TELECOM Notes 02 Introduction to Signals (1)

14
AΣΠΑΙΤΕ / Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικής Γερ. Κ. Παγιατάκης «Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα» 2.1 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ 1 2.1. Κατηγοριοποίηση σημάτων Ένα ηλεκτρικό σήμα μπορεί να είναι μια μεταβαλλόμενη τάση υ(t) (σε Volts) ή ένα μεταβαλλόμενο ρεύμα i(t) (σε Amperes) και μπορεί να θεωρηθεί ως το «ηλεκτρικό αντίγραφο» της πρωτογενούς «φυσικής» πληροφορίας (φωνής, εικόνας, αλφαριθμητικών δεδομένων υπολογιστή κλπ.) Για παράδειγμα, το μικρόφωνο του μικροτηλεφώνου μετατρέπει τα ηχητικά κύματα της φωνής σε ένα ηλεκτρικό σήμα (που μεταδίδεται μέσω της τηλεφωνικής γραμμής), ένας εικονολήπτης (camera) μετατρέπει τις φυσικές εικόνες σε ένα σύνθετο ηλεκτρικό σήμα που εμπεριέχει την πληροφορία για τη φωτεινότητα και τη χρωματικότητα των εικόνων αυτών, ενώ ο υπολογιστής μετατρέπει τους πληκτρολογημένους αλφαριθμητικούς χαρακτήρες, σε παλμοσειρές που μεταδίδονται π.χ. μέσω ενός τοπικού δικτύου υπολογιστών. Μια πρώτη κατηγοριοποίηση των σημάτων είναι σε αιτιοκρατικά (deterministic) και στοχαστικά (random) σήματα. Τα πρώτα περιγράφονται μέσω καθορισμένων χρονικών συναρτήσεων (π.χ. x(t) = A x cos(2πf x t)) ενώ τα δεύτερα είναι τυχαία και μπορούν να προσδιοριστούν μόνοn έμμεσα (με τη βοήθεια συγκεκριμένων παραμέτρων, όπως η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση). Χαρακτηριστικό παράδειγμα στοχαστικού σήματος είναι ο θόρυβος. Ένας άλλος τρόπος κατηγοριοποίησης των ηλεκτρικών σημάτων αφορά τις τιμές που αυτά λαμβάνουν κατά το χρονικό διάστημα μεταβολής τους. Έτσι, ένα σήμα που λαμβάνει οποιαδήποτε τιμή μέσα στα όρια μεταβολής του (π.χ. οποιαδήποτε τιμή από 5 έως 5 V), χαρακτηρίζεται ως αναλογικό ενώ ένα σήμα που λαμβάνει μόνο συγκεκριμένες τιμές (2 ή περισσότερες) χαρακτηρίζεται ως ψηφιακό. Τέλος, ένας ακόμη τρόπος κατηγοριοποίησης των σημάτων είναι σε συνεχή (ο χρόνος t είναι συνεχής μεταβλητή) και διακριτά (το σήμα λαμβάνει τιμές σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές t = nτ, όπου n = …, –2, –1, 0, +1, +2, …). Μια πολύ σημαντική κατηγορία σημάτων είναι τα περιοδικά σήματα (σήματα που έχουν μια συγκεκριμένη επαναλαμβανόμενη μορφή). Χαρακτηριστική παράμετρος ενός περιοδικού σήματος είναι η περίοδός του T (σε s), δηλαδή το χρονικό διάστημα που απαιτείται για την 1 Οι συνήθεις συμβολισμοί για τα σήματα είναι x(t) (γενικός συμβολισμός), m(t) (σήματα βασικής ζώνης, π.χ. σήματα που εμφανίζονται στην έξοδο ενός μικροφώνου, μιας κάμερας, ενός πληκτρολογίου κλπ.) και s(t) (διαμορφωμένα σήματα και, γενικά, σήματα που προέρχονται από αλληλεπίδραση βασικών σημάτων). Για ορισμένα σημαντικά σήματα (χαρακτηρίζονται και ως «στοιχειώδη»), χρησιμοποιούνται ειδικότεροι συμβολισμοί, όπως u(t) για το βηματικό σήμα, p(t) για τον ορθογωνικό παλμό, δ(t) για τον κρουστικό παλμό, c(t) για το ημιτονοειδές σήμα, n(t) για το θόρυβο κλπ.

Transcript of TELECOM Notes 02 Introduction to Signals (1)

Page 1: TELECOM Notes 02 Introduction to Signals (1)

AΣΠΑΙΤΕ / Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικής

Γερ. Κ. Παγιατάκης «Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα» 2.1

2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ1 2.1. Κατηγοριοποίηση σημάτων Ένα ηλεκτρικό σήμα μπορεί να είναι μια μεταβαλλόμενη τάση υ(t) (σε Volts) ή ένα μεταβαλλόμενο ρεύμα i(t) (σε Amperes) και μπορεί να θεωρηθεί ως το «ηλεκτρικό αντίγραφο» της πρωτογενούς «φυσικής» πληροφορίας (φωνής, εικόνας, αλφαριθμητικών δεδομένων υπολογιστή κλπ.) Για παράδειγμα, το μικρόφωνο του μικροτηλεφώνου μετατρέπει τα ηχητικά κύματα της φωνής σε ένα ηλεκτρικό σήμα (που μεταδίδεται μέσω της τηλεφωνικής γραμμής), ένας εικονολήπτης (camera) μετατρέπει τις φυσικές εικόνες σε ένα σύνθετο ηλεκτρικό σήμα που εμπεριέχει την πληροφορία για τη φωτεινότητα και τη χρωματικότητα των εικόνων αυτών, ενώ ο υπολογιστής μετατρέπει τους πληκτρολογημένους αλφαριθμητικούς χαρακτήρες, σε παλμοσειρές που μεταδίδονται π.χ. μέσω ενός τοπικού δικτύου υπολογιστών. Μια πρώτη κατηγοριοποίηση των σημάτων είναι σε αιτιοκρατικά (deterministic) και στοχαστικά (random) σήματα. Τα πρώτα περιγράφονται μέσω καθορισμένων χρονικών συναρτήσεων (π.χ. x(t) = Axcos(2πfxt)) ενώ τα δεύτερα είναι τυχαία και μπορούν να προσδιοριστούν μόνοn έμμεσα (με τη βοήθεια συγκεκριμένων παραμέτρων, όπως η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση). Χαρακτηριστικό παράδειγμα στοχαστικού σήματος είναι ο θόρυβος. Ένας άλλος τρόπος κατηγοριοποίησης των ηλεκτρικών σημάτων αφορά τις τιμές που αυτά λαμβάνουν κατά το χρονικό διάστημα μεταβολής τους. Έτσι, ένα σήμα που λαμβάνει οποιαδήποτε τιμή μέσα στα όρια μεταβολής του (π.χ. οποιαδήποτε τιμή από 5 έως 5 V), χαρακτηρίζεται ως αναλογικό ενώ ένα σήμα που λαμβάνει μόνο συγκεκριμένες τιμές (2 ή περισσότερες) χαρακτηρίζεται ως ψηφιακό. Τέλος, ένας ακόμη τρόπος κατηγοριοποίησης των σημάτων είναι σε συνεχή (ο χρόνος t είναι συνεχής μεταβλητή) και διακριτά (το σήμα λαμβάνει τιμές σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές t = nτ, όπου n = …, –2, –1, 0, +1, +2, …). Μια πολύ σημαντική κατηγορία σημάτων είναι τα περιοδικά σήματα (σήματα που έχουν μια συγκεκριμένη επαναλαμβανόμενη μορφή). Χαρακτηριστική παράμετρος ενός περιοδικού σήματος είναι η περίοδός του T (σε s), δηλαδή το χρονικό διάστημα που απαιτείται για την

1 Οι συνήθεις συμβολισμοί για τα σήματα είναι x(t) (γενικός συμβολισμός), m(t) (σήματα βασικής

ζώνης, π.χ. σήματα που εμφανίζονται στην έξοδο ενός μικροφώνου, μιας κάμερας, ενός πληκτρολογίου κλπ.) και s(t) (διαμορφωμένα σήματα και, γενικά, σήματα που προέρχονται από αλληλεπίδραση βασικών σημάτων). Για ορισμένα σημαντικά σήματα (χαρακτηρίζονται και ως «στοιχειώδη»), χρησιμοποιούνται ειδικότεροι συμβολισμοί, όπως u(t) για το βηματικό σήμα, p(t) για τον ορθογωνικό παλμό, δ(t) για τον κρουστικό παλμό, c(t) για το ημιτονοειδές σήμα, n(t) για το θόρυβο κλπ.

Page 2: TELECOM Notes 02 Introduction to Signals (1)

AΣΠΑΙΤΕ / Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικής

Γερ. Κ. Παγιατάκης «Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα» 2.2

ολοκλήρωση ενός πλήρους «κύκλου» του σήματος. Άλλες χαρακτηριστικές παράμετροι είναι η συχνότητα του σήματος

f = T1 (σε κύκλους/s Hz) (2.1)

που εκφράζει τον αριθμό επαναλήψεων του σήματος ανά sec και η κυκλική συχνότητα

ω = 2π.f = T2π (σε rad/s Hz) (2.2)

Για τα περιοδικά σήματα, προφανώς ισχύει ότι x(t) = x(t+T) (2.3)

2 2.2. Χαρακτηριστικές παράμετροι σήματος 2.2.1. Μέση τιμή μ<x(t)> και τυπική απόκλιση σ σήματος x(t) H μέση τιμή <x(t)> ή µ ενός σήματος ορίζεται ως

<x(t)> µ = lim[T] T1 T x(t).dt (2.4)

και εκφράζει το μέσο όρο των τιμών (σε Volts) που λαμβάνει ένα σήμα x(t). Η τυπική απόκλιση σ ορίζεται με βάση την παρακάτω σχέση (2.5) και εκφράζει τη μέση διαφοροποίηση ενός σήματος από τη μέση τιμή του

3.

σ = 2µ}x(t){ = lim[T] .dtµ} - {x(t) 21

2 Χαρακτηριστικό παράδειγμα περιοδικού σήματος είναι το ημιτονοειδές σήμα c(t) = Ac.cos(2πfct + φc) που εξετάζεται στην ενότητα 2.4. Το ημιτονοειδές σήμα χαρακτηρίζεται και ως «αρμονικό» σήμα. 3 Η σκοπιμότητα χρήσης και η φυσική σημασία της τυπικής απόκλισης «σ» προκύπτει με βάση τους παρακάτω συλλογισμούς: Εκτός από τη μέση τιμή του σήματος (δηλαδή το «μέσο όρο» των τιμών του), πρέπει να είναι γνωστή και η «διακύμανση» του σήματος γύρω από τη μέση τιμή. Είναι προφανές ότι άλλη θα είναι η συμπεριφορά ενός συστήματος όταν ένα σήμα έχει π.χ. μια μέση τιμή μ = 0 και μέση διακύμανση της τάξης π.χ. του 1 μV και διαφορετική αν η διακύμανση είναι της τάξης του 1 V (έστω και αν, πάλι, μ = 0). Η διακύμανση αυτή, ουσιαστικά, εκφράζεται από τη μέση τιμή (μέσο όρο) της διαφοράς x(t) – µ. Η διαφορά x(t) – μ αρχικά υψώνεται στο τετράγωνο (προκειμένου οι θετικές διαφοροποιήσεις να μην «εξουδετερώνονται» από τις αρνητικές) και, στη συνέχεια, τίθεται σε ρίζα ώστε να διατηρήσει την υπόσταση της τάσης (αλλιώς θα ήταν (τάση)2).

Page 3: TELECOM Notes 02 Introduction to Signals (1)

AΣΠΑΙΤΕ / Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικής

Γερ. Κ. Παγιατάκης «Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα» 2.3

σ2= <{x(t) µ}2> = lim[T] T1T{x(t) µ}2.dt (2.5)

(2.5) σ2 = <x2(t) + µ2 2.x(t).µ> = <x2(t)> + <µ>2 2.<µ.x(t)> = <x2(t)> + µ2 2.µ.µ σ2 = <x2(t)> µ2 <x2(t)> <x(t)>2 (2.6) όπου χρησιμοποιήθηκε το γεγονός ότι η μέση τιμή μ είναι σταθερά, άρα <μ2> = µ2 και 2.<x(t).µ> = 2.µ<x(t)>

x(t) µ

x(t) µ

t

t

Σήμα με μικρή τυπική απόκλιση Σήμα με μεγάλη τυπική απόκλιση

Επισημαίνονται τα εξής: Στις σχέσεις (2.4) και (2.5), η παράμετρος Τ = [t1, t2] είναι το χρονικό διάστημα

παρατήρησης του σήματος x(t). Υπό την έννοια αυτή, τα σχετικά ολοκληρώματα έχουν άκρα τις χρονικές στιγμές t1 και t2 (όπου t1 t2 = Τ). Προκειμένου να είναι αξιόπιστη η παρατήρηση, το χρονικό διάστημα Τ πρέπει να τείνει στο (t1 → και t2 → +). Στην πράξη, το διάστημα Τ πρέπει να είναι επαρκώς μεγάλο.

Ειδικά για τα περιοδικά σήματα, ο χρόνος παρατήρησης Τ μεταπίπτει στην περίοδο του σήματος. Ο λόγος είναι ότι, εξαιτίας της επαναληψιμότητας των περιοδικών σημάτων, τα σήματα αυτά προσδιορίζονται με απόλυτη ακρίβεια εφόσον «παρατηρηθούν» για χρονικό διάστημα ίσο με μία περίοδο Τ.

(4)

Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση είναι παράμετροι που αφορούν τόσο τα αιτιοκρατικά όσο και τα στοχαστικά σήματα. Παρ’ όλα αυτά είναι περισσότερο χρήσιμες για τα στοχαστικά σήματα δεδομένου ότι, ελλείψει χρονικής συνάρτησης, είναι οι βασικές παράμετροι με τις οποίες προσδιορίζεται ένα στοχαστικό σήμα.

2.2.2. Ενέργεια E και μέση ισχύς P σήματος x(t) Η ενέργεια Ε και η μέση ισχύς P ενός σήματος ορίζονται με βάση τις παρακάτω σχέσεις:

4 Η απαίτηση για Τ (εκτός αν το σήμα είναι περιοδικό οπότε το Τ αντιπροσωπεύει την περίοδο του σήματος) ισχύει για όλους τους τύπους όπου εμφανίζεται η παράμετρος Τ.

Page 4: TELECOM Notes 02 Introduction to Signals (1)

AΣΠΑΙΤΕ / Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικής

Γερ. Κ. Παγιατάκης «Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα» 2.4

E = T x2(t).dt (2.7)

P = <p(t)> = lim[T] TE = lim[T]

T1 T x2(t).dt = lim[T]

T1 T p(t).dt (2.8)

όπου <p(t)> = x2(t) η «στιγμιαία» ισχύς του σήματος. Σχόλια Στους τύπους (2.7), (2.8), το σήμα x(t) θεωρείται ότι εφαρμόζεται σε ωμική αντίσταση R =

1 Ω. Σε κάθε άλλη περίπτωση, αν το x(t) αντιπροσωπεύει τάση, ο τύπος (2.7) θα έπρεπε να γραφτεί ως E = (1/R)T x2(t).dt ενώ, αν το x(t) αντιπροσωπεύει ρεύμα, ο τύπος (2.7) θα έπρεπε να γραφτεί ως E = RT x2(t).dt

Σύγκριση της (2.8) με τη (2.6) δείχνει ότι η μέση ισχύς P είναι ταυτόχρονα και η μέση

τιμή του τετραγώνου του σήματος. Ισχύει δηλαδή ότι

P = <x2(t)> (2.9) Σύγκριση της παραπάνω σχέσης (2.9) με τον ορισμό της τυπικής απόκλισης (2.5) δείχνει

ότι, στην περίπτωση σημάτων με μηδενική μέση τιμή (µ = 0), η μέση ισχύς P (άρα και η μέση τιμή του τετραγώνου του σήματος <x2(t)>) και το τεράγωνο της τυπικής απόκλισης σ2 συμπίπτουν. Ισχύει δηλαδή ότι

P = σ2 (όταν μ = 0) (2.10) Σήματα ενέργειας και σήματα ισχύος Ένα σήμα x(t) χαρακτηρίζεται ως σήμα ενέργειας, όταν η ενέργειά του Ε (για χρόνο Τ ) παραμένει πεπερασμένη. Για παράδειγμα, ένας παλμός p(t) (σταθερή τάση πεπερασμένης διάρκειας) είναι σήμα ενέργειας. Ένα σήμα x(t) χαρακτηρίζεται ως σήμα ισχύος, όταν η ενέργειά του Ε (για χρόνο Τ ) απειρίζεται ενώ η μέση ισχύς του P παραμένει πεπερασμένη και μη μηδενική. Χαρακτηριστικό παράδειγμα σημάτων ισχύος είναι τα περιοδικά σήματα. Γενικά, για σήματα ισχύος, ο υπολογισμός της ενέργειας μπορεί να έχει έννοια μόνο για συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. 2.3. Παράμετροι συσχετισμού σημάτων

Page 5: TELECOM Notes 02 Introduction to Signals (1)

AΣΠΑΙΤΕ / Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικής

Γερ. Κ. Παγιατάκης «Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα» 2.5

2.3.1. Συνέλιξη σημάτων Ως συνέλιξη (convolution) δύο σημάτων ορίζεται το ολοκλήρωμα γ(t) x1(t)x2(t) = x1(τ).x2(tτ).dτ = x1(tτ).x2(τ).dτ (2.11) Tο ολοκλήρωμα της συνέλιξης εμφανίζεται πολύ συχνά στη μελέτη της διέλευσης σημάτων μέσα από γραμμικά συστήματα Παράδειγμα Να υπολογιστεί η συνέλιξη των σημάτων x1(t) και x2(t).

2 x1(t) x2(t)

1

-1 1 t -1 1 t

Λύση Στα δύο σήματα παρουσιάζεται επικάλυψη μόνον για 1 t 1: Συνεπώς: Για t < 2 και t > 2: γ(t) = 0 Για 2 t 2: To εμβαδόν της επικάλυψης είναι μηδενικό για t = 2, αυξάνεται για 2 t 0, μεγιστοποιείται για t = 0 (τότε ισούται με 1x2 = 2) και μειώνεται για 0 t 2 μέχρι που μηδενίζεται για t = 1. Συνεπώς γ(t) = 2+t (2 t 0) και γ(t) = 2t (0 t 2) ή, σε συνεπτυγμένη μορφή, γ(t) = 2|t| (2 t 2). 2.3.2. Συσχέτιση σημάτων Τα ολοκληρώματα που ακολουθούν εκφράζουν το «βαθμό συσχέτισης» είτε δύο διαφορετικών σημάτων x1(t) και x2(t) είτε ενός σήματος x(t) με κάποιο χρονικά μετατοπισμένο αντίγραφό του. Τα ολοκληρώματα συσχέτισης χρησιμοποιούνται, κυρίως, για τη μελέτη στοχαστικών σημάτων. Ετεροσυσχέτιση (cross-correlation) Ως ετεροσυσχέτιση δύο σημάτων ορίζεται το ολοκλήρωμα

Page 6: TELECOM Notes 02 Introduction to Signals (1)

AΣΠΑΙΤΕ / Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικής

Γερ. Κ. Παγιατάκης «Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα» 2.6

r12(τ) = lim[T] T1 x1(t).x2(tτ).dt = lim[T]

T1 x1(tτ).x2(τ).dt (2.12)

Αυτοσυσχέτιση Στην ειδική (αλλά πολύ σημαντική) περίπτωση όπου x1(t) = x2(t) = x(t), το αντίστοιχο ολοκλήρωμα

r(τ) = lim[T] T1 x(t).x(tτ).dt (2.13)

ονομάζεται αυτοσυσχέτιση (autocorrelation) του σήματος x(t) και εκφράζει το βαθμό συσχέτισης δειγμάτων του σήματος που απέχουν μεταξύ τους κατά χρονικό διάστημα τ. Ισχύει ότι

r(0) = lim[T] T1 x(t).x(t0).dt = lim[T]

T1 x(t).x(t).dt = lim[T]

T1 x2(t).dt = P

(2.14) δηλαδή η τιμή r(0) ταυτίζεται με τη μέση ισχύ P του σήματος5. Ισχύουν, επιπλέον, οι παρακάτω σχέσεις: r(τ) = r(τ) (2.15) r(τ) < r(0) τ (2.16) δηλαδή η r(τ) είναι άρτια συνάρτηση του τ και μεγιστοποιείται για τ = 0. Οι σχέσεις (2.15) και (2.16) μπορούν να εξηγηθούν με βάση τη φυσική σημασία της αυτοσυσχέτισης. Συγκεκριμένα, η (2.15) καταδεικνύει το (προφανές) γεγονός ότι ο βαθμός συσχέτισης μεταξύ δύο δειγμάτων του ίδιου σήματος δεν εξαρτάται από τη σειρά με την οποία λαμβάνονται τα δείγματα ενώ η (2.16) απλά δηλώνει το (επίσης προφανές) γεγονός ότι ο βαθμός συσχέτισης μεγιστοποιείται όταν ένα δείγμα συσχετίζεται με τον εαυτό του 6,7. 2.4. Στοιχειώδη τηλεπικοινωνιακά σήματα 8 5 Η (2.14) υποδηλώνει το γεγονός ότι τα ολοκληρώματα συσχέτισης εφαρμόζονται σε σήματα ισχύος. 6 Αξίζει να σημειωθεί ότι ανάλογη εξίσωση δεν ισχύει για την ετεροσυσχέτιση, διότι εκεί τα λαμβανόμενα δείγματα ανήκουν σε διαφορετικά σήματα, οπότε δεν μπορεί να εξασφαλιστεί ότι ο βαθμός συσχέτισής τους μεγιστοποιείται για τ=0. 7 Αν και τα ολοκληρώματα της συσχέτισης, ισχύουν τόσο για αιτιοκρατικά, όσο και για στοχαστικά σήματα, περισσότερο χρήσιμα είναι για τα τελευταία (βλέπε και ενότητα 6.4, όπου υπολογίζεται η αυτοσυσχέτιση του λευκού θορύβου). 8 Τα σήματα αυτά εξετάζονται αναλυτικότερα στο κεφάλαιο 4.

Page 7: TELECOM Notes 02 Introduction to Signals (1)

AΣΠΑΙΤΕ / Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικής

Γερ. Κ. Παγιατάκης «Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα» 2.7

Πρόκειται για σήματα τα οποία εμφανίζονται συχνά κατά τη μελέτη τηλεπικοινωνιακών εφαρμογών και, μεταξύ άλλων, χρησιμοποιούνται για την εξέταση άλλων συνθετότερων σημάτων. Μερικά από τα σήματα αυτά είναι: To βηματικό σήμα (step signal) u(t)

u(t) = 0 (t < 0) και u(t) = 1 (t 0) (2.17)

1

u(t)

0 t

O ορθογωνικός παλμός (pulse signal) p(t) ύψους Α p(t) = Α (τ/2 < t < τ/2) και p(t) = 0 (αλλού) (2.18)

1 p(t)

τ/2 τ/2 t

Η ορθογωνική παλμοσειρά pT(t) (ύψους A, διάρκειας παλμών τ, και περιόδου Τ)

pT(t) = Σ[n=,+ ] p(tnT) (2.19.α) ή

pΤ(t) = A (nT2τ t nT+

2τ ) pT(t) = 0 (αλλού) (2.19.β)

τ

A pT(t)

t

T

O κρουστικός παλμός (impulse signal) δ(t)

Page 8: TELECOM Notes 02 Introduction to Signals (1)

AΣΠΑΙΤΕ / Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικής

Γερ. Κ. Παγιατάκης «Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα» 2.8

δ(t) = (t = 0) και δ(t) = 0 (t 0) έτσι ώστε δ(t).dt = 1 (2.20) Με βάση τη σχέση (2.20), μπορεί να θεωρηθεί ότι ο κρουστικός παλμός προκύπτει από έναν τετραγωνικό παλμό p(t) (ύψους Α και διάρκειας τ) του οποίου το ύψος Α αυξάνεται ενώ η διάρκεια τ μειώνεται, κατά τρόπο ώστε να ισχύει ότι [-τ/2, τ/2] p(t).dt = Α.τ = 1.

p(t) Α=1/τ δ(t)

τ/2 τ/2 t 0 t

Βασική ιδιότητα: x(t).δ(tτ).dt = x(τ) (2.21) Η σχέση (2.20) καταδεικνύει το γεγονός ότι ο κρουστικός παλμός δ(t) (εφαρμοζόμενος σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές τ) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την «απομόνωση» δειγμάτων ενός σήματος x(t). H κρουστική παλμοσειρά δΤ(t) περίοδου Τ δΤ(t) = .... δ(t+2T) + δ(t+T) + δ(t) + δ(tT) + δ(t2T) + ... = Σ(-,)δ(tnT) (2.22)

δΤ(t) δ(t+Τ) δ(t) δ(tΤ) δ(t2Τ)

..... ...... -Τ 0 Τ 2Τ t

Βασική ιδιότητα: x(t).δT(t).dt = = x(t).Σδ(tnτ).dt = =.. x(t).δ(t+nτ).dt + ... x(t).δ(t+2τ).dt + x(t).δ(t+τ).dt + + x(t).δ(t).dt + x(t).δ(tτ).dt +x(t).δ(t2τ).dt + x(t).δ(tnτ).dt + .. = = x(nτ) + ... x(2τ) + x(τ) + x(0) + x(τ) + x(2τ) + ... x(nτ) + ... = x(t).δT(t).dt= Σ(,) x(nτ) (2.23)

Page 9: TELECOM Notes 02 Introduction to Signals (1)

AΣΠΑΙΤΕ / Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικής

Γερ. Κ. Παγιατάκης «Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα» 2.9

Η σχέση (2.23) καταδεικνύει το γεγονός ότι η κρουστική παλμοσειρά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την «απομόνωση» δειγμάτων ενός σήματος x(t) σε διαδοχικές χρονικές στιγμές nτ, ..., 2τ, τ, 0, +τ, +2τ, … +nτ. Το σήμα μοναδιαίας κλίσης (ramp signal) r(t) r(t) = t (2.24) Το σήμα δειγματοληψίας (sampling signal) Sa(qt)

Sa(qt) = qt

sin(qt) (2.25)

Samax(qt) = Sa(0) = 1 (2.26.α)

Sa(nπ) = 0 (n = 1, 2, ...) (2.26.β)

1 Sa(qt)

0 π 2π qt Tο ημιτονοειδές σήμα

c(t) = Αc.cos(2πfct + φc) (2.27) Το ημιτονικό και το συνημιτονικό σήμα προκύπτουν από την έκφραση (2.27) για φc = π/2 και φc = 0 αντίστοιχα. Για τη μαθηματική έκφραση του ημιτονοειδούς σήματος μπορεί να χρησιμοποιηθεί και η (μιγαδική) εκθετική συνάρτηση ej(2πfct + φc) υπό την έννοια ότι

c(t) = Re{ej(2πfct + φc)} (2.28) Τόσο το ημιτονοειδές σήμα (2.27) όσο και η συνάρτηση ej(2πfct+φc) χαρακτηρίζονται ως αρμονικά σήματα. Σχέσεις μεταξύ των σημάτων u(t), p(t) και δ(t)

t

r(t)

Page 10: TELECOM Notes 02 Introduction to Signals (1)

AΣΠΑΙΤΕ / Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικής

Γερ. Κ. Παγιατάκης «Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα» 2.10

Μεταξύ των παραπάνω στοιχειωδών σημάτων, ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: (2.18) p(t) = A.[u(tτ/2) – u(t+τ/2)] (2.29)

u(t) = δ(t).dt δ(t) = dt

du(t) (2.30)

ru(t) = u(t).dt u(t) = dt

dr(t) (2.31)

2.5. Ορθογώνια σήματα Αν {bn(t)} αντιπροσωπεύει ένα σύνολο σημάτων, τότε τα μέλη (σήματα bn(t)) του συνόλου αυτού χαρακτηρίζονται μεταξύ τους ορθογώνια (για το χρονικό διάστημα Τ) όταν ισχύει ότι

T bµ(t).bν(t).dt = Κ.δμν μ,ν (2.32)9 ενώ το σύνολο {bn(t)} χαρακτηρίζεται ορθοκανονικό. Στην ειδική περίπτωση όπου Κ = 1, το σύνολο χαρακτηρίζεται ορθομοναδιαίο. Αποδεικνύεται εύκολα ότι αν τα σήματα {bn(t)} συνιστούν ορθοκανονικό σύνολο, τα σήματα

{ξn(t)} = {K1 bn(t)} συνιστούν ορθομοναδιαίο σύνολο αφού

Tξµ(t).ξν(t).dt = K1

K1 Κδμν = δμν

Ένα ορθοκανονικό σύνολο σημάτων μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως βάση για την ανάλυση σημάτων x(t) υπό την εξής έννοια:

x(t) = Σ(,) an.bn(t) (2.33) όπου

an = K1 T x(t).bn(t).dt (2.34)

Απόδειξη: x(t).bρ(t) = bρ(t).x(t) = bρ(t).Σ[0,) an.bn(t)

x(t).bρ(t).dt = bρ(t).x(t).dt = bρ(t).Σ (-,)an.bn(t) = Σ[0,) [bµ(t).an.bn(t).dt] =

9 Το δνμ είναι το «σύμβολο Kronecker» (δνμ = 1 αν ν=μ και δνμ = 0 αν νµ).

Page 11: TELECOM Notes 02 Introduction to Signals (1)

AΣΠΑΙΤΕ / Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικής

Γερ. Κ. Παγιατάκης «Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα» 2.11

= Σ[0,) an.bµ(t).bn(t).dt = an.K an = K1 T x(t).bn(t).dt

Μπορεί να αποδειχθεί ότι η ενέργεια Ε ενός σήματος x(t) (που αναλύεται σύμφωνα με την (2.33)) δίνεται από τη σχέση Ε = T x2(t).dt = ΚΣan

2 (2.35)

Τα ορθογώνια σήματα bn(t) που εμφανίζονται στην παραπάνω ανάλυση χαρακτηρίζονται ως «σήματα βάσης». Μεταξύ του συνόλου των σημάτων και του συνόλου των διανυσμάτων του 3-διάστατου χώρου μπορεί να γίνει η παρακάτω αντιστοίχιση: Σύνολο σημάτων Σύνολο διανυσμάτων Σήμα x(t) Διάνυσμα V Ορθομοναδιαία σήματα {ξn(t)} όπου T ξµ(t).ξν(t).dt = δμν (εξίσ. 2.26 με K=1)

Μοναδιαία διανύσματα βάσης x, y, z

Συντελεστές {an} όπου x(t) = Σ(-,) an.ξn(t)

Συνιστώσες διανύσματος (Vx, Vy, Vz)

Ενέργεια σήματος Ε όπου E = T x2(t).dt = Σan

2 (εξίσ. 2.29 με K=1) Τετράγωνο μέτρου διανύσματος |V|2 = Vx

2 + Vy2 + Vz

2

2.6. Aσκήσεις Στις ασκήσεις που ακολουθούν, θα χρησιμοποιηθούν, επανειλημμένα, οι παρακάτω σχέσεις:

Τcos(2πft)dt = Τsin(2πft)dt = 0 (2.36)

Τcos(2πft)•sin(2πft)dt = Τcos(2πf1t)•cos(2πf2t)dt = 0 (2.37)

Τcos2(2πft)dt = Τsin2(2πft)dt = T/2 (2.38)

Τcos4(2πft)dt = Τsin4(2πft)dt = 3T/8 (2.39) Άσκηση 1 Για τις παρακάτω κυματομορφές να υπολογιστούν: (α) Η μέση τιμή μ. (β) Η μέση ισχύς P.

Page 12: TELECOM Notes 02 Introduction to Signals (1)

AΣΠΑΙΤΕ / Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικής

Γερ. Κ. Παγιατάκης «Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα» 2.12

+V/2 x1(t) 0 t V/2 +V/2 x2(t) 0 Τ/2 Τ t V/2 +V x3(t) 0 t Λύση (α) Χρησιμοποιείται η (2.4) με Τ την περίοδο του σήματος και διάρκεια παλμών. Προκύπτουν

µ1 = 0, µ2 = 0, µ3 = V/2 (β) Χρησιμοποιείται η (2.8) με Τ την περίοδο του σήματος και διάρκεια παλμών τ = Τ/2.

Προκύπτουν P1 = V2/4, P2 = V2/4, P3 = V2/2 Άσκηση 2 Δίνεται ημιτονικό σήμα c(t) = Accos(2πfc.t) (α) Να υπολογιστεί η μέση τιμή μ του c(t). (β) Να υπολογιστεί η μέση ισχύς Ρ του c(t). (γ) Να υπολογιστεί η ενέργεια ΕΤ του c(t) που καταλώνεται κατά τη διάρκεια μιας περιόδου. Λύση (α) (2.4) και (2.36) µ = 0 (β) (2.8) και (2.37) P = Αc

2/2 Επισημαίνεται ότι P = (Ac/2)2 = Arms

2 (γ) ΕΤ = P.Τ = (Αc

2/2)Τ

Page 13: TELECOM Notes 02 Introduction to Signals (1)

AΣΠΑΙΤΕ / Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικής

Γερ. Κ. Παγιατάκης «Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα» 2.13

Άσκηση 3 Δίνεται το σήμα x(t) = Axcos2(2πfo.t) (α) Να υπολογιστεί η συχνότητα fx και η περίοδος Τx του σήματος x(t). (β) Να υπολογιστεί η μέση τιμή μx του x(t). (γ) Να υπολογιστεί η μέση ισχύς Px του x(t). (δ) Να υπολογιστεί η ενέργεια ΕΤ του x(t) που καταλώνεται κατά τη διάρκεια μιας περιόδου. Λύση (α) fx = 2fο, Τx = 1/fx = 1/(2fo)

(β) (2.4) µx =T1 T Axcos2(2πfo.t).dt οπότε, με βάση και τη (2.38) µx = Αx/2

(γ) (2.8) Px =T1 T x2(t).dt =

T1 T Ax

2cos4(2πfo.t).dt οπότε, με βάση τη (2.39) Px = 3Αx2/8

(δ) ΕΤ = Px.Τx = (3Αx2/8)Τx

Άσκηση 4 Δίνεται το σήμα x(t) = A1cos(2πf1.t) + A2cos(2πf2.t) (α) Να υπολογιστεί η μέση τιμή μ του x(t). (β) Να υπολογιστεί η μέση ισχύς P του x(t). Λύση

(2.4) µ =T1 T [A1cos(2πf1.t) + A2cos(2πf2.t)].dt =

= T1 T A1cos(2πf1.t).dt +

T1 T A2cos(2πf2.t).dt

οπότε, με βάση τη (2.36) µ = 0 + 0 = 0

(2.8) P =T1 T [A1cos(2πf1.t) + A2cos(2πf2.t)]2.dt =

= T1 T A1

2cos2(2πf1.t).dt + T1 T A2

2cos2(2πf2.t).dt + T1 T 2A1A1cos(2πf1.t)cos(2πf2.t).dt

οπότε, με βάση τη (2.38) P = A12/2 + A2

2/2 + 0 = (A12+ A2

2)/2 = P1 + P2 Άσκηση 5 Ημιτονοειδές σήμα c(t) = Accos(2πfct) υφίσταται ημιανόρθωση οπότε προκύπτει το σήμα s(t). (α) Να γραφεί ο μαθηματικός τύπος του s(t) και να σχεδιαστεί πρόχειρα το σήμα. (β) Να υπολογιστεί η περίοδος Τs και η συχνότητα fs του σήματος s(t).

Page 14: TELECOM Notes 02 Introduction to Signals (1)

AΣΠΑΙΤΕ / Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικής

Γερ. Κ. Παγιατάκης «Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα» 2.14

(γ) Να υπολογιστεί η μέση τιμή μs του s(t). (δ) Να υπολογιστεί η μέση ισχύς Ρs του s(t). Λύση (α) s(t) = Accos(2πfct) (για t T/2) και s(t) = 0 (αλλού) (β) fs = fc και Τs = 1/fc = Tc (η ηµιανόρθωση δεν μεταβάλλει την περίοδο του σήματος). (γ) Χρησιμοποιείται η (2.4) με περίοδο σήματος Ts = Τc και με το σήμα s(t) να παρουσιάζει

ημιτονοειδή μεταβολή s(t) = Accos(2πfct) μόνο για το διάστημα [0, Τc/2]. Προκύπτει ότι µs = Αc/π.

(δ) Χρησιμοποιείται η (2.8) με περίοδο σήματος Ts = Τc και με το σήμα να παρουσιάζει ημιτονοειδή μεταβολή μόνο για διάστημα [0, Τc/2]. Προκύπτει ότι Ps = Αc

2/4 = Pc/2 Άσκηση 6 Ημιτονοειδές σήμα c(t) = Accos(2πfct) ανορθώνεται πλήρως, οπότε προκύπτει το σήμα s(t). (α) Να γραφεί ο μαθηματικός τύπος του s(t) και να σχεδιαστεί πρόχειρα το σήμα. (β) Να υπολογιστεί η περίοδος Τs και η συχνότητα fs του σήματος s(t). (γ) Να υπολογιστεί η μέση τιμή μs του s(t). (δ) Να υπολογιστεί η μέση ισχύς Ρs του s(t). Λύση (α) s(t) = |Accos(2πfct)| = |c(t)| (β) fs = 2fc, Τs = 1/fc = 1/(2fc) = Tc/2 (γ) Χρησιμοποιείται η (2.4) με περίοδο σήματος ίση με Τs = Tc/2 και με το σήμα s(t) να

παρουσιάζει θετική ημιτονοειδή μεταβολή για όλο το διάστημα Τs. Προκύπτει ότι µs = 2Αc/π (διπλάσια από τη μέση τιμή του ημιανορθωμένου σήματος).

(δ) Αφού s(t) = |Accos(2πfct)| = |c(t)| s2(t) = c2(t), άρα Ps = T1 T Ac

2cos2(2πfo.t).dt, άρα, με

βάση τη (2.38), προκύπτει Ps = Αc2/2 = Pc.

2.7. Παραπομπές Νασιόπουλος Α., Τηλεπικοινωνίες, Εκδ. Αράκυνθος 2007: Ενότητα 1.4. Κωνσταντίνου Φ., Καψάλης Χ., Κωττής Π., Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες, Εκδ.

Παπασωτηρίου 1995: Κεφάλαιο 1. Taub H., Schilling D. L., Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα, Εκδ. Τζιόλα 1997: Κεφάλαιο 1.