Tecniche di di copertura I Esempio. Il Gamma di un portafoglio Delta-neutral ¨ pari a...

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Tecniche di coperturaI A tale scopo, il primo parametro da considerare . Si

supponga di possedere un portafoglio compostodallopzione e da una quantit pari a del sottostante(dunque, ho venduto lopzione e acquistato quote delsottostante: il portafoglio -neutral).

I Tale portafoglio risulta perfettamente coperto; in generaleper il prezzo del sottostante evolve in modo continuo e ciimplica che la copertura non perfetta (lo soloistantaneamente). Si noti che anche il passare del tempomodifica .

I Si ipotizzi che la volatilit e il tasso risk-free siano costantie si consideri lespansione di Taylor della funzione diprezzo di unopzione:

dC =fS

dS+12

2fS2

dS2+ft

dt+12

2ft2

dt2+2f

StdSdt+ .

(7)

Tecniche di copertura

I Per il portafoglio (ma anche, in generale, per unportafoglio contenente N opzioni sul medesimosottostante) lespansione di Taylor della funzione f datada:

d =

SdS +

12

2

S2dS2 +

tdt +

12

2

t2dt2 +

2

StdSdt + =

= dS +12dS2 + dt +

12

2

t2dt2 +

2

StdSdt + .

I Dunque, se -neutral, il primo termine a destradelluguale nella (7) nullo. Tralasciando i termini di ordinesuperiore a dt , si ottiene quindi

d dt + 12dS2. (8)

Tecniche di copertura

I Ne segue che, se ci si copre anche rispetto a , lavariazione del valore della posizione dipende solo dalpassare del tempo, che non stocastico.

I La (8) fornisce una stima dellerrore che si commettecoprendosi solo rispetto a . Si noti anche che sicommette tale errore esclusivamente perch la funzioneche esprime il prezzo dellopzione in funzione del prezzodel sottostante non lineare; se infatti fosse lineare, laderivata seconda (il parametro ) sarebbe nulla.

Tecniche di coperturaI Esempio. Il Gamma di un portafoglio Delta-neutral pari a10000. Sulla base della (8), un cambiamento (in unbreve lasso di tempo) pari a +2$ o a 2$ del prezzo delsottostante provoca una diminuzione del valore delportafoglio approssimativamente pari a0.5 10000 (2$)2 = 20000$.

I Come ci si copre rispetto a ? Lunica possibilit assumere una posizione in unopzione. Si considerinoinfatti un portafoglio Delta-neutral con Gamma pari a eunopzione con Gamma pari a T . Se si aggiunge alportafoglio una quantit wT di tali opzioni, il Gamma delportafoglio diventa + wT T . Bisogna trovare wT tale che

+ wT T = 0 wT =

T.

I Dunque sono necessarie wT opzioni per rendere ilportafoglio Gamma-neutral.

Tecniche di copertura

I Esempio. Si supponga che un portafoglio Delta-neutralabbia = 3000 e che unopzione abbia = 0.62 eT = 1.5. Il portafoglio pu essere reso Gamma-neutralincludendo una posizione lunga di wT = 3000/1.5 = 2000opzioni. Ora per il del portafoglio 2000 0.62 = 1240;bisogna dunque vendere 1240 azioni del sottostante perrendere nuovamente Delta-neutral il portafoglio.

I In pratica, linformazione fornita da utilizzata non tantoper coprirsi anche rispetto a questo parametro, quanto perstimare con quale frequenza deve essere aggiornata lacopertura rispetto a : quanto pi grande , tanto pifrequentemente deve essere aggiornata la copertura.Infine, sulla base della stessa logica, se si ipotizza che lavolatilit e/o il tasso risk-free non siano costanti, bisognacoprirsi anche rispetto a Vega e .

Risultato generale sul pricing risk-neutral

I Lapproccio al pricing basato sullindividuazione di unamisura di probabilit risk-neutral pu essere esteso adasset con dinamiche pi complesse; il risultato pigenerale che pu essere dimostrato il seguente.

I Si consideri un derivato il cui cash flow alla scadenza dato da g(ST ), dove (St) il sottostante, di cui si supponeche segua un processo markoviano. Sia Ct il prezzo delderivato al tempo t . La formula di pricing non pu cheessere del tipo:

Ct = errf (Tt)E(g(ST )|St),

dove E indica il valore atteso rispetto alla distribuzione diprobabilit risk-neutral del sottostante; se il mercato completo, tale distribuzione di probabilit unica.

Un caso di studio: il fallimento della banca Barings

I La banca Barings fall nel febbraio 1995, a causa diunenorme posizione scoperta in derivati costruita dalresponsabile dellattivit di trading della filiale di Singaporedella banca, Nick Leeson (si veda, per esempio,http://riskinstitute.ch/137560.htm ).

I Leeson costru uno short straddle di circa 35000 opzionicall e altrettante put aventi come sottostante contrattifutures sullindice Nikkei. Lo short straddle lacombinazione della vendita di unopzione call e unopzioneput con medesimi sottostante, strike e scadenza.

I Considerando che un contratto in opzioni corrispondeva a500 Yen e che il tasso di cambio Yen/Dollaro era pari acirca 100, il controvalore dello straddle era di circa2 35000 500/100 = 350000$.

Payoff a scadenza di uno short straddle

(ipotizzando che Cct = Cpt = Ct )

Sottostante Payoff call Payoff put Payoff straddleST K Ct Ct (K ST ) 2Ct (K ST )ST > K Ct (ST K ) Ct 2Ct (ST K )

Il payoff di uno short straddle

17000 18000 19000 20000 21000

150

01

000

500

0

Valore del sottostante

Payo

ff

Il payoff di uno short straddle (Strike = 19000 $)

Call payoffPut payoffStraddle payoff

Un caso di studio: il fallimento della banca Barings

I Oltre allo straddle, Leeson costru una grossa posizionelunga in futures sul Nikkei, che era a sua volta esposta aperdite potenzialmente illimitate nel caso di un calodellindice.

I La posizione divenne insostenibile a seguito del forte calodel Nikkei verificatosi tra gennaio e febbraio 1995, quandosia la posizione in futures sia lo short straddleaccumularono perdite tali che la banca non riusc a coprirlee fall il 27 febbraio, quando lindice Nikkei scese sottoquota 17000.

I Questo un tipico caso in cui il Delta hedging pu esseremolto fuorviante. Infatti il Delta di uno short straddle, seentrambe le opzioni sono at-the-money e il tasso diinteresse risk-free piccolo, approssimativamentenullo.

Concetti fondamentali di risk management

Tutti i concetti della lezione odierna sono presi da McNeil, Frey,Embrechts (2005), Quantitative Risk Management, Princeton,Princeton University Press, cap. 2.

I Il risk management la disciplina che si occupa dellamisurazione e gestione del rischio.

I Ha assunto particolare rilevanza in finanza sia per lafrequenza e lammontare delle perdite, sia per la pressionedelle autorit di vigilanza. I progressi nella misurazione delrischio sono stati inoltre resi possibili dallo sviluppo dellIT.

I Riferimenti storici:I Il Comitato di Basilea fondato nel 1974.I Il primo accordo di Basilea emesso nel 1988.I Il VaR nasce nel 1993.I Nel 1996 il First Amendment al primo accordo di Basilea

introduce la possibilit di calcolare internamente il VaR.

Concetti fondamentali di risk management

I Si distinguono principalmente tre tipi di rischio finanziario.(i) Rischio di mercato. E il rischio di cambiamento di valore di

una posizione dovuto a cambiamenti di valore deisottostanti da cui la posizione dipende (prezzi di azioni odobbligazioni, tassi di cambio e di interesse, prezzi dicommodity , ecc.).

(ii) Rischio di credito. E il rischio di: (i) non ricevere rimborsipromessi a fronte di investimenti gi effettuati, quali prestitiod obbligazioni, a causa del fallimento (default) dellacontroparte; (ii) variazioni dei prezzi di strumenti finanziaricausati dalla variazione del merito di credito; (iii) perdita incaso di default .

(iii) Rischio operativo. Rischio di perdite derivanti da processi osistemi interni inadeguati o non andati a buon fine, da erraticomportamenti di persone o da eventi esterni.

Perch gestire il rischio finanziario?

Perch gestire il rischio finanziario?I Dal punto di vista della societ civile: per assicurare uno

sviluppo stabile ed ordinato delleconomia e della societ;questa motivazione ha portato soprattutto al massicciointervento delle autorit di vigilanza.

I Dal punto di vista degli azionisti: per incrementare il valoredella banca.

I Le sfide:(i) stimare valori estremi. From the point of view of the risk

manager, inappropriate use of the normal distribution canlead to an understatement of risk, which must be balancedagainst the significant advantage of simplification. [...]Improving the characterization of the distribution of extremevalues is of paramount importance. (A. Greenspan, 1995)

Le sfide

(ii) La natura multivariata del rischio.

(iii) Gli aspetti computazionali.

(iv) Linterdisciplinarit: sono richieste competenzequantitative (statistica, matematica finanziaria eattuariale, econometria finanzaria, economia finanziaria) enon quantitative (capacit di comunicare, conoscenza dipratiche di mercato e dettagli istituzionali).

Fattori di rischio e distribuzione di perditaI La perdita del portafoglio per il periodo [s, s + ] data da

L[s,s+] = (Vs+ Vs).

La distribuzione di tale quantit la distribuzione diperdita. La quantit L[s,s+] il Profit & Loss (P&L).

I Il valore del portafoglio Vt funzione del tempo e di unvettore aleatorio di fattori di rischio Z t = (Zt ,1, . . . , Zt ,d):

Vt = f (t , Z t). (9)

I I fattori di rischio sono diversi a seconda del tipo di rischio:(i) nel rischio di mercato, sono di solito rendimenti di strumenti

finanziari, tassi di cambio e tassi di interesse;(ii) nel rischio di credito sono la Probabilit di Default , la Loss

Given Default e la Exposure at Default;

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