TEORIA DO CAMPO ELETROMAGNETICO E ONDAS

Cesar Augusto Dartora

i

E Deus disse:

D = , B = 0 ,

E = Bt

,

H = J + Dt

,

entao fez-se a luz.(parafraseando o livro do Genesis.)

De uma perspectiva mais longa da historia da humanidade, quando vista daqui a dez milanos, havera pouca duvida de que o mais significativo evento do seculo XIX tera sido a

descoberta de Maxwell a respeito das leis da eletrodinamica. A gerra civil americana, queocorreu nesse mesmo seculo, sera ofuscada, em toda sua insignificancia provinciana, em

comparacao com as equacoes de Maxwell.

(Richard Feynman, em suas Licoes de Fsica)

ii

Prefacio

O eletromagnetismo classico e provavelmente a mais bem compreendida teoria da Fsica e seguramente

uma das mais bem sucedidas. A historia da humanidade costuma ser dividida em Antes e Depois de Cristo,

porem, de um ponto de vista estritamente cientfico, poderia-se dizer ela esta dividida em Antes e Depois

de Maxwell, tal o impacto causado pelas aplicacoes do eletromagnetismo na sociedade moderna. O escoces

James Clerk Maxwell, que viveu no seculo XIX, sintetizou em um conjunto de equacoes a descricao de todos

os fenomenos eletromagneticos e atualmente vivemos a plenitude da Era Eletromagnetica. O domnio da teoria

eletromagnetica permitiu resolver desde os problemas mais simples, como a iluminacao de residencias e vias

publicas, passando por complexas maquinas e equipamentos eletricos de uso residencial e industrial, e finalmente

promovendo uma revolucao na forma como nos localizamos e nos relacionamos com as pessoas, atraves do uso

de comunicacoes moveis, sistemas de posicionamento global (GPS) e o advento da internet e das redes sociais.

O desenvolvimento das telecomunicacoes e um marco tao relevante que, na busca pela vida inteligente fora do

nosso planeta, os astronomos classificam as possveis civilizacoes existentes fora da Terra em duas categorias:

as que ja chegaram as comunicacoes eletromagneticas e as que ainda nao a dominam, sendo assim impossvel

rastrea-las. E portanto, fundamental que fsicos e engenheiros eletricistas tenham amplo conhecimento das leis

do eletromagnetismo e domnio das tecnicas matematicas empregadas na solucao de problemas praticos.

A literatura acerca da teoria eletromagnetica na forma de livros didaticos e vastssima, contemplando os

mais diversos nveis de profundidade e formas de abordagem. Cabe nesse contexto a pergunta: por que mais um

livro de teoria eletromagnetica, em meio ao oceano de informacoes ja disponveis? Obviamente que nao busca-se

aqui apresentar um pouco mais do mesmo, embora os topicos mais importantes e consagrados nao poderiam ser

omitidos. Tipicamente os livros didaticos apresentam a teoria eletromagnetica sob o prisma do desenvolvimento

historico, abordando os assuntos na ordem cronologica em que os conceitos foram aparecendo, o que nem sempre

traz consigo uma consistencia logica. Nesse caso, primeiro sao apresentadas as leis eletrostaticas, partindo-se

do conceito de carga eletrica e da lei de Coulomb, introduzindo-se o conceito de campo eletrico. Nesse primeiro

contato com o conceito de campos no domnio da eletrostatica, muitos alunos tem a impressao de que trata-se de

um artifcio puramente matematico e desnecessario. Os conceitos de energia potencial, potencial escalar eletrico

e capacitancia sao discutidos e em alguns textos, a solucao de problemas de contorno atraves das equacoes de

Poisson e Laplace e considerada e discutida em maior ou menor grau de complexidade. A seguir, usualmente

define-se a corrente eletrica e a ideia de conservacao da carga e apresentada atraves da equacao da continuidade,

discutindo-se ainda a classificacao dos materiais quanto a sua condutividade, para mais adiante apresentar as

leis da magnetostatica. Uma vez que os campos magneticos estaticos sao gerados pela corrente eletrica, a busca

de uma simetria onde de fenomenos magneticos sao capazes de produzir campo eletrico levou a descoberta da

lei de Faraday, onde a dinamica temporal nao pode mais ser omitida. A apresentacao de fenomenos variantes

no tempo e a constatacao de que a lei de Ampere nao esta de acordo com a conservacao de carga, levou

Maxwell a corrigir a lei de Ampere e apresentar as equacoes que levam seu nome. A partir da sao tratados os

fenomenos ondulatorios, sendo que somente com a deducao e discussao do teorema de Poynting mostrando que os

campos eletromagneticos transportam energia o aluno pode se convencer totalmente da existencia fsica real dos

mesmos, nao sendo meramente artifcios matematicos. Partindo-se das equacoes de Maxwell varias aplicacoes

sao abordadas em diferentes livros de acordo com o que seus autores julgam mais importante ou interessante,

deixando outros topicos em segundo plano. O princpio de inducao, onde a teoria e gradativamente generalizada

indo do caso particular para o mais geral, e sistematicamente empregado, porque historicamente os fenomenos

estaticos foram compreendidos antes daqueles variantes no tempo.

iii

A ideia do presente texto e apresentar as equacoes de Maxwell do ponto de vista axiomatico, e a partir

delas derivar os casos particulares, ou seja, adota-se aqui uma postura logico-dedutiva que nao e a mais usual

quando no estudo da teoria eletromagnetica. Os conceitos matematicos fundamentais para a compreensao

rigorosa e a lei de conservacao na forma da equacao de continuidade sao apresentados primeiro e entao as

equacoes de Maxwell sao dadas como postulado fundamental da descricao dos fenomenos eletromagneticos

classicos. Das equacoes de Maxwell, varios casos particulares sao discutidos em maior ou menor profundidade,

de acordo com a conveniencia. Por exemplo, da-se mais enfoque aos fenomenos ondulatorios e variantes no

tempo do que a eletrostatica e magnetostatica, embora estas ultimas sejam brevemente discutidas. Conceitos

como homogeneidade, isotropia e linearidade em meios materiais ganharam um captulo proprio, porque sao

considerados de fundamental importancia. Sempre que possvel, experimentos reais relacionados aos conceitos

teoricos apresentados sao propostos e discutidos. Exerccios sao propostos ao final de cada captulo.

A presente obra esta estruturada da seguinte maneira: o primeiro captulo contempla uma breve introducao

ao assunto onde a historia do eletromagnetismo e contada, situando a teoria eletromagnetica em relacao a Fsica

moderna e discutindo de forma geral o espectro eletromagnetico e suas aplicacoes. O Captulo 2 traz, de forma

bastante didatica e resumida, longe de querer apresentar todo o rigor matematico necessario, (os matematicos

que me perdoem por alguma omissao ou falta), uma revisao completa dos fundamentos matematicos necessarios

para compreender a teoria, como o conceito de campos e partculas, vetores e o calculo diferencial e integral

vetorial, e finalmente as transformadas de Fourier. O Captulo 3 discute a equacao de continuidade de modo

bastante geral, particularizando para o caso da conservacao da carga eletrica, com exemplos de processos fsicos

que ocorrem na natureza, onde a lei de conservacao sempre se verifica. As equacoes de Maxwell sao devida-

mente apresentadas no Captulo 4, e seu significado fsico e detalhadamente discutido. Indo alem, verifica-se a

auto-consistencia interna do sistema de equacoes, demonstrando que sao consistentes com a lei de conservacao

de carga eletrica e, com a definicao adicional da forca de Lorentz, e deduzida a lei de conservacao de energia,

tambem conhecida como teorema de Poynting. Para finalizar o Captulo 4, apresenta-se de forma bastante

simplificada a obtencao das equacoes de Maxwell macroscopicas a partir das equacoes microscopicas, justifi-

cando assim o aparecimento de dois vetores associados ao campo eletrico e outros dois associados ao campo

magnetico. O Captulo 5 trata da funcao resposta ou susceptibilidade dos meios materiais, apresentando con-

ceitos como homogeneidade, isotropia e linearidade. A teoria microscopica classica para a resposta da materia

aos campos eletromagneticos e discutida, permitindo assim inferir comportamentos gerais da materia em funcao

da frequencia dos campos aplicados. Os Captulos 6 e 7 sao destinados a discutir de forma tao ampla quanto

possvel a eletrostatica e a magnetostatica, respectivamente, com a apresentacao de problemas de contorno e

suas solucoes. Para o leitor interessado nos fenomenos eletromagneticos em regime variante no tempo, a omissao

desses dois captulos e perfeitamente possvel, passando diretamente ao Captulo 8, onde sao apresentados os

conceitos fundamentais da ondulatoria, sendo a equacao de ondas deduzida em um caso geral, partindo-se de

nocoes intuitivas que sao associadas a ondas. Apresenta-se a solucao da equacao de ondas pelo metodo de

separacao de variaveis e desta sao derivados os conceitos de comprimento de onda, frequencia angular temporal

e a relacao entre velocidade da onda, comprimento de onda e frequencia. O Captulo 9 trata da obtencao da

equacao de ondas no eletromagnetismo para meios lineares, isotropicos e homogeneos, bem como sua solucao

geral em meios materiais. Fenomenos de superposicao de ondas e incidencia em interfaces, levando ao prob-

lema de reflexao e refracao e a lei de Snell, sao discutidos detalhadamente. O Captulo 10 traz a definicao

dos potenciais eletromagneticos, discutindo-se a liberdade de gauge e a obtencao de equacoes de ondas para os

potenciais.