Test du 2 : test d'indpendance et test d'homognit ...udsmed.u- Ad equation Ind ependance Cas part....

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  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Test du 2 :test dindependance et test dhomogeneite

    PCEM2 Biostatistique

    Pr. Nicolas MEYER

    Laboratoire de Biostatistique et Informatique Medicale

    Fac. de Medecine de Strasbourg

    Fevrier 2011

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Site internet du LBIM

    http ://udsmed.u-strasbg.fr/labiostat/spip.php ?article2

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Plan

    1 Principe du test

    2 2 dadequationComparaison dune proportion a une referenceComparaison dune repartition a une repartition theorique

    3 2 dindependanceComparaison de deux proportions observeesComparaison de plus de deux proportionsComparaison de plusieurs multinomiales

    4 Cas particuliersCas des series apparieesCas des petits effectifs

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Plan

    1 Principe du test

    2 2 dadequation

    3 2 dindependance

    4 Cas particuliers

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Contexte

    Cours precedent : comparaison de deux proportions

    peut se formaliser differement

    comme la comparaison de la repartition de deux distributionsbinomiales

    peut setendre a plus de deux proportions : comparaisons detrois proportions de succes

    peut setendre a la comparaisons de distributionsmultinomiales : au moins deux groupes ayant au moins deuxmodalites pour chaque variable : comparaison de la repartitionde lintensite dun symptome en 3 classes selon lexposition atrois toxiques differents

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Notion de tableau de contingence

    Exemple : Comparaison de deux proportions

    dans les cours precedents : pA = 110/200 et pB = 80/190 etcomparaison (( directe )) par le test z

    Une autre presentation est possible :

    TMT A TMT B Total

    Succes 110 80 190Echecs 90 110 200

    Total 200 190 390

    Soit un tableau a 4 cases.

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Notion de tableau de contingence

    Exemple : Comparaison de deux proportions

    dans les cours precedents : pA = 110/200 et pB = 80/190 etcomparaison (( directe )) par le test z

    Une autre presentation est possible :

    TMT A TMT B Total

    Succes 110 80 190Echecs 90 110 200

    Total 200 190 390

    Soit un tableau a 4 cases.

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Notion de loi multinomiale

    Rappel :

    la loi binomiale : B(n; p) : nombre de succes parmi n sujetsayant chacun une probabilite p davoir un succes.

    si resultat de lexperience aleatoire a plus que deux issues (doncautre que succes-echec) loi multinomiale

    Ex. : groupes sanguins : un sujet appartient a lun des 4 groupespossibles.

    modelise par la loi multinomiale

    distribution multinomiale : quand les sujets peuvent etre classesdans une parmi plus de deux modalites.

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Notion de table de contingence

    Forme generale : un tableau donnant le croisement de deuxvariables multinomiales

    F1 F2 F3 F4 F5

    Gr .1 . . . . . . . . . . . . . . . n1.Gr .2 . . . . . . . . . . . . . . . n2.Gr .3 . . . . . . . . . . . . . . . n3.Gr .4 . . . . . . . . . . . . . . . n4.

    Total n.1 n.2 n.3 n.4 n.5 n..

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Notion de table de contingence

    Forme generale du tableau de contingence (TC)

    I lignes et J colonnes soit I J cases ou cellulesdeux marges : effectifs marginaux / distributions marginales

    cellules indexees par ligne i et colonne j : cijun effectif par case : nijun effectif marginal en ligne : ni .un effectif marginal en colonne : n.jun effectif total n..

    Dans la case i ,j , il y a nij sujets ayant la caracteristique i de lavariable de ligne et la caracteristique j de la variable en colonne.

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Exemple 1 : cas general

    Soit un tableau de I lignes et de J colonnes.On note nij leffectif de la cellule i ,j , avec i (1, . . . ,I ) etj (1, . . . ,J )

    1 . . . j . . . J

    1 . . . . . . . . . . . . . . . n1.. . . . . . . . . . . . . . . . . .i . . . . . . nij . . . . . . ni .. . . . . . . . . . . . . . . . . .I . . . . . . . . . . . . . . . nI .

    Total n.1 n.j n.J

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Exemple 2 : cas le plus courant

    Pour un tableau de deux lignes et deux colonnes :

    col. 1 col. 2 total

    ligne 1 n11 n12 n1.ligne 2 n21 n22 n2.

    total n.1 n.2 n..

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Taille du tableau et degres de liberte

    Notion de degres de liberte (ddl)

    soit une table 2 2 : une fois les marges et une case connues,on peut completer le tableau un ddl, pour la case a fixerpour une table 3 3 : une fois les marges connues, il faut fixer4 cases pour pouvoir determiner les 5 cases restantes : 4 ddl

    loi du 2 : caracterisee par des ddl

    calcul du nombre de ddl pour un tableau de taille I J :nddl = (I 1) (J 1)

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Contexte et commentaires

    Utilisation du TC :

    le tableau contient generalement des effectifs et pas desproportions

    comparer deux proportions comparer deux series deffectifsdans le test du 2, on compare des repartitions deffectifs(entre 0 et ) et pas directement des proportions (entre 0 et1)

    une proportion = rapport de deux nombres : succes / echec

    mais la question est la meme : les proportions different-elles ?

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Construction du test

    On souhaite comparer deux proportions observees

    les effectifs observes subissent des fluctuations dechantillonnage

    sous H0 la repartition des effectifs en lignes est identique dunecolonne a lautre et vice-versa.

    Par exemple, sous egalite parfaite (H0) on observe :

    col. 1 col. 2 total

    ligne 1 10 10 20ligne 2 84 84 168

    total 94 94 188

    dans cet exemple :

    la repartition en colonne est lameme dune ligne a lautre

    la repartition en ligne est lameme dune colonne a lautre

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Construction du test

    On souhaite comparer deux proportions observees

    les effectifs observes subissent des fluctuations dechantillonnage

    sous H0 la repartition des effectifs en lignes est identique dunecolonne a lautre et vice-versa.

    Par exemple, sous egalite parfaite (H0) on observe :

    col. 1 col. 2 total

    ligne 1 10 10 20ligne 2 84 84 168

    total 94 94 188

    dans cet exemple :

    la repartition en colonne est lameme dune ligne a lautre

    la repartition en ligne est lameme dune colonne a lautre

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Construction du test

    On souhaite comparer deux proportions observees

    les effectifs observes subissent des fluctuations dechantillonnage

    sous H0 la repartition des effectifs en lignes est identique dunecolonne a lautre et vice-versa.

    Par exemple, sous egalite parfaite (H0) on observe :

    col. 1 col. 2 total

    ligne 1 10 10 20ligne 2 84 84 168

    total 94 94 188

    dans cet exemple :

    la repartition en colonne est lameme dune ligne a lautre

    la repartition en ligne est lameme dune colonne a lautre

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Attention !

    Legalite des repartitions en ligne et en colonnes est une egalite enproportion et pas en effectifs ! Par exemple :

    col. 1 col. 2 total

    ligne 1 10 5 15ligne 2 84 42 126

    total 94 47 141

    col. 1 col. 2 total

    0,106 0,106 0,1060,894 0,894 0,894

    1 1 1

    col. 1 col. 2 total

    0,667 0,333 10,667 0,333 1

    0,667 0,333 1

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Attention !

    Legalite des repartitions en ligne et en colonnes est une egalite enproportion et pas en effectifs ! Par exemple :

    col. 1 col. 2 total

    ligne 1 10 5 15ligne 2 84 42 126

    total 94 47 141

    col. 1 col. 2 total

    0,106 0,106 0,1060,894 0,894 0,894

    1 1 1

    col. 1 col. 2 total

    0,667 0,333 10,667 0,333 1

    0,667 0,333 1

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Attention !

    Legalite des repartitions en ligne et en colonnes est une egalite enproportion et pas en effectifs ! Par exemple :

    col. 1 col. 2 total

    ligne 1 10 5 15ligne 2 84 42 126

    total 94 47 141

    col. 1 col. 2 total

    0,106 0,106 0,1060,894 0,894 0,894

    1 1 1

    col. 1 col. 2 total

    0,667 0,333 10,667 0,333 1

    0,667 0,333 1

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Attention !

    Legalite des repartitions en ligne et en colonnes est une egalite enproportion et pas en effectifs ! Par exemple :

    col. 1 col. 2 total

    ligne 1 10 5 15ligne 2 84 42 126

    total 94 47 141

    col. 1 col. 2 total

    0,106 0,106 0,1060,894 0,894 0,894

    1 1 1

    col. 1 col. 2 total

    0,667 0,333 10,667 0,333 1

    0,667 0,333 1

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Construction du test

    Sous H0 : egalite des repartitions en lignes / colonnes

    Les effectifs observes sont tels que les proportions differentnumeriquement

    le test suppose la comparaison des effectifs observes et deseffectifs sous H0

    comment obtenir les effectifs sous H0, i.e. effectifs theoriques(attendus) sous H0 ?

  • Principe Adequation Independance Cas part.

    Construction du test

    Comment obtenir les effectifs theoriques ?

    en labsence de difference entre les repartitions entre lignes /entre colonnes, les meilleures estim