T LAB Nº 4 ANALISIS DE CIRCUITOS RLC TRANSITORIOS ( VF)

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO “LUÍS CABALLERO MEJÍAS”

NÚCLEO CHARALLAVEINGENIERIA MECATRÓNICA

UNEXPO

OBJETIVOS:

Al finalizar este Trabajo de Laboratorio, el alumno estará en capacidad de:

- Definir y diferenciar correctamente el Estado Transitorio y Estacionario de un circuito RC, RL y RLC.

- Definir y determinar correctamente la Constante de Tiempo (τ ) de Carga y de Descarga de un circuito RC, RL y RLC.

- Definir y determinar correctamente el Tiempo de Vida Media o Semivida ( t1/2) de un circuito RC, RL y RLC.

- Determinar la Carga Q(t), la Corriente i(t), el voltaje V(t) y la Energía almacenada en una Resistencia, un condensador o en una Inductancia en cualquier instante de tiempo durante los procesos de carga o de descarga en un circuito RLC.

- Graficar correctamente, a partir de una serie de datos obtenidos experimentalmente, la carga almacenada, la corriente circulante, el voltaje y la energía almacenada en un condensador y en una inductancia y la energía disipada en una resistencia en función del tiempo.

- Determinar correctamente la ecuación que describe el comportamiento de un elemento R, L o C, a partir de una gráfica de Carga, Corriente, Voltaje o Energía almacenada( o disipada) en función del tiempo.

- Determinar correctamente el Modelo Matemático que describe el comportamiento de un circuito de primer y segundo orden durante los procesos de carga y de descarga.

- Determinar teórica y experimentalmente la frecuencia angular de resonancia ( ωo) y la frecuencia angular amortiguada(ωd) y el factor de amortiguamiento (ζ) en un circuito de segundo orden.

- Explicar correctamente las condiciones bajo las cuales un circuito de segundo orden se encuentra en estado sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado.

- Determinar correctamente la respuesta de un circuito RLC en estado sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado.

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COORDINACIÓN DE INGENIERIA MECATRÓNICAASIGNATURA: ELECTRONICA I / SECCIÓN: 01PROFESOR: ANDRÉS HERRERA

CHARALLAVE, FEBRERO 2013TIEMPO ESTIMADO: 12 Horas

RECURSOS NECESARIOS.RESISTENCIAS: 150@600Ω, 3.9K, 10@ 27K. TODAS DE ½ WPOTENCIOMETROS: 10K/ 2 Watts.CONDENSADORES: 0,1μF, 0.01μF, 0.001μF, 10μF, 1000μF. Condensador de C desconocida.INDUCTANCIAS: 5@ 25 mH. Inductancia de L desconocida, previamente construida.

EQUIPOS DE LABORATORIO.GENERADOR DE AF/ RF.MULTIMETRO ANALOGICO.OSCILOSCOPIO CON PUNTAS DE PRUEBAS.PUENTE DE WHEASTONE.VOLTIMETRO y AMPERIMETRO.

MISCELÀNEOS: Protoboard, Pinzas para microelectrónica, cables de conexión, juego de caimanes, Cautín de 30 @ 35 W/ 120 VAC, Estaño 60/40, Papel Milimetrado, Semilogarítmico, Logarítmico. Juego de Geometría, Hojas blancas tamaño carta, Marcadores punta fina. Cuaderno de Laboratorio.

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA.

El estado o régimen transitorio de un circuito, es un intervalo de tiempo muy pequeño (∆t) ( período de transición ) en el cual una magnitud física cualquiera [ eléctrica ( voltaje, corriente, carga, energía ó potencia)] cambia desde un valor máximo a un valor mínimo ó viceversa. Este estado culmina cuando el elemento o componente eléctrico estudiado alcanza el régimen permanente. Estado este, donde ya alcanzó el valor máximo o mínimo de la magnitud analizada ( carga, corriente ó voltaje ) en el caso eléctrico.

Un circuito antes de llegar al régimen permanente ó situación estacionaria pasa por un periodo de transición durante el cual tensiones y corrientes varían hasta llegar a la condición de equilibrio impuesta por la red. En general, cualquier proceso muy pequeño de conexión/desconexión hará que existan fenómenos transitorios. Éstos, aunque generalmente son de corta duración, pueden producir problemas serios en el funcionamiento de los circuitos.

Este régimen transitorio viene condicionado por los componentes que almacenan energía: bobinas y condensadores, resortes, etc. El análisis se realiza resolviendo las ecuaciones diferenciales que resultan de aplicar las leyes de Newtón, Kirchhoff y determinando las constantes de integración que resultan de las condiciones iniciales del problema estudiado..

Este método es sencillo de aplicar en circuitos simples de 1er orden y 2º orden, pero es complicado para sistemas de orden superior en los cuales se hace necesario aplicar el método de las Transformadas de Laplace.

LA ECUACIÓN DIFERENCIAL Y LAS CONDICIONES INICIALES.

En el caso eléctrico, tras aplicar las leyes de Kirchhoff a los circuitos de 1º y 2º orden obtendremos ecuaciones diferenciales de la forma:

Sistema de Primer Orden : A df(t)/dt + B f(t) = g(t)

Sistema de Segundo Orden : A d2 f(t)/dt2 + B df(t)/dt + C f/t) = g(t)

Donde los coeficientes A, B, C son constantes.

La solución general o completa de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes ( F (t) G ) se compone de dos sumandos: la Solución Homogénea ( F(t)H ) y la Solución Particular ( F(t)P ).

Solución general : ( F (t)G ) = ( F(t)H ) + ( F(t)P ).

1. Solución Homogénea:

Se obtiene resolviendo la ecuación cuando g(t) se hace cero, es decir cuando se anula la excitación del circuito (se considera únicamente la energía almacenada en los elementos reactivos). Esta solución tambien se conoce como respuesta natural, propia o libre, Fn(t).

2

2. Solución Particular:

Depende del tipo de excitación a la cual es sometido del circuito. Esta solución se conoce como respuesta forzada, ff(t).

CONDICIONES INICIALES DE LOS ELEMENTOS

Para determinar las constantes de integración es necesario conocer el estado del

circuito en un instante de tiempo determinado. En la práctica este instante se hace coincidir

con la conexión o desconexión de los interruptores. Por conveniencia se toma t = 0, de tal

forma que t = 0- representa el instante inmediatamente anterior a la conmutación y t = 0+ el

inmediato posterior.

El estado del circuito en t = 0- se define con la tensión en bornes de capacidades e

intensidades por las bobinas. Estas condiciones se conocen como Condiciones Iniciales ( C. I. ).

Para evaluar las constantes de integración en t = 0+ hay que tener en cuenta que

variables son continuas en t = 0 (es decir: f(t = 0-) = f( t = 0+)).

VOLTAJES Y CORRIENTES EN LOS ELEMENTOS R, L y C.

Entonces la ecuación de continuidad requiere que:

VC(0-) = VC(0+) = VC(0).

En corriente continua, un condensador “ C ” descargado en t = 0, se comporta como un cortocircuito y en régimen permanente (t =∞), se comporta como un circuito abierto.

3

Entonces la ecuación de continuidad requiere que:

iL(0-) = iL(0+) = iL(0).

La corriente no puede variar de forma instantánea (V(t) → ∞), Inductancia:

La tensión no puede variar de forma instantánea a las

variaciones de la corriente. (i (t)→∞).

Condensador:

La tensión sigue instantáneamente las variaciones de la corriente.Resistencia:

RR

C

RS

Vg

( 1 ) ( 2 )

t = 0

En corriente continua, un Inductor “ L ” no excitado en t = 0, se comporta como un circuito abierto y en régimen permanente ( t =∞ ), se comporta como un cortocircuito.

RESPUESTA DE CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN:

Son circuitos que contienen un elemento almacenador de energía o varios que puedan ser sustituidos por uno equivalente.

RESPUESTA NATURAL DE UN CIRCUITO RC

Con la finalidad de determinar la evolución de la tensión V(t) en un circuito RC impulsado por

una señal de corriente continua cuando conectamos y desconectamos la fuente de alimentación.

Supongamos que el conmutador ha permanecido mucho tiempo en la posición ( 1 ):

Como no se sabe cuanto tiempo ha estado el interruptor en esa posición, supondremos que en

t < 0, el condensador esta completamente cargado, y por lo tanto se encuentra en régimen permanente,

esto es , se encuentra a circuito abierto, de aquí que:

Las Condiciones iniciales en este caso serán:

En t < 0: VC ( t= 0- ) = Vg.

Cuando el conmutador cambia desde la posición (1) hasta la posición (2), el circuito resultante serà:

Aplicando la ley de Kirchoff de las corrientes tenemos:

IC + IR = 0 ( 1 )

C dV/dt + V/R = 0 ( 2 )

Cuya solución general es de la forma: V(t) = A est ( 3 )

Donde A y s constantes a determinar de acuerdo con las condiciones iniciales del problema

Con la finalidad de determinar las constantes A y s, se sustituye la solución general (3) en la ecuación

(2), resultando:

4

RR

C

IC

IR

+ +- - -

V(t)

( 4 )

Ig RS L R

• ••t = 0

Para satisfacer la ecuación ( 4 ), debe cumplirse que A = 0 ò Cs + 1/ R = 0, pues:

est ≠ 0. asi resulta que: C s + 1/R = 0 →

Cálculo de A:

Evaluando la ecuación ( 3 ) en t = 0, y considerando las condiciones iniciales tenemos:

V ( t = 0 ) = A e0 = Vg

La ecuación de continuidad nos conduce a:

V ( 0 ) = A , ya que V ( 0- ) = V ( 0+ ) = Vg ( 6 )

Sustituyendo (5) y (6) en (3)

En este caso τ = RC donde R = Requiv , la resistencia equivalente que tiene el condensador “ C “

conectada a sus extremos. Luego, para la corriente tenemos que:

La ecuación (7) está definida para t ≥ 0 por la condición de continuidad de la tensión V

La ecuación (8) está definida para t ≥ 0+, en t = 0 existe discontinuidad de la corriente

I ( I(0-) = 0, I(0+) = Vg /R)

RESPUESTA NATURAL DE UN CIRCUITO RL

Con la finalidad de determinar la evolución de la corriente i(t) en el circuito RL cuando

desconectamos la fuente de alimentación. Supongamos que el interruptor ha permanecido mucho

tiempo cerrado, y en el instante t = 0 se abre. Tal como muestra la figura.

5

s = - 1 / RC ( 5 )

( 7 )

( 8 )

Para t < 0 toda la corriente circulaba por la bobina (L cortocircuitada) entonces: iL(t = 0-) = Ig (Condición Inicial).

Si abrimos el interruptor, el circuito quedará:

Aplicando la ley de las tensiones de Kirchoff ( KVL ):

VL + VR = 0 ( 9 )

Sustituyendo VL y VR por sus valores tenemos:

L di/dt + R i = 0 ( 10 )

Cuya Solución General sera de la forma:

Para determinar S, sustituimos ( 11) en ( 10 ) resultando:

descartando la solución trivial A = 0, ya que est ≠ 0. Asi tenemos que:

L s + R = 0 →

Para Calcular A , evaluamos la solucion i (t), ecuación ( 11 ) en t = 0 y tomando en cuenta las

condiciones iniciales. Asi tenemos que:

i( t = 0 ) = A, con la C. I.: i( 0 -) = i (0+) = Ig ( 14 )


La intensidad de la corriente i(t) se decae exponencialmente a una rapidez que depende del

coeficiente R/L. Siendo su recíproco la Constante de Tiempo τ = L/R. Este parámetro es importante

ya que establece la frontera entre régimen transitorio y permanente ( t ≥ 5τ).

El voltaje VR (t) en los extremos de la resistencia sera:

VR (t) = R i(t) → VR (t) = R Ig e - ( R/L) t para todo t ≥ 0+ ( 16 )

6

con ( 11 )

( 12 )

s = - R / L ( 13 )

( 15 )

L +VR

_I(t)

Bobina en cortocircuito

R

La ecuación (15) está definida para t≥0 por la condición de continuidad de la corriente I (t): mientras que

la (16) está definida para todo t ≥ 0+, y en t = 0 existe discontinuidad de la tensión

V (V(0-)=0, V(0+)= RIg)

RESPUESTA DE UN CIRCUITO RL A UNA SEÑAL ESCALÓN

Con la finalidad de determinar la evolución de la corriente i(t) en el circuito RL cuando conectamos una alimentación de señal continua, estando la inductancia previamente desenergizada.

El interruptor ha permanecido abierto mucho tiempo.

Condición inicial t < 0; L puede tener energía almacenada que se traduce en una corriente inicial no nula ( iL(0-) = Io ).

En t = 0 se cierra el interruptor, Aplicando KLV:

En este caso:

Solución General = Soluciòn Particular + Solución Homogénea

Solución Particular = Valor final de la variable [ i(t = ∞ )]

En t = ∞ , se alcanza régimen estacionario (c.c.) → L en Cortocircuito.

Asi, la Solución General será:

Para encontrar s, sustituimos (18) en (17) resultando que:

7

Ecuación Completa ( 17 )

Vg

R

i( t = ∞ )

CIRCUITO EQUIVALENTE CON LA BOBINA EN REGIMEN PERMANENTE

Vg

i( t )L

Bobina

Excitada

R

i ( t = ∞ ) = Vg / R

con ( 18 )

Descartando A = 0, tenemos que: Ls + R = 0 , por lo tanto S = - R / L

El valor de la constante A se obtiene al evaluar i (t) en t = 0 y tomando en cuenta las condiciones

iniciales.


Al aplicar la ley de Ohm para cálculo del voltaje en la resistencia VR (t), definida para t ≥ 0+.

RESPUESTA DE UN CIRCUITO RC A UNA SEÑAL ESCALÓN

Con el objeto de estudiar la evolución de la tensión v(t)

en el circuito RC cuando conectamos la alimentación.

Supongamos que el interruptor ha permanecido mucho

tiempo abierto para t ≤ 0. En este caso la Condición

inicial ( t < 0 ), nos conduce a establecer que el

condensador C puede tener energía almacenada antes

de que el interruptor se cierre, lo cual se traduce en

una tensión inicial no nula ( Vc(0-) = Vo).

Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor, se establece una corriente i(t) que circula por el circuito. Si

aplicamos la ley de Kirchoff de las corrientes ( KCL ) tenemos que:

8

( 19 )

Pero: ( 20 )

( 21 )

Al sustituir los valores de A y s en i(t) resulta que:

Ecuación Diferencial General

( 24 )

( 22 )para

VR ( t ) =

( 23 )para

En t = ∞ se alcanza el régimen permanente y por lo tanto el condensador se

comporta como un circuito

abierto. El circuito equivalente en

estas condiciones será:

La Solución general de la

ecuación diferencial (23) sera:

Cálculo de s: Es la misma que la respuesta natural.

Cálculo de A:

Evaluando la ecuación ( 25) en t = 0 y de acuerdo con las Condiciones Iniciales, resulta:

Sustituyendo (24) y (25) en (23) tenemos:

Vo = Ig R + A →

Sustituyendo los valores de A y s en (25) resulta que:

FORMULA GENERAL PARA CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN

La solución al circuito RL y RC que engloba la respuesta natural y la respuesta a un escalón se

puede generalizar:

9

con ( 25 )

s = - 1 / RC

pero

A = Vo - Ig R

( 26 )

( 27 )

El Valor Inicial f(0), queda establecido por las condiciones iniciales del circuito en

cuanto a la energía almacenada en la inductancia ( L ) y la capacidad ( C ).

En Resumen, el Procedimiento a seguir en la resolución de circuitos, es el siguiente:

1) Dibujar el circuito para t < 0 y calcular en régimen permanente VC (0-) o iL(0-).

2) Aplicar continuidad iL(0-) = iL(0+), VC(0-) = VC(0+).

3) Dibujar el circuito para t > 0 y calcular la RTH "vista" por C o L. Calcular τ.

4) Calcular para régimen permanente el valor final de IL(∞) o VC(∞).

5) Aplicar la fórmula general (27).

Autoevaluación:

1. Considere el circuito de la figura que parte

de un estado inicial estacionario. Si R1 = 10 Ω,

R2 = 20 Ω y R3 = 30 Ω. a) Determine el

Voltaje, la Corriente en el condensador ( C ) y

en la resistencia R3. b) Realice una

representación grafica de VC (t), IC (t) e IR3 (t) en

función del tiempo.

Use papel milimetrado y una escala de valores apropiada a los resultados obtenidos.

2. Encuentre a que valor deberá ajustarse RP en función de E(t), R1, R2, R3, R4 y R5, de manera

que la corriente que circula por el condensador sea de un valor Io. b) Hallar el voltaje en los

extremos del condensador.

10

R3

E(t)

R1

R2

R3

R4

R5

Rp

C

RESPUESTA DE CIRCUITOS DE 2º ORDEN

Circuitos de 2o orden:

Son circuitos con dos elementos "irreducibles" que almacenan energía.

Estudiaremos sólo las configuraciones RLC serie y paralelo.

Respuesta natural de un circuito RLC paralelo

Objetivo: Calcular la evolución de la tensión v(t) en el circuito cuando

desconectamos la alimentación.

Condiciones iniciales ( t < 0 ):

Aplicando KCL al circuito para t > 0 :

derivando y dividiendo por C:

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Es una ecuación diferencial ordinaria de 2º orden con coeficientes constantes. Su

Solución obedece a una solucuíon del tipo de 1er orden:

Cálculo de s: Al sustituir la ecuación (31) en la ecuación (30) tenemos que:

descartando la solución trivial A = 0:

Dependiendo de los valores de α y ω0 la respuesta natural variará.

Se distinguen 3 tipos de respuesta en circuitos de 2º orden:

Respuesta sobreamortiguada.

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Respuesta subamortiguada.

Respuesta con amortiguamiento crítico.

Cálculo de las constantes (aplicando condiciones iniciales y continuidad):

De la ec. (28) en t = 0+ deducimos que:

Particularizando para cada respuesta:

1. Respuesta sobreamortiguada:

13

además

2. Respuesta subamortiguada:

3. Respuesta con amortiguamiento crítico:

RESPUESTA AL ESCALÓN DE UN CIRCUITO RLC PARALELO

Objetivo: Calcular la evolución de la tensión v(t) en el circuito cuando

conectamos la alimentación.

Condiciones iniciales ( t < 0 ): I0,v0→ energía almacenada

Aplicamos KCL para t > 0:

derivando y dividiendo por C:

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Ec. idéntica a la respuesta natural (29). Solo cambia el cálculo de las constantes.

De la ec. (36) en t = 0+ deducimos:


1.Respuesta sobreamortiguada:

2.Respuesta subamortiguada:

3.Respuesta con amortiguamiento crítico:

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pero:

Respuesta natural de un circuito RLC serie

Objetivo: Calcular la evolución de la corriente i(t) en el circuito cuando

desconectamos la alimentación.

Condiciones iniciales ( ):

Aplicando KVL al circuito para :

derivando y dividiendo por L:

Es una ec. dif. ordinaria de 2º orden con coeficientes ctes. Solución del tipo de 1er orden:

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Cálculo de s: (41)→(40)

descartando la solución trivial A=0.

Calculamos las raíces del polinomio característico:

El tipo de respuesta se calcula igual al caso paralelo.

Cálculo de las constantes (utilizando condiciones iniciales y continuidad)

De la ec. (39) en t = 0+ deducimos:

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Respuesta a un escalón de un circuito RLC serie

Objetivo: Calcular la evolución de la corriente i(t) en el circuito cuando

conectamos la alimentación.

Condiciones iniciales ( t < 0): I0,v0→ energía almacenada

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Aplicando KVL para t > 0:

derivando y dividiendo por L:

idéntica a la respuesta natural del circuito RLC serie.

El cálculo de las constantes varía:

De la ec. (44) en t=0+ deducimos:




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Resolución de circuitos de 2º orden

Resumiendo los pasos a seguir para encontrar la respuesta transitoria en circuitos de 2º

orden:

1.Encontrar la ec. diferencial de 2º orden que corresponde al circuito problema:

x(t) = v(t) en circuitos RLC paralelo

x(t) = i(t) en circuitos RLC serie

2. Identificar los coeficientes de (49) para obtener α y ωo.

3.Elegir el tipo de respuesta comparando los valores de α y ωo.

4.Utilizar las condiciones iniciales para calcular los coeficientes de la solución.

Autoevaluación

Considere el circuito de la figura que parte de un estado inicial estacionario. Datos:

R1 = 10 Ω y R2 = 20 Ω. Encuentre los voltajes y corrientes en cada uno de los

elementos R, L y C del circuito para todo t, tal que - ∞ < t < +∞.

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10 k ≤ R ≤ 15k

RV

CVoltímetro Analógico

1000 ≤ C ≤ 2000μF @16Vε

PROCEDIMIENTO A SEGUIR EN EL LABORATORIO.

I) ANALISIS DE LA RESPUESTA DE CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN EN ESTADO TRANSITORIO (ANALISIS EN CORRIENTE CONTINUA)

1. CIRCUITO RC CON CONSTANTE DE TIEMPO GRANDE.

1.1. Considere el circuito mostrado. Analice teóricamente el funcionamiento del circuito, durante los procesos de carga y de descarga. Suponga un valor de

tensión de la fuente ε que permita cargar el condensador hasta que el Voltímetro Analógico indique 10 V, siendo R = 15 K y la resistencia interna del Voltímetro RV = 1 K.

1.2. Explique, ¿Cómo determinaría Ud el Voltaje, la Corriente y la Carga almacenada en el condensador cuando el Voltímetro registra un voltaje de 10V.

1.3. Hallar el tiempo que tarda el condensador en adquirir un voltaje máximo de 12 V. ¿ Cuál es el voltaje registrado en el voltímetro cuando el condensador alcanza este voltaje?.

1.4. ¿ Cuánto tiempo tarda l condensador en adquirir el 50% de ese voltaje máximo?. En estas condiciones, ¿ Cuál es la carga almacenada en el condensador y la corriente que circula por este.

1.5. MONTE EL CIRCUITO MOSTRADO, eligiendo R entre 10 K y 15 K, el condensador es electrolítico de capacidad comprendida entre 1000μF y 2000 μF /16 V y el Voltímetro es analógico. Observe la relación ( Ω/V ) que introduce el instrumento en el circuito y según la escala elegida del Voltímetro, encuentre su resistencia interna RV. ( tcarga ). Mida con el Multímetro el valor de la resistencia R utilizada. Anote estos resultados.

1.6. Cierre el circuito y ajuste el valor de la fuente hasta que el Voltímetro registre un V max

= 10 V. Mida el voltaje en el condensador ( VCmax ) en estas condiciones. Con ayuda de un Cronómetro mida el tiempo ( tcarga ) que tarda el condensador en adquirir este voltaje máximo. Abra el interruptor y mida el tiempo que tarda en descargarse. Realice los cálculos nuevamente para ambos procesos de carga y descarga, de acuerdo con los valores de los componentes R , C y la RV reales utilizados en el experimento. Anote sus resultados en la Tabla N° 1.

1.7. Repita el proceso de carga y descarga del circuito por lo menos 5 veces,. Determinando en cada caso el tiempo ( tdesc ) que tarda en descargar el voltaje máximo y el tiempo( t1/2 ). que tarda en descargar el 50% del voltaje máximo. Anote sus resultados en la Tabla N° 1.

1.8. Obtenga el promedio, la desviación y el valor probable de los tiempos ( tcarga ), ( tdesc) y ( t1/2 ). Usando el valor promedio del tiempo de vida media ( t1/2 ), determine la Constante de tiempo ( τ ) del circuito en el proceso de descarga, usando la relación: t1/2 = τ ln2.

1.9. De acuerdo con el valor de la constante de tiempo ( τ ) obtenido en el punto anterior, y tomando en cuenta el valor medido de R y el valor de la resistencia interna del Voltímetro

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10 μF10V OsciloscopioZint = 1 MΩ

RV , determine el valor de la Capacidad ( C ) del Condensador, y compárela con su valor nominal dado por el fabricante.

1.10. Repita los pasos 1.6, 1.7 y 1.8 para los voltajes: 9,8,7,6,5,4,3,2 y 1 registrados en el Voltímetro. Anote sus resultados en la Tabla N° 1.

1.11. De acuerdo con los resultados obtenidos en los puntos 1.6, 1.7, 1.8 y 1.9, realice una representación gráfica en papel milimetrado y en papel Semilogaritmico del Voltaje ( VC ) almacenado en el condensador en función del tiempo durante el proceso de descarga.

1.12. Según la grafica obtenida en papel milimetrado de VC (t) vs t, trace una recta tangente a la curva de descarga desde el momento inicial hasta interceptarla con el eje del tiempo. Anote este valor de tiempo. ¿ Qué significa físicamente este tiempo ? Explique. Discuta con sus compañeros y anote sus observaciones.

1.13. Linealice la grafica de VC (t) vs t , obtenida en papel milimetrado y calcule la pendiente de la recta. Determine los parámetros que caracterizan el fenómeno estudiado y obtenga la expresión matemática del Voltaje almacenado en el condensador en función del tiempo. Recuerde o revise los métodos de linealización de funciones vistos en el Laboratorio de Física( Representación Gráfica de Datos Experimentales en Física).

1.14. Según la gráfica obtenida en papel Semilogaritmico de VC (t) vs t, encuentre los parámetros necesarios que permiten obtener la ecuación matemática que describe el fenómeno estudiado y que establece la relación entre las variables que intervienen en el proceso de descarga.

1.15. Compare los resultados obtenidos en los puntos 1.13 y 1.14. Explique y establezca sus conclusiones.

TABLA N°1: TIEMPOS DE CARGA , DESCARGA Y DE SEMIVIDA

TENSIÓNAPLICADA ε

VOLTAJEVOLTIMETRO

( VV )

VOLTAJECONDENSADOR

( VC)

TIEMPO PROM DE CARGA

< tcarga )>

TIEMPO PROMDE DESCARGA

< tdesc)>

TIEMPO PROMDE SEMIVIDA

< t1/2 )>10987654321

1.16, EL CIRCUITO SIGUIENTE. En este caso el condensador C puede ser electrolítico de 10 μF/ 16 V o cerámico de 10 μF, y como medidor de voltaje se utiliza un Osciloscopio dispuesto en

DC, cuya impedancia de entrada es de 1 MΩ. determine teóricamente la constante de tiempo τ del circuito.

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GENERADOR DE

ONDA CUADRADA

Rg = 50Ω

OsciloscopioZint = 1 MΩCOsc = 32pF

1.17. Realice por lo menos 10 mediciones del tiempo ( tDesc ) que tarda el condensador en descargarse y del tiempo de semivida ( t1/2 ). Obtenga sus Valores Promedios y Probables.

1.18. Determine el Valor Promedio de la Constante de Tiempo (τ) del circuito. Con este valor encuentre el valor experimental de la Capacidad del condensador. Compare el valor experimental obtenido de la capacidad con el valor nominal dado por el fabricante. Explique, discuta con sus compañeros y establezca sus conclusiones.

2. CIRCUITO RC CON CONSTANTE DE TIEMPO MUY PEQUEÑA

2.1. Suponga que en el circuito anterior, el condensador se sustituye por uno de capacidad C = 0. 1 μF. Calcule la Constante de tiempo (τ). De acuerdo con el resultado obtenido. ¿Será posible realizar la medida del tiempo de vida media (t1/2 ) con un Cronómetro? Discuta con sus compañeros, explique y establezcan sus conclusiones.

2.2. Cuando la Constante de tiempo (τ) es muy pequeño, las mediciones de tiempo se dificultan mediante procedimientos que involucran la participación de los sentidos del investigador. Científicamente, se ha demostrado que el ser humano tarda en promedio, como mínimo, dos segundos en activar y desactivar un Cronómetro, error este fatal cuando la constante de tiempo es muy pequeña, esto introduce un error de dos segundos en los experimentos. Lo cual contradice los resultados experimentales, ya que ellos son sumamente muy pequeños a dos segundos. Razón esta por la cual, estamos obligados a desechar estos métodos y nos obliga a buscar métodos experimentales mas eficaces que se ajusten a los resultados experimentales. He aquí la importancia del uso del Osciloscopio.

2.3. MONTE EL CIRCUITO MOSTRADO. Ajuste el Generador de AF/RF para entregar una señal de onda cuadrada de amplitud 1.5 Voltios a una frecuencia de f < 500 Hz. Su resistencia interna Rg = 50Ω, mientras que el Osciloscopio presenta en la entrada una Impedancia Zint = 1MΩ y una Capacidad COsc = 32pF.

2.4. Dibuje el circuito equivalente del circuito y determine teóricamente la constante de tiempo (τ) y el tiempo de vida media (t1/2 ) del circuito. Recuerde que la punta de pruebas del osciloscopio es un atenuador de la señal de entrada que afecta a la señal medida con el osciloscopio

.

2.5. Considere dos parejas R1, C1 y R2, C2 disponibles en su caja de componentes, cuyo producto RC ≤ 0,5 ms. Por ejemplo: 3.9K y 0.1 μF. Para cada una de las parejas mida el tiempo de vida media (t1/2 ) en la pantalla del osciloscopio y encuentre el respectivo valor experimental de la constante de tiempo (τ).

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L

GENERADOR DE

ONDA CUADRADA

Rg = 50Ω


2.6. Dibuje cuidadosamente en papel milimetrado, un ciclo de la forma de onda observada ( VC (t) vs t ) en los extremos del condensador. Use una escala de valores adecuada,. Sobre esta curva dibujada, trace la recta tangente de carga, desde el momento inicial hasta interceptar la cota máxima ( Voltaje máximo del condensador ) y luego, trace una perpendicular desde este punto hasta interceptar el eje de tiempo. Anote este valor de tiempo. Compare este valor con el valor de la constante de tiempo (τ) obtenida experimentalmente. Explique sus observaciones y establezca sus conclusiones.

2.7. A partir de esta grafica obtenga el tiempo de vida media (t1/2 ) y compárelo con el obtenido en forma teórica y experimentalmente. Explique sus observaciones y establezca sus conclusiones.

2.8. Linealice la curva obtenida en el punto 2.5 y encuentre la ecuación matemática que describe el fenómeno observado. Justifique sus resultados.

2.9. Considerando la curva de carga y descarga obtenida en el punto 2.5 en el Osciloscopio, establezca un conjunto de valores de tensión en el condensador, bien sea para el semiciclo de carga o para el semiciclo de descarga. Para cada valor de tensión en el condensador elegido, mida el tiempo que transcurre en alcanzar ese valor de tensión y anótelo en la Tabla siguiente:

VOLTAJE CONDENSADOR

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10

Tiempo( ms ò μs )

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10

2.10. Represente gráficamente en un papel semilogarítmico los valores obtenidos de tensión y tiempo. Disponiendo sobre el eje de las abscisas, el tiempo y en eje de las ordenadas, la tensión en el condensador. De acuerdo con la gráfica obtenida. Determine la ecuación matemática ( para el semiciclo de carga o descarga ) que describe al fenómeno observado. Compare estos resultados con los obtenidos en el punto 2.7, discuta con sus compañeros y establezca sus conclusiones.

3. CIRCUITO RL CON CONSTANTE DE TIEMPO MUY PEQUEÑA

3.1. MONTE EL CIRCUITO MOSTRADO. Ajuste el Generador de AF/RF para entregar una señal de onda cuadrada de amplitud 1.5 Voltios a una frecuencia de f < 1000 Hz. Su resistencia interna Rg = 50Ω, mientras que el Osciloscopio presenta en la entrada una Impedancia Zint = 1MΩ y una Capacidad COsc = 32pF.

3.2. En este caso Usted montara un circuito RL impulsado por una señal de onda cuadrada con la finalidad de estudiar su comportamiento en estado transitorio, en el cual la inductancia L es un parámetro desconocido que deberá ser determinado tanto teóricamente como experimental.

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La inductancia L fue construida previamente, considerando algunos parámetros impuestos por Usted. En su construcción, Usted utilizó un núcleo de aire, arrollando el alambre esmaltado sobre tubo de plástico, basándose en el modelo mostrado en la figura siguiente.

Para determinar el valor teórico de su inductancia aplicó la formula siguiente:

En la cual:

M : Número de capas.N : Número de vueltasR : Radio de la bobina ( cm )

ℓ : Longitud de la bobina ( cm )

3.3. Aplique la formula anterior y obtenga el valor teórico de su inductancia. En la Tabla siguiente anote las características y parámetros de su Inductancia construida:

3.4. Proponga por lo menos dos métodos, uno experimental y otro teórico para determinar el valor de la inductancia L de su bobina, uno para corriente continua y otro para corriente alterna. Estos diseños deberán ser montados en el laboratorio posteriormente para probarlos.

3.5. Entregue al llegar al laboratorio los diseños propuestos al Profesor para su corrección. Anexe además, estos diseños a su informe final al culminar el Trabajo de Laboratorio.

3.6. Montado el circuito, mida el tiempo de vida media (t1/2 ) en la pantalla del osciloscopio y encuentre el respectivo valor experimental de la constante de tiempo (τ). A partir de la constante de tiempo obtenida, encuentre el valor de la inductancia L, explicando detalladamente el proceso seguido para determinarla.

CARACTERÍSTICAS DE LA BOBINA

OBSERVACIONES

NÚMERO DE VUELTAS ( N ) NÚMERO DE CAPAS ( M )RADIO ( R )LONGITUD ( ℓ)CALIBRE DEL CONDUCTOR ( Nº ) DIÁMETRO ( ф ):INDUCTANCIA ESTIMADA ( L )

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L (H) = ( RNM )2/( 9R + 10ℓ)

ℓ

R

N

Inductancia de una sola capa. M = 1

1 KΩ

5 mH

0.001μF

GENERADOR DE

ONDA CUADRADA

Rg = 50ΩVin = 1.5V


3.7. Compare el resultado obtenido en el punto 3.6 con el valor teórico obtenido en la tabla anterior y en sus diseños teóricos tanto para corriente continua como para corriente alterna.

3.8. Dibuje cuidadosamente en papel milimetrado, un ciclo de la forma de onda observada ( VL(t) vs t ) en los extremos de la bobina, Use una escala de valores adecuada,. Sobre esta curva dibujada, trace la recta tangente de carga, desde el momento inicial hasta interceptar la cota máxima ( Voltaje máximo de inductancia ) y luego, trace una perpendicular desde este punto hasta interceptar el eje de tiempo. Anote este valor de tiempo. Compare este valor con el valor de la constante de tiempo (τ) obtenida experimentalmente. Explique sus observaciones y establezca sus conclusiones.

3.9. A partir de esta grafica obtenga el tiempo de vida media (t1/2 ) y compárelo con el obtenido en forma teórica y experimentalmente. Explique sus observaciones y establezca sus conclusiones.

3.10. Linealice la curva obtenida en el punto 3.6 y encuentre la ecuación matemática que describe el fenómeno observado. Justifique sus resultados.

3.11. Considerando la curva de carga y descarga obtenida en el punto 3.6 en el Osciloscopio, establezca un conjunto de valores de tensión en la inductancia, bien sea para el semiciclo de carga o para el semiciclo de descarga. Para cada valor de tensión en la inductancia elegido, mida el tiempo que transcurre en alcanzar ese valor de tensión y anótelo en la Tabla siguiente:

VOLTAJE INDUCTANCIA

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10

Tiempo( ms ò μs )

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10

3.12. Represente gráficamente en un papel semilogarítmico los valores obtenidos de tensión y tiempo. Disponiendo sobre el eje de las abscisas, el tiempo y en eje de las ordenadas, la tensión en la inductancia. De acuerdo con la gráfica obtenida. Determine la ecuación matemática ( para el semiciclo de carga o descarga ) que describe al fenómeno observado. Compare estos resultados con los obtenidos en el punto 3.10. Discuta con sus compañeros y establezca sus conclusiones.

II) ANALISIS DE LA RESPUESTA DE CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN EN ESTADO TRANSITORIO (ANALISIS EN CORRIENTE CONTINUA)

4. CIRCUITO RLC EN ESTADO SUBAMORTIGUAGO ( ωO > 1 / τ ).

4.1. MONTE EL CIRCUITO MOSTRADO. Analice teóricamente el funcionamiento del circuito RLC de acuerdo con los parámetros físicos que intervienen y las características de la señal de

entrada. Determine teóricamente la frecuencia de resonancia ωO, la constante de tiempo τ del circuito y el Periodo T de las oscilaciones.

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4.2. Ajuste el Generador de AF/RF para entregar una señal de onda cuadrada de amplitud 1.5 Voltios a una frecuencia de f= 1000 Hz. Su resistencia interna Rg = 50Ω, mientras que el Osciloscopio presenta en la entrada una Impedancia Zint = 1MΩ y una Capacidad COsc = 32pF.

4.3. Varíe el Potenciómetro y ajústelo a un valor de resistencia menor de 200 Ohmmios, de tal manera de colocar al circuito en estado subamortiguado. A medida que varíe el potenciómetro, observe la forma de onda en el Osciloscopio hasta obtener la onda subamortiguada mostrada. La inductancia L = 5 mH sino la tiene, puede ser sustituida por la bobina construida por Usted,

4.4. Considere dos picos máximos consecutivos de la onda amortiguada y mida los valores de Tensión, por ejemplo V (t1 ) y V ( t2 ) y los instantes de tiempo para los cuales se obtienes esas tensiones t1 y t2 respectivamente. Los picos consecutivos deberán estar separados por un intervalo de tiempo T = 2 ∏/ω ( período de las oscilaciones). Mida el Periodo T= t2 – t1.

Recuerde que la respuesta del circuito en condiciones subamortiguadas, viene dada por la relación:

V(t) = Vmax e- t/τ cos (ω t + ф )

Por lo tanto : V(t1) = Vmax e- t/τ cos (ω t1 + ф ) y V(t2) = Vmax e- t/τ cos (ω t2 + ф ).

Al operar matemáticamente estas ecuaciones Usted deberá obtener que la constante de tiempo del circuito será:

τ = T / ln [V(t1) / V(t2)]

4.5. Obtenido el periodo T encuentre el valor de ω y compare los resultados experimentales con los resultados obtenidos teóricamente. Discuta con sus compañeros y establezcan sus propias conclusiones.

4.6. mida la amplitud inicial de la oscilación en el condensador y en la inductancia, obtenga la carga máxima ( Q max ) , la corriente maxima ( Imax ) que circula y la energía máxima almacenada, tanto en el condensador ( UC max ), como en la inductancia ( UL max ).

4.7. Varíe la frecuencia del generador y encuentre experimentalmente la frecuencia deresonancia fo del circuito. ¿ Cómo se dará cuenta Usted experimentalmente que ha llegado al punto de resonancia del circuito ?. Explique. Discuta con sus compañeros y establezcan sus acuerdos y conclusiones. A medida que varia la frecuencia del generador, desde frecuencias menores a 1 KHz y luego para valores muy superiores a 1KHz. Dibuje algunas de las señales observadas.

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Voltaje

Vmax eR t/2 LVmax

tiempo0

V(t1 ) V(t2 )

t1 t2

5. CIRCUITO RLC EN ESTADOS CRITICAMENTE AMORTIGUADO (1 / τ = ωO) Y SUBREAMORTIGUAGO (1 / τ > ωO).

5.1. Ajuste ahora el potenciómetro hasta observar en le osciloscopio el estado critico, esto es, el estado intermedio entre los casos Sobreamortiguado y Subamortiguado. En este punto Usted observara en la pantalla una onda exponencial muy próxima a una onda cuadra, de seguir variando el potenciómetro pasa inmediatamente a la otra condición. Deténgase en este punto y mida la resistencia del potenciómetro. Este será el valor critico de resistencia ( R C ) del circuito. Compare este valor con el obtenido teóricamente.

5.2. Aumente la resistencia del potenciometro y para algún valor superior de la resistencia critica, dibuje la forma de onda observada en el osciloscopio. Discuta con sus compañeros y establezcan sus propias conclusiones.

Andrés Herrera UNEXPO, Feb 2013

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T LAB Nº 4 ANALISIS DE CIRCUITOS RLC TRANSITORIOS ( VF)

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