11

Fascio di atomi di Ag

lunghezza l

N

lastra fotografica

S

z

Fuoco

Vapore di Ag

campo non omogeneo

N

S

x

z

Teoria dell’esperimento di Stern e Gerlach (1922)

22

µ µ π=

2dove = momento magnetico, S= r area della spira,

n normale, i=corrente

i Snc

Momenti magnetico e angolare in Fisica classica

µ π

π

π⇒ = ∧

=

2

per 1 particella di carica e che gira,

ev evr e e = = r v= 2 rc 2c 2c 2mc

e fattore giromagnetico 2

car

mc

ica ev corrente i= = tempo 2 r

r n n L

Spira percorsa da corrente i= momento magnetico J

=

2

proporzionalita’ fra momento angolare e momento magnetico

3

Il fascio si divide in due ugualmente intensi ,

uno col momento parallelo al campo e l'altro antiparallelo.

vengono due fasci distinti polarizzati in spin! Uno spin e’ su o giu’! Spin=trottola.

4

Se uno di questi fasci viene fatto passare attraverso un secondo apparato orientato

come il precedente rimane un fascio solo; questo verica che tutti gli atomi

hanno momento parallelo. Questo illustra il collasso della funzione d’onda.

Come sappiamo che i due fasci sono polarizzati in spin?

N

S

N

S

y

z

N

S

NS

y

z

S

5

Ma se il secondo apparato e’ orientato diversamente il fascio si suddivide di nuovo.

y

z

S

N

S

NS

Non e’ una miscela statistica, ma una sovrapposizione quantica:

5

spin su in una direzione = una sovrapposizione di spin su e giu’ in un’altra direzione.

66

Dunque il momento magnetico dell’atomo di Ag esiste, ma l'esperimento dimostro’ molte cose inattese. ...

µ

+ = =

+

⇔

e per gli atomi di Ag sono quantizzati, con2 valori possibili (2 1 per momento a

1Ma 2

ngola

1

re )

2 . 2

z z

l l

Ll l

Il momento magnetico si trova solo su o giu’ . Perche’ ?

E cosa lo produce? Si scopri’ poi che era l’elettrone ottico, responsabile anche della valenza chimica.

=

i momenti magnetici dei nuclei esistono ma sono molto pie fattore giromagnetico con m m

u’picco

olto ma

l

ggiore2mc

)i(

E' un momento angolare intrinseco. Non c'e' nulla che gira!Ma puo' fornire momento angolare e far girare qualcos'altro.

Quindi non e' un momento angolare orbitale, che ha =0,1,2,...l

77

Particelle di spin ½: i leptoni (e, µ,τ , con i rispettivi neutrini) e i quarkParticelle di spin 1: fotone, e W+, W-,Z

Particelle di spin 2: gravitone (se esiste)

Costrui’ la teoria dello spin ½ e introdusse nella teoria il neutrino dell’elettrone7

Immaginate una trottola che gira sempre intorno alla direzione dalla quale la osservate….

88

Interpretazione quantistica dell’esperimento .

Ogni nuova misura su una diversa direzione fa collassare ancora la funzione d'onda. Se pero’ la nuova direzione coincide con la precedente il fascio viene deflesso ma non si sdoppia.

I due modi sono associati a componenti z del momento angolare intrinseco, dove z e’ la direzione privilegiata dall'esperimento.

Quando il fascio e’ formato, gli atomi non hanno componente z del momento magnetico definita. Ciascuno sta in una sovrapposizione quantica di spin su e giu. Solo quando la si misura viene fatta la componente e’ definita (collasso) ma allora il fascio si divide. Le componenti x e y allora non sono definite, perche’ non sono compatibili.

Se diciamo che un elettrone si trova in un punto non abbiamo finito di specificare la situazione, perche’ ha 2 modi ortogonali di starci. Scelta arbitrariamente una direzione, possiamo sempre trovare spin su o giu’ in quella direzione.

99

Nessuno aveva ipotizzato lo spin dell'elettrone prima della scoperta.C'e'analogia con la polarizzazione delle onde elettromagnetiche.Esse portano momento lineare, momento angolare orbitale ese sono

π = ∧ ∧ ∫

31 (in unita' di Gauss).4

circolarmente polarizzate anche momento di spin.Il momento angolare orbitale e'

Anche in quel caso nessun oggetto meccanico gira.

L d r r E Bc

Ma come fa’? Il momento angolare frazionario non si realizza con il moto di parti o particelle e non corrisponde ad alcuna armonica sferica! Abbiamo un osservabile che non corrisponde a un operatore differenziale e non esiste affatto nella Fisica Classica per quanto riguarda la meccanica.

Si tratta di un momento angolare intrinseco, quasi come se la particella avesse un moto a trottola (trottola =spin in Inglese). Pero’ un elettrone e’ puntiforme.

9

10

ω

In aggiunta, una onda elettromagnetica polarizzata porta momentoangolare di spin.Una onda quantizzata e' un fotone.Se e' polarizzato sinistro porta momentoangolare e se e' polarizzato destro p ω

µorta - .

Anche i fotoni hanno spin (ma non hanno ne' carica ne' ) .

Il fotone ha spin 1.E' anch'esso un momento angolare intrinseco. Non c'e' nulla che gira!Ma puo' far girare qualcos'altro, cioe' puo' comunicare momento angolare.

11

R. A. Beth, Phys. Rev. 50, 115 (1936) riporta una misura dello spin del fotone usando una special lastra che converte una onda polarizzatasinistra in destra. La lastra fu sospesa a una fibra di quarzo e illuminata con luce polarizzata sinistra. Fu cosi’ misurata la coppia e confermato lo spin 1 del fotone.

Per il fotone lo spin si manifesta nella polarizzazione. S= 1 comporta 3 possibili valori dellacomponente z, M=1,0,-1, ma nel caso del fotone M=0 non esiste.La regola M=1,0,-1 vale nel sistema di riferimento di quietedella particella e questo non esiste nel caso del fotone.

Birifrangenza: scomposizione della luce in due raggiin materiali anisotropi in cui l’indice di rifrazione dipende dalla polarizzazione

Analogo dell’esperimento di Ster-Gerlach con fotoni ( che hanno spin 1)

Orientando il cristallo si puo’ fare in modo che la direzione privilegiata sia lungo x;La luce polarizzata parallela a x viene deflessa diversamente da quella parallela a y

Un prisma di Wollaston fatto con due prismi di calcite manda diverse polarizzazioni ad angoli diversi Un fascio polarizzato e’ di nuovo scisso da un polarizzatore orientato

diversamente

1313

±

×

×

Le matrici del momento angolare orbitale descrivono il momento intrinseco di particelle di spin intero :L=0 matrici 1 1 ( bosone di Higgs ,alcuni atomi,nuclei....)L=1 matrici 3 3 (fotoni, , ,alcW Z

×uni atomi,nuclei....)

L=2 matrici 5 5 (alcuni atomi, certi nuclei..gravitone (??..)

µMatrici del momento angolare di spin semintero:matrici 2×2 S=1/2 (elettroni,protoni, neutroni, , neutrini,.. ) matrici 4×4 S=3/2 (alcuni atomi,alcuni nuclei,.. ) matrici 6×6 S=5/2 (alcuni atomi,alcuni nuclei,.. )Sono rappresentazioni dell'algebra del momento angolare

Particelle di spin semi-intero = fermioniParticelle di spin intero = bosoni

Alcune sono elementari, altre composteCampi di forza bosoni 13

14

=

= +

⇒ + =∫

†* *

†2 2

3 2 2

Spinore aggiunto Hermitiano

( , ) in modo che sia:

( , ) | | | |

normalizzazione [| | | | ] 1

aa b

b

aa b a b

b

d x a b

La teoria di Pauli inserisce lo spin nel quadro della Meccanica Quantistica in modo coerente, ma lo spin si comprende molto meglio dalla teoria relativistica di Dirac. Le sue interazioni contengono sempre la costante c. 14

ψ

= ⇒ + =

=

∫

3 2 2

La funzione d'onda per l'elettrone ha 2 componentie si chiama Spinore

( , )( , ) normalizzazione [| | | | ] 1

( , )( , ) ampiezza di trovare la particella in ( , ) con spin su.

a x tx t d x a b

b x ta x t x t

15

0 1 01 1 0 12 0 1 0

xL =

0 01 02 0 0

y

iL i i

i

− = −

1 0 00 0 00 0 1

zL = −

1L =

2

1 0 11 0 2 02

1 0 1xL

=

2

1 0 11 0 2 02

1 0 1yL

− = −

2

1 0 02 0 1 0

0 0 1L

=

15

1 1 10

Per L=1 rappresentiamo L=1 sulla base delle armoniche: ,Y x iy Y± ±

16

1 0 1 1,

0 1 0 0

1 0 0 00 1 1 1

= −

= − −

1 1 10

Per L=1

rappre

sentiamo L=1

1 C

sulla base dell

ome fare per lo

e armonic

spin S = ? Non ci sono armoniche.2

he: ,

Y x iy Y z± ±

Scegliamo di avere diagonale la componente z dello spin con autovalori 2±

α

β

= ↑ →

= ↓ →

11componente z dello spin= 0201componente z dello spin=- 12

2z zS σ=

σ

= −

1 00 1z

16

1 2 1 21 1 2 2 1 1 2 2 , , 1

1 2

Cerchiamo operatori di shift i

( 1) ( 1)

1con al posto d

n accordo c

i ,2

on la regola

l l m ml m L l m l l m m

S L l l

δ δ± ±

±±

= + − ±

= =

1 2 1 21 2 , 1 , 11 1 1 3 1 1( )( )2 2 2 2 2 2 m m m mm S m δ δ±

± ±−

= − =

α

α α β

β

β β α

+ −

− +

= ↑ →

= =

= ↓ →

= =

11componente z dello spin= 02

0

01componente z dello spin=- 12

0

S S

S S

17

Notazione

Operatori di shift e componenti dello spin

18

00y

ii

σ−

=

0 11 0xσ

=

1 00 1zσ

= −

12

1( , , ) ( , , )2x y z x y z

S

S S S

σ

σ σ σ

=

=

0 1 1 0 0 1,

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0,

1 0 0 1 1 0

+

−

= ⇒ = = +

= ⇒ = = −

x y

x y

S S iS

S S iS

Matrici di Pauli

18

1operatore dello spin ( , , )2x y zS S S S σ= =

19

0 1 0 1 1 01 0 1 0 0 1x xσ σ

= =

0 11 0xσ

=

00

σ−

=

y

ii

1 00 1

σ

= − z

0 0 1 00 0 0 1y y

i ii i

σ σ− −

= =

1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1z zσ σ

= = − −

0 1 0 0 1 01 0 0 0 0 1x y z

i ii i

i iσ σ σ

− = = = = − −

0 0 1 0 1 0

0 1 0 0 0 1y x z

i ii i

i iσ σ σ

− − = = = − = − −

Matrici Hermitiane, lo spin si misura. Inoltre, Trσi=0

Interessavano a Hamilton per questo: sono “radici di 1” generalizzate

19

Matrici di Pauli: proprieta’

2 2 2 1 00 1x y zσ σ σ

= = =

Anticommutatri: [ , ] 2i j i j j i ijσ σ σ σ σ σ δ+ = + =

20

[ ]

, 2

, 2

, 2

x y z

y z x

z x y

i

i

i

σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ

−

−

−

=

= = [ ]

,

,

,

x y z

y z x

z x y

S S i S

S S i S

S S i S

−

−

−

=

= =

S S i S∧ =

Algebra del momento angolare

σ

= ⇒ = = +

2 2 2 21 0 1 0 1 03 1 1 1 .0 1 0 1 0 14 2 2i S

E’ una rappresentazione del momento angolare: tutte le relazioni che coinvolgono le componenti e il quadrato di S sono riprodotte dalle matrici 2X2.

Gli operatori differenziali non esistono. Il quadrato dello spin viene:

12

S σ=

20

σ σ σ σ= =

1 1 ( , , ) ( , , )2 2x y z x y zS S S S

Riassunto: Spin 1/2

00y

ii

σ−

=

0 11 0xσ

=

1 00 1zσ

= −

[ ]

,

,

,

x y z

y z x

z x y

S S i S

S S i S

S S i S

−

−

−

=

= =

S S i S∧ =

Algebra del momento angolare

1 0 e' diagonale: z e' la direzione del campo di Stern-Gerlach

0 1cioe' z e' l'asse di quantizzazione scelto per lo spin.

zσ

= −

0 hanno autovalori 1 ma non sono dia

0 1, gona

0i.

1l

0yx

ii

σσ

=

− = ±

Significa che se misuriamo un fascio polarizzato lungo x o y nell’apparato con B lungo z emergeranno 2 fasci di spin alto e basso mentre se misuriamo un fascio di spin su (o di spin giu) lungo z rimane indiviso.

10 1 2 ha autovettore , con autovalore 1.1 0 1

21Significa che in un fascio polarizzato alto lungo x c'e' ampiezza 2

1che la componente z sia alta e ampiezza che sia bassa.2

x xσ

= + =

10 1 2 ha autovettore , con autovalore -1.1 0 1

2

x xσ

= − = −

0Anche ha autovalori 1.

0

1 1; .1 1 1 12 2

y

y y

ii

i i i i

σ

σ σ

− = ±

− − = − =

Quale matrice usare per lo spin in una direzione arbitraria?

( )θ φ θ φ θ= =

Versore in direzione arbitraria: n=(n ,n ,n ) sin cos ,sin sin ,cos , con n.n 1.x y z

1 e' un vettore che cui componenti sono matrici.2

La componente lungo e' . ( , , )( , , ). x y z x y z

S

n S n S S S n n n

σ=

=

. ( , , ).(sin cos ,sin sin ,cos )2σ σ σ θ φ θ φ θ=

x y zS n

. ( sin cos sin sin cos ). Usando2 x y zS n σ θ φ σ θ φ σ θ= + +

0 1 0 1 0. [ sin cos sin sin cos ].

1 0 0 0 12i

S ni

θ φ θ φ θ−

= + + −

24

00y

ii

σ−

=

0 11 0xσ

=

1 00 1zσ

= −

cos sin (cos sin ) cos sin. .

sin (cos sin ) cos2 2 sin cos

i

i

i eS n

i e

φ

φ

θ θ φ φ θ θθ φ φ θ θ θ

−− = = + − −

25

1 0cos sin cos sin. . ( . ).( . )

0 1sin cos sin cos. . . . Tutte le direzioni sono equivalenti.

i i

i i

x x y y z z

e eN B n n

e e

φ φ

φ φ

θ θ θ θσ σ

θ θ θ θσ σ σ σ σ σ

− − = = − −

= = =

φ

φ

σ

θ λ θσ λ θ θ λ

θ θ λ

−

=

−= = − − = ⇒ = ± − −

2 2 2

( . ) 0

cos sindet( . ) det cos sin 0 1.

sin cos

i

i

Tr n

en

e25

cos sinAutovalori dello spin lungo la direzione n . :

2 sin cos

una misura dello spin in qualsiasi direzione dara' Infatti. , 2

i

i

eS n

e

φ

φ

θ θθ θ

− =

−

±

cos sin (cos sin ) cos sin. .

sin (cos sin ) cos2 2 sin cosSpin lungo la direzione

i

i

i eS n

i e

φ

φ

θ θ φ φ θ θθ φ φ θ θ θ

−− = = + − −

( )θ φ θ φ θ= = n=(n ,n ,n ) sin cos ,sin sin ,cos , con n.n 1.x y z

26

coscos sin 2sin cos sin

2

i

ii

ee e

φ

φφ

θθ θ

θθ θ

−

−

cos cos sin sin2 2

sin cos cos sin2 2

i i

i i

e e

e e

φ φ

φ φ

θ θθ θ

θ θθ θ

− + = −

2 2cos cos sin2 2θ θθ = −

sin 2cos sin2 2θ θθ =

2 2

2 2

(cos sin )cos 2 os sin sin2 2 2 2 2 2

(2cos sin cos (cos sin )sin )2 2 2 2 2 2

φ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

− + = − −

i

c

e

( )

cos sinGli autovettori dello spin . lungo la direzione

2 sin cos

n =(n ,n ,n ) sin cos ,sin sin ,cos s o : onx y z

i

i

eS n

e

φ

φ

θ θ

φ θ θ

θ

φ

θ

θ

− =

−=

cos cos sin sin2 2

(sin cos cos sin )2 2

ie φ

θ θθ θ

θ θθ θ

+ = −

2 2 2

2 2

cos sin 2sin cos2 2 2 2

cos sin sin2 2 2

ie φ

θ θ θ θ

θ θ θ

− + = +

cos2

sin2

ie φ

θ

θ

=

cos2,

sin2

in

e φ

θ

θ

↑ =

sin2,

cos2

ien

φθ

θ

− − ↓ =

Verifica:

26

27

cos2,

sin2

in

e φ

θ

θ

↑ =

sin2,

cos2

ien

φθ

θ

− − ↓ =

θ α β

= ⇒ ↑ = = ↓ = =

1 0Se e' il versore dell'asse , 0 , , ,

0 1n z n n

27

N

S N

S

I fasci polarizzati che escono dal primo apparato 1 0

col campo B=(0,0,B) sono in , , , .0 1

z z ↑ = ↓ =

Il secondo apparato ha il campo orientato lungo ne i suoi autostati sono:

cos2,

sin2

in

e φ

θ

θ

↑ =

ampiezza che il fascio di spin alto dia di nuovo spin alto

1, , cos sin cos

02 2 2in z e φθ θ θ− ↑ ↑ = =

ampiezza che il fascio di spin alto dia spin basso

1, , sin cos sin

02 2 2i in z e eφ φθ θ θ ↓ ↑ = − = −

sin2,

cos2

ien

φθ

θ

− − ↓ =

Doppio esperimento di Stern-Gerlach

ampiezza che il fascio di spin basso dia di nuovo spin basso

0, , sin cos cos

12 2 2in z e φθ θ θ ↓ ↓ = − =

ampiezza che il fascio di spin basso dia spin alto

0, , cos sin sin

12 2 2i in z e eφ φθ θ θ− − ↑ ↓ = =

29

cos sin2 2Soluzione: da , , , ,

sin cos2 2

cos( )0 1 2, , cos( ) sin( ) e cos( )sin( )(e e )1 02 2 2 2sin( )e

2Il primo dato e'

i

i

i i ix

i

en n

e

n n

φ

φ

φ φ φ

φ

θ θ

θ θ

θθ θ θ θσ

θ

−

− −

− ↑ = ↓ =

↑ ↑ = = +

( ) che questo sin( ) cos 0.416θ φ= ≈

dall' Esame del 19 Luglio 2011Fascio di spin polarizzato un direzione incognita.Dati:

1, , 5 5 0.4164

, , , ,

Travore la probabilita' che il fascio abbia spin alto lun

x

x y

n

n n

n n n n

σ

σ σ

↑ ↑ = − ≈

↑ ↑ = ↑ ↑

go z.

30

( )

( ) ( )

L'altra componente e'

cos( )0 2, , cos( ) sin( ) e sin( )sin02 2 sin( )e

2Per il secondo dato anche questa vale 0.416

,cos4Poiche' , , , , ,sin cos

iy

i

x y

in n

i

n n n n

φ

φ

θθ θσ θ φ

θ

πφσ σ φ φ

−

− ↑ ↑ = =

=↑ ↑ = ↑ ↑ = ⇒

1( ) oppure2

1,cos( )4 2

φ

πφ π φ

= − = + =

2

sin( ) 0.416 2 0.5883. Ma poiche' 0 , sin( ) 0,quindi sin( ) 0.5883

cos sin10 10, , , (spin )= cos( ) 0.9045.

5 10sin cos10 10

i

i

en n P

e

φ

φ

θ θ π θ θπ π

π πθπ π

−

= ± = ± ≤ ≤ > = ⇒

− = ⇒ ↑ = ↓ = ⇒ ↑ =

( ) 1Combinando sin( ) cos 0.416 con cos( ) si ha sin( ) 0.416 2.2

θ φ φ θ±≈ = = ±

31

Come si ruota uno spin? Oppure come cambiano le misure se si ruota il laboratorio? Lo spin si comporta come un vettore per rotazioni?

Occorre una digressione sugli operatori unitari

Domande

† 1

†

unitario U ,

U USe U

X UXU

ψ φ ψ ψ φ φ

ψ ψ φ φ

−⇔ =

= =

=

32

Generatore delle traslazioni: in 1d

ˆ ( ) ( )aT x x aψ ψ= +

0

( )ˆ ( ) ( ) , quindi l'operatore di traslazione viene:!

n n

a nn

a d xT x x an dx

ψψ ψ∞

=

= + =∑

0

ˆ operatore iperdifferenziale!

n n

a nn

a dTn dx

∞

=

=∑

aT

aNB Se a>0 l’argomento della funzione vale 0 per x=-a, cioe’ per x negativi; il pacchetto si sposta verso sinistra. Espandiamo in serie di Taylor:

32

(traslazione significa che passiamo a un nuovo riferimento con una diversa origine)

33

0

ˆ operatore iperdifferenziale!

n n

a nn

a dTn dx

∞

=

=∑

0

ˆSommando formalmente la serie di Taylor, !

dn n adx

a nn

a dT en dx

∞

=

= =∑ˆ

0

ˆIn termini dell'impulso, !

pn n ia

a nn

a dT en dx

∞

=

= =∑

ˆ ˆ autofunzione= autovalore di .ikx ika ikx ikx ikaa aT e e e e T e= =

33

ˆ† 1ˆ ˆ

non e' hermitiano ma e' unitar

ˆ

io.

pia

a a

pia

a ee TT T− −== =⇒

Pertanto si dice che l’ impulso= e’ il generatore delle traslazioni infinitesime.

Per una particella libera (potenziale V=costante): [p,H]=0

traslando, l’impulso p si conserva.

Traslazione infinitesima: per larghezza del pacchetto,ˆ ˆˆ ˆ1 1

pia

a a

a

p pT e ia T ia= ≈ + − ≈

34

Il principio di inerzia fu scoperto da Galileo Galilei e dettagliatamente descritto in due sue opere, rispettivamente, nel 1632 e nel 1638: il Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo e Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla mecanica e i movimenti locali.

ˆ[ , ] [ , ] 0 se H non dipende da t.

L'energia si conserva per l'uniformita' del tempo.

E H i Ht∂

= =∂

35

In generale ogni invarianza comporta una legge di conservazione (teorema di Emmy Noether)

[ , ] 0 per ogni sistema isolato.L'il momento angolare si conserva per l'isotropia dello spazio.L H =

Emmy Noether

In Meccanica quantistica come si ruota una ψ ?

36

cos sin 0sin cos 0

0 0 1R φ

φ φφ φ∆

∆ ∆ = − ∆ ∆

Rotazione intorno all’asse z di un punto (x,y,z) nello spazio

e' ruotata in senso orario rispet( , , ) ( ) ( cos si

to a se >0. Quindi >0 ruota il riferimento in

n , cos sin , )( , ,anti

senso orario)

.

f x y z f R r f x y y x zf x y z

φ

φφ

φ φ φ φ∆→ = ∆

∆

∆ − ∆

∆

+ ∆

Rotazione infinitesima: 1 sin cos 1φ δφ δφ δφ δφ∆ = ⇒ ≈ ≈

1 cos sin 0 1 cos0 sin cos 0 0 sin0 0 0 1 0 0

R φ

φ φ φφ φ φ∆

∆ ∆ ∆ = − ∆ ∆ = − ∆

Il punto e’ ruotato in senso orario se ∆φ >0: ad esempio, y

x

Rotazione intorno all’asse z di una funzione

36

37

[1 ]zLR iδφ δφ= −

( , , ) ( , , ) f fR f x y z f x y y x z f y xx yδφ δφ δφ δφ δφ∂ ∂

= + − = + −∂ ∂

[1 ( )] ( , , ) [1 ( )] ( , , ) [1 ]x y zi iy ix f x y z i yp xp f x y z i L fx y

δφ δφδφ ∂ ∂= − − = − − + = −

∂ ∂

φ δφ δφ

φ δ

δφ

φδφφ=

∆=

∆∆ = → =

= = = −

∞

∏

∑

1

1

Rotazione finit

infinit

a come prodottodi infinite rotazioni infinitesime

( ) 1 ]

sim

[

e i

i

nn

n

ii

i

nz

i

LR i

n

R

n

R

Rotazione infinitesima: al primo ordine,

37

( , , ) ( ) ( cos sin , cos sin , )

equivale a n rotazioni di .

f x y z f R r f x y y x z

n

φ φ φ φ φ

φ∆→ = ∆ + ∆ ∆ − ∆

∆

+ = − + +

⇒ + ≈ ⇒

+ ≈ ⇒ + ≈ ⇒ + ≈

−

2 3

Serie di Taylor, [1 ] ...2 3

se n x,

Una nota

[1 ]

[(1 )] [(1 ) ] (1 ) .

Per x=-a

formula di calcolo infinitesimale

,

(1 )

n n x

x xLog x x

x xLogn n

x x xnLog x Log x en n n

an

−→ →∞pern ae n

φφδφ∆

∆= − = −

Rotazione finita: [1 ] [1 ]n nz zL LR i i

nφ

φ

∆−

∆ = Operatore di rotazione:zi L

R e

39

Il momento angolare Lx e’ il generatore delle rotazioni infinitesime attorno a x

[Li,H]=0 per particella in un sistema invariante per rotazioni

† 1infatti: ˆ e' unita rio : R R RR φ φ φ φ−

∆ ∆ −∆∆ = =

Il momento angolare totale e’ conservato

per ogni sistema isolato (isotropia dello spazio)

( ) ( ) ( )φ φφψ φ ψ φ ψ φ∆

∆= =ha autostati: che soddisfano im imm m me R e

φ

φ

∆−

∆ =

.ˆRotazioni con asse arbitrario: e' unitario

LiR e

39

φ

φ

∆−

∆ = Operatore di rotazione: diagonale sulla base di L

zi L

z

R e

(ruotiamo il campione, oppure noi passiamo a un nuovo riferimento ruotato)

Emmy Noether

x

y

90 gradi antiorari asse x

90 gradi antiorari asse y

x

y

90 gradi antiorari asse x

EFT

90 gradi antiorari asse y

x

y

Momento angolare come generatore delle rotazioniLe rotazioni non commutano

orizzontale verticale

41

Come si ruota uno spin?

41

Come ruotare di intorno z lo spinore

cosampiezza lungo z 2, ?ampiezza lungo z sin

2i

a

ne φ

αθ

θ

↑

↑ = = ↓

z

spin

Asse z Θ

φ

φφ+α

Allora il buon senso comune dice:

( )

cos2

sin2

ie φ α

θ

θ +

Vediamo se e’ vero!

L

generatore rotazioni orbitali .

i L

R eα

α

−=

2S σ=

generatore rotazioni di spin .

i SR e

α

α

−=

42

.i SR e

α

α

−=

02

1 000 12 22 z

i

i ii

R e e e

α

α αασ

α

− − − − = = =

Come si ruota uno spin? Dunque,

L

generatore rotazioni orbitali .

i L

R eα

α

−=

2S σ=

generatore rotazioni di spin .

i SR e

α

α

−=

z

42

.Calcolo di con un parallelo all'asse z

i SR e

α

α α−

=

43

02

20 02

0 2

0

1!1

!

( ) 00 022

0 0 ( ) 021! 2

i nn i

in

in n

n

iie

R ei

n

ni

en

αα

α

α α

αα

α α

− ∞ − ∞ =

∞=

=

− − = = = =

∑∑

∑

0 010! 0

n

n

en e

µ

ν

µν

=

∑0 0

0 0

n n

n

µ µν ν

=

Le matrici diagonali si trattano come numeri:

4343

Per ruotare di intorno z lo spinore

cosampiezza lungo z 2, usiamo l'operatore R :ampiezza lungo z sin

2i

a

ne

αφ

αθ

θ

↑

↑ = = ↓

22

2

( )2 2

cos cos cos0 2 2 2R ,sin sin0 sin2 22

ii

i

i ii ii

een e

e ee e e

αα

α

α α αφ φ αφ

θ θ θ

θ θθ

−−

−

+

↑ = = =

4444

22

Non basta prendere :

c'e'davanti un fattoredi fase

cos2 e fare

sin2

e se ruotiamodi un angolo giro, 1

i

i

e

e R

φ

α

π

φ

θ

αθ

φ

−

+

= −

→

2 1. Rα π= = −

Gulp!

45

Cosa cambia?

Un fattore di fase non cambia il vettore dello spazio di Hilbert, non cambia gli elementi di matrice fra stati ruotati.

Pero’ cambia l’interferenza fra un fascio di spin ruotati e il fascio non ruotato!

Rotazione intorno a un asse arbitrario

.

volte il versore dell'asse di rotazione.

i SR e

α

α

α α

−==

46

Come si ruota un elettrone con spin?

L

generatore rotazioni orbitali .

i LorbR e

α

α

−=

2S σ=

generatore rotazioni di spin .

i SspinR eα

α

−=

46

J L S= +

generatore rotazioni spin-orbitali

J.

i

R eα

α

−=

momento angolare totale dell'elettrone.J L S= +

47

Momento magnetico di spinsenza il quale non potremmo osservarlo.

Dalla teoria relativistica di Dirac viene un momento magnetico non dovuto a correnti ma allo spin:

µ =

= ==

2massa elettrone, 2

Correzioni di elettrodinamica quantistica ( ) danno 2.0023.

e gSm

m gQED g

c

µ µ π

π

µ ππ

=

⇒ = ∧

2

2

Classicamente,

dove = momento magnetico, S= r area della spira,

ev n normale, i=corrente i= 2 r

ev evr e e = = r v= 2 rc 2c 2c 2mc

i Snc

r n n L

→∞Nel limite sparisce lo spin. Nella teoria di Pauli:c

4747

48

µ

σ

µ

µ σ

∆ = − ⇒

=

−

=

→

. nel caso classico H H .

. 1 .2 2 2

.eg eE B B

Bc mc

B Bm

µ

µ

µ

−

− −

= ⇒ = −

= =

= =

5

24 1

magnetone di Bohr-Procopi

1 0(0,0, )

0 1

5.788 10 /2

9.27 * 10 ( )2

u

B

B

B

B B H B

e eV Tmc

e JT MKSm

00y

ii

σ−

=

0 11 0xσ

=

1 00 1zσ

= −

σµ −

= + −

.2 2

. = z x y

x y z

B B iBe eBB iB Bmc mc

B

49

Particella con spin in campo magnetico

La transizione diretta fra sottolivelli di spin puo essere fatta assorbendo oemettendo un fotone (epr=risonanza di spin elettronico, nmr= risonanza dispin nucleare).Per un protone lo stato fondamentale e’ α , per l’elettrone β.La separazione dei livelli e’ molto piu grande per l'elettrone.

ω

ω

↓

↑ ↓ ↑

=

⇒ −

L

Lo spin da' due sottolivelli; poiche' g =2,e E = B

2mceE

stessa frequenza

= - B E E =2mc

LeBmc

Carica positiva in campo magnetico

β

α

E EPR

50

livelli in campo B

β

α

E

L'esperimento conferma che un elettrone puo’ transire fra stati di spin opposto assorbendo o cedendo un fotone (di spin 1), ad esempio in esperimenti di risonanza magnetica.

50

EPR spectrum of the CH3 radical

EPR spectrum of the H2C(OCH3) radical 51

Risonanza di spin elettronico (Electron Paramagnetic Resonance)

L’elettrone sente il campo magnetico degli spin dei protoni e lo spettro puo’ essere interpretato e fornisce informazione strutturale

52

Come l’equazione di Schrödinger, ma la funzione di stato e’ uno spinore, cioe’ una funzione a 2 componenti, H e’ una matrice 2x2

† * *( , )( ) , ( ) ( ( , ) , ( , ) )

( , )a x t

x x a x t b x tb x t

ψ ψ

= =

Equazione di Pauli per l’elettrone

ψ ψ∂=

∂i H

t

2 2 2

2 2 2

0 0 ( , )( , ) ( , )2 2 2( , ) ( , )

0 0 ( , )2 2 2

p p p a x ta x t a x tm m mH ib x t b x ttp p p b x t

m m m

∂ = ⇒ = = ∂

ωω

ωψ

−−

−

= = + =

=

2 20 00 0

002 2

Soluzione: ( , ) , | | | | 1,

Energia , indipendente da a,b2

k

k

k

ikx i tikx i t

ikx i t

k

a e ax t e a b

bb e

kEm

Elettrone libero (banale, lo spin non gioca alcun ruolo)

53

Particella neutra di Pauli (atomo di Ag, oppure neutrone) in campo magnetico uniforme (0,0,B)

2

24 12

2 2

2 2

02 . , . . , 9.27*10 , 2

2 2 20

2

0 02 2(0,0, )

20 0

2 2

B B

BB

z

B

pe e emH gS B gS B B JT gm m mp

mp p B

Bm mB B H gp p Bm m

µ σ µ

µµ σ

µ

− −

= − ≈ = = ≈

−

= ⇒ = − ≈

+

ψ ε µ

ψ ε µ ε ω

ω

= = = −

= = = + ∆ =

=

2 2

2 2

Autostati simultanei :1

( ) , ( )0 20

00( ) , ( ) , ,

1 2

The two states are separated by

ikxikx

B

ikxB Larmorikx

Larmor

di H e p

e kx e k BM

kx e k BMe

eBMc

Sir Joseph Larmor

(1857-1942)

54

→

2

Particella e livelli di Landau

eminimal coupling p p-

care(p- A)cH

i sec nza spa

Ac

in

=

2m

( , , )y yx xz zA AA AA ArotA

y z z x x y∂ ∂∂ ∂∂ ∂

= − − −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

classicamente, a causa della forza di Lorentz, vla particella fa' un moto a elica.

ma q B= ∧

Lev Landau, Baku 1908-Mosca 1968

= − ⇒ = =

Usiamo la Gauge di Landau:( ,0,0) (0,0, )

doveA y B B rotA B

La soluzionequantistica di Lev Landau

55

( )ψ χ+=

+ +

( )

22 2 2

x

eBy( - )ˆ cH= oscillatore lungo y;2m 2m 2m

k sposta l'origine dell'oscillatore

x zi k x k z

xy z

e y

kp k

=⇔

=[ , ] 0[ , ] 0, conservati,

x

x

z

z

H pp

H pp

moto libero lungo x,z

+ +2 2 2x

eBy(p - )cH=

2my zp p

ω= + +

2( )1( )2 2

zn L

kE n

mωω

=

⇒

=

+ +

= +

2 22

2 2

22 2

Per 0

( )(eBy)H=2m 2 2m c

H2m 2

Livelli di Landau

x

y z

yL L

eBm

kp km

mp m y

c

Sir Joseph Larmor

(1857-1942)

ω = = frequenza di LarmorLeBmc

56

x

y

zB

Moto libero lungo z

Moto libero, ma

px sposta origine dell’oscillatore // y

Moto oscillatore armonico con frequenza di Larmor

+ +

22 2 2eBy( - )ˆ cH=

2m 2m 2mxy z

kp k

57

Particella con carica e spin in campo elettromagnetico:

Teoria di Pauli – spinori a 2 componenti.

2

2

( )0

2 ( )( )

02

.2

e gS Bmc

ep AcmH e r

ep Acm

φ

− = + − −

2

2

( )0

2

( )0

2

cioe' H ( )B

B

ep Acm

ep Ac

Be

m

r

B

µφ

µ

− −

= −

+

+

In questa teoria e’ possibile inserire correzioni relativistiche (spin-orbita etc.).E’ una prima approssimazione, valida alle basse energie, alla teoria di Dirac in cui gli spinorihanno 4 componenti e rappresentano sia gli elettroni che i positroni.

momenti angolari in fisica atomica

Un elettrone in un campo centrale ha momento angolare orbitale e momentoangolare di spin. Ruotando l’atomo si ruotano ambedue. Il momento orbitale e di spin sarebbero conservati separatamente, se non fosse per una interazione spin-orbita relativistica proporzionale a L.S fra il momento magnetico orbitale e quello di spin. Questa e’ analoga all’interazione fra dipoli magnetici. Il momento conservato (se non c’e’ altro) e’ J=L+S ( piu’ in generale bisogna considerare lo spin del nucleo.)

Due elettroni in un atomo hanno ciascuno il suo momento angolare, ma sono accoppiati dall’interazione coulombiana e da quella magnetica.

Il nucleo di un atomo puo’ avere uno spin, che interagisce col momento angolare degli elettroni; il momento nucleare e’ la risultante degli spin 1/2 di protoni e neutroni e dei loro momenti orbitali nel nucleo.

Il momento angolare totale di un sistema isolato qualsiasi e’ sempre conservato.E’ il generatore delle rotazioni infinitesime di tutto il sistema.

5858

Somma di due momenti angolari

I momenti angolare da comporre si riferiscono a gradi di liberta’ indipendenti, come lo spin e l’orbita di un elettrone, due spin diversi etc,..

1 2 1 2

1 2

, [ , ] 0.Se i sottosistemi interagiscono e possono fluttuare, mentre il buon numero quantico conservato e' il j totale.Se i soli momenti ango

j j j j jj j

−= + =

1 2lari sono e quello conservato e' .j j j

5959

1 2C h i a mi a m o i momenti da sommare ( , ......)j e j L S

1 2 Z Z Zj j j= +

1 2 x x xj j j= +

1 2 y y yj j j= +

6060

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1

1 2

1 2 2 1

( ) ( ) .

per e .I termini misti fanno 0 perche' a

j j j j j j j j j j j j

S S i S S j jj j j j b b a

+ ∧ + = ∧ + ∧ + ∧ + ∧

∧ = =

∧ + ∧ ∧ = − ∧

La somma di momenti angolari e' dimensionalmente unmomento angolare.

j

1 2 1 2 2 1[ , ] 0 0.j j j j j j− = ⇒ ∧ + ∧ =

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2Resta ( ) ( ) ( )j j j j j j j j j j+ ∧ + = ∧ + ∧ = +

Le componenti si sommano come nel caso classico, ma fra loro non sono compatibili. Trovata jz come troviamo j, cioe’ l’autovalore j(j+1)?

La somma di momenti angolari e' davvero un momento angolare; vale la legge . Infatti,

jj j i j∧ =

J genera le rotazioni infinitesime del sistema complessivo

ha autovalori2J

2( 1) , 0,1, 2,...j j j+ =

2 2 2, 0, , 0, , 0x y zJ J J J J J− − −

= = =

ha autovalori interizJ , 1,... 1,m j j j j= − − + −

φ

φ

−=

.JiR e

61

La somma di momenti angolari e' un momento angolare, quindi:j

= +

= + +

1 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

prodotto direttodelle basiLa base naturale per rappresentaree' il

(2 1)(2 1) stati

j j j

j m j m j m j m j j

φ φ φ

φ φ

− − −= ⇒ =

. . .

Per esempio per ruotare lo spinore di un elettrone

dove J=L+S; [L,S]=0 .J L Si i i

R e R e e

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2

( )

( ) .z z z z z z

j

j j j j j m j m j j j m j m

m m j m j m m m m

= + ⇒ = +

= + ⇒ = +

−

= + +

≠

2 2 21 2 1 2

2 2 21 2

2 21 2

Quadrato di un momento angolare: 2 .Qui, , e sono compatibili, perche' i quadrati sono compatibili con le componenti. Pero' [ , ] 0 [ ,z z

j j j j jj j j

j j j j − ≠

1 2

] 0j compatibile con ma incompatibile con , ; infatti,z z zj j j

62

1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2z zj j m j m m j m j m j j m j m m j m j m= =

Ogni operatore agisce sulle sue variabili:

− −

− − − −

= =

= + = +

− + ≠

2 21 1 2 2

1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2

1 2 1 2

[ , ] 0 [ , ] 0 ma[ . , ] [ , ] [ , ] [ , ]( ) 0.

z z

z x x y y z x z x y z y

y x x y

j j j jj j j j j j j j j j j j j j

i j j j j

63

Momento angolare dell’atomo idrogenoide

Tenendo conto dello spin gli autostati dell’atomo sono |LS mL,mS > dove mL,mSsono gli autovalori delle componenti z di L ed S.

Lo stato |LS mL,mS > non ha in generale j definito, perche’ il J risultante j non e’ compatibile con mL,mS . Possiamo dire che J fluttua.

Una base alternativa e’ |LSjmj> dove pero’ non sono definite le componenti z di L ,S.

L’ elettrone dell’atomo di H ha una base di stati

|LSjmj>

in cui S e’ ovviamente fisso; |LSjmj> non ha mL,mS definiti pero’ ha oltre a LSJ anche mj = mL+mS. In altri termini, le componenti z dello spin e del momento angolare fluttuano, ma la risultante componente z e’ costante

Fra le due basi |LS mL,mS > e |LSjmj> c’e’ una trasformazione unitaria, ma e’preferibile la base con j definito perche’ e’ conservato anche tenendo conto della Interazione spin-orbita.

+ =

Per un elettrone atomico il momento angolare e' .L S J

64

In realta’, J e’ conservato a meno delle interazioni iperfini con lo spin nucleare, che producono scissioni dei livelli dell’ordine dei microelettronvolt.

ξ

α α+ − + − +=

+ +

SO

4 2

SO 3

H = . e' di origine relativistica (il momento magnetico dello spin interagisce con quello orbitale) e cresce velocemente con Z.

( 1) ( 1) ( 1) 1Infatti H , =1 1372 ( 1)( )2

L S

Z J J L L S S Rydbergn L L L

− −

+ =

≠ ≠

2SOPer un elettrone atomico e' conservato perche' [H ,J ]=0.

Pero' [ . , ] 0 [ . , ] 0z z

L S J

L S S L S L

65

Esempio: quali sono gli stati di j definito nel 2p di Htenendo conto dello spin?

⇒

Momento angolare totale j=L+S di un elettrone nell'orbitale 2p dell'atomo di H: dobbiamo combinare L = 1 con lo spin 3x2 = 6 stati , .L Sm m

=

= =

> >

3massimo2

3 3 viene da 2 2

3 3(se esistesse esisterebbe anche )2 2

j

j

j

m

m j

j m

j = 3/2 comporta 4 stati.In tutto gli stati sono 6, quindi ne mancano 2che saranno quelli di j = 1/2 .

− −= ⇒ =

3 3 1 1 3, , ,2 2 2 2 2jj m

Caso generale.

Combiniamo j1 e j2 per fare il momento angolare totale j

Mj=j1+j2Esiste uno stato con Ma non di piu’Esiste uno stato con Ma non di menoMj= - (j1+j2)

Nella base |j1m1j2m2> c’e’ j=j1+j2

1 1 2 2 1 2, ( massimo,un solo elemento)j jm j m j M j j M= = ⇒ = +

1 2

1 1 2 21 2

1 1 2 2

1 2 1 2

Consideriamo gli stati con 1.1,

1 si ottiene in 2 modi diversi, 1

due stati, uno con j j uno con j j 1

m j jm j m j

m j jm j m j

= + −

= − = ⇒ = + −= = −

⇒ + + −

1 2

1 2

anche j j 1 e' presente 1 volta.Esistono tutti 1 volta fino a |j -j |. Vale l'identita'

+ −

+

= −

+ = + +∑1 2

1 2

1 2| |

Identita': (2 1) (2 1)(2 1). Il numero di stati torna.j j

j j jj j j

6666

+ +1 2umero di stati del sistema: (2 1)(2 1)N j j

67

Atomo di H nello stato fondamentale: L=0 quindi il momento angolare totale j e’ la risultante degli spin di elettrone e protone

α(1) β(1)

Stati elettrone

α(2) β(2)

Stati nucleo

22 21 111 1 (1) m (1) m2

autovalori di per elettro

1 1(2) m

ne e protone

:

2

(2) m2 2

z

j

S

m m mα βα β= = − ==− +=

αα β

β

αβ α

β

= +

−

1 2

(1)(1) (1)

(2)(2) (

1 ?, 02) ?

1 ?(1 ( )) 2

jstati m m m j

αβ αα

ββ β

α−

( (2)

Possiamo assegnare ag

(2)1) 1 1

(1) , (1) (

li es

2) 0 ?

t

(1

re

(2 1

i

1))

m :

jstati

j

m j

α

β α

β

α

α β

β −

=

(

1 ha 3 stati, in tutt

(1) 1 1(1) ,

o sono

2)(2) (2(1) 0 0,1

(1

4

) 1 1)

(2)

jstati m

j

j

Vediamo i 4 stati possibili |elettrone,nucleo> :

68

1 2 massimo 1 massimo 1j jm m m m j= + ⇒ = ⇒ =

1 0, 10 0

j

j

j mj m= ⇒ = ±

= ⇒ =

α α β α α β β β

α α

α β β α

β β

α β β α

−

= =

Nel caso di due spin 1/2: base (1) (2) , (1) (2) , (1) (2) , (1) (2)

(1) (2) 1 1(1) (2) , (1) (2) 0 0,1

(1) (2) 1 1

Quali combinazioni di (1) (2) e (1) (2) hanno 0, oppure 1?

jstati m j

j j

diagonali le componenti z dei due spin, ma non j

69

Costruzione degli autovettori del quadrato momento angolare totale J e di Jz nel caso di 2 spin ½ singoletto e tripletto

2

e abbassiamo la componente z del momento angolare t[ , ]

ota0 Se partiamo con

(1) (2)

troviam

(1)l

(2)

1, 0o

e conx y

j

S S iS S S

j S S

J m

α α± ±−

− − −

= ± = ⇒

=

=

=

+ ( )(1) (2) (1) (2) (1) (2)

(1) (1) (2) (1) (2)

(2) (1) (2) (1) (2)

j S S

S

S

α α α α

α α β α

α α α β

− − −

−

−

= +

=

=

α β β α+⇒ =

(1) (2) (1) (2)1,0

2 69

0 1 0 0 2, , , ,

1 0 0 0 0x y z z

ii

σ σ σ σ α α σ β β+

− = = = = = −

α α

α β β βα

β β

α β α

=

+= =

− =

−(1) (2) (1) (2)

1,1 (1) (2)

(1) (2) (1) (2)1,0 ,

21, 1 (1)

0,02

(2)

α β β α+=

=

(1) (2) (1) (1)1,0

20,0 deve essere ortogonale: 0,0 1,0 0 perche' autostati con diversi numeri quantici.

Verifica: Come si vede che sono autostati di S^2 ?

α α

α β β α α β β α

β β

=

+ −= =

− =

1,1 (1) (2)

(1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)1,0 , 0,0

2 21, 1 (1) (2)

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 21 2 1 2 1 2

1 03( ) 2 . . Usiamo perche' .0 14

1. ( ). Quindi2

3 12( ( )) e si verifica facilmente. A2 2

i

z z x x y y z z

z z

S S S S S S S S S

S S S S S S S S S S S S S S

S S S S S S S

σ

+ − − +

+ − − +

= + = + + = = =

= + + = + +

= + + +

d esempio,

α α α α α α α α

α α α α α α α α

+ − − ++ = = +

= + = ⇒ = +

2 21 2 1 2 1 2

2 2 2 2

3( ) (1) (2) 0 quindi (1) (2) (1) (2) 2 (1) (2)2

3 2( ) (1) (2) 2 (1) (2) (1) (2) 1(1 1) (1) (2) .2 4

z zS S S S S S S

S

1 1 2 2 1 1 2 2j

j jjm

j m j m jm jm j m j m=∑

=− =−

=

=

∑ ∑1 2

1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 Coefficienti di Clebsch-Gordan;

si ricavano col procedimento appena visto,usando operatori di shift e ortogonalizzazione.

j j

j jm j m j

j

jm j m j m j m j m jm

j m j m jm

α α

α β β α

β β

=

+= =

− =

1,1 (1) (2)

(1) (2) (1) (2)tripletto 1 : 1,0

21, 1 (1) (2)

S α β β α−=

singoletto S=0 :(1) (2) (1) (2)

0,02

α α β α α β β β

=z

C'e' una trasformazione unitaria (cambiamento di base) dalla base(1) (2) , (1) (2) , (1) (2) , (1) (2) che ha s definito per i

due elettroni alla base di stati con j=S , j definiti.z

jm

7272

Autostati dello spin per 2 elettroni α α β β= = −

1 1,2 2z zS S

73

=

− =

− =

− =

− =

− − − =

1 2 1 2

Coefficienti di Clebsch-Gordan

1 1 1 1 11 12 2 2 21 1 1 1 1102 2 2 2 21 1 1 1 1002 2 2 2 21 1 1 1 1002 2 2 2 21 1 1 1 1102 2 2 2 21 1 1 1 1 1 12 2 2 2

j j m m jm =

− =

− =

=

= −

− − =

− − =

− − =

− − = −

− − − =

1 2 1 2Coefficienti di Clebsch-Gordan

1 1 3 31 1 12 2 2 21 1 3 1 11 12 2 2 2 31 1 1 1 21 12 2 2 2 3

1 1 3 1 21 02 2 2 2 3

1 1 1 1 11 02 2 2 2 3

1 1 3 1 21 02 2 2 2 3

1 1 1 1 11 02 2 2 2 3

1 1 3 1 11 12 2 2 2 3

1 1 1 1 21 12 2 2 2 31 1 3 11 1 12 2 2 2

j j m m jm

73