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2007/2008 Lúcia M.J.S.Dinis Mecânica dos Sólidos 2ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Equações de Equilíbrio de Forças e Momentos. Mudança de Eixos de Referência. Tensões Principais e Direcções Principais. Invariantes das Tensões. Tensor Hidrostático ou Isotrópico. Tensor das Tensões de Desvio. Casos Particulares. Tensões Tangenciais Máximas e Mínimas Objectivos: Ser capaz de utilizar os princípios Fundamentais da Estática no contexto da Elasticidade construindo as condições de equilíbrio. Ser capaz de determinar Tensões Principais e Direcções Principais de Tensão. Ser Capaz de calcular as Tensões de corte máximas e mínimas.

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Sumário e Objectivos

Sumário: Equações de Equilíbrio de Forças e Momentos.Mudança de Eixos de Referência. Tensões Principais e Direcções Principais. Invariantes das Tensões. Tensor Hidrostático ou Isotrópico. Tensor das Tensões de Desvio. Casos Particulares. Tensões Tangenciais Máximas e MínimasObjectivos: Ser capaz de utilizar os princípios Fundamentais da Estática no contexto da Elasticidade construindo as condições de equilíbrio. Ser capaz de determinar Tensões Principais e Direcções Principais de Tensão. Ser Capaz de calcular as Tensões de corte máximas e mínimas.

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Estruturas

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Tensões

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Forças num Elemento Infinitesimal

O

dz

dy

dxy

x

z

Fx

F y

Fz

dxF xF

xx

∂∂+

dyF yF

yy

∂∂+

dzF zF

zz

∂∂+

x

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Relação ForçasTensões

xx xxxx xx

xx xxxy xy

xy xy xy xy

xz xzxz xz

xz xz

FF dx dx dydzx x

F dydzF

F dydz e F dx dx dydzx x

F dydzFF dx dx dydzx x

∂ ∂σ⎛ ⎞+ = σ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠= σ

∂ ∂τ⎛ ⎞= τ + = τ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠= τ

∂ ∂σ⎛ ⎞+ = τ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Etc.

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Tensões Normais numElemento Infinitesimal

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Forças Resultantes das Tensões Normais

yyyy yyd x d z e d y d x d z

y∂ σ⎛ ⎞

σ σ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

x xx x x xd x d z e d x d y d z

x∂ σ⎛ ⎞σ σ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

zzzz zzdydx e dz dydx

z∂σ⎛ ⎞σ σ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

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Tensões Tangenciais ou de Corte

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Forças Resultantes das Tensões de Corte

x yx y x y

z yz y z y

d y d z e d x d y d zx

d x d y e d z d y x d yz

∂ τ⎛ ⎞τ τ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∂ τ⎛ ⎞τ τ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Etc.

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Tensões Segundo o Eixo dos yy

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Equação de Equilíbrio de Forças Segundo o Eixo dos yy

xy yyxy xy yy yy

zyzy zy y

dx dydz dy dxdzx x

dz dxdy B dxdydz 0z

∂τ ∂σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ + − τ + σ + − σ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂τ⎛ ⎞+ τ + − τ + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

xy yy zyyB 0

x y z∂τ ∂σ ∂τ

+ + + =∂ ∂ ∂

Simplificando obtém-se:

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Equações de Equilíbrio de Forças

Considerando o equilíbrio de forças nas direcções dos eixos dos xx e dos zzobtêm-se mais duas equações de equilíbrio com forma análoga à equação anterior. As três equações de equilíbrio de forças são:

yxxx zxxB 0

x y z∂τ∂σ ∂τ

+ + + =∂ ∂ ∂

xy yy zyyB 0

x y z∂τ ∂σ ∂τ

+ + + =∂ ∂ ∂

yzxz zzzB 0

x y z∂σ∂τ ∂σ

+ + + =∂ ∂ ∂

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Caso ParticularForças no Elemento Bidimensional

Estado Plano de Tensão

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Equações de Equilíbrio de Forças

Equilíbrio de Forças Segundo xx

Simplificando Obtém-se a Equação de Equilíbrio de forças segundo xx.

yxxxxx xx xy yx xdx dy dy dy dx dy B dxdy 0

x y∂τ⎛ ⎞∂σ⎛ ⎞σ + −σ + τ + −τ + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

yxxxx

xy yyy

B 0x y

B 0x y

∂τ∂σ+ + =

∂ ∂∂τ ∂σ

+ + =∂ ∂

Equações de Equilíbrio 2D

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Tensões Tangenciais

As Tensões Tangenciais dão origem a Forças que produzem Momentos

x yτ

x

y

z

zyzy d z

z∂ τ+τ∂zx

zx d zz

∂ τ+τ∂

yzyz d y

y∂ τ+τ∂

yxyx d y

y∂ τ+τ∂

zxτ

zyτ

x zτ

yxτ

yzτ

x yxy d x

x∂ τ+τ∂

x zx z d x

x∂ τ+τ∂

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Equações de Equilíbrio de Momentos

zy yzzy zy yz yz

dz dz dy dydz dxdy dxdy dy dxdz dxdz 0z 2 2 y 2 2

∂τ ∂τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ + + τ − τ + − τ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Equilíbrio de Momentos Segundo o Eixo dos xx

zy yzτ = τ

Simplificando obtém-se

Considerando o equilíbrio de Momentos segundo os yy e os zz obtém-se

zx xzτ = τ xy yxτ = τ As equações de Equilíbrio de Momentos implicam simetria do Tensor das Tensões

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Caso Particular: Estado Plano de Tensão–Plano xy

Equilíbrio de Momentos Segundo o eixo dos zz

xy yxxy xy yx yx

dx dx dy dydy dx dy dx dy dx 02 x 2 2 y 2

∂τ ∂τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−τ − τ + + τ + τ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

xy yxτ = τ

Simplificando obtém-se

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Mudança de Eixos-1Lei de Transformação

1 1 1

2 2 2

3 3 3

′′′

x y zx l m ny l m nz l m n

Matriz de Transformação de Oxyz em Ox´y´z´

[ ]1 2 3

1 2 3

1 2 3

l l lQ m m m

n n n

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3

1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 1 1

1 1 1

0 0 0

0 0 0

+ + = + + = + + =

+ + = + + = + + =

+ + = + + = + + =

+ + = + + = + + =

l l l m m m n n n

l m n l m n l m n

l l m m n n l l m m n n l l m m n n

l m l m l m l n l n l n m n m n m n

Condições das Relações Ortogonais

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Mudança de Eixos-2

x

y

z

x

y

z

y

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Tensões nas Facetas Ox´, Oy´e Oz´

≈σxx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

⎡ ⎤σ τ τ⎢ ⎥

τ σ τ⎢ ⎥⎢ ⎥τ τ σ⎣ ⎦

Tensor das Tensões em Oxyz

x´x y´x z´x 1 2 3xx yx zx

x´y y´y z´y 1 2 3xy yy zy

x´z y´z z´z 1 2 3xz yz zz

T T T l l lT T T m m mT T T n n n

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ τ τ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= τ σ τ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥τ τ σ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Tensões nas Facetas Perpendiculares aos Eixos Ox´, Oy´ e Oz´ com componentes no sistema de Eixos Oxyz

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Tensões no Sistema de Eixos Ox´y´z´

As componentes do Tensor das Tensões no sistema de Eixos Oxý´z´podem ser calculadas projectando as Tensões T, no sistema de eixos

Ox´y´z´, ou seja calculando o produto matricial seguinte:

1 1 1 x´x y´x z´xx´x´ y´x´ z´x´

2 2 2 x´y y´y z´yx´y´ y´y´ z´y´

3 3 3 x´z y´z z´zx´z´ y´z´ z´z´

l m n T T Tl m n T T Tl m n T T T

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤σ τ τ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=τ σ τ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥τ τ σ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ][ ]´ = T QQσ σ

Relações entre os tensores σ e σ´

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Plano, Tensão e Direcção Principal

Existem três facetas ortogonais entre si em que o vector Tensão tem a direcção da normal sendo nulas as Tensões Tangenciais, ao plano no qual são nulas as Tensões Tangenciais chama-se Plano Principal, às Tensões Normais no Plano Principal chamam-se Tensões Principais e à direcção da normal ao plano principal chama-se Direcção Principal. Relembrando o estudo feito em Álgebra Linear, as matrizes simétricas são diagonalizáveis sendo os valores da diagonal designados por Valores Próprios e as direcções a que estão associados por Vectores Próprios. As componentes do Tensor das Tensões foram representadas por uma matriz simétrica sendo portanto legítimo pensar que os valores próprios da Matriz das Tensões são as Tensões Principais e que os Vectores Próprios que lhe estão associados são as Direcções Principais.

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Tensão Principal

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

l lm mn n

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫σ τ τ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ = στ σ τ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥τ τ σ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

lm 0n

−σ⎡ ⎤⎧ ⎫σ τ τ⎪ ⎪⎢ ⎥−σ =τ σ τ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥−στ τ σ ⎩ ⎭⎣ ⎦

ou

A existência de uma solução não trivial (solução trivial l=m=n=0) para este sistema de equações Algébricas e Lineares obriga a que se considere que o determinante da matriz dos coeficientes seja igual a zero, sendo a equação resultante designada por Equação Característica

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Equação Característica

xx xy xz3 2

1 2 3yx yy yz

zx zy zz

0I I I− σσ τ τ

− σ = − + − σ + =τ σ τ σ σ− στ τ σ

onde 1 xx yy zzI = + +σ σ σ2 2 2

2 xx yy xx zz yy zz xy xz yzI = + + − − −σ σ σ σ σ σ τ τ τ2 2 2

3 xx yy zz xy xz yz xx yz yy xz zz xy2I = + − − −σ σ σ τ τ τ σ τ σ τ σ τSão invariantes do Tensor das Tensões

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Cálculo das Direcções Principais

As Direcções Principais são facilmente calculadas, uma vez conhecidas as Tensões Principais que são as raízes da Equação Característica. Considere-se o Sistema de equações

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

lm 0n

−σ⎡ ⎤⎧ ⎫σ τ τ⎪ ⎪⎢ ⎥−σ =τ σ τ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥−στ τ σ ⎩ ⎭⎣ ⎦

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Cálculo das Direcções Principais

Este sistema de equações é homogéneo sendo uma das equações linearmente dependente das outras duas. Para determinar os valores de l,m,n, pode-se arbitrar um dos valores, por exemplo, l=1 e determinar os outros dois valores.

O vector assim obtido não é unitário pelo que se deve obter o vector unitário , sendo a solução 1,a,b, deve-se determinar o versor correspondente que é: { }

2 2

1,a, b

1 a b+ +

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Tensões Tangenciais no Sistema de Eixos Principais

x 1

y 2

z 3

lTmTnT

= σ= σ= σ

As Tensões numa faceta, cuja normal tem cossenos directores {l,m,n}, em relação ao sistema de eixos principais, são

A tensão tangencial é 2 2t nT T T= −

A tensão normal é l m nT T T Tn x y z2 2 2 l m n1 2 3

= + + =

= + +σ σ σ

( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 2 2 2t 1 2 3 1 2 3l m nT l m n= + + − + +σ σ σσ σ σ

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Método dos Multiplicadores de Lagrange

Para determinar os máximos e mínimos da Tensão Tangencial, pode usar-se o método dos multiplicadores de Lagrange, ou seja considere-se a função

( )22 2 2 2tT l m nf = + + +λ

E determine-se os máximos e mínimos em relação a l,m,n

0l m n

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂f f f ( )( )2 22 2 2

1 1 2 3 1l 2l l 0l m n− + + + =σ σ σ σ σ λou( )( )2 22 2 2

2 1 2 3 2m 2m m 0l m n− + + + =σ σ σ σ σ λ

( )( )2 22 2 23 1 2 3 3n 2n n 0l m n− + + + =σ σ σ σ σ λ

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Método dos Multiplicadores de Lagrange

( )( )2 22 2 21 1 2 3 1l 2l l 0l m n− + + + =σ σ σ σ σ λ

( )( )2 22 2 22 1 2 3 2m 2m m 0l m n− + + + =σ σ σ σ σ λ

( )( )2 22 2 23 1 2 3 3n 2n n 0l m n− + + + =σ σ σ σ σ λ

Estas equações correspondem a condições necessárias e suficientes para que f tenha um valor extremo. Para obter o extremo da Tensão Tangencial é necessário considerar a condição . 2 2 2 1l m n+ + =

As soluções óbvias são

l=m=0, n=1 a que corresponde e

n=m=0, l=1 a que corresponde e

l=n=0, m=1 a que corresponde e

3λ = σ t 0T =

t 0T =

t 0T =1λ = σ

2λ = σ

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Método dos Multiplicadores de Lagrange

As soluções remanescentes correspondem a considerar só um dos cosenos directores igual a zero sendo os outros dois diferentes de zero, por exemplo, l=0, m 0,n 0≠ ≠ , nestas condições a 1ª das equações 4.26 é sempre satisfeita e as duas restantes conduzem à equação seguinte depois de simplificação adequada ( )( )22 2

2 3 0n m− − =σ σ

Sendo 2 3≠σ σ , a equação anterior implica 2 2n m= , e sendo 2 2 1m n+ = , obtém-se

l=0, 1 1m ,n2 2

= ± = ± e ( )t 2 31

T 2= ± −σ σ

À solução l 0,m 0,n 0≠ ≠ ≠ corresponde 1 2 3= =σ σ σ e t 0T =

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Método dos Multiplicadores de Lagrange

Donde se infere que os planos que correspondem a tensões de corte máximas fazem ângulos de 45º com os planos principais e os valores das tensões de corte podem ser obtidos a partir das tensões principais considerando as expressões anteriores.

De modo análogo se obtém

m=0, 1 1l , n2 2

= ± = ± e ( )t 1 31

T 2= ± −σ σ

n=0, 1 1l , m2 2

= ± = ± e ( )t 1 21

T 2= ± −σ σ

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Tensor Isotrópico ou Hidrostático

m

m

m

0 00 00 0

⎡ ⎤σ⎢ ⎥σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦

Com definido como Pressão Hidrostática

xx yy zz 1m

I3 3

+ +σ σ σ= =σ

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Tensor das Tensões de Desvio

xx m xy xz

d yx yy m yz

zx zy zz m

−⎡ ⎤σ σ τ τ⎢ ⎥≈ −τ σ σ τ⎢ ⎥⎢ ⎥−τ τ σ σ⎣ ⎦

σ

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Problemas Propostos

1. Determine as tensões principais, a tensão de corte máxima e a orientação dos eixos principais para os estados planos de tensão abaixo indicados. Ilustre os resultados com uma figura que mostre a orientação e as componentes da tensão a actuarem em cada caso.

a)

b)Resolva o problema analiticamente.

MPa60;0;MPa50 xyyyxx −=== σσσ

MPa60;MPa40;MPa110 xyyyxx =−== σσσ

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Problemas Propostos

O tensor das tensões no sistema de eixos Oxyz, num ponto de um sólido tridimensional, é o seguinte:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−=σ

3001004520102090

ij MPa

a) Identifique as tensões e desenhe um volume elementar com as tensõesactuando sobre ele,

b) Determine as tensões principais no referido ponto, c) Os cossenos directores das direcções principais em relação ao sistema de

eixos Oxyz. Mostre que as direcções principais são ortogonais, d) Determine o tensor das tensões de desvio, e) Determine os invariantes do tensor das tensões de desvio, f) Determine a tensão de corte máxima e a respectiva tensão normal, g) Calcule a tensão resultante, a tensão normal e a tensão de corte num

plano igualmente inclinado em relação aos eixos coordenados, h) Determine o Tensor das Tensões num sistema de Eixos obtido do sistema de eixos inicial rodando 30º em torno do eixo dos zz.

2.

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Problemas Propostos

3. O estado de tensão num ponto P é definido pelas seguintes componentescartesianas

xx yy zz

yz xy xz

60MPa 30MPa 30MPa10MPa 0

= = =σ σ σ= =τ τ =τ

a) Pode afirmar-se sem efectuar cálculos que yz é um plano principal de

tensão? Justifique. b) Determine as tensões principais no ponto considerado assim como as

direcções principais correspondentes. c) Determine a Pressão Hidrostática e mostre que é um invariante. d) Determine o Tensor das Tensões de Desvio.

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Problemas Propostos

4. Considere o estado de tensão caracterizado pelo Tensor das Tensões seguinte:

100 a bc 200 0 MPad 0 e

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

a) Determine os valores de a,b,c,d,e e determine as tensões e direcções principais

de Tensão, sabendo que na faceta cuja normal é { }3 3 3, ,3 3 3− as tensões

tangencial e normal são nulas. b) Determine as Tensões Tangenciais Máximas e as correspondentes Tensões Normais e indique a orientação das facetas em que ocorrem. Ilustre com uma construção de Mohr os resultados obtidos

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Problemas Propostos

5. O campo de Tensões num sólido elástico, na ausência de forças de volume édefinido, em cada ponto, pelas componentes seguintes:

xx yy zz

xy yz zx

ax 2 cy 0ax 2by c (by 2) 2ax 5z

= = − =σ σ σ= + + = − − = −τ τ τ

a) Determine a, b, c, de modo que o campo de tensões acima referido sejacompatível com a Teoria da Elasticidade.

b) Determine as tensões principais na origem das coordenadas e as respectivas direcções.

c) No referido ponto (origem) determine o valor da tensão de corte máxima,bem como o plano e a direcção segundo a qual actua.

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Resolução do Prob 1

As Direcções Principais são facilmente calculadas, uma vez conhecidas as Tensões Principais que são as raízes da Equação Característica. Esta equação é:

( )

1

2

50 600 ou - 50- 3600 0

60

90raízes: MPa

40

− σ −= σ σ − =

− −σ

σ⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬σ −⎩ ⎭⎩ ⎭

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40

Resolução do Prob 1Cont.

Para determinar a orientação das direcções principais considera-se o sistema de equações seguinte no que respeita a σ1=90MPa

50 90 60 l 20 com l=1 determina-se m=60 90 m 3

3 2a que corresponde o versor 13 13

− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫=⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎩ ⎭

⎧ ⎫± ±⎨ ⎬⎩ ⎭

Para σ2=-40MPa procede-se de modo análogo.

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Resolução do Prob 1(Outra Forma)

( )xy

pxx yy

p

12tan g2 2.4/ 2 5

33.69º

−τ= = = −θ−σ σ

( )2

xx yy xx yy 2maxx´x´ xymin

1

2

22

25 65 90ou

25 65 40

+ −⎛ ⎞σ σ σ σ= ± +σ τ⎜ ⎟⎝ ⎠

σ +⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬σ − −⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭

Utilizando as Fórmulas seguintes também se pode chegar aos mesmos resultados.

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Resolução Problema 2a)

O Tensor das tensões é: 90 20 1020 45 0 MPa10 0 30

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

y

x

z

y

x

z90

45

90

45

30

30

20

2010

102010

10

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Resolução Problema 2b)

3 2

1

2

3

90 20 1020 45 0 0 105 500 11400 010 0 30

98.3cuja solução é: 30.9 MPa

37.6

− σ −− σ = ⇒ −σ − σ + σ − =

− − − σ

σ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪σ = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪σ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

A equação característica é:

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Resolução Problema 2c)

90 98.3 20 10 l 020 45 98.3 0 m 010 0 30 98.3 n 0

Considerando l=1 obtém-se m=0.375 e n= -0.0779 Normalizando obtém-se: l = 0.934; m = 0.350;n = -0.0728

− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

De modo análogo se obtêm os restantes cossenos directores.

Para verificar que são ortogonais consideram-se os produtos escalares dos vectores.

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Resolução Problema 2d)

Pressão média p=(90+45-30)/3=3590-p 20 -10 55 20 1020 45-p 0 20 10 010 0 -30-p 10 0 65

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

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Resolução Problema 2e)

A equação característica é:

3

55 20 1020 10 0 0 10750 4175 010 0 65

− σ −− σ = ⇒ − + σ − σ =

− − − σ

Os Invariantes são:J1=0;J2=-4175;J3=-10750

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Resolução Problema 2f)

Por solução da equação característica obtêm-se as tensões principais:

1 2

3 2

1

2

3

1 3t2t1

2 3t3

90 20 1020 45 0 0 105 500 11400 010 0 30

98.3cuja solução é: 30.9 MPa

37.6

;T 30.35MPa2

T 34.25M

T 64.6

Pa;

M a

2

P2

− σ −− σ = ⇒ −σ − σ + σ − =

− − − σ

σ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪σ = −⎨ ⎬

σ − σ=

⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪σ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

σ − σ= ± = ±

σ − σ

± ±

±

=

= ± =

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Resolução Problema 2f)

Cont.

1 2t1

1 2n1

T 64.6MPa2

T 33.7MP2

;

a

σ − σ= ± = ±

σ + σ= =

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Resolução Problema 2g)

1 1 13 3 3

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

n

1 1003 390 20 10

1 65T 20 45 03 310 0 30

1 403 3

13

100 65 40 1 125T MPa33 3 3 3

13

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

⎧ ⎫⎪ ⎪= − =⎨ ⎬⎨ ⎬⎩ ⎭⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Os co-senos directores de um plano igualmente inclinado em relação aos eixos coordenados são:

t

2 2n

100T 3;T3

25T T 233

= =

= − =

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Resolução Problema 2h)

1 1 1

2 2 2

3 3 3

′′′

x y zx l m ny l m nz l m n

[ ]1 2 3

1 2 3

1 2 3

l l lQ m m m

n n n

3 1 02 21 3 02 20 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

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Resolução Problema 2h)

[ ] [ ] [ ][ ]´ = T QQσ σ

[ ]96.07 9.49 8.66

´ 9.49 38.93 58.66 5 30

− −⎡ ⎤⎢ ⎥σ = −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

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Resolução Problema 3a)

O Tensor das Tensões é 60 0 00 30 10 MPa0 10 30

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

As tensões tangenciais ou de corte no plano perpendicular ao eixo dos xx são nulas existindo só a tensão normal σxx=60MPa consequentemente o plano perpendicular ao eixo dos xx é um plano principal e este plano é o plano Oyz

xy

z

60

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Resolução Problema 3b)

60 0 00 30 10 MPa0 10 30

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Tensor das Tensões

Equação Característica

( )2

1 2 3

(60 )( 30 100) 0Solução : 60MPa; 40MPa; 20MPa

− σ − σ − =

σ = σ = σ =

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Resolução Problema 3b)

Cont.

60 40 0 0 l0 30 40 10 m 0 m 1l 0, , n 1;0 10 30 40 n

Normalizando obtém-se: {0,1/ 2,1/ 2}

−⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥− = ⇒ = =⎨ =⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭

Para a Tensão σ1=60MPa a direcção principal é {1,0,0}.

Para a Tensão σ2=40MPa a direcção principal obtém-se resolvendo o sistema de equações seguinte:

De modo análogo se determina a direcção principal associada à tensão σ3=20MPa que é: {0,1/ 2, 1/ 2}−

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Resolução Problema 3c)

60 0 00 30 10 MPa0 10 30

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

O Tensor das Tensões é:

A Pressão Hidrostática é igual a um terço do 1º Invariante das Tensões que é a soma dos elementos da diagonal do Tensor das Tensões consequentemente a Pressão Hidrostática é 40MPa. Calculando a Pressão hidrostática a partir das tensões principais obtém-se o mesmo valor.

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Resolução Problema 3d)

60 0 0 40 0 0 20 0 00 30 10 0 40 0 0 10 10 MPa0 10 30 0 0 40 0 10 10

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

O Tensor das Tensões de Desvio obtém-se subtraindo aos elementos da diagonal do tensor das tensões a pressão hidrostática:

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Resolução Problema 4a)

O Tensor das Tensões é tensor simétrico em consequência da consideração do equilíbrio de momentos, ou seja c=a e d=b.

Se as Tensões normal e tangencial são nulas na referida faceta a tensão resultante também é, ou seja:

3 3100 a b 0 a b 100a 200 0 3 3 0 a 200b 0 e 0 b e3 3

A solução do sistema de equações conduz ao resultado seguinte.a = 200MPa; b = -100MPa;e = -100MPa

⎧ ⎫− + =⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ = ⇒ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

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Resolução Problema 4b)

100 200 100200 200 0 MPa100 0 100

as tensões principais são: {0,364.58,-164.58}

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

O Tensor das Tensões é:

As tensões de corte “máximas” são:1 31 2

t1 t2

2 3t1

T 182.29MPa; T 82.29MPa;2 2

T 264.58MPa;2

σ − σσ − σ= = − = =

σ − σ= =

Os planos que correspondem às tensões de corte máximas fazem 45º com os planos principais.

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Resolução do Problema 5a)

O campo das Tensões deve satisfazer as equações de equilíbrio, com Bx=0, By=0 e Bz=0.

yxxx zxxB 0

x y z∂τ∂σ ∂τ

+ + + =∂ ∂ ∂

xy yy zyyB 0

x y z∂τ ∂σ ∂τ

+ + + =∂ ∂ ∂

yzxz zzzB 0

x y z∂σ∂τ ∂σ

+ + + =∂ ∂ ∂

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Resolução do Problema 5a)

Substituindo as tensões nas equações anteriores, obtém-se o sistema de equações seguinte:

2 5 0 10 2

2 0 1

a b aa c ba b c

⎧ + − = =⎧⎪ ⎪− = ⇒ =⎨ ⎨⎪ ⎪− = =⎩⎩