T LAB N 4 ANALISIS DE CIRCUITOS RLC TRANSITORIOS ( VF)

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OBJETIVOS: Al finalizar este Trabajo de Laboratorio, el alumno estar en capacidad de: Definir y diferenciar correctamente el Estado Transitorio y Estacionario de un circuito RC, RL y RLC.

Definir y determinar correctamente la Constante de Tiempo ( ) de Carga y de Descarga de un circuito RC, RL y RLC.

Definir y determinar correctamente el Tiempo de Vida Media o Semivida ( t1/2) de un circuito RC, RL y RLC.

Determinar la Carga Q(t), la Corriente i(t), el voltaje V(t) y la Energa almacenada en una Resistencia, un condensador o en una Inductancia en cualquier instante de tiempo durante los procesos de carga o de descarga en un circuito RLC.

Graficar correctamente, a partir de una serie de datos obtenidos experimentalmente, la carga almacenada, la corriente circulante, el voltaje y la energa almacenada en un condensador y en una inductancia y la energa disipada en una resistencia en funcin del tiempo. Determinar correctamente la ecuacin que describe el comportamiento de un elemento R, L o C, a partir de una grfica de Carga, Corriente, Voltaje o Energa almacenada( o disipada) en funcin del tiempo. Determinar correctamente el Modelo Matemtico que describe el comportamiento de un circuito de primer y segundo orden durante los procesos de carga y de descarga.

Determinar terica y experimentalmente la frecuencia angular de resonancia ( o) y la frecuencia angular amortiguada(d) y el factor de amortiguamiento () en un circuito de segundo orden. Explicar correctamente las condiciones bajo las cuales un circuito de segundo orden se encuentra en estado sobreamortiguado, crticamente amortiguado y subamortiguado.

Determinar correctamente la respuesta de un circuito RLC en estado sobreamortiguado, crticamente amortiguado y subamortiguado.

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FUNDAMENTACIN TERICA.El estado o rgimen transitorio de un circuito, es un intervalo de tiempo muy pequeo (t) ( perodo de transicin ) en el cual una magnitud fsica cualquiera [ elctrica ( voltaje, corriente, carga, energa potencia)] cambia desde un valor mximo a un valor mnimo viceversa. Este estado culmina cuando el elemento o componente elctrico estudiado alcanza el rgimen permanente. Estado este, donde ya alcanz el valor mximo o mnimo de la magnitud analizada ( carga, corriente voltaje ) en el caso elctrico.Un circuito antes de llegar al rgimen permanente situacin estacionaria pasa por un periodo de transicin durante el cual tensiones y corrientes varan hasta llegar a la condicin de equilibrio impuesta por la red. En general, cualquier proceso muy pequeo de conexin/desconexin har que existan fenmenos transitorios. stos, aunque generalmente son de corta duracin, pueden producir problemas serios en el funcionamiento de los circuitos.

Este rgimen transitorio viene condicionado por los componentes que almacenan energa: bobinas y condensadores, resortes, etc. El anlisis se realiza resolviendo las ecuaciones diferenciales que resultan de aplicar las leyes de Newtn, Kirchhoff y determinando las constantes de integracin que resultan de las condiciones iniciales del problema estudiado..

Este mtodo es sencillo de aplicar en circuitos simples de 1er orden y 2 orden, pero es complicado para sistemas de orden superior en los cuales se hace necesario aplicar el mtodo de las Transformadas de Laplace.

La Ecuacin Diferencial y las Condiciones Iniciales.

En el caso elctrico, tras aplicar las leyes de Kirchhoff a los circuitos de 1 y 2 orden obtendremos ecuaciones diferenciales de la forma:Sistema de Primer Orden: A df(t)/dt + B f(t) = g(t)

Sistema de Segundo Orden: A d2 f(t)/dt2 + B df(t)/dt + C f/t) = g(t)

Donde los coeficientes a, b, c son constantes.

La solucin general o completa de una ecuacin diferencial lineal con coeficientes constantes ( F (t)G ) se compone de dos sumandos: la Solucin Homognea ( F(t)H ) y la Solucin Particular ( F(t)P ).

Solucin general: ( F (t)G ) = ( F(t)H ) + ( F(t)P ). 1. Solucin Homognea: Se obtiene resolviendo la ecuacin cuando g(t) se hace cero, es decir cuando se anula la excitacin del circuito (se considera nicamente la energa almacenada en los elementos reactivos). Esta solucin tambien se conoce como respuesta natural, propia o libre, Fn(t).

2. Solucin Particular:

Depende del tipo de excitacin a la cual es sometido del circuito. Esta solucin se conoce como respuesta forzada, ff(t).

Condiciones Iniciales de los elementos

Para determinar las constantes de integracin es necesario conocer el estado del circuito en un instante de tiempo determinado. En la prctica este instante se hace coincidir con la conexin o desconexin de los interruptores. Por conveniencia se toma t = 0, de tal forma que t = 0- representa el instante inmediatamente anterior a la conmutacin y t = 0+ el inmediato posterior.

El estado del circuito en t = 0- se define con la tensin en bornes de capacidades e intensidades por las bobinas. Estas condiciones se conocen como Condiciones Iniciales ( C. I. ).

Para evaluar las constantes de integracin en t = 0+ hay que tener en cuenta que variables son continuas en t = 0 (es decir: f(t = 0-) = f( t = 0+)).

VOLTAJES Y CORRIENTES EN LOS ELEMENTOS R, L y C.

Entonces la ecuacin de continuidad requiere que: VC(0-) = VC(0+) = VC(0).

En corriente continua, un condensador C descargado en t = 0, se comporta como un cortocircuito y en rgimen permanente (t =), se comporta como un circuito abierto.

En corriente continua, un Inductor L no excitado en t = 0, se comporta como un circuito abierto y en rgimen permanente ( t = ), se comporta como un cortocircuito.

RESPUESTA DE CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN:Son circuitos que contienen un elemento almacenador de energa o varios que puedan ser sustituidos por uno equivalente.

Respuesta Natural de un circuito RC

Con la finalidad de determinar la evolucin de la tensin V(t) en un circuito RC impulsado por una seal de corriente continua cuando conectamos y desconectamos la fuente de alimentacin.Supongamos que el conmutador ha permanecido mucho tiempo en la posicin ( 1 ):Como no se sabe cuanto tiempo ha estado el interruptor en esa posicin, supondremos que en t < 0, el condensador esta completamente cargado, y por lo tanto se encuentra en rgimen permanente, esto es , se encuentra a circuito abierto, de aqu que:

Las Condiciones iniciales en este caso sern:

En t < 0: VC ( t= 0- ) = Vg.Cuando el conmutador cambia desde la posicin (1) hasta la posicin (2), el circuito resultante ser:Aplicando la ley de Kirchoff de las corrientes tenemos:IC + IR = 0 ( 1 )C dV/dt + V/R = 0 ( 2 )Cuya solucin general es de la forma: V(t) = A est ( 3 )Donde A y s constantes a determinar de acuerdo con las condiciones iniciales del problemaCon la finalidad de determinar las constantes A y s, se sustituye la solucin general (3) en la ecuacin (2), resultando:Para satisfacer la ecuacin ( 4 ), debe cumplirse que A = 0 Cs + 1/ R = 0, pues:est 0. asi resulta que: C s + 1/R = 0 Clculo de A: Evaluando la ecuacin ( 3 ) en t = 0, y considerando las condiciones iniciales tenemos:

V ( t = 0 ) = A e0 = Vg

La ecuacin de continuidad nos conduce a:V ( 0 ) = A , ya que V ( 0- ) = V ( 0+ ) = Vg ( 6 )Sustituyendo (5) y (6) en (3)

En este caso = RC donde R = Requiv, la resistencia equivalente que tiene el condensador C conectada a sus extremos. Luego, para la corriente tenemos que:La ecuacin (7) est definida para t 0 por la condicin de continuidad de la tensin V

La ecuacin (8) est definida para t 0+, en t = 0 existe discontinuidad de la corriente

I ( I(0-) = 0, I(0+) = Vg /R)

Respuesta natural de un circuito RL Con la finalidad de determinar la evolucin de la corriente i(t) en el circuito RL cuando desconectamos la fuente de alimentacin. Supongamos que el interruptor ha permanecido mucho tiempo cerrado, y en el instante t = 0 se abre. Tal como muestra la figura.

Para t < 0 toda la corriente circulaba por la bobina (L cortocircuitada) entonces: iL(t = 0-) = Ig(Condicin Inicial). Si abrimos el interruptor, el circuito quedar:

Aplicando la ley de las tensiones de Kirchoff ( KVL ): VL + VR = 0 ( 9 ) Sustituyendo VL y VR por sus valores tenemos: L di/dt + R i = 0 ( 10 )Cuya Solucin General sera de la forma:Para determinar S, sustituimos ( 11) en ( 10 ) resultando: descartando la solucin trivial A = 0, ya que est 0. Asi tenemos que: L s + R = 0 Para Calcular A , evaluamos la solucion i (t), ecuacin ( 11 ) en t = 0 y tomando en cuenta las condiciones iniciales. Asi tenemos que:i( t = 0 ) = A, con la C. I.: i( 0 -) = i (0+) = Ig ( 14 )Sustituyendo (13) y (14) en (11)

La intensidad de la corriente i(t) se decae exponencialmente a una rapidez que depende del coeficiente R/L. Siendo su recproco laConstante de Tiempo = L/R. Este parmetro es importante ya que establece la frontera entre rgimen transitorio y permanente ( t 5).El voltaje VR (t) en los extremos de la resistencia sera:

VR (t) = R i(t) VR (t) = R Ig e - ( R/L) t para todo t 0+ ( 16 )La ecuacin (15) est definida para t0 por la condicin de continuidad de la corriente I (t): mientras que la (16) est definida para todo t 0+, y en t = 0 existe discontinuidad de la tensin V (V(0-)=0, V(0+)= RIg)Respuesta de un circuito RL a una seal escalnCon la finalidad de determinar la evolucin de la corriente i(t) en el circuito RL cuando conectamos una alimentacin de seal continua, es