Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni...

56
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti matrice A Za kvadratnu matricu A broj λ i vektor ~ x 6= ~ 0 koji su rjeˇ senja jednadˇ zbe A ~ x = λ ~ x zovemo svojstvena vrijednost matrice A i svojstveni vektor matrice A . Kaˇ zemo da je ~ x svojstveni vektor pridruˇ zen svojstvenoj vrijednosti λ . Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 1 / 23

Transcript of Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni...

Page 1: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti matrice A

Za kvadratnu matricu A broj λ i vektor ~x 6=~0 koji su rjesenja jednadzbe

A~x = λ~x

zovemo svojstvena vrijednost matrice A i svojstveni vektor matrice A .Kazemo da je~x svojstveni vektor pridruzen svojstvenoj vrijednosti λ .

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 1 / 23

Page 2: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor

Skup svih svojstvenih vrijednosti λ (za koje je A~x = λ~x za neki~x 6=~0)zove se spektar od A .

Potprostor svih svojstvenih vektora~x koji pripadaju svojstvenojvrijednosti λ (tj. za koje je A~x = λ~x) zove sesvojstveni potprostor od A koji pripada svojstvenoj vrijednosti λ .

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 2 / 23

Page 3: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor

Skup svih svojstvenih vrijednosti λ (za koje je A~x = λ~x za neki~x 6=~0)zove se spektar od A .

Potprostor svih svojstvenih vektora~x koji pripadaju svojstvenojvrijednosti λ (tj. za koje je A~x = λ~x) zove sesvojstveni potprostor od A koji pripada svojstvenoj vrijednosti λ .

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 2 / 23

Page 4: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Postupak

Kako odrediti λ i ~x 6=~0 za koje je

A~x = λ~x ?

A~x = λ I ~x ⇒ ( A − λ I )~x = ~0

~x =~0 je trivijalno rjesenje, a ako ima i drugih znaci da~x =~0 nijejedinstveno. To znaci da matrica A−λI nije regularna, tj. vrijedi

det(A−λI) = 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 3 / 23

Page 5: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Postupak

Kako odrediti λ i ~x 6=~0 za koje je

A~x = λ~x ?

A~x = λ I ~x ⇒ ( A − λ I )~x = ~0

~x =~0 je trivijalno rjesenje, a ako ima i drugih znaci da~x =~0 nijejedinstveno. To znaci da matrica A−λI nije regularna, tj. vrijedi

det(A−λI) = 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 3 / 23

Page 6: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Postupak

Kako odrediti λ i ~x 6=~0 za koje je

A~x = λ~x ?

A~x = λ I ~x ⇒ ( A − λ I )~x = ~0

~x =~0 je trivijalno rjesenje, a ako ima i drugih znaci da~x =~0 nijejedinstveno. To znaci da matrica A−λI nije regularna, tj. vrijedi

det(A−λI) = 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 3 / 23

Page 7: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Postupak

Kako odrediti λ i ~x 6=~0 za koje je

A~x = λ~x ?

A~x = λ I ~x ⇒ ( A − λ I )~x = ~0

~x =~0 je trivijalno rjesenje, a ako ima i drugih znaci da~x =~0 nijejedinstveno. To znaci da matrica A−λI nije regularna, tj. vrijedi

det(A−λI) = 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 3 / 23

Page 8: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Postupak

• det(A−λI) = 0 je uvjet iz kojeg nalazimo λ

• Za nadeni λ standardno (Gaussovim postupkom eliminacije) iz( A − λ I )~x = ~0 nalazimo~x

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 4 / 23

Page 9: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Postupak

• det(A−λI) = 0 je uvjet iz kojeg nalazimo λ

• Za nadeni λ standardno (Gaussovim postupkom eliminacije) iz( A − λ I )~x = ~0 nalazimo~x

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 4 / 23

Page 10: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.

Primjer 1. [−5 22 −2

][x1x2

]= λ

[x1x2

]

[−5 22 −2

]−λ

[1 00 1

]=

[−5−λ 2

2 −2−λ

]∣∣∣∣ −5−λ 2

2 −2−λ

∣∣∣∣= 10+7λ+λ2−4 = 0

ovo je uvjet za λ

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 5 / 23

Page 11: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.

Primjer 1. [−5 22 −2

][x1x2

]= λ

[x1x2

][−5 22 −2

]−λ

[1 00 1

]=

[−5−λ 2

2 −2−λ

]

∣∣∣∣ −5−λ 22 −2−λ

∣∣∣∣= 10+7λ+λ2−4 = 0

ovo je uvjet za λ

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 5 / 23

Page 12: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.

Primjer 1. [−5 22 −2

][x1x2

]= λ

[x1x2

][−5 22 −2

]−λ

[1 00 1

]=

[−5−λ 2

2 −2−λ

]∣∣∣∣ −5−λ 2

2 −2−λ

∣∣∣∣= 10+7λ+λ2−4 = 0

ovo je uvjet za λ

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 5 / 23

Page 13: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.

λ2 +7λ+6 = 0 ⇒ λ1,2 =−1,−6

skup {−1,−6} je SPEKTAR matrice[−5 22 −2

]SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 =−1[

−5 22 −2

][x1x2

]= (−1)

[x1x2

]su rjesenja sustava

−5x1 + 2x2 = −x12x1 − 2x2 = −x2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 6 / 23

Page 14: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.

λ2 +7λ+6 = 0 ⇒ λ1,2 =−1,−6

skup {−1,−6} je SPEKTAR matrice[−5 22 −2

]

SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 =−1[−5 22 −2

][x1x2

]= (−1)

[x1x2

]su rjesenja sustava

−5x1 + 2x2 = −x12x1 − 2x2 = −x2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 6 / 23

Page 15: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.

λ2 +7λ+6 = 0 ⇒ λ1,2 =−1,−6

skup {−1,−6} je SPEKTAR matrice[−5 22 −2

]SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 =−1[

−5 22 −2

][x1x2

]= (−1)

[x1x2

]

su rjesenja sustava

−5x1 + 2x2 = −x12x1 − 2x2 = −x2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 6 / 23

Page 16: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.

λ2 +7λ+6 = 0 ⇒ λ1,2 =−1,−6

skup {−1,−6} je SPEKTAR matrice[−5 22 −2

]SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 =−1[

−5 22 −2

][x1x2

]= (−1)

[x1x2

]su rjesenja sustava

−5x1 + 2x2 = −x12x1 − 2x2 = −x2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 6 / 23

Page 17: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.

−4x1 + 2x2 = 02x1 − x2 = 0

x2 = 2x1

Svojstveni vektori za λ =−1

~x =

[x12x1

]= x1

[12

]Za λ =−6 slicno nalazimo svojstvene vektore oblika

~x =

[−2x2

x2

]= x2

[−21

]

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 7 / 23

Page 18: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.

−4x1 + 2x2 = 02x1 − x2 = 0

x2 = 2x1

Svojstveni vektori za λ =−1

~x =

[x12x1

]= x1

[12

]Za λ =−6 slicno nalazimo svojstvene vektore oblika

~x =

[−2x2

x2

]= x2

[−21

]

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 7 / 23

Page 19: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.

−4x1 + 2x2 = 02x1 − x2 = 0

x2 = 2x1

Svojstveni vektori za λ =−1

~x =

[x12x1

]= x1

[12

]

Za λ =−6 slicno nalazimo svojstvene vektore oblika

~x =

[−2x2

x2

]= x2

[−21

]

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 7 / 23

Page 20: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.

−4x1 + 2x2 = 02x1 − x2 = 0

x2 = 2x1

Svojstveni vektori za λ =−1

~x =

[x12x1

]= x1

[12

]Za λ =−6 slicno nalazimo svojstvene vektore oblika

~x =

[−2x2

x2

]= x2

[−21

]

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 7 / 23

Page 21: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.

Dakle, matrica A =

[−5 22 −2

]predstavlja geometrijsku

transformaciju ravnine koja tocke pravca kroz ishodiste s vektoromsmjera

• ~s =

[12

]preslikava u tocke tog istog pravca

• ~t =[−21

]preslikava u tocke tog istog pravca

Uocimo da su smjerovi medusobno okomiti. To je uvijek tako zasimetricne matrice.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 8 / 23

Page 22: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.

Dakle, matrica A =

[−5 22 −2

]predstavlja geometrijsku

transformaciju ravnine koja tocke pravca kroz ishodiste s vektoromsmjera

• ~s =

[12

]preslikava u tocke tog istog pravca

• ~t =[−21

]preslikava u tocke tog istog pravca

Uocimo da su smjerovi medusobno okomiti. To je uvijek tako zasimetricne matrice.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 8 / 23

Page 23: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 9 / 23

Page 24: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.

Napomenimo jos da je

A =

[−5 22 −2

]zapis matrice A u pravokutnom koordinatnom sustavu odredenom

jedinicnim vektorima ~i =[

10

], ~j =

[01

].

U koordinatnom sustavu odredenom svojstvenim vektorima

~s =

[12

], ~t =

[−21

]ima zapis

A =

[−1 00 −6

].

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 10 / 23

Page 25: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.

Napomenimo jos da je

A =

[−5 22 −2

]zapis matrice A u pravokutnom koordinatnom sustavu odredenom

jedinicnim vektorima ~i =[

10

], ~j =

[01

].

U koordinatnom sustavu odredenom svojstvenim vektorima

~s =

[12

], ~t =

[−21

]ima zapis

A =

[−1 00 −6

].

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 10 / 23

Page 26: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.

Primjer 2. [1 22 4

][x1x2

]= λ

[x1x2

]

[1 22 4

]−λ

[1 00 1

]=

[1−λ 2

2 4−λ

]

∣∣∣∣ 1−λ 22 4−λ

∣∣∣∣= λ2−5λ = 0

ovo je uvjet za λ

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 11 / 23

Page 27: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.

Primjer 2. [1 22 4

][x1x2

]= λ

[x1x2

]

[1 22 4

]−λ

[1 00 1

]=

[1−λ 2

2 4−λ

]

∣∣∣∣ 1−λ 22 4−λ

∣∣∣∣= λ2−5λ = 0

ovo je uvjet za λ

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 11 / 23

Page 28: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.

Primjer 2. [1 22 4

][x1x2

]= λ

[x1x2

]

[1 22 4

]−λ

[1 00 1

]=

[1−λ 2

2 4−λ

]

∣∣∣∣ 1−λ 22 4−λ

∣∣∣∣= λ2−5λ = 0

ovo je uvjet za λ

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 11 / 23

Page 29: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.

λ2−5λ = λ(λ−5) = 0 ⇒ λ1,2 = 0,5

skup {0,5} je SPEKTAR matrice[

1 22 4

]

SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 = 0[1 22 4

][x1x2

]=

[00

]

su rjesenja sustavax1 + 2x2 = 0

2x1 + 4x2 = 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 12 / 23

Page 30: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.

λ2−5λ = λ(λ−5) = 0 ⇒ λ1,2 = 0,5

skup {0,5} je SPEKTAR matrice[

1 22 4

]

SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 = 0[1 22 4

][x1x2

]=

[00

]

su rjesenja sustavax1 + 2x2 = 0

2x1 + 4x2 = 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 12 / 23

Page 31: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.

λ2−5λ = λ(λ−5) = 0 ⇒ λ1,2 = 0,5

skup {0,5} je SPEKTAR matrice[

1 22 4

]

SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 = 0[1 22 4

][x1x2

]=

[00

]

su rjesenja sustavax1 + 2x2 = 0

2x1 + 4x2 = 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 12 / 23

Page 32: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.

λ2−5λ = λ(λ−5) = 0 ⇒ λ1,2 = 0,5

skup {0,5} je SPEKTAR matrice[

1 22 4

]

SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 = 0[1 22 4

][x1x2

]=

[00

]

su rjesenja sustavax1 + 2x2 = 0

2x1 + 4x2 = 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 12 / 23

Page 33: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.

Ovaj sustav ima rjesenja

~x =

[−2x2

x2

]= x2

[−21

]

to su upravo svojstveni vektori za λ = 0 .Za λ = 5 slicno nalazimo svojstvene vektore oblika

~x =

[x12x1

]= x1

[12

]

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 13 / 23

Page 34: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.

Ovaj sustav ima rjesenja

~x =

[−2x2

x2

]= x2

[−21

]to su upravo svojstveni vektori za λ = 0 .

Za λ = 5 slicno nalazimo svojstvene vektore oblika

~x =

[x12x1

]= x1

[12

]

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 13 / 23

Page 35: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.

Ovaj sustav ima rjesenja

~x =

[−2x2

x2

]= x2

[−21

]to su upravo svojstveni vektori za λ = 0 .Za λ = 5 slicno nalazimo svojstvene vektore oblika

~x =

[x12x1

]= x1

[12

]

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 13 / 23

Page 36: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.

U koordinatnom sustavu odredenom svojstvenim vektorima[−21

],[

12

], matrica

[1 22 4

]ima zapis A =

[0 00 5

].

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 14 / 23

Page 37: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 3.

Primjer 3.Za matricu [

0 00 4

]neposredno ocitamo svojstvene vrijednosti λ1 = 0 i λ2 = 4 .

SVOJSTVENI VEKTORI za λ1 = 0 zadovoljavaju jednadzbu[0 00 4

][x1x2

]=

[00

]

Iz ove jednadzbe slijedi da je x2 = 0 dok za x1 mozemo uzeti bilo kojibroj.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 15 / 23

Page 38: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 3.

Primjer 3.Za matricu [

0 00 4

]neposredno ocitamo svojstvene vrijednosti λ1 = 0 i λ2 = 4 .

SVOJSTVENI VEKTORI za λ1 = 0 zadovoljavaju jednadzbu[0 00 4

][x1x2

]=

[00

]

Iz ove jednadzbe slijedi da je x2 = 0 dok za x1 mozemo uzeti bilo kojibroj.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 15 / 23

Page 39: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 3.

Primjer 3.Za matricu [

0 00 4

]neposredno ocitamo svojstvene vrijednosti λ1 = 0 i λ2 = 4 .

SVOJSTVENI VEKTORI za λ1 = 0 zadovoljavaju jednadzbu[0 00 4

][x1x2

]=

[00

]

Iz ove jednadzbe slijedi da je x2 = 0 dok za x1 mozemo uzeti bilo kojibroj.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 15 / 23

Page 40: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 3.

SVOJSTVENI VEKTORI za vrijednost λ1 = 0 su vektori oblika

~x =

[x10

]= x1

[10

]

Slicno, za vrijednost λ2 = 4 SVOJSTVENI VEKTORI su rjesenjajednadzbe

[0 00 4

][x1x2

]= 4

[x1x2

]Rjesenja su vektori oblika

~x =

[0x2

]= x2

[01

]

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 16 / 23

Page 41: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 3.

SVOJSTVENI VEKTORI za vrijednost λ1 = 0 su vektori oblika

~x =

[x10

]= x1

[10

]Slicno, za vrijednost λ2 = 4 SVOJSTVENI VEKTORI su rjesenjajednadzbe

[0 00 4

][x1x2

]= 4

[x1x2

]

Rjesenja su vektori oblika

~x =

[0x2

]= x2

[01

]

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 16 / 23

Page 42: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 3.

SVOJSTVENI VEKTORI za vrijednost λ1 = 0 su vektori oblika

~x =

[x10

]= x1

[10

]Slicno, za vrijednost λ2 = 4 SVOJSTVENI VEKTORI su rjesenjajednadzbe

[0 00 4

][x1x2

]= 4

[x1x2

]Rjesenja su vektori oblika

~x =

[0x2

]= x2

[01

]

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 16 / 23

Page 43: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 3.

Matrica[

0 00 4

]predstavlja geometrijsku transformaciju koja je

kompozicija ortogonalne projekcije na y -os i rastezanja za faktor 4 .

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 17 / 23

Page 44: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.

Primjer 4. 2 1 11 2 11 1 2

x1x2x3

= λ

x1x2x3

2 1 11 2 11 1 2

−λ

1 0 00 1 00 0 1

=

2−λ 1 11 2−λ 11 1 2−λ

∣∣∣∣∣∣

2−λ 1 11 2−λ 11 1 2−λ

∣∣∣∣∣∣= · · ·= (λ−1)2(4−λ) = 0

ovo je uvjet za λ

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 18 / 23

Page 45: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.

Primjer 4. 2 1 11 2 11 1 2

x1x2x3

= λ

x1x2x3

2 1 1

1 2 11 1 2

−λ

1 0 00 1 00 0 1

=

2−λ 1 11 2−λ 11 1 2−λ

∣∣∣∣∣∣2−λ 1 1

1 2−λ 11 1 2−λ

∣∣∣∣∣∣= · · ·= (λ−1)2(4−λ) = 0

ovo je uvjet za λ

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 18 / 23

Page 46: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.

Primjer 4. 2 1 11 2 11 1 2

x1x2x3

= λ

x1x2x3

2 1 1

1 2 11 1 2

−λ

1 0 00 1 00 0 1

=

2−λ 1 11 2−λ 11 1 2−λ

∣∣∣∣∣∣

2−λ 1 11 2−λ 11 1 2−λ

∣∣∣∣∣∣= · · ·= (λ−1)2(4−λ) = 0

ovo je uvjet za λ

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 18 / 23

Page 47: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.

(λ−1)2(4−λ) = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 1, λ3 = 4

skup {1,4} je SPEKTAR matrice

2 1 11 2 11 1 2

SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 = λ2 = 1 2 1 1

1 2 11 1 2

x1x2x3

=

x1x2x3

su rjesenja sustava

x1 + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 19 / 23

Page 48: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.

(λ−1)2(4−λ) = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 1, λ3 = 4

skup {1,4} je SPEKTAR matrice

2 1 11 2 11 1 2

SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 = λ2 = 1 2 1 11 2 11 1 2

x1x2x3

=

x1x2x3

su rjesenja sustava

x1 + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 19 / 23

Page 49: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.

(λ−1)2(4−λ) = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 1, λ3 = 4

skup {1,4} je SPEKTAR matrice

2 1 11 2 11 1 2

SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 = λ2 = 1 2 1 1

1 2 11 1 2

x1x2x3

=

x1x2x3

su rjesenja sustava

x1 + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 19 / 23

Page 50: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.

(λ−1)2(4−λ) = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 1, λ3 = 4

skup {1,4} je SPEKTAR matrice

2 1 11 2 11 1 2

SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 = λ2 = 1 2 1 1

1 2 11 1 2

x1x2x3

=

x1x2x3

su rjesenja sustava

x1 + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 19 / 23

Page 51: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.

Ovaj sustav ima rjesenja

~x =

x1x2x3

=

−u−vuv

= u

−110

+v

−101

Svojstveni vektori

−110

,

−101

razapinju dvodimenzionalni

potprostor i svaki je svojstveni vektor koji pripada vrijednostiλ1 = λ2 = 1 linearna kombinacija ovih vektora. (Uocite da je 1 dvostrukikorijen jednadzbe za λ . )

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 20 / 23

Page 52: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.

Slicno, SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ3 = 4 surjesenja sustava

−2x1 + x2 + x3 = 0x1 − 2x2 + x3 = 0x1 + x2 − 2x3 = 0

Ovaj sustav ima rjesenja

~x =

x1x2x3

=

uuu

= u

111

Svojstveni vektor

111

razapinje jednodimenzionalan potprostor.

Svaki je svojstveni vektor koji pripada vrijednosti 4 kolinearan s ovimvektorom.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 21 / 23

Page 53: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.

Slicno, SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ3 = 4 surjesenja sustava

−2x1 + x2 + x3 = 0x1 − 2x2 + x3 = 0x1 + x2 − 2x3 = 0

Ovaj sustav ima rjesenja

~x =

x1x2x3

=

uuu

= u

111

Svojstveni vektor

111

razapinje jednodimenzionalan potprostor.

Svaki je svojstveni vektor koji pripada vrijednosti 4 kolinearan s ovimvektorom.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 21 / 23

Page 54: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.

Matrica

2 1 11 2 11 1 2

u koordinatnom sustavu odredenom svojstvenim

vektorima

−110

,

−101

,

111

ima prikaz

1 0 00 1 00 0 4

.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 22 / 23

Page 55: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Zadaci

Zadatak 1.Odredite svojstvene vrijednosti i pripadne svojstvene vektore matrica:

a)[

2 −12 5

]b)[

0 −11 0

]c)[

1 02 1

]d)[

2 14 2

]

Zadatak 2.Odredite svojstvene vrijednosti i pripadne svojstvene vektore matrice 3 2 1

0 2 20 0 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 23 / 23

Page 56: Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Zadaci

Zadatak 1.Odredite svojstvene vrijednosti i pripadne svojstvene vektore matrica:

a)[

2 −12 5

]b)[

0 −11 0

]c)[

1 02 1

]d)[

2 14 2

]

Zadatak 2.Odredite svojstvene vrijednosti i pripadne svojstvene vektore matrice 3 2 1

0 2 20 0 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 23 / 23