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TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN USANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES. Efecto de añadir Polos y Ceros a GH(s). Adición de Polos. En general, la adición de polos en el semiplano izquierdo produce una deformación del L.G.R hacia la derecha. Sea: GH(s) = ( ) a s s K + donde a>0

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  • TCNICAS DE COMPENSACIN USANDO EL

    LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES.

    Efecto de aadir Polos y Ceros a GH(s).

    Adicin de Polos.

    En general, la adicin de polos en el semiplano izquierdo

    produce una deformacin del L.G.R hacia la derecha.

    Sea:

    GH(s) = ( )assK+ donde a>0

  • Si ( )( )asbss ++K con b > a

    Si ))()(( asbscss +++

    K con c > b > a

  • Adicin de ceros:

    En general, al aadir ceros en el semiplano izquierdo, se estabiliza el

    sistema, deformndose el L.G.R hacia la izquierda.

    Si GH(s) = ( )assK+

    Si GH(S) = ( )ass)bs(K

    ++

    Si GH(S) = ( ) )bs(ass)cs(K++

    + c > b >a

    j j 0 - c - b - a

    0 -b -a

  • DISEO DE COMPENSADORES

    Controlador Industrial Ideal

    Compensador elctrico real

    P

    Kc

    Kc

    PD

    ( )STK Dc +1

    TSTSKc

    ++

    11

    (adelanto) 1

    PID

    ++=

    ++

    SSTSTT

    TKST

    STK iID

    i

    cD

    ic

    1112

    ( ) ST

    STST

    STKc2

    2

    1

    1

    11.

    /11

    ++

    ++

    adelanto - atraso > 1

  • COMPENSACIN EN ADELANTO.

    Funcin de Transferencia de un compensador en adelanto

    Ts

    Ts

    KG cc

    1

    1

    +

    +=

    0,07< 1

    TsTsKG cc

    ++

    =11

    c

    c

    KK =

    Funcin de Transferencia del sistema compensado, donde FTLA = G(S)

    ( ) ( )SGGSG c =1

    ( ) ( ) ( )

    +

    +=

    ++

    =

    Ts

    Ts

    sGKTs

    TsSGKSG cc

    1

    1

    ..11

    1

  • PROCEDIMIENTO PARA DISEAR UN COMPENSADOR EN

    CASCADA DE ADELANTO POR EL METODO DEL L.G.R.

    Bsicamente este procedimiento est enfocado a la bsqueda del

    polo y del cero del compensador:

    1.- Dibujar el L.G.R. del sistema sin compensar.

    2.- Determinar si es posible cumplir con las especificaciones del

    problema con ese L.G.R. (esto implicara solo un ajuste de Kc)

    3.- Si no, entonces ubicar los polos dominantes deseados PD tal que

    se cumplan las especificaciones.

  • 4.- Encontrar la contribucin angular (c) que debe suplir el

    compensador en el polo PD, para lograr que ste pertenezca al LGR

    del sistema compensado.

    Esta contribucin se obtiene por:

    /G 1 = /Ceros de G(s) - /Polos de G(s) + c = 180o

    Con S=PD

    NOTA: Cuando c > 60o, generalmente se usa ms de un

    compensador en adelanto u otro tipo de compensador.

    5.- Obtener la pareja cero-polo del compensador que produzca el

    ngulo c en el polo Pd deseado, para ello se une Pd con el origen,

    se pasa una recta por Pd, se encuentra la bisectriz entre las rectas

    APd y PdO. Luego se dibujan las rectas PdD y PdE, tal como se

    muestra en la figura. De esta forma se encuentran el polo y el cero

    del compensador en adelanto.

  • 6.- Chequear el estado estacionario del sistema compensado.

    Para ello se sabe que la F.T.L.A. del sistema compensado es:

    G'1 = GcG(S) = Kc G(S). TsTS+

    +11

    Consideremos a K0 = ganancia de la F.T.L.A. original. Luego

    podemos decir:

    K1 = K0 Kc

    K1 puede ser calculada de la condicin de magnitud, aplicada al

    sistema compensado en S=PD

    K0 generalmente es dada o se conoce con la condicin de

    magnitud de la F.T.L.A. original,(en los polos originales del

    sistema).

    Kc = K1/K0

    7.-Dibujar por ltimo el L.G.R. del sistema compensado, para

    chequear si se cumplen todas las especificaciones.

  • Ejemplo de Compensacin en Adelanto

    Se tiene la planta de tipo 1 siguiente:

    ( ) ( )20030400

    2 ++=

    sssSG

    Se desea una respuesta a lazo cerrado con:

    =0.5 y n=13.5rad/seg

    La F.T.L.A actual produce en lazo cerrado polos en:

    (-4.2 0.93j) y -21.59

    El sistema entonces no tiene sobreimpulso, pero

    ess(rampa)= 5.01

    =vK

  • S1=PD /2

    c/2

    -b -a Polos Deseados: S1 = - 6.75 11.69 j Luego: = S1 120 => c 180- G(S1) = 55.8

    p 32 y z 87.9

    Entonces: Pc = -25.41 Zc= -7.16

    ( ) 62.13111

    =+

    +=

    c

    cc

    ZSSGPS

    K

    El compensador ser en definitiva: Gc 13.62 S + 7.16 S + 25.41

  • Procedimiento Alternativo:

    Procedimento geomtrico de compensacin: S1=PD /2

    c/2

    -b -a = (S1) ; c = 180 - G(S1)

    Si: p = - c y z = + c 2 2 Calcular: Pc = -b = Re (s1) Im (s1) y Zc = -a = Re(s1) Im(s1) tanp tanz

    Kc es tal que ( ) 1 =

    ++

    sGPsZsK

    c

    cc

    S=S1

    Polos Deseados: S1 = - 6.75 11.69 j ( En Matlab el comando Ord2d este resultado automticamente, dados y n) Luego: = S1 120 => c 180- G(S1) = 55.8

    -235.8

    p 32 y z 87.9

    Entonces: Pc = -25.41 Zc= -7.16

    ( ) 62.13111

    =+

    +=

    c

    cc

    ZSSGPS

    K

    El compensador ser en definitiva: Gc 13.62 S + 7.16 S + 25.41

  • ( )20030400)( 2 ++

    =sss

    sGH

    LGR del sistema sin compensar.

    ( )( )( )41.2520030

    16.762.13)( 2 ++++

    =ssss

    ssGH

    LGR del sistema compensado.

    Ejemplo

  • Ejemplo de compensacin en adelanto

    Un sistema de control tiene como funcin de transferencia de lazo abierto:

    ( )10)( 2 += ssKsGH

    Se desea que el sistema de lazo cerrado tenga los polos dominantes con un coeficiente de amortiguacin de = 0,4 y con una frecuencia natural no amortiguada n=2,5rad/seg.

    - Empleando el mtodo del L.G.R. introduzca un compensador tal que haga al sistema estable.

    - Determine el coeficiente de error de aceleracin Ka del sistema compensado.

    - Dibuje el L.G.R. sistema compensado Qu mejoras ha presentado el sistema compensado con relacin al no compensado?

    Solucin:

    Obtencin del L.G.R.

    Datos del L.G.R. del sistema no compensado:

    P = 3, Z = 0

    # ramas = 3

    Asintotas = 60 ; -60 ; +180

    a = -3,33

    Cortes con el eje j : = 0 , K = 0

    Ver figura 1 del L.G.R.

  • Ejemplo 1

    ( )10)( 2 += ssKsGH

    LGR del sistema sin compensar.

    Compensacin del sistema:

    a) Clculo de los polos dominantes deseados:

    Segn las especificaciones, la parte real del polo dominante deseado

    ser:

    = n = 0,4 x 2,5 = 1

    y arcos = => 67

    los polos dominantes deseados son Pd = -1 j 2,3

  • b)Clculo de la contribucin angular del compensador ( c )

    c - 1 - 22 = -180

    y, segn la figura 1, tenemos:

    c -15 - 115 - 115 - 180 => c - 245= -180

    => c= 65

    pero c > 60 !!!!! por lo que construiremos dos

    compensadores, cada uno con una contribucin de

    c ' = 32,5 c ' = 16,25 ;

    c)Obtencin del compensador

    Graficando c ' en la figura 1, obtenemos:

    1/T=1.7 y 1/T=3.7 = 0.46

    >0.07 => aceptable.

    El sistema compensado es, por consiguiente:

    G1(S) = Gc G = ( )( ) ( )SS

    KSS

    +++

    10.

    7.37.1

    2

    1

    2

    2

  • Al dibujar ahora el L.G.R. del sistema compensado, se obtiene el grfico

    que se muestra en la figura 2.

    Por la condicin de magnitud

    1|10 s| |s| |3.7 s|

    |1.7 s| 'K1 =++

    +

    se puede calcular K1' = Kc K0 para s = -1 +j 2,3

    Sustituyendo Pd = s, podemos despejar de aqu K1, y encontrar Kc

    Se calcula Ka:

    Ka = lims0 s G(S) = lims0 S2 ( )( ) ( )SS

    KSS

    +++

    10.

    7.37.1

    2

    1

    2

    2

    LGR del sistema compensado.

  • Compensacin en Atraso : L.G.R.

    Funcin de transferencia de un compensador en atraso

    1Ts1TsK

    T1s

    T1sK

    G cc

    c+

    +=

    +

    +

    =

    1 < < 15 c

    cKK =

    Para evitar un cambio apreciable en el L.G.R. al introducir el

    compensador, ste deber contribuir con un ngulo no mayor de 5o.

    Para asegurar esto, colocamos al polo y al cero muy cerca el uno del

    otro y adems muy cerca del eje j. Esto implica:

    1

    T1s

    T1s

    1

    1

    +

    +

    donde s1 = polo dominante deseado,(de la FTLC)

    Podemos aumentar la ganancia en un factor sin alterar el L.G.R.

    en el polo dominante, es decir, sin alterar la respuesta transitoria: Si

    K' es la ganancia del sistema compensado; y K la ganancia del

    sistema original (en p=s1): K' = Kc.K

    Y la precisin mejora en un factor Kc

  • PROCEDIMIENTO PARA DISEAR UN COMPENSADOR EN

    ATRASO POR EL METODO DEL L.G.R.

    1.- Dibujar el L.G.R. del sistema sin compensar.

    2.- Ubicar los polos complejos dominantes Pd para que se

    cumplan las especificaciones de respuesta transitoria.

    PD

    3.- Determinar, con la condicin de mdulo, la ganancia de la

    FTLA en los polos dominantes deseados.

    4.- Calcular el ess.

  • 5.- Determinar el aumento necesario en el coeficiente de error

    para satisfacer las especificaciones de estado estacionario. Es

    decir, calcular Kc.

    6.- Tomar = Kc.

    7.- Calcular el polo y el cero del compensador como :

    z = 1/T y p =1/T

    NOTA: Se puede escoger en el primer intento 1/T = -0,1.

    8.- Chequear que la contribucin angular de la pareja polo-cero

    en el polo dominante Pd sea pequea, es decir:

    / Pd + 1/ T - / Pd + 1/ T < 5

    Esto garantiza que el L.G.R. no se vea modificado en el Pd.

    9.- Graficar el L.G.R. del sistema compensado.

    10.- Encontrar nuevamente los polos dominantes. Son los

    cambios de la respuesta transitoria tolerables?

  • Ejemplo:

    Dado un sistema de control en retroalimentacin simple cuya FTLA

    es:

    ( )( )155)( ++= sssKsGH

    se desea fijar = 0,3 para la respuesta transitoria del sistema y

    adems un ess < 0,1 ante entrada rampa r(t)=3t. Determine si el

    sistema sin compensar puede cumplir con dichas especificaciones.

    En caso contrario construya el compensador adecuado.

    Solucin :

    Obtencin del L.G.R.

    Construiremos el L.G.R. del sistema no compensado. Aplicando las

    reglas del L.G.R. para su construccin, tenemos:

    p = 3

    z = 0

    # de ramas = 3

    a = -6.6

    Asintotas : 60 , 180

    Puntos de salida : s = -2,26

    Cruce con el eje : j/= 8,66

    K = 173,2

  • Clculo del compensador:

    Ubicamos los polos dominantes deseados segn las especificaciones

    de respuesta transitoria.

    Si = 0,3 => = 72,54

    => sobre el L.G.R. se pueden ubicar los polos dominantes deseados:

    Pd=-1,7j5,4

    Clculo el ess del sistema no compensado:

    Para ello debemos calcular primero Kv , ya que si la entrada es r(t) =

    A.t (rampa), el error estacionario es:

    ess=vK

    A (A: magnitud de la entrada rampa)

    Kv = limS0 s G(H) = limS0 ( )( )15s5ssKs

    ++ 75K

    =

    => el ess del sistema no compensado es:

    ess = K75x3

    =K

    225

    Podemos calcular el valor de K para el sistema no compensado

    aplicando la condicin de magnitud para s= -1,7 + j5,4, de donde:

    K = 514,3 => Kv = 6,86

    ess = 0,4375 (sistema no compensado).

  • Pero queremos ess < 0,1 => es necesario compensar en atraso.

    ess = 0,1 = 'K225

    donde K' = K Kc

    => K' = 2250

    Kc = 3.514

    2250KK'

    = = 4,375

    Luego elegimos = Kc = 4,375 y T = 10

    => - T1

    = -0,023 -------------> polo

    - T1

    = -0,1 -------------> cero

    Sistema compensado:

    => ( )( )( )

    ( )023.001

    1551

    375.4)(

    ++

    ++

    =s

    ssss

    KsGH

  • ( )( )155)( ++= sssKsGH

    LGR del sistema sin compensar.

    ( )( )( )

    ( )023.001

    1551

    375.4)(

    ++

    ++

    =s

    ssss

    KsGH

    LGR del sistema compensado.

  • Ejemplo:

    ( )( )35.2

    86.4+

    =s

    KsGH cT

    ts(2%)=3.2

    ess

    PD: -1.252.175j

    Condicin de mdulo:

    ( ) CTPs KsK D86.48.155.2 3 ==+=

    =

    KcT 3.25

    ( ) ( )( )( )

    ( )( )

    5.0

    5.28.151

    1K5.2s

    5.2slimsGH1

    ssRlimssElime3

    3

    3

    0s0s0sss +

    =++

    +=

    +==

    Si ess 0.09 K 158 (=157.98) hay que compensar el atraso!

  • K 10K se escoge =10

    =

    =

    01.0T1

    1.0T1

    Contribucin angular en s1,2= -1.252.175j -1.7

    Sistema compensado:

    ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( ) ( )

    09.01.08.1501.05.2

    01.05.2lim01.05.2

    '1.086.4' 03 ++++++

    =+++

    = ssssse

    ssKsKsG ssss

    cCT

    3

  • ( )35.286.4)(+

    =

    sKctsGH

    LGR del sistema sin compensar.

    ( )( ) ( )01.05.2

    1.086.4)( 3 +++

    =sssKcsGH

    LGR del sistema compensado.

  • DISEO DE UN COMPENSADOR EN ADELANTO-ATRASO POR

    EL METODO DEL L.G.R.

    F.T. del compensador.

    ( )s

    ccc

    Ts

    Ts

    Ts

    Ts

    KGsT

    sTsT

    sTKcG

    1

    11

    1

    11/

    1 2

    1

    1

    2

    2

    1

    1

    +

    +

    +

    +==

    ++

    +

    += >1

    adelanto - atraso Kc = Kc

    Procedimiento:

    1.- Grafique el L.G.R. del sistema no compensado.

    2.- Para las especificaciones dadas, encuentre los polos dominantes

    Pd.

    3.- Determine c para la red de adelanto para que Pd cumpla la

    condicin angular.

  • 4.- Usando la FTLA ya compensada, encuentre Kc de tal forma que

    se cumpla la especificacin del coeficiente de error dado en el

    problema.

    5.- Encuentre los valores de y T1 tal que:

    / s + 1/ T1 - / s + / T1 = c en s=PD y que

    1

    1

    Ts

    T1s

    +

    +

    |Kc GH(S)| = 1 en s = Pd

    6.- Con el valor de encontrado, escoja T2 tal que:

    2

    2

    T1s

    T1s

    +

    +

    = 1 para s=Pd

    /s + 1/ T2 - / s + 1/ T2 < 5 para s=Pd

    7.- Verificar el LGR y las caractersticas de respuesta transitoria y

    estacionaria del sistema compensado.

  • Ejemplo:

    Se tiene un sistema cuya FTLA es:

    ( )( )20s5.2ss1000

    )s(GH++

    =

    Se requiere que:

    - Kv = 50

    - Mp = 10%

    - ts = 2 seg.

    Compensar el sistema tal que se cumplan los requerimientos.

    Solucin:

    LGR

    Construimos el L.G.R. del sistema no compensado. Se tiene:

    p = 3, Z = 0

    # ramas = 3

    a = -7.5

    Asintotas = 60 , 180

    Puntos de salida: s = - 1.07

    Puntos de cruce con el eje imaginario S = 7.07j

    Y para este valor de s, tenemos que Kcr= 1125

    Con las especificaciones localizamos al Pd

    Si Mp = 10% => = 0.6 => = 53.1

    y con ts = 2 seg. ( ts : 2% = 4/ , 5% = 3/ )

    => tenemos como Pd = -2 j 2.6

  • /GH(S) = -216 => c = 36 s=Pd

    Si Kv = 50, esto implica que

    lims->0 s G(S) = )20)(5.2(K.1000 c = 50 => Kc = 2.5

    Determinacion de y T1

    Por condicin del mdulo:

    1

    1c

    Ts

    T1

    s

    )20s)(5.2s(sK.1000

    +

    +

    ++ en s= -2 j2.6 = 1

    1063.0

    Ts

    T1s

    163.0

    10

    Ts

    T1s

    95.1572500

    Ts

    T1s

    1

    1

    1

    1

    1

    1 +

    +=

    +

    +

    +

    +

    (*)

    Se localiza en el plano S, el polo y el cero de tal manera que guarden entre s la relacin (*) y a la vez tengan un c = 36. Esto se hace por tanteo o bien se calcula analticamente. Se encuentra finalmente:

    - 1T

    1 = - 5 ; -

    1T

    = 62 => = 12.4 -> aceptable.

    Lo cual implica que la red de adelanto queda: )62s()5s(

    ++

  • Diseo de la red de atraso

    Se debe cumplir que:

    Pds2

    2

    T/sT/1s

    =++

    1 ; y su contibucin angular < 5

    Para ello escogemos T2 = 10

    => - 2T

    1 0.008 y 2T

    1 = 0.1

    Hay que chequear la contribucin angular de la red y la condicin de

    magnitud:

    Pds2

    2

    T/sT/1s

    =++

    = 0.983 1

    ngulo de Pds2

    2

    T/sT/1s

    =

    ++

    = -1.30 < 5

    Por lo cual, tenemos el sistema compensado:

    Gc.GH= G'(s) = ( )( ) )008.0s)(62s(20s5.2ss)1.0s)(5s(2500++++

    ++

  • Otros Ejemplos

    Ejemplo 1

    Dado G(s) = )5(110

    +ss y H(s) = 1

    Determinar un compensador de modo que los polos dominantes de lazo cerrado tengan = 0,6 ; n = 23 rad/seg. Calcule cmo afecta la adicin del compensador a las caracteristicas del sistema en estado estacionario.

    -10 -5 0 5 10-10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    Real Axis

    Imag

    Axis

    Sistema sin compensar.

    El polo dominante deseado es: Pd = -n j ,1 - n = -13.8 j 18.4

    Clculo de la contribucin ngular de la red (c)

    c = 115.56 + 126.9 +180 = 62.46

    c > 60 Se disean dos compensadores, cada uno de

    c' = 31.23 c' /2 = 15.62

  • Por el mtodo de la bisectriz se obtiene:

    1/T=17.4 y 1/T=30.4 = 0.57 > 0.07 => aceptable

    Para hallar la ganancia Kc del compensador:

    Inicialmente: Kv = lims0sGH(s)=22

    Aplicando la condicin de magnitud al sistema compensado en

    s=Pd se puede hallar Kc

    2

    2c

    )4.30s()4.17s(

    )5s(s'K.110

    ++

    + en s= -13.8+18.4j = 1

    Kc=9.61 la funcin de transferencia del compensador es:

    Gc(s) = 9.61

    2

    4.30s4.17s

    ++

    Entonces Kv para el sistema compensador ser: Kv final = lims0sGH(s).Gc(s)= 69.26 Con lo que la precisin del sistema mejor en un factor de 69.26/22 = 3.1

  • -60 -40 -20 0 20 40 60-60

    -40

    -20

    0

    20

    40

    60

    Real Axis

    Imag

    Axis

    Sistema Compensado.

    ( ) ( )( )

    ( )

    ++

    +

    = 22

    c 4,30s4.17s61.9

    5ss110sGHG

  • Ejemplo 2

    Introduzca un compensador al sistema para que cumpla con

    = 0.5 para las raices dominantes y ess < 0.1 para r(t) = t.

    ( )( )( )6253010 2 +++= ssss

    KsGH

    -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-40

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    20

    30

    40

    Real Axis

    Imag

    Axis

    Sistema sin compensar.

    Estacionario

    Kv = lim s GH(s) = K/6250 s -> 0

    Transitorio

    Pd = M / = arccos () = arccos (-0.5) = 60

    => Pd = M /120

  • Con este ngulo se encuentra el polo dominante deseado

    sobre el L.G.R. (ver figura):

    Pd = 3.6 j 6.2

    Aplicando la condicin de magnitud en este punto:

    |GH| en s= Pd = 1

    se obtiene el valor de K correspondiente:

    K = 32673.6

    Entonces:

    ess = 1/Kv = 0.191 y ess > 0.1 en Pd.

    Debemos usar un compensador en atraso para mejorar la

    precisin:

    => 0.1 =6250/K => K' = 62500

    => Kc = 1.913

    913.1=

    Se toma T=10 0522.0T1

    =

    y 1.0T1

    =

    Funcin de transferencia del compensador: Gc = 0522.0s(

    )1.0s(+

    +

    GH(s).Gc

    Chequeo:

    /Gc (s) en s=Pd =-0.335

  • -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-40

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    20

    30

    40

    Real Axis

    Imag

    Axis

    Sistema compensado.

    ( ) ( )( )( )( )62530100522,0

    1,02 ++++

    ++

    ssssssKsGHGc

  • Ejemplo 3

    Introduzca un compensador al sistema para que cumpla Mp=15% ; ts (5%)

    = 0.32 seg ; Kv = 50.

    ( ) ( )( )( )( )3325716

    ++++

    =ssss

    sKsGH

    -60 -40 -20 0 20 40 60

    -60

    -40

    -20

    0

    20

    40

    60

    Real Axis

    Imag

    Axis

    Sistema sin compensar.

    Mp = 0.15 =>

    =

    21exp

    pM

    => = 0.517 => = 58.9

  • ts (5%) =3/ n= 0.32

    n =3/0.32 => n = 18.13

    Finalmente:

    Pd = -9.375 j 15.52

    es el polo dominante deseado (ver L.G.R.), pero no pertenece al

    L.G.R.

    En efecto, aplicando la condicin de ngulo en Pd:

    /GH(s) en s = Pd = 66.88 + (121.1) - (98.7) - (44.81) - (33.3)=

    -231.06 + c=-180

    Es necesario que un compensador en adelanto supla:

    c = -180 + 231.06 = 51.06

    Por otra parte, para el estado estacionario:

    Kv = 50 => lim s GH(s) = 50 s->0

    lim s GH(s)Gc = lim ( )

    ( )( )( )33s25s7ss16ssKcK

    ++++ = 50 => Kc K= 18046.9

    Ajustando la K, y con la parte de adelanto del compensador, se ha

    de cumplir:

    a) Magnitud:

  • 1

    1c T/s

    T/1sK)s(GH

    ++

    en s=Pd = 1 =>

    ( )( )( )( ) 11

    T/sT/1s

    33s25s7ss16s9.18046

    ++

    ++++ = 1 (en s= -9.375 j 15.52)

    => 1

    1

    T/sT/1s

    ++ = 0.5819 (en -9.375 j15.52)

    y adems:

    b) Angulo:

    c= (s+1/T1)s=PD - (s+/T1)s=PD= 51,06

    Grficamente:

    PD= -9.375 j15.52

    c

    D2 D1

    2 1

    -/T1 -1/T1

    donde D1/D2 = 0.5819

    1 - 2 = 51.06

    Luego:

    D1 = ,(-1/T1 + 9.375) + 15.52

  • D2 = ,(-/T1 + 9.375) + 15.52

    y:

    1 = arctg 375.9T/152.15

    1 +

    2 = arctg 375.9T/52.15

    1 +

    Estas ecuaciones se cumplen, por ejemplo, para:

    T1 = 0.097 y = 3.019 => 119.31s309.10s

    ++

    => parte de adelanto.

    Para la parte de atraso:2

    2

    T/1sT/1s+

    + en s=Pd = 1

    Si tomamos {T2 = 10 => 1/T2 = 0.1,1/T2 = 0.0271 Se chequean magnitud y ngulo de la parte de atraso;

    0271.0s1.0s

    ++

    en s=Pd = 0.9979

    ngulo de o0035.00271.0

    1.0=

    ++

    ss

    en s=PD

    lo cual es aceptable.

  • Luego el SISTEMA COMPENSADO queda:

    ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )0271,0s119,31s33s25s7ss

    1,0s309.10s16s9.18046sGH+++++

    +++=

    -60 -40 -20 0 20 40 60

    -60

    -40

    -20

    0

    20

    40

    60

    Real Axis

    Imag

    Axis

    Sistema Compensado.

  • Ejemplo de compensacin en adelanto.

    Ejemplo 4

    F.T=GH= ( )202 +sSK

    Se desea =0.5 y n = 3 rad/s

    Datos del sistema no compensado:

    P=3, Z=

    # ramas =3

    Asntotas: En +60, -60, 180 Punto de ruptura

    6.6320

    ##=

    =

    = cerospolos

    cerospolosa

    -20

    -10

    0

    10

    20

    30

    40

    Imag

    Axis

    Sistema sin Compensar.

  • Compensacin en adelanto:

    Dados y n se tiene:

    PD=(-1.5j 2.6)

    En este punto, Se calcula: c= -180 + 1 + 2 + 2

    1= 8 2 =120 =>

    c= 68

    Se construirn 2 compensadores, cada uno con c= 34 (c/2= 17).

    Por procedimiento grfico se obtiene: 149.0286.41

    1.21

  • Ejemplo de compensacin en atraso:

    ( )( )5010 ++= sssKGH

    Se desea = 0.5 y ess 0.01

    Datos del sistema no compensado:

    P=3

    Z=

    # ramas = 3

    Asntotas: =60, -60,180

    A= -20

    corte con y : j24

    -100 -50 0 50 100-100

    -80

    -60

    -40

    -20

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    Real Axis

    Imag

    Axis

    Del grfico del lugar de las races, se obtiene el PD, de la interseccin de la recta del arc cos () y el L.G.R ( que no debe moverse).

    PD= (-5 j8.66)

  • Compensacin: En atraso.

    Clculo del ess del sistema no compensado.

    ess= 500/K, calculando K en PD =(-5 j8,66)

    K(PD)= 4582,4 => ess = 010911

    Si se desea ess = 0.01 entonces

    Kc= 0.10911/0.02 11=Kc

    Entonces: = Kc y T =10:

    {polo= -1/T = - 0.00909

    {cero=-1/T=-0.1

    Se obtiene finalmente:

    ( )( )( )( )00909.05010

    1.0.+++

    +=

    sssssKKGHG cs

    siendo K=4582.4 y Kc=11

    Verificacin: Medida de contribucin al Desplazamiento del lugar de las races, debido a la red de atraso:

    (s+1/T) - (s+1/T)s=PD = (180 arctg(8.66/-s+0.1))

    (180 arctg(8.66/-s+0.009)=180-60.408-180+60.044=0.45355

    Existe un movimiento de ~0.5 : aceptable

    Finalmente:

    ( )( )( )

    ( )00909.01.011.

    50104.4582.

    ++

    ++=

    ss

    sssGHGc

  • -100 -50 0 50 100-100

    -80

    -60

    -40

    -20

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    Real Axis

    Imag

    Axis

    Sistema Compensado.

  • Ejemplo de compensacin Adelanto-Atraso:

    ( )5.04+

    =ss

    GH

    Se desea: =0.5 n= 5 rad/s Kv=50

    -1 -0.5 0 0.5 1-1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Real Axis

    Imag

    Axis

    Compensacin: Adelanto Atraso:

    - Clculo del PD: PD= (-njn.sen(arc cos ())

    PD = (-2.5 j4.3)

    Se evala el ngulo de GH en PD en [ 4/s(s+0.5)]s=PD=(-2.5+j4.33)=

    125= -235

    => 55

    Si Kv=50 y. Kv= lims0 s.Kc.GH

    50 = 4/0.5 . Kc => kc=6.25

    Para la parte de adelanto:

  • (s+1/T1)/(s+/T1. 25/s(s+0.5)En s=PD=-2.5+j4.33 = 1

    De aqu: (s+1/T1)/(s+/T1)= 4.77/5=0.954 y

    (s+1/T1)/(s+/T1)= c = 55

    Del grfico del L.R:

    APB = 55 y PA/PB = 4.77/5

    Se obtiene: Ao = 0.5,Bo= 5, De aqu:

    {cero adelanto = -0.5 = -1/T1 =10

    {polo adelanto = -5 = -/T1

    Para la red del atraso: T2 =10, y con =10: (s+1/T2)/(s+1/T2)

    Red atraso = s+0.1/s+0.01 Red adelanto: s+0.5/s+5 Kc=6.25

    Funcin Compensada: ( )( )

    ( )( )501.01.025.++

    +=

    sssssGHGc

    -2

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    Imag

    Axis

    TCNICAS DE COMPENSACIN USANDO ELSi con b > aSi con c > b > aFuncin de Transferencia de un compensador en adelanto

    Con S=PDEjemplo de Compensacin en AdelantoSe tiene la planta de tipo 1 siguiente:Se desea una respuesta a lazo cerrado con:(=0.5 y (n=13.5rad/segLa F.T.L.A actual produce en lazo cerrado polos en:(-4.2 0.93j) y -21.59El sistema entonces no tiene sobreimpulso, peroEl compensador ser en definitiva: Gc \

    Procedimiento Alternativo:El compensador ser en definitiva: Gc \LGRPd = -9.375 j 15.52Ejemplo de compensacin en atraso: