Tema II: Din¶amica en el espacio de fases -...

Tema II: Dinamica en el espaciode fases

1. Las ecuaciones de Hamilton

Para sistemas autonomos en los que H no depende de t, es una constante delmovimiento por lo que

H(p, q) = α (1.1)

Esta ecuacion determina una curva en el plano p, q denominado plano de faseEl valor de q y p en cada instante (un punto en el plano de fase) define comple-

tamente el estado del sistema. Conforme transcurre el tiempo, dicho punto dibujauna curva en el espacio de fases denominada curva de fase. El movimiento delpunto a lo largo de la curva de fase se denomina flujo de fase. Puesto que elvalor de α depende de las condiciones iniciales, para cada conjunto de condicionesiniciales habra una curva de fase diferente.

Debido a las propiedades de unicidad de las ecuaciones del movimiento

q =∂H

∂p

p = −∂H

∂q(1.2)

podemos asegurar que las curvas de fase no se cortan. El conjunto de curvas de fasedescribe bastante bien el comportamiento del sistema y se denomina Diagramade fases

2. Espacio de fases para sistemas conservativos

Un caso particular de sistemas autonomos son los sistemas conservativos poten-ciales en los que el Hamiltoniano es precisamente la energıa.

H(p, q) =p2

2m+ V (q) = E (2.3)

1

2 Capıtulo 2

En este caso, el valor de la constante E es suficiente para definir las curvas de faseque suelen denominarse curvas de nivel

Puede establecerse una correlacion entre la funcion potencial y las curvas denivel como veremos en los ejemplos siguientes

2..1 Espacio de fases del Oscilador armonico

Las curvas del espacio de fases son

p = ±√

2ml2(

E − 1

2mx2

)

que son elipses. En las figuras siguiente se ha representado la capa de energıa ylas curvas de nivel

Capa de energia del oscilador

–4

0

4q–4 –2 0 2 4p

0

4

8

12

16

Diagrama de fases del oscilador

p

q

2..2 Espacio de fases del pendulo

Corresponde al potencial

V = −mgl cos φ (2.4)

Las curvas en el espacio de fases son

p = ±√

2ml2(E + mgl cos φ) (2.5)

donde

p = −mgl sin φ (2.6)

φ =p

ml2(2.7)

Dinamica en el espacio de fases 3

• Puntos de retroceso Son los puntos en los que

p = 0 =⇒ cos φ = − E

mgl

de forma que solo existen si E < mgl. En tal caso φ adquiere un valor maximo yuno mınimo correspondientes a:

φ± = ± arcos

(− E

mgl

)

por lo que se trata de un estado oscilatorio ligado

φ− < φ < φ+

conocido como libracionPor el contrario, si E > mgl, φ no tiene maximos ni mınimos, el potencial es

periodico pero los estados son no ligados y el movimiento se denomina de rotacion

• Maximos y mınimos del potencial Puesto que

p = −∂V

∂q

los maximos y mınimos de V como funcion de q coincidiran con los maximos ymınimos de p como funcion de t.

V tiene mınimos cuando φ = 2kπ, en cuyo caso p = ±√

2ml2(E + mgl) quesiempre esta siempre definido y es un maximo para el signo + y un mınimo parael signo −.

Por el contrario, los maximos de V corresponden a φ = (2k + 1)π. En tal casop = ±

√2ml2(E −mgl) que es un mınimo para el signo + (o un maximo para el

signo -) pero solo esta definido si E > mgl.

Potencial del Pendulo

q

4 Capıtulo 2

El caso en que E = mgl divide el plano de fases en dos partes; los estados derotacion y los de libracion. La curva correspondiente se llama separatriz y suecuacion es:

p = ±2ml2√

g

lcos

φ

2

Capa de energia del Pendulo

–6–4

–20

24

6

q–4

–20

24p

0

5

Diagrama de fases del Pendulo

p

q


2..3 Espacio de fases del Doble valle

Potencial del doble valle

q

Capa de energia del doble valle

–1.5–1–0.500.511.5

q

–0.6–0.4

–0.20

0.20.4

0.6

p–0.20

0.2

Diagrama de fases del Doble valle

p

q

6 Capıtulo 2

3. Espacio de fases para sistemas no conserva-

tivos

3..1 El oscilador amortiguado

Oscilador infraamortiguado ω0 > γ

En tal caso ω es real y la solucion se puede escribir en terminos de las condicionesiniciales en la forma siguiente:

x =

[(v0 + γx0

ω

)sin ωt + x0 cos ωt

]e−γt

p = m

[v0 cos ωt− (ω2 + γ2)x0 + γv0

ωsin ωt

]e−γt (3.8)

de manera que la oscilacion se mantiene aunque con una amplitud cada vez menor

Espacio de fases del oscilador infraamortiguado

Oscilador sobreamortiguado ω0 < γ

En tal caso la solucion se puede escribir en terminos de las condiciones iniciales enla forma siguiente:

x =

[(v0 + γx0

δ

)sinh δt + x0 cosh ωt

]e−γt

p = m

[v0 cosh δt− (−δ2 + γ2)x0 + γv0

δsinh δt

]e−γt (3.9)


Espacio de fases del oscilador sobreamortiguado

Oscilador crıtico: ω0 = γ

En este caso ω = 0.

x = [(v0 + γx0) t + x0] e−γt

p = m [v0 − γ (v0 + γx0) t] e−γt (3.10)

El comportamiento del sistema es pues parecido al caso infraamortiguado. Elsistema decae rapidamente sin tener tiempo de oscilar

4. Analisis de estabilidad para sistemas con un

grado de libertad

Puntos fijos

Sea el sistema autonomo

q = f(q, p)

p = g(q, p) (4.1)

Los puntos del espacio de fases en que el flujo es estcionario se denominan puntosfijos. Un punto fijo (q0, p0) verificara:

f(q0, p0) = 0

g(q0, p0) = 0 (4.2)

Veamos ahora como determinar la estabilidad de los estados mecanicos definidospor estos puntos, es decir, que es lo que ocurre cuando perturbamos alrededor deun punto fijo

δq = fq(q0, p0)δq + fp(q0, p0)δp + ..

δp = gq(q0, p0)δq + gp(q0, p0)δp + .. (4.3)

8 Capıtulo 2

4..1 La matriz de estabilidad

es decird

dt

(δqδp

)=

(fq(q0, p0) fp(q0, p0)gq(q0, p0) gp(q0, p0)

)(δqδp

)(4.4)

La matriz

M =

(fq(q0, p0) fp(q0, p0)gq(q0, p0) gp(q0, p0)

)

se denomina matriz de estabilidad Si denominamos

~E = (δq, δp) (4.5)

la ecuacion (2.4) puede escribirse

d ~E

dt= M ~E (4.6)

que es un sistema lineal de ecuaciones de primer orden cuya solucion general es dela forma

~E = c1~D1e

λ1t + c2~D2e

λ2t (4.7)

donde ~Di son los autovectores y λi los autovalores de la matriz M.Los vectores ~D1 y ~D2 constituyen una base local del plano de fases. Esta claro

que si λi son imaginarios puros, la perturbacion permanece acotada y unicamentegira alrededor del punto fijo. Por el contrario si λ tiene componentes reales, lassoluciones creceran o decreceran exponencialmente.


4..2 Clasificacion de puntos fijos

Supongamos que el polinomio caracterıstico es:

λ2 − aλ + b = 0

entonces

λ =a

2±√

∆

2, ∆ = a2 − 4b

y los puntos se clasificaran segun los signos de a, b y ∆.

• 1) Nodo estable a < 0, ∆ > 0λ1 y λ2 son reales negativos. λ1 < λ2 < 0. La perturbacion decae en todas las

direcciones por lo que el flujo converge hacia el punto fijo.

• 2) Nodo inestable a < 0, 0 < b < a2

4, 0 < ∆ <| a |

λ1 y λ2 son reales positivos. λ1 > λ2 > 0. El flujo total crece exponencialmenteen todas direcciones.

10 Capıtulo 2

• 3) Punto hiperbolico o de silla b < 0

Ambos reales pero uno positivo y otro negativo. λ1 < 0 < λ2. Las orbitas seacercan en la direccion ~D1 pero se alejan en ~D2

• 4) Espiral estable a < 0, ∆ < 0

Son complejos conjugados con parte real negativa λ1 = −α+ iβ, λ2 = −α− iβ.El flujo gira acercandose al punto fijo.


• 5) Espiral Inestable a > 0, ∆ < 0Son complejos conjugados con parte real positiva λ1 = α + iβ, λ2 = α− iβ con

β =√−∆/2. El flujo gira alejandose del punto fijo.

• 6) Punto elıptico o centro a = 0, b > 0Son puramente imaginarios λ1 = +i

√b, λ2 = −i

√b. El flujo gira alrededor del

punto fijo.

12 Capıtulo 2

• 7) Puntos degenerados ∆ = 0

Son iguales y reales λ1 = λ2 = a2. En este caso la solucion es:

~E =(c1

~D1 + c2( ~D2 + ~D1t))

ea2t

• 7.1) ~D2 = 0, ~D1 arbitrario

Las lıneas de flujo son lıneas rectas

7.1.a) Estrella Estable a < 0

Cuando a < 0, las lıneas convergen hacia el punto a lo largo de rectas dependiente ~D1.

7.1.b) Estrella Inestable a > 0

Cuando a > 0, las lıneas divergen del punto a lo largo de rectas de pendiente~D1.


• 7.2) ~D2 6= 0

Las lıneas de flujo se curvan.

7.2.a) Nodo impropio Estable a < 0

Cuando a < 0, las lıneas convergen hacia el punto.

7.2.b) Nodo impropio Inestable a > 0

Cuando a > 0, las lıneas divergen del punto.

14 Capıtulo 2

El siguiente esquema sirve para clasificar los puntos.

nodos impropios y estrellas estables nodos impropios y estrellas inestables

espirales inestablesespirales estables

nodos estables nodos inestables

sillas

centros


5. Ejemplos

1) Problema de Volterra x=conejos,y=zorros

x = x− xy

y = −y + xy

• Puntos Fijos

x1 = (0, 0), x2 = (1, 1)

• Estabilidad en x1

La matriz es:

M =

(1 00 −1

)

Su diagonalizacion es:

λ2 − 1 = 0 =⇒ λ1 = −1, λ2 = 1

luego es un silla Las direcciones principales son:

x = λix, −y = λiy

de manera que

~D1 = (0, 1)

~D2 = (1, 0)


La matriz es:

M =

(0 −11 0

)


λ2 + 1 = 0 =⇒ λ = ±i

luego es un centro Cuando δx > 0 =⇒ δy > 0. La curva gira en sentido antiho-rario.

16 Capıtulo 2

zorros

conejos


2)

x = −x− 5y

y = x + 3y

• Puntos Fijosx0 = (0, 0)


La matriz es:

M =

( −1 −51 3

)


λ2 − 2λ + 2 = 0 =⇒ λ = 1± i

luego es un espiral inestable antihoraria

18 Capıtulo 2

3)

x = 3x + 2y

y = −2x− 2y

• Puntos Fijos

x0 = (0, 0)


La matriz es:

M =

(3 2−2 −2

)


λ2 − λ− 2 = 0 =⇒ λ1 = −1, λ2 = 2

luego es un punto de silla

• Las direcciones principales son:

3x + 2y = λix

de manera que

~D1 = (1,−2)

~D2 = (1,−1/2)


4)

x = x− 2y

y = 3x− 4y



La matriz es:

M =

(1 −23 −4

)


λ2 + 3λ + 2 = 0 =⇒ λ1 = −2, λ2 = −1

luego es un nodo estable. Entran paralelas a D1 y acaban paralelas a D2. Elvalor maximo de x lo alcanzan en la recta x− 2y = 0

• Las direcciones principales son:

x− 2y = λix

de manera que

~D1 = (1, 3/2)

~D2 = (1, 1)

Las orbitas seran paralelas a ~D1 para t −→ −∞ y a ~D2 para t −→ ∞ y giran ensentido antihorario

20 Capıtulo 2

5)

x = x− y

y = 1− xy

• Puntos Fijosx = y, 1 = xy

x1 = (−1,−1), x2 = (1, 1)


La matriz es:

M =

(1 −11 1

)


λ2 − 2λ + 2 = 0 =⇒ λ = 1± i

luego es una espiral inestable


La matriz es:

M =

(1 −1−1 −1

)


λ2 − 2 = 0 =⇒ λ1 = −√

2, λ2 =√

2

luego es un punto de silla.Las direcciones principales son:

x− y = λix

−x− y = λiy

luego y = (1− λi)xde manera que

~D1 = (1, 1 +√

2)

~D2 = (1, 1−√

2)


La grafica sera:

22 Capıtulo 2

6) Oscilador amortiguado

x = y

y = −ω20x− 2γy



La matriz es:

M =

(0 1−ω2

0 −2γ

)


λ2 + 2γλ + ω20 = 0 =⇒ λ1 = −γ −

√γ2 − ω2

0, λ2 = −γ +√

γ2 − ω20

a) γ < ω0. λ1 y λ2 son complejos conjugados. Es una espiral estable

b) γ > ω0. λ1 y λ2 son reales negativos. Es un nodo estable con direccionesprincipales

~D1 = (1, λ1) (5.8)

~D2 = (1, λ2) (5.9)

Las orbitas entran paralelas a ~D1 y salen paralelas a ~D2.

c) γ = ω0. λ1 = λ2 = −γ son reales negativos. Es un nodo estable impropiocon direccion principal y = −γx.


7)

x = x(1 + x− 2y)

y = (x− 1)y

• Puntos Fijos

x1 = (0, 0), x2 = (−1, 0), x3 = (1, 1)


La matriz es:

M =

(1 00 −1

)


λ2 − 1 = 0 =⇒ λ = ±1

luego es una silla con direcciones principales

x = 0 para λ = −1, y = 0 para λ = 1

luego las lıneas entran paraleas al eje y y salen paralelas al eje x.


La matriz es:

M =

( −1 20 −2

)


(λ + 1)(λ + 2) = 0 =⇒ λ1 = −1, λ2 = −2

luego es un nodo estable horario. Las direcciones principales son:

y = 0 para λ = −1, y = −x

2para λ = −2

luego las lıneas entran paralelas al eje y = −x2, giran en y = x

2y caen en x2

paralelas al eje x.

24 Capıtulo 2


La matriz es:

M =

(1 −21 0

)


λ2 − λ + 2 = 0 =⇒ λ =1± i

√7

2

luego es una espiral inestable antihoraria. Las direcciones principales son:

y = 0 para λ = −1, y = −x

2para λ = −2


2y caen en x2

paralelas al eje x.


8)

x = x(4− x− y)

y = (x− 2)y

• Puntos Fijos

x1 = (0, 0), x2 = (2, 2), x3 = (4, 0)


La matriz es:

M =

(4 00 −2

)


(λ− 4)(λ + 2) = 0 =⇒ λ1 = −2, λ2 = 4

luego es una silla con direcciones principales

x = 0 para λ1 = −2, y = 0 para λ2 = 4

luego las lıneas entran paralelas al eje y y salen paralelas al eje x.


La matriz es:

M =

(0 −22 0

)


λ2 + 2λ + 4 = 0 =⇒ λ− 10± i√

3

luego es una espiral estable .


La matriz es:

M =

( −4 −40 2

)


−(4 + λ)(2− λ) = 0 =⇒ λ1 = −4, λ2 = 2

26 Capıtulo 2

luego es una espiral inestable antihoraria. Las direcciones principales son:

y = 0 para λ1 = −4, y = −x

2para λ2 = 2


2y caen en x2

paralelas al eje x.


6. Ciclos lımite

Veamos por ejemplo el siguiente sistema

x = x + y − x(x2 + y2)

y = −x + y − y(x2 + y2) (6.10)

Desde el punto de vista del analisis lineal hay una espiral inestable en el origen.Sin embargo, el sistema puede ser resuelto exactamente si pasamos a polares. Ental caso:

xx + yy = x2 + y2 − (x2 + y2)2

yx− xy = x2 + y2

es decir

rr = r2(1− r2)

ϕ = −1

or

r =

√1

1 + ae−2t

ϕ = −1 (6.11)

de manera que las orbitas convergen a un cırculo de radio 1 tanto si r0 es mayorque 1 como si es menor (ver figura)

–1

–0.5

0.5

1

–1 –0.5 0.5 1 1.5 2

28 Capıtulo 2

7. Blow up

x = −y + x(x2 + y2)

y = x + y(x2 + y2)

Pasando a polares:

rr = xx + yy = (x2 + y2)2 = r4

r2ϕ = xy − yx = x2 + y2 = r2

luegor = r3

ϕ = 1

cuya solucion es

r2 =r20

1− 2r20t

ϕ = t + t0


8. atractores

Los cıclos lımite, los nodos estables y las espirales estables son atractores.En mas de dos dimensiones el espacio de fases puede presentar atractores con

comportamientos peculiares que se denominan atractores extranos

8..1 El atractor de Lorenz

Tema II: Din¶amica en el espacio de fases -...

Documents

Transcript of Tema II: Din¶amica en el espacio de fases -...