1

• TEMA 1 : MECÁNICA

• MOVIMIENTOS• FUERZAS• FLUÍDOS• ENERGÍAS

1

θ (t)0

x Ox(t)

MOVIMIENTOS BÁSICOS

Clasificación según trayectorias

y

x0

vo

θ0

x(t)

y(t)

•|PARABÓLICO

• CIRCULAR

• LINEAL

¿ Qué ?22 / 25

3

ω

APLICACIONES PRINCIPALES ¿ Para qué ? 3 / 25

4 ω1

ω2

Mecanismos, Engranajes y transmisión de movimiento

APLICACIONES PRINCIPALES¿ Para qué ?

4 / 25

5

APLICACIONES PRINCIPALES Máquinas agrícolas, Riego

¿ Para qué ?5 / 25

6

x Origenx(t)

MOVIMIENTO LINEAL

V(t)

Velocidad

Aceleración

xVt

∆=∆

Vat

∆=∆

* Conceptos fundamentales

t∆Intervalo

detiempo

V∆

Variaciónde

velocidad

Trayectoria :línea recta

Desplazamientox∆

6 / 25

7

MOVIMIENTO LINEAL

x Origenx(t)

V (t)

Mide la Velocidad instantánea V(t) del móvil, no la

Velocidad media V

Mide la Distancia

recorrida desde el origen

* Comentarios

La distancia medida no siempre es el Desplazamiento

∆ xo la posición

x(t)

∆ x

Para hallar la aceleración hayque medir 2

Velocidades enun intervalo de

tiempo

7 / 25

8

8 / 25

9

Utilización de Funciones reales y su representación gráfica para

visualizar fácilmente la relación entre las variables

• LINEAL: x(t)

• CIRCULAR: θ (t)

• PARABÓLICO: x(t), y(t)

Funciones utilizadas para analizar movimientos :

Mayor nivel de abstracción pero mejor comprensión y cálculo

t

∆ x

∆ t

x

x (t )

(1) Conexiones con Matemática ¿ Cómo ?

9 / 25

10

(1) Conexiones con Matemática

θ (t)0

x Ox(t) MOVIMIENTOS BÁSICOS y Funciones

y

x0

vo

θ0

x(t)

y(t)

•|PARABÓLICO: x(t), y(t)

• CIRCULAR: θ (t)

• LINEAL: x(t)

10 / 25

11

x f(x) =3x+20 21 52 83 114 14

Ejemplos de funciones a utilizar

Con tablas de valores numéricos :

a) lineal b) cuadrática c) Polinomio 2o. grado

x g(x) =3x2 +20 21 52 143 294 50

x h(x)=3x2+4x+20 21 92 223 414 66

(1) Conexiones con Matemática

No se visualiza bien la relación entre variables, aunque los

valores que va tomando la función se calculan con facilidad

11 / 25

12

Ejemplos de funciones a utilizar

Con representación gráfica :

a) lineal b) cuadrática c) Polinomio 2o. grado

f(x) = 3x+2 g(x) = 3x2 + 2 h(x) = 3x2 + 4x + 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

2

4

6

8

10

12

14

16

x

f(x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

10

20

30

40

50

60

x

g(x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

10

20

30

40

50

60

70

x

h(x)

(1) Conexiones con Matemática

Se visualiza bien la relación entre variables, aunque los valores

que va tomando la función se estiman aproximadamente.

12 / 25

13

x

∆ f

∆ x

f

0

Significado de la Pendiente de una curva

Mide el efecto de una variación de la variable independiente x

en la variable dependiente f(x)

Ejemplos : en 1 hora un móvil se desplazó 80 km ( 80 km/h)En 5 s un auto llega a 100 km/h ( 20 km/h /s )

En 100 m una carretera tiene un desnivel de 5 m ( 5 % )

( ) fPENDIENTE dex

f x ∆≡∆

(2) Conexiones con Matemática 13 / 25

14

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

10

20

30

40

50

60

x

g(x)

Si x es posición y t tiempo, la pendiente da la velocidad media en el intervalo ∆ t elegido

y en el límite da la velocidad instantánea en cada tiempo :

MOVIMIENTO LINEAL

t

∆ x

∆ t

x

0

Con velocidad variable

(2) Conexiones con Matemática

xVt

∆=∆

0( ) lim txV tt∆ →

∆≡∆

20 /201

m sxVt

= ∆= =∆

En intervalo [ 3-4 ] s

14 / 25

15

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

10

20

30

40

50

60

70

x

h(x)

Si V es velocidad y t tiempo, la pendiente da la aceleración media en el intervalo ∆ t elegido

y en el límite da la aceleración instantánea en cada tiempo :

0( ) lim ta Vtt∆ →

∆≡∆

MOVIMIENTO LINEAL

t

∆ V

∆ t

V

0

con aceleración variable

(2) Conexiones con Matemática

Vat

∆=∆

En intervalo [ 2 - 3 ] s

220 /201

a m sVt

= ∆= =∆

15 / 25

160 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

2

4

6

8

10

12

14

16

x

f(x)

(3) Conexiones con Matemática

0( )( )

i

i i

f ii

aV t V ctex t x V tx x

Vt

== =

= +−

=∆

Ecuaciones de movimiento

B) lineal aceleración constante (MRUA)

2

2 2

0( )

( )2

2 ( )

2

i

i i

f i f i

f i f i

a cteV t V a t

a tx t x V t

V V a x xx x V V

t

= ≠= +

= + +

= + −

− +=

∆

A ) lineal velocidad constante (MRU)

t

x

xi0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0

10

20

30

40

50

60

70

x

h(x)

t

x

xi

16 / 25

17

θ (t)0

MOVIMIENTO CIRCULAR

Velocidad angular

Longitud de 1 vuelta = R 2π

Trayectoria:Circunferencia

radio Rcentro O

* Conceptos fundamentales

tθω ∆=

∆

θ∆

x R θ∆ = ∆

x

Desplazamiento lineal =

Desplazamiento angular

∆ x = R ω ∆ t Desplazamiento lineal

Desplazamiento angular

∆ θ = ω ∆ t

17 / 25

18

MOVIMIENTO CIRCULAR * Conceptos fundamentales

Período

Tiempo de una vuelta

T = 2 π / ω

Usualmente se miden las RPM ( revoluciones por minuto ) de un motor, magnitud que se relaciona con :

Frecuencia

vueltas por segundo

f = 1 / T

Velocidad angular

18 / 25

ω = π ( RPM )/30

T = 60 / RPM

tθω ∆=

∆

f = RPM / 60

19

Se trata de un movimiento con 2 tipos de velocidades : angular y lineal, relacionadas.

Aunque se trate de un movimiento con rapidez constante, igualmente existe una

aceleración ( centrípeta ) ya que la velocidad ( tangencial ) cambia de sentido

Velocidad tangencial V = ω R

Aceleración centrípeta

a = ω 2 R

ω = ∆θ /∆t

R

MOVIMIENTO CIRCULAR * Conceptos fundamentales19 / 25

20

Aceleración centrípeta

a = ω 2 R

(4) Conexiones con Matemática

Frecuencia f = RPM / 60

PeríodoT = 60 / RPM

Velocidad angularω = π ( RPM )/30

Ecuaciones principales

MOVIMIENTO CIRCULAR

Velocidad tangencial V = ω R

20 / 25

θ (t)0

∆ x = R ω ∆ t

∆ θ = ω ∆ t

21

y

x0

vo

θ0

x(t)

y(t)

MOVIMIENTO PARABÓLICO * Conceptos fundamentales

Trayectoria:parábola

Es un movimiento complejo y para estudiarlo

se lo descompone en 2 movimientos lineales

( mediante trigonometría ) :

g

21 / 25

( g = aceleración debida a la atracción gravitatoria )

En x es un movimiento con velocidad constante ( MRU )

En y es un movimiento con aceleración constante ( MRUA )

22

Trigonometría

Los ángulos se miden usualmente en grados sexagesimales ( θ ° ) pero en Matemática – Física se miden en radianes.

La conversión es sencilla usando una regla de 3 : π rad ---- 180 ° θ rad ---- θ °

22 / 25

(5) Conexiones con Matemática

. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS :

2 2cos

asenhb h a bhatgb

θ

θ

θ

≡

≡ = +

≡

θ

h a

b Teorema de Pitágoras

Conociendo el valor de la función trigonométrica ( sen, cos, tg ) de un ángulo se halla éste usando la función inversa correspondiente ( arcsen, arc cos, arc tg, que en calculadoras es : sin -1, cos -1, tan -1 )

0°0 rad

180°π rad

23

(5) Conexiones con Matemática 23 / 25

30 0,5 cos 60sen ° = = °Trigonometría

60°+ 30° = 90°

ó 90°- 30° = 60°H=10 m

60°

D

L H = 10 m

Ejemplo : ¿ L, D, tg 60° ?

#

2 2L = H - D = 100 - 25 = 8,7 m

8,760 1,75

LtgD

° = = =

D = H cos 60° = H sen 30° = 5m

60 km

30 km

β Hr

β

α

β

Ejemplo : ¿ H, α, β ?

30 0,5 0,5 2760

tg arctgβ β= = ⇒ = = °

2 230 60 67H km= + =

90 27 63α∴ = ° − ° = °

24

0 0

0 0

2

0 0

0 0

2

0 2 20 0

( ) ( cos )cos

( ) ( )2

( )

( )2 cos

x

y

x t v tv v cte

gty t v sen t

v t v sen gt

gxy x xtgv

θθ

θ

θ

θθ

== =

= −

= −

= −

v

vx

vy

MOVIMIENTO PARABÓLICO(6) Conexiones con Matemática

Ecuaciones de movimiento

24 / 25

MRU

MRUA

constantexV =

variableyV =2 2V = x yV V+

20 02

MAXv senx

gθ=

2 20 0

2MAXv seny

gθ=

20 02

MAXv senx

gθ=

25

Unidades del Sistema internacional (S.I.) Conversiones usuales : x en metros ( m ) 1 mi = 1,609 km V en metros por segundo ( m/s) 1 m/s = 3,6 km/h a en metros por segundo por segundo 1 mi/h = 1,6 km/h ( m/s) /s = m/s2

ω en radianes por segundo ( rad/s ) Ver más en Tablas f en ciclos por segundo 1/s = Hertz ( Hz ) En el movimiento circular : La velocidad tangencial : V = ω R = ( rad/s ) . m = m/sLa aceleración centrípeta : a = ω 2 R = ( rad/s ) 2 m = m / s 2

Observación : la unidad radian es adimensionada, lo mismo que las Funciones trigonómetricas ( sen, cos, tg )

25 / 25