Teliko ekf - g lukeioy gp diagonisma prosomoiosis lisari team 2016 one-file

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής

Επιμέλεια θεμάτων:

lisari team

# ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ #

Όλα τα διαγωνίσματα προσομοίωσης

2016 της lisari team

για όλες τις τάξεις Γυμνασίου – Λυκείου

θα τα βρείτε στο

lisari.blogspot.gr

lisari team 7/5/2016 Έκδοση 1η

Διαγώνισμα Προσομοίωσης 2016

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015 - 2016

Πρόλογος

Η lisari teaμ παρουσιάζει με χαρά τα φετινά (2016) διαγωνίσματα προσομοίωσης. Για πρώτη φορά

προτείνουμε θέματα και από τις άλλες τάξεις εκτός της Γ΄ Λυκείου.

Η λογική όλων των θεμάτων είναι κοινή:

«Βάλτε, προτείνετε, επεξεργαστείτε θέματα από το σχολικό βιβλίο».

Φυσικά όπου είναι εφικτό και στο βαθμό που επιθυμεί ο διδάσκων. Πρέπει η βάση και η νοοτροπία όλων

των εκπαιδευτικών να αποτελέσει το σχολικό βιβλίο. Μετά από τόσες δοκιμές, πειράματα φθάσαμε

αρκετές φορές στην ακραία ασκησιολογία. Ιδίως στις Πανελλαδικές Εξετάσεις προτείνουμε να

καθιερωθεί - νομοθετηθεί το ένα θέμα (πχ. το Β) να είναι μέσα από το σχολικό βιβλίο.

Τα θέματα που θα δείτε δεν έχουν σκοπό να αποθαρρύνουν τους μαθητές, αντίθετα φιλοδοξούν να τους

προετοιμάσουν άρτια.

Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι είναι θέματα προσομοίωσης μιας ομάδας μαθηματικών από ένα διαδικτυακό

χώρο. Επομένως δεν πρέπει να θεωρούνται άκριτες προτάσεις για τις σχολικές μονάδες που τις

περισσότερες φορές το επίπεδο είναι πιο χαμηλό.

Ελπίζουμε, όσο είναι εφικτό, να το διασκεδάσετε, να προβληματίσετε και να σας ανοίξουμε μονοπάτια

σκέψης, τότε τα θέματα θα θεωρούνται ότι πέτυχαν το σκοπό τους.

Συντονισμός: Μάκης Χατζόπουλος

Ιστότοπος: lisari.blogspot.gr

Επεξεργασία – επιμέλεια θεμάτων:

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΟΥΣΤΕΡΗΣ, ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΑΝΩΛΗΣ , ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΑΔΕΜΗΣ ,

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΩΝΗΣ , ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ

Οποιαδήποτε παρατήρηση, σημείωση ή ένστασή προκύψει μη διστάσετε να μας τη στείλετε

στο email [email protected] υπόψη του Μάκη Χατζόπουλου.

mailto:[email protected]

l isari team

Σχολικό έτος 2015 -΄16

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Γ΄ ΤΑΞΗ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ

ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΣΑΒΒΑΤΟ 7 ΜΑΙΟΥ 2016

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΕΡΙΣ (4) ΣΕΛΙΔΕΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Για τη σχετική συχνότητα να αποδείξετε ότι:

α) i0 f 1 για i 1,2,...,k (μονάδες 3)

β) 1 2 kf f ... f 1 (μονάδες 6)

Μονάδες 9

Α2. Τι ονομάζουμε μέτρα θέσης και τι μέτρα διασποράς;

Μονάδες 6

Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο

τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η

πρόταση είναι λανθασμένη.

α. Η διαδικασία με την οποία εξετάζουμε όλα τα άτομα (στοιχεία)

του πληθυσμού ως προς ένα χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει

λέγεται απογραφή.

β. Όταν έχουμε πολλές παρατηρήσεις η κατανομή τους μπορεί να

περιγραφεί με το σημειόγραμμα.

γ. c 0, c R

δ. Κάθε συνάρτηση έχει παράγωγο σε κάθε 0x A .

ε. Παίρνουμε ένα στοιχείο του δειγματικού χώρου 1 2, ,...,

τότε όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα με πιθανότητα

i

1, i 1,2,..,v

v . Μονάδες 10

l isari team





ΘΕΜΑ Β

Για δύο ισοπίθανα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω

δίνονται:

1

P A P A B P B 13

N A 3

N B 2

Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α είναι κατά

1

6 μεγαλύτερη από την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το

ενδεχόμενο Β

Β1. Να δείξετε ότι 1

P A2

και 1

P B3

.

Μονάδες 8

Β2. Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί

i) το πολύ ένα από τα Α και Β.

Μονάδες 4

ii) ακριβώς ένα από τα Α και Β.

Μονάδες 6

iii) το Α ή να μην πραγματοποιηθεί το Β.

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση 1

f x x ,x

r

Γ1. Να δείξετε ότι το τοπικό ελάχιστο της f είναι μεγαλύτερο από το τοπικό

μέγιστο της f για κάθε r .

Μονάδες 4

Γ2. Να υπολογίσετε το όριο

x 1

f x f 1lim

x x x

Μονάδες 4

l isari team





Γ3. Αν για δύο θετικούς αριθμούς κ, λ ισχύει ότι 2 3f f 2 3 να

βρείτε τους κ και λ ώστε το άθροισμα τους να γίνεται ελάχιστο.

Μονάδες 9

Γ4. Αν η εφαπτομένη της fC στο σημείο της

1 1A ,f

2 2

τέμνει τον άξονα

x x στο σημείο B 2,0 να δείξετε ότι 2 .

Μονάδες 8

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις εκατό με

τους χρόνους (min) επίλυσης των μαθητών του ΓΕΛ Γαύδου για το

προηγούμενο Γ θέμα της lisari team.

Αν ο μέσος χρόνος επίλυσης του θέματος ήταν 27 min και οι

παρατηρήσεις σε κάθε κλάση είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες τότε:

Δ1. Να δείξετε ότι το πλάτος c των κλάσεων ισούται με 10.

Μονάδες 6

l isari team





Δ2. Να υπολογίσετε τη διάμεσο του δείγματος (μονάδες 2) και στη

συνέχεια να παραστούν τα δεδομένα σε ένα πίνακα σχετικών

συχνοτήτων (απόλυτων και αθροιστικών) (μονάδες 5).

Μονάδες 7

Δ3. Να αποδείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές (μονάδες 4) και στη

συνέχεια να βρείτε τον ελάχιστο ακέραιο αριθμό που πρέπει να

προσθέσουμε σε κάθε τιμή των παρατηρήσεων, ώστε το δείγμα να

γίνει ομοιογενές (μονάδες 3). Δίνεται: 111 10,54 .

Μονάδες 7

Δ4. Αν κάθε μαθητής έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί , να βρεθεί η

πιθανότητα να εκλεγεί ένας μαθητής που να έχει λύσει το θέμα το

πολύ μέχρι το μέσο χρόνο επίλυσής του.

Μονάδες 5

Πρόλογος

Η lisari teaμ παρουσιάζει με χαρά τα φετινά (2016) διαγωνίσματα προσομοίωσης. Για πρώτη φορά

προτείνουμε θέματα και από τις άλλες τάξεις εκτός της Γ΄ Λυκείου.

Η λογική όλων των θεμάτων είναι κοινή:

«Βάλτε, προτείνετε, επεξεργαστείτε θέματα από το σχολικό βιβλίο».

Φυσικά όπου είναι εφικτό και στο βαθμό που επιθυμεί ο διδάσκων. Πρέπει η βάση και η νοοτροπία όλων

των εκπαιδευτικών να αποτελέσει το σχολικό βιβλίο. Μετά από τόσες δοκιμές, πειράματα φθάσαμε

αρκετές φορές στην ακραία ασκησιολογία. Ιδίως στις Πανελλαδικές Εξετάσεις προτείνουμε να

καθιερωθεί - νομοθετηθεί το ένα θέμα (πχ. το Β) να είναι μέσα από το σχολικό βιβλίο.

Τα θέματα που θα δείτε δεν έχουν σκοπό να αποθαρρύνουν τους μαθητές, αντίθετα φιλοδοξούν να τους

προετοιμάσουν άρτια.

Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι είναι θέματα προσομοίωσης μιας ομάδας μαθηματικών από ένα διαδικτυακό

χώρο. Επομένως δεν πρέπει να θεωρούνται άκριτες προτάσεις για τις σχολικές μονάδες που τις

περισσότερες φορές το επίπεδο είναι πιο χαμηλό.

Ελπίζουμε, όσο είναι εφικτό, να το διασκεδάσετε, να προβληματίσετε και να σας ανοίξουμε μονοπάτια

σκέψης, τότε τα θέματα θα θεωρούνται ότι πέτυχαν το σκοπό τους.

Ιστότοπος: lisari.blogspot.gr

Επεξεργασία – επιμέλεια θεμάτων:

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΟΥΣΤΕΡΗΣ, ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΑΝΩΛΗΣ , ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΑΔΕΜΗΣ ,

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΩΝΗΣ , ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ

Επεξεργασία – επιμέλεια απαντήσεων:

ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΑΝΩΛΗΣ, ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ,

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΩΝΗΣ, ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ

Οποιαδήποτε παρατήρηση, σημείωση ή ένστασή προκύψει μη διστάσετε να μας τη στείλετε

στο email [email protected] υπόψη του Μάκη Χατζόπουλου.

mailto:[email protected]

lisari team

σχολικό έτος 2015-΄16

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Θέμα Α

Α1. α) Για τη σχετική συχνότητα if της τιμής

ix , i 1, 2,..., κ , ισχύει

i

i i

ν0 ν ν 0 1 0 f 1

ν

(σελ. 65 σχ. βιβλίου)

β) Έχουμε:

1 2 κ 1 2 κ1 2 k

ν ν ν ν ν ν νf f ... f 1

ν ν ν ν ν

(σελ.65 σχ. βιβλίου)

Α2. Τα αριθμητικά μεγέθη που μας δίνουν τη θέση του «κέντρου» των

παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα λέγονται μέτρα θέσης της κατανομής.

Ενώ τα αριθμητικά μεγέθη που μας δίνουν τη διασπορά των παρατηρήσεων,

δηλαδή πόσο αυτές εκτείνονται γύρω από «κέντρο» τους λέγονται μέτρα

διασποράς.

(σελ. 84 σχ. βιβλίο)

Α3. α: Σωστό

β: Λάθος (καλύτερη διατύπωση θα ήταν η εξής «επιλέγουμε το σημειόγραμμα όταν οι

παρατηρήσεις είναι πολλές»).

γ: Σωστό

δ: Λάθος

ε: Λάθος

Θέμα B

Β1. Από τα δεδομένα έχουμε:

N A

N A N Ω P A3 3 3 32P A 3P B P A P B

N BN B 2 2 P B 2 2

N Ω

Επίσης επειδή η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Α ενδεχόμενο είναι κατά 1

6

μεγαλύτερη από την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Β ενδεχόμενο έχουμε:

1

P A P B6

lisari team


Επομένως έχουμε το σύστημα:

3 3 3 1P A P B P A P B P A P B P A

2 2 2 2

1 3 1 1 1 1P A P B P B P B P B P B

6 2 6 2 6 3

Β2. Επειδή 0 P B έχουμε

1 1

P B P B3 3

Επίσης

P A P A B P A P A B

γιατί

A B A P A B P A P A P A B 0

Επομένως

1 1P A P A B P B 1 P A P A B P B 1

3 3

1 1 1P A B 1

2 3 3

1P A B

6

i. Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α, Β είναι το A B με

πιθανότητα

1 5

P A B 1 P A B 16 6

ii. Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α, Β είναι το A B B A

με πιθανότητα

P A B B A P A B P B A P A P B 2P A B

1 1 1 12

2 3 6 2

αφού τα ενδεχόμενα A B,B A είναι ασυμβίβαστα.

lisari team


iii. Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί το Α ή να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι το

A B με πιθανότητα

P A B P A P B P A B

P A 1 P B P A B

P A 1 P B P A P A B

1 P B P A B

1 1 51

3 6 6

Θέμα Γ

Γ1. Η συνάρτηση f ορίζεται για x 0 άρα έχει πεδίο ορισμού το A R .

Για κάθε x R η f είναι παραγωγίσιμη με

2

2 2

1 1 x 1f x x α 1

x x x

Έχουμε:

2

2 2

2

x 1f x 0 0 x 1 0 x 1 x 1 ή x 1

x

22 x 0

2 2

2

x 1f x 0 0 x 1 0 x 1 x 1 ή x 1

x

22 x 0

2 2

2

x 1f x 0 0 x 1 0 x 1 1 x 1

x

, με x 0 ,

άρα ο πίνακας μεταβολών της f είναι ο ακόλουθος:

Από τον πίνακα μεταβολών της f προκύπτει ότι αυτή έχει τοπικό μέγιστο για x 1

το

1

f 1 1 α α 21

και τοπικό ελάχιστο για x 1 το

1

f 1 1 α α 21

Θέλουμε να δείξουμε ότι

f 1 f 1 α 2 α 2 2 2 ,

lisari team


το οποίο προφανώς ισχύει για κάθε αR . Άρα ισχύει και το ζητούμενο.

Γ2. Έχουμε:

x 1

f x f 1

x x xlim

x 1

1 1x α 1 α

x 1

x x 1lim

x 1

1x α 2 α

x

x x 1lim

x 1

1x 2

x

x x 1lim

x 1

2x 1 2x

x

x x 1lim

x 1

2

2

x 1 2x

x x 1lim

x 1

2

2

x 1

x x 1lim

x 1

2

2

x 1 x 1

x x 1 x 1lim

x 1

2

2

x 1 x 1

x x 1lim

x 1

2

x 1 x 1

xlim

2

1 1 1 10

1

Β΄ τρόπος

Έχουμε:

x 1 x 1 x 1

f x f 1 f x f 1

f x f 1 f 1x 1 x 1 2f 1x 1x x x x x 1

2x 1x 1

lim lim lim

όμως 2

2

1 1f 1 0

1

άρα το όριο ισούται με το μηδέν.

Γ3. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο:

2 3

1 2f x 1

x x

, x R

Για κ,λ 0 έχουμε:

32 3 2 3

3 3

2 2 1f κ f λ 2 3 2 3 3κλ 1 3κλ 1 κλ

3κ λ

άρα 1

λ3κ

.

Αναζητούμε τα κ, λ έτσι ώστε το άθροισμα 1

κ λ κ3κ

να γίνει ελάχιστο.

Θεωρούμε τη συνάρτηση g : 0, R με

1

g x x , x 03x

Η g είναι παραγωγίσιμη στο 0, με παράγωγο:

lisari team


2

2 2

1 1 3x 1g x x 1

3x 3x 3x

Έχουμε:

g x 0 2

2

3x 10

3x

23x 1 0

x 02 1 3

x x3 3

g x 0

22 x 0

2

3x 10

3x

23x 1 0

x 02 1 3

x x3 3

g x 0

22 x 0

2

3x 10

3x

23x 1 0

x 02 1 3

x 0 x3 3

άρα ο πίνακας μεταβολών της g είναι ο ακόλουθος:

Από τον παραπάνω πίνακα βρίσκουμε ότι η g έχει ολικό ελάχιστο όταν 3

x3

.

Συνεπώς το άθροισμα 1

κ λ κ g κ3κ

είναι ελάχιστο όταν 3

κ3

και

1 1 1 3λ

3κ 33 33

3

δηλαδή όταν 3

κ λ3

.

Γ4. Έστω ε : y λx β η εφαπτομένη της fC στο σημείο 1 1

,f2 2

, τότε:

2

2

11

1 2λ f 3

2 1

2

, άρα ε : y 3x β .

Η ε τέμνει τον x x στο B 2,0 άρα ισχύει:

0 3 2 β β 6

Άρα η ευθεία ε έχει εξίσωση

y 3x 6 .

lisari team


Το σημείο 1 1

,f2 2

ως σημείο επαφής, ανήκει και στην ε , άρα ισχύει:

1 1 1 9 5 9f 3 6 2 α α α 2

2 2 2 2 2 2

Θέμα Δ

Δ1. Πρέπει:

20 100 5

Επειδή τα κέντρα των κλάσεων διαφέρουν κατά πλάτος c ο πίνακας συχνοτήτων

είναι:

κλάσεις ix if

iF iF %

, 10 0,1 0,1 10

, 10 + c 0,4 0,5 50

, 10 + 2c 0,25 0,75 75

, 10 + 3c 0,2 0,95 95

, 10 + 4c 0,05 1 100

Σύνολο 1 - -

Από το τύπο της μέσης τιμής 1 1 2 2 k kx x f x f ... x f έχουμε:

x 10 0,1 10 c 0,4 10 2c 0,25 10 3c 0,2 10 4c 0,05

27 1 4 0,4c 2,5 0,5c 2 0,6c 0,5 0,2c

27 10 1,7c

1,7c 17

c 10

Δ2. Παρατηρούμε από τον πίνακα ότι το 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες

από τη παρατήρηση γ άρα η διάμεσος του δείγματος είναι . Οπότε

c 1030 30 25

2 2

Ο πίνακας σχετικών και απόλυτων σχετικών συχνοτήτων είναι:

κλάσεις ix if iF

iF %

5,15 10 0,1 0,1 10

15,25 20 0,4 0,5 50

25,35 30 0,25 0,75 75

35,45 40 0,2 0,95 95

lisari team


45,55 50 0,05 1 100

Σύνολο 1 - -

Δ3. Από το τύπο 2 2

2

1 1 k ks x x f ... x x f έχουμε:

2 2 2 22s 10 27 0,1 20 27 0,4 30 27 0,25 40 27 0,2 50 27 0,05

δηλαδή

2s 111

άρα η τυπική απόκλιση είναι

s 111

Οπότε ο συντελεστής μεταβολής είναι:

s 111 100 10 10CV

27 27 27 100x

δηλαδή το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

Έστω m ο θετικός ακέραιος που πρέπει να προσθέσουμε σε κάθε παρατήρηση για να

γίνει το δείγμα ομοιογενές. Ως γνωστό το νέο δείγμα θα έχει την ίδια τυπική

απόκλιση και μέση τιμή x m 27 m 0 .

Επομένως:

s 10 111 1CV

100 27 m 10x m

10 111 27 m

105,4 27 m

78,4 m

άρα ο ελάχιστος θετικός ακέραιος αριθμός που πρέπει να προστεθεί στο δείγμα για να

γίνει ομοιογενές είναι ο αριθμός 79.

Δ4. Έστω το ενδεχόμενο

Α: «Να εκλεγεί ένας μαθητής που να έχει λύσει το θέμα το πολύ μέχρι το μέσο χρόνο

επίλυσής του»

Η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

10 40 1 25 55

P A100 100 5 100 100

lisari team


αφού στο διάστημα [5, 15) αντιστοιχεί το 10%, στο διάστημα [15, 25) αντιστοιχεί το

40%. Στο διάστημα [25, 35) αντιστοιχεί το 25%, άρα στο διάστημα [25, 27)

αντιστοιχεί το 1

25% 5%5 .

Teliko ekf - g lukeioy gp diagonisma prosomoiosis lisari team 2016 one-file

Education

Transcript of Teliko ekf - g lukeioy gp diagonisma prosomoiosis lisari team 2016 one-file