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  • Tema 6.- ESTABILIDAD EN SISTEMAS DE ECUACIONESDIFERENCIALESAmpliacin de Matemticas.

    Ingeniera Tcnica Industrial. Especialidad en Electrnica Industrial.

    ndice General1 Introduccin 1

    2 Sistemas autmonos. Plano de fases 2

    3 Clasificacin de los puntos de equilibrio en sistemas lineales 5

    4 Estabilidad mediante linealizacin 12

    5 Mtodo directo de Liapunov 17

    1 IntroduccinHasta ahora, en el estudio de las ecuaciones diferenciales, nos hemos centrado en el problema de ob-tener soluciones, exponiendo algunos mtodos de resolucin de ciertos tipos de ecuaciones y sistemasdiferenciales.

    En este tema vamos a dar otro enfoque al estudio de las ecuaciones y sistemas diferenciales, planten-donos ahora el obtener informacin cualitativa sobre el comportamiento de las soluciones. Este nuevoenfoque tiene un inters obvio debido a dos razones fundamentales: muchas ecuaciones diferenciales nolas sabemos resolver e incluso, aunque se pudieran calcular sus soluciones, a veces no es necesario de-terminarlas explcitamente pues slo se pretende conocer el comportamiento de las mismas (y puede sercostosa la obtencin de dichas soluciones para el estudio que se quiere realizar).

    Vamos a ver un ejemplo en que se manifiestan estas ideas:Consideremos que x1(t) y x2(t) representan las poblaciones, a lo largo del tiempo, de dos especies quecompiten entre s por el alimento y el espacio vital limitados en su microcosmos. Supongamos que lastasas de crecimiento de las poblaciones, x1(t) y x2(t), estn gobernadas por un sistema de ecuacionesdiferenciales

    X0(t) = f(t,X(t)) donde X(t) =x1(t)x2(t)

    En la mayora de los casos este sistema ser de tal forma que no sabremos calcular sus soluciones,

    esto es, no podremos obtener x1(t) y x2(t), que nos diran el nmero de individuos de cada especie enun tiempo t. Sin embargo, hay algunas propiedades de tipo cualitativo, que son interesantes y a lasque con frecuencia pueden darse respuestas satisfactorias sin necesidad de determinar explcitamente lassoluciones. Por ejemplo, consideremos las siguientes cuestiones:

    1. Hay valores para los cuales ambas especies coexisten en un regimen permanente? Es decir, existennmeros , tales que x1(t) = y x2(t) = son soluciones del sistema X0(t) = f(t,X(t))? Si talesvalores existen se les llama valores (soluciones) de equilibrio o puntos crticos.

    2. Supongamos que las dos especies coexisten en equilibrio, e introducimos en un momento t, algunosmiembros de una de las especies presentes en el microcosmos donde conviven. Permanecern las

    1

  • Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliacin de Matemticas. Esp. Electrnica Industrial.2

    poblaciones cerca de los valores de equilibrio para todo tiempo futuro?, es decir, si (t) es unasolucin de equilibrio del sistema X0(t) = f(t,X(t)), y (t) es otra solucin tal que (t0) estprximo a (t0), se verificar que (t) (t) cuando t +?.

    3. Si conocemos el nmero de individuos de cada especie en un tiempo t0, Cul ser la evolucin delas especies cuando transcurre el tiempo? Si no tienden a valores de equilibrio, triunfar una delas especies?

    Veremos, en este tema, que para responder a estas cuestiones no necesitamos resolver el sistemaX0(t) = f(t,X(t)). Para ello, empezaremos en la siguiente seccin definiendo los principales conceptos.

    2 Sistemas autmonos. Plano de fasesUn sistema autnomo plano es un sistema de dos ecuaciones diferenciales de la forma

    dx

    dt= F (x, y)

    dy

    dt= G(x, y)

    (1)

    donde supondremos que F yG son funciones continuas y con derivadas parciales de primer orden continuasen todo el plano. En este caso, las funciones F y G se dicen de clase C1 en todo R2 (F,G R2). Estascondiciones sobre F y G garantizan la existencia y unicidad de solucin, definida para todo t R, delproblema de valor inicial

    x0 = F (x, y) x(t0) = x0y0 = G(x, y) y(t0) = y0

    para cualquier t0 R y (x0, y0) R2.El sistema se denomina autnomo porque la variable independiente t no aparece explcitamente en

    los segundos miembros de las ecuaciones dada.

    Recordemos tambin que, si tenemos una ecuacin diferencial de segundo orden, en este caso autno-ma,

    d2x

    dt2= f

    x,dx

    dt

    podemos convertirla en un sistema autnomo introduciendo una nueva variable y =dx

    dt, y nos queda

    x0 = yy0 = f (x, y)

    Las variables dependientes x(t) e y (t) se llaman a veces variables de estado del sistema. El planoformado por los pares de valores (x, y) se suele llamar plano de las fases.

    Cada solucin del sistema (1) es un par de funciones x(t) e y(t) que definen una curva C [x(t), y(t)]en el plano XY o plano de fases. Obsrvese que cada punto de la curva C nos determina el estado delsistema en un instante t correspondiente a una condiciones iniciales determinadas, y que por ello es degran inters el conocimiento de este tipo de curvas, que se suelen llamar trayectorias u rbitas. En cadapunto (x, y) de una rbita, el vector (F (x, y) , G (x, y)) es un vector tangente a dicha rbita, por eso elconjunto de vectores (F (x, y) , G (x, y)) se llama campo de direcciones del sistema.

    Debe observarse que una solucin en la que x(t) = x0 e y(t) = y0 para todo t R define nicamenteun punto (x0, y0) en el plano de fases y verifica que F (x0, y0) = G (x0, y0) = 0. Se dice entonces (x0, y0)

  • Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliacin de Matemticas. Esp. Electrnica Industrial.3

    es un punto crtico o un equilibrio del sistema. Cada punto del plano de las fases o bien es un puntocrtico o bien por l pasa una nica trayectoria.

    Las propiedades cualitativas de las rbitas nos permiten obtener informacin sobre el comportamientode las soluciones.

    1. Cada trayectoria del plano de fases representa infinitas soluciones del sistema autnomo: esto es, si(x (t) , y (t)) es una solucin del sistema (1), entonces para cada c R se tiene que (x (t) , y (t)) =(x(t+ c), y(t+ c)) es otra solucin de (1).

    2. Dos trayectorias carecen de puntos comunes: es decir, si (x (t) , y (t)) y (x (t) , y (t)) son solucionesdel sistema (1), tales que la primera solucin en t0 vale (x0, y0) y la segunda en t1 toma los mismosvalores (x0, y0), entonces existe un valor c R tal que (x (t) , y (t)) = (x(t+ c), y(t+ c)).

    3. Las trayectorias cerradas corresponden a soluciones peridicas: si (x (t) , y (t)) es una solucindel sistema (1) que en dos instantes t0 y t0 + T toma el mismo valor, entonces (x (t) , y (t)) =(x(t+ T ), y(t+ T )) para todo t, es decir (x (t) , y (t)) es peridica.

    Muchas veces es posible obtener las trayectorias descritas por las soluciones de un sistema autnomo,sin necesidad de obtener explcitamente dichas soluciones. Supongamos que (x (t) , y (t)) es una solucindel sistema (1) que no permanece constante en el tiempo (esto es, no se trata de una solucin de equilibrio

    o punto crtico), y la derivadadx

    dtes distinta de cero en t = t1, entonces en un entorno del punto x1 = x(t1)

    se verifica que

    dy

    dx=dy

    dt dtdx=G(x, y)

    F (x, y).

    Por tanto, la trayectoria de esa solucin verifica la ecuacin diferencial de primer ordendy

    dx=G(x, y)

    F (x, y).

    Caso de ser la derivadadx

    dtnula para todo t, se tendr que verificar que

    dy

    dtno siempre sea nula, por lo que

    la trayectoria de esa solucin verifica, anlogamente, la ecuacin diferencialdx

    dy=F (x, y)

    G(x, y). En cualquier

    caso, las trayectorias se podrn determinar resolviendo una ecuacin diferencial de primer orden.

    Veamos algunos ejemplos de determinacin de trayectorias y puntos crticos.

    Ejemplo 2.1 Considrese el sistema autnomox0 = 2xyy0 = y2 x2

    Su nico punto crtico es el punto (0, 0). Las dems trayectorias se pueden obtener resolviendo la ecuacinhomognea

    dy

    dx=y2 x22xy

    y comprobando que las trayectorias son todas las circunferencias de centro (a, 0) y radio |a|, excluyendode ellas el punto (0, 0).

    Ejemplo 2.2 Los puntos de equilibrio del sistemax0 = 1 yy0 = x3 + y

    son los puntos (x, y) que verifican 1 y = 0, x3 + y = 0. Por tanto, existe un nico punto crtico quees (1, 1). Es decir, (x(t), y(t)) = (1, 1) es la nica solucin que permanece constante en el tiempo.

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    Ejemplo 2.3 Los puntos de equilibrio del sistemax0 = (x 1)(y 1)y0 = (x+ 1)(y + 1)

    son los puntos (1,1) y (1, 1) ya que son los nicos que verifican(x 1)(y 1) = 0,(x+ 1)(y + 1) = 0.

    Ejemplo 2.4 Los puntos de equilibrio del sistema diferencialx0 = x(y 1)y0 = x(y + 1)

    son los puntos (x, y) que verifican el sistemax(y 1) = 0,x(y + 1) = 0.

    Por tanto, hay infinitos puntos crticos, todos los puntos de la recta x = 0.

    Ejemplo 2.5 Consideremos ahora un ejemplo fsico: el pndulo matemtico. La ecuacin del movimientodel pndulo viene dada por

    d2

    dt2+g

    lsen = 0

    siendo l la longitud de la varilla del pndulo y el ngulo que forma la varilla con la vertical.El sistema diferencial de primer orden equivalente a la ecuacin anterior es, llamando x1 = y

    x2 =d

    dt, el siguiente:

    dx1dt

    = x2

    dx2dt

    = glsen x1

    Este sistema tiene infinitas soluciones de equilibrio. Los puntos crticos son todos los de la forma (k, 0)con k Z.Los puntos (0, 0) y (, 0) son puntos crticos. El primero de ellos tiene x1 = = 0, x2 =

    d

    dt= 0,

    por tanto, estamos en la siguiente situacin: no hay desplazamiento de la vertical, y la velocidad es

    nula. El segundo punto crtico tiene x1 = = , x2 =d

    dt= 0, por tanto, estamos en la siguiente

    situacin: el ngulo de desplazamiento es , y la velocidad es nula. En cualquiera de estas dos situacionesel pndulo conti