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Tesina di Modellistica e Simulazione

Ch.mo Prof. Giovanni Celentano

Giovanni Pugliese Carratelli M58/30

Settembre 2011

Universita Federico II, Napoli

Sommario

Questa tesina e stata interamente redatta in LATEX 2εe i diagrammi presentati sono stati sviluppati

con l’ausilio del pacchetto software Matlab/Simulink, i programmi che gentilmente i Prof. G.

Celentano e L. Celentano hanno messo a disposizione con il loro libro e quelli gentilmente illustrati

durante il corso.

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Indice

Sommario 3

1 Modellazione di un cavo coassiale tramite un filtro RC 7

1.1 Descrizione e introduzione per la modellazione e simulazione di un cavo per la

trasmissione di dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Dal modello fisico alle equazioni nello spazio degli stati . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Trasmissione digitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Trasmissione analogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Motore a corrente continua modello matematico e simulazioni con e senza

controllore 19

2.1 Descrizione, e introduzione per la modellazione di un motore elettrico in corrente

continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Modello di un motore elettrico in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Modellazione di un alimentatore per reti elettriche europee e americane 25

3.1 Descrizione e introduzione per la modellazione e simulazione di un alimentatore . . 25

3.2 Modello di un alimentatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.1 Alimentatore collegato alla rete elettrica Europea . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.2 Alimentatore collegato alla rete elettrica USA . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Modello linearizzato di rollio di una nave 31

4.1 Descrizione e linearizzazione del modello di rollio di una nave . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 Simulazioni con mare poco mosso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.2 Simulazioni con mare agitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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Capitolo 1

Modellazione di un cavo coassiale

tramite un filtro RC

1.1 Descrizione e introduzione per la modellazione e simu-

lazione di un cavo per la trasmissione di dati

In questo capitolo vedremo come sia possibile modellare un cavo coassiale per la trasmissione di

dati( che siano analogici o digitali ), tramite un modello matematico molto semplice: il filtro

Resistenza-Condensatore.

Un cavo elettrico, come tutti i conduttori e soggetto alla seconda legge di Ohm e presenta dunque

una resistenza al passaggio di corrente.1

E’ facile quindi immaginare che se due cavi sono concentrici tra loro, sebbene si provi ad isolarli sara

saranno comunque presenti capacita parassite. In virdelle considerazioni fatte dunque ragionevole

schematizzare un cavo per la trasmissione come un filtro RC o una successione di tanti filtri RC

per ogni elemento infinitesimo del cavo( in quest’ultimo caso si devono dimensionare le capacita

e le resistenze in maniera opportuna);nel nostro caso verra considerato il cavo di lunghezza pari

ad 1m. A questo proposito vedremo come si crea il modello nello spazio degli stati, e mostreremo

delle simulazioni di uso analizzandone limiti, pregi e casi particolari. L’immagine che segue mostra

il modello Simulink usato:

1resistenza proporzionale alla lunghezza e inversamente alla sezione

7

Modellazione di un cavo coassiale tramite un filtro RC

1.2 Dal modello fisico alle equazioni nello spazio degli stati

Il modello fisico del cavo come schematizzabile come un filtro RC come segue.

Consideriamo allora, per avere un rappresentazione in forma i-s-u implicita, che la variabile in

ingresso sia la tensione applicata e l’uscita considerata sia la tensione sulla resistenza RL sulla

destra (detta resistenza di carico). E’ allora facile poter scrivere:

x = −RC +RLx

RCRLC+

u

RCC

Da questa equazione si possono facilmente ricavare la matrice dinamica, la matrice degli ingressi,

matrice delle uscite e la matrice ingressi-uscite ( o di trasmissione ) come segue:

A1,1 =[−RC+RL

RCRLC

], B1,1 =

[1

RCC

], C1,1 =

[1], D1,1 =

[0]

Definite queste matrici abbiamo una rappresentazione nello spazio degli stati del cavo. Ricor-

diamo a tal proposito che sebbene questa non sia l’unico modello associabile al nostro cavo nella

pratica la rappresentazione ottenuta e la descrizione fisica del problema vengono fatti coincidere.

Il fatto che piu modelli matematici possano descrivere un singolo sistema fisico corrisponde al fat-

to che si possono prende in considerazione diverse grandezze fisiche ad esame. Infatti nel nostro

caso abbiamo in analisi le tensioni ma potevamo prendere in considerazione le correnti ad esempio.

Cambiare dunque il valore (e le grandezze fisiche ) delle matrici A,B,C,D corrisponde quindi a fare

8

1.3. Simulazioni

ruotare il sistema di riferimento. Avendo ora illustrato i passaggi per la descrizione matematica

del nostro cavo possiamo adesso concentrarci sulla simulazione del circuito preso in esame.

1.3 Simulazioni

1.3.1 Trasmissione digitale

Iniziamo a descrivere i risultati ottenuti dalle simulazioni partendo supponendo di utilizzare il cavo

per una trasmissione di tipo digitale. Un segnale digitale sebbene sia schematizzabile come un se-

gnale tempo discreto e quantizzato con valori discreti nell’inseme[0, 1] nella realta della trasmissioni

si ha una corrispondenza tra i livelli logici 0, 1 con delle tensioni ( nel nostro caso 0v, 5v). Per di piu

presenta sempre un certo tempo di salita e un certo tempo di discesa e dunque non e immediato il

passaggio dal valore logico 0 ad 1 e viceversa. L’interpretazione del livello logico puo dunque essere

ambigua nel caso in cui la tensione in uscita dal cavo sia particolarmente bassa; ad esempio: come

si puo interpretare la tensione in uscita da un cavo se questa e pari a 2, 5v? La risposta a questa

domanda risiede nella cacpacita di alcuni circuiti digitali di ripristinare i livelli logici. Sebbene non

vogliamo analizzare questo aspetto che riguarda altri sistemi ben piu complessi del cavo in esame,

e buona norma cercare di costruire cavi che riducano al minimo le cadute di tensione su di essi;

cadute queste che come gia accennato potrebbero portare ad una cattiva interpretazione dei livelli

logici nelle trasmissioni digitali.

Mostriamo allora delle simulazioni, utilizzando come segnale digitale una onda quadra tra 0v e 5v

ad un certa frequenza e vediamo cosa accade in uscita dal nostro sistema. I parametri utilizzati

sono:

RC = 100, RL = 500, C = 10−5

Il segnale di ingresso ( per la parte di analisi dell’uso del cavo per trasmissioni digitali restera

lo stesso) e quello mostrato nella seguente figura:

Con i valori impostati per il sistema il segnale di uscita risulta essere come il seguente:

9


Si osservi come l’ampiezza di questo segnale sia gia piu bassa rispetto a quella del segnale in

ingresso. Si noti anche come il tempo di salita del segnale in uscita sia differente rispetto a quello

del segnale in ingresso cioe e presente un transitorio ( dato in questo caso dalla presenza della

capacita ) che comporta un tempo di salita (e di discesa)al segnale in uscita. Tuttavia questo

profilo diverso per il segnale ancora non detta forti ambiguit sui livelli logici.

Adesso modifichiamo i valori alcuni valori del sistema e verifichiamo quello che accade al segnale in

uscita, poniamo dunque a tal proposito C = 10−4ohm aumentando cioe di un ordine di grandezza

la capacita

Si osservi come gia la variazione della capacita risulti in una degenerazione totale del segnale in

uscita ed una difficile interpretazione dei livelli logici. E’ anche chiaro che la variazione di capacita

10

1.3. Simulazioni

di un ordine di grandezza non e apprezzabile su cavi di piccola dimensione ma diventa un fatto

possibile su cavi aventi lunghezze sensibili ( si pensi ad esempio ai cavi usati per le connessione

di rete Ethernet, questi per avere una buona comunicazione possono essere lunghi al massimo 100

metri). Risulta essere quindi molto importante creare buone guaine isolanti al fine di farle resistere

agli agenti atmosferici e cambi di temperatura; migliori sono gli isolanti tanto minori infatti saranno

le capacita parassite.

Degenerazioni ancora peggiori per trasmissioni digitali si possono avere con variazioni di due

ordini di grandezza della capcita (C = 10−3) parassita come mostrato nella seguente immagine:

Visto quanto puo far degenerare la qualita del segnale con un variazioni delle capcita parassite

mostriamo cosa accade con una resistenza RC = 75ohm ( resistenza tipica dei cavi per ogni metro

)

Come nel caso di con RC = 100 il segnale, sebbene minimamente distorto nel profilo risulta

ben distinguibile e con ragionevoli valori delle ampiezze.

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Tuttavia se dovesse per qualunque motivo cresce la resistenza interna ( ad esempio per via di una

variazione di temperatura o uno scarso isolamento)del cavo passando dai tipici 75ohm a circa 250

il segnale non solo perde il profilo originale ma riceve un forte riduzione in ampiezza che potrebbe

ancora una volta portare ad una cattiva interpretazione dei livelli logici a valle del cavo come

mostrato nella prossima figura:

E’ doveroso quindi in questa parte conclusiva fare una osservazione a riguardo del fatto che la

crescita di uno dei due parametri R o C porta il sistema cavo a distorcere il segnale. Questo e

dovuto al fatto che il prodotto 1/RC nel modello preso in esame la cosi detta costante di tempo

del sistema.

1.3.2 Trasmissione analogica

Prendiamo ora il caso che il cavo che e stato modellato venga impiegato nella trasmissione di un

segnale analogico o tempo continuo 2. In questa circostanza per chiarire al meglio il funzionamento

verranno mostri oltre ai grafici nel dominio del tempo delle evoluzioni del segnale, anche i grafici

della funzione di trasferimento del cavo al variare di parametri. In questa fase iniziale consideriamo

il cavo con i parametri uguali a quelli usati nel primo caso della trasmissione digitale cioe RC =

100, RL = 500, C = 10−5; consideriamo anche un segnale di ingresso avente questa forma analitica:

u(t) = sin(2π100t) + sin(2π1000t)

e mostrato nel seguente grafico:

2sebbene il termine analogico e tempo continuo sia usati come sinonimi la differenza e che un segnale tempo

continuo ha il domino del tempo con una inifita non numerabile di valori ma cio non e detto per le ampiezze; per

segnale analogico invece si intende un segnale che sia un infinita non numerabile di valori temporali e di ampiezza.

In questo testo vengono usati come sinonimi

12

1.3. Simulazioni

Questo segnale e composto da due sinusoidi a diversa frequenza sommate tra loro. Siccome il

nostro modello del cavo e un modello lineare e possibile applicare il principio di sovrapposizione

degli effetti e dunque l’uscita del sistema risultera anche essa composta da due sinusoidi sempre

a due frequenze diverse magari con una differenza di fase e/o di ampiezza rispetto all’ingresso.

L’uscita del nostro sistema a questo ingresso visualizza proprio questa variazione di ampiezza (

passa dal valore di circa 1v a circa 0.8) e la soppressione delle sinusoide a 1000Hz 3).

Il caso semplice di questo segnale puo essere esteso a segnali ben piu complessi. Un esempio di

grande carattere pratico puo essere quello della trasmissione di un segnale vocale appositamente

3e anche presente un differenza di fase sebbene non si visualizzi correttamente nel grafico

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registrato. E’ chiaro che in realta il segnale vocale una variazione di pressione dell’aria intorno

alla sorgente del suono; per mettere quindi in ingresso un segnale vocale in un cavo ( o filtro Rc )

e necessario usare un apposito trasduttore ( microfono ), che permette una corrispondenza 1 a 1(

idealmente almeno ) tra il profilo della pressione e una tensione elettrica.

Il profilo del segnale in che dunque verra messo in ingresso al sistema per la nostra simulazione

(mantenendo i parametri di iniziali ) e quello della registrazione dell’autore di questo testo nel

pronunciare la frase “Salve Professore”. L’immagine che segue mostra il grafico:

Con questi parametri allora l’uscita sara:

E’ evidente che il cavo che stiamo simulando distorce fortemente il segnale vocale registrato (

o almeno un parte di esso, delle componenti armoniche di esso); cioe il segnale vocale in uscita dal

14

1.3. Simulazioni

nostro sistema non corrisponde, a quello messo in ingresso come avveniva nel caso precedente con

la sinusoide. Un ingrandimento permette una migliore interpretazione grafica.

Ecco la prima parte del segnale in ingresso:

e la relativa uscita:

Si osservi da questi grafici come il segnale risulta distorto ed attenuto. Esso risulta distorto solo

in alcune frequenze. Vediamo ora cosa accade variando i paramenti RC lasciando RL inalterato

essendo questo il carico. Poniamo ad esempio RC = 1; in questo caso l’uscita sara:

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Il semplice passaggio del valore di resistenza da 100 a 1 permette un passaggio del segnale senza

eccessive distorsioni sul cavo. Sono allora evidenti i vantaggi di bassi valori per le capacita parassite

e delle resistenze interne del cavo che si possono ottenere costruendo cavi di ragionevole sezione e

con buoni isolanti per ridurre le capacita parassite.

Per chiarire ulteriormente quanto detto e bene introdurre il concetto di banda passante. Questo

concetto e intrinsecamente legato all’uso di strumenti matematici quali le trasformate nello spazio

delle frequenze di cui non si parlera e dunque verra dato per scontato il fatto che un segnale possa

essere rappresentato univocamente oltre che nel tempo anche in frequenza.

Guardiamo allora lo spettro del segnale che mettiamo in ingresso al sistema e successivamente

mostriamo il diagramma di Bode della funzione di risposta armonica del nostro cavo, un volta con

RC = 100 ed una volta con RC = 1.

La rappresentazione in frequenza ( il grafico delle ampiezze e il centrale) del segnale in ingresso e:

Si osservi come la parte principale del contenuto spettrale sia nelle frequenze comprese tra 0Hz e

2000Hz Ora guardiamo la funzione di risposta armonica del nostro filtro con RC = 100

16

1.3. Simulazioni

Ora da questi due grafici si capisce una proprieta molto importante, cioe il sistema ( lasciando

perdere i valori della fase ) lascia passare alcune frequenze(o armoniche) ed altre no. Nel caso

appena mostrato le frequenze che non subiscono alterazioni possono considerarsi quelle a partire

da 0Hz fino a circa 1000Hz. Siccome il nostro segnale in ingresso ha componenti spettrali fino a

2000Hz circa quelle nell’intervallo tra 1000Hz e 2000Hz vengono attenuate ed ecco il perche nei

primi grafici del segnale vocale mostrati il segnale in uscita risulta avere un profilo diverso( come

se fosse “meno preciso” ). Il circuito che modella il cavo allora e un filtro in frequenza.

Passiamo ora nel caso in cui RC = 1 il diagramma di Bode della funzione di trasferimento risulta

essere il seguente:

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Si osservi quindi come le componenti che non vengono attenuate sono quelle fino a 105Hz ed

essendo le componenti importanti del segnale in ingresso fino a 2000Hz quando esso e posto in

ingresso ad un cavo con RC = 1 non risulta distorto in nessuna delle sue armoniche principali. In

altre parole il cavo presenta un certa banda passante (intervallo di frequenze significative dove non

vengono soresse o ridotte armoniche in ingresso) e questa per una corretta ricezione del segnale in

uscita deve essere sempre maggiore della banda del segnale.

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Capitolo 2

Motore a corrente continua

modello matematico e simulazioni

con e senza controllore

2.1 Descrizione, e introduzione per la modellazione di un

motore elettrico in corrente continua

In questa parte di questa tesina si vuole costruire il modello matematico di un motore elettrico. Co-

me per tutti i sistemi fisici piu modelli matematici possono rappresentare il sistema fisico. Per mo-

dellare questo sistema verra considerata come variabile di ingresso la tensione ai capi dell’armatura

dello statore e come uscita la velocita angolare dell’albero.

2.2 Modello di un motore elettrico in corrente continua

Schematicamente e possibile rappresentare la parte elettrica del motore un circuito RL in quanto

sicuramente questa presentera una resistenza al passaggio della corrente, e gli avvolgimenti(sia del-

lo statore che del rotore) possono essere immaginati come un singolo induttore.Nel circuito appena

descritto vi e poi da tenere presente anche la forza elettro-motrice necessaria al movimento dell’as-

se(caduta di tensione e nell’immagine che segue). Schematicamente si puo quindi rappresentare il

tutto come nella seguente immagine:

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Motore a corrente continua modello matematico e simulazioni con e senza controllore

Il modello matematico di tale schema e abbastanza semplice se si considera Va = u1, la corrente

che scorre nel circuito i = x1 ed Cr = u2 ed ω = x2. Applicando l’equilibrio elettrico si ha infatti

che:

u1 = Rx1 + Lx1 + e (2.1)

,tenendo a mente poi che la forza elettromotrice puo considerarsi proporzionale alla velocita ango-

lare si puo riscrivere la precedente equazione come segue:

u1 = Rx1 + Lx1 +Kvx2

Oltre alla parte elettrica appena considerata si deve applicare l’equilibrio meccanico all’albero di

rotazione ( che costituisce la parte rotorica); si ha dunque che la coppia motrice Cm e proporzionale

alla corrente e quindi: Cm = Kcx1. Ma la coppia motrice deve essere bilanciata come segue:

Kcx1 = Ix2 +Kax2 + u2

per il secondo principio della dinamica e dove Kax2 e il termine viscoso e u2 e l’ingresso di

disturbo ovvero al coppia resistente Cr. In conclusione si ha quindi un sistema dove l’uscita si

considera y = x2. Il sistema e quindi cosi definito:

x1 = −RLx1 −

Kv

Lx2 +

u1L

x2 =Kc

Ix1 −

Ka

Ix2 +

u2I

2.3 Simulazioni

In questa sezione verranno eseguite delle simulazioni di un motore a corrente continua tramite il

seguente modello Simulink:

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2.3. Simulazioni

Per effettuare delle simulazioni, si ipotizza uno scenario realistico di utilizzo del motore. Lo

scenario ipotizzato e quello in cui si suppone di usare il motore ( con annessi bracci e leveraggi e

organi meccanici a a valle ) per ottenere forme di pasta asciutta a partire da blocchi di pasta senza

alcuna forma precisa ( processo detto di trafiliatura). La parte descrizione meccanica di tutti i

meccanismi necessari per ottenere l’effetto desiderato non verra effettuata; basti pero pensare, che

si posso ridurre all’asse del motore tutte le coppie resistenti che si generano nei vari meccanismi a

valle del motore in questione.

Questo tipo di macchinario si trova si a livello industriale che per usi piu “casalinghi”; le immagini

che seguono mostrano entrambi i casi.

Per modellare il carico a cui sara sottoposto il motore si e pensato di modellare la funzione

di coppia resistente ridotta all’asse di rotazione come un segnale detto a dente di sega come

mostrato nella figura che segue:

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Motore a corrente continua modello matematico e simulazioni con e senza controllore

Il motivo per cui si ipotizza questo segnale e il seguente: la coppia resistente ( ridotta all’asse

del motore ) cresce rapidissimamente nel momento in cui la pasta inizia a passare attraverso i fori

che le daranno forma, e inizia a discendere ( si suppone ) linearmente a man mano che il blocco di

pasta esce dai fori che le daranno forma. Il periodo assunto per questa operazione e di due secondi.

Con questo segnale vogliamo analizzare le differenze presenti in uscita prima considerando il sistema

senza alcun controllo e successivamente con un controllore a rele avente una certa isteresi.

I parametri impostati per il motore sono i seguenti: L = 0, 25H, R = 224ohm, I = 3, 22KgM2,

Kv =,Kc = 2, 6 Kv = 416,Ka = 0, 032

Quando il sistema e senza controllore l’applicazione del carico descritto prima produce un’uscita

come quella della seguente immagine:

Si noti come il sistema e “lento” a rispondere alle variazioni di carico, e come il numero di giri

oscilli sensibilmente lungo i due secondi di applicazione della coppia resistente. Per risolvere questo

problema si puo quindi ricorrere all’uso di un dispositivo detto rele a isteresti realizzando cosi un

controllo a ciclo chiuso sul nostro motore. L’uscita in termini di Rpm assume quindi l’andamento

seguente:

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2.3. Simulazioni

Si osservi come il rele produca sul numero di giri delle oscillazioni ( nettamente minori in

periodo ed in ampiezza rispetto al precedente caso ) intorno al valore di 1000Rpm. E’ chiaro che

questa situazione migliora di gran lunga la situazione precedente dove l’ampiezza ed il periodo delle

oscillazioni erano sensibilmente maggiori.

Nonostante i vantaggi portati dall’uso del rele si osservi pero che il rele deve essere non solo

bene progettato( in termini di durata o ore di lavoro ) ma anche ben tarato. Infatti l’isteresi del

componente deve essere appositamente dimensionata in modo tale da evitare un numero eccessivo

di oscillazioni attorno al valore desiderato agli Rpm. Una fascia di isteresi molto stretta infatti

produce un fenomeno detto chattering ; il nome di questo fenomeno e dovuto al fatto che i rele nel

momento in cui viene raggiunta una delle due soglie generano un rumore. Con una stretta banda

di isteresi il rumori sono ripetuti ad elevata frequenza assumendo un processo veloce come quello

del motore. Il susseguirsi di rumori assomigliano ad un chiacchiericcio che si puo sentire in una

stanza ( chat infatti in inglese vuol dire chiacchierare, ed ecco da dove proviene il nome).

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Capitolo 3

Modellazione di un alimentatore

per reti elettriche europee e

americane

3.1 Descrizione e introduzione per la modellazione e simu-

lazione di un alimentatore

Un alimentatore e un componente elettronico in grado di fornire un segnale DC ad una apparec-

chiatura avendo in ingresso un segnale AC ( tipicamente quello della rete elettrica ). Da alcuni anni

a questa parte gli alimentatori sono in grado di funzionare sia con la tensione della rete europea

a 220V di ampiezza e 50Hz di frequenza sia con le reti americane a 110v di ampiezza e 60Hz di

frequenza.

In questa parte della tesina analizziamo il comportamento di un alimentatore ( anche chiamato

in inglese P.S.U, Power Supply Unit ) modellandolo con una resistenza, un induttore, un conden-

satore ed un diodo. Il diodo e un componente elettronico a semiconduttore avente la seguente

relazione caratteristica:

Vd = ηVtlog(idI0

+ 1)

dove I0 e la corrente inversa,η e un parametro che varia a seconda del processo con cui e costruito

25

Modellazione di un alimentatore per reti elettriche europee e americane

ed in fine VT e una tensione (detta tensione termica) che dipende dalla temperatura e dalla costante

di Boltzmann.

Il legame I − V ( essendo non lineare come si evince dalla precedente immagine) puo essere

modellato come una resistenza del tipo rd(id); in sostanza il diodo, specie quando in serie con una

resistenza si puo approssimare proprio come una resistenza.

3.2 Modello di un alimentatore

Il modello utilizzato per descrivere un alimentatore e quello descritto in figura.

Applicando i principi di Kirchoff si arriva alle seguenti due equazioni tenendo a mente il legame

tensione-corrente del diodo:

x1 =−Rgx1 − x2 − rdid

Lx2 =

x1C

+x2RgC

y = x2

Il modello cosi ottenuto vieni poi portato in forma di stato e puo essere simulato con il seguente

schema Simulink:

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3.3. Simulazioni

3.3 Simulazioni

L’alimentatore che verra in questa sezione simulato ha i seguenti parametri:

C = 8(10−3),Rg = 350, resistenza diretta del diodo Rdd = 350,resistenza inversa del diodo Rid =

1000, resistenza di carico R = 100.

3.3.1 Alimentatore collegato alla rete elettrica Europea

Il primo scenario di simulazione sara quello in cui l’alimentatore e collegato alla rete elettrica

europea e dunque il segnale di ingresso avra la seguente forma analitica:u(t) = 220sin(2π50t)

Il grafico di questo segnale e riportato nella figura seguente.

L’uscita corrispondente a questo segnale di ingresso e la seguente:

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Si osservi come il sistema produca in uscita un segnale che oscilla intorno a 12V . Si noti anche

come le oscillazioni siano abbastanza ridotte e dunque il sistema si comporta abbastanza bene e le

presentazioni sono accettabili. Questo e quasi un segnale DC; con lo schema usato infatti e gia un

buon risultato.Per eliminare le oscillazioni si dovrebbero utilizzare schemi elettronici piu complessi.

Mostriamo anche il segnale della corrente erogata con il grafico che segue:

3.3.2 Alimentatore collegato alla rete elettrica USA

Questo secondo scenario di simulazione sara quello in cui l’alimentatore e collegato alla rete elettrica

degli stati uniti (USA) e dunque il segnale di ingresso avra la seguente forma analitica:110sin(2π60t).

Il grafico di questo segnale riportato nella figura seguente.

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3.3. Simulazioni

L’uscita corrispondente a questo segnale di ingresso e la seguente:

E’ da osservare come l’ampiezza del segnale si sia ridotta di circa la meta grazie al fatto che

abbiamo modellato un sistema lineare.

Stesso cosa per la corrente:

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In conclusione e bene chiarire come in queste simulazioni ci si sia concentrati maggiormente ad

ottenere un profilo di tensione almeno simile ad uno a DC rispetto ad avere una elevati valore di

corrente erogata.

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Capitolo 4

Modello linearizzato di rollio di

una nave

4.1 Descrizione e linearizzazione del modello di rollio di una

nave

Si vuole in questa sezione del documento costruire un modello che descriva il comportamento di

rollio di una nave. Per i passaggi che seguiranno ci riferiremo alla seguente figura:

Il moto di rollio e modellabile in termini angolari come:

Iϕ = M (4.1)

Indicando con G il centro di gravita ( baricentro della parte non immersa, o anche detta opera

morta) e con P il peso (uguale alla spinta) della nave il momento MP dovuto al peso della nave e

calcolabile con la seguente relazione:

MP = −P [r(1 +1

2tg2ϕ)− a]sinϕ (4.2)

ove r e il raggio metacentrico (cioe la distanza sottesa tra il centro di spinta - il baricentro della

parte sommersa - e il centro di gravita) ed a la quota del baricentro di tutta la nave ( anche detto

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Modello linearizzato di rollio di una nave

centro di gravita).

Il momento dato dal baricentro e invece dato dalla seguente equazione:

Ma = −Ka1ϕϕ−Ka1ϕϕ2sign(ϕ) (4.3)

E’ possibile dunque considerare come modello per la descrizione del rollio della nave la seguente

equazione:

Iφ+Ka1ϕϕ+Ka2ϕϕ2sign(ϕ) + P [r(1 +

1

2tg2ϕ)− a]sinϕ = u+ d (4.4)

E’evidente che si tratti di un modello non lineare e dunque di non facile integrazione. Facendo

ulteriori ipotesi semplificative si puo arrivare alla seguente equazione differenziale lineare ed a

coefficienti costanti:

y + a1y + a2y = b(u+ d) (4.5)

I coefficienti di questa equazione sono

b =1

I, a1 =

Ka1

I, a2 =

P (r − a)

I(4.6)

Dove u e l’eventuale segnale di controllo, e d e il disturbo prodotto da onde vento etc.

Il segnale di controllo per una nave tipicamente agisce sul movimento di alcuni profili ( che immersi

in un fluido sono soggetti alla teoria dei profili portanti )che permettono (solo in condizioni di

avanzamento della nave ) di stabilizzarne il rollio.

La seguente immagine mostra i profili della nave:

Oltre al segnale di controllo nel sistema descritto vi e anche un ingresso di disturbo, come ad

esempio puø’ essere il momento generato moto ondoso. Il moto ondoso e descrivibile come un

sinusoide avente la seguente forma:

32

4.2. Simulazioni

dove l’altezza dell’onda da considerare e 2A0 e k = ω2

g . Con questo tipo si ’segnale’ del mare si

dimostra che il momento risultante da mettere in ingresso al modello di rollio della nave e:

d = M0 =1

12ρB2LA0ω

2 (4.7)

dove B e la larghezza della nave, ρ la densita dell’acqua ed ω la pulsazione delle onde. Si

osservi come se la pulsazione del moto ondoso si avvicina a quella di rollio ωr =√a2 anche piccole

ampiezze delle onde producano sensibili rollii.

4.2 Simulazioni

In questa sezione verranno mostrate alcune simulazioni del moto di rollio di una nave con il modello

linearizzato introdotto nel precedente paragrafo. Le simulazioni sono state effettuare utilizzando

esclusivamente l’ambiente Matlab con il sistema di integrazione di equazioni differenziali ODE45.

Si allega il codice utilizzato sia per la definizione dei parametri che per la risoluzione dell’equazione.

function pdot = nave(t,p)

B=3;%larghezza

L=10;%lunghezza

P=2000;%peso

r=5;%raggio meta centrico

a=2.5;%altezza baricentro

A_0=2;%semi altezza onda

I=7; % momento di inerzia

ro=1000;%densit dell’ acqua

ka1=5;%costante attrito

a_1 = ka1/I; %paramentro derivata prima

a_2 = (P*(r-a))/I;%parametro funzione y

b=1/I;%costante b

w=sqrt((a_1/b)/(I))%0.5; variabile tra 1/2 e w_r

k=w^2/9.81;%definizione di k

M_0=(1/12)*B^2*L*A_0*w^2*ro;%momento di disturbo

d=1/b*M_0*sin(w*t-k*0);%funzione forzante del sistema

pdot = zeros(size(p));

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pdot(1) = p(2);

pdot(2) = d - a_1*p(2) - (a_2)*p(1);

[t,p] = ode45(’tt’,[0 200],p0);

plot(t,p)

4.2.1 Simulazioni con mare poco mosso

I dati per la simulazione sono evidenziati nel codice. I due segnali di ingresso usati hanno entrambi

una semi altezza dell’onda pari ad A0 = 2. Si vuole allora mettere in mostra la differenza di

comportamento che si evidenzia al solo variare della lunghezza d’onda o di periodo con un onda

che investe la barca di traverso. Il grafico del segnale di ingresso, ovvero del momento disturbante

con ω = 0.5 e il seguente:

L’uscita corrispondente in termini di angolo di rollio e la seguente:

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4.2. Simulazioni

Le oscillazioni con questo tipo di moto ondoso non sono significative e sebbene la situazione

sia migliorabile con l’uso degli stabilizzatori, e ancora possibile una navigazione senza eccessivi

pericoli.

4.2.2 Simulazioni con mare agitato

Radicalmente diversa diventa la situazione si ha quando la pulsazione del moto ondoso si avvicina

a ωR e la semi ampiezza resta invariata. I due grafici che seguono mostrano prima l’ingresso in

termini di momento e successivamente l’inclinazione.

Si osservi come ora l’angolo di rollio sia ben oltre i 90 rendendo la navigazione sia pericolosa

che scomoda. Una situazione ancora peggiore si ha con una semi altezza delle onde pari a A0 = 4(

conω = ωR) dove la nave addirittura si capovolge come nella seconda immagine che segue!

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Tesina di Modellistica e Simulazione - giovax.com · 1.3. Simulazioni ruotare il sistema di...

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