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Tema 21. Segundo Cuatrimestre. Física Nuclear. Física General. 1 TEMA 21. FÍSICA NUCLEAR. 1. Introducción. Rutherford, en 1911 bombardeó los átomos con proyectiles de relativa alta energía, constituidos por partículas cargadas (partículas α), encontrando resultados sorprendentes: el modelo atómico aceptado hasta este momento era el de Thompson, y de acuerdo con el mismo, los átomos estaban formados a modo de esferas (cargadas positivamente), en cuyo interior se encontraban embebidos los electrones (cargados negativamente), como si de un pudding se tratara. El resultado sorprendente del experimento de Rutherford era que la mayor parte de los proyectiles atravesaban la materia atómica sin sufrir reflexión apreciable, mientras que un número reducido de proyectiles experimentaba reflexiones violentas hacia atrás, e incluso se encontraron ángulos próximos a los 180º de deflexión. Los estudios de Rutherford y los posteriores experimentos condujeron a un modelo atómico constituido por un envoltorio de electrones (carga negativa), que caracteriza el orden de magnitud del tamaño del átomo, típicamente del Angstrom (10 -10 m), y de un núcleo muy masivo, constituido por protones (carga positiva) y neutrones, concentrado en un espacio reducido, típicamente 1 Fermi (10 -15 m) cinco órdenes de magnitud más pequeño que el átomo. El núcleo pasó a ser un objeto de estudio, aunque, como ha ocurrido muchas veces en la física, los propios científicos y la opinión pública dudaban de la posibilidad de aplicación práctica de dicha investigación. Dudas disipadas en el siglo XX por las numerosas aplicaciones de la física nuclear: a) en medicina (ej: RMN, gamma-grafías, técnicas PET para diagnosis, tratamiento del cáncer mediante radio-isótopos o mediante exposición controlada a un haz de iones C, b) aplicaciones tecnológicas, como el estudio de las propiedades de los materiales, c) aplicaciones industriales y producción de energía, d) datación radioactiva, e) la peor de las aplicaciones: la militar, etc. 2. Constituyentes nucleares. Las propiedades químicas de los elementos o átomos dependen del número de electrones y de su estructura atómica, es decir, su distribución, ya explicada mediante el modelo de capas: las capas incompletas son las que juegan un papel en las combinaciones atómicas para formar moléculas.

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Tema 21. Segundo Cuatrimestre. Física Nuclear. Física General.

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TEMA 21. FÍSICA NUCLEAR.

1. Introducción.

Rutherford, en 1911 bombardeó los átomos con proyectiles de relativa alta energía, constituidos por partículas cargadas (partículas α), encontrando resultados sorprendentes: el modelo atómico aceptado hasta este momento era el de Thompson, y de acuerdo con el mismo, los átomos estaban formados a modo de esferas (cargadas positivamente), en cuyo interior se encontraban embebidos los electrones (cargados negativamente), como si de un pudding se tratara.

El resultado sorprendente del experimento de Rutherford era que la mayor parte de los proyectiles atravesaban la materia atómica sin sufrir reflexión apreciable, mientras que un número reducido de proyectiles experimentaba reflexiones violentas hacia atrás, e incluso se encontraron ángulos próximos a los 180º de deflexión.

Los estudios de Rutherford y los posteriores experimentos condujeron a un modelo atómico constituido por un envoltorio de electrones (carga negativa), que caracteriza el orden de magnitud del tamaño del átomo, típicamente del Angstrom (10-10 m), y de un núcleo muy masivo, constituido por protones (carga positiva) y neutrones, concentrado en un espacio reducido, típicamente 1 Fermi (10-15 m) cinco órdenes de magnitud más pequeño que el átomo.

El núcleo pasó a ser un objeto de estudio, aunque, como ha ocurrido muchas veces en la física, los propios científicos y la opinión pública dudaban de la posibilidad de aplicación práctica de dicha investigación.

Dudas disipadas en el siglo XX por las numerosas aplicaciones de la física nuclear: a) en medicina (ej: RMN, gamma-grafías, técnicas PET para diagnosis, tratamiento del cáncer mediante radio-isótopos o mediante exposición controlada a un haz de iones C, b) aplicaciones tecnológicas, como el estudio de las propiedades de los materiales, c) aplicaciones industriales y producción de energía, d) datación radioactiva, e) la peor de las aplicaciones: la militar, etc.

2. Constituyentes nucleares.

Las propiedades químicas de los elementos o átomos dependen del número de electrones y de su estructura atómica, es decir, su distribución, ya explicada mediante el modelo de capas: las capas incompletas son las que juegan un papel en las combinaciones atómicas para formar moléculas.

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Los átomos son neutros, en su estado fundamental, y en consecuencia el núcleo tiene una carga igual pero positiva, esta carga es transportada por los protones: experimentalmente se ha demostrado que un protón transporta una carga en valor absoluto igual a la del electrón, aunque su masa es aproximadamente 2000 veces superior a la del electrón.

Se denomina número atómico Z al número de protones del núcleo, y es este parámetro Z el que caracteriza al elemento. Por ejemplo, todos los átomos de Fe tienen Z=26, es decir, 26 protones y 26 electrones en el estado fundamental. El núcleo dispone de una carga +Ze, y la capa electrónica –Ze.

2.1 El experimento de Rutherford. Rutherford utilizó como blanco de la interacción, una capa muy fina de átomos de Au. Ya sabía que las partículas α eran núcleos de 4He, con una masa 8000 veces superior a la del electrón. Si el modelo de Thompson era válido, las partículas α apenas deberían desviarse, pues al chocar contra los electrones no sufren deflexión, por la diferencia de masa. Por otra parte, atravesar los núcleos del modelo de Thompson, es prácticamente equivalente a atravesar una fina lámina conductora cargada uniformemente, con las cancelaciones características sobre la fuerza resultante de los elementos simétricos.

La distribución del número de partículas difusas que experimentalmente encontró Rutherford (sus colaboradores Geiger y Mardsen, en realidad) era proporcional a ( )2/sinE 42

c θ−− , lo que es injustificable con el modelo de Thompson, por el gran número de partículas desviadas hacia detrás. En efecto, podemos hacer un cálculo aproximado del ángulo de difusión θ de las partículas α, con momento vmP α= , al pasar por las proximidades del núcleo, considerando que la interacción únicamente ocurre durante el tiempo v/Rt =∆ , que le cuesta a la partícula α atravesar un radio nuclear, y que durante este tiempo actúa la fuerza repulsiva de Coulomb, a una distancia promedio de R:

( )( )R

1

vm4

Ze2

p

p

v

R

R4

e2ZetFp

20

2

20 απε

=∆=θ→πε

=∆=∆

lo que importa, en este cálculo muy elemental, es darse cuenta de que el número de partículas difundidas, por ejemplo hacia atrás, depende inversamente del tamaño nuclear R. Con el modelo de Thompson, las partículas hacia atrás deberían ser muy pocas. Los resultados experimentales apuntaban a que el núcleo era 10-5 veces más pequeño que el átomo.

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2.2 Neutrones.

Puesto que la masa de los núcleos es aproximadamente dos veces superior a la que podemos obtener considerando en su interior únicamente los protones, Rutherford supuso que había en el interior de los núcleos otras partículas neutras, de masa similar a los protones, y que se han denominado neutrones. Esto nos permite definir el número másico A de un núcleo, como la suma del número de protones Z y de neutrones N.

NZA += Número másico

En la década de los años 30, Chadwick demostró la existencia de los neutrones bombardeando Li y B con partículas α. Los productos producidos, neutros, los hizo colisionar con parafina (rica en H), y del estudio de los protones difundidos, por colisión con los hipotéticos neutrones, demostró que las partículas neutras producidas en el Li y B tenían masa semejante a los protones, pero eran neutras.

2.3 La interacción fuerte.

Podemos calcular la fuerza repulsiva culombiana existente en el interior de un núcleo de He (tamaño de 1 Fm) entre los dos protones. Para contrarrestar esa enorme fuerza disgregadora, hace falta una fuerza muy intensa que mantenga la estructura del núcleo unida. Esta fuerza se denomina interacción fuerte o fuerza hadrónica, que actúa tanto sobre los protones como sobre los neutrones, y es atractiva.

2.4 Isótopos.

Los elementos químicos en la Naturaleza, se caracterizan por su número atómico Z, pero no todos los átomos están constituidos por el mismo número N de neutrones. Así, por ejemplo el Uranio (elemento químico) está en realidad constituido por núcleos, que teniendo siempre el mismo número de protones y de electrones (Z=92), se puede encontrar con diferente número de neutrones: N= 146, 144, 143, etc. Todos estos átomos ocupan el mismo lugar en la tabla periódica de los elementos, y reciben el nombre de isótopos (mismo lugar).

Los diferentes isótopos o núclidos, se representan por su símbolo químico X, especificando usualmente el número másico A y el atómico Z, de la forma:

.etc,He,He,U,U:EjemploX 32

42

23592

23892

AZ →

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El símbolo químico determina el número atómico unívocamente, por lo que en la representación anterior se puede eliminar, sin ambigüedad. En la figura 40.1 se representa el número de neutrones N de algunos núclidos en función de su número de protones Z.

La masa atómica que aparece en la tabla periódica es en realidad el valor promedio de las masas de los isótopos, ponderado para las relativas abundancias.

3. Masas nucleares y energías de enlace.

El espectrómetro de masas es un aparato que consiste en una fuente de iones, un selector de velocidades y diferentes campos eléctricos y magnéticos para acelerar los iones y hacerlos curvar en el campo magnético. La finalidad del espectrómetro es la determinación de los diferentes isótopos que componen un elemento, así como las abundancias relativas de los diferentes isótopos. El radio de curvatura depende del momento de los iones, y si hemos seleccionado un haz de partículas con la misma velocidad, los radios dependen de la masa del isótopo1.

1 Ver Tipler página 918, 4ª Edición y Fishbane capítulo 29.

Figura 40.1. Número de neutrones en función del número de protones, para los núcleos estables. Se observa la existencia de los isótopos. A medida que el número de protones aumenta, la proporción de neutrones es mayor, para asegurar la estabilidad del núcleo.

Figura 28.19. Esquema de un espectrómetro de masas. Una fuente ioniza y extrae iones cargados, que al ser acelerados por un campo eléctrico, son curvados por un campo magnético uniforme. Si los iones tienen la misma velocidad, el radio de curvatura será diferente para cada isótopo.

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Las masas de los isótopos, que usualmente aparecen en las tablas atómicas hacen referencia a la masa del átomo, por lo que se ha restar la masa de los electrones para obtener la masa del núcleo específico. Habitualmente, las masas atómicas tienen precisiones de 1 frente a 108.

3.1. Unidad de masa atómica.

Se define como unidad de masa atómica (u.m.a.), la masa del átomo de 12C, dividida por 12. El valor de la u.m.a. en kg o en MeV/c2 es:

227 c/MeV494.931kg10x66057.1.a.m.u1 == −

Podemos expresar los valores de las masas de las partículas (p, n, e, 1H) en función de estas unidades, en la forma:

2p c/MeV272.938uma00728.1m ==

2n c/MeV566.939uma00866.1m ==

24e c/MeV511.0uma10x48578.5m == −

21 c/MeV783.938uma007825.1)H(M ==

donde debe observarse que las masas atómicas se suelen representar por letras capitales2.

3.2 Energía de enlace.

Un núcleo, como el 12C, constituido por 6 protones y 6 neutrones, es una estructura o configuración estable, y en consecuencia su energía debe ser menor que la de sus componentes por separado.

Por otra parte, ya hemos visto, en la relatividad, la expresión de Einstein de la equivalencia entre masa y energía: E=m·c2.

La conclusión de estas observaciones es que cabe esperar que la masa de los núcleos en la Naturaleza, sea perceptiblemente3 menor que la suma de las masas de sus componentes en p y n.

Esto es comprobable a partir del cuadro de masas de arriba, mediante la ecuación:

2 Observad que la diferencia de masa entre el átomo de hidrógeno y el protón es la masa del electrón. 3 Aquí es perceptible, dada la intensidad de la interacción fuerte. El mismo razonamiento es aplicable a todo sistema ligado, como el atómico, pero la intensidad de la fuerza coulombiana es muy débil y los defectos de masa que aparecen en las estructuras atómicas y moleculares no son ponderables.

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( ) ( ) uma09891.0mCMm6HM6c

Em 12

n1

2=∆→−+=∆=∆

Es esta masa-energía, la que se desprende al formar el núcleo a partir de sus componentes de p y n. Obsérvese que la contribución de los electrones cancela, ya que el átomo de H tiene un electrón y el de C tiene 6.

Dada la intensidad de la interacción fuerte, resulta que las masas de los núcleos son del orden de un 1% menor que la suma de las masas de sus componentes en p y n. (Concepto de defecto de masa)

La energía de enlace Eb de los núcleos es pues, el defecto de masa multiplicado por c2, como exige la relación de Einstein:

( ) ( )[ ] 2AZn

1b cXMNmHMZE −+=

es la energía de enlace del isótopo X, caracterizado por Z protones y A nucleones4. La energía de enlace, como se ha definido antes, es positiva para todos los núcleos (estables o inestables que forman estados ligados).

Un parámetro útil para discutir la estabilidad nuclear es la energía de enlace promedio para cada nucleón Eb/A, que se muestra en la figura 40.3.

Conclusiones: • Saturación de las fuerzas nucleares: el hecho de que la curva sea

prácticamente plana al lado derecho del máximo, indica que existe una saturación de las fuerzas nucleares en el interior del núcleo. Esto puede ocurrir si la fuerza nuclear fuerte es de corto alcance, y cada nucleón únicamente interactúa con los vecinos. Obsérvese que si cada nucleón interactuara con todos los restantes, el número de parejas de interacciones debería crecer según A(A-1) y la curva no podría ser plana.

4 Se denomina nucleón indistintamente a los p y n, dadas sus similitudes de comportamiento en la interacción fuerte, misma masa, etc.

Figura 40.3. Energía de enlace por nucleón, en función del número de nucleones A. Obsérvese que las estructuras nucleares más estables se encuentran alrededor del Fe, es decir, los núcleos con 50 nucleones aproximadamente.

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• Dependencia con el número de vecinos: Se ve la importancia del número de pares de interacciones en la parte izquierda del máximo, donde la estabilidad crece extraordinariamente, debido al aumento de pares de interacciones al ir añadiendo nucleones.

• Influencia de la interacción repulsiva de Coulomb: la interacción culombiana no es tan intensa como la fuerte, pero es de largo alcance, lo que hace que el número de interacciones repulsivas de Coulomb en el núcleo crezca según Z(Z-1). Por eso, la interacción culombiana para los núcleos grandes es muy importante, y representa la causa más notoria de inestabilidad nuclear y del decrecimiento parabólico de la curva a la derecha del máximo.

4. Tamaño y densidad nuclear.

Los núcleos han sido bombardeados, en experimentos realizados en los aceleradores con proyectiles como electrones, protones, etc., y con diferentes valores de energía. Los datos obtenidos nos dan información de la distribución de carga y masa (nucleones) en el interior del núcleo.

Los experimentos son consistentes con una distribución uniforme (constante) de los nucleones en el interior del volumen nuclear, sin distinguir p y n, lo que corrobora el efecto de saturación de las fuerzas nucleares comentado antes.

Distribución de carga y masa constante en el interior de esferas de radio:

3/10A ArR =

donde RA representa el radio del núcleo con A nucleones, y r0 es el parámetros de escala nuclear de valor 1.2 Fm.

Como el volumen de una esfera es proporcional a R3, la expresión anterior indica que el volumen nuclear es proporcional al número de nucleones acomodados en el núcleo, es decir, la densidad de materia nuclear no depende de A, es prácticamente constante como hemos de esperar debido a la saturación de la interacción nuclear.

Bordes difusos: Los núcleos no acaban abruptamente, sino que más allá del radio RA, la densidad de materia nuclear decrece muy rápidamente en función de r.

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5. Fuerzas nucleares.

Las fuerzas nucleares entre nucleones son de las más intensas en la Naturaleza a pesar de su saturación, acabada de exponer, y a que cuando se estudian desde el punto de vista de los constituyentes elementales de la materia, resultan ser fuerzas residuales, de la misma forma que las fuerzas de Van der Waals lo son entre las moléculas5.

En la figura 40.3, hemos visto que la energía promedio de los nucleones del núcleo, es de 8 MeV; comparada con la energía de ionización atómica, que es del orden de 10 eV, nos permite concluir que las energías nucleares son del orden de 106 veces más intensas que las fuerzas atómicas.

Las fuerzas nucleares son de corto alcance y se saturan al interactuar con los nucleones que tienen cerca.

Una representación cuantitativa simple de la interacción entre nucleones, debida a Yukawa, tiene la forma siguiente:

( )r

egrU

R/r2

−−=

donde U(r) representa la energía potencial en la interacción nucleón– nucleón, en función de su distancia r. Los resultados experimentales son reproducibles si el valor de R, que caracteriza el alcance de la interacción, vale 2 x 10-15 m, es decir 2 Fm.

Compare el alumno la expresión anterior con la correspondiente gravitatoria, y deduzca qué factor es el que origina el corto alcance.

Los numerosos experimentos de física nuclear realizados ponen de manifiesto que las interacciones p-p, p-n y n-n son idénticas, si no consideramos la influencia de la interacción electromagnética (Coulomb, momentos magnéticos, espines, etc.).

6. Modelos nucleares.

La dificultad intrínseca en el estudio de los núcleos, tanto por la propia fuerza nuclear, como por el elevado número de partículas que implica un sistema nuclear, hace que el estudio se aborde mediante modelos, cuya validez no se aplica a todos los núcleos.

5 Los nucleones se componen de partículas más elementales denominadas quarks, que son los que soportan la interacción fuerte a través de la magnitud activa denominada color (“masa de la gravitatoria, carga de la electromagnética”). Los nucleones son neutros en color, como las moléculas son neutras en carga, lo que explica la afirmación de la parte superior.

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6.1 El modelo nuclear de capas. ¿Qué tiene en común la estructura nuclear con la estructura atómica para que pueda aplicarse un cierto modelo de ocupación de niveles nucleares en capas?. A pesar de las fuertes diferencias que existen entre la interacción culombiana (responsable de los átomos) y la fuerza fuerte, la descripción de un núcleo tiene importantes semejanzas con el átomo:

• Los nucleones son fermiones, como los electrones, y se encuentran confinados en un espacio reducido (cuantización de las energías permitidas).

• A ambos sistemas se les aplica el principio de excusión de Pauli, aunque en el caso del núcleo, neutrones y protones son dos partículas distinguibles entre sí: protones y neutrones por tanto llenarán capas diferentes (Figura 40.2).

• Los nucleones individualmente pueden considerarse sometidos a un potencial externo en el interior del núcleo, promedio de todas las interacciones que sufren con los nucleones de su entorno, y como consecuencia creado por ellos mismos

Estas semejanzas justifican que pueda aplicarse un modelo de capas (nuclear) como buena aproximación al núcleo, aunque la idea clásica de las órbitas sea, si cabe, más difícil de imaginar en el interior del núcleo6.

6 Es difícil imaginar “órbitas estables” en el interior del núcleo. Pero el principio de exclusión de Pauli juega un papel importante: los nucleones sólo podrán realizar transiciones a “otras órbitas” si al chocar entre ellos disponen de suficiente energía para pasar a niveles vacíos, que son los de energía superior.

Figura 40.2. a) Ocho neutrones en un pozo de potencial, b) cuatro protones y cuatro neutrones en el mismo pozo. Observad que al ser los protones distinguibles de los neutrones, el principio de exclusión hace que la configuración b) sea más estable, al ocupar niveles más bajos de energía.

Figura 5.5. Potencial esférico (con simetría esférica) realista para el modelo de capas. R representa el tamaño del núcleo, que no acaba abruptamente, sino de forma difusa.

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El potencial que da buenos resultados es un potencial con simetría esférica, intermedio entre un pozo cuadrado de potencial de radio R y el oscilador armónico, como se ve en la figura 5.5.

El oscilador armónico en tres dimensiones dispone de niveles de energía separados uniformemente de acuerdo con la expresión:

( )2/3n2hE r ++ω= !

en la que, nr toma los valores nr=0,1,2,3, .., y ! , el número cuántico del momento angular puede valer !=0,1,2,3,...y que como sabemos representa la existencia de 2(2!+1) estados ocupables para cada nucleón, si se considera el espín. Así, la secuencia de llenado de los niveles energéticos para los protones será:

TotalesotonesPr ( ) 2protones2;0,0n;h2/3E r ==ω= !

( ) 8protones6;1,0n;h2/5E r ==ω= ! ( ) 18protones10;2,0n;h2/7E r ==ω= ! ( ) 20protones2;0,1n;h2/7E r ==ω= ! ( ) 34protones14;3,0n;h2/9E r ==ω= ! ( ) 40protones6;1,1n;h2/9E r ==ω= !

La misma secuencia se aplica a los neutrones. Es de esperar que los núcleos que tienen capas completas ocupadas por nucleones sean muy estables, como ocurre en el átomo. Así, los números mágicos, que corresponden a núcleos muy estables con capas completas corresponderían en el potencial del oscilador a N =2, 8, 20, 40, etc., tanto para protones como para neutrones.

Los nucleones, en el interior del núcleo, se encuentran sometidos al potencial de la figura: ajustando correctamente la anchura R del pozo (R=1.25 A1/3 ) y su profundidad –V0 (≈ 50 MeV), pueden describirse con muy buena aproximación los niveles energéticos de los núcleos y su secuencia de llenado ( Figura 5.6 izquierda).

Si introducimos ahora la interacción espín-órbita, semejante a la atómica, pero mucho más intensa, reproducimos con mucha precisión la secuencia en que los diferentes niveles atómicos se llenan y los números mágicos (Figura 5.6 derecha). Se denomina números mágicos al número de protones y/o neutrones que originan estructuras nucleares muy estables (con gran energía de enlace), y que en el modelo atómico corresponderían a capas completas. El concepto de capa no corresponde aquí al número cuántico principal n, sino más bien a que haya un salto pronunciado de

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energía entre niveles energéticos próximos. Así, los números mágicos son: 2, 8, 20, 28, 50, 82 etc.

6.2 El modelo de la gota líquida.

La saturación de las fuerzas nucleares, originada por las fuerzas de corto alcance, y en consecuencia la densidad constante de la materia nuclear (incomprensible), hicieron suponer que los núcleos deberían comportarse como gotas de fluido incompresible.

La idea de este modelo, no es reproducir las características locales de cada núcleo, sino más bien, la tendencia general de la energía de enlace de los nucleones, puesta de manifiesto en la figura 40.7. Por esta razón, entra en la categoría de modelos colectivos frente a los modelos de partícula independiente del caso anterior.

El modelo parte de la suma de los constituyentes de los núcleos, Z+N, para ir considerando los términos que aumentan o disminuyen su estabilidad, es decir, su energía de enlace, tal y como se haría en una gota esférica líquida, si bien las fuerzas a considerar aquí deben ser nucleares.

1) Término de orden cero: suma de les masas de los constituyentes:

( ) nHnH mZAZMmNZM −+=+

7 Observad que el signo de la interacción espín – órbita es aquí contrario al caso atómico, pues está originado por partículas cargadas positivamente, lo que hace que los niveles de energía inferior sean los de j superior.

Figura 5.6: A la izquierda se observa la secuencia de niveles energéticos cuantizados que se obtiene con el potencial intermedio de la figura 5.5.. Los números cuánticos que caracterizan los estados son semejantes a los atómicos: n, l, ml. Este último representa la cuantización angular del momento angular. A la derecha, se ha introducido el efecto de la interacción espín-órbita, mucho más intenso que en el átomo, y que justifica finalmente la secuencia de los números mágicos (capas completas) nucleares7.

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2) Energía de enlace proporcional al volumen nuclear. Justificado por la saturación de las interacciones nucleares; fuerza estabilizadora con signo negativo!!

AaV− ésta energía de enlace reduce la masa del núcleo originando estabilidad.

3) Término de la tensión superficial (nuclear). Las gotas de lluvia en la naturaleza tienen forma esférica porque es la configuración más estable, al tener menor superficie. Mayor superficie significa realizar un trabajo contra “la tensión superficial”, que incrementa la energía del sistema. Este término es positivo, ya que incrementa la inestabilidad a mayor superficie.

3/2

sAa+

4) La repulsión de Coulomb. La energía necesaria para acumular una carga Ze desde el infinito, en un volumen de radio R=r0 A1/3, toma el valor:

MeVA

Z72.0

Ar4

eZ

5

33/1

2

3/100

22

=πε

5) Término de simetría: favorece la igualdad entre el número de protones y neutrones. Si los protones no estuvieran cargados, la secuencia de niveles de protones y neutrones sería la misma, e irían llenándose paralelamente con el mismo número de ellos. Sin embargo, al estar cargados, los niveles del p son menos estables y se favorece que los núcleos tengan ligeramente más neutrones.

( )A

Z2Aa

2

A−+

6) Término de energía de apareamiento ∆. Los núcleos muestran preferencia en tener un número par de protones y también un número par de neutrones, que forman estructuras muy estables. De hecho, el número de núcleos con N y Z impares es muy pequeño. Este término se representa por:

+

−=∆

.imparesN,ZconnúcleosParaAa

.imparAconnúcleosPara,0.paresN,ZconnúcleosPara,Aa

2/1p

2/1p

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6.2.1 Fórmula semiempírica de la masa.

La suma de todos los términos anteriores, conduce a una predicción muy aproximada, si bien sin revelar estructuras locales, de la masa de los núcleos o de su energía de enlace por nucleón. La fórmula es:

( ) ( ) ∆+−+++−−+=A

Z2Aa

A

ZaAaAamZAMZM

2

A3/1

2c3/2

SVnHA

Esta expresión supone, a pesar de su complicada apariencia8, realizar un ajuste lineal por mínimos cuadrados sobre los parámetros aV, aS, aA, etc., que proporciona resultados muy buenos sobre la tendencia global de los núcleos en el sistema periódico.

8 Ver el libro de R. Guardiola, E. Higon, J. Ros, “Métodos de cálculo numérico para la física” Universitat de València, página 188.