Teoria de Vigas -...

Departamento de Engenharia Mecânica ENG 1704 - Mecânica dos Sólidos II

Teoria de Vigas

Prof. Arthur Braga

Mecânica dos Sólidos II

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

φρ Δ=′′NMDeformação do segmento IJ

φρ Δ−=′′ )( yJI

Eixo Neutro (deformação nula)

Compresão

M ′ N ′

I ′ J ′

Tração

ρ

y−ρ

y



Deformação longitudinal

NMNMJI

IJIJJI

xx ′′′′−′′=−′′=ε

φρ Δ=′′NM


ydxdy

xxφ

ρε −=−=

Deformação cisalhante

021 == xyxy γε

Simetria (flexão pura)



Curvatura

O

O′

φΔ

φΔφ

sΔ

ρ

B

C

A curvatura no ponto B é definida como:

ρφφ 11limlim

00=

′=

ΔΔ==

→Δ→Δ BOsdsdk

ssw

x

Para w’ << 1



xxσ

x

y

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000000)(

),,(y

zyxxxσ

σ

IMyyxx −=)(σ

Tensões Normais de Flexão

MM


Teoria da Elasticidade

Problema Corpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, etc.)

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

Determinar •  Esforços internos (tensões) •  Deformações •  Deslocamentos



•  Relações entre deslocamentos e deformações

zuyuxu

zzz

yyy

xxx

∂∂=

∂∂

=

∂∂=

ε

ε

ε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂

==

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+

∂∂==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂==

yu

zu

xu

zu

xu

yu

zyyzyz

zxxzxz

yxxyxy

21

21

21

21

21

21

γε

γε

γε



•  Relações constitutivas (tensão vs. deformação)

TEEE

TEEE

TEEE

zzyyxxzz

zzyyxxyy

zzyyxxxx

Δ++−−=

Δ+−+−=

Δ+−−=

ασσνσνε

ασνσσνε

ασνσ

νσε

G

G

G

yzyz

xzxz

xyxy

2

2

2

σε

σε

σε

=

=

=

( )ν+=12EG



•  Equações de Equilíbrio

0=∂

∂+∂∂

+∂∂

zyxxzxyxx σσσ

0=∂

∂+

∂∂

+∂

∂zyxyzyyxy σσσ

0=∂∂+

∂∂

+∂∂

zyxzzyzxz σσσ



•  15 Equações –  Equilíbrio (3) –  Deformação vs. Deslocamentos (6) –  Tensão vs. Deformação (6)

•  15 Variáveis:

•  Condições de contorno

yzxzxyzzyyxx

yzxzxyzzyyxx

zyx uuu

εεεεεεσσσσσσ

,,,,,

,,,,,

,,

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8


x

y

z 3D

Teoria de Vigas

n(x)

q(x)

Teoria de Vigas (aproximação)

q(x)

x

n(x)

1D


Teoria de Vigas

x

z

Hipótese Cinemática

P u

P’

Φ

w P’’

⎩⎨⎧

==

)()0,()()0,(xwxuxuxu

z

x


Teoria de Vigas

x

z

z Q Q’

Φ

Q’’

u w

-zφ

Hipótese Cinemática ⎩⎨⎧

=−=)(),(

)()(),(xwzxu

xzxuzxu

z

x φ


Teoria de Vigas

x

z

Teoria de Bernoulli-Euler ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=

)(),(

)(),(

xwzxudxdwzxuzxu

z

x

90°

dxdw=φ

dxdw


Teoria de Vigas Definição de Esforços Generalizados

O Esforço Normal

σxx N x x

∫=A

xx dAN σ



O Momento Fletor

dN =σxx(z) dA

x

x

∫=A

xx dAzM σ

z

σxx

x

M



O Esforço Cortante

σxz V

x x

∫=A

xz dAV σ


Teoria de Vigas Equilíbrio (Tensão Plana)

0=∂∂+

∂∂

zxxzxx σσ

0=∂∂+

∂∂

zxzzxz σσ

0=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+

∂∂

∫A

xzxx dAzxσσ

0=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+

∂∂

∫A

xzxx dAzx

z σσ

0=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+

∂∂

∫A

zzxz dAzxσσ


0)(0 =+⇒=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+

∂∂

∫ xndxdNdA

zxA

xzxx σσ

Teoria de Vigas Equilíbrio (cont.)

dxdNdA

dxddA

x Axx

A

xx ==∂∂

∫∫ σσ

)(xndAzA

xz =∂∂∫

σ

logo x

y

z

n(x)



dxdMdAz

dxddA

xz

Axx

A

xx ==∂∂

∫∫ σσ

VdAz

zA

xz −=∂∂

∫σ

0)(0 =−⇒=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+

∂∂

∫ xVdxdMdA

zxz

A

xzxx σσ

logo



dxdVdA

dxddA

x Axz

A

xz ==∂∂

∫∫ σσ

)(xqdAzA

zz =∂∂∫

σ

0)(0 =+⇒=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+

∂∂

∫ xqdxdVdA

zxA

zzxz σσ

logo x

y

z q(x)


Teoria de Vigas Equilíbrio

0)( =+ xndxdN

0)( =− xVdxdM

0)( =+ xqdxdV

Extensão (Esforços Axiais)

Flexão (Esforços de Flexão)


Teoria de Vigas Deformações

2

2

dxwdz

dxdu

xux

xx −=∂∂=ε

021 =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+

∂∂=

xu

zu zx

xzε

0=∂∂=zuz

zzε

Relações Constitutivas

02

2

2

==

−==

xzxz

xxxx

GdxwdzE

dxduEE

εσ

εσ


Teoria de Vigas Relações Constitutivas em termos dos esforços generalizados

dxduEAdA

dxwdEzdA

dxduEdAN

AAAxx =−== ∫∫∫ 2

2

σ

2

2

2

22

dxwdEIdA

dxwdEzdA

dxduzEdAzM

AAAxx −=−== ∫∫∫ σ

∫=A

dAzI 2

onde I é o momento de inércia da seção transversal da viga:


Teoria de Vigas

Momento de Inércia ∫=A

dAzI 2

Seção Retangular

h

b

12

3bhI =

Seção Tubular

8211

64

344 tDDtDI ππ ≈⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=

D

t


Momento de Inércia

Seção Tubular

D

t

Para D >> t


Momento de Inércia

0.00#

0.50#

1.00#

1.50#

2.00#

2.50#

3.00#

3.50#

4.00#

4.50#

0# 10# 20# 30# 40# 50# 60# 70#D/t

D

t


0%#

50%#

100%#

150%#

200%#

250%#

300%#

0# 10# 20# 30# 40# 50# 60# 70#

Momento de Inércia

D/t

D

t

ERRO RELATIVO


x

y

z 3D

Teoria de Vigas

n(x)

q(x)

Teoria de Vigas (aproximação)

q(x)

x

n(x)

1D


Teoria de Vigas

x

z

Teoria de Bernoulli-Euler ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=

)(),(

)(),(

xwzxudxdwzxuzxu

z

x

90°

dxdw=φ

dxdw



O Esforço Normal

σxx N x x

∫=A

xx dAN σ



O Momento Fletor

dN =σxx(z) dA

x

x

∫=A

xx dAzM σ

z

σxx

x

M



O Esforço Cortante

σxz V

x x

∫=A

xz dAV σ


Teoria de Vigas Equilíbrio (Tensão Plana)

0=∂∂+

∂∂

zxxzxx σσ

0=∂∂+

∂∂

zxzzxz σσ

0=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+

∂∂

∫A

xzxx dAzxσσ

0=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+

∂∂

∫A

xzxx dAzx

z σσ

0=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+

∂∂

∫A

zzxz dAzxσσ


Teoria de Vigas Equilíbrio

0)( =+ xndxdN

0)( =− xVdxdM

0)( =+ xqdxdV




Teoria de Vigas Deformações

2

2

dxwdz

dxdu

xux

xx −=∂∂=ε

021 =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+

∂∂=

xu

zu zx

xzε

0=∂∂=zuz

zzε

Relações Constitutivas: ESTADO UNIAXIAL DE TENSÕES

02

2

2

==

−==

xzxz

xxxx

GdxwdzE

dxduEE

εσ

εσ


Teoria de Vigas

dxduEAN

xndxdN

=

=+ 0)(

2

2

0)(

0)(

dxwdEIM

xqdxdV

xVdxdM

−=

=+

=−

x

y

z

n(x) x

y

z

x

y

z

n(x)n(x)


x

y

zq(x)

x

y

z

x

y

zq(x)q(x)




φρ Δ=′′NMDeformação do segmento IJ


Eixo Neutro (deformação nula)

Compresão

M ′ N ′

I ′ J ′

Tração

ρ

y−ρ

y



Deformação longitudinal

NMNMJI

IJIJJI

xx ′′′′−′′=−′′=ε

φρ Δ=′′NM


ydxdy

xxφ

ρε −=−=

Deformação cisalhante

021 == xyxy γε

Simetria (flexão pura)



Curvatura

O

O′

φΔ

φΔφ

sΔ

ρ

B

C

A curvatura no ponto B é definida como:

ρφφ 11limlim

00=

′=

ΔΔ==

→Δ→Δ BOsdsdk

ssy

x


Teoria de Vigas

dxduEAN

xndxdN

=

=+ 0)(

2

2

0)(

0)(

dxwdEIM

xqdxdV

xVdxdM

−=

=+

=−

x

y

z

n(x) x

y

z

x

y

z

n(x)n(x)


x

y

zq(x)

x

y

z

x

y

zq(x)q(x)





Teoria de Vigas Tensões

AN

dxduEE xxxx === εσ

IMz

dxwdzEE xxxx =−== 2

2

εσ


Teoria de Vigas

Ex. 1 (flexão): Viga bi-engastada sujeita a carregamento transversal uniforme

x

z q(x) = - q = cte.

2

2

0

0)(

dxwdEIM

qdxdV

xVdxdM

−=

=−

=−

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

0)(

0)(

0)0(

0)0(

LdxdwLw

dxdww

Condições de Contorno


Teoria de Vigas (Ex. 1 – continuação)

432

23

1

4

4

4

2

2

24)(0

0)(

cxcxcxcEIqxxwq

dxwdEI

dxwdEIM

qdxdV

xVdxdM

++++−=⇒−=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=

=−

=−

Utilizando-se as condições de contorno:

EIqLc

EIqLccc

12e,

24,0,0 1

2

234 =−===

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−=

2344

224

)(Lx

Lx

Lx

EIqLxw


Teoria de Vigas (Ex.1 – continuação)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−=

2344

224

)(Lx

Lx

Lx

EIqLxw

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=−= 166

12)(

22

2

2

Lx

LxqL

dxwdEIxM

EIqLLww384

)2(4

max −==12

)()0(2

maxqLLMMM ===

{ }tD

qLxx 2

2

3max

πσ = para viga de seção tubular (D/t >> 1)


Teoria de Vigas

dxduEAN

xndxdN

=

=+ 0)(

2

2

0)(

0)(

dxwdEIM

xqdxdV

xVdxdM

−=

=+

=−

x

y

z

n(x) x

y

z

x

y

z

n(x)n(x)


x

y

zq(x)

x

y

z

x

y

zq(x)q(x)



Teoria de Vigas (Ex. 2)

Ex. 2 (flexão): Viga simplesmente apoiada sujeita a carregamento transversal concentrado

⎩⎨⎧

<<<<

==LxL

Lxxq

EIxq

dxwd

2,020,0

)(,)(4

4

x

z P

L/2 L/2

A função q(x) não está definida em x = L/2



432

23

14

4

)(0 cxcxcxcxwdxwd +++=⇒=

432

23

14

4

)()()()(0 dxLdxLdxLdxwdxwd +−+−+−=⇒=

20 Lx <<Para

LxL <<2Para



0)(''0)()(0)()(

0)0(''0)0()(0)0()(

0

=⇒==

==⇒=

==

LwLMivLwiii

LxwMii

wix

Condições de contorno

Quatro condições de contorno para oito constantes!

Deve-se considerar as condições de continuidade em x = L/2



Deslocamentos e rotações devem ser contínuos em x = L/2 Condições de continuidade para o esforço cortante e momento fletor são obtidas a partir do equilíbrio de um elemento de volume em torno do ponto x = L/2

)2()2( −+ = LwLw

)2(')2(' −+ = LwLw

x

z P

L/2 L/2

x

z P

L/2 L/2



x

z P

P

)2( +LM

)2( +LV

)2( −LM

)2( −LV

EIPLwLwPLVLVLwLwLMLM

−=−⇒=−=⇒=−

−+−+

−+−+

)2(''')2(''')2()2()2('')2(''0)2()2(


(i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii)


00)0( 4 =⇒= cw00)0( 2 =⇒=′′ cw00)( 4 =⇒= dLw00)( 2 =⇒=′′ dLw

2828)2()2( 33

133

1 LcLcLdLdLwLw +=+⇒= −+

32

132

1 4343)2(')2(' cLcdLdLwLw −−=+⇒= −+

2626)2('')2('' 11 LcLdLwLw =⇒= −+

EIPcdEIPLwLw −=−−⇒−=− −+11 66)2(''')2('''



11)( dcvii =⇒

33)()( dcvvii =⇒+

Resolvendo para as constantes:

043)()()( 32

1 =+⇒++ cLcvivvii

EIPLcEIPcviviii 16e,12)()( 231 −==⇒+



Solução:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<<⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

<<⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−

=

LxLLxL

LxL

EIPL

LxLx

Lx

EIPL

xw

2,4348

20,43

48)(

33

33

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<<⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

<<⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−

=

LxLLxL

EIPL

LxLx

EIPL

xw

2,4116

20,41

16)('

22

22



P

EIPLLw48

)2(3

−=

EIPLw16

)0('2

−=EIPLLw16

)('2

=


Resultados Tabelados

( )xLEIPxx −= 36

)(2

δ

EIPL3

3

max =δmaxδ

L

P

maxθ EIPL2

2

max =θ

EIPL2

2

max =θ

EIaLPa

6)3(2

max−=δ

maxδ

L

Pa

maxθEIPa2

2

max =θ

EIMxx2

)(2

=δ

EIML2

2

max =δmaxδ

L

M

maxθ EIML=maxθ


Resultados Tabelados

( )LxLxEIqxx 4624

)( 222

−+=δ

EIqL8

4

max =δmaxδ

L

q

maxθ EIqL6

3

max =θ

EIPL16

2

max =θ

maxθ

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

<−=

2,)2

(8436

2,4348)(

332

32

LxLxxxLEIP

LxxxLEIP

xδ

EIPL48

3

max =δ

maxδ

2L

P

2L

maxδ

L

q

maxθ ( )3222

224

)( xLxLEIqxx +−=δ

EIqL

3845 4

max =δEIqL24

3

max =θ

Teoria de Vigas -...

Documents

Transcript of Teoria de Vigas -...