Teori Gelombang 2 New.pdf

152
R. Triatmadja R. Triatmadja 2011 2011 This Lecture note is based on This Lecture note is based on Water Wave Mechanics for Engineer and Water Wave Mechanics for Engineer and Scientist Scientist Dean and Dalrymple , 1994 Dean and Dalrymple , 1994

Transcript of Teori Gelombang 2 New.pdf

Page 1: Teori Gelombang 2 New.pdf

R. TriatmadjaR. Triatmadja 20112011

This Lecture note is based on This Lecture note is based on Water Wave Mechanics for Engineer and Water Wave Mechanics for Engineer and

ScientistScientist Dean and Dalrymple , 1994Dean and Dalrymple , 1994

Page 2: Teori Gelombang 2 New.pdf

LONGWAVELONGWAVE

( )( ) ( )tkxkh

zhkHgku σσ

−+= coscosh2

cosh

( )( ) ( )tkxkh

zhkHgkw σσ

−+= sincosh2

sinh

( )tkxH ση −= cos2

Kinematika gelombang secara umum

( )khgTc tanh2π

=

Page 3: Teori Gelombang 2 New.pdf

LONGWAVELONGWAVE

( ) khkh ≈tanh

cgh

chgkhgTc === π

ππ2

22

ghc =

Page 4: Teori Gelombang 2 New.pdf

LONGWAVELONGWAVE

( )( ) ( )tkxkh

zhkHgku σσ

−+= coscosh2

cosh

Jika kh mendekati nol (kh<0.3), maka

1)cosh( ≈kh 1)(cosh)cosh( ≈+≈ zhkkh

( )tkxgHku σσ

−= cos2 σ2max,

gHku surface =

ha

cga

cu == 2

Page 5: Teori Gelombang 2 New.pdf

LONGWAVELONGWAVE

( )( ) ( )tkxkh

zhkHgkw σσ

−+= coscosh2

sinh

( )tkxzhkgHkw σσ

−+≈ cos)(2

Laakkh

cga

cw 28.6

2 ===

khgHkw surface σ2max, ≈

20<Lh

khL

huw == π2

102 ππ < ==L

huw

Page 6: Teori Gelombang 2 New.pdf

Persamaan gelombang dapat diturunkan tidak dengan Persamaan gelombang dapat diturunkan tidak dengan penyederhanaan sebanyak penyederhanaan atau asumsi penyederhanaan sebanyak penyederhanaan atau asumsi pada gelombang Airypada gelombang Airy

LONGWAVELONGWAVE

0=∂

∂+∂

∂+∂

∂zw

yv

xu ρρρ Persamaan kontinuitas

0=∂∂+

∂∂+

∂∂

zw

yv

xu Persamaan kontinuitas

disederhanakan (ρ = konstan)

0),,(),,( =−−+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂

∫∫∫ −−−hyxwyxwdz

yvdz

xudz

zw

yv

xu

hhhη

ηηη

Page 7: Teori Gelombang 2 New.pdf

Ingat aturan Leibnitz untuk IntegrasiIngat aturan Leibnitz untuk Integrasi

( ) ( ) ( ) ( )xxxxQ

xxxxQdyyxQ

xdyyxQ

xx

x

x

x ∂∂−

∂∂+

∂∂=

∂∂

∫∫)()(,)()(,,,

)(

)(

)(

)(

ααβββ

α

β

α

LONGWAVELONGWAVE

Dalam hal ini misalnya Q(x,y) adalah u atau v, α(x)=-h, β(x)=η. Dalam hal ini dy adalah dz pada persamaan sebelumnya.

( ) ( ) ( ) ( )xxxxQ

xxxxQdyyxQ

xdyyxQ

xx

x

x

x ∂∂+

∂∂−

∂∂=

∂∂

∫∫)()(,)()(,,,

)(

)(

)(

)(

ααβββ

α

β

α

0),,(),,( =−−+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂

∫∫∫ −−−hyxwyxwdz

yvdz

xudz

zw

yv

xu

hhhη

ηηη

( ) ( ) ( ) ( )xxxyxQ

xxxyxQdzzyxQ

xdzzyxQ

xx

x

x

x ∂∂+

∂∂−

∂∂=

∂∂

∫∫)()(,,)()(,,,,,,

)(

)(

)(

)(

ααβββ

α

β

α

Page 8: Teori Gelombang 2 New.pdf

=∂∂−−

∂∂−

∂∂+

−−+∂∂−−

∂∂−

∂∂

η

η

ηη

ηηη

h

h

yhhyxv

yyxvdzv

y

hyxwyxwxhhyxu

xyxudzu

x

0),,(),,(

),,(),,(),,(),,(

Secara Keseluruhan diperoleh persamaan Kontinuitas gelombang

( ) ( ) ( ) ( )xxxyxQ

xxxyxQdzzyxQ

xdzzyxQ

xx

x

x

x ∂∂+

∂∂−

∂∂=

∂∂

∫∫)()(,,)()(,,,,,,

)(

)(

)(

)(

ααβββ

α

β

α

( ) ( ) ( ) ( )xxxxQ

xxxxQdyyxQ

xdyyxQ

xx

x

x

x ∂∂+

∂∂−

∂∂=

∂∂

∫∫)()(,)()(,,,

)(

)(

)(

)(

ααβββ

α

β

α

0),,(),,( =−−+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂

∫∫∫ −−−hyxwyxwdz

yvdz

xudz

zw

yv

xu

hhhη

ηηη

Page 9: Teori Gelombang 2 New.pdf

Dengan asumsi bahwa Dengan asumsi bahwa

dzuh

Uh∫ −+

η 1 dzv

hV

h∫−+=

η

η 1

( )[ ] ( )[ ]

0),,(),,(),,(),,(

),,(),,(

=−−+∂∂−−

∂∂−

∂∂−−

∂∂−+

∂∂++

∂∂

hyxwyxwxhhyxu

xyxu

yhhyxv

yyxvhV

yhU

x

ηηη

ηηηη

=∂∂−−

∂∂−

∂∂+

−−+∂∂−−

∂∂−

∂∂

η

η

ηη

ηηη

h

h

yhhyxv

yyxvdzv

y

hywyxwxhhyxu

xyxudzu

x

0),,(),,(

),,),,(),,(),,(

Asumsi ini inclusif menganggap aliran irrotasional

Page 10: Teori Gelombang 2 New.pdf

Persamaan kinematika permukaan airPersamaan kinematika permukaan air

),,(),,(),,( ηηηηηη yxwy

yxvx

yxut

=∂∂+

∂∂+

∂∂

yhhyxv

xhhyxuhyxw

∂∂−−

∂∂−−=− ),,(),,(),,(

),,( ηηηηη yxwydt

dyxdt

dxtdt

d =∂∂+

∂∂+

∂∂=

Kecepatan vertikal di permukaan

Kecepatan vertikal di dasar

Page 11: Teori Gelombang 2 New.pdf

( )[ ] ( )[ ]ty

hVx

hU∂

∂−=∂

+∂+∂

+∂ ηηη

( )[ ] ( )[ ]

0),,(),,(),,(),,(

),,(),,(

=−−+∂∂−−

∂∂−

∂∂−−

∂∂−+

∂∂++

∂∂

hyxwyxwxhhyxu

xyxu

yhhyxv

yyxvhV

yhU

x

ηηη

ηηηη

yhhyxv

xhhyxuhyxw

∂∂−−

∂∂−−=− ),,(),,(),,(

),,(),,(),,( ηηηηηη yxwy

yxvx

yxut

=∂∂+

∂∂+

∂∂

Page 12: Teori Gelombang 2 New.pdf

Persamaan MomentumPersamaan Momentum

∂+∂

∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

zyxxp

zuw

yuv

xuu

tu

dtdu zxyxxx τττ

ρρ11

xg

xp

∂∂−=

∂∂− η

ρ1

( )[ ] [ ]

( )ρ

τητττηρ

ηη

ηβηβη

hyx

hx

hg

hUVy

hUxt

hU

zxzxyxxx

xxxx

−−+

∂+

∂∂++

∂∂+−=

+∂∂++

∂∂+

∂+∂

)()(1)(

)()( 2

Arah x

( )

( ) ∫∫

−−

+=

+=

+=

ηη

η

ηηβ

ηβ

hhyx

hxx

dzuh

UdzuvUVh

dzuUh

1 ; 1

1 22

Integral vertikal dengan Leibnitz rule, dan jika

Page 13: Teori Gelombang 2 New.pdf

Arah YArah Y

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( )ρ

τητττη

ρηη

ηβηβη

hyx

hy

hg

hVy

hUVxt

hV

zyzyyyxy

yyyx

−−+

∂+

∂∂

++∂∂+−=

+∂∂++

∂∂+

∂+∂

1)(

)( 2

Page 14: Teori Gelombang 2 New.pdf

Dengan menganggap koreksi integrasi = 1 diperolehDengan menganggap koreksi integrasi = 1 diperoleh

( ) ( ) ( )[ ]hhyxx

gyUV

xUU

tU

zxzxyxxx −−

++

∂+

∂∂

+∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂ τητ

ηρττ

ρη 11

( ) ( ) ( )[ ]hhyxy

gyVV

xVU

tV

zyzyyyxy −−

++

∂+

∂∂

+∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂ τητ

ηρττ

ρη 11

Arah x

Arah Y

Page 15: Teori Gelombang 2 New.pdf

( ) ( )ty

Vhx

Uh∂

∂−=∂

∂+∂

∂ η

xg

tU

∂∂−=

∂∂ η

yg

tV

∂∂−=

∂∂ η

2

2

2

2

2

22

tyxC

∂∂=

∂∂+

∂∂ ηηη

Persamaan gelombang panjang linier

Page 16: Teori Gelombang 2 New.pdf

Gelombang linierGelombang linier

)cos(2

tkxH ση −=

)sin(2

tkxkHgt

U σ−=∂

hCtkxkHgU ησ =−= )cos(

2

Apa bedanya dengan gelombang Airy ???

Page 17: Teori Gelombang 2 New.pdf

Persamaan gelombang panjang Persamaan gelombang panjang dalam bentuk differensialdalam bentuk differensial

Masa jenis konstanMasa jenis konstan Kecepatan dan momentum horizontal dianggap Kecepatan dan momentum horizontal dianggap

merata sepanjang vertikal (sehingga hanya merata sepanjang vertikal (sehingga hanya berlaku untuk gelombang panjang)berlaku untuk gelombang panjang)

Air dianggap inviscid (tak punya kekentalan) Air dianggap inviscid (tak punya kekentalan) sehingga tak ada gesekansehingga tak ada gesekan

??????

Page 18: Teori Gelombang 2 New.pdf

Shoaling gelombang panjangShoaling gelombang panjang

21

2

1

41

2

112

=

bb

hhHH

F= EnCb

Page 19: Teori Gelombang 2 New.pdf

Gelombang tercampur akibat Gelombang tercampur akibat refleksirefleksi

kxtH

tkxHtkxH

ri

ri

coscos

)cos(2

)cos(2

σηηη

σσηηη

=+=

++−=+=

Page 20: Teori Gelombang 2 New.pdf

2nodeπ=kx (5.31a)

4nodeLx =

(5.31b)

( ) |cos|2||2 klHl =η (5.32)

( )( ) |cos|

10kll

=ηη

(5.33)

Posisi Node

l

Page 21: Teori Gelombang 2 New.pdf

Gelombang panjang pada saluran Gelombang panjang pada saluran dengan tampang bervariasidengan tampang bervariasi

Permasalahan : dapatkah dihitung dengan F=EnCb ??

Page 22: Teori Gelombang 2 New.pdf

Gelombang panjang pada saluran Gelombang panjang pada saluran dengan tampang bervariasidengan tampang bervariasi

( )t

bx

Uhb∂

∂−=∂

∂ η Persamaan Kontinuitas (5.34a)

xgb

tUb

∂∂−=

∂∂ η Persamaan Momentum (5.34b)

( ) konstan)lebar untuk (tx

Uh∂

∂−=∂

∂ η

xg

tU

∂∂−=

∂∂ η

Saluran ke arah X sehingga

Persamaan ini bukan terjadi karena dikalikan dengan b, tetapi diturunkan dari persamaan alinya dengan mengambil lebar b bervariasi

Page 23: Teori Gelombang 2 New.pdf

2

2

tb

tUhb

x ∂∂−=

∂∂

∂∂ η

Diferensialkan ke arah t diperoleh:

Dalam hal ini h dan b tidak berubah terhadap t (apa artinya ?)

Substitusikan persamaan momentum untuk memperoleh:

2

2

txbh

dxd

bg

∂∂=

∂∂ ηη

( )t

bx

Uhb∂

∂−=∂

∂ η

xgb

tUb

∂∂−=

∂∂ η

Page 24: Teori Gelombang 2 New.pdf

If

( ) txtx σηη cos)(, =

Than

( ) ( ) 02 =+

x

dxxdbh

dxd

bg ηση

2

2

txbh

dxd

bg

∂∂=

∂∂ ηη

Page 25: Teori Gelombang 2 New.pdf

( ) ( ) ( ) 0)( 22

2

=+

+ x

dxxdbh

dxxd

dxbhd

bg ησηη

( ) ( ) 02 =+

x

dxxdbh

dxd

bg ηση

( ) ( ) ( ) 0)( 22

2

=+

+ x

dxxdb

dxxd

dxbd

bgh ησηη

( ) ( ) ( ) 0)( 2

22

2

=+

+ x

cdxxd

dxxd

bdxbd ησηη

Page 26: Teori Gelombang 2 New.pdf

( ) ( ) ( ) 01 22

2

=++ xkdx

xdxdx

xd ηηη

( ) ( ) ( ) 0)( 2

22

2

=+

+ x

cdxxd

dxxd

bdxbd ησηη

Jika b= ax maka

Selesaian dengan Bessel Function

Page 27: Teori Gelombang 2 New.pdf

( ) ( ) ( ) 01 22

2

=++ xkdx

xdxdx

xd ηηη

Selesaian dengan Bessel Function

( ) ( ) ( )[ ] tkxYCkxJCtx ση cos, 0201 +=

C : Konstanta

Untuk x=0, maka Yo= tak berhingga, solusi ini ditanggalkan (tak mungkin)

( ) ( )[ ] tkxJCtx ση cos, 01=

Page 28: Teori Gelombang 2 New.pdf

( ) ( )[ ] tkxJCtx ση cos, 01=

Jika gelombang sinusoidal, dengan tinggi H di x=l, maka

( ) ( )[ ] tHtklJCtl σση cos2

cos, 01 ==Jadi:

( )klJHC0

1 2=

( ) ( )( ) tklJkxHJtx ση cos

2,

0

0=

Page 29: Teori Gelombang 2 New.pdf

kx

Jo(kx)

Misal kx (yaitu lokasi yang akan dicari) = 2maka Jo(kx) =

Harga kl sudah tertentu tergantung l (panjang corong) misal kl =5

Page 30: Teori Gelombang 2 New.pdf

Bessel FunctionBessel Function

Page 31: Teori Gelombang 2 New.pdf

Fluktuasi Muka Air di dalam Fluktuasi Muka Air di dalam Tapper ChannelTapper Channel

Page 32: Teori Gelombang 2 New.pdf

Pantai BaronPantai Baron

Page 33: Teori Gelombang 2 New.pdf
Page 34: Teori Gelombang 2 New.pdf

( ) ( ) tklJ

tx ση cos2

1,0

=

( )klJ0max 2

1=η

Page 35: Teori Gelombang 2 New.pdf

Benarkah elevasi muka air dapat mencapai Benarkah elevasi muka air dapat mencapai tak berhingga ?tak berhingga ?

Apa yang berbeda antara persamaan Apa yang berbeda antara persamaan dengan kenyataan ?dengan kenyataan ?

Page 36: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Height from mouth to Channel EndWave Height from mouth to Channel End

Pola Tinggi Gelombang yang Masuk Tapchan Pada Arah 175o (MSL)

0

2

4

6

8

10

12

0 200 400 600 800 1000

Jarak Model (Cm)

H m

odel

(Cm

)

T=2 dtkT=2.4 dtkT=2.77 dtkT=2.77 dtkT=2.38 dtkT=2 dtkT=2 dtkT=2.38 dtkT=2.73

Page 37: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Height from mouth to Channel EndWave Height from mouth to Channel End

Pola Tinggi Gelombang yang Masuk Tapchan Pada Arah 191o

(MSL)

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

0 200 400 600 800 1000

Jarak Model (Cm)

H m

odel

(Cm

)

T=2 dtk

T=2.4 dtk

T=2.8 dtk

T=2 dtk

T=2.4 dtk

T=2.8 dtk

T=2.8 dtk

T=2.4 dtk

T=2 dtk

Page 38: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Height from mouth to Channel EndWave Height from mouth to Channel EndPola Tinggi Gelombang yang Masuk Tapchan Pada Arah 210o (MSL)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 200 400 600 800 1000

Jarak model (Cm)

H m

odel

(Cm

)

T=2.8 dtkT=2.4 dtkT=2 dtkT=2 dtkT=2.4 dtkT=2.8 dtkT=2.8 dtkT=2.4 dtkT=2 dtk

Page 39: Teori Gelombang 2 New.pdf

QuestionsQuestions

Bandingkan tapper channel dengan Bandingkan tapper channel dengan Kontinuitas Energi Fluks Kontinuitas Energi Fluks

1. Refleksi1. Refleksi 2. Tinggi Gelombang2. Tinggi Gelombang 3. Tinggi gelombang maximum3. Tinggi gelombang maximum 4. Phase4. Phase

Page 40: Teori Gelombang 2 New.pdf

Refleksi dan Transmisi Refleksi dan Transmisi Gelombang PanjangGelombang Panjang

Page 41: Teori Gelombang 2 New.pdf

Refleksi dan transmisi melalui Refleksi dan transmisi melalui perubahan mendadakperubahan mendadak

( ) ( )

( )122

111

cos2

cos2

cos2

∈+−==

∈+++−=+=

txkH

txkHtxkH

tt

rri

ri

σηη

σσηηη

transimisiincoming

refleksi

1 2

Page 42: Teori Gelombang 2 New.pdf

Water level fluctuation at Water level fluctuation at xx = 0 = 0

tri ηηη =+

0sin2

sin2

sincos2

cos22

cos =

∈+∈−

∈−∈+ t

tr

rt

tr

ri HHtHHHt σσ

( ) ( )

( )tt

t

rri

ri

txkH

txkHtxkH

∈+−==

∈+++−=+=

σηη

σσηηη

22

111

cos2

cos2

cos2

ttrri HHH ∈=∈+ coscos

ttrr HH ∈−=∈ sinsin

This term should be =0

This term should be =0

Page 43: Teori Gelombang 2 New.pdf

Continuity EquationContinuity Equation

Based on continuity Based on continuity equation at x=0equation at x=0

hCU η=21 )()( UbhUbh =

( ) tri CbCb ηηη 2211 =−

In the direction of the wave:

Of course at X=0, ( )ri ηη − tη=

Page 44: Teori Gelombang 2 New.pdf

ttrri HCbHCbHCb ∈=∈− coscos 221111

ttrr HCbHCb ∈=∈ sinsin 2211

Mengantikan harga η, dan aljabar

Dengan memisalkan Kr=Hr/Hi dan Kt= Ht/Hi diperoleh

ttrr KK ∈=∈+ coscos1

ttrr CbCbKK ∈=∈− coscos1

11

22

ttrr KK ∈−=∈ sinsin

ttrr CbCbKK ∈=∈ sinsin

11

22

ttrri HHH ∈=∈+ coscosttrr HH ∈−=∈ sinsin( ) tri CbCb ηηη 2211 =−

Page 45: Teori Gelombang 2 New.pdf

ttrr KK ∈−=∈ sinsin

ttrr CbCbKK ∈=∈ sinsin

11

22

0sin111

22 =∈

+ tt Cb

CbK

5.50 Xb2C2/b1C1 tambahkan ke 5.51 dengan πε n±=

tr KK ±=±1

11

221CbCbKK tr ±=

Page 46: Teori Gelombang 2 New.pdf

πε n±=tr KK ±=±1

11

221CbCbKK tr ±=±

+1122 /1

2CbCb

Kt +±=

( )( )

+−

±=1/1/

1122

1122

CbCbCbCbK r

1122

1122

/1/1

CbCbCbCbK r +

−=

-

1122 /12

CbCbK t +

=

Page 47: Teori Gelombang 2 New.pdf

ExamplesExamples A long wave propagates into a converging channel. At A long wave propagates into a converging channel. At

the mouth the wave height is 0.19m, The channel the mouth the wave height is 0.19m, The channel depth is uniform at 5m, T=16s. The width of the depth is uniform at 5m, T=16s. The width of the channel is 50m at the mouth and becomes zero at channel is 50m at the mouth and becomes zero at about 340m from the channel. about 340m from the channel.

1.1. Calculate the wave height at the end of the channel Calculate the wave height at the end of the channel and and

2.2. Calculate the phase difference of the wave at the Calculate the phase difference of the wave at the mouth and at the end of the channel. mouth and at the end of the channel.

3.3. Compare the situation with Tidal wave component Compare the situation with Tidal wave component (M2)(M2)

Page 48: Teori Gelombang 2 New.pdf

ExamplesExamples The channel depth is uniform at 5m, T=16s. The channel depth is uniform at 5m, T=16s. C=(5*9.8)C=(5*9.8)0.50.5 =7.0m; L =7.0*16=112 m. =7.0m; L =7.0*16=112 m. k= 2*k= 2*ππ/L= 0.0561/L= 0.0561 The width of the channel is 50m at the mouth and The width of the channel is 50m at the mouth and

becomes zero at about 340m from the channel. becomes zero at about 340m from the channel. At the mouth, kl =0.0561*340=19At the mouth, kl =0.0561*340=19 At the end of the channel, kx=0At the end of the channel, kx=0 From Bessel function, the wave height at the mouth is From Bessel function, the wave height at the mouth is

0.19 of that at the end of the channel. Hence at the 0.19 of that at the end of the channel. Hence at the channel the wave height is 1.0m. No Phase different channel the wave height is 1.0m. No Phase different between the two locationsbetween the two locations

Page 49: Teori Gelombang 2 New.pdf

ExamplesExamples

Long wave of 0.1m propagates along the Long wave of 0.1m propagates along the channel of 100m wide and 20m deep. The channel of 100m wide and 20m deep. The channel abruptly changes its cross section into channel abruptly changes its cross section into 20m wide and 2m deep. 20m wide and 2m deep.

1.1. Calculate the reflected and transmitted wave.Calculate the reflected and transmitted wave.2.2. Is the energy flux conserved?Is the energy flux conserved?3.3. Compare it with Greens law ?Compare it with Greens law ?

Page 50: Teori Gelombang 2 New.pdf

Bessel FunctionBessel Function

Page 51: Teori Gelombang 2 New.pdf

Refleksi

Page 52: Teori Gelombang 2 New.pdf

Buktikan bahwa energi pada refleksi tetap Buktikan bahwa energi pada refleksi tetap (terkonservasi)(terkonservasi)

Pada kedalaman yang kecil di hilir, terjadi Pada kedalaman yang kecil di hilir, terjadi koefisien transmisi yang tinggi sementara tinggi koefisien transmisi yang tinggi sementara tinggi gelombang yang direfleksikan mendekati 100% gelombang yang direfleksikan mendekati 100% terangkan secara fisik (tentang konservasi terangkan secara fisik (tentang konservasi energi)energi)

Gelombang datang dari kedalaman 1m ke Gelombang datang dari kedalaman 1m ke kedalaman 1000m terangkan apa yang terjadikedalaman 1000m terangkan apa yang terjadi

Page 53: Teori Gelombang 2 New.pdf

LONG WAVES WITH BOTTOM LONG WAVES WITH BOTTOM FRICTIONFRICTION

Based on Dean and Dalrymple, 1984Based on Dean and Dalrymple, 1984

Page 54: Teori Gelombang 2 New.pdf

LONG WAVES WITH BOTTOM FRICTIONLONG WAVES WITH BOTTOM FRICTION

gRib ρτ =

gU

DLfh f 2

2

=

8

2fUb

ρτ =

gRigDiLh

gDfU f 8222 ===

Darcy Weisbach

Correlation between U,f and Ri

Correlation between U, f and τ

Page 55: Teori Gelombang 2 New.pdf

8|| UfU

bρτ =

8

2fUb

ρτ =

Is it correct ?

Why do we need such form ?

Page 56: Teori Gelombang 2 New.pdf

( )∑∞

+=0

0 cos tnaaUU n σ

Suppose

tUU m σcos=

In Fourier Series it can be rewritten as

This assumption limits the solution to sinusoidal wave form

Kita sudah mengasumsi bahwa U merupakan fungsi periodik

Page 57: Teori Gelombang 2 New.pdf

dtttT

UaTm |cos|cos0

2

0 σσ∫=

dt σtnσttTUa

Tmn coscoscos2

0

2

∫= σ

00 =aπ3

8 2

1mU

a = 02 =a

π158 2

3mU

a =

πρ

σπ

ρτ

3cos

3

2 UfUt

fU mmb ==

See : Fourier Series

Page 58: Teori Gelombang 2 New.pdf

( )AU

xg

hh

xg

tU zx −

∂∂−=

−−

∂∂−=

∂∂ η

ρτη

2

2

2

2

xgh

tA

t ∂∂=

∂∂+

∂∂ ηηη

xg

tU

∂∂−=

∂∂ η

No Friction !!

( ) ( ) ( )[ ]hhyxx

gyUV

xUU

tU

zxzxyxxx −−

++

∂+

∂∂

+∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂ τητ

ηρττ

ρη 11

( ) ( )ty

Vhx

Uh∂

∂−=∂

∂+∂

∂ η

h=constant

( )tx

Uh∂

∂−=∂

∂ η

2

22

tg

txUgh

∂∂−=

∂∂∂ η

xAUgh

xhg

xtUgh

∂∂−

∂∂−=

∂∂∂

2

22

2 η

If A is not a function of x

xUghA

xhg

xtUgh

∂∂−

∂∂−=

∂∂∂

2

22

2 η

tgA

xhg

xtUgh

∂∂+

∂∂−=

∂∂∂ ηη

2

22

2

tgA

xhg

tg

∂∂+

∂∂−=

∂∂− ηηη

2

22

2

2Long wave with bottom

friction

Page 59: Teori Gelombang 2 New.pdf

2

2

2

2

xgh

tA

t ∂∂=

∂∂+

∂∂ ηηη

( ) xktfHII

I cos2

ση =

022

2

=++ fghkdtdfA

dtfd

I

( ) xktAeHI

I

tAI cos411cos

2

2

12/

−= −

σση

Suppose the solution is:

The general wave equation should be :

xkafkx II cos2

2

2

−=∂∂ η

0coscoscos 22

2

=++ xkfghakdtdfxAka

dtfdxka IIII

Total Solution :

Standing wave

( ) tAe 2/−

This solution suggests that the wave height

reduces due to energy losses depending on the

decay modulus

k1 dan σ1 merepresentasikan adanya perubahan panjang

gelombang dan perioda karena adanya gesekan

Page 60: Teori Gelombang 2 New.pdf

( ) xktAeHI

II

tAI cos411cos

2

22/

−= −

σση

kxteHr

tI i coscos2

ση σ−=

2A

i ≡σ2

411

−=

IIr

σσ

Total solution:

ghkCk IIII ==σWith

Subscript I > undamped condition

with

Refer to σI and A

Important : A is not Area,

Remember that :

kxtH coscos2

ση =

Ii σσ ≠

Page 61: Teori Gelombang 2 New.pdf

∫ ∂∂−= dx

thU η1

( ) xktehk

HU Irt

irI

I i sinsin2

22 ∈++= − σσσ σ

r

i

σσ1tan −∈ =

( )( )

TATA iI eeetTt σσπ

ηη −−− ===+ )/()2/(

With :

kxteHr

tI i coscos2

ση σ−=

For partial reflection

What about the particle velocity of wave with bottom friction?

damping

Page 62: Teori Gelombang 2 New.pdf

Example of wave damping due to bottom frictionExample of wave damping due to bottom frictionShiau dan Rumer (1970) conducted experiment in square Shiau dan Rumer (1970) conducted experiment in square

basin of shallow water (0.15<h<8.5 cm).basin of shallow water (0.15<h<8.5 cm).The problem is directly analogous with the case under The problem is directly analogous with the case under

consideration. If laminar flow is assumed the Stokes consideration. If laminar flow is assumed the Stokes formula is applied (Dean and Dalrymple 1984)formula is applied (Dean and Dalrymple 1984)

mbm Uσ υρτ =

From equation 5.74, 5.67 and 5.66 yield:

hA σ υ=

Ub σ υρτ =

hfUA m

π3=

πρτ

3m

bfUU=

hUA b

ρτ=

AUx

gt

U −∂∂−=

∂∂ η

πρτ

3UfUm

b =

For laminar >>General eq for laminar

and turbulence

Page 63: Teori Gelombang 2 New.pdf

From previous equation the modulus decay is found ( as From previous equation the modulus decay is found ( as also suggested by Shiau dan Rumer): also suggested by Shiau dan Rumer):

( )( )

hA

eeetTt TATA iI

σ υ

ηη σσπ

=

===+ −−− )/()2/(

I

Aσπα =

4/1Pvh

πσ

πα ==

Substituting to the above equation for A, yields :

Page 64: Teori Gelombang 2 New.pdf

Gelombang berjalan dengan pengaruh kekasaran dasarGelombang berjalan dengan pengaruh kekasaran dasar

( )txkeHr

xkI i ση −= − cos2

+≈

+

+=

22/1

2

81111

2 σσAkAkk I

Ir

σσAkAkk II

i 211

2

2/12

+=

( )( )

( ) ( )σππ

ηη //2 AkkkL eee

xLx

ri −−− ≈==+

kxteHr

tI i coscos2

ση σ−=Standing WaveStanding Wave

Page 65: Teori Gelombang 2 New.pdf

Gelombang berjalan dengan pengaruh kekasaran Gelombang berjalan dengan pengaruh kekasaran dasardasar

xkie−

( )txkeHr

xkI i ση −= − cos2

Perhatikan bahwa gelombang diasumsikan mengikuti persamaan dengan decay modulus

Pangkat –kx, menunjukkan bahwa gelombang akan berkurang tingginya jika x positip. Penguranganannya adalah exponensial.

rkPanjang gelombang juga berubah dan ditentukan oleh

Page 66: Teori Gelombang 2 New.pdf

Harga Kr dan ki ditentukan seperti pada gelombang berdiri, dan Harga Kr dan ki ditentukan seperti pada gelombang berdiri, dan diperoleh:diperoleh:

+≈

+

+=

22/1

2

81111

2 σσAkAkk I

Ir

σσAkAkk II

i 211

2

2/12

+=

Persamaan gelombang terhadap x diperoleh :

( )( )

( ) ( )σππ

ηη //2 AkkLk eee

xLx

Iii −−− ≈==+

σA

kk

I

i

2=

Page 67: Teori Gelombang 2 New.pdf

Gelombang melalui rumpun bakauGelombang melalui rumpun bakauGelombang melalui Pemecah gelombang porousGelombang melalui Pemecah gelombang porous

Gelombang melalui Groin porousGelombang melalui Groin porous

−= LBζ0,2738

e1aKE

−= LBζm

e1aKE

( )σπ /Ae−

BAKAU

Page 68: Teori Gelombang 2 New.pdf

Gelombang melalui Hutan Gelombang melalui Hutan BakauBakau

−= LBζ0,2738

e1aKE

( )σπ /Ae−

B

L

ζB/L= A

2738.0=σπ

Page 69: Teori Gelombang 2 New.pdf

KE t = e -0.2738 ζ B/L r 2 = 0.8783

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00

ζ B/L

KEt=

(Ht/H

i)2 0.20

0.00

0.40

0.60

0.80

1.00

-0.20

KEa=

1-KE

t

Gelombang melalui rumpun bakauGelombang melalui rumpun bakau

Page 70: Teori Gelombang 2 New.pdf

Gelombang melalui Groin atau Gelombang melalui Groin atau BreakwaterBreakwater

= LBR ζ

eo

iηη

( )σπ /Ae−

B

L

+ Refleksi

Page 71: Teori Gelombang 2 New.pdf

Kecepatan partikel pada gelombang berjalan Kecepatan partikel pada gelombang berjalan dengan pengaruh gesekan dasardengan pengaruh gesekan dasar

hCtkxkHgU ησ

σ=−= )cos(

2

( )∈−−+

=−

txkkkh

eHU r

ri

xkI

i

σσ cos2 22

r

i

kk1tan −∈ =

Apa arti ∈

)cos(2

)cos(2

)cos(2

2 tkxkh

Htkxkh

Hctkxkh

HghU σσσσ

σσ

−=−=−=

)cos(2

tkxkh

HU σσ −=

Page 72: Teori Gelombang 2 New.pdf

Kecepatan partikel pada gelombang berjalan Kecepatan partikel pada gelombang berjalan dengan pengaruh gesekan dasardengan pengaruh gesekan dasar

( )∈−−+

=−

txkkkh

eHU r

ri

xkI

i

σσ cos2 22

Page 73: Teori Gelombang 2 New.pdf

Efek Geostrophic pada gelombang Efek Geostrophic pada gelombang panjangpanjang Fakta:Fakta:

bumi berrotasi dengan kecepatan sudutbumi berrotasi dengan kecepatan sudut

srad /1027.7 5−×=ω Pengaruh:Pengaruh:

gaya Coriolisgaya Coriolis

Page 74: Teori Gelombang 2 New.pdf

xgVf

yUV

xUU

tU

c ∂∂−=−

∂∂+

∂∂+

∂∂ η

ygUf

yVV

xVU

tV

c ∂∂−=+

∂∂+

∂∂+

∂∂ η

( ) ( ) 0=∂

+∂+∂

+∂+∂

∂y

hVx

hUt

ηηη

Pengaruhnya pada persamaan gelombang panjang tanpa kekasaran dasar adalah

srad /1027.7 5−×=ω

φω sin2=cf

Remain unchanged !!!

xgAU

tU

∂∂−=+

∂∂ η

Page 75: Teori Gelombang 2 New.pdf

xgVf

yUV

xUU

tU

c ∂∂−=−

∂∂+

∂∂+

∂∂ η

ygUf

yVV

xVU

tV

c ∂∂−=+

∂∂+

∂∂+

∂∂ η

Jika gelombang berjalan ke arah X (dalam hal ini ke arah timur atau barat) maka tidak ada kecepatan ke arah Y sehingga gaya Corioli hanya

berpengaruh pada satu persamaan momentum

xg

yUV

xUU

tU

∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂ η

ygUf

yVV

xVU

tV

c ∂∂−=+

∂∂+

∂∂+

∂∂ η

Tak berubah

berubah

ygUfc ∂

∂−= ηKarena V =0, maka derivasinya =0 >>

F `V =0

Page 76: Teori Gelombang 2 New.pdf

xgVf

yUV

xUU

tU

c ∂∂−=−

∂∂+

∂∂+

∂∂ η

ygUf

yVV

xVU

tV

c ∂∂−=+

∂∂+

∂∂+

∂∂ η

Jika gelombang berjalan ke arah Y (dalam hal ini ke arah utara atau selatan) maka tidak ada kecepatan ke arah X sehingga gaya Corioli hanya

berpengaruh pada satu persamaan momentum

Tak berubah

berubah

Karena U =0, maka derivasinya =0 >>

xgVf

yUV

xUU

tU

c ∂∂−=−

∂∂+

∂∂+

∂∂ η

yg

yVV

xVU

tV

∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂ η

xgVfc ∂

∂−=− η

Page 77: Teori Gelombang 2 New.pdf

Dengan linierisasi dapat diasumsikan Dengan linierisasi dapat diasumsikan persamaan gelombang panjang ke arah Xpersamaan gelombang panjang ke arah X

( ) ( )tkxy σηη −=∧

cos

( ) ( )tkxyhCU ση −=

∧cos

dyd

hgCf c

∧∧

=− ηη

CyfceH /

2−

∧=η

( )tkxeH Cyfc ση −= − cos2

/ ( )tkxehCHU Cyfc σ−= − cos

2/

Persamaan momentum ke arah Y:

Page 78: Teori Gelombang 2 New.pdf

Persamaan gelombang Persamaan gelombang panjang ke arah Xpanjang ke arah X

)cos(2

)cos(2

tkxhCHtkx

khHU σσσ −=−=

( )tkxeH Cyfc ση −= − cos2

/

( )tkxehCHU Cyfc σ−= − cos

2/

φω sin2=cf

The Kelvin wave

Page 79: Teori Gelombang 2 New.pdf

( )tkxeH Cyfc ση −= − cos2

/

The Kelvin wave

Gelombang I

( )tkxeH Cyfc ση += cos2

/Gelombang II

( ) ( )tkxeHtkxeH CyfCyf cc σση +−−= − cos2

cos2

//

)cos(2

)cos(2

tkxhCHtkx

khHU σσσ −=−=

Page 80: Teori Gelombang 2 New.pdf

kxtC

yfc tancottanh σ−=

tkxC

yf c σcot−=

0=∂

∂t

ηPada garis dengan elevasi maksimum,

( ) ( )tkxeHtkxeH CyfCyf cc σση +−−= − cos2

cos2

//

Di lokasi dekat titik (0,0), atau x dan y mendekati nol, diperoleh

tf

Ckxyc

σcot−=

Page 81: Teori Gelombang 2 New.pdf

tf

Ckxyc

σcot−=

Page 82: Teori Gelombang 2 New.pdf

Storm surgeStorm surge

Bisa mencapai 6 meterBisa mencapai 6 meter Membahayakan pertambakanMembahayakan pertambakan Pencemaran lingkunganPencemaran lingkungan

Kejadian oleh:Kejadian oleh: Gesekan angin terus menerus (berjam-Gesekan angin terus menerus (berjam-

jam) dengan arah ke pantai.jam) dengan arah ke pantai.

Page 83: Teori Gelombang 2 New.pdf

angin

X

Page 84: Teori Gelombang 2 New.pdf

|W|Wkw ρτ =

>

−×+×

≤×= −

cc

c

WW

Wk

W ,W

11025.2101.2

|W| ,101.22

66-

6

Gaya gesek angin

Wc=5.6 m/s

θττ coswxw =

X

Y

θPantai

Page 85: Teori Gelombang 2 New.pdf

|W|Wkw ρτ =

( ) ( ) ( )[ ]hzxzxhxg

tU

−−+

+∂∂−=

∂∂ ττ

ηρη

η1

( ) ( ) ( )hzxzxzxn −−≡ τττ ηη

( )

( )ηττ

zx

hzxn −−= 1

θττ coswxw =

Persamaan momentum gelombang linier :

Pada keadaan sudah stabil, U konstan, karena gaya angin dapat dilawan oleh gaya hidrostatik. Ini berarti bahwa deverensi U juga nol. Karena tak mungkin menggunakan U untuk menyatakan gaya gesek,

maka

Atau

Page 86: Teori Gelombang 2 New.pdf

( )( )ηρ

ητη+

=∂∂

hgn

xzx

Persamaan momentum, gelombang dalam kondisi steady

n=1.15 hingga 1.30 (SPM,1977)

Page 87: Teori Gelombang 2 New.pdf

( )( )ηρ

ητη+

=∂∂

hgn

xzx

( )g

nx

h xw

ρτηη =

∂∂+

( )g

ndx

hd xw

ρτη

=+ 2

0

21

( ) Cg

xnh xw +=+

ρτ

η22

0

( ) 20

20

2h

gxn

h xw +=+ρτ

η

( ) 020

2h

gxn

hx xw −++=ρτ

η

Wind set up, jika lebar =l, kedalaman konstan

Page 88: Teori Gelombang 2 New.pdf

( ) 12112

1 200

−+=−+=lAx

lx

ghln

hx xw

ρτη

Dalam bentuk variabel tak berdimensi

2o

w

ghln

A x

ρτ

=Dengan

Page 89: Teori Gelombang 2 New.pdf

ContohContoh

Kedalaman laut dianggap homogen=100mKedalaman laut dianggap homogen=100m Jarak yang dipengaruhi = 600 kmJarak yang dipengaruhi = 600 km Asumsi n=1.25Asumsi n=1.25 Kecepatan angin= 20 m/sKecepatan angin= 20 m/s Berapa wind setup ??Berapa wind setup ??

Page 90: Teori Gelombang 2 New.pdf

62

66- 1064.110

6.511025.2101.2 −− ×=

−×+×=k

0048.01010

106106.625.14

54

=⋅

⋅⋅⋅⋅=−

A

46 106.64001064.1 −− ⋅=⋅=wτ

( ) 1106

1060048.021121 5

5

0

−⋅

⋅⋅⋅+=−+=lAx

hxη

meterhl 5.00048.0 0 =⋅=η

Page 91: Teori Gelombang 2 New.pdf
Page 92: Teori Gelombang 2 New.pdf
Page 93: Teori Gelombang 2 New.pdf
Page 94: Teori Gelombang 2 New.pdf
Page 95: Teori Gelombang 2 New.pdf

meterhl 5.00048.0 0 =⋅=η

Jika dasar laut miring, maka wind setup akan lebih besar. Misal untuk A=0.01, WIndsetup untuk dasar miring akan 3 kali lebih

besar. Jika A=0.05, Wind setup mencapai hampir 3 kali.

Jadi pada kondisi hitungan di atas, wind setup akan mencapai lebih dari 1.5 m jika dasar laut

miring

Page 96: Teori Gelombang 2 New.pdf

Tekanan bergerak dengan kecepatan U, Tekanan bergerak dengan kecepatan U, atau merupakan fungsi Uatau merupakan fungsi U

Tekanan juga merupakan fungsi X atau Tekanan juga merupakan fungsi X atau lokasilokasi

Tekanan merupakan fungsi tTekanan merupakan fungsi t Pada saat t=0, x=0 Po =f(0)Pada saat t=0, x=0 Po =f(0)

( )xUtfP −=0

Page 97: Teori Gelombang 2 New.pdf

T= 0

T= 5

T= 10

xpo

∂∂

( )xUtfP −=0

X

xph

xgh

tuh

∂∂

−∂∂−=

∂∂ 0

ρη

xg

tU

∂∂−=

∂∂ η

Page 98: Teori Gelombang 2 New.pdf

xph

xgh

tuh

∂∂

−∂∂−=

∂∂ 0

ρη

UhhUuQ −=+−= ))(( η

hU

hUu η

ηη ≈+

=

Page 99: Teori Gelombang 2 New.pdf

)( xUtG −=η

xU

t ∂∂−=

∂∂ ηη

Asumsi solusi

( )xUtfP −=0

Page 100: Teori Gelombang 2 New.pdf

xU

t ∂∂−=

∂∂ ηη

( )xphghU

x ∂∂

−=−∂∂− 02

ρη

ghUp

ho

−= 2

/ ρη

gp

s ρη 0=

xph

xgh

tuh

∂∂

−∂∂−=

∂∂ 0

ρη

hU

hUu η

ηη ≈+

=

Page 101: Teori Gelombang 2 New.pdf

ghUp

ho

−= 2

/ ρη

ghU >2 0>ηghU <2 0<η

ghU =2 ∞=η

Page 102: Teori Gelombang 2 New.pdf

xg

tu

∂∂

−=∂∂ 1η

)(00 xUtf −=η

)(11 xUtf −=η

( )h

UhUu 01

01

01

)()( ηη

ηηηη −

≈−+

−=

Page 103: Teori Gelombang 2 New.pdf

U

Page 104: Teori Gelombang 2 New.pdf

hghUU

x0

2

21 ηη ∂

=∂

ghUU

−= 2

2

01 ηη

ghU >2 01 >ηghU <2 01 <η

ghU =2 ∞=1η

Page 105: Teori Gelombang 2 New.pdf

Waves Over Real SeabedsWaves Over Real Seabeds

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂

2

2

2

21zu

xu

xp

tu ν

ρ

gzw

xw

zp

tw −

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂

2

2

2

21 νρ

Navier-Stokes Linier

kxx

'

=kzz

'

'tt =

'uau σ= 'gapp ρ=

To examine the relative important of the terms, it is necessary to put them in to non dimensional variables

Non dimensional

Page 106: Teori Gelombang 2 New.pdf

Waves Over Real SeabedsWaves Over Real Seabeds

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂

2'

'2

2'

'22

'

'

2'

'

zu

xuk

xpgk

tu

σν

σ

Inverse square of Froude number

( ) ( )21

2

2

2

2

2 /22

)/2( CgkL

gLTTLggk −===ππ

πσ

1/ −gkC

0 to 1

Page 107: Teori Gelombang 2 New.pdf

Waves Over Real SeabedsWaves Over Real Seabeds

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂

2'

'2

2'

'22

'

'

2'

'

zu

xuk

xpgk

tu

σν

σ

2'

'2

22'

'22

'

'

2'

'

zu

xuk

xpgk

tu

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂

σ δν

σν

σ

Mengingat di dekat dasar u berubah cepat terhadap vertikal. Skala vertikal di dekat dasar perlu dibedakan. Jika digunakan skala vertikal z=δz’ dengan δ ketebalan

daerah yang perubahan u sangat cepat

kzz

'

=

δ

Ingat bahwa : Khusus daerah dekat dasar

Page 108: Teori Gelombang 2 New.pdf

Waves Over Real SeabedsWaves Over Real Seabeds

2'

'2

22'

'22

'

'

2'

'

zu

xuk

xpgk

tu

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂

σ δν

σν

σ

Bagian akhir ruas kanan akan berkisar pada angka 1 jika

συδ ≈

Daerah dengan kecepatan u berubah sangat cepat tersebut merupakan daerah perubahan dari laminer ke turbulen, sehingga

disebut sebagai lapis batas laminer (Laminar boundary layer)

Page 109: Teori Gelombang 2 New.pdf

Waves Over Real SeabedsWaves Over Real Seabeds

rp uuu +=

xp

tu p

∂∂−=

∂∂

ρ1

U dipisahkan menjadi dua bagian

2

2

zu

tu rr

∂∂=

∂∂ ν

Bagian irrotasional memenuhi persamaan

Euler

Bagian rotasional didekati dengan

Page 110: Teori Gelombang 2 New.pdf

Waves Over Real SeabedsWaves Over Real Seabeds

)(

cosh)(cosh tkxi

p ekh

zhkgaku σ

σ−+=

U irrotasional sudah diperoleh

Dalam bilangan kompleks

Hanya bagian real yang digunakan

)cos(cosh

)(cosh tkxkh

zhkgaku p σσ

−+=

Page 111: Teori Gelombang 2 New.pdf

Waves Over Real SeabedsWaves Over Real SeabedsUr diperoleh dengan metoda separasi variabel (lihat contoh Bab 3)

( ) ( )tkxihzir eAeu σνσ −+−= /

( ) ( )tkxihzir eAeu σνσ −+−−= 2/)1(

Arti dari bilangan kompleks berpangkat (z+h) menunjukkan adanya kehilangan energi (exponensial negatif). Sedang bagian terakhir ruas

kanan adalah osilasi sinusoidal. Jadi Ur berkurang terhadap (z+h)

Page 112: Teori Gelombang 2 New.pdf

Waves Over Real SeabedsWaves Over Real Seabeds

khgakA

cosh1

σ−=

Dengan memanfaatkan kondisi batas dasar tidak bergerak (no slip boundary condition), yaitu pada z=-h, u=0 maka A dapat ditentukan

[ ] −−−+−= etkxzhkkh

gaku )cos()(coshcosh

σσ

Masukkan harga z =-h

pada persamaan sebelumnya

Page 113: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave over real seabedWave over real seabed

( ) ( )tkxihzir eAeu σνσ −+−−= 2/)1(

Bisa diganti dengan

( ) ( )tkxihzir ee

khgakU σνσ

σ−+−−−= 2/)1(

cosh1

atau

( ) ( )( ))2/2/

cosh1 hztkxihz

r eekh

gakU ++−+−−= νσσνσ

σ

Page 114: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave over real sea bedWave over real sea bed The real part of the horizontal velocity u is The real part of the horizontal velocity u is

thereforetherefore

( ) ( ) ( ) ( )

++−−−+= +− hztkxetkxzhk

khgaku hz

υσσσ

συσ

2coscoscosh

cosh2/

Phase shift

Contoh

Page 115: Teori Gelombang 2 New.pdf

Water waves over a viscous mud Water waves over a viscous mud bottombottom

The bottom is not rigidThe bottom is not rigid The bottom is more like another fluid of The bottom is more like another fluid of

different densitydifferent density In the upper fluid region a solution may be In the upper fluid region a solution may be

sought :sought :

( ) ( ) ( )( ) )(1 sinhcosh,, tkxiezhkBzhkAtzx σφ −+++=

Page 116: Teori Gelombang 2 New.pdf

Upper fluidUpper fluid( ) ( ) ( )( ) )(

1 sinhcosh,, tkxiezhkBzhkAtzx σφ −+++=

Page 117: Teori Gelombang 2 New.pdf

Upper fluidUpper fluid( ) ( ) ( )( ) )(

1 sinhcosh,, tkxiezhkBzhkAtzx σφ −+++=

σoigakhBkhA =+ sinhcosh

It satisfy the Laplace Equation

0

1

=∂∂=

ztgφη

)( tkxioea ση −=

Page 118: Teori Gelombang 2 New.pdf

Upper fluidUpper fluid( ) ( ) ( )( ) )(

1 sinhcosh,, tkxiezhkBzhkAtzx σφ −+++=It satisfy the Laplace Equation

kaikhBkhA oσ=+ coshsinh

tz z ∂∂=

∂∂−

=

ηφ

0

)( tkxioea ση −=

Page 119: Teori Gelombang 2 New.pdf

Upper fluidUpper fluid

kaikhBkhA oσ=+ coshsinh

σoigakhBkhA =+ sinhcosh

khkaikhBkhkhA o coshcoshcoshsinh 2 σ=+

khigakhBkhkhA o sinhsinhsinhcosh 2

σ=+

khkaikhigakhkhB oo coshsinh)cosh(sinh 22 σ

σ−=−

khigakhkaiB oo sinhcosh

σσ −=

( )khgkk

khiaB o tanhcosh 2 −= σσ

Page 120: Teori Gelombang 2 New.pdf

Upper fluidUpper fluid

( )khgkk

khiaB o tanhcosh 2 −= σσ

( )khgkk

khiaA o tanhcosh 2σσ

−=

If we try to impose the bottom boundary condition as in the rigid bottom that is

0=∂∂

−= hzzφ ( ) ( ) ( )( ) )(

1 sinhcosh,, tkxiezhkBzhkAtzx σφ −+++=

( ) 00cosh0sinh )( =+ − tkxieBAk σ

B should equals zero

We have 3 unknowns to solve (A,B, k)

Page 121: Teori Gelombang 2 New.pdf

Upper fluidUpper fluid

( ) 0tanhcosh 2 =−= khgkk

khiaB o σσ

0tanh2 =− khgkσ

khgk tanh2 =σ

Which is exactly the same as before (in chapter three)

Page 122: Teori Gelombang 2 New.pdf

Mud fluidMud fluid

( ) )()(2 ,, tkxihzk edetzx σφ −+=

The function is chosen as it has to be periodic spatially and temporally (driven by the periodic water wave)

1 at z=-h (at the boundary between the two fluids

And becoming less than 1 for deeper location in the mud.

)()(2)1(2

tkxihzi eqeu σνσ −++−=Boundary layer correction for 2φ

Page 123: Teori Gelombang 2 New.pdf

Mud fluidMud fluid

zzt ∂∂−=

∂∂−=

∂∂ 21 φφχ

At the boundary, the vertical velocity in each region should be the same

),( txhz χ+−=On

)(),( tkxioemtx σχ −=

Page 124: Teori Gelombang 2 New.pdf

Mud fluidMud fluid

zzt ∂∂−=

∂∂−=

∂∂ 21 φφχLinearizing the kinematic boundary condition yields

hz −=On

dkkBimo −=−=− σ

σikBmo −= dB =

Page 125: Teori Gelombang 2 New.pdf

Mud FluidMud Fluid

Continuity of pressureContinuity of pressure21 pp = On z=-χ+h

( ) ghgzt

gzt 212

221

11 ρρρφρρφρ −−−

∂∂=−

∂∂

Requiered to accommodate densities

difference

Page 126: Teori Gelombang 2 New.pdf

Mud FluidMud FluidLinearizing On z=-h

χρφρχρφρ gt

gt 2

221

11 −

∂∂=−

∂∂

Substituting for z,, 21 φφ

Yields the relation between A and B

BgkgkA

+

−= 22

1

2 1σσρ

ρ

Page 127: Teori Gelombang 2 New.pdf

Mud FluidMud Fluid

BgkgkA

+

−= 22

1

2 1σσρ

ρ

( )khgkk

khiaB o tanhcosh 2 −= σσ

( )khgkk

khiaA o tanhcosh 2σσ

−=

But previously we have

Page 128: Teori Gelombang 2 New.pdf

Mud FluidMud Fluid( ) ( ) 0tanh1tanh1tanh 2

1

22

1

24

1

2 =

−++−

+ khgkkhgkkh

ρρσ

ρρσ

ρρ

( ) 0tanh1tanh1

2

1

222 =

−−

+− khgkkhgk

ρρ

ρρσσ

gk=2σ

+

=kh

khgk

tanh

tanh1

1

2

1

2

2

ρρ

ρρ

σ

Page 129: Teori Gelombang 2 New.pdf

Dispersion relationshipDispersion relationship

kh

gk

2σkhtanh

gk=2σ

51

2 =ρρ

21

2 =ρρ

Deep water wave, mud have no effect

σ2/gk=(ρ2/ρ1-1)/(ρ2/ρ1+1)

Page 130: Teori Gelombang 2 New.pdf

Amplitudes of wavesAmplitudes of waves

kh

o

o ema =

kh

o

o ema −

−−= 1

1

2

ρρ

Surface wave

Mud wave

oo ma >

oo am >

In phase

Out of phase (180 degree)

Page 131: Teori Gelombang 2 New.pdf

Physical understandingPhysical understanding

The first wave modeThe first wave mode)()(

21tkxizhk eAe σφφ −+==

The presence of the more dense fluid at the bottom has no effect on the wave motion.

The wave is classified as deep water wave

The mud layer should be infinitely deep

Page 132: Teori Gelombang 2 New.pdf

Physical understandingPhysical understanding The second wave modeThe second wave mode

Upper layer

Lower layer

False bottom

0/ =∂∂= ozz

Page 133: Teori Gelombang 2 New.pdf

Physical understandingPhysical understanding The second wave modeThe second wave mode

Upper layer

Lower layer

False bottom

0/ =∂∂= ozz

ozkgk tanh2 =σ

Page 134: Teori Gelombang 2 New.pdf

DampingDampingMatching the horizontal velocities at the interface

221 u

xx+

∂∂−=

∂∂− φφ At z=-h

)(2 Adiku −=

)( 22 gkeau kho −= σ

σ

Page 135: Teori Gelombang 2 New.pdf

At elevation ZoAt elevation Zo At the false bottom the vertical velocity is 0 At the false bottom the vertical velocity is 0

therefore therefore

0=∂∂

= zozzφ

( ) ( ) ( )( ) )(1 sinhcosh,, tkxiezhkBzhkAtzx σφ −+++=

0)(cosh =+ zhkBk0)(sinh =+ zhkAk

( ) ( ) ( )( ) 0coshsinh,, )(1 =+++=∂

∂ − tkxiezhkBkzhkAkz

tzx σφ

1)(cosh ≥+ zhk

Page 136: Teori Gelombang 2 New.pdf

At elevation ZoAt elevation Zo At the false bottom the vertical velocity is 0 At the false bottom the vertical velocity is 0

therefore therefore

0=∂∂

= zozzφ

0)(cosh =+ zhkBk

1)(cosh ≥+ zhk0=B

Page 137: Teori Gelombang 2 New.pdf

At elevation ZoAt elevation Zo0)(cosh =+ zhkBk

1)(cosh ≥+ zhk0=B

( ) 0tanhcosh 2 =−= o

oo zkgkk

zkiaB σ

σ0tanh2 =− ozkgkσ

ozkgk tanh2 =σ

Page 138: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed

Conservation of mass Conservation of mass in the porous mediain the porous media

0=•∇ u

spku ∇−=µ

Darcy Law

Where p is the pore pressure gradient in the soil

Page 139: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed Substituing Darcy law in the Conservation of Substituing Darcy law in the Conservation of

mass in the porous media yieldmass in the porous media yield

0=

∇−•∇ spkµ

02 =∇− spkµ

P satisfy Laplace equation as does the velocity potential φ

Page 140: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed

02 =∇− spkµ

P satisfy Laplace equation as does the velocity potential φ

[ ] )()(sinh)(cosh),,( tkxiezhkBzhkAtzx σφ −+++=

)()(),,( tkxizhk eDetzxp σ−+=

Assumed solution for both φ and p are

Page 141: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed[ ] )()(sinh)(cosh),,( tkxiezhkBzhkAtzx σφ −+++=

)()(),,( tkxizhk eDetzxp σ−+=

( ) ( )hxphxp s −=− ,,Dynamic Boundary condition at the interface

( )hxpt s

hz

−=∂∂

−=

,φρ

Rewriting p(x,-h) at z=-h

DAi =− σ ρ

Page 142: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed[ ] )()(sinh)(cosh),,( tkxiezhkBzhkAtzx σφ −+++=

)()(),,( tkxizhk eDetzxp σ−+=Kinematic Boundary condition at the interface

hz

s

hz zpK

z −=−= ∂∂−=

∂∂−

µφ

µKDB =

Page 143: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed[ ] )()(sinh)(cosh),,( tkxiezhkBzhkAtzx σφ −+++=

)()(),,( tkxizhk eDetzxp σ−+=Dynamic Boundary condition at the surface

( ) )(sincosh1 tkxiekhBkhAg

itg

σσφη −+−=∂∂=

( ) )()(sincosh tkxitkxi aeekhBkhAg

i σσσ −− =+

( ) akhBkhAg

i =+ sincoshσ

Page 144: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Over Porous BedWave Over Porous BedDynamic Boundary condition at the surface

( ) akhBkhAg

i =+− sincoshσ

Substituting A and B

DAi =− σ ρ

µKDB =akhKDkh

iD

gi =

− sincoshµσ ρ

σ

or

σσµ

σσσ ρ

iigakhK

gikhi

iD =

− sincosh1

Page 145: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed

DAi =− σ ρ

µKDB =

σσµ

σσσ ρ

iigakhK

gikhi

iD =

− sincosh1

gakhKg

ikhD ρµ

ρ σ =

− sincosh

gakhKg

iD ρµ

ρ σ =

− tanh1

1

tanh1cosh−

−= khKikhgaDµ

ρ σρ

Page 146: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed

DAi =− σ ρµ

KDB =

zt ∂∂−=

∂∂ φη

khBkkhAkai coshsinh +=σ

1

tanh1cosh−

−= khKikhgaDµ

ρ σρ

Substitution for A and B in term of D yields

−=

υσ

υσσ KikhgkkhKi tanhtanh12

( )khgkKikhgk tanhtanh 22 συ

σσ −

−=−

Complex k

Page 147: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed( )khgkKikhgk tanhtanh 22 σ

νσσ −

−=−

Complex k

ri kkk +=Real wave number

Complex wave number indicates damping

Page 148: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed

ri kikk +=Real wave number

Complex wave number indicates damping

( ) ( ) ( ) ( )xktxkio

txikkio

irir eeaeatx −−−+ == σση )(,

Page 149: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Over Porous BedWave Over Porous BedIn intermediate waterdepth

hkgk rr tanh2 ≅σ

( )hkhk

kKkrr

ri 2sinh2

/2+

≅ νσ

In shallow waterdepth

( ) ( )h

Khkk oi 2

/1 νσ−=2/12

2

2

4/11

−−=

hgKgh

ghkr ν

σσ

Page 150: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Over Porous BedWave Over Porous BedIn shallow waterdepth

( ) ( )h

Khkk oi 2

/1 νσ−=2/12

2

2

4/11

−−=

hgKgh

ghkr ν

σσ

+

+=

σν

νσ

22sinh22

rrr

ri kK

hkhkkk

Liu (1973) incorporating laminar boundary layer to avoid velocity discontinuity at the fluid-soil interface

Page 151: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed

In shallow waterdepth ( ) ( )h

Khkk oi 2

/1 νσ−=2/12

2

2

4/11

−−=

hgKgh

ghkr ν

σσ

hkgk rr tanh2 ≅σ( )

hkhkkKk

rr

ri 2sinh2

/2+

≅ νσIn intermediate waterdepth

DeepShallow hko

νσ Khki

5

Page 152: Teori Gelombang 2 New.pdf

Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed

+

+=

σν

νσ

22sinh22

rrr

ri kK

hkhkkk

Liu (1973) incorporating laminar boundary layer to avoid velocity discontinuity at the fluid-soil interface

The daamping rate for a constant waerdepth and

hkKkag

r

rD 2

22

cosh2νρ

=∈

xko

iegaE 22

21 −= ρ

Porous damping alone

+=∈

σν

σνρ

22cosh2 2

22r

r

rD

kKhk

kag Including boundary layer