TEORÍA LOCAL DE CAUCHY - mat.ucm.es dazagrar/docencia/  · PDF fileEl primer paso...

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  • TEORÍA LOCAL DE CAUCHY

    En este capítulo estudiaremos los dos teoremas más importantes del curso: el teorema de Cauchy, que dice que si f es holomorfa en un abierto convexo Ω entonces∫

    Γ f = 0

    para toda curva cerrada simple de clase C1 a trozos Γ ⊂ Ω, y la fórmula integral de Cauchy, que nos dice que para cualquier disco cerrado D(z0, r) contenido en Ω se tiene

    f(z) = 1

    2πi

    ∫ ∂D(z0,r)

    f(ξ)

    ξ − z dξ,

    donde el borde del disco está orientado positivamente. Entre las numerosas consecuencias de estos resultados (algunas de las cuales estudiaremos en la parte final del capítulo) hay muchas que son también fundamentales, y en muchos casos sorprendentes.

    1. EL TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT

    El primer paso para alcanzar los resultados que hemos mencionado será la siguiente versión del teorema de Cauchy para el caso especial de un triángulo válida bajo una hipótesis formalmente más débil (porque sólo exigimos que la función sea holomorfa en Ω menos un punto p, aunque en realidad más adelante veremos que una función continua en Ω y holomorfa en Ω \ {p} es siempre holomorfa en todo Ω).

    Teorema 1.1 (Goursat). Sean Ω ⊆ C abierto, T un triángulo en Ω cuya región interior también está contenida en Ω, p ∈ Ω, y f : Ω→ C tal que f es holomorfa en Ω \ {p}. Entonces∫

    T f = 0.

    Demostración. Denotemos T = T0, el triángulo dado, con vértices a, b, c ∈ C, y sea T = T0 la unión de T con la región interior a T (es decir el triángulo sólido), con borde ∂T = T . Podemos suponer que T está orientado positivamente, y que sus lados se recorren en este orden : [a, b], [b, c], [c, a]. Consideraremos varios casos. Caso 1: supongamos que p /∈ T . Uniendo los puntos medios de los lados [a, b], [b, c] y [c, a] obtenemos un triangulo que denotamos T 40 , que a su vez divide T 00 en cuatro subtriángulos sólidos T

    j 0 con bordes T

    j 0 ,

    j = 1, 2, 3, 4, cuyos perímetros son la mitad del perímetro del triángulo original T . Elijamos en los triángulos T j0 con 1 ≤ j ≤ 3 las orientaciones inducidas por la orientación de T , y orientamos cada lado de T 40 de forma opuesta a la del mismo lado considerado como lado de T j0 para algún j = 1, 2, 3 (equivalentemente, orientamos todos los triángulos T j0 de forma positiva). Entonces se tiene∫

    T f =

    4∑ j=1

    T j0 f,

    puesto que las integrales de la suma de la derecha se cancelan mutuamente en cada lado de T 40 . Debe existir al menos un j ∈ {1, 2, 3, 4} tal que∣∣∣∣∣

    ∫ T j0

    f

    ∣∣∣∣∣ ≥ 14 ∣∣∣∣∫ T0

    f

    ∣∣∣∣ (ya que de lo contrario tendríamos |

    ∫ T0 f | = |

    ∑4 j=1

    ∫ T j0 f | <

    ∑4 j=1

    1 4 | ∫ T0 f | = |

    ∫ T0 f |, lo que es absurdo).

    Ejijamos pues un T j0 para el que se cumpla la desigualdad anterior y llamémoslo T1, denotando por T1 la región interior a T1 junto con el propio T1. Repitamos ahora el argumento anterior cambiando T0 por T1: dividimos

    1

  • 2 TEORÍA LOCAL DE CAUCHY

    T1 en cuatro subtriángulos sólidos T j1 con bordes T j 1 , j = 1, 2, 3, 4, cuyos perímetros serán ahora un cuarto del

    perímetro del triángulo original T . Elegimos uno de los cuatro triángulos T j1 para el que se tenga∣∣∣∣∣ ∫ T j1

    f

    ∣∣∣∣∣ ≥ 14 ∣∣∣∣∫ T1

    f

    ∣∣∣∣ , y por tanto también ∣∣∣∣∣

    ∫ T j1

    f

    ∣∣∣∣∣ ≥ 142 ∣∣∣∣∫ T f

    ∣∣∣∣ , llamamos T2 a este triángulo, denotamos T2 la región interior a T2 junto con T1, y volvemos a dividir T2 uniendo los puntos medios de los lados de T2. Reiterando este proceso obtenemos por inducción una sucesión Tj , j = 0, 1, 2, ... de triángulos sólidos con bordes Tj tales que:

    a) Tj ⊂ Tj−1 para cada j ∈ N, con T0 = T ; b) |

    ∫ T f | ≤ 4

    j | ∫ Tj f |;

    c) 2j long(Tj) = long(T ).

    En particular, como el perímetro de un triángulo es mayor o igual que su diámetro, se tiene que {Tj}∞j=1 es una familia de compactos encajados en C ≡ R2 cuyos diámetros tienden a cero, y por tanto existe un único punto z0 tal que

    z0 ∈ ∞⋂ j=1

    Tj .

    Puesto que estamos suponiendo que p /∈ T , la funcíón f es holomorfa en z0 y por tanto, dado cualquier ε > 0 existe δ > 0 tal que si |z − z0| ≤ δ entonces

    |f(z)− f(z0)− f ′(z0)(z − z0)| ≤ ε|z − z0|.

    Por otro lado, como ĺımj→∞ long(Tj) = 0, existe j0 ∈ N tal que si j ≥ j0 entonces long(Tj) < δ, luego |z − z0| ≤ δ para todo z ∈ Tj , de donde deducimos que, para j ≥ j0 es∣∣∣∣∣ ∫ Tj

    f

    ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ ∫ Tj

    ( f(z)− f(z0)− f ′(z0)(z − z0)

    ) dz

    ∣∣∣∣∣ ≤ ε supz∈Tj |z − z0| long(Tj) ≤ εlong(Tj)2 = ε4j long(T )2,

  • TEORÍA LOCAL DE CAUCHY 3

    donde en la primera igualdad hemos usado que ∫ Tj

    (f(z0) + f ′(z0)(z − z0)) dz = 0 por ser la integral en una

    curva cerrada de una función que tiene primitiva; en la segunda desigualdad hemos vuelto a usar que el diámetro de un triángulo es menor o igual que su perímetro, y en la última igualdad hemos utilizado la propiedad c) de la sucesión de triángulos. Combinando la desigualdad anterior con la propiedad b) de la sucesión de triángulos obtenemos que

    1

    4j

    ∣∣∣∣∫ T f

    ∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∣ ∫ Tj

    ∣∣∣∣∣ ≤ ε4j long(T )2, y por tanto ∣∣∣∣∫

    T f

    ∣∣∣∣ ≤ ε long(T )2. Haciendo ε→ 0 concluimos que

    ∫ T f = 0.

    Caso 2: supongamos que p ∈ T . Distinguiremos a su vez tres subcasos. Caso 2.1: supongamos que p es un vértice de T . Denotemos por a = p, b, c los vértices de T . Como f es continua en el compacto T , existe M > 0 tal que |f(z)| ≤ M para todo z ∈ T . Dado ε > 0 , consideremos dos puntos x ∈ [a, b], y ∈ [c, a] tales que la longitud del triángulo T1 de vértices a, x, y sea menor que ε/M . Denotemos por T2 el triángulo de vértices x, b, y, y por T3 el de vértices b, c, y, con las orientaciones inducidas por la de T . Por lo demostrado en el caso 1, tenemos∫

    T2

    f = 0 =

    ∫ T3

    f.

    Luego ∣∣∣∣∫ T f

    ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ T1

    f

    ∣∣∣∣ ≤M long(T1) ≤ ε, y haciendo ε→ 0 se deduce que

    ∫ T f = 0.

    Caso 2.2: supongamos que p está en un lado de T . Digamos que p ∈ [a, b], donde a 6= b 6= b y a, b, c son los vértices de T . Sean T1 el triángulo de vértices a, p, c, y T2 el triángulo de vértices p, b, c. Se tiene entonces, usando el caso anterior que ∫

    T f =

    ∫ T1

    f +

    ∫ T2

    f = 0 + 0 = 0.

    Caso 2.3: supongamos por último que p está en la región interior a T . Definamos T1 como el triángulo de vértices a, p, c, T2 el de vértices a, b, p, y T3 el de vértices b, c, p. Usando de nuevo el caso 2,1 tenemos∫

    T f =

    3∑ j=1

    ∫ Tj

    f = 0 + 0 + 0 = 0.

    Teorema 1.2 (Existencia de primitivas en abiertos convexos). Sean Ω ⊆ C abierto convexo, p ∈ Ω, y f : Ω→ C continua tal que f es holomorfa en Ω \ {p}. Entonces existe F : Ω→ C holomorfa tal que F ′ = f .

    Demostración. Fijemos un punto z0 ∈ Ω, y definamos la función F : Ω→ C por

    F (z) =

    ∫ [z0,z]

    f,

    donde [z0, z] es el segmento que une z0 con z, orientado en la dirección de z− z0, Nótese que para cada z ∈ Ω se tiene [z0, z] ⊂ Ω gracias a la convexidad de Ω y por tanto F está bien definida. Fijemos ahora z ∈ Ω, y tomemos r > 0 tal queD(z, r) ⊂ Ω. Para cada h ∈ C con |h| < r se tiene, gracias de nuevo a la convexidad de Ω, que el triángulo Tz,h de vértices z0, z, z+h, así como su región interior, está contenido en Ω. Por el teorema de Goursat tenemos pues ∫

    Tz,h

    f = 0,

  • 4 TEORÍA LOCAL DE CAUCHY

    y esto equivale a decir que ∫ [z0,z]

    f +

    ∫ [z,z+h]

    f +

    ∫ z+h,z0]

    f = 0,

    lo que a su vez implica que

    F (z + h)− F (z) = ∫

    [z,z+h] f.

    Por tanto, observando que f(z)h = ∫

    [z,z+h] f(z)dξ, tenemos

    |F (z + h)− F (z)− f(z)h| =

    ∣∣∣∣∣ ∫

    [z,z+h] (f(ξ)− f(z))dξ

    ∣∣∣∣∣ ≤ sup

    ξ∈[z,z+h] |f(ξ)− f(z)| long ([z, z + h]) = sup

    ξ∈[z,z+h] |f(ξ)− f(z)| |h| = o(h),

    ya que ĺımh→0 supξ∈[z,z+h] |f(ξ)− f(z)| = 0 r ser f continua en z. Esto prueba que existe F ′(z) y es igual a f(z). �

    Obsérvese que la demostración anterior funciona igual si se cambia la hipótesis de que f sea holomorfa en Ω \ {p} por la de que

    ∫ T f = 0 para cada triángulo T ⊂ Ω.

    Teorema 1.3 (Teorema integral de Cauchy, versión 1.0). Sean Ω ⊆ C abierto convexo, p ∈ Ω, y f : Ω → C continua tal que f es holomorfa en Ω \ {p}. Entonces, para toda curva cerrada Γ en ω se tiene que∫

    Γ f = 0.

    Demostración. Por el teorema anterior existe F : Ω → C holomorfa tal que F ′ = f en Ω. Entonces, al ser Γ una curva cerrada se tiene

    ∫ Γ f = 0. �

    2. LA FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY Y LA ANALITICIDAD DE LAS FUNCIONES HOLOMORFAS

    A continuación estudiaremos la fórmula integral de Cauchy, que tiene una cantidad ingente de consecuencias importantísimas, una de