▪Definição;▪Número de diagonais de um polígono convexo;

▪Soma das medidas dos ângulos internos e externos;▪Polígonos Regulares;

▪Relações Métricas em um polígono regular;

Professores: Elson Rodrigues

Marcelo AlmeidaGabriel Carvalho

Paulo Luiz Ramos

AULA 01

Existem dois tipos de linhas:

As linhas formadas por CURVAS:

As linhas formadas por segmentos de RETAS:

Linha

Poligonal

Linhas Poligonais:Com

cruzamento

Sem

cruzamento

Abertas

Fechadas

Formam duasregiões: interna eexterna

Polígono

Definição de Polígono

Polígono é uma linha

poligonal fechada simples.

Um polígono pode ser

Convexo ou Não-convexo.

Polígono ConvexoÉ aquele no qual QUALQUER segmento de reta formado pela união

de dois pontos do seu interior fica inteiramente contido nele.

Polígono Não- ConvexoÉ aquele no qual é possível encontrar dois pontos internos tais que o

segmento de reta que os une não fica contido inteiramente no seu interior.

Nomenclatura

Observe que o número de ângulos internos de um polígono é igual ao número de lados do polígono.

Elementos de um Polígono

Ângulo interno α

Ângulo externo β

Na figura, α + β = 180º

O ângulo externo é o suplemento do seu respectivo ângulo interno. Assim, temos

ai + ae = 180°No caso,

Vértice

Lado

Diagonais de um Polígono Convexo

Diagonal de um polígono é um segmento de reta que tem por extremidades dois vértices não-consecutivos do polígono.

As diagonais de um polígono convexo sempre sãointernas a ele!!

A

B

Número de Diagonais de um Polígono Convexo✓ Quantas diagonais saem de cada vértice de um triângulo? E de um quadrilátero? E de um pentágono? E de um hexágono?

✓ Então podemos dizer que de cada vértice de um polígono de n lados saem quantasdiagonais?

✓ É correto afirmar que o número de diagonais que saem de cada vértice é o mesmopara todos os vértices?

✓ As diagonais de um vértice se sobrepõem às de outro vértice? (Isto é, elas serepetem?)

Após essas análises, podemos concluir que o número de diagonais (d) de um polígonode n lados é dado pela fórmula:

2

)3.( −=

nnd

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS1.1. Calcule o número de diagonais de um:

a) Hexágono;

b) Eneágono;

c) Icoságono.

1.2. Quantos lados tem um polígono com 20 diagonais?

1.3. (Saresp – adaptada) Seis cidades estão localizadas novértice de um hexágono. Há um projeto para interligá-las,duas a duas, por meio de estradas. Algumas dessas estradascorrespondem aos lados do polígono, e as demaiscorrespondem às diagonais. Nessas condições, quantasestradas devem ser construídas?

Soma dos ângulos internos de um polígono

Todo polígono pode ser decomposto em triângulosquando traçamos as diagonais que partem de um únicovértice:

Responda:Qual é a relação entre o número de lados do polígono e o número de

triângulos formados pelas diagonais de um único vértice?

Soma dos ângulos internos de um polígono

4 lados 2 triângulos2 x 180° = 360°

5 lados3 triângulos3 x 180° = 540°

6 lados4 triângulos4 x 180° = 720°

A quantidade de triângulos será sempre o números de lados menos 2;E como cada triângulo possui a soma dos ângulos internos igual a

180°, basta multiplicar a quantidade de triângulos por 180°!!Assim, a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono

convexo de n lados é dada pela fórmula:

( )2 180nS n= −

Soma dos ângulos externos de um polígono convexo ✓Verifique quanto mede a soma dos ângulos externos deum triângulo, de um quadrado e de um hexágono.

✓A que conclusão podemos chegar?

Em qualquer polígono a soma dos ângulos externos é:

º360=eS

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS1.4. Calcule a soma das medidasdos ângulos internos de um:

a) Pentágono;

b) Octógono;

c) Icoságono.

1.5. Quantos lados tem umpolígono cuja soma das medidasdos ângulos internos é 720°?

1.6. Calcule o número de diagonaisde um polígono cuja soma dasmedidas dos ângulos internos é3.060°.

1.7. Determine as medidas x, y e z, em graus.

TAREFA 1

Unid. 3, Cap. 12:PSA 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 e 12

AULA 02

Polígonos RegularesPolígonos regulares são aqueles que têm todos os lados congruentes (é equilátero) e todos os ângulos

internos com a mesma medida (é equiângulo);

NOMENCLATURA - O nome de um polígono regular será dado de acordo com o seu número de lados. Veja alguns exemplos a seguir:

ELEMENTOS DO POLÍGONO REGULAR

APÓTEMA - Chama-se apótema (an ) de um polígonoregular à distância do centro do polígono regular a umde seus lados.

𝒂𝟔

𝑴

Note que um segmento de retacom extremidades no centro dopolígono regular e no ponto médiode um de seus lados tem medidaigual à apótema desse polígono.

ELEMENTOS DO POLÍGONO REGULARÂNGULO INTERNO - Seja Ai

a medida de um dos ângulosinternos de um polígonoregular.

ÂNGULO EXTERNO - Seja Ae

a medida de um dos ângulosexternos de um polígonoregular.

n

SA i

i =

nAe

=

360

Lembre-se que 180i eA A+ =

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS2.1. Calcule a medida de um ângulo interno de um:

a) Pentágono regular;

b) Dodecágono regular;

c) Icoságono regular.

2.2. Quantos lados tem um polígono regular cuja medidade um ângulo interno é 120°?

2.3. Calcule o número de diagonais de um polígonoregular cuja medida de um ângulo externo é 40°.

Inscrito ou circunscrito??Se o desenho mostra um polígono desenhado de tal forma queseus vértices pertencem a uma circunferência,

é tão correto dizer que o polígono está inscrito nacircunferência quanto que a circunferência está circunscrita aopolígono.

Polígono regular inscrito

l

ll

l

ll

RR

RR

R

R

✓ O polígono regular e a circunferência que o circunscrevepossuem o mesmo centro;

Note que o segmento dereta com extremidadesno centro do polígono eem um dos seus vértices,tem medida igual ao raioR da circunferência que ocircunscreve.

𝒂𝟔

Inscrito ou circunscrito??

l

ll

l

ll

𝒓 = 𝒂𝒏

No entanto, se a circunferência nãotoca os vértices do polígono, éinterna ao polígono e intersecta opolígono nos pontos médios de cadaum de seus lados, é tão corretoafirmar que o polígono estácircunscrito à circunferência quantoque a circunferência está inscrita nopolígono.

Note que a apótema do polígonoregular e o raio da circunferênciainscrita nele são iguais.

Se n = 3, a = 30° Se n = 4, a = 45° Se n = 6, a = 60°

AS RELAÇÕES MÉTRICASNOS POLÍGONOS REGULARES

Note que podemos generalizaros triângulos de cada figuraacima, da seguinte maneira:

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS2.4. Determine a apótema de um quadrado inscrito em

uma circunferência de raio 7 2.

2.5. A apótema de um hexágono regular inscrito numacircunferência é igual a 15 cm. Determine a medida deum dos lados desse hexágono.

2.6. Em uma circunferência estão inscritos um quadradoe um hexágono regular. Se a apótema do hexágono é iguala 12 cm, quanto mede um dos lados do quadrado?

TAREFA 2

Unid. 3, Cap. 12:PSA 30, 31, 32, 36, 37 e 38

MOSTRE QUE VOCÊ SABE...

Demonstre as fórmulas que são apresentadas na tabelaa seguir!

Polígono

Lado (L) em função

do Raio (R)

Apótema (an) em

função do Raio (R)

Apótema (an) em

função do Lado (L)

Triângulo Equilátero

Quadrado

Hexágono

RELAÇÕES MÉTRICAS - tabela