Teori Gelombang Chapter 1

Click here to load reader

  • date post

    15-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    9
  • download

    0

Embed Size (px)

description

dasar teori gelombang

Transcript of Teori Gelombang Chapter 1

  • Teori Gelombang

    1

    BAB I

    GELOMBANG SEDERHANA

    Dalam mendeskripsikan gelombang pertama kita harus memiliki acuhan, dalam buku

    ini digunakan koordinat Cartesian dimana z menunjukkan arah atas atau vertikal serta x dan y

    menunjukkan arah horizontal di sisi kanan. Dalam keadaan tenang, permukaan laut memiliki

    nilai z = 0. Saat terdapat gelombang nilai z = (x,y,t), dimana t adalah waktu. Dasar lautan

    dianggap rata dimana nilai z untuk dasar lautan adalah z = -H.

    BESARAN DAN SATUAN

    A = Amplitudo Gelombang

    k = nilai gelombang (2/L)

    x = jarak pada arah x

    = elevasi permukaan laut

    = frekuensi gelombang dalam radian per detik (2f)

    t = waktu

    g = percepatan gravitasi (9,8 m/s2)

    H = kedalaman laut

    e = 2,7183

    POSTULAT 1

    Jika A|k|

  • Teori Gelombang

    2

    tanh() =

    + (1.3)

    POSTULAT 2

    Masih menganggap bahwa nilai A|k|

  • Teori Gelombang

    3

    ke arah x ke kiri. Tinggi gelombang adalah jarak antara puncak dan lembah gelombang secara

    vertikal atau setara dengan 2A

    Pada persamaan (1.1) gelombang merambat pada arah x dengan laju fase (phase speed):

    =

    k (1.8)

    Persamaan-persamaan diatas hanya berlaku jika A|k|

  • Teori Gelombang

    4

    hubungan dispersi (Dispertion Relation) yang merupakan hubungan fisikal, dan menunjukkan

    bahwa bahasan dilakukan terhadap gelombang laut bukan gelombang lain. Dispertion relation

    adalah hubungan antara frekuensi dengan nilai gelombang (wavenumber) k. Atau bisa

    dikatakan sebagai hubungan antara laju fase (phase speed) c dengan panjang gelombang .

    Deskripsi fisis terhadap persamaan (1.1) dan (1.2) belum lengkap. Untuk mendapatkan

    penjelasan lengkap, kita harus memeprhatikan lebih lanjut bagaimana kecepatan fluida (fluid

    velocity) bergantung pada lokasi dan waktu. Kecepatan fluida (V) adalah sebuah vektor yang

    bergantung pada (x, y, z, t). Persamaannya dapat dituliskan sebagi berikut:

    (, , , ) = ((, , , ), (, , , ), (, , , )) (1.9)

    Untuk gelombang yang dijelaskan oleh persamaan (1.1) dan (1.2), komponen y pada V

    dihilangkan karena pembahasan hanya 2 dimensi yakni x dan z. Sehingga v = 0, dan nilai

    komponen u dan komponen w adalah:

    = cosh(k(H+z))

    sinh(kH) cos(kx t) (1.10)

    dan

    = sinh(k(H+z))

    sinh(kH) sin(kx t) (1.11)

    Persamaan (1.10) dan (1.11) adalah persamaan yang rumit. Teteapi 2 batasan kasus akan

    mempermudah dan mendapatkan perhatian lebih

    Mulai sekarang pembahasan akan berfokus hanya pada k bernilai positif atau

    gelombang merambat ke arah x positif (kanan). Batasan masalah yang pertama adalah untuk

    Deep Water Wave (gelombang dalam) dimana nilai kH >> 1 dimana kedalaman laut jauh lebih

    besar dibandingkan dengan panjang gelombang. Pada batasan kH >> 1 berlaku:

    tanh() =

    +

    = 1 (1.12)

    cosh((+))

    sinh()=

    (+)+((+))

    (+)

    = (1.13)

    sinh((+))

    sinh=

    (+)((+))

    (+)

    = (1.14)

    Sehingga Deep Water Wave dapat dideskripsikan menjadi:

    DW = cos( ) (1.15a)

  • Teori Gelombang

    5

    DW = (1.15b)

    DW = cos( ) (1.15c)

    DW = sin( ) (1.15d)

    DW menunjukkan Deep Water.

    Batasan masalah yang kedua adalah untuk kasus yang berlawanan dengan yang

    pertama, yakni Shallow Water Wave (Gelombang Laut Dangkal) ketika kH

  • Teori Gelombang

    6

    Swell yang terbentuk jauh di tengah lautan pasti dikategorikan sebagai DW.

    Berdasarkan persamaan (1.15b), laju fase DW, yakni laju puncak gelombang dan lembah

    gelombang dinyatakan dalam:

    DW =

    =

    =

    2 (1.20)

    Sehingga gelombang dengan panjang gelombang yang lebih tinggi akan bergerak dengan laju

    lebih cepat. Laju fase (phase speed) pada persamaan (1.20) tidak bergantung kepada amplitudo

    gelombang (A), dan nilainya jauh lebih besar dibandingkan kecepatan fluida (fluid velocity)

    (1.15c) dan (1.15d). kecepatan fluida besarnya sebanding dengan amplitudo A dan nilainya

    sangat kecil dalam teori linear

    Dalam persamaan (1.15c) dan (1.15d) terdapat variabel ekz , sehingga jika nilai z makin

    kecil maka kecepatan fluida akan semakin kecil. Z kecil menunjukkan bahwa posisi titik

    semakin dalam dibawah permukaan laut. Berdasarkan persamaan (1.15c), kecepatan fluida

    adalah searah dengan penjalaran gelombang jika dibawah puncaknya, dan berlawanan arah jika

    dibawah lembahnya. Berdasarkan persamaan (1.15d), fluida akan naik jika didepan puncak dan

    akan menurun jika dibelakangnya.

    Pada batasan shallow water (1.19), kecepatan horizontal u nilainya tidak bergantung

    kepada nilai z

  • Teori Gelombang

    7

    kecepatan vertikal w nilainya berbanding lurus dengan nilai z, tetapi nilainya jauh lebih kecil

    daripada u karena adanya faktor kH. Laju fase (phase speed) untuk gelombang shallow water

    adalah = , nilainya bergantung pada nilai H tapi tidak bergantung pada panjang

    gelombang . Pada perairan dangkal (shallow water), gelombang pada panjang gelombang

    berapapun bergerak dengan laju yang sama.

    Dengan pengamatan secara langsung terhadap swell yang menuju pantai. Karena skala

    peluruhan vertikalnya jelas terlihat jika dibandingkan panjang gelombangnya, gelombang akan

    memanjang ke bawah dengan jarak yang dapat terlihat jika dibandingkan dengan jarak

    antarpuncak. Saat kedalaman laut lebih besar daripada panjang gelombang, kedalamannya bisa

    diasumsikan tak terhingga yang akan menyebabkan gelombang tidak akan pernah menyentuh

    dasar laut. Tapi jika kedalaman laut menjadi kecil dibandingkan dengan panjang gelombang,

    penggunaan rumus-rumus DW menjadi tidak akurat, dan kita harus menggunakan rumus-

    rumus umum, yang akan tetap valid berapapun nilai H (1.1, 1.2, 1.10, 1.11). Saat gelombang

    sampai di perairan dangkal, dimana kedalamannya lebih kecil daripada panjang gelombangnya,

    rumus SW bisa digunakan (1.19).

    Pembahasan dibawah ini sudah tidak menggunkan rumus-rumus diatas yang

    pembahasannya berfokus dengan anggapan H adalah konstan, perubahan sangat sedikit pada

    kedalaman jika dibandingkan dengan panjang gelombang dapat diasumsikan bahwa kedalaman

    tersebut adalah konstan, baik untuk DW maupun SW. Jadi pembahasan selanjutnya adalah

    tentang gelombang yang bergerak dengan varisai kedalaman.

    Anggap x adalah jarak tegak lurus menuju pantai. Anggap rata-rata kedalaman H(x)

    turun secara bertahap ke arah x. Jadi gelombang yang datang herus memenuhi hubungan

    dispersi slowly varying (slowly varying dispertion relation):

    = () tanh(() ()) (1.21)

    jika frekuensi konstan dan H(x) akan semakin turun saat semakin dekat dengan pantai maka

    k(x) akan naik atau panjang gelombangnya akan turun. Untuk membuktikannya bisa dengan

    melakukan penurunan persamaan (1.21) untuk mengetahui bahwa dk/dx dan dH/dx memiliki

    nilai yang berlawanan. Jika gelombang sudah sampai di perairan yang sangat dangkal maka

    persamaan (1.21) menjadi:

    SW = 2() (1.22)

  • Teori Gelombang

    8

    dengan laju fase = ()

    Mungkin anda bertanya manakah yang akan terpengaruh oleh perubahan nilai H apakah

    atau k. Jawabanya akan dibahas di bab 6.

    Anggap (xp(t), zp(t)) adalah koordinat dari satu partikel fluida yang dipilih secara acak.

    Pencarian gerakan partikel fluida menggunakan coupled ordinary differential equation atau

    persamaan diferensial biasa:

    = ((), (), ) (1.23a)

    = ((), (), ) (1.23b)

    Untuk DW, kecepatan ditunjukkan oleh persamaan (1.15c-d), jadi akan berubah menjadi:

    DW

    = cos( ) (1.24a)

    DW

    = sin( ) (1.24b)

    Solusi eksak dari persamaan (1.24) akan sangat sulit dicari. Tetapi jika A nilainya kecil, partikel

    fluida tak akan pernah bergerak jauh. Kita bisa gunakan fakta ini untuk membenarkan

    pendekatan yang akan membuatnya lebih mudah untuk diselesaikan (1.24).

    Anggap (x0,z0) adalah lokasi rata-rata partikel fluida, maka:

    = 0 + () (1.25a)

    = 0 + () (1.25b)

    Dimana x(t) dan dz(t) adalah perpindahan yang sangat sedikit dari posisi rata-ratanya.

    Substitusi persamaan (1.25) ke persamaan (1.24) menghasilkan :

    DW

    = (0+)cos((0 + ) ) (1.26a)

    DW

    = (0+)sin((0 + ) ) (1.26b)

    Penyelesaian persamaan ini tidak semudah kelihatannya. Untuk memudahkannya digunakan

    ekspansi Taylor, mengetahui fakta bahwa x dan z nilainya sangat kecil. Hanya ditulis

    beberapa bagian awalnya saja secara eksplisit, persamaan (1.26) menjadi:

    = [0(1 + k + )][cos(0 ) (0 ) +] (1.27a)

  • Teori Gelombang

    9

    = [0(1 + k + )][sin(0 ) + (0 ) +] (1.27b)

    Jika kita hanya mengambil bagian yang paling besar di sisi kanan grafik, didapatkan:

    DW

    = 0 cos(0 ) (1.28a)

    DW

    = 0 sin(0 ) (1.28b)

    Perlu diingat bahwa persamaan (1.28) juga hasil dari mengganti (x,z) dengan (x0,z0) pada

    persamaan (1.15c-d). Penyelesaian persamaan (1.28) dilakukan dengan pengintegrasian

    langsung:

    DW () = 0 sin(0 ) + 1 (1.29a)

    DW () = 0 cos(0 ) + 2 (1.29b)

    Dimana C1 dan C2 adalah konstanta pengintegrasian. x dan z menyatakan jarak/selisih xp

    dan zp dari posisi rata-rata , sehingga C1 dan C2 harus hilang :

    DW () = 0 sin(0 ) (1.30a)

    DW () = 0 cos(0 ) (1.30b)

    Anggap x0=0. Keadaan ini berakibat pada pemilihan partikel yang terletak lurus dibawah

    puncak gelombang pada saat t=0. Karena setiap partikel fluida selalu terletak dibawah puncak

    gelombang, ini bukanlah suatu batasan lagi. Pada kasus ini, persamaan (1.30) berubah menjadi:

    DW () = 0 sin() (1.31a)

    DW () = 0 cos() (1.31b)

    Lintasan partikel berhubungan dengan persamaan (1.31) adalah lingkaran dengan jari-jari

    Aekz0. Jari-jari ini nilainya paling besar untuk fluida yang posisi rata-ratanya berada di

    permukaan laut (z0=0) dan akan semakin berkurang jika z0 berkurang. Untuk gelombang yang

    bergerak ke arah kanan, partikel air akan bergerak memutar searah jarum jam, dengan puncak

    lingkaran berhubungan dengan lokasinya dibawah puncak gelombang dan bagian bawah dari

    lingkaran berhubungan dengan lokasinya dibawah lembah gelombang. Tetapi karena Ak

  • Teori Gelombang

    10

    gelombang ke posisi awalnya alias tak ada perpindahan sejajar dengan arah penjalaran

    gelombang.

    Untuk gelombang dangkal, dilihat dari persamaan (1.19c-d) bahwa kecepatan vertikal w jauh

    lebih kecil daripada kecepatan horizontal u oleh adanya faktor kH

  • Teori Gelombang

    11

    lintasan pada persamaan (1.35) adalah elips dengan sumbu utama/mayor sepanjang 2A/kH

    pada arah horizontal dan sumbu minor dengan panjang 2A(1+z0/H) pada arah vertikal. Pada

    dasar samudra (zo=-H), pergerakan fluida sangat horizontal nyata.

    Seperti pada kasus perairan dalam DW, partikel fluida tidak mengalami perpindahan lokasi

    pada pendekatan ordo pertama ini. Tapi daripada meniadakan x ke arah kanan pada persamaan

    (1.33a), lebih baik mengganti dengan pendekatan pertama (1.35a). Tetapi pendekatan yang

    lebih baik dari (1.35a) tetap dibutuhkan. Mensubstitusikan persamaan (1.35a) ke sisi kanan

    persamaan (1.33a) dan mengabaikan semua bagian-bagian yang nilainya kecil, didapatkan:

    SW

    =

    [cos() +

    sin2()] (1.36)

    Dengan menggunakan identitas sin2 =1

    2(1 2), persamaan (1.36) diintegralkan

    mendapatkan:

    SW () =

    sin(t)

    A2

    22sin(2t) +

    A2

    22 (1.37)

    Sekali lagi, persamaan (1.37) harusnya menjadi pendekatan yang lebih baik untuk menyatakan

    perpindahan partikel daripada persamaan (1.35a). Bagian pertama pada persamaan (1.37)

    adalah persamaan (1.35). bagian kedua dari persamaan (1.37) adalah bagian osilasi, sama

    seperti bagian pertama. Seperti bagian pertama, bagian kedua tidak menyebabkan perpindahan

    lokasi partikel dan nilai osilasinya lebih kecil daripada bagian pertama karena nilainya

    sebanding dengan kuadrat amplitudo A dimana nialinya dianggap desimal.

    Bagian terakhir pada persamaan (1.37) nilainya sebanding dengan A2, tetapi tidak

    seperti 2 bagian sebelumnya, bagian ini tidak menyatakan osilasi. Bagian ini sebanding dengan

    waktu t. Bagian ini menyatakan sebuah gerakan keseimbangan kecil (steady drift) yang sering

    disebut Stokes drift sebuah partikel dengan laju:

  • Teori Gelombang

    12

    SW cdrift =A2

    22=

    1

    2

    2

    2 (1.38)

    gerakan partikel searah dengan arah penjalaran gelombang. Karena A nilainya kecil dan

    desimal (infinitesimal) maka cdrift nilainya akan lebih kecil dari laju fase c.

    Untuk gelombang laut dalam, persamaan yang tepat adalah analog dengan

    persamaan (1.36) yakni dengan mensubstitusikan persamaan (1.30) ke persamaan (1.27a)

    dengan x0=0 didapat:

    DW

    = [0(1 + )][cos() + sin()]

    = [0(1 + 0cos())][cos() + 0sin2()]

    = 0[cos() + 0(cos2() + sin2())]

    = 0[cos() + 0] (1.39)

    pada bagian ke dua-terakhir dari persamaan (1.39), kita harus tetap menjaga persamaan tersebut

    proporsional dengan A dan A2, tapi nilai A3 dihilangkan karena nilainya sudah sangat kecil.

    Pengintegralan persamaan (1.39) memberi pendekatan pertama (1.30a), ditambah osialsi yang

    lebih kecil ditambah drift seperti di persamaan (1.37). untuk mendapatkan drift-nya sendiri,

    kita hanya perlu