Support Vector Machines - Department of Statistics - Stanford
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brightbluecmyk1,.5,0,0 1 Support Vector Machines Based on ESL and papers by Vladimir Vapnik, Trevor Hastie, Saharon Rosset, Rob Tibshirani, Ji Zhu
Transcript of Support Vector Machines - Department of Statistics - Stanford
brightbluecmyk1,.5,0,0
1
Support Vector Machines
Based on ESL and papers by Vladimir Vapnik, Trevor Hastie,
Saharon Rosset, Rob Tibshirani, Ji Zhu
2
Outline
• Optimal separating hyperplanes and relaxations
• SVMs and kernel inner-products
• SVM as a function estimation problem
• LARS- style algorithm for SVMs
3
Maximum Margin Classifier
Vapnik(1995)
xi ∈ IRp, yi ∈ {−1, 1}•
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PSfrag replacements
margin
ξ∗1
ξ∗2
ξ∗3
ξ∗4
ξ∗5
C
C
xT β + β0 = 0
maxβ,β0,‖β‖=1
C
subject to yi(xTi β + β0) ≥ C, i = 1, . . . , N.
4
Overlapping Classes
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•
•
••
PSfrag replacements
“soft” margin
ξ∗1ξ∗
1ξ∗
1
ξ∗2ξ∗
2ξ∗
2
ξ∗3ξ∗
3
ξ∗4ξ∗
4ξ∗
4 ξ∗5
C
C
xT β + β0 = 0
ξ∗i = Cξi
maxβ,β0,‖β‖=1
C
subject to yi(xTi β + β0) ≥ C(1 − ξi), ξi ≥ 0,
∑
i ξi ≤ B
5
Equivalent form of problem
Define C = 1/||β|| and drop norm constraint on β, as in ESL sec
4.2:
min ||β||subject to yi(x
Ti β + β0) ≥ 1 − ξi, ξi ≥ 0,
∑
i ξi ≤ B
This is the original form given by Vapnik; we find it confusing due
to the fixed scale“1” in the constraint.
6
Example
.. . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 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Training Error: 0.270Test Error: 0.288Bayes Error: 0.210PSfrag replacements
Fitted function is f(x) = xT β + β0
Resulting classifier is G(x) = sign[f(x)]
7
Quadratic Programming Solution
After a lot of *stuff* we arrive at a Lagrange dual
LD =
N∑
i=1
αi −1
2
N∑
i=1
N∑
i′=1
αiαi′yiyi′xTi xi′
which we maximize subject to constraints (involving B as well).
The solution is expressed in terms of fitted Lagrange multipliers αi:
β =
N∑
i=1
αiyixi
Some fraction of αi are exactly zero (from KKT conditions); the xi
for which αi > 0 are called support points S.
f(x) = xT β + β0 =∑
i∈S
αiyixT xi + β0
8
Microarray example
16, 063 genes; 144 training, 54 test samples, 14 classes
9
Methods CV errors (SE) Test errors Number of
Out of 144 Out of 54 Genes Used
1. Nearest shrunken centroids 35 (5.0) 17 6,520
2. L2-penalized discriminant 25 (4.1) 12 16,063
analysis
3. Support vector classifier 26 (4.2) 14 16,063
4. Lasso regression (one vs all) 30.7 (1.8) 12.5 1,429
5. k-nearest neighbors 41 (4.6) 26 16,063
6. L2-penalized multinomial 26 (4.2) 15 16,063
7. L1-penalized multinomial 17 (2.8) 13 269
8. Elastic-net penalized 22 (3.7) 11.8 384
multinomial
10
Flexible Classifiers
SVM - Degree-4 Polynomial in Feature Space
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Training Error: 0.180Test Error: 0.245Bayes Error: 0.210
Enlarge the feature space via basis expansions, e.g. polynomials of
total degree 4. h(x) = (h1(x), h2(x), . . . , hM (x))
f(x) = h(x)T β + β0
11
The kernel trick
• Consider the ridge regression prediction
y = X(XTX + λIp)−1
XTy
If p is large, computations with XT X + λI (p × p matrix) may be
daunting. Instead write this as
y = (XXT + λIN )−1
XXTy
• matrix is now only N × N , and if N is small, this is much simpler
computationally.
• note that we need only to compute inner products of the
observations, to compute XXT This argument also applies if X
represents not the original features but transformations of them.
Hence we only need to define inner products in the transformed
space; we don’t need to actually transform the features!
12
SVM and Kernels
LD =N
∑
i=1
αi −1
2
N∑
i=1
N∑
i′=1
αiαi′yiyi′〈h(xi), h(xi′)〉
f(x) = h(x)T β + β0
=N
∑
i=1
αiyi〈h(x), h(xi)〉 + β0.
LD and solution f(x) involve h(x) only through inner-products
K(x, x′) = 〈h(x), h(x′)〉
Given a suitable positive kernel K(x, x′), don’t need h(x) at all!
f(x) =∑
i∈S
αiyiK(x, xi) + β0
13
Popular Kernels
K(x, x′) is a symmetric, positive (semi-)definite function.
dth deg. poly.: K(x, x′) = (1 + 〈x, x′〉)d
radial basis: K(x, x′) = exp(−‖x − x′‖2/c)
Example: 2nd degree polynomial in IR2.
K(x, x′) = (1 + 〈x, x′〉)2
= (1 + x1x′1 + x2x
′2)
2
= 1 + 2x1x′1 + 2x2x
′2 + (x1x
′1)
2 + (x2x′2)
2 + 2x1x′1x2x
′2
Then M = 6, and if we choose
h1(x) = 1, h2(x) =√
2x1, h3(x) =√
2x2, h4(x) = x21, h5(x) = x2
2,
and h6(x) =√
2x1x2,
then K(x, x′) = 〈h(x), h(x′)〉.
14
Dim h(x) infinite
SVM - Radial Kernel in Feature Space
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Training Error: 0.160Test Error: 0.218Bayes Error: 0.210
• Fraction of support points depends on overlap; here 45%.
• The smaller B, the smaller the overlap, and more wiggly the
function.
• B controls generalization error.
15
Curse of Dimensionality
Support Vector Machines can suffer in high dimensions.
Test Error (SE)
Method No Noise Features Six Noise Features
1 SV Classifier 0.450 (0.003) 0.472 (0.003)
2 SVM/poly 2 0.078 (0.003) 0.152 (0.004)
3 SVM/poly 5 0.180 (0.004) 0.370 (0.004)
4 SVM/poly 10 0.230 (0.003) 0.434 (0.002)
5 BRUTO 0.084 (0.003) 0.090 (0.003)
6 MARS 0.156 (0.004) 0.173 (0.005)
Bayes 0.029 0.029
The addition of 6 noise features to the 4-dimensional feature space
causes the performance of the SVM to degrade. The true decision
boundary is the surface of a sphere, hence a quadratic monomial
(additive) function is sufficient.
16
SVM via Loss + Penalty
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Binomial Log-likelihoodSupport Vector
PSfrag replacements
yf(x) (margin)
Loss
With f(x) = h(x)T β+β0 and
yi ∈ {−1, 1}, consider
minβ0, β
NX
i=1
[1−yif(xi)]++λ‖β‖2
Solution identical to SVM so-
lution, with λ = λ(B).
In general minβ0, β
NX
i=1
L[yi, f(xi)]+λ‖β‖2
17
Loss Functions
For Y ∈ {−1, 1}Log-likelihood: L[Y, f(X)] = log
(
1 + e−Y f(X))
• (negative) binomial log-likelihood or deviance.
• estimates the logit
f(X) = logPr(Y = 1|X)
Pr(Y = −1|X)
SVM: L[Y, f(X)] = (1 − Y f(X))+.
• Called “hinge loss”
• Estimates the classifier (threshold)
C(x) = sign
(
Pr(Y = 1|X) − 1
2
)
18
SVM and Function Estimation
SVM with general kernel K minimizes:
N∑
i=1
(1 − yif(xi))+ + λ‖f‖2HK
with f = b + h, h ∈ HK , b ∈ R. HK is the reproducing kernel
Hilbert space (RKHS) of functions generated by the kernel K. The
norm ‖f‖HKis generally interpreted as a roughness penalty.
More generally we can optimize
N∑
i=1
L(yi, f(xi)) + λ‖f‖2HK
19
Quadratic Programming (path algorithm)
LP :N
∑
i=1
ξi +λ
2βT β +
N∑
i=1
αi(1 − yif(xi) − ξi) −N
∑
i=1
γiξi
∂
∂β: β =
1
λ
N∑
i=1
αiyixi
∂
∂β0:
N∑
i=1
yiαi = 0,
along with the KKT conditions
αi(1 − yif(xi) − ξi) = 0
γiξi = 0
1 − αi − γi = 0
20
Implications of the KKT conditions
Observations are in one of three states:
• L = {i : yif(xi) < 1, αi = 1}, L for Left of the elbow
• E = {i : yif(xi) = 1, 0 ≤ αi ≤ 1}, E for Elbow
• R = {i : yif(xi) > 1, αi = 0}, R for Right of the elbow
- Start with λ large, and the margin very wide. All αi = 1 (if
N+ = N−). As λ ↓ 0, the margin gets narrower.
- For the narrowing margin to pass through a point, it’s α has to
change from 1 to 0 (or from 0 to 1). While this is happening,
the point has to linger on the margin. Hence the point moves
from L to R via E .
- The condition∑
i yiαi = 0 demands a certain balance on
opposite margins.
21
Example
−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
−1.
0−
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6PSfrag replacements
1/||β||f(x) = 0
f(x) = +1
f(x) = −1
• λ = 0.5, and the width
of the soft margin is
2/||β|| = 2 × 0.587.
• Two hollow points {3, 5}are misclassified, while
the two solid points
{10, 12} are correctly
classified, but on the
wrong side of their mar-
gin f(x) = +1; each of
these has ξi > 0.
• The three square shaped
points {2, 6, 7} are ex-
actly on the margin.
22
The Path
• The αi are piecewise-linear in λ (or 1/C)12 points, 6 per class, Separated
Step: 17 Error: 0 Elbow Size: 2 Loss: 0
*
*
**
*
*
*
*
*
*
**
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
56
1
3
Mixture Data − Radial Kernel Gamma=1.0
Step: 623 Error: 13 Elbow Size: 54 Loss: 30.46
***
*
*
*
*
*
**
*
*
*
*
*
*
*
**
*
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Mixture Data − Radial Kernel Gamma=5
Step: 483 Error: 1 Elbow Size: 90 Loss: 1.01
***
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**
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*
• The points in E characterize these paths, since points must stay
on the margin (yif(xi) = 1) while their αi lie in (0, 1).
• Points can revisit the margin more than once.
• The coefficients β0 and β are piecewise-linear in C = 1/λ.
(LARS, Efron et. al., 2002): quadratic criterion, L1 constraint.
• The margins can stay wedged while their αi change, if they are
“loaded to capacity”.
• For non-separable data, the loss∑
i ξi achieves a minimum
value, with a positive margin.
23
02
46
810
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
PSfragreplacements
αi(λ)
λ
Piecew
iseLin
earα
Path
s
24
−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
−1.
0−
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
X1
X2
Step: 14 Error: 2 Elbow Size: 3 Margin: 4.38
**
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
66
11
12
5e−03 5e−02 5e−01 5e+00
02
46
810
Lambda
ooo
||beta||CriterionLoss
Path Statistics
25
The Need for Regularization
1e−01 1e+01 1e+03
0.20
0.25
0.30
0.35
1e−01 1e+01 1e+03 1e−01 1e+01 1e+03 1e−01 1e+01 1e+03
Tes
t Err
or
Test Error Curves − SVM with Radial Kernel
PSfrag replacements
γ = 5 γ = 1 γ = 0.5 γ = 0.1
C = 1/λ
• γ is a kernel parameter: K(x, z) = exp(−γ||x − z||2).• λ (or C) are regularization parameters, which have to be
determined using some means like cross-validation.
26
SVMs for regression
• Linear regression model:
f(x) = xT β + β0, (1)
• To estimate β, we consider minimization of
H(β, β0) =N
∑
i=1
V (yi − f(xi)) +λ
2‖β‖2, (2)
where
Vε(t) =
0 if |t| < ε,
|t| − ε, otherwise.(3)
This is called “ε-insensitive” error measure.
27
-4 -2 0 2 4
-10
12
34
-4 -2 0 2 4
02
46
810
12
PSfrag replacements
ε−ε c−c
VH
(r)
Vε(r
)
rr
The left panel shows the ε-insensitive error function used by the support
vector regression machine. The right panel shows the error function used
in Huber’s robust regression (green curve). Beyond |c|, the function
changes from quadratic to linear.
28
Software
• In R, e1071 package and library(svmpath) available from
CRAN.
• Many other packages fit SVMs
