TESIS DE CHURCH-TURINGUNAD

propuso la nocin de funcin -definible como funcin efectivamente calculable. La demostracin de teoremas se convierte en una transformacin de una cadena de smbolos en otra, en clculo lambda, segn un conjunto de reglas formales.La Teora de la Computabilidad se ocupa de dividir el universo de todos los lenguajes sobre , en aquellos lenguajes que pueden ser reconocidos por algoritmos efectivos y los que no. Ello conduce a las funciones no computables, es decir, a los problemas no resolubles.

TEORA DE LA COMPUTABILIDAD

La Teora de la Computabilidad est compuesta por los siguientes niveles:

Primer nivel: divide los problemas en tres clases: Primer tipo: Problemas imposibles, no tienen solucin. Segundo tipo: Problemas ejecutables solo si disponemos de recursos ilimitados. Tercer tipo: Problemas que se pueden ejecutarse sin necesidad de recursos ilimitados.

Segundo nivel: se clasifican en funcin del tiempo que tardan en ejecutarse. Se conocen con el nombre de problemas indecidibles, impracticables o solucionables.

Tercer nivel: comprende aquellos problemas que por ejemplo requiere un tiempo linealmente proporcional a su tamao.

PRINCIPIO DE CHURCH-TURING

"Todo proceso fsico puede ser simulado por un dispositivo universal de computacin."

ENUNCIADOSCHURCH"La clase de las funciones que pueden ser calculadas mediante un algoritmo coincide con la clase de las funciones recursivas." (Tesis de Church).Apoyado en esta tesis junto a la definicin de funcin definible, encontr varios ejemplos de problemas cuya resolucin era irresoluble llegando a manifestar que el Entscheidungsproblem era uno de estos problemas.

ENUNCIADOSCHURCH"Una funcin es recursiva si y slo si es total y efectivamente computable. Una funcin es parcialmente recursiva si y slo si es efectivamente computable." Es decir, una funcin de enteros positivos es efectivamente calculable slo si es recursiva.

ENUNCIADOSTURING

"Una funcin es efectivamente computable si y slo si la funcin es Turing-computable."

Es decir, si una funcin es computable entonces puede ser computada por una mquina de Turing.

TURINGEl objetivo de Turing era el de enfrentarse al problema planteado por Hilbert (el Entscheidumgsproblem) utilizando para ello el concepto abstracto de una mquina, una mquina terica.

Turing describa en su artculo que a travs de su mquina haba conseguido caracterizar de un modo matemtico el nmero de funciones calculables, usando para ello un algoritmo, este hecho se conoce como: http://es.wikibooks.org/wiki/La_tesis_de_Church-Turing/Evoluci%C3%B3n_Hist%C3%B3rica

EntscheidungsproblemEn 1928 durante un congreso internacional D. Hilbert plante las siguientes cuestiones:

Las matemticas son 'completas', esto es, cada afirmacin matemtica se puede probar? Las matemticas son 'consistentes', esto es, es posible probar paralelamente una afirmacin y su negacin? Las matemticas son 'decidibles', esto es, se puede encontrar un mtodo definido aplicable a cualquier afirmacin matemtica, que nos de cmo resultado si es o no cierta la aseveracin evaluada?

La intencin de Hilbert era conseguir un modelo matemtico formal, completo y consistente, en el que a travs de un algoritmo, se pudiese determinar la veracidad o falsedad de cualquier proposicin formal. Este problema recibi el nombre de Entscheidungsproblem, resolverlo significara que para cualquier problema bien definido existira un algoritmo capaz de resolverlo.

CHURCH Y TURING"Todos los modelos computacionales efectivos son equivalentes a una mquina de Turing

"Todo lo que es computable por un humano es computable por una mquina de Turing"

"Toda funcin que pueda ser considerada naturalmente como computable, puede ser computada por una mquina de Turing"

TESIS FISICA DE CHURCH-TURING

"Toda funcin que pueda ser fsicamente computable, puede ser computada por una mquina de Turing"

ORIGENEl origen de la tesis de Church-Turing se encuentra en el hecho de que Turing deseaba demostrar que el problema de la decisin (Entscheidungsproblem), para el clculo de predicados, careca de solucin, es decir, era insoluble.

Se usa la palabra "tesis" en lugar de "teorema" ya que el concepto de ser computable es algo informal, sin embargo que el concepto de mquina de Turing es formal y preciso.

Aqu nos encontramos con un gran problema, puesto que la idea de la Mquina de Turing no es equivalente a cada una de las definiciones de "computabilidad" existentes.

Tesis extendida de Church-Turing

"La mquina de Turing es tan eficiente como cualquier dispositivo de computar. Es decir, si una funcin es calculable por un dispositivo hardware en tiempo para una funcin de entrada de tamao n, entonces es computable por una mquina de Turing en tiempo para un k fijo y dependiente del problema"

xito de la tesis

la tesis de Church-Turing ha sido tan exitosa que la mayora la supone verdadera. Los trminos derivados de ella, como mtodo efectivo y computable son comnmente utilizados, cuando en realidad computable se refiere a Turing-computable, en el salto entre uno y otro se encuentra la tesis de Church, y entre muchos otros conceptos y trminos comnmente utilizados en la teora de la computabilidad o funciones recursivas.

Maquinas de TuringLa mquina de Turing es un modelo matemtico abstracto que formaliza el concepto de algoritmo.

Uno de estos dispositivos ms potentes es la mquina de Turing que fue ideada por Alan Turing (1912-1954). La mquina de Turing consta de una unidad de control finito, de una cinta y de una cabeza grabadora que puede usarse para leer o para escribir sobre la cinta. Una mquina de Turing no determinstica es una cudrupla M = (K, , , s), en la queK es un conjunto finito de estados, que no contiene al estado de parada h. es un alfabeto que contiene el smbolo blanco , pero no contiene los smbolos L y R. sK es el estado inicial es una funcin de K en (K{h})({L,R}) , llamada funcin de transicin.

Para estudiar si una funcin es o no computable, utilizaremos la mquina de Turing. Consideramos dos alfabetos o y 1 y una f definida de

Una mquina de Turing, M = (K, , , s), se dice que computa la funcin f si 0, 1 y para cualquier entrada w la mquina se para y en las celdas de salida escribe la cadena de smbolos u, siendo f(w)=u.

Si existe una mquina de Turing que computa la funcin f se dice que f es computable segn Turing.

Si 0 es un alfabeto que no contiene el smbolo blanco, ni los smbolos fijos Y y N, entonces diremos que un lenguaje L es decidible segn Turing si la funcin indicador

definida por la expresin:

es computable segn Turing. Tambin se dice que M decide L o que M es un procedimiento de decisin para L.

Tambin una mquina de Turing se puede utilizar como un aceptador de lenguajes. Si 0 es un alfabeto que no contiene el smbolo blanco, diremos que una maquina de Turing M acepta una palabra w si M se para con dicha palabra. Asimismo, diremos que M acepta el lenguaje L si y slo si L = { w : M acepta w } .

Ahora surge la pregunta cul es la clase de las funciones computables segn Turing? la respuesta est clara, es la clase de las funciones -recursivas.

Una posible generalizacin de la mquina de Turing es la mquina de Turing no determinstica, en la que se sustituye la funcin de transicin por una relacin de transicin que asigna varios estados posibles a la unidad de control para un mismo smbolo de entrada ledo y un mismo estado previo. Sin embargo, se demuestra que cualquier lenguaje aceptado por una mquina de Turing no determinstica es aceptado tambin por una cierta mquina de Turing deterministica.

Qu problemas (lenguajes) no resuelve (acepta) una mquina de Turing? Si D es un diccionario infinito que da respuesta a cada cuestin del tipo: acepta (es decir, consigue parar) la mquina de Turing M la entrada w? No hay mquinas de Turing que decidan dicho lenguaje D.

A este problema se le conoce con el nombre de problema de la parada para mquinas de Turing y consiste en determinar, para una mquina de Turing arbitraria M y una entrada dada w, si M parar alguna vez partiendo de dicha entrada. Tambin se han propuesto otras mquinas diferentes a la de Turing, como las mquinas RAM (memorias de registros direccionables), los algoritmos de Markov, los sistemas de Post, las gramticas formales de Chomsky, etc. Todas ellas son equivalentes computacionalmente a la mquina de Turing. Ello nos lleva a la tesis de Church-Turing: Cualquier algoritmo se puede implementar en una mquina de Turing.

**JDC- ELECTIVA III - 2008 DescripcinLa mquina de Turing consta de un cabezal lector/escritor y una cinta infinita en la que el cabezal lee el contenido, borra el contenido anterior y escribe un nuevo valor.

Las operaciones que se pueden realizar en esta mquina se limitan a:

avanzar el cabezal lector/escritor hacia la derecha. avanzar el cabezal lector/escritor hacia la izquierda.

El cmputo es determinado a partir de una tabla de estados de la forma:

(estado, valor) (nuevo estado, nuevo valor, direccin)

JDC- ELECTIVA III - 2008

EJEMPLO 2Creacin de una maquina de turing:1. Se selecciona 2. luego aparecer la pantalla:

3. luego se empieza a agregar cada uno de los estados:

4. luego se determinan las entradas:

Donde El valor en la primera caja representa el valor actual bajo jefe de la mquina de Turing. El segundo valor es el valor que substituir el primer valor en la cinta que este paso se ha procesado una vez. El tamao de los valores en estas dos cajas se limita a un carcter. El tercer valor representa donde la cabeza se mover despus de procesar el paso

Puede ser uno de tres valores: ' R ' (cuadrado de la derecha una del movimiento), ' L ' (el movimiento dej un cuadrado), y S (la estancia puso y no mueve la cabeza). Uno podra incorporar el valor directamente, o incorporarlo del men pull-down que viene para arriba cuando la tercera caja se oprima encendido directamente.

5. al determinar las entradas que en este caso son a,x y R, nos disponemos a contruir la Maquina de turing.

6. y se sigue as sucesivamente hasta obtener la Maquina:

y despus tener la maquina se selecciona

Cuando le incita para la entrada, incorporar el "aabbcc", representando 2 b 2 c 2. Despus de oprimir

Obtenemos:

Uno puede enrollar abajo y ver la cinta, el estado actual, y la posicin de la cabeza mientras que el autmata procesa la entrada gradualmente. Uno puede ver el algoritmo en el trabajo, que es si la cabeza encuentra una "a", l lo substituye por un "x". Entonces, substituye un "b correspondiente" por una "y" y una "c correspondiente" con un "z". Esto hace que las repeticiones hasta que es posible no ms largo, y este lazo es qu hace para arriba el ciclo "q0 que abarca", "q1", "q2", y "q3". Una vez que se haga esto, el programa se cerciora de que no haya nada sino "x"s, "los y"s, y los "z"s a la izquierda en la orden correcta. En el caso de la entrada con la longitud cero, el programa va inmediatamente al estado final.

**JDC- ELECTIVA III - 2008 Infografiahttp://www.rastersoft.com/articulo/turing.html

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_de_Turing

http://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa:M%C3%A1quinas_de_Turing

M%C3%A1quinas%20de%20Post%20y%20de%20Turing.pdf

Maquinas%20de%20Turing/mt-mf-1_pdf.htm

Maquinas%20de%20Turing/TALFTema11_pdf.htm

JDC- ELECTIVA III - 2008

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