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TEMA 7 MOVIMIENTO ONDULATORIO CONSEJOS PREVIOS A LA RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS En este tema nos centraremos en el estudio cinemático de las ondas mecánicas. Si te dan la frecuencia, puedes determinar el período como su inverso y viceversa: T 1 = ν Si te dan la longitud de onda puedes determinar el número de onda y viceversa: λ π = 2 k Si se conocen dos de las magnitudes (v, λ, ν) o (v, k, ω) se puede obtener la tercera usando: v=λν o ω=vk En algunos problemas no se necesita más. Para determinar totalmente la función de onda hay que conocer A y dos cualesquiera de (v, λ, ν) o (v, k, ω). Con esta información puedes obtener la ecuación específica para el problema a través de las ecuaciones: ) kx t sen( A x T t 2 sen A v x t 2 sen A ) t , x ( y ω = λ π = πν = Podrás así determinar el valor de y en cualquier punto (valor de x) e instante sustituyéndolo en la ecuación de onda. Si no te dan la velocidad de la onda, tal vez puedas calcularla usando la relación v=λν o las relaciones entre v y las propiedades mecánicas del sistema, como la tensión y la masa por unidad de longitud del hilo. El método que uses para determinar la velocidad dependerá de la información dada. Para ondas longitudinales necesitarás la densidad volúmica. En algunos problemas puedes determinar esta magnitud por aplicación del principio de Arquímedes. Recuerda dicho principio: todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desalojado. Por último, no confundas la velocidad de propagación de la onda con la velocidad de vibración de las partículas del medio. La velocidad de propagación de la onda es constante, y es la velocidad a la que se propaga la perturbación, mientras que la velocidad de vibración de las partículas del medio depende del instante y la posición, y puedes obtenerla mediante simple derivación de la ecuación de onda. Muchas cantidades intervienen en la caracterización de la amplitud e intensidad de una onda sonora, y es fácil confundirse. La frecuencia ν puede determinarse a partir de ω, k o λ. Estas cantidades se relacionan a través de la velocidad de propagación v, que a su vez depende de las propiedades del medio. Estudia el problema, identifica qué cantidades te dan y cuáles tienes que obtener y busca las relaciones que te lleven donde quieres ir. En los problemas de absorción aplica inmediatamente la ley de Lambert-Beer. No te preocupes si no conoces la intensidad de la onda incidente, pues a menudo te indicarán la relación entre la intensidad de la onda incidente y la de salida, de modo que puedes

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TEMA 7 MOVIMIENTO ONDULATORIO

CONSEJOS PREVIOS A LA RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS

En este tema nos centraremos en el estudio cinemático de las ondas mecánicas. Si te dan la frecuencia, puedes determinar el período como su inverso y viceversa:

T1

Si te dan la longitud de onda puedes determinar el número de onda y viceversa:

λπ

=2k

Si se conocen dos de las magnitudes (v, λ, ν) o (v, k, ω) se puede obtener la tercera usando:

v=λν o ω=vk En algunos problemas no se necesita más. Para determinar totalmente la función de onda hay que conocer A y dos cualesquiera de (v, λ, ν) o (v, k, ω). Con esta información puedes obtener la ecuación específica para el problema a través de las ecuaciones:

)kxtsen(AxTt2senA

vxt2senA)t,x(y −ω=

λ−π=

−πν=

Podrás así determinar el valor de y en cualquier punto (valor de x) e instante sustituyéndolo en la ecuación de onda. Si no te dan la velocidad de la onda, tal vez puedas calcularla usando la relación v=λν o las relaciones entre v y las propiedades mecánicas del sistema, como la tensión y la masa por unidad de longitud del hilo. El método que uses para determinar la velocidad dependerá de la información dada. Para ondas longitudinales necesitarás la densidad volúmica. En algunos problemas puedes determinar esta magnitud por aplicación del principio de Arquímedes. Recuerda dicho principio: todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desalojado. Por último, no confundas la velocidad de propagación de la onda con la velocidad de vibración de las partículas del medio. La velocidad de propagación de la onda es constante, y es la velocidad a la que se propaga la perturbación, mientras que la velocidad de vibración de las partículas del medio depende del instante y la posición, y puedes obtenerla mediante simple derivación de la ecuación de onda. Muchas cantidades intervienen en la caracterización de la amplitud e intensidad de una onda sonora, y es fácil confundirse. La frecuencia ν puede determinarse a partir de ω, k o λ. Estas cantidades se relacionan a través de la velocidad de propagación v, que a su vez depende de las propiedades del medio. Estudia el problema, identifica qué cantidades te dan y cuáles tienes que obtener y busca las relaciones que te lleven donde quieres ir. En los problemas de absorción aplica inmediatamente la ley de Lambert-Beer. No te preocupes si no conoces la intensidad de la onda incidente, pues a menudo te indicarán la relación entre la intensidad de la onda incidente y la de salida, de modo que puedes

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simplificarlas. Recuerda que la intensidad de la onda es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud. Para problemas de efecto Doppler establece un sistema de coordenadas. Define siempre como dirección positiva la que va desde la fuente al observador, y asegúrate de poner de acuerdo con este criterio los signos de todas las velocidades pertinentes. Una velocidad desde la fuente al observador es positiva, mientras que del observador a la fuente es negativa. Además, las velocidades que aparecen en la ecuación del efecto Doppler están proyectadas sobre la recta que une el observador con la fuente. No olvides nunca hacer todas las proyecciones. Obviamente no debes proyectar la velocidad del sonido, puesto que las ondas sonoras son esféricas y siempre tendrás una componente que coincide con la dirección que te interesa. Usa una notación coherente para identificar las cantidades: subíndice O para el observador y F para la fuente. Todas las velocidades debes medirlas relativas al aire por el que viaja el sonido. Si una onda se refleja en una superficie, sea estacionaria o móvil, el análisis puede efectuarse en dos pasos. En el primero la superficie es el oyente; después, considera a la superficie como nueva fuente, emitiendo con la misma frecuencia que ha percibido. Por último, determina qué frecuencia escucha un oyente que detecta esta nueva onda. Verifica que tu resultado final sea coherente. Recuerda que si la fuente y el observador se están acercando la frecuencia percibida es siempre mayor que la emitida, mientras que si se están alejando, la frecuencia percibida es menor que la emitida. Si la fuente y el observador no están en movimiento relativo, ambas frecuencias serán iguales. En la última parte del tema verás ondas estacionarias. No plantean especial dificultad, siempre que no confundas las ecuaciones y tengas claros los significados de las letras que aparecen en ellas. Recuerda además que al primer sonido (o vibración) que aparece se le denomina fundamental, y a los siguientes primer armónico, segundo armónico, tercer armónico, ... etc. Si no recuerdas la ecuación correspondiente a un tubo abierto, cerrado, o a una cuerda tensa, no olvides nunca que los extremos fijos o cerrados deben tener un nodo y los extremos abiertos deben tener un vientre. Dibuja rápidamente el tono fundamental y dos armónicos y podrás ver inmediatamente la secuencia (si se trata de un número par o impar de

4λ ). A continuación no tendrás más que sustituir la longitud de onda por los parámetros que

te interesen.

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TEMA 7 MOVIMIENTO ONDULATORIO

PROBLEMAS

1.- Un cable de acero de 1 cm2 de sección sostiene un elevador de carga máxima 1200 kg. a) ¿Qué aceleración máxima puede darse, hacia arriba, al elevador sin que el esfuerzo en el cable exceda la mitad del límite elástico? b) Se utiliza 1 m de ese mismo cable para construir un péndulo de torsión, colocando en el extremo libre del cable un disco de 1 m de diámetro y 227 kg de masa. Sabiendo que el periodo de oscilación es de 3 s, calcular la constante de torsión; c) determinar el módulo de rigidez; d) hallar el esfuerzo tensor en el cable y su deformación unitaria. (Puede considerarse para estos cuatro primeros apartados despreciable el peso del cable frente al del disco). e) Por último, se toma un trozo de dicho cable y se observa que cuando se sumerge en agua su peso disminuye en un 13%. Determinar la velocidad de propagación de ondas longitudinales en el acero.

Datos: Módulo de Young del acero E=20 · 1010 N/m2; límite elástico del acero σL=33 · 107 N/m2; densidad del agua ρH2O=1000 kg/m3.

a) Ponemos todo en el sistema internacional. Para distinguir, llamaremos r al radio

del cable y R al radio del disco. Tendremos: S=1 cm2=10-4 m2

D=1 m ⇒ m5.021

2DR ===

En primer lugar hacemos el diagrama de sólido libre del elevador, que tiene una aceleración a vertical y hacia arriba. En cuanto a fuerzas, estará sometido a su propio peso y a la tensión del cable de acero. Aplicando la segunda ley de Newton:

ΣFy=may ⇒ T-mg=ma ⇒ T=mg+ma El esfuerzo que soporta el cable no puede superar la mitad del

límite elástico, luego la condición que tenemos es:

S21T

21

ST

21

límlímlím σ≤⇒σ≤⇒σ≤σ

Sustituyendo la expresión que hemos obtenido para la tensión:

m2mg2S

am

mgS21

aS21mamgS

21T límlím

límlím−σ

≤⇒−σ

≤⇒σ≤+⇒σ≤

Por tanto la aceleración máxima que puede tener el elevador es: 2

47lím

máx s/m95.312002

8.912002101033m2

mg2Sa =

⋅⋅⋅−⋅⋅

=−σ

=−

amáx=3.95 m/s2 b) Ahora tenemos un péndulo de torsión formado por un disco suspendido de un alambre, tal como se muestra en la figura. Giramos el disco un ángulo θ y lo soltamos. Al quedar el alambre torsionado, aparece un par de sentido opuesto al ángulo girado y proporcional al mismo, que provoca que el disco gire en sentido contrario. Así, se produce un movimiento armónico simple cuyo

período es T=3 s.

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Hacemos el diagrama de sólido libre del disco. En cuanto a fuerzas, está sometido a su peso, vertical y hacia abajo, y a la tensión del alambre. Además, aparece, como ya hemos dicho, un par proporcional al ángulo girado y de sentido contrario a dicho ángulo. La constante de proporcionalidad es lo que se denomina constante de torsión. Aplicando la segunda ley de Newton en rotación tendremos:

θ=⇒θ=Σ 2GG mR

21MIM ⇒ 0

mR20mR

21mR

21

222 =θ

τ+θ⇒=τθ+θ⇒θ=τθ−

Tenemos la ecuación de un movimiento armónico simple, del tipo: 02 =θω+θ

donde ω es la frecuencia angular. Por comparación entre las dos expresiones:

Nm47.1243

5.02272TmR2

mR2

T4

mR2

2

22

2

22

22

2

22 =

⋅⋅π=

π=τ⇒

τ=

π⇒

τ=ω

τ=124.47 Nm c) Para un alambre cilíndrico sometido a torsión el momento producido por dicha torsión vale:

θπ

=l2

GrM4

Como podemos ver y como ya hemos dicho, este momento es proporcional al ángulo girado, de modo que:

4

4

rl2G

l2GrM

π

τ=⇒

π=τ⇒τθ=

donde el radio del alambre vale:

2

2422 SrSrrS

π=⇒

π=⇒π=

Sustituyendo: 210

2422

2

4 m/N1082.7)10(

47.12412S

l2S

l2rl2G ⋅=

⋅⋅π=

τπ=

π

τπ=

π

τ=

G=7.82 · 1010 N/m2 d) Volvamos al diagrama de sólido libre del disco. En el eje Y no hay movimiento, luego por la segunda ley de Newton:

ΣFy=0 ⇒ T-mg=0 ⇒ T=mg La tensión a que está sometido el alambre es igual al peso del disco. Si ahora hacemos el diagrama de sólido libre del alambre tendremos lo que se muestra en la figura, vertical y hacia abajo la reacción del disco (igual y de signo contrario a la que ejercía el alambre sobre el disco, o sea, la tensión) y vertical y hacia arriba tendremos la reacción del techo. El alambre también está en reposo luego:

ΣFy=0 ⇒ R-T=0 ⇒ R=T ⇒ R=mg El alambre está sometido a tensión luego se alarga, y esa tensión es igual al peso del disco suspendido. Así pues, el esfuerzo tensor en el cable es:

274 m/N1022.2

108.9227

Smg

ST

⋅=⋅

===σ−

σ=2.22 · 107 N/m2 Por último, la deformación unitaria la podemos obtener del módulo de Young:

%0111.01011.110201022.2

EE

l/lS/TE 4

10

7=⋅=

⋅=

σ=ε⇒

εσ

=⇒∆

= −

ε=0.0111%

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e) Para ondas longitudinales la velocidad de propagación en el metal es:

ρ=

Ev

Conocemos el módulo de Young, pero nos falta la densidad del acero. Para ello sabemos que al sumergir un trozo de acero en agua su peso disminuye un 13%, es decir el peso real menos el peso en agua es el 13% del peso real. El peso en agua es el peso real menos el empuje. Además de acuerdo con el principio de Arquímedes, todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desalojado (en nuestro caso agua).

Tenemos por tanto: mg-(mg-E)=0.13mg

E=0.13 mg donde m representa la masa de acero. Si expresamos la masa en función del volumen y la densidad tenemos:

E=0.13Vρacerog y por el principio de Arquímedes, puesto que el volumen de agua desalojada es igual al volumen de acero sumergido el empuje podemos expresarlo:

E=maguag=Vρaguag Igualando las dos ecuaciones:

0.13Vρacerog=Vρaguag ⇒ 0.13ρacero=ρagua La densidad entonces del acero es:

3aguaacero m/kg31.7692

13.01000

13.0==

ρ=ρ

Y la velocidad de propagación:

s/m02.509931.7692

1020Ev10

=⋅

=

v=5099.02 m/s

2.- Un objeto de 70 kg se sujeta de dos alambres (ver figura), uno de ellos de cobre, de 5 m de longitud y 3mm2 de sección formando un ángulo de 40º con la horizontal, y otro de aluminio, de 1,5 mm de diámetro, formando un ángulo de 50º con la horizontal. a) Calcular cuánto se alarga cada alambre; b) Supóngase a continuación que se golpean los alambres y se forman ondas transversales en los

mismos. Calcular las velocidades de propagación de las ondas en cada alambre. Datos: Ecobre=1.2 · 1011 N/m2; Ealuminio=7.1 · 1010 N/m2; ρcobre=8.9 g/cm3;

ρaluminio=2700 kg/m3.

a) En primer lugar vamos a determinar la longitud del alambre de aluminio, para lo cual aplicamos el teorema del seno:

m195.4º50senº40sen5

º50senº40senll

º40senl

º50senl

CuAlAlCu ===⇒=

Además nos dan el diámetro del aluminio, con lo cual el radio será la mitad:

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m1075.0mm75.025.1

2d

r 3AlAl

−⋅====

Ahora a partir del módulo de Young podemos determinar el alargamiento de cada alambre, que será:

ESTll

lSTl

l/lS/TE =∆⇒

∆=

∆=

εσ

=

Lo único que tenemos que determinar es la parte de la carga que soporta cada uno de los alambres. Para ello hacemos el diagrama de sólido libre del cuerpo y puesto que el sistema está en equilibrio tendremos:

ΣFy=0 ⇒ T-mg=0 ⇒ T=mg A continuación hacemos un diagrama de sólido libre del nudo, y operando del mismo modo nos quedará:

ΣFx=0 ⇒ TCucos40º-TAlcos50º=0 ⇒ º40cosº50cosTT AlCu =

ΣFy=0 ⇒ TCusen40º+TAlsen50º-T=0

0mgº50senTº40senº40cosº50cosT AlAl =−+

0mgº50senTº50cosº40tgT AlAl =−+

=+

=º50senº50cosº40tg

mgTAl

N50.525º50senº50cosº40tg

8.970=

+⋅

=

N95.440º40cosº50cos50.525

º40cosº50cosTT AlCu ===

Por tanto los alargamientos en cada alambre serán:

mm57.17m01757.0)1075.0(101.7

195.450.525rElT

SElT

l 23102AlAl

AlAl

AlAl

AlAlAl ==

⋅⋅π⋅⋅

⋅=

π==∆ −

∆lAl=17.57 mm

mm12.6m00612.0103102.1595.440

SElTl 611CuCu

CuCuCu ==

⋅⋅⋅

⋅==∆ −

∆lCu=6.12 mm b) Para ondas transversales la velocidad de propagación de las ondas en un alambre tenso es:

µTv =

donde µ es la densidad lineal del alambre. La relación entre la densidad lineal y la volúmica, que es la que nos dan, es:

2rSlSl

lV

lmµ ρπ=ρ=

ρ=

ρ==

Por tanto para el alambre de aluminio:

s/m87.331)1075.0(2700

50.525r

TµT

v 232AlAl

Al

Al

AlAl =

⋅⋅π⋅=

πρ== −

vAl=331.87 m/s

Y para el de cobre:

s/m51.1281038900

95.440S

TµTv 6

CuCu

Cu

Cu

CuCu =

⋅⋅=

ρ== −

vCu=128.51 m/s

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3.- La ecuación de un movimiento ondulatorio es y=2cos2π(5t-0.1x), estando x en m y t en s. x es la distancia al punto donde se inicia la perturbación o foco y t es el tiempo transcurrido. Se pide: a) la longitud de onda; b) el período del movimiento ondulatorio; c) su frecuencia; d) velocidad de propagación; e) velocidad máxima de vibración de las partículas del medio.

a) La ecuación general de una onda es del tipo:

( )

λ−π=

λπ

−π

=−ω= x1tT12cosAx2t

T2cosAkxtcosAy

Por comparación con la que nos dan:

( )x1.0t52cos2x1tT12cosAy −π=

λ−π=

Tendremos:

m101.0

11.01==λ⇒=

λ

λ=10 m b) Del mismo modo:

s20.051T5

T1

==⇒=

T=0.20 s c) La frecuencia y el período son inversos:

1s520.01

T1 −===ν

ν=5 s-1 d) La velocidad de propagación es:

s/m5020.0

10T

v ==λ

=

v=50 m/s e) La velocidad de vibración de las partículas del medio será la derivada de la posición respecto del tiempo:

( ) ( )x1.0t52sen20x1.0t52sen252dtdyy −ππ−=−ππ⋅⋅−==

Esta velocidad depende del seno, luego será máxima cuando el seno adquiera su valor máximo, es decir, la unidad:

( )( ) s/m83.6220x1.0t52sen20y1)x1.0t52senyy máxmáx −=π−=−ππ−=⇒=−π⇒= s/m83.62ymáx −=

4.- La función de onda correspondiente a una onda armónica en una cuerda es:

y=0.001sen(314t+62.8x) escrita en el Sistema Internacional. a) ¿En qué sentido se mueve la onda? b) ¿Cuál es su velocidad? c) ¿Cuál es la longitud de onda, frecuencia y período? d) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de un segmento cualquiera de la cuerda? e) ¿Cuál es la ecuación de la velocidad y aceleración de una partícula que se encuentre en el punto x=-3 cm? a) Puesto que el signo correspondiente a la x es positivo, la onda se desplaza en el sentido negativo del eje de las X.

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SENTIDO NEGATIVO DE X b) Comparamos la ecuación que nos dan con la general de una onda, que es:

y=Asen(ωt+kx) Y tendremos:

m1.08.62

28.622m8.62k 1 =π

=λ⇒=λπ

⇒= −

Y del otro término:

s02.03142T314

T2s/rad314 =

π=⇒=

π⇒=ω

Y por tanto la velocidad de propagación de la onda es:

s/m502.01.0

Tv ==

λ=

v=5 m/s c) La longitud de onda y el período ya lo hemos determinado:

λ=0.1 m T=0.02 s

Y la frecuencia:

Hz5002.01

T1

===ν

ν=50 Hz d) El desplazamiento máximo de cualquier segmento de cuerda es la amplitud, o sea:

A=0.001 m e) Derivando la posición tendremos la velocidad:

( ) ( ) ( )884.1t314cos314.003.08.62t314cos314.0x8.62t314cos314001.0dtdyv −=⋅−=+⋅==

v=0.314cos(314t-1.884) Y la aceleración derivando la velocidad:

( ) ( )884.1t314sen596.98884.1t314sen314314.0dtdva −−=−⋅−==

a=-98.596sen(314t-1.884) 5.- Una onda que se propaga a través de un medio absorbente reduce su intensidad inicial a la mitad al atravesar una capa de espesor 3 cm. Determinar el espesor total necesario para reducir la intensidad hasta el 10% de su valor inicial. Usaremos la ley de Lambert-Beer, que dice:

x0eII β−=

siendo I la intensidad de la onda a la salida del medio, I0 la intensidad de la onda a la entrada del medio, β el coeficiente de absorción del material y x el espesor de aislante. Teniendo en cuenta los primeros datos del problema según los cuales con un espesor de 3 cm la intensidad se reduce a la mitad tendremos:

1330

0x0 cm231.0

32/1ln3

21lne

21eI

2IeII −β−β−β− =

−=β⇒β−=⇒=⇒=⇒=

Ahora, si queremos reducir la intensidad de la onda hasta el 10% de su valor inicial:

x231.010.0lne10.0eII10.0eII x231.0x231.000

x0 −=⇒=⇒=⇒= −−β−

cm97.9231.010.0lnx =

−=

x=9.97 cm

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6.- Una onda sonora cuya intensidad es 10-2 W/m2 al penetrar en un medio absorbente de 1 m de espesor, tiene al salir del mismo una amplitud que es la cuarta parte de la que tenía al incidir en el medio absorbente. Determinar la intensidad de la onda a la salida, el coeficiente de absorción del material y su espesor de semiabsorción. La intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud, luego si la amplitud a la salida es la cuarta parte de la amplitud a la entrada, en cuanto a intensidades tendremos:

I=CA2 ⇒ 16II

16ACCA

16AA

4AA

4AA 0

S

202

S

202

S

202

S0

S =⇒=⇒=⇒

=⇒=

Por tanto la intensidad a la salida será: 24

20

S m/W1025.616

1016II −

⋅===

IS=6.25 · 10-4 W/m2 Aplicamos ahora la ley de Lambert-Beer para determinar el coeficiente de absorción del material:

β−⋅β−β−β− =⇒=⇒=⇒= e161e

161eI

16IeII 1x

00x

0S

Tomando neperianos: 1m77.216ln

161lne

161 −β− ==β⇒β−=⇒=

β=2.77 m-1 El espesor de semiabsorción es el espesor de aislante acústico que hay que colocar para que la intensidad de la onda se reduzca a la mitad, es decir:

2/12/1 x77.2x0

0x0S e

21eI

2IeII −β−β− =⇒=⇒=

Tomando neperianos de nuevo:

m25.077.22lnxx77.2

21lne

21

2/12/1x77.2 2/1 ==⇒−=⇒= −

x1/2=0.25 m

7.- El nivel de ruido en un aula vacía donde se va a realizar un examen es de 40 dB. Cuando 100 alumnos se encuentran escribiendo su examen, los sonidos de las respiraciones y de las plumas escribiendo sobre el papel elevan el nivel de ruido a 60 dB. Suponiendo que la contribución de cada alumno a la potencia de ruido es la misma, calcular el nivel de ruido cuando sólo quedan 50 alumnos en el aula. La sensación sonora con el aula vacía es de 40 dB luego tendremos:

4

0

aula

0

aula

0

aulaaula 10

II

4I

Ilog

II

log10dB40S =⇒=⇒==

Cuando tenemos 100 alumnos la sensación sonora (el aula más los alumnos) aumenta hasta 60 dB:

6

0

100aula

0

100aula

0

100aula100 10

III

6I

IIlog

III

log10dB60S =+

⇒=+

⇒+

==

46

0

1006

0

10046

0

100

0

aula 1010I

I10I

I1010I

II

I−=⇒=+⇒=+

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1001010

II

1010II100 46

0

alumno46

0

alummo −=⇒−=

Y por último, cuando quedan 50 alumnos:

=

+=

+=

+=

0

alumno

0

aula

0

alumnoaula

0

50aula50 I

I50I

Ilog10

II50I

log10I

IIlog10S

dB03.57100

10105010log1046

4 =

−+=

S50=57.03 dB 8.- Un observador en reposo frente a una vía férrea tarda 5 s en oír el silbido de una locomotora, distante y en reposo, con un tono continuo de 300 ciclos/segundo. Al cabo de ese tiempo el tono del sonido se va haciendo más agudo, llegando en 10 s más a ser de 330 ciclos/segundo y permaneciendo otra vez constante. a) Explicar la causa de los fenómenos descritos; b) calcular la posición, aceleración media y velocidad final de la locomotora. Velocidad del sonido: 340 m/s. a) Puesto que la locomotora está en reposo y el observador está en reposo, inicialmente el observador percibe la frecuencia emitida, que será ν=300 s-1. Tarda 5 s en oír el silbido porque ese es el tiempo que tarda el sonido en recorrer el espacio que separa al observador de la locomotora. Posteriormente el sonido se va haciendo más agudo, es decir, cambia la frecuencia (aumentando) porque cambia la velocidad de la locomotora (aumentando, está acelerando). Esto sucede durante 10 s, y después de este tiempo, la frecuencia percibida es constante, ya que la velocidad de la locomotora se hace constante, pero diferente de la emitida porque la locomotora no está en reposo. Esta frecuencia percibida es ν’=330 s-1. b) Tenemos que el sonido tarda 5 s en llegar de la locomotora al observador, estando ambos sistemas en reposo. El movimiento es rectilíneo y uniforme luego tendremos:

x=vt=340 · 5=1700 m x=1700 m

Ahora vamos a calcular primero la velocidad final de la locomotora, para luego determinar la aceleración. Al final la frecuencia percibida es de 330 s-1, luego por el efecto Doppler tendremos:

FF

Ovv

vvvvv'

−ν=

−−

ν=ν

s/m91.30vv340

340300330 FF

=⇒−

=

vF=30.91 m/s Y para la aceleración tendremos en cuenta que se trata de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, y que transcurre durante 10 s:

vF=v0+at ⇒ 30.91=10a ⇒ a=3.09 m/s2

a=3.09 m/s2

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9.- El BIO (Buque de Investigación Oceanográfico) Hespérides, en reposo, emite pulsos sonoros de 40 MHz por medio de un sonar. Tras un tiempo recibe los pulsos que han sido reflejados por una ballena que se desplaza en la vertical del barco, con una frecuencia de 40.125 MHz. Si la velocidad del sonido en el mar es de 1.5 km/s, determinar: a) la velocidad de la ballena; b) la frecuencia que percibe la ballena.

Los valores de la sensación sonora percibidos por la ballena en dos posiciones distintas separadas entre sí 5 km, son 53 y 42.1 dB. c) Determinar las distancias desde el barco a la ballena en cada una de las dos posiciones; d) determinar la potencia emitida por la fuente que produce las ondas en el barco (Intensidad umbral: Io=10-12W/m2).

a) Tenemos un problema de efecto Doppler con reflexión, ya

que el BIO emite una señal de frecuencia ν=40 MHz que llega a la ballena, rebota en ella y regresa de nuevo al BIO. En cuanto a la resolución del problema, podemos actuar como si el BIO emitiera una señal de frecuencia ν que la ballena percibe como ν’, y a continuación la ballena emitiera esa misma frecuencia ν’ que el BIO percibirá como ν’’. Comencemos entonces determinando la señal que percibirá la ballena, que como no sabemos si asciende o desciende consideraremos los dos casos. Si el BIO (fuente en reposo) emite ν y la ballena (observador) percibe ν’ tendremos:

vvv

vvvv' b

F

O ±ν=

−−

ν=ν

A continuación la ballena es la fuente que emite esa misma señal que percibe, y el BIO es el observador que percibe ν’’.

Volvemos a aplicar el efecto Doppler, teniendo en cuenta que nos cambiará el criterio de signos ya que el observador y la fuente se han intercambiado:

b

b

b

b

F

Ovvvv

vvv

vvv

vvvv'''

±ν=⋅

±ν=

−−

ν=ν

Así pues tendremos:

desciendeballenalasivvvv

''

asciendeballenalasivvvv

''

b

b

b

b

+−

ν=ν

−+

ν=ν

Vemos aquí que la ballena está ascendiendo, ya que sólo en este caso la frecuencia percibida ν”=40.125 MHz es mayor que la emitida ν=40 MHz. Sustituyendo los datos que conocemos:

b

b

b

bv1500v1500

40125.40vvvv

''−+

=⇒−+

ν=ν ⇒ 1504.6875-1.003425vb=1500+vb

s/m34.2003425.11

15006875.1504vb =+

−=

vb=2.34 m/s b) La frecuencia que percibe la ballena es lo que hemos denominado ν’:

MHz062.401500

34.2150040vvv

' b =+

=+

ν=ν

ν’=40.062 MHz c) La variación de sensación sonora entre las dos posiciones será:

∆S=S2-S1=53-42.1=10.9 dB

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Por otro lado tendremos que:

2

1

1

2

1

2

01

02

0

1

0

212 A

Alog10A

PA

Plog10

IIlog10

II

II

log10IIlog10

IIlog10SSS ====−=−=∆

Como las ondas sonoras son esféricas, el área de la superficie envolvente será la de una esfera de radios r1 y r2 respectivamente:

2

12

2

122

21

22

21

2

1rrlog20

rrlog10

rrlog10

r4r4log10

AAlog10S =

==

π

π==∆

La separación entre las dos posiciones es de 5 km=5000 m, de modo que podemos poner:

545.0

1

1

1

1

1

1

2

1 105000rr

5000rrlog545.0

5000rrlog209.10

rrlog20S =

−⇒

−=⇒

−=⇒=∆

5.17537r5075.3r5075.35000rr

111

1 −=⇒=−

⇒ r1=6994 m=6.994 km

r1=6.994 km r2=r1-5000=6994-5000=1994 m=1.994 km

r2=1.994 km d) Para una cualquiera de las dos situaciones:

210100

1

01 r4I

Plog10AIPlog10

IA

Plog10

IIlog10S

π====

Sustituyendo:

W97.9P6994410

Plog101.42r4I

Plog10S 212210

1 =⇒⋅π

=⇒π

=−

P=9.97 W 10.- Una ambulancia circula por una calle

de 5 m de ancho a 40 km/h en sentido de izquierda a derecha. Un transeúnte se encuentra parado en la acera de enfrente, es decir, a 5 m del carril por el que circula la ambulancia. Cuando la ambulancia se encuentra 200 m a la izquierda del peatón (ver figura) comienza a hacer sonar su sirena, de 4000 Hz de frecuencia. Calcula: a) la

frecuencia percibida por el observador en ese instante; b) el rango de frecuencias (máxima y mínima) que podría percibir el observador, indicando en qué instante la frecuencia emitida y percibida coinciden; c) el tiempo que ha transcurrido cuando la frecuencia percibida por él sea de 3900 Hz. Velocidad del sonido en las condiciones del problema: 340 m/s.

a) En esquema tendremos lo que aparece en la figura. El observador está en reposo, mientras que la fuente, que es la ambulancia, se desplaza a 40 km/h, es decir:

vA=40 km/h=11.11 m/s Como tenemos que proyectar las velocidades

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sobre la recta que une el observador y la fuente, necesitamos determinar el ángulo α, que será:

º432.1200

5tg =α⇒=α

A través del efecto Doppler tendremos:

m/F

m/Ovvvv

'−−

ν=ν

Consideramos que no hay aire, de modo que el medio está en reposo y la velocidad absoluta y relativa coinciden. Así pues:

F

O

m/F

m/Ovvvv

vvvv

'−−

ν=−−

ν=ν

Ahora hay que proyectar todo sobre la recta que une el observador y la fuente, y además considerar como sentido positivo el que va de la fuente al observador. Tendremos entonces:

1

AF

O s95.4134º432.1cos11.11340

3404000cosvv

vvvvv' −=

−=

α−ν=

−−

ν=ν

ν’=4134.95 s-1 b) La ecuación del efecto Doppler teniendo en cuenta que en este problema el observador está en reposo será:

α±ν=

−ν=

−−

ν=νcosvv

vvv

vvvvv'

AFF

O

donde el signo ± proviene de que la ambulancia se aleje o se acerque al observador. Si queremos que la frecuencia sea máxima, el denominador tiene que ser mínimo, con lo cual el signo será negativo, tal como lo tenemos inicialmente. Esto implica que la ambulancia estará a la izquierda del peatón y acercándose a él. Para que el denominador (v-vAcosα) sea mínimo el sustraendo tendrá que ser máximo, es decir, cosα=1, lo cual implica que α=0. Esto quiere decir que la ambulancia estará muy lejos del observador y el ángulo α es muy próximo a cero. En ese instante:

1

AAmáx s14.4135

11.113403404000

vvv

cosvvv'' −=

−=

−ν=

α±ν=ν=ν

Para que la frecuencia sea mínima debe ocurrir lo contrario, el denominador será máximo, con lo cual tendremos signo positivo, es decir, la ambulancia se aleja del observador (estará a la derecha del peatón). Además, si queremos que el denominador (v+vAcosα) sea máximo el segundo sumando tendrá que ser máximo, es decir, como antes, cosα=1 lo que implica que α=0, la ambulancia estará muy alejada del peatón. En este supuesto:

1

AAmín s42.3873

11.113403404000

vvv

cosvvv'' −=

+=

+ν=

α±ν=ν=ν

Por tanto el rango de posibles frecuencias será: 3873.42 s-1 ≤ ν’ ≤ 4135.14 s-1

Para que la frecuencia del observador y la emitida coincidan tiene que ocurrir que:

1cosvv

vcosvv

v'AA

=α±

⇒α±

ν=ν⇒ν=ν

0cosvcosvvv AA =α⇒α±= cosα=0 ⇒ α=90º

Para que α=90º el observador y la fuente tienen que estar enfrentados, es

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decir, la ambulancia tiene que recorrer 200 m. Puesto que su movimiento es rectilíneo y uniforme tendremos:

s1811.11

200vxt

txv

AA ===⇒=

t=18 s c) Como la frecuencia percibida es menor de 4000 s-1 la ambulancia estaría alejándose del peatón, es decir, a la derecha del mismo. Aplicamos en ese instante el efecto Doppler, teniendo en cuenta que lo que no conocemos es el ángulo β:

β+ν=ν⇒

−−

ν=νcosvv

v'vvvv'

AF

O

β+=

cos11.1134034040003900

cosβ=0.785 ⇒ β=38.31º Por tanto, a través de la tangente:

m328.6º31.38tg

5tg5'x

'x5tg ==

β=⇒=β

Y en recorrer esta distancia la ambulancia invierte:

s569.011.11

328.6v

'x't't'xv

AA ===⇒=

Que sumados a los 18 s que tardaba la ambulancia en llegar al peatón nos da el tiempo total:

ttotal=t+t’=18+0.569=18.569 s ttotal=18.569 s

11.- Dos silbatos en dos trenes A y B tienen una frecuencia de 220 Hz. El tren A está parado y el B se mueve hacia la derecha alejándose de A a 35 m/s. Un oyente está entre los dos trenes y se mueve hacia la derecha a 15 m/s. a) Si no sopla viento, ¿qué frecuencia percibe el oyente procedente de A? ¿Y procedente de B? ¿Qué frecuencia de pulsación detectará el oyente? b) Si sopla viento a 10 m/s en sentido contrario al de avance del oyente y formando un ángulo de 30º con la horizontal, ¿qué frecuencia percibe el oyente procedente de A? ¿Y de B? ¿Qué frecuencia de pulsación detectará el oyente? c) En el instante en que la distancia entre los dos trenes es de 125 m, 50 m por delante del tren B y a una altura de 75 m se encuentra un helicóptero que asciende verticalmente a 20 m/s. ¿Qué frecuencia percibe el piloto del helicóptero procedente de A? ¿Y de B? ¿Qué frecuencia de pulsación detectará el piloto? Suponer las condiciones de viento del apartado b). d) En el caso c), ¿qué frecuencia de pulsación percibirá el maquinista del tren B, teniendo en cuenta únicamente el pitido del tren A y suponiendo que el helicóptero tiene una pantalla reflectora en su parte inferior? Velocidad del sonido en el aire en calma: 340 m/s.

a) Tendremos lo que aparece en el gráfico. Para el oyente, la frecuencia que percibe procedente del silbato A será:

Hz29.210340

15340220vvv

vvvv

vvvv

' OyA

F

OA

m/F

m/OAA =

−=

−ν=

−−

ν=−−

ν=ν

ν’A=210.29 Hz

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Y la que percibe procedente de B:

Hz27.2083534015340220

vvvv

vvvv

vvvv

'B

OyB

F

OB

m/F

m/OBB =

++

=+

+ν=

−−

ν=−−

ν=ν

ν’B=208.27 Hz Por tanto la frecuencia de las pulsaciones:

νPulsaciones=ν’A-ν’B=210.29-208.27=2.02 Hz νPulsaciones=2.02 Hz

b) Ahora tenemos que el viento sopla en sentido contrario al del avance del oyente y formando un ángulo de 30º con la horizontal (ver figura). Tendremos que tener en cuenta que el medio no está en reposo, y además que tenemos que proyectar esta velocidad sobre

la recta que nos une el observador con la fuente. Para la frecuencia que se percibe del silbato A:

=−

−−ν=

+−+−

ν=−−

ν=νº30cosvv

º30cosvvvvvvvvv

vvvv

'w

wOyA

mF

mOA

m/F

m/OAA

Hz04.210º30cos10340

º30cos1015340220 =−−−

=

ν’A=210.04 Hz Y la que percibe el oyente procedente del silbato B:

=++

++ν=

+−+−

ν=−−

ν=νº30cosvvvº30cosvvv

vvvvvv

vvvv

'wB

wOyB

mF

mOB

m/F

m/OBB

Hz53.208º30cos1035340º30cos1015340220 =

++++

=

ν’ B=208.53 Hz La frecuencia de las pulsaciones:

νPulsaciones=ν’A-ν’B=210.04-208.53=1.51 Hz νPulsaciones=1.51 Hz

c) Para proyectar las velocidades sobre la recta de unión observador-fuente tendremos que calcular en primer lugar los ángulos que forman dichas rectas con la horizontal. Tendremos pues que los dos ángulos que nos interesan son:

º20.23429.050125

75tg =α⇒=+

º31.565.15075tg =β⇒==β

Comencemos ahora solamente por la frecuencia percibida del silbato A. Tendremos que aplicando el efecto Doppler:

=+−+−

ν=−−

ν=νmF

mOA

m/F

m/OAA vvv

vvvvvvv

'

=α+−

α+−α−ν=

)º30cos(vv)º30cos(vsenvv

w

wHA

=+−

+−−=

)º30.23º30cos(10340)º30.23º30cos(10º20.23sen20340220

Hz81.214= ν’A=214.81 Hz

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Ahora nos centramos únicamente en el silbato B. Tendremos que la frecuencia percibida por el piloto del helicóptero será:

=+−+−

ν=−−

ν=νmF

mOB

m/F

m/OBB vvv

vvvvvvv

'

=β+−β−β+−β−

ν=)º30cos(vcosvv)º30cos(vsenvv

wB

wHB

Hz91.221)º31.56º30cos(1031.56cos35340)º31.56º30cos(10º31.56sen20340220 =

+−−+−−

=

ν’B=221.91 Hz La pulsación detectada, igual que en los apartados anteriores, es:

νPulsación=ν’B-ν’A=221.91-214.81=7.10 Hz νPulsación=7.10 Hz

d) Ahora el único tren que emite es el tren A, que emite una frecuencia νA=220 Hz. Al conductor del tren B le llegan dos frecuencias, en primer lugar la directa del tren A, y en segundo lugar la reflejada por el helicóptero.

La frecuencia que percibe directamente del silbato A será:

=−−−

ν=+−+−

ν=−−

ν=νº30cosvv

º30cosvvvvvvvvv

vvvv

'w

wBA

mF

mOA

m/F

m/OAA

Hz76.196º30cos10340

º30cos1035340220 =−−−

=

La otra frecuencia que percibe el conductor del tren B es la reflejada por el helicóptero. Dicha frecuencia se percibe después de dos etapas, en primer lugar el tren A emite una frecuencia νA=220 Hz que es percibida por el helicóptero como ν’A=214.81 Hz (ver apartado anterior), y a continuación el helicóptero actúa como fuente, emitiendo esta misma frecuencia que ha percibido, y el observador situado en el tren B la percibe como ν’’A, que será:

=+−+−

ν=−−

ν=νmF

mOA

m/F

m/OAA vvv

vvv'vvvv

'''

=β++β+β++β+

ν=)º30cos(vsenvv)º30cos(vcosvv'

wH

wBA

Hz48.216)º31.56º30cos(10º31.56sen20340)º31.56º30cos(10º31.56cos3534081.214 =

++++++

=

La frecuencia de las pulsaciones es por tanto: νPulsación=ν’’A-ν’A=216.48-196.76=19.72 Hz

νPulsación=19.72 Hz

12.- De forma rutinaria se utiliza el efecto Doppler para medir la velocidad de las corrientes submarinas. Se instala un sonar en un submarino con el objeto de calcular la velocidad a la que se mueve una bolsa de petróleo procedente de un vertido y arrastrada por una corriente que avanza en línea recta hacia el detector. La frecuencia emitida por dicho sonar es de 18500 Hz. a) Las ondas emitidas se reflejan en la bolsa y cuando llegan de nuevo al submarino su frecuencia es de 18732.7 Hz.

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Suponiendo que la velocidad de propagación de las ondas sonoras en el mar en calma es de 1600 m/s, que la bolsa está a 5 km del submarino y que ambos, bolsa y submarino, están inmersos en la misma corriente, estando el submarino anclado en un punto, calcular la velocidad de dicha corriente submarina. b) ¿Qué frecuencia recibiría el submarino en las condiciones del apartado (a) si se mueve en sentido contrario al de avance de la bolsa con una velocidad de 50 km/h? c) Si en un momento determinado la corriente cambia el rumbo y su velocidad marca un ángulo de 28º con la horizontal en dirección al detector, ¿qué frecuencia percibirá el sonar si el submarino cambió de sentido y se mueve a una velocidad de 15 m/s?

a) Tenemos un problema de efecto Doppler con

reflexión. En primer lugar por tanto, el sonar emite una frecuencia ν que es percibida por la bolsa de petróleo como ν’. Además, puesto que la bolsa de petróleo es arrastrada

por la corriente, tendrá la misma velocidad que ella (vc). Así pues, si tomamos como positiva la dirección fuente (submarino) – observador (bolsa de petróleo) tendremos:

cc

cc

mF

mO

m/F

m/Ovv

vvv

vvvvvvvvv

vvvv

'−

ν=−−+

ν=+−+−

ν=−−

ν=ν

A continuación el sonido se refleja en la mancha de petróleo y vuelve hasta el submarino. En este caso la fuente es la mancha de petróleo, que emite una frecuencia ν’ (la que percibió) y el observador es el submarino, que percibe

ν’’=18732.7 Hz. El sentido positivo de velocidades es el que aparece ahora en la figura y tendremos:

c

cc

ccc

c

cmF

mO

m/F

m/Ovvvv

vvv

vvv

vvvvv

vvv

vvvvvv'

vvvv

'''−+

ν=+

⋅−

ν=+−

+⋅

−ν=

+−+−

ν=−−

ν=ν

Sustituyendo:

s/m10vv1600v1600185007.18732

vvvv'' c

c

c

c

c =⇒−+

=⇒−+

ν=ν

vc=10 m/s b) Ahora el submarino se mueve hacia la izquierda a velocidad:

vs=50 km/h=13.89 m/s Tenemos que hacer lo mismo que antes, pero ahora teniendo en cuenta dicha velocidad. En primer lugar el submarino emite ν y la mancha de petróleo percibe ν’:

cscs

cc

mF

mO

m/F

m/Ovvv

vvvvvvv

vvvvvv

vvvv

'−−

ν=−−−+

ν=+−+−

ν=−−

ν=ν

Acto seguido, la mancha de petróleo emite ν’ y el submarino percibe ν’’, de modo que tendremos como antes:

=+−++

⋅−−

ν=+−+−

ν=−−

ν=νcc

cs

csmF

mO

m/F

m/Ovvvvvv

vvvv

vvvvvv'

vvvv

'''

=−−++

ν=++

⋅−−

ν=cs

cscs

cs vvvvvv

vvvv

vvvv

Hz80.190601089.1316001089.13160018500 =

−−++

=

ν’’=19060.80 Hz c) Por último tendremos que rehacer los cálculos teniendo en cuenta ahora que la velocidad del submarino es de 15 m/s en sentido contrario, es decir, hacia la

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derecha, y que la velocidad de la corriente, y por tanto la de la mancha de petróleo, forma un ángulo de 28º con la horizontal. Así en primer lugar tendremos:

=+−+−

ν=−−

ν=νmF

mO

m/F

m/Ovvvvvv

vvvv

'

º28cosvvvv

º28cosvvvº28cosvº28cosvv

cscs

cc−+

ν=−+

−+ν=

A continuación la mancha de petróleo emite una frecuencia ν’ que es percibida por el submarino como ν’’:

=+−+−

ν=−−

ν=νmF

mO

m/F

m/Ovvvvvv'

vvvv

'''

=+−

+−⋅

−+ν=

º28cosvº28cosvvº28cosvvv

º28cosvvvv

cc

cs

cs

=−++−

ν=+−

⋅−+

ν=º28cosvvvº28cosvvv

vº28cosvvv

º28cosvvvv

cs

cscs

cs

Hz85.18357º28cos10151600º28cos1015160018500 =

−++−

=

ν’’=18357.85 Hz

13.- Un trozo de tubo de cartón grueso de 1.625 m cerrado por un extremo se corta en dos trozos (desiguales) que se hacen sonar con el mismo diapasón (ν=680 Hz). El trozo con el extremo cerrado resuena de modo que en su interior hay tres nodos (contando el del extremo). a) ¿Qué armónico se produce en el trozo abierto por ambos extremos? b) ¿Qué armónico se produce en el tubo completo sin cortar? ¿Cuál era la distancia entre nodos? c) Si cambiamos el diapasón, ¿cuál es la frecuencia siguiente que permitirá producir ondas estacionarias simultáneamente en ambos trozos? d) Una persona toma el primer diapasón y comienza a andar con él. La frecuencia que percibe tras la reflexión en una pared es de 700.30 Hz. ¿Se acerca o se aleja de la pared? ¿A qué velocidad? Velocidad del sonido en las condiciones de la experiencia: v=340 m/s.

a) La longitud del tubo inicial es L=1.625 m, y se parte en dos trozos, uno cerrado por un extremo de longitud LC y otro abierto por ambos extremos, de longitud LA. Si el trozo cerrado por un extremo tiene tres nodos contando el

del extremo la onda estacionaria se encuentra como aparece en la figura, de modo que puede verse que:

m625.06804

34054v5

45LC =

⋅=

ν=

λ=

Por tanto la longitud del tubo abierto es: L=LC+LA ⇒ LA=L-LC=1.625-0.625=1 m

Y para este tubo:

2NLAλ

=

siendo N un número entero. Así tendremos:

4340

16802vL2N

2vNL

2NL A

AA =⋅⋅

=⇒ν

=⇒λ

=

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Así pues, como N es un número entero, N=1 sería el modo fundamental, N=2 el primer armónico, N=3 el segundo armónico y N=4 el tercer armónico.

3er ARMÓNICO N representa el número de semilongitudes de onda que hay en el tubo, es decir, hay 4 semilongitudes de onda, con lo cual la onda estacionaria en este segundo trozo está

como aparece en la figura. b) El tubo completo era un tubo cerrado por un extremo. Se deberá verificar que:

4IL λ

=

siendo I un número impar. Así, tendremos que:

13340

680625.14vL4L4I

4IL =

⋅⋅=

ν=

λ=⇒

λ=

Vemos que se producen ondas estacionarias en el tubo completo, vibrando con el 6º armónico.

6º ARMÓNICO Es evidente que el tubo completo no es más que la unión de los dos anteriores, de

modo que si contamos el número de 4λ que aparecen en el tubo hay 13, tal y como hemos

obtenido. La distancia entre nodos coincide con la mitad de la longitud de onda:

m25.06802

3402v

2x =

⋅=

ν=

λ=∆

∆x=0.25 m c) Lógicamente la siguiente frecuencia que da lugar a ondas estacionarias en ambos tubos tiene que ser un múltiplo de 680 Hz. Con 680 Hz tenemos que los números correspondientes a los dos tubos son:

I=5 N=4

El primer múltiplo de 680 Hz es el doble, pero ese número no nos vale porque implicaría que:

I’=2I=2 · 5=10 N’=2N=2 · 4=8

Y la letra I’ representa un impar, con lo cual no puede ser 10. Si hacemos el triple tendremos que:

I’’=3I=3 · 5=15 N’’=3N=3 · 4=12

que sí son respectivamente un impar y un entero. Así pues, la frecuencia pedida es: ν’’=3ν=3 · 680=2040 Hz

ν’’=2040 Hz También podemos verlo de otro modo. Puesto que la frecuencia es la misma para ambos trozos, podemos despejar la frecuencia de las ecuaciones de las ondas estacionarias en los dos tubos e igualarlas. Tendremos:

CCC L4

vI4vIL

4IL =ν⇒

ν=⇒

λ=

AAA L2

vN2vNL

2NL =ν⇒

ν=⇒

λ=

Igualando:

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N25.11625.0N2

LLN2I

L2vN

L4vI

A

C

AC===⇒=

Necesitamos encontrar el siguiente par de número que verifiquen que I=1.25N siendo N un número entero, I un número impar, y estando dichos número por encima de 4 y 5 respectivamente. Tanteamos y tendremos:

N 5 6 7 8 9 10 11 12 I 6.25 7.5 8.75 10 11.25 12.5 13.75 15

Obtenemos el mismo resultado que antes. La primera pareja de números que cumple la condición son:

N=12 I=15

Por tanto la frecuencia, de cualquiera de las expresiones:

Hz2040625.04

34015L4vI

C=

⋅==ν

ν=2040 Hz d) Tenemos un problema de efecto Doppler, que tendremos que resolver de dos veces, primero el sonido va de la persona a la pared y después se produce la reflexión y vuelve de la pared a la persona.

En primer lugar la persona es la fuente, que tiene una velocidad vP, y se mueve hacia una pared, que es el observador, y que está fija, luego vO=0. Aplicando la ecuación del efecto Doppler y sin poner aún el signo a la velocidad de la persona, tendremos:

PF

Ovv

vvvvv'

±ν=

−−

ν=ν

A continuación el sonido se refleja en la pared, y es como si la pared actuase como fuente (en reposo vF=0) emitiendo la misma frecuencia ν’ que ha percibido, y la persona fuese el observador, cuya velocidad habrá cambiado de signo puesto que el sonido vuelve en sentido contrario. Tendremos pues, aplicando de nuevo la ecuación del efecto Doppler, que el observador percibe la frecuencia final ν’’:

P

PP

PF

Ovvvv

vvv

vvv

vvvv'''

±ν=⋅

±ν=

−−

ν=ν

Sabemos que la frecuencia percibida tiene que ser mayor que la emitida (ν’’>ν), luego podemos saber que:

PPP

P

P

P vvvv1vvvv

vvvv'' ±>⇒>

±⇒ν>

±ν⇒ν>ν

Para que se cumpla esto, el signo elegido en el primer miembro tiene que ser el positivo y el elegido en el segundo miembro tiene que ser el negativo:

PPPP vvvvvvvv −>+⇒±> Y nos queda la ecuación del efecto Doppler:

P

P

P

Pvvvv

vvvv''

−+

ν=±

ν=ν

Esto quiere decir que en el numerador el signo debe cambiar, es decir, a la vuelta del sonido, éste debe ir en sentido contrario a la persona. Si el sonido va de la pared a la persona, la persona va en sentido contrario, es decir, se acerca a la pared.

SE ACERCA A LA PARED Y sustituyendo:

( )PPP

P

P

P v340971.0v340v340v34068030.700

vvvv'' +=−⇒

−+

=⇒−+

ν=ν

340-vP=330.144+0.971vP ⇒ 9.856=1.971vP ⇒ vP=5 m/s vP=5 m/s

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14.- Un observador dentro de un globo en reposo sobre tierra está situado en el punto medio de la línea que une dos tubos sonoros separados entre si una distancia de 200 m. Uno de ellos es un tubo abierto de 2.55 m de longitud que vibra en su segundo armónico; el otro tiene una frecuencia 10 Hz más que el anterior. a) ¿Cuáles son las frecuencias de los tubos? b) Ambos focos sonoros, que pueden desplazarse a lo largo de la línea recta que los une, empiezan a emitir en el mismo instante. Si el primer foco se mueve hacia el observador con una velocidad de 30 m/s, determinar la velocidad que debe llevar el segundo foco para que el observador reciba dos señales con la misma frecuencia y el valor de la misma; c) si los focos se mueven en sentidos opuestos con la misma velocidad (30 m/s), y el observador en globo empieza su ascenso a 20 m/s en dirección perpendicular a la recta que une los tubos, ¿qué pulsación percibirá cuando se encuentre a 50 m de altura sabiendo que sopla viento en sentido del primer foco al segundo con una velocidad de 5 m/s? Velocidad de propagación del sonido en aire en calma: 340 m/s. a) Para el tubo abierto de longitud 2.55 m (tubo 1) tendremos, que para que se produzcan ondas estacionarias se debe verificar que:

2Nl 1

11λ

=

siendo N1 un número entero (N1=1, 2, 3, …). Si se trata del segundo armónico tendremos que N1=3:

Hz20055.22

3403l2v3

2v3

23

2Nl

11

1

1111 =

⋅⋅

==ν⇒ν

=

ν1=200 Hz Y como la frecuencia del otro tubo es 10 Hz más tendremos: ν2=ν1+10=200+10=210 Hz

ν2=210 Hz b) Si el primer foco se mueve hacia el observador tendremos lo que aparece en la figura. La frecuencia que percibe el observador proveniente del foco 1 será:

11

F

O1

m/F

m/O11 vv

vvvvv

vvvv

'−

ν=−−

ν=−

−ν=ν

siendo v la velocidad de las ondas sonoras y v1 la velocidad del foco 1. Del mismo modo, la frecuencia que percibe el observador proveniente del foco 2 será:

22

F

O2

m/F

m/O22 vv

vvvvv

vvvv

'−

ν=−−

ν=−

−ν=ν

Como ambas frecuencias son iguales:

=−νν

−=⇒−ν

=−ν

⇒−

ν=−

ν⇒ν=ν )vv(vvvvvvvv

vvv

v'' 11

22

2

2

1

1

22

1121

s/m5.14)30340(200210340 =−−=

v2=14.5 m/s Como además el signo es positivo significa que la fuente 2 se mueve en sentido positivo, desde la fuente hasta el observador, es decir, hacia la izquierda. La frecuencia percibida (ν1 o ν2) la podemos determinar de cualquiera de las ecuaciones:

Hz35.21930340

340200vv

v'1

11 =−

=−

ν=ν

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ν’=ν’1=ν’2=219.35 Hz c) Si los focos se mueven en sentidos opuestos tenemos dos posibilidades, que ambos se muevan acercándose al observador, o que ambos se muevan alejándose del observador. En cualquier caso, lo primero que tenemos que determinar es la posición de los dos focos cuando el globo se encuentra a 50 m de altura. Todos los movimientos son rectilíneos y uniformes. Para el globo:

s5.22050

vy

tty

vG

G ===⇒=

En ese tiempo, el espacio recorrido por las fuentes, que se mueven a la misma velocidad, es:

m755.230tvxtxv 11 =⋅==⇒=

Comencemos ahora por suponer que las fuentes se acercan al observador. En este caso, como inicialmente estaban a 100 m de él y recorren cada una 75 m, en el

momento que nos interesa se encontrarán a 25 m del observador, con lo que tenemos lo que aparece en la figura. El ángulo α vale:

º43.6322550tg =α⇒==α

La frecuencia que percibe el observador procedente de 1 será:

=+−+−

ν=−

−ν=ν

mF

mO1

m/F

m/O11 vvv

vvvvvvv

'

=α+α−α+α−

ν=cosvcosvvcosvsenvv

w1

wG1

Hz28.197º43.63cos5º43.63cos30340º43.63cos5º43.63sen20340200 =

+−+−

=

Ahora tenemos que determinar la frecuencia que percibe el observador procedente del foco 2. Tendremos que tener en cuenta las velocidades y ángulos que aparecen en la figura. Por tanto:

=+−+−

ν=−

−ν=ν

mF

mO2

m/F

m/O22 vvv

vvvvvvv

'

=α−α−α−α−

ν=cosvcosvvcosvsenvv

w1

wG2

Hz10.207º43.63cos5º43.63cos30340º43.63cos5º43.63sen20340210 =

−−−−

=

La frecuencia de las pulsaciones que percibe el observador será entonces:

νpuls=ν’2-ν’1=207.10-197.28=9.82 Hz νpuls=9.82 Hz

Ahora tendremos que suponer que las fuentes se mueven en sentido contrario pero alejándose del

observador. En este caso, puesto que inicialmente se encuentran a 100 m del observador y recorren cada una 75 m, en el instante considerado se hallarán a 175 m del observador cada una, y tendremos lo que aparece en la figura. Así pues, el nuevo ángulo β será:

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286.017550tg ==β ⇒ β=15.95º

Igual que antes, determinamos la frecuencia que percibe el observador procedente del foco 1:

=+−+−

ν=−−

ν=νmF

mO1

m/F

m/O11 vvv

vvvvvvv

'

=β+β+β+β−

ν=cosvcosvvcosvsenvv

w1

wG1

Hz62.181º95.15cos595.15cos30340º95.15cos5º95.15sen20340200 =

+++−

=

Y ahora, del mismo modo, determinamos la frecuencia que percibe el observador procedente del foco F2:

=−

−ν=ν

m/F

m/O22 vv

vv'

=+−+−

ν=mF

mO2 vvv

vvv

=β−β+β−β−

ν=cosvcosvvcosvsenvv

w1

wG2

=−+−−

=º95.15cos5º95.15cos30340º95.15cos5º95.15sen20340210

Hz19.190= La frecuencia de las pulsaciones

es entonces: νpuls=ν’2-ν’1=190.19-181.62=8.57 Hz

νpuls=8.57 Hz 15.- Un tubo cerrado por un extremo de 2 m de largo contiene agua hasta una altura de 80 cm. Cerca del extremo abierto del tubo existe un altavoz accionado por un oscilador de audio cuya frecuencia puede variarse desde 100 Hz a 5000 Hz. a) ¿Cuál es la frecuencia más baja del oscilador que resonará dentro del tubo? b) ¿Cuál es la frecuencia mayor con la que resonará? c) ¿Cuántas frecuencias diferentes del oscilador producirán resonancia? d) ¿Cuántos centímetros ha de variarse el nivel del agua en el tubo para que se produzca resonancia a la frecuencia más baja del oscilador? e) Un globo, que emite un sonido de frecuencia igual a la mayor de resonancia del tubo anterior, es arrastrado por un viento de 36 km/h hacia un edificio. ¿Qué frecuencia percibe un observador que viaja en el globo del sonido reflejado en el edificio? Velocidad de propagación del sonido en aire: 340 m/s. a) Tenemos un tubo abierto por un extremo de longitud:

L=2-0.80=1.20 m Para que se produzcan ondas estacionarias en el tubo, es decir para que el tubo resuene ha de cumplirse:

4IL λ

=

siendo I un número entero impar (I=1, 3, 5, …). Teniendo en cuenta que la longitud de onda es el cociente entre la velocidad de propagación y la frecuencia:

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L4vI

4vI

4IL =ν⇒

ν=

λ=

Obviamente, la menor frecuencia corresponderá al menor número impar, siempre teniendo en cuenta que dicha frecuencia no puede ser inferior a 100 Hz:

412.1I340

20.1400Iv

L400Iv

L4100I100L4vI ≥⇒

⋅≥⇒≥⇒

⋅≥⇒≥=ν

Teniendo en cuenta que I tiene que ser un número impar, el más pequeño que existe y superior a 1.412 es el 3 luego:

Hz5.21220.14

3403L4vImínmín =

⋅==ν

νmín=212.5 Hz b) Siguiendo el mismo razonamiento, la mayor frecuencia de resonancia implicará el mayor número impar, con la condición de que dicha frecuencia no puede ser superior a 5000 Hz:

588.70I340

20.120000Iv

L20000Iv

L45000I5000L4vI ≤⇒

⋅≤⇒≤⇒

⋅≤⇒≤=ν

El mayor número impar que hay inferior a 70.588 es el 69 luego:

Hz5.488720.14

34069L4vImáxmáx =

⋅==ν

νmáx=4887.5 Hz c) El número de frecuencias de resonancia será el número de impares que existen desde el 3 hasta el 69, ambos inclusive:

3412

369N =+−

=

N=34 frecuencias de resonancia d) La frecuencia más baja del oscilador es la de 100 Hz, y sería además el sonido fundamental, de modo que:

m85.01004

3404v'L

'L4v

'L4vI =

⋅=

ν=⇒==ν

La longitud del tubo tendría que ser de 0.85 m; teniendo en cuenta que inicialmente es de 1.20 m, la diferencia es:

∆L=L-L’=1.20-0.85=0.35 m Habría que subir el nivel del agua 0.35 m=35 cm.

SUBIR EL NIVEL DEL AGUA 35 cm e) Ahora tenemos un problema de efecto Doppler. En primer lugar, el sonido viaja desde el globo hasta la pared del edificio. La fuente por tanto sería el globo y el observador el edificio. Además, el medio se mueve con una velocidad igual a la del globo. Así pues tenemos:

vO=vedificio=0; vm=vw=36 km/h=10 m/s vF=vglobo=10 m/s

El signo positivo viene marcado por el sentido de la recta fuente-observador. Aplicando la ecuación del efecto Doppler la frecuencia que percibe el edificio es:

Hz25.50311010340

103405.4887vvv

vvvvvvvv

vvvv

'wglobo

w

mF

mO

m/F

m/O =+−

+=

+−+

ν=+−+−

ν=−

−ν=ν

A continuación el sonido se refleja en el edificio y vuelve al globo. Ahora la fuente es

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el edificio, que emite una frecuencia ν’, y el observador se encuentra en el globo, que percibe una frecuencia ν’’. El criterio para el signo positivo, como siempre, va desde la fuente hasta el observador (luego es al contrario del que vimos anteriormente):

Hz71.518310340

101034025.5031vv

vvv'

vvvvvv

'vvvv

'''w

wglobo

mF

mO

m/F

m/O =−−+

=−

−+ν=

+−+−

ν=−

−ν=ν

ν’’=5183.71 Hz

16.- Dos barras macizas, una de acero de 2 m de longitud

y otra de latón de 1 m de longitud y ambas de 12 cm de diámetro se sueldan seguidas. En los extremos se aplica una fuerza F que hace que el conjunto se estire, consiguiéndose un alargamiento total del conjunto de 10-3 mm. El incremento de volumen de la barra de latón es de 2.25 mm3. En estas condiciones determinar: a) el módulo de Young del latón, así como la fuerza que ha sido necesario aplicar y los esfuerzos en cada barra; b) el incremento de longitud experimentado por cada barra y el incremento de volumen total del conjunto. (Datos: Eacero=20 · 1010 N/m2; µacero=0.28; µlatón=0.37).

c) Considérese estas mismas barras pero ahora huecas, constituyendo así tubos de órgano, la primera cerrada por ambos extremos y conteniendo

H2 y la segunda cerrada por un extremo (en unión con el otro tubo) y abierta por el otro, conteniendo He. La temperatura es de 30ºC. Determinar en estas condiciones la mínima frecuencia para la que se produzcan ondas estacionarias en cada tubo. ¿A qué armónico corresponden estas ondas en cada tubo? d) las posiciones de todos los nodos, tanto en el tubo 1 como en el 2. (Velocidad del sonido a 0ºC en los dos gases: vH2=1139 m/s; vHe=911.24 m/s; dependencia de la velocidad del sonido en un gas con

la temperatura MRTv γ

= ).

a) El enunciado nos da los diámetros de las barras, de modo que los radios serán

justamente la mitad: dacero=dlatón=12 cm ⇒ racero=rlatón=6 cm=0.06 m

El volumen de cualquiera de las barras, puesto que son cilíndricas, será: V=πr2l

Por tanto, derivando, la variación de volumen es: ∆V=2πrl∆r+πr2∆l

Si dividimos por el volumen inicial de la barra:

ll

rr2

VV

lrlr

lrrrl2

VV

Vlr

Vrrl2

VV

2

2

2

2 ∆+

∆=

∆⇒

π∆π

∆π=

∆⇒

∆π+

∆π=

De la expresión del coeficiente de Poisson:

llµ

rr

llr

rµ ∆

−=∆

⇒∆

∆−=

Sustituyendo esto en la ecuación anterior:

=−∆

=∆⇒−∆

=∆

⇒∆

+∆

−=∆

⇒∆

+∆

=∆

)µ21(VVll)µ21(

ll

VV

ll

llµ2

VV

ll

rr2

VV

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)µ21(rV

)µ21(lrVl

22 −π∆

=−π

∆=

Aplicando esta ecuación a la barra de latón:

m10652.7)37.021(06.0

1025.2)µ21(r

Vl 7

2

9

latón2

latón

latónlatón

−−

⋅=⋅−⋅π

⋅=

−π

∆=∆

Teniendo en cuenta que las barras están en serie, el alargamiento total tiene que ser la suma de los dos alargamientos. Así pues, por diferencia podemos determinar el alargamiento que sufre la barra de acero:

∆l=∆lacero+∆llatón ⇒ ∆lacero=∆l-∆llatón=10-6-7.652 · 10-7=2.348 · 10-7 m Podemos determinar ya el esfuerzo a que está sometida la barra de acero:

=∆

=ε=σ⇒εσ

=acero

aceroaceroaceroaceroacero

acero

aceroacero l

lEEE

27

10 m/N2.234832

10348.21020 =⋅

⋅=−

σacero=23483.2 N/m2 que a su vez es el mismo esfuerzo al que está sometida la barra de latón puesto que la fuerza es la misma para las dos barras y tienen la misma sección.

σlatón=23483.2 N/m2 La fuerza será:

N589.26506.02.23483rSFS

FS

F 22aceroaceroaceroacero

latónlatón

aceroacero =⋅π⋅=πσ=σ=⇒=σ==σ

F=265.589 N

Por último, el módulo de Young del latón será: 210

7

latónlatón

latón

latón

latónlatón m/N100689.3

110652.7

2.23483

llE ⋅=

⋅=

∆σ

=εσ

= −

Elatón=3.0689 · 1010 N/m2 b) Los alargamientos ya los habíamos determinado en el apartado anterior:

∆lacero=2.348 · 10-7 m ∆llatón=7.652 · 10-7 m

En cuanto al incremento total del conjunto, será la suma del incremento de volumen de la barra de acero y el incremento de volumen de la barra de latón. La variación de volumen de la barra de latón la conocemos. En cuanto a la de latón tendremos, aplicando las ecuaciones iniciales:

=−∆

=∆⇒−∆

=∆ )µ21(

llVV)µ21(

ll

VV

aceroacero

aceroaceroaceroacero

acero

acero

acero

acero

=−∆π=−∆

π= )µ21(lr)µ21(lllr aceroacero

2aceroacero

acero

aceroacero

2acero

=π · 0.0602 · 2.348 · 10-7(1-2 · 0.28)=1.1684 · 10-9 m3 Por tanto la variación total de volumen:

∆V=∆Vacero+∆Vlatón=1.1684 · 10-9+2.25 · 10-9=3.418 · 10-9 m3 ∆V=3.418 · 10-9 m3

c) En primer lugar vamos a determinar la velocidad de propagación del sonido en los dos gases a la temperatura de la experiencia. La relación entre la velocidad de propagación de ondas longitudinales en un gas y la temperatura es:

MRTv γ

=

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siendo γ el coeficiente adiabático del gas, R la constante de los gases perfectos, T la temperatura y M la masa molecular del gas. Para un mismo gas a dos temperaturas diferentes tendremos:

M'RT'v;

MRTv γ

=

Por tanto dividiendo las dos expresiones:

'TT'vv

'TT

M'RT

MRT

'vv

=⇒=γ

γ

=

Por tanto vemos que conociendo la velocidad a una temperatura T’ podemos determinar la velocidad a otra temperatura T. En nuestro caso conocemos la velocidad a la temperatura T’=0ºC=273 K y queremos determinarla a T=30ºC=303 K. Para el tubo que contiene hidrógeno tendremos pues:

s/m12002733031139

'TT'vv 2H2H ===

Y para el tubo que contiene helio:

s/m96027330324.911

'TT'vv HeHe ===

El tubo que contiene hidrógeno es un tubo cerrado por ambos extremos luego en ellos habrá nodos, de modo que para que se produzcan en él ondas estacionarias su longitud tiene que ser un número entero de semilongitudes de onda:

2H

2H2H2H2H l2

vN

2v

N2

Nl =ν⇒ν

=

En el caso del tubo que contiene helio, se trata de un tubo cerrado por un extremo donde habrá un nodo y abierto por el otro donde habrá un antinodo, de modo que su

longitud tiene que ser un número impar de 4Heλ

:

He

HeHeHeHe l4

vI

4v

I4

Il =ν⇒ν

=

Como la fuente que proporciona la frecuencia es única, igualamos las frecuencias:

I8.0NI8.0112002

2960Ilv2lv

INl2

vI

lv

Nl4

vI

l2v

NHe2H

2HHe

He

He

2H

2H

He

He

2H

2H =⇒=⋅⋅

⋅==⇒=⇒=

Por tanto en ambos tubos se producirán ondas estacionarias siempre que los números entero e impar cumplan la relación N=0.8I. Lógicamente hay infinitas parejas de números que cumplen esta relación. Entre ellas, nos interesa aquélla que hace que la frecuencia sea mínima, es decir, los números más bajos posible. Para hallarlos, vamos dando valores impares a I (empezando por el más pequeño) hasta que N sea un número entero. La solución del problema será la primera pareja de números impar y entero que verifique esa relación. Haciendo una tabla tendremos:

I 1 3 5 N 0.8 2.4 4

Hemos determinado ya la pareja. Sustituyendo en cualquiera de las expresiones de la frecuencia:

Hz120022

12004l2

vN

2H

2H =⋅

==ν

ν=1200 Hz

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En el tubo de hidrógeno tendremos que N=1 corresponde al tono fundamental, N=2 al primer armónico, N=3 al segundo armónico y N=4 al tercer armónico.

TUBO DE HIDRÓGENO: TERCER ARMÓNICO En cuando al tubo de helio, I=1 corresponde al tono fundamental, I=3 al primer armónico e I=5 al segundo armónico:

TUBO DE HELIO: SEGUNDO ARMÓNICO d) Vemos ahora las posiciones de los nodos. En el tubo de hidrógeno tenemos el tercer armónico. Podemos ver

en la figura que los nodos se encuentran separados por una distancia de 2

2Hλ a partir del

extremo izquierdo del tubo. La longitud de onda en el tubo de hidrógeno será:

m5.021

2m1

422

Nl2

2Nl 2H2H

2H2H

2H ==λ

⇒=⋅

==λ⇒λ

=

Por tanto los nodos se encuentran separados por 0.5 m empezando desde el extremo izquierdo. Sus posiciones serán:

xH2=0 m, 0.5 m, 1 m, 1.5 m, 2 m Para el tubo de helio tendremos lo mismo, el primer nodo en el extremo izquierdo y los demás

separados por 2Heλ

, siendo la longitud de onda en el helio:

m4.028.0

2m8.0

514

Il4

4Il HeHe

HeHe

He ==λ

⇒=⋅

==λ⇒λ

=

Las posiciones de los nodos en este tubo serán: xHe=0 m, 0.4 m, 0.8 m

17.- En un tubo de longitud 2 m, cerrado por uno de sus extremos, se introduce agua hasta una altura de 85 cm. Se coloca un diapasón de frecuencia 382 Hz en el extremo abierto del tubo y se observa un pitido agudo de resonancia. La temperatura a la que se hace la observación es de 40ºC. a) Determinar el armónico al que corresponde dicha frecuencia así como su frecuencia fundamental; b) si la amplitud de la onda es de 50 cm, determinar la relación de intensidades promediadas en el tiempo entre el punto medio del tubo (a 1 metro de cada extremo) y el punto a 25 cm de extremo superior abierto; c) determinar qué otras alturas de agua dan lugar a pitidos intensos, es decir, condiciones de resonancia, con éste diapasón.

Dato: velocidad del sonido a T=20ºC: 340 m/s; dependencia de la velocidad del

sonido en un gas con la temperatura MRTv γ

= .

a) En primer lugar vamos a determinar la velocidad del sonido en las condiciones de

la experiencia. La relación entre la velocidad del sonido en un gas y la temperatura es:

MRTv γ

=

siendo γ la constante adiabática del gas, R la constante de los gases perfectos, T la temperatura y M la masa molecular del gas. Por tanto, para un mismo gas a dos temperaturas distintas tendremos:

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M'RT'v;

MRTv γ

=

Dividiendo ambas expresiones:

'TT'vv

'TT

M'RT

MRT

'vv

=⇒=γ

γ

=

Si llamamos v a la velocidad del sonido en las condiciones de la experiencia (T=40ºC=313 K) y v’ al dato del problema (T’=20ºC=293 K) tendremos:

s/m41.351293313340

'TT'vv ===

Si llenamos el tubo con agua hasta una altura de 85 cm=0.85 m lo que nos queda es un tubo abierto por un extremo de longitud L=2-0.85=1.15 m. Para que se produzcan ondas estacionarias en un tubo abierto por un extremo tiene que cumplirse que:

4IL λ

=

siendo I un número impar. Teniendo en cuenta la relación entre la velocidad de la onda, su frecuencia y su longitud de onda:

541.351

15.13824vL4I

4vI

4IL =

⋅⋅=

ν=⇒

ν=

λ=

Por tanto se trata del segundo armónico (I=1 fundamental, I=3 primer armónico, I=5 segundo armónico).

SEGUNDO ARMÓNICO Para la frecuencia fundamental tendremos que el impar tiene que ser el 1:

Hz39.7615.1441.351

L4v

4v

44IL 0

0=

⋅==ν⇒

ν=

λ=

λ=

ν0=76.39 Hz b) La ecuación de la onda estacionaria no depende del tiempo,

sino sólo de la posición. En nuestro caso, donde tenemos el segundo armónico, tendremos lo que aparece en la figura, donde la separación

entre nodos y vientres es m23.0515.1y ==∆ . La ecuación de esta

onda, que será armónica, es: x=Asen(ky+ϕ0)

El número de ondas será: 1m83.6

23.0422k −=⋅π

=λπ

=

Y la amplitud nos la da el enunciado (A=50 cm=0.50 m). Para determinar la constante de fase ϕ0 tenemos que para y=0 ⇒ x=0: x=Asen(ky+ϕ0) ⇒ 0=Asenϕ0 ⇒ senϕ0=0 ⇒ ϕ0=0

Por tanto la ecuación nos queda: x=Asen(ky+ϕ0)=0.50sen(6.83y)

El punto situado en el centro del tubo implica que está situado a una distancia respecto del extremo cerrado de y=0.15 m luego:

x=0.50sen(6.83y)=0.50sen(6.83 · 0.15)=0.4272 m Y el punto situado a 25 cm=0.25 m del extremo abierto está a y’=1.15-0.25=0.90 m del extremo cerrado. Así pues:

x’=0.50sen(6.83y’)=0.50sen(6.83 · 0.90)=-0.0679 m

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La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, luego la relación de intensidades será:

60.390679.04272.0

'xx

'CxCx

'II 22

2

2=

=

==

60.39'I

I=

c) Para que se produzcan ondas estacionarias en el tubo se debe cumplir que:

ν=

λ=

4vI

4IL

Por tanto, para el tono fundamental y los sucesivos armónicos tendremos:

m77.123.02L2hm23.03824

41.3514v

4vIL =−=−=⇒=

⋅=

ν=

ν=

h=1.77 m

m31.169.02L2hm69.03824

41.35134v3

4vIL =−=−=⇒=

⋅=

ν=

ν=

h=1.31 m

m15.185.02L2hm15.13824

41.35154v5

4vIL =−=−=⇒=

⋅=

ν=

ν=

h=1.15 m

m39.061.12L2hm61.13824

41.35174v7

4vIL =−=−=⇒=

⋅=

ν=

ν=

h=0.39 m

m07.23824

41.35194v9

4vIL =

⋅=

ν=

ν=

La longitud de este tubo es superior a los 2 m luego ya no valdría.

18.- Un señor de 85 kg está sentado sobre una plataforma de masa 50 kg sujeta al extremo libre de un cable vertical que tiene su otro extremo sujeto a una grúa. El cable es de acero con una longitud de 2 m y un diámetro de 1 cm. Justo debajo del señor hay una sirena de la Policía que está sujeta a una tarima vibrante y emite un sonido con frecuencia 345 Hz. La tarima con la sirena oscilan verticalmente con movimiento armónico simple de amplitud 10 cm y frecuencia 40 Hz. La temperatura ambiente es de 18ºC. Calcular: a) la energía elástica almacenada en el cable; b) los valores máximo y mínimo de la frecuencia del sonido que percibe el señor. c) La frecuencia de emisión de la sirena es igual a la de resonancia del sonido fundamental de un tubo estrecho, con aire en su interior a 25.5º C, abierto por un extremo y cerrado por el otro mediante un pistón móvil que permite variar la longitud hasta una longitud máxima de 2 m. ¿Para que longitudes del tubo se formarán ondas estacionarias? d) ¿A qué armónicos corresponden?

Datos: Modulo de Young del acero: E=2 · 1011 N/m2; velocidad del sonido a 0ºC: 330 m/s.

a) La energía elástica almacenada en un hilo cilíndrico será:

2Pe l

lES

21E ∆⋅=

El radio del alambre es la mitad del diámetro:

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m105cm5.021

2dr 3−⋅====

Y el alargamiento lo podemos obtener del módulo de Young:

ESFll

lSFl

l/lS/FE =∆⇒

∆=

∆=

εσ

=

Por tanto:

ES2lF

ESFl

l2ESl

lES

21E

222

Pe =

=∆⋅=

Puesto que el hombre y la plataforma se encuentran en equilibrio, su peso coincide con la tensión que soporta el hilo:

[ ] [ ] J111.0)105(102228.9)5085(

rE2

lg)mm(ES2

lFE 2311

2

2

2plataformabrehom2

Pe =⋅π⋅⋅

⋅⋅+=

π

+== −

EPe=0.111 J b) En primer lugar vamos a determinar la velocidad de propagación del sonido en las condiciones de la experiencia, que son:

T=18ºC=291 K La relación entre la velocidad de propagación del sonido en un gas y la temperatura del gas es:

MRTv γ

=

donde γ es el coeficiente adiabático del gas, R la constante de los gases perfectos, T la temperatura y M la masa molecular del gas. Para dos temperaturas distintas:

MRTv 0

=

Dividiendo las dos expresiones y teniendo en cuenta que se trata del mismo gas a dos temperaturas diferentes:

s/m705.340273291330

TTvv

TT

vv

00

00===⇒=

Ahora tendremos un problema de efecto Doppler, en el cual la fuente es la sirena, que se mueve hacia arriba y hacia abajo y el observador es el hombre que se encuentra en reposo. La frecuencia por tanto que percibe el hombre es:

m/F

m/Ovvvv

'−−

ν=ν

El medio se encuentra en reposo, luego su velocidad es nula, así como la velocidad del observador, que también está en reposo. Así pues nos queda:

Fm/F

m/Ovv

vvvvv

'−

ν=−−

ν=ν

Tendremos que la velocidad de la fuente puede ser positiva o negativa en función del sentido de su movimiento, y además tomará distintos valores puesto que se trata de un movimiento armónico simple. La frecuencia percibida será máxima cuando en el denominador tengamos una resta, es decir, cuando la velocidad de la fuente coincida con el sentido de la recta que va desde la fuente hasta el observador (cuando la sirena está subiendo). Además en dicha recta el sustraendo debería ser máximo (para que así el denominador sea mínimo). Por tanto de todos los valores de la velocidad de la fuente tendremos que coger el máximo. Puesto que se trata de un movimiento armónico simple la posición en cualquier instante de la sirena es:

yF=Asen(ωt+ϕ0)

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Y la velocidad, derivando respecto del tiempo:

)tcos(Adtdyv 0F ϕ+ωω==

Esta velocidad será máxima cuando el término cosenoidal sea máximo, es decir, valga la unidad:

vFmáx=Aω=A · 2πν=0.10 · 2π · 40=25.133 m/s Tendremos entonces:

1

Fmáxima s48.372

133.25705.340705.340345

vvv' −=

−=

−ν=ν

ν’máxima=372.48 s-1 Del mismo modo, para obtener la frecuencia mínima debemos tener el denominador máximo, lo cual ocurrirá cuando tengamos una suma. Para ello la velocidad de la fuente tiene que tener sentido contrario al de la recta que va de la fuente al observador, es decir, la sirena está bajando. De entre todos los valores de la velocidad de la fuente, también tomaremos el máximo, que es el que dará lugar a un denominador máximo. Así pues:

1

Fmínima s30.321

133.25705.340705.340345

vvv' −=

+=

+ν=ν

ν’mínima=321.30 s-1 c) El aire del tubo está a 25.5ºC=298.5 K, de manera que tenemos que calcular de nuevo la velocidad de propagación de las ondas en el aire. Aplicando la ecuación obtenida en el apartado anterior:

s/m068.345273

5.298330TTvv0

0 ===

Para que se formen ondas estacionarias en un tubo abierto por un extremo la

longitud del mismo tiene que ser un número impar de 4λ . Tendremos entonces:

ν=

λ=⇒=

λ=

4vI

4Il,...)5,3,1I(

4Il

Podemos ir dando valores a los sucesivos impares que proporcionan longitudes de tubo inferiores a 2 m, que es el máximo. Nos queda:

m25.03454068.345

4v

4vIl1 =

⋅=

ν=

ν=

l1=0.25 m

m75.03454068.3453

4v3

4vIl2 =

⋅=

ν=

ν=

l2=0.75 m

m25.13454068.3455

4v5

4vIl3 =

⋅=

ν=

ν=

l3=1.25 m

m75.13454068.3457

4v7

4vIl4 =

⋅=

ν=

ν=

l4=1.75 m

m25.23454068.3459

4v9

4vIl5 =

⋅=

ν=

ν=

Este último dato ya no nos vale puesto que el máximo es 2 m. d) En cuanto a los valores, obviamente se trata del tono fundamental y los sucesivos armónicos:

FUNDAMENTAL, PRIMERO, SEGUNDO Y TERCER ARMÓNICO