Sumário e Objectivos - web.fe.up.ptldinis/mecsol2.pdf · Equilíbrio de Momentos Segundo o Eixo...

2007/2008Lcia M.J.S.Dinis

Mecnica dos Slidos2Aula

1

Sumrio e Objectivos

Sumrio: Equaes de Equilbrio de Foras e Momentos.Mudana de Eixos de Referncia. Tenses Principais e Direces Principais. Invariantes das Tenses. Tensor Hidrosttico ou Isotrpico. Tensor das Tenses de Desvio. Casos Particulares. Tenses Tangenciais Mximas e MnimasObjectivos: Ser capaz de utilizar os princpios Fundamentais da Esttica no contexto da Elasticidade construindo as condies de equilbrio. Ser capaz de determinar Tenses Principais e Direces Principais de Tenso. Ser Capaz de calcular as Tenses de corte mximas e mnimas.



2

Estruturas



3

Tenses



4

Foras num Elemento Infinitesimal

O

dz

dy

dxy

x

z

Fx

F y

Fz

dxF xF

xx

+

dyF yF

yy

+

dzF zF

zz

+

x



5

Relao ForasTenses

xx xxxx xx

xx xxxy xy

xy xy xy xy

xz xzxz xz

xz xz

FF dx dx dydzx x

F dydzF

F dydz e F dx dx dydzx x

F dydzFF dx dx dydzx x

+ = + =

= + = + =

+ = +

Etc.



6

Tenses Normais numElemento Infinitesimal



7

Foras Resultantes das Tenses Normais

yyyy yyd x d z e d y d x d zy

+

x xx x x xd x d z e d x d y d zx

+

zzzz zzdydx e dz dydxz

+



8

Tenses Tangenciais ou de Corte



9

Foras Resultantes das Tenses de Corte

x yx y x y

z yz y z y

d y d z e d x d y d zx

d x d y e d z d y x d yz

+

+

Etc.



10

Tenses Segundo o Eixo dos yy



11

Equao de Equilbrio de Foras Segundo o Eixo dos yy

xy yyxy xy yy yy

zyzy zy y

dx dydz dy dxdzx x

dz dxdy B dxdydz 0z

+ + + +

+ + + =

xy yy zyyB 0x y z

+ + + =

Simplificando obtm-se:



12

Equaes de Equilbrio de Foras

Considerando o equilbrio de foras nas direces dos eixos dos xx e dos zzobtm-se mais duas equaes de equilbrio com forma anloga equao anterior. As trs equaes de equilbrio de foras so:

yxxx zxxB 0x y z

+ + + =

xy yy zyyB 0x y z

+ + + =

yzxz zzzB 0x y z

+ + + =



13

Caso ParticularForas no Elemento Bidimensional

Estado Plano de Tenso



14

Equaes de Equilbrio de Foras

Equilbrio de Foras Segundo xx

Simplificando Obtm-se a Equao de Equilbrio de foras segundo xx.

yxxxxx xx xy yx xdx dy dy dy dx dy B dxdy 0x y

+ + + + =

yxxxx

xy yyy

B 0x y

B 0x y

+ + =

+ + =

Equaes de Equilbrio 2D



15

Tenses Tangenciais

As Tenses Tangenciais do origem a Foras que produzem Momentos

x y

x

y

z

zyzy d zz

+zxzx d zz

+

yzyz d yy

+

yxyx d yy

+

zx

zy

x z

yx

yz

x yxy d xx

+

x zx z d xx

+



16

Equaes de Equilbrio de Momentos

zy yzzy zy yz yz

dz dz dy dydz dxdy dxdy dy dxdz dxdz 0z 2 2 y 2 2

+ + + =

Equilbrio de Momentos Segundo o Eixo dos xx

zy yz =

Simplificando obtm-se

Considerando o equilbrio de Momentos segundo os yy e os zz obtm-se

zx xz = xy yx = As equaes de Equilbrio de Momentos implicam simetria do Tensor das Tenses



17

Caso Particular: Estado Plano de TensoPlano xy

Equilbrio de Momentos Segundo o eixo dos zz

xy yxxy xy yx yx

dx dx dy dydy dx dy dx dy dx 02 x 2 2 y 2

+ + + + =

xy yx =

Simplificando obtm-se



18

Mudana de Eixos-1Lei de Transformao

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x y zx l m ny l m nz l m n

Matriz de Transformao de Oxyz em Oxyz

[ ]1 2 3

1 2 3

1 2 3

l l lQ m m m

n n n

=

2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3

1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 1 1

1 1 1

0 0 0

0 0 0

+ + = + + = + + =

+ + = + + = + + =

+ + = + + = + + =

+ + = + + = + + =

l l l m m m n n n

l m n l m n l m n

l l m m n n l l m m n n l l m m n n

l m l m l m l n l n l n m n m n m n

Condies das Relaes Ortogonais



19

Mudana de Eixos-2

x

y

z

x

y

z

x

y

z



20

Tenses nas Facetas Ox, Oye Oz

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

Tensor das Tenses em Oxyz

xx yx zx 1 2 3xx yx zx

xy yy zy 1 2 3xy yy zy

xz yz zz 1 2 3xz yz zz

T T T l l lT T T m m mT T T n n n

=

Tenses nas Facetas Perpendiculares aos Eixos Ox, Oy e Oz com componentes no sistema de Eixos Oxyz



21

Tenses no Sistema de Eixos Oxyz

As componentes do Tensor das Tenses no sistema de Eixos Oxzpodem ser calculadas projectando as Tenses T, no sistema de eixos

Oxyz, ou seja calculando o produto matricial seguinte:

1 1 1 xx yx zxxx yx zx

2 2 2 xy yy zyxy yy zy

3 3 3 xz yz zzxz yz zz

l m n T T Tl m n T T Tl m n T T T

=

[ ] [ ] [ ][ ] = T QQ Relaes entre os tensores e



22

Plano, Tenso e Direco Principal

Existem trs facetas ortogonais entre si em que o vector Tenso tem a direco da normal sendo nulas as Tenses Tangenciais, ao plano no qual so nulas as Tenses Tangenciais chama-se Plano Principal, s Tenses Normais no Plano Principal chamam-se Tenses Principais e direco da normal ao plano principal chama-se Direco Principal. Relembrando o estudo feito em lgebra Linear, as matrizes simtricas so diagonalizveis sendo os valores da diagonal designados por Valores Prprios e as direces a que esto associados por Vectores Prprios. As componentes do Tensor das Tenses foram representadas por uma matriz simtrica sendo portanto legtimo pensar que os valores prprios da Matriz das Tenses so as Tenses Principais e que os Vectores Prprios que lhe esto associados so as Direces Principais.



23

Tenso Principal

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

l lm mn n

=

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

lm 0n

=

ou

A existncia de uma soluo no trivial (soluo trivial l=m=n=0) para este sistema de equaes Algbricas e Lineares obriga a que se considere que o determinante da matriz dos coeficientes seja igual a zero, sendo a equao resultante designada por Equao Caracterstica



24

Equao Caracterstica

xx xy xz3 2

1 2 3yx yy yz

zx zy zz

0I I I

= + + =

onde 1 xx yy zzI = + + 2 2 2

2 xx yy xx zz yy zz xy xz yzI = + + 2 2 2

3 xx yy zz xy xz yz xx yz yy xz zz xy2I = + So invariantes do Tensor das Tenses



25

Clculo das Direces Principais

As Direces Principais so facilmente calculadas, uma vez conhecidas as Tenses Principais que so as razes da Equao Caracterstica. Considere-se o Sistema de equaes

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

lm 0n

=



26

Clculo das Direces Principais

Este sistema de equaes homogneo sendo uma das equaes linearmente dependente das outras duas. Para determinar os valores de l,m,n, pode-se arbitrar um dos valores, por exemplo, l=1 e determinar os outros dois valores.

O vector assim obtido no unitrio pelo que se deve obter o vector unitrio , sendo a soluo 1,a,b, deve-se determinar o versor correspondente que : { }

2 2

1,a, b

1 a b+ +



27

Tenses Tangenciais no Sistema de Eixos Principais

x 1

y 2

z 3

lTmTnT

= = =

As Tenses numa faceta, cuja normal tem cossenos directores {l,m,n}, em relao ao sistema de eixos principais, so

A tenso tangencial 2 2t nT T T=

A tenso normal l m nT T T Tn x y z2 2 2 l m n1 2 3

= + + =

= + +

( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 2 2 2t 1 2 3 1 2 3l m nT l m n= + + + +



28

Mtodo dos Multiplicadores de Lagrange

Para determinar os mximos e mnimos da Tenso Tangencial, pode usar-se o mtodo dos multiplicadores de Lagrange, ou seja considere-se a funo

( )22 2 2 2tT l m nf = + + +E determine-se os mximos e mnimos em relao a l,m,n

0l m n

= = =

f f f ( )( )2 22 2 21 1 2 3 1l 2l l 0l m n + + + = ou

( )( )2 22 2 22 1 2 3 2m 2m m 0l m n + + + = ( )( )2 22 2 23 1 2 3 3n 2n n 0l m n + + + =



29


( )( )2 22 2 21 1 2 3 1l 2l l 0l m n + + + = ( )( )2 22 2 22 1 2 3 2m 2m m 0l m n + + + =

( )( )2 22 2 23 1 2 3 3n 2n n 0l m n + + + = Estas equaes correspondem a condies necessrias e suficientes para que f tenha um valor extremo. Para obter o extremo da Tenso Tangencial necessrio considerar a condio . 2 2 2 1l m n+ + =

As solues bvias so

l=m=0, n=1 a que corresponde e

n=m=0, l=1 a que corresponde e

l=n=0, m=1 a que corresponde e

3 = t 0T =

t 0T =

t 0T =1 =

2 =



30


As solues remanescentes correspondem a considerar s um dos cosenos directores igual a zero sendo os outros dois diferentes de zero, por exemplo, l=0, m 0,n 0 , nestas condies a 1 das equaes 4.26 sempre satisfeita e as duas restantes conduzem equao seguinte depois de simplificao adequada ( )( )22 2 2 3 0n m =

Sendo 2 3 , a equao anterior implica 2 2n m= , e sendo 2 2 1m n+ = , obtm-se

l=0, 1 1m ,n2 2

= = e ( )t 2 31

T 2=

soluo l 0,m 0,n 0 corresponde 1 2 3= = e t 0T =



31


Donde se infere que os planos que correspondem a tenses de corte mximas fazem ngulos de 45 com os planos principais e os valores das tenses de corte podem ser obtidos a partir das tenses principais considerando as expresses anteriores.

De modo anlogo se obtm

m=0, 1 1l , n2 2

= = e ( )t 1 31

T 2=

n=0, 1 1l , m2 2

= = e ( )t 1 21

T 2=



32

Tensor Isotrpico ou Hidrosttico

m

m

m

0 00 00 0

Com definido como Presso Hidrosttica

m

xx yy zz 1m

I3 3

+ + = =



33

Tensor das Tenses de Desvio

xx m xy xz

d yx yy m yz

zx zy zz m



34

Problemas Propostos

1. Determine as tenses principais, a tenso de corte mxima e a orientao dos eixos principais para os estados planos de tenso abaixo indicados. Ilustre os resultados com uma figura que mostre a orientao e as componentes da tenso a actuarem em cada caso.

a)

b)Resolva o problema analiticamente.

MPa60;0;MPa50 xyyyxx ===

MPa60;MPa40;MPa110 xyyyxx ===



35

Problemas Propostos

O tensor das tenses no sistema de eixos Oxyz, num ponto de um slido tridimensional, o seguinte:

=

3001004520102090

ij MPa

a) Identifique as tenses e desenhe um volume elementar com as tensesactuando sobre ele,

b) Determine as tenses principais no referido ponto, c) Os cossenos directores das direces principais em relao ao sistema de

eixos Oxyz. Mostre que as direces principais so ortogonais, d) Determine o tensor das tenses de desvio, e) Determine os invariantes do tensor das tenses de desvio, f) Determine a tenso de corte mxima e a respectiva tenso normal, g) Calcule a tenso resultante, a tenso normal e a tenso de corte num

plano igualmente inclinado em relao aos eixos coordenados, h) Determine o Tensor das Tenses num sistema de Eixos obtido do sistema de eixos inicial rodando 30 em torno do eixo dos zz.

2.



36

Problemas Propostos

3. O estado de tenso num ponto P definido pelas seguintes componentescartesianas

xx yy zz

yz xy xz

60MPa 30MPa 30MPa10MPa 0

= = = = = =

a) Pode afirmar-se sem efectuar clculos que yz um plano principal de

tenso? Justifique. b) Determine as tenses principais no ponto considerado assim como as

direces principais correspondentes. c) Determine a Presso Hidrosttica e mostre que um invariante. d) Determine o Tensor das Tenses de Desvio.



37

Problemas Propostos

4. Considere o estado de tenso caracterizado pelo Tensor das Tenses seguinte:

100 a bc 200 0 MPad 0 e

a) Determine os valores de a,b,c,d,e e determine as tenses e direces principais

de Tenso, sabendo que na faceta cuja normal { }3 3 3, ,3 3 3 as tenses tangencial e normal so nulas. b) Determine as Tenses Tangenciais Mximas e as correspondentes Tenses Normais e indique a orientao das facetas em que ocorrem. Ilustre com uma construo de Mohr os resultados obtidos



38

Problemas Propostos

5. O campo de Tenses num slido elstico, na ausncia de foras de volume definido, em cada ponto, pelas componentes seguintes:

xx yy zz

xy yz zx

ax 2 cy 0ax 2by c (by 2) 2ax 5z

= = = = + + = =

a) Determine a, b, c, de modo que o campo de tenses acima referido sejacompatvel com a Teoria da Elasticidade.

b) Determine as tenses principais na origem das coordenadas e as respectivas direces.

c) No referido ponto (origem) determine o valor da tenso de corte mxima,bem como o plano e a direco segundo a qual actua.



39

Resoluo do Prob 1

As Direces Principais so facilmente calculadas, uma vez conhecidas as Tenses Principais que so as razes da Equao Caracterstica. Esta equao :

( )

1

2

50 600 ou - 50- 3600 0

60

90razes: MPa

40

= =

=



40

Resoluo do Prob 1Cont.

Para determinar a orientao das direces principais considera-se o sistema de equaes seguinte no que respeita a 1=90MPa

50 90 60 l 20 com l=1 determina-se m=60 90 m 3

3 2a que corresponde o versor 13 13

=

Para 2=-40MPa procede-se de modo anlogo.



41

Resoluo do Prob 1(Outra Forma)

( )xy

pxx yy

p

12tan g2 2.4/ 2 5

33.69

= = =

=

( )2

xx yy xx yy 2maxxx xymin

1

2

22

25 65 90ou

25 65 40

+ = +

+ = =

Utilizando as Frmulas seguintes tambm se pode chegar aos mesmos resultados.



42

Resoluo Problema 2a)

O Tensor das tenses : 90 20 1020 45 0 MPa10 0 30

y

x

z

y

x

z90

45

90

45

30

30

20

2010

102010

10



43

Resoluo Problema 2b)

3 2

1

2

3

90 20 1020 45 0 0 105 500 11400 010 0 30

98.3cuja soluo : 30.9 MPa

37.6

= + =

=

A equao caracterstica :



44

Resoluo Problema 2c)

90 98.3 20 10 l 020 45 98.3 0 m 010 0 30 98.3 n 0

Considerando l=1 obtm-se m=0.375 e n= -0.0779 Normalizando obtm-se: l = 0.934; m = 0.350;n = -0.0728

=

De modo anlogo se obtm os restantes cossenos directores.

Para verificar que so ortogonais consideram-se os produtos escalares dos vectores.



45

Resoluo Problema 2d)

Presso mdia p=(90+45-30)/3=3590-p 20 -10 55 20 1020 45-p 0 20 10 010 0 -30-p 10 0 65

=



46

Resoluo Problema 2e)

A equao caracterstica :

3

55 20 1020 10 0 0 10750 4175 010 0 65

= + =

Os Invariantes so:J1=0;J2=-4175;J3=-10750



47

Resoluo Problema 2f)

Por soluo da equao caracterstica obtm-se as tenses principais:

1 2

3 2

1

2

3

1 3t2t1

2 3t3

90 20 1020 45 0 0 105 500 11400 010 0 30

98.3cuja soluo : 30.9 MPa

37.6

;T 30.35MPa2

T 34.25M

T 64.6

Pa;

M a

2

P2

= + =

=

=

= =

=

= =



48

Resoluo Problema 2f)

Cont.

1 2t1

1 2n1

T 64.6MPa2

T 33.7MP2

;

a

= =

+ = =



49

Resoluo Problema 2g)

1 1 13 3 3

n

1 1003 390 20 10

1 65T 20 45 03 310 0 30

1 403 3

13

100 65 40 1 125T MPa33 3 3 3

13

= =

= =

Os co-senos directores de um plano igualmente inclinado em relao aos eixos coordenados so:

t

2 2n

100T 3;T3

25T T 233

= =

= =



50

Resoluo Problema 2h)

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x y zx l m ny l m nz l m n

[ ]1 2 3

1 2 3

1 2 3

l l lQ m m m

n n n

3 1 02 21 3 02 20 0 1

= =

=



51

Resoluo Problema 2h)

[ ] [ ] [ ][ ] = T QQ

[ ]96.07 9.49 8.66

9.49 38.93 58.66 5 30

=



52


O Tensor das Tenses 60 0 00 30 10 MPa0 10 30

As tenses tangenciais ou de corte no plano perpendicular ao eixo dos xx so nulas existindo s a tenso normal xx=60MPa consequentemente o plano perpendicular ao eixo dos xx um plano principal e este plano o plano Oyz

xy

z

60



53


60 0 00 30 10 MPa0 10 30

Tensor das Tenses

Equao Caracterstica

( )2

1 2 3

(60 )( 30 100) 0Soluo : 60MPa; 40MPa; 20MPa

=

= = =



54


Cont.

60 40 0 0 l0 30 40 10 m 0 m 1l 0, , n 1;0 10 30 40 n

Normalizando obtm-se: {0,1/ 2,1/ 2}

= = = =

Para a Tenso 1=60MPa a direco principal {1,0,0}.

Para a Tenso 2=40MPa a direco principal obtm-se resolvendo o sistema de equaes seguinte:

De modo anlogo se determina a direco principal associada tenso 3=20MPa que : {0,1/ 2, 1/ 2}



55

Resoluo Problema 3c)

60 0 00 30 10 MPa0 10 30

O Tensor das Tenses :

A Presso Hidrosttica igual a um tero do 1 Invariante das Tenses que a soma dos elementos da diagonal do Tensor das Tenses consequentemente a Presso Hidrosttica 40MPa. Calculando a Presso hidrosttica a partir das tenses principais obtm-se o mesmo valor.



56

Resoluo Problema 3d)

60 0 0 40 0 0 20 0 00 30 10 0 40 0 0 10 10 MPa0 10 30 0 0 40 0 10 10

=

O Tensor das Tenses de Desvio obtm-se subtraindo aos elementos da diagonal do tensor das tenses a presso hidrosttica:



57


O Tensor das Tenses tensor simtrico em consequncia da considerao do equilbrio de momentos, ou seja c=a e d=b.

Se as Tenses normal e tangencial so nulas na referida faceta a tenso resultante tambm , ou seja:

3 3100 a b 0 a b 100a 200 0 3 3 0 a 200b 0 e 0 b e3 3

A soluo do sistema de equaes conduz ao resultado seguinte.a = 200MPa; b = -100MPa;e = -100MPa

+ = = = =



58


100 200 100200 200 0 MPa100 0 100

as tenses principais so: {0,364.58,-164.58}

O Tensor das Tenses :

As tenses de corte mximas so:1 31 2

t1 t2

2 3t1

T 182.29MPa; T 82.29MPa;2 2

T 264.58MPa;2

= = = =

= =

Os planos que correspondem s tenses de corte mximas fazem 45 com os planos principais.



59

Resoluo do Problema 5a)

O campo das Tenses deve satisfazer as equaes de equilbrio, com Bx=0, By=0 e Bz=0.

yxxx zxxB 0x y z

+ + + =

xy yy zyyB 0x y z

+ + + =

yzxz zzzB 0x y z

+ + + =



60

Resoluo do Problema 5a)

Substituindo as tenses nas equaes anteriores, obtm-se o sistema de equaes seguinte:

2 5 0 10 2

2 0 1

a b aa c ba b c

+ = = = = = =

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