Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése1cmcsernak/kontakt/Szaraz_surl... · 2018....

Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok

Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése

Csernák GáborBME Müszaki Mechanikai Tanszék

1 / 21



Száraz súrlódású gerjesztett oszcillátor

Mozgásegyenlet:

mz ′′ + sz = F0 cos (ω0 (τ + τ0))− µmgf (z′) ,

f (z ′) ∈

1 ha z ′ > 0[−µ1/µ, µ1/µ] ha z

′ = 0−1 ha z ′ < 0

,

ms

µ

z( )τgcos(F 0 ωτ+τ0)

Mechanikai modell

Arra keressük a választ, hogy. . .

1 Csak időben és térben szimmetrikus periodikus megoldások vannak?

2 A sebesség előjele hányszor változhat periódusonként?

3 Milyen feltételek mellett kapunk véges időtartamra letapadó

megoldásokat?

4 Lehetnek-e kaotikus megoldások?

2 / 21



Matematikai problémák

Dimenziótlan egyenlet: ẍ + x = cos (Ω (t + t0))− Sf (ẋ)

f (ẋ) ∈

1 ha ẋ > 0[−S1/S,S1/S] ha ẋ = 0

−1 ha ẋ < 0,

-1

1

f(x)

x

S1/S

-S1/S

Nemsima egyenlet; transzcendens egyenlet adja meg az irányváltási

időpontokat → x(t) =?

Lipschitz-feltétel nem teljesül → unicitás?

Többértékű differenciálegyenlet → letapadás!

A letapadás feltétele: |x − cos(Ω(t + t0))| < S1 amikor ẋ = 0.

3 / 21



Példa letapadó megoldásra

xt

v 200

220 240

260 −2

0

2 0

−0.4

−0.8

0.4

0.8

Piros: megoldás; kék: 2S1 széles letapadási tartomány, szélső

pontjai: ±(1 + S1); zöld: letapadás

4 / 21



Példa nem letapadó megoldásra (ilyet

keresünk)

Piros: megoldás; kék: 2S1 széles letapadási tartomány, szélsőpontjai: ±(1 + S1)

5 / 21



Szimmetrikus, nem letapadó megoldás

Amplitúdó:

A =

√

1

(Ω2 − 1)2−

S2 sin2(π/Ω)

Ω2 (cos(π/Ω) + 1)2.

0

10

20

30

0 0.5 1 1.5

A, N

Ω2

Nagyítási görbe, S = 0.3

Letapadási feltétel:

A ≤S1

Ω2.

Periódusonként két előjelváltás feltétele:

H(t ,Ω) = sin(t)+sin(π/Ω) cos(Ωt)+sin(t−π/Ω)Ω sin(Ωt)(1+cos(π/Ω)) ≤AS, t ∈ [0, π/Ω].

(S1 > 1/3 esetén nem kell ellenőrizni.)

6 / 21



Amplitúdó-frekvencia diagram, S = S1 = 0.3

0

10

20

30

0 0.5 1 1.5

A, N

Ω2

Fekete folytonos vonal: képlet; négyzetek: numerikus;kék: letapadások száma/periódus

7 / 21



Amplitúdó-frekvencia diagram

S = S1 = 0.02-nél.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Ω

Am

plitú

dó

, le

tapadási fe

ltéte

l,

leta

p. szám

/10

S1/Ω2

Amp.

Két előjelváltás felt.

8 / 21



Amplitúdó-frekvencia diagram

S = S1 = 0.02-nél.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Ω

Am

plitú

dó

, le

tapadási fe

ltéte

l,

leta

p. szám

/10

1+S

S1/Ω2

Amp.

Két előjelváltás felt.

Kérdés: minek felelnek meg a csúcsok Ω = 0.5-nél és Ω = 0.25-nél? 8 / 21Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése


Aszimmetrikus megoldások I.

A periodikus megoldásokra vonatkozó levezetés nem alkalmazhatóΩ = 1/(2n) esetén! A módosított számítás szerint

x−(t) =

(

x0 − S +1

Ω2 − 1

)

cos(t)−1

Ω2 − 1cos(Ωt) + S,

x+(t) =

(

x0 + S +1

Ω2 − 1

)

cos(t)−1

Ω2 − 1cos(Ωt)− S

is megoldás. x0 egy szabad paraméter, kontinuum sokaságúmegoldás van!

Ilyen megoldások csak kis súrlódási tényezőknél fordulhatnak elő:

1 + S ≤ x0 ≤4n2 + 1

4n2 − 1− S.

1+S ≤4n2 + 1

4n2 − 1−S ⇒ S ≤

1

4n2 − 1(Ω = 1/2 -nél Smax = 1/3)

9 / 21



Aszimmetrikus megoldások II.

- Marginálisan stabil aszimmetrikus megoldások Ω = 1/2, 1/4, . . . -nél- Nullmértékű paraméterhalmaz – van ennek gyakorlati jelentősége?

- S1 > S esetén kiszélesednek az aszimmetriát mutató tartományok.

0

0.5

1

1.5

2

0.3 0.4 0.5 0.6

A,N

�

1+S1

Letapadási feltételek

10 / 21



Bifurkációs diagram a tapadási elmozdulásokból S/S1 paraméterrelés a megoldások szimmetriája, S1 = 0.4, Ω = 0.5. (Licskó Gábor)

S/S1

xstick

S/S1

ℵ

0

0

0.125

0.125

0.25

0.25

0.375

0.375

0.625

0.625

0.75

0.75

0.875

0.875

1

1

−1.5

0

0

1.5

3

IIIIII

IV

V

ℵ = |∑n

i=1 x (σi ) |, σi → ẋ (σi) = 0 (σi ∈[

0; 2πΩ]

, i = 1, ..., n)

11 / 21



Aszimmetrikus és szimmetrikus megoldások a szimmetria-sértésnél

t

x

−1.5

1.5

10 40

Aszimmetrikus megoldásS/S1 = 0.75-re.

t

x

−1.5

1.5

10 40

Szimmetrikus megoldásS/S1 = 1-re.

A további paraméterek rendre S1 = 0.4 és Ω = 0.5.

12 / 21



A maximális Ljapunov-exponens kiszámítása

1. Direkt numerikus módszerrel

Precíz definíció: Λ = limt→∞

limr0→0

1

tln

|r(t)|

|r0|

Diszkretizált alak: Λ = 1N

N∑

i=1

1

∆tln

|di+1|

|di |, ahol

di =

√

(x1(ti )− x2(ti ))2+ (ẋ1(ti)− ẋ2(ti))

2a trajektóriák fázissíkbeli

abszolút távolsága az i-edik időpillanatban.

13 / 21






limr0→0

1

tln

|r(t)|

|r0|


N∑

i=1

1

∆tln

|di+1|

|di |, ahol

di =

√

(x1(ti )− x2(ti ))2+ (ẋ1(ti)− ẋ2(ti))



Gondok a módszerrel

Az egyik megoldás letapad, míg a másik nem (a távolodás nem biztos,

hogy exponenciális).

Mindkét megoldás ugyanott tapad le.

13 / 21






limr0→0

1

tln

|r(t)|

|r0|


N∑

i=1

1

∆tln

|di+1|

|di |, ahol

di =

√

(x1(ti )− x2(ti ))2+ (ẋ1(ti)− ẋ2(ti))



Gondok a módszerrel

Az egyik megoldás letapad, míg a másik nem (a távolodás nem biztos,

hogy exponenciális).

Mindkét megoldás ugyanott tapad le.

Ezeket a problémás eseteket kiszűrtük a számítás során.

13 / 21



2. Káosz-szinkronizáció

Kibővített, egyirányúan kapcsolt egyenletrendszer.

ẋ1 = x2

ẋ2 = −x1 + cos (Ω (t + t0))− Sf (ẋ1)

ẋ3 = x4 + q (x1 − x3)

ẋ4 = −x3 + cos (Ω (t + t0))− Sf (ẋ3) + q (x2 − x4)

Bifurkációs számítás a q kapcsolási paraméterre.Ha x1 − x3 eltűnik ⇒ q ≡ Λ.

Megjegyzés: ezzel a módszerrel csak pozitív exponens számítható.

A. Stefanski and T. Kapitaniak. Using chaos synchronisation to

estimate the largest Lyapunov exponent of nonsmooth systems.

Discrete Dynamics in Nature and Society 4:3, 2000.

14 / 21



q

x1−

x3

q = 0.0073

−0.25

0.25

0.001 0.01

Egy példa a számításra. A szinkronizáció q = 0.0073-nál következikbe, vagyis Λ = 0.0073. (S/S1 = 0.125, Ω = 0.5)

15 / 21



Eredmények (a korábbi bifurkációs diagram nagyítása)

S/S1

xstick

S/S1

Λ

0

0

0.075

0.075

0.175

0.175

0.25

0.25

0.5

2

−0.015

0

0.01

/ - direkt számítás (1), o - szinkronizációs módszer (2)

Vissza...

16 / 21



Tranziens káosz

Negatív csúcs a Ljapunov-exponensben egy kaotikus ablak közepén

(S/S1 = 0.116).

0

-1.5

1.5

2000 2100

x

t

x

-2

1.5

0

t5010 5090

A kaotikus viselkedés (bal) három periódusú mozgásba vált (jobb).(S/S1 = 0.116, S1 = 0.4, Ω = 0.5)

17 / 21



Egymás utáni letapadások pókháló diagramja

xn

xn+

1

0.85

1.1

0.85 1.1

A paraméterek

S/S1 = 0.11625,Ω = 0.5.

18 / 21




xn

xn+

1

0.85

1.1

0.85 1.1

A paraméterek

S/S1 = 0.11625,Ω = 0.5.

0.85 1.1

0.85

1.1

xn

xn+

1

Közelítő szakaszosan

lineáris leképezés

18 / 21




xn

xn+

1

0.85

1.1

0.85 1.1

A paraméterek

S/S1 = 0.11625,Ω = 0.5.

0.85 1.1

0.85

1.1

xn

xn+

1



xn

xn+

1

0.8445

0.8452

0.8444 0.845

18 / 21




xn

xn+

1

0.85

1.1

0.85 1.1

A paraméterek

S/S1 = 0.11625,Ω = 0.5.

0.85 1.1

0.85

1.1

xn

xn+

1



xn

xn+

1

0.8445

0.8452

0.8444 0.845

A szakaszosan lineáris 1D

leképezés Ljapunov-exponense

könnyen számítható a

meredekségekből; osztva a két

letapadás közti τ̄ átlagos idővel:

λflow = λmap/τ̄ = 0.005748.

18 / 21



Bifurkációs diagram és Ljapunov-exponens

S/S1

xstick

S/S1

Λ

0

0

0.075

0.075

0.175

0.175

0.25

0.25

0.5

2

−0.015

0

0.01

/ - direkt módszer, o - szinkronizációs módszer, o - 1D leképezésből

19 / 21



E-mail: [email protected]

Köszönöm a figyelmet!

20 / 21



A letapadási számok változása, S = 0.3

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

135 140 145 150 155 160 165

x

t

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

130 135 140 145 150 155 160

x

t

a. Ω = 0.23 b. Ω = 0.236

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

31137 31140 31143 31146 31149

x

t

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

31140 31143 31146 31149 31152

x

t

c. Ω = 0.495 d. Ω = 0.5

21 / 21


BevezetésAnalitikus megoldásNumerikus vizsgálatok"Brute force" számításLjapunov-exponensTranziens káosz

Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése1cmcsernak/kontakt/Szaraz_surl... · 2018....

Documents

Transcript of Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése1cmcsernak/kontakt/Szaraz_surl... · 2018....