo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Contenido 5.2 4.9 5 5.1 5.2 4.8 4.9 5.3 4.6 5.4

Por otras muchas determinaciones se sabe que la desviación típica de la población es de 0.10 gramos y queremos averiguar si los valores anteriores son compatibles con la media = 5 gramos para la población, supuesta esta normal.

X = { Contenido de crema } ( ; 0.1 )X N

0 0

1 0

: 5

: 5

H

H

10; 5.04; 0.10n x

8

0exp

5.04 51.26

0.110

XZ

n

2 0.0250.05; 1.96z z

Criterio de rechazo:exp

2

exp2

z z

z z

No Rechazamos H0 Los valores

anteriores son compatibles con la media = 5 gramos para la población

0 0

1 0

: 5

: 5

H

H

10; 5.04; 0.10n x

0.950.025 0.025

/ 2z/ 2z expz

0 (0;1)X

Z N

n

Estadístico de Contraste:

9

4.- En un anuncio publicitario se indica que un determinado tipo de agua reduce peso. Doce individuos que decidieron tomar dicha agua en sustitución de la que tomaban habitualmente, manteniendo intacta el resto de la dieta alimenticia sufrieron las siguientes variaciones de peso al cabo de cierto tiempo:

Teniendo en cuenta estos datos, ¿se puede afirmar la veracidad del anuncio?

0 0

1 0

: 0

: 0

H

H

X = { Variación de Peso } ( ; )X N

12; 0.075n x

2 22 25.030.075 0.4135

121

1 ni i

in x x

n

22 12 0.4135 0.451; 0.6716111

n Sn

S

Individuo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Variación de peso

0.2 0 1 0.6 -0.5 -0.6 -1 0.6 1 0.5 -0.4 -0.5

12; 0.075; 0.6716n x S

10

0exp

0.075 0 0.3860.6716

12

XSn

t

; 1 0.05;110.05; 1.796nt t

No Rechazamos H0 No se puede

afirmar la veracidad del anuncio

12; 0.075; 0.6716n x S

0 0

1 0

: 0

: 0

H

H


0.05 0.95

0.05;11t expt


1nx

Sn

t

11

a.- X = { Concentración calcio } ( ;1)X N

0 0

1 0

: 6

: 6

H

H

9; 6.2n x

2 22 92 4 4 4.5; 2.1213

1 8; ; n

S Sn

5.- El calcio se presenta normalmente en la sangre de los mamíferos en concentraciones de alrededor de 6 mg/100ml de sangre total. La desviación típica normal de esta variable es 1 mg. de Calcio por cada 100 ml de sangre total. Una variabilidad mayor que ésta puede ocasionar graves trastornos en la coagulación de la sangre. Una serie de nueve pruebas realizadas sobre un paciente revelaron una media muestral de 6.2 mg de Calcio por 100 ml de sangre total y una desviación típica muestral de 2 mg de calcio por cada 100 ml de sangre.

a) ¿Hay alguna evidencia con = 0.05 de que el nivel medio de calcio para este paciente sea más alto de lo normal?

b) ¿Hay alguna evidencia, a un nivel = 0.05, de que la desviación típica del nivel de calcio sea más alta de la normal?

12

; 1 0.05;80.05; 1.86nt t

0exp

6.2 60.2828

2.12139

X

Sn

t

No Rechazamos H0 No hay evidencia de que

el nivel medio de calcio sea más alto de lo normal

2.12139; 6.2; Sn x

0 0

1 0

: 6

: 6

H

H


0.050.95

0.05;8texpt

a.-


1nx

Sn

t

13

2 2 20 0

2 2 21 0

: 1

: 1

H

H

22 22

exp 2 2 20 0

1 9 236

1

n S n

Criterio de rechazo:2 2

exp ; 1n

2 2; 1 0.05; 80.05; 15.5n

b.-

Rechazamos H0 Hay evidencia de que la desviación

típica del nivel de calcio es más alta de la normal

9; 6.2; 2; 2.1213n x S

20.05;8

0.050.95

2exp


2212

0

1n

n S

14

6.- En el equipo de análisis que acompaña a los acuarios para la determinación de la dureza del agua de los mismos en %, se indica que la varianza de las determinaciones es igual o menor que el 5%. Llevamos a cabo 20 determinaciones de la dureza del agua del acuario y obtenemos una varianza para los mismos igual al 6%. Si la variable determinación de la dureza del agua es normal, ¿aceptaremos la indicación con un nivel de significación de = 0.01?

220 0

221 0

: 5

: 5

H

H

220; 6n

( ; )X N X = { Dureza Agua}

15

222

exp 2 20 0

1 20 624

5

n S n

Criterio de rechazo:2 2

exp ; 1n

2 2; 1 0.01;190.01; 36.2n

No Rechazamos H0 La varianza de las

determinaciones es igual o menor que el 5%

220 0

221 0

: 5

: 5

H

H

220; 6n

20.01;19

0.010.99

2exp


2212

0

1n

n S

16

7.- Hasta muy recientemente, p, la tasa de mortalidad causada por una infección vírica del cerebro altamente mortal, la encefalitis producida por el virus del herpes simple, ha sido del 70%. Se realiza un estudio para probar un nuevo fármaco, la vidarabina, para utilizarlo en el tratamiento de la enfermedad.

Sabiendo que de 50 sujetos en los que se probó la vidarabina, 14 murieron, ¿qué puede decirse sobre la eficacia de este fármaco?

0 0

1 0

: 0.7

: 0.7

H p p

H p p

Criterio de rechazo: expz z

p = { Tasa mortalidad}

1450; 0.28

50n p

0

0 0

(0; 1)

1

p pZ N

p p

n


17

0.05. 0.05 ; 1.645za z

0.01. 0.01; 2.325zb z

0.05

0.95

0.05zexpz

0.01z

0.01

0.99

expz

Rechazamos H0 El farmaco es efectivo

Rechazamos H0 El farmaco es efectivo

0

exp0 0

0.28 0.76.48

0.7 1 0.71

50

07p p

Zp p

n

18

8.- Se quieren comparar dos poblaciones de rana pipiens aisladas geográficamente. Para ello se toman dos muestras de ambas poblaciones y se les mide la longitud del cuerpo expresado en milímetros, obteniéndose los siguientes resultados:

42Xn

52Yn

74x

78y

2 225XS

2 169YS

Contrastar la hipótesis de igualdad de medias con un nivel de significación del 5%.

X = { Longitud Ranas 1ª }; Y = {Longitud Ranas 2ª }

( ; )X X

X N ( ; )Y Y

Y N

Varianzas Poblacionales Desconocidas, Muestras Grandes

0 0: 0X Y X YH

1 0: 0X Y X YH

0

2 20;1

X Y

X Y

X YZ N

S S

n n


19

b.- Contraste Igualdad de Medias

0 0: 0x y x yH

1 0: 0x y x yH

0exp

2 2

74 78 01.3634

225 169

42 52X Y

X Y

X YZ

S S

n n

Criterio de rechazo:exp

2exp

2

z z

z z

20.05 ; 0.025 ; 1.962 z =

No rechazamos H0 Las medias son iguales

1 / 2 / 2

/ 2z/ 2z expz

0

2 20;1

X Y

X Y

X YZ N

S S

n n


20

9.- Puesto que un nivel de colesterol elevado es un factor de alto riesgo en el desarrollo de la arteroesclerosis cardiaca y coronaria, es importante determinar los niveles a esperar en los diferentes grupos de edad. Se realizó un estudio para comparar el nivel de colesterol en varones de entre 20 y 29 años frente a mujeres del mismo grupo de edad. Se obtuvieron los siguientes resultados:

a.- Comprobar si hay diferencias en las varianzas poblacionales

b.- ¿Existen diferencias significativas en los niveles medios de colesterol para hombres y mujeres?

Hombres Mujeres

25Xn

31Yn

167.16x

178.12y

30XS

32YS

X = { N. C. en Hombres }; Y = {N. C. En Mujeres }

( ; )X X

X N ( ; )Y Y

Y N

21

a.- Contraste Igualdad de Varianzas, = 0.052 2

0

2 21

:

:

X Y

X Y

H

H

2 2

exp 2 230

0.878932

x

y

SF

S

0.025; 24, 30 0.975; 24, 300.025; 30, 24

1;

12.14 0.45

2.21F F

F

No rechazamos H0 Las varianzas son iguales

25Xn

31Yn

167.16x

178.12y

30XS

32YS


2

1 ; 12 X Y

X

Y

n nS

F FS

exp 1 ; 1, 12

exp ; 1, 12

X Y

X Y

n n

n n

F F

F F

Criterio de rechazo:

0.025

0.025

0.95

0.975; 24, 30F 0.025; 24, 30FexpF

22

2 2 2 22 1 1 24 30 30 32

968.882 54

x x y yp

x y

n S n SS

n n

0exp

167.16 178.12 01.309

1 1 1 131.127

25 31pX Y

X Y

Sn n

t


0 0: 0X Y X YH

1 0: 0X Y X YH

Varianzas desconocidas, pero iguales

20.025;54; 20.05 ; 2

X Yn nt t

31.127pS

Criterio de rechazo: 2exp ; 2X Yn nt t

2exp ; 2X Yn nt t

Estadístico de Contraste: 0

21 1 X Y

pX Y

n n

X YT

Sn n

t

23


exp 1.309t


0 0: 0X Y X YH

1 0: 0X Y X YH

2exp ; 2X Yn nt t

2exp ; 2X Yn nt t


2 0.025;54; 20.05 ; 2X Yn nt t

No rechazamos H0 Las medias son iguales

0.950.025 0.025

expt0.025;54t 0.025;54t

24

10.- Una variable de interés en el estudio de la angina de pecho en las ratas es el consumo de oxígeno, medido en mililitros por minuto. El experimento proporcionó la siguiente información:

Placebo FL113

Utilizar la información para comparar las varianzas poblacionales. ¿Hay razón suficiente para pretender que el consumo de oxígeno de las ratas que toman FL113 sea más elevado que de las que toman placebo?

9Xn

9Yn 1509x

1702y

169XS

181yS

X = { C. O. Placebo }; Y = { C. O. FL113}

( ; )X X

X N ( ; )Y Y

Y N

= 0.01

25

a.- Contraste Igualdad de Varianzas, = 0.01

2 20

2 21

:

:

x y

x y

H

H

2 2

exp 2 2

1690.871

181

X

Y

S

SF

0.005; 8, 8 7.5 ;F 0.995; 8, 80.005; 8, 8

1 10.133

7.5F

F

No rechazamos H0 Las varianzas son iguales


2

1 ; 12 X Y

X

Y

n nS

F FS

exp 1 ; 1, 12

exp ; 1, 12

X Y

X Y

n n

n n

F F

F F


0.005

0.005

0.99

0.995; 8, 8F 0.005; 8, 8FexpF

26

2 2 2 22

1 1 8 169 8 18130661

2 16

X YX Yp

X Y

n S n SS

n n

Criterio de rechazo: exp ; 2X Yn nt t

0exp

1509 1702 02.338

1 1 1 1175.103

9 9pX Y

X Y

Sn n

t

0.01;16; 20.01 ; 2.583X Yn nt t


0 0: 0X Y X YH

1 0: 0X Y X YH


175.103pS

Estadístico de Contraste: 0

21 1 X Y

pX Y

n n

X YT

Sn n

t

27

Criterio de rechazo: exp ; 2X Yn nt t

exp 2.338t

0.01;16; 20.01 ; 2.583X Yn nt t


0 0: 0X Y X YH

1 0: 0X Y X YH


0.01 0.99

0.01;16t expt

No rechazamos H0 El consumo de oxígeno

de las ratas que toman FL113 no es más elevado que las que toman placebo

28

pX = { Pr. Morir con Vacuna }

pY = {Pr. Morir Sin Vacuna }

0 0;11 1

X YX Y

X X Y Y

X Y

p p p pZ N

p p p p

n n


8 20ˆ ˆ0.08 ; 0.2100 100x yp p

11.- Se quiere comprobar la efectividad de una vacuna contra una enfermedad. Para ello se suministró la vacuna a 100 animales y se les comparó con un grupo testigo de otros 100. A los 200 se les contagió la enfermedad. Entre los vacunados murieron 8 como resultado de la enfermedad y del grupo testigo hubo 20 muertos. ¿Podemos concluir que la vacuna es eficaz en reducir la tasa de mortalidad?

0 : 0X Y X YH p p p p



29

0.050.05 ; 1.645z z

0.08 0.2 02.48

0.08 1 0.08 0.2 1 0.2

100 100

Rechazamos H0 La vacuna es eficaz

en reducir la tasa de mortalidad




0exp

1 1

X YX Y

X X Y Y

X Y

p p p pZ

p p p p

n n

0.05 0.95

expz0.05z

30

1.- Tomamos una muestra de 650 análisis de sangre realizados en un laboratorio clínico y anotamos el número de eritrocitos por mm3 de sangre. Los resultados, agrupados en 7 clases, son los que figuran en la tabla adjunta. ¿Se puede admitir que el número de eritrocitos se distribuye normalmente?

Nº de eritrocitos(millones)

Nº de análisis

Menos de 2.5 8

2.5 – 3.5 52

3.5 – 4.5 140

4.5 – 5.5 210

5.5 – 6.5 160

6.5 – 7.5 70

7.5 ó más 10

X = { Nº de eritrocitos }

0

1

:

:

H X N

H X

;

sigue otra distribución

RELACIÓN 7. TESTS DE HIPOTESIS NO PARAMETRICOS BASADOS EN LA

2

31

Nº de eritrocitos

Nº de análisis

Menos de 2.5 8 2 16 32

2.5 – 3.5 52 3 156 468

3.5 – 4.5 140 4 560 2240

4.5 – 5.5 210 5 1050 5250

5.5 – 6.5 160 6 960 5760

6.5 – 7.5 70 7 490 3430

7.5 ó más 10 8 80 17820

650 3312 17820

1

33125.09

650

1 n

i ii

x n xn

Estimación de los parámetros de la distribución.

i in x 2n xi iix

2 22 2

1 1

1 1n n

i i i ii i

n x x n x xn n

2178205.09 1.45

650

22 6501.45 1.452 1.45

6491S

n

n

32

ClasesFr. Ab.

ni Prob.

pi

V. Esp.

npi

(ni-npi)2/npi

Menos de 2.5 8 0.0138 8.97 0.1048

2.5 – 3.5 52 0.0765 49.72 0.1045

3.5 – 4.5 140 0.2168 140.92 0.0060

4.5 – 5.5 210 0.3208 208.52 0.0105

5.5 – 6.5 160 0.2476 160.94 0.0054

6.5 – 7.5 70 0.1003 65.19 0.3549

7.5 ó más 10 0.0206 13.39 0.8582

n=650 1 1.4443

r = Nº Par. Estim. = 2

Gr. de Libertad, (k – 1) – r = (7 – 1) – 2 = 4

22

11

ki i

k rii

n npY

np


Criterio de rechazo: 2

exp ; 1k rY

0

1

: 5.09; 1.45

:

H X N

H X

sigue otra distribución

33

Gr. de Libertad = 4 ;

2

2 2

exp

28 8.97

8.971

52 49.72 10 13.39 ..... 1.443

49.72 13.39

ki i

ii

n np

npY

Si hay evidencia de que los datos provienen de una distribución Normal

02 9.490.01; 40.01; H No rechazamos

22

11

ki i

k rii

n npY

np



exp ; 1k rY

20.01, 4

0.010.99

expY

34

2.- En un estudio diseñado para determinar la aceptación por parte de los pacientes de un nuevo analgésico, 1000 médicos seleccionaron cada uno de ellos una muestra de 5 pacientes para participar en el estudio. Cada médico cuenta cuantos pacientes prefieren el nuevo analgésico (después de haberlo tomado durante un tiempo determinado), obteniendo los siguientes resultados:

X 0 1 2 3 4 5

Nº médicos 30 160 300 340 146 24

Ajustar estos datos a una distribución binomial y

verificar el ajuste mediante el contraste de la .2

X = “Nº de pacientes que prefieren el nuevo analgésico de la muestra de 5”

(5; ) x

X B p x np pn

6

1

12,4840

1000

2,48400,4968 0,5

5

i ii

x n x

p p

35

0

1

: (5; )

: sigue otra distribución

H X B p

H X

Las probabilidades teóricas se expresan en la siguiente tabla:

ix in ip inp 2i in np 2 /i i in np np

0 30 0,0312 31,2 1,44 0,04615385

1 160 0,1562 156,2 14,44 0,09244558

2 300 0,3125 312,5 156,25 0,5

3 340 0,3125 312,5 756,25 2,42

4 146 0,1562 156,2 104,04 0,66606914

5 24 0,0312 31,2 51,84 1,66153846

1000 5,38620703

2exp

20,05;4

5,38620703

9,49

Admitimos el ajuste de los datos

a la distribución Binomial

22

11

ki i

k rii

n npY

np


No rechazamos Ho


exp ; 1k rY

36

3.- Se realiza una investigación sobre una nueva vacuna contra la gripe. Se elige una muestra aleatoria de 900 individuos y se clasifica a cada uno de ellos según haya contraído la gripe durante el último año o no y según haya sido vacunado o no. Se obtienen los siguientes resultados:

¿Se puede afirmar que la vacuna influye a la hora de no contraer la gripe?

Contraída la gripe

Vacunado Si No

Sí 150 200

No 300 250

0

1

:

:

H

H

Los caracteres estar vacunado y tener gripe son independientes

Los caracteres estar vacunado y tener gripe no son independientes

37

Cálculo de los valores esperados, ei j

Contraída la gripe

Vacunado Sí No Total

Sí 150

( 175 )

200

( 175 )

350

No 300

(275)

250

(275)

550

Total 450 450 900

. .i jij

n ne

n

11350 450

175900

e

12350 450

175900

e

21550 450

275900

e

22550 450

275900

e

38

Estadístico de contraste:

200.05;10.05 ; 3.84 H Rechazamos

Estar vacunado y contraer la gripe no son independientes

Se puede afirmar que la vacuna influye a la hora de no contraer la gripe


22

1 11 1

r s ij ijr siji j

n eU

e

20.05;1

0.050.95

expU

2 2

exp

2 2

(150 175) (200 175)

900 900

(300 275) (250 275)11.6883

900 900

U

exp2

; 1 1r sU

39

0

1

:

:

H

H

La leucemia y alergia son independientes

La leucemia y alergia no son independientes

4.- Se realiza un pequeño estudio piloto para determinar la asociación entre la aparición de leucemia y los antecedentes de alergia. Se selecciona una muestra de 19 pacientes con leucemia y 17 controles y se determina la existencia o no de antecedentes de alergia

¿Se puede afirmar que existe alguna asociación entre ambas variables?

Antecedentes de alergia

Paciente Si No

Control 5 12

Enfermo 17 2

40

Cálculo de los valores esperados, ei j

. .i jij

n ne

n

11 10.38917 22

36e

12

17 146.611

36e

2119 22

11.61136

e

2219 14

7.38936

e

Antecedentes alergia

Paciente Sí No Total

Control 5

(10.389)

12

(6.611)

17

Enfermo 17

(11.611)

2

(7.389)

19

Total 22 14 36

41

2 2

2 2

exp(5 10.389) (12 6.611)

36 36

(17 11.611) (2 7.389)13.6198

36 36

U

La leucemia y la alergia no son independientes

200.01;10.01; 6.63 H Rechazamos

Estadístico de contraste:


22

1 11 1

r s ij ijr siji j

n eU

e

exp2

; 1 1r sU

20.01;1

0.010.99

expU

Test hipótesis

Science

Transcript of Test hipótesis