Statistiki

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

1

1. Ποιες από τις παρακάτω μεταβλητές είναι ποιοτικές; Ποιες είναι ποσοτικές; Ποιες

από τις ποσοτικές είναι διακριτές και ποιες είναι συνεχείς;

α) Το μήκος ενός ποταμού.

β) Το πλήθος των σελίδων ενός βιβλίου

γ) Το χρώμα μαλλιών.

δ) Η διάρκεια μιας κινηματογραφικής ταινίας.

ε) Τα μόρια για την εισαγωγή στα ΑΕΙ και ΤΕΙ.

στ) Η θερμοκρασία ενός δωματίου.



α) Η εθνικότητα.

β) Το πλήθος των επιβατών που χωράει ένα αυτοκίνητο.

γ) Το πλήθος των θεατών σε έναν αγώνα ποδοσφαίρου.

δ) Το ύψος ενός βουνού.

ε) Η διάρκεια ζωής ενός ηλεκτρικού λαμπτήρα.

στ) Οι πωλήσεις ενός μοντέλου αυτοκινήτου.



α) Το φύλο ενός ανθρώπου.

β) Το πλήθος των ζώων ενός είδους που κινδυνεύει με εξαφάνιση.

γ) Το πλήθος των ορόφων ενός κτιρίου.

δ) Το βάρος μιας φραντζόλας ψωμιού.

ε) Το επάγγελμα.

στ) Η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου όταν περνάει από ένα συγκεκριμένο σημείο της

εθνικής οδού.


2

4. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε ποιος είναι ο πληθυσμός και

ποια είναι η μεταβλητή ή οι μεταβλητές. Να διακρίνετε ποιες από τις μεταβλητές

αυτές είναι ποιοτικές, ποιες συνεχείς και ποιες διακριτές.

α) Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε πόσοι Έλληνες είναι φορείς του AIDS.

β) Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε πόσες Αγγλικές λέξεις είναι Ελληνικής

προέλευσης.

γ) Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε ποιο από τα τρία αρώματα προτιμούν οι

γυναίκες.

δ) Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε το νούμερο παπουτσιών των μαθητών μιας

τάξης. ε) Το επάγγελμα.

στ) Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε τις επιδόσεις των αθλητών στο άλμα εις ύψος

στους Πανευρωπαϊκούς αγώνες.

5. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε ποιος είναι ο πληθυσμός και

ποια είναι η μεταβλητή ή οι μεταβλητές. Να διακρίνετε ποιες από τις μεταβλητές

αυτές είναι ποιοτικές, ποιες συνεχείς και ποιες διακριτές και να αναφέρετε

μερικές δυνατές τιμές τους.

α) Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε το επίπεδο μόρφωσης των Ελλήνων.

β) Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε πόσο καθυστερούν οι πτήσεις της Ολυμπιακής.

γ) Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε πόσοι Δανοί έχουν επισκεφθεί την Ελλάδα.

δ) Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε ποιο είδος τροφής από τις Α, Β, Γ, προτιμούν

οι γάτες.

ε) Μας ενδιαφέρει το βάρος των μαθητών ενός σχολείου.

6. Είναι τα παρακάτω δείγματα αντιπροσωπευτικά; Εξηγήστε γιατί.

α) Για να βρούμε πόσοι άνθρωποι παρακολουθούν μια τηλεοπτική εκπομπή

τηλεφωνούμε την ώρα της μετάδοσής της σε 1000 τυχαίους αριθμούς και

ρωτάμε εκείνους που απαντούν αν παρακολουθούν την εκπομπή.

β) Προκειμένου να διαπιστώσουμε πόσα αυτοκίνητα μιας πόλης είναι Mercedes

χρησιμοποιούμε ως δείγμα τα αυτοκίνητα που είναι σταθμευμένα σε ένα μεγάλο

πολυώροφο γκαράζ.

γ) Για να βρούμε πόσοι άνθρωποι μιας πόλης διαθέτουν αυτοκίνητο ρωτάμε κάθε

δέκατο άνθρωπο που μπαίνει σε ένα σταθμό του ηλεκτρικού σιδηροδρόμου.


3

δ) Για να βρούμε πόσοι άνθρωποι μιας πόλης διαθέτουν δικό τους σπίτι ρωτάμε

τυχαία τους οδηγούς αυτοκινήτων που σταματούν στα φανάρια.

7. Σε καθεμιά από τις παρακάτω δημοσκοπήσεις η διαδικασία που ακολουθείται έχει

κάποιο ελάττωμα. Σχολιάστε κάθε περίπτωση ξεχωριστά.

α) Για να εκτιμήσει ο διευθυντής μιας αθλητικής εφημερίδας τη γνώμη που έχουν

οι φίλαθλοι για τη διαιτησία τους καλεί να του γράψουν αν η ομάδα τους

αδικείται ή όχι.

β) Σε μια τηλεοπτική εκπομπή συζητείται ένα λάθος της κυβέρνησης για το

οποίο, όπως λέει ο παρουσιαστής, μπορεί να φταιει ή ο υπουργός ή ο ίδιος ο

πρωθυπουργός.

Για να διαπιστώσει ο παρουσιαστής τι πιστεύει το κοινό δίνει δύο αριθμούς

τηλεφώνου και ζητάει από τους τηλεθεατές να τηλεφωνήσουν στον πρώτο αριθμό

αν πιστεύουν ότι φταίει ο πρωθυπουργός και στο δεύτερο αριθμό αν πιστεύουν

ότι φταίει ο υπουργός.

Νέος τρόπος

επίλυσης ασκήσεων.


4

Στις ποιοτικές μεταβλητές ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων έχει ως πρώτη

στήλη τις (μη αριθμητικές) τιμές των μεταβλητών και ακολουθούν η στήλη των

συχνοτήτων (απόλυτων), που μας δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή της

εξεταζόμενης μεταβλητής στο σύνολο των παρατηρήσεων, η στήλη των σχετικών

συχνοτήτων που μας δείχνει ποιο μέρος της μονάδας καταλαμβάνει η αντίστοιχη

μεταβλητή και η στήλη των σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό, που μας δείχνει το

ποσοστό εμφάνισης της τιμής της μεταβλητής επί του συνόλου.

Παραδείγματος χάριν, από τον παρακάτω πίνακα βρίσκουμε ότι σε σύνολο 24

ατόμων, οι 8 απάντησαν ότι το χόμπυ τους είναι να ακούνε ή να παίζουν μουσική,

και ότι το ποσοστό των απαντήσεων «μουσική» είναι 3,33 %. Ο αριθμός 3,0

αντιστοιχεί στη φράση: «8 στους 24» ÷øö

çèæ

248 .

Χόμπυ Συχνότητα

νi

Σχετική

Συχνότητα

fi

Σχετική Συχνότητα

% fi%

αi

Χορός

Κινηματογράφος

Μουσική

4

12

8

61,0

0,5 3,0

6,16

50 3,33

60

180

120

24 1 100 360

Προσοχή: Στις ποιοτικές μεταβλητές δεν έχουν νόημα οι αθροιστικές συχνότητες και

οι αθροιστικές σχετικές (Ni, Fi, Fi%) και γι’ αυτό ο πίνακας δεν περιέχει

αυτές τις στήλες.


5

Για τη γραφική παράσταση των στατιστικών δεδομένων έχουμε τους

παρακάτω τρόπους, προκειμένου για ποιοτικές μεταβλητές.

i) Ραβδόγραμμα (για νi, fi, fi%)

0

4

8

12

16

X K M

vi

X K M

fi

X K M

fi%

ii) Σημειόγραμμα (μόνο για νi) iii) Κυκλικό Διάγραμμα (φτιάχνουμε 1 κυκλικό

που είναι και για νi, και για fi, fi%)

0,5

0,3

0,16

50

33,3

16,6

Χ Κ Μ

33,3% 16,6%

50%

120ο 60ο

180ο

8 4

12

Μ

Χ

Κ


6

Παρατηρήσεις:

' Τα ραβδογράμματα για νi, fi, fi% είναι όμοια. Το μόνο που αλλάζει είναι οι

τιμές στον κατακόρυφο άξονα (δηλαδή αλλάζει η κλίμακα). Η ομοιότητα

οφείλεται στο ότι τα αντίστοιχα ποσά είναι ανάλογα.

' Σημειόγραμμα κάνουμε μόνο για μικρό αριθμό παρατηρήσεων.

' Το κυκλικό διάγραμμα είναι το ίδιο για νi, fi, fi% επειδή τα ποσά είναι ανάλογα

και άρα θα αντιστοιχίζονται σε ίσες γωνίες. Οι μοίρες υπολογίζονται από τον

τύπο: io

o

ii f360360×=

n×n=a

' Το άθροισμα των συχνοτήτων (νi) είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος.

' Το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων (fi) είναι ίσο με 1.

' Το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό (fi%) είναι ίσο με 100.

' Τα ζεύγη (xi,νi) αποτελούν την κατανομή συχνοτήτων, ενώ τα (xi, fi) και (xi,

fi%) αποτελούν την κατανομή σχετικών συχνοτήτων.

Στις ποσοτικές διακριτές μεταβλητές φτιάχνουμε πίνακα κατανομής

απόλυτων, σχετικών και αθροιστικών συχνοτήτων. Οι στήλες των αθροιστικών

συχνοτήτων προκύπτουν από τις αντίστοιχες συχνότητες από τους τύπους:

å=

=i

1jji nN , å

=

=i

1jji fF , å

=

=i

1jji %F%F όμως οι Ni, Fi, Fi% συνδέονται μεταξύ τους

με τον ίδιο τρόπο που συνδέονται οι νi, fi, fi%, δηλαδή n

= ii

NF , 100F%F ii ×= .

Οι νi, fi, fi% έχουν το ίδιο νόημα με εκείνο που είχαν και στις ποιοτικές

μεταβλητές. Για να καταλάβουμε το νόημα των Νi, Fi και Fi% θεωρούμε τον

ακόλουθο πίνακα:


7

Αριθμός παιδιών /

οικογένεια xi

νi fi fi% Νι Fi Fi% αi

0

1

2

3

4

5

2

8

12

11

5

2

0,05

0,20

0,30

0,275

0,125

0,05

5

20

30

27,5

12,5

5

2

10

22

33

38

40

0,05

0,25

0,55

0,825

0,95

1

5

25

55

82,5

95

100

18

72

108

99

45

18

40 1 100 360

Από τον πίνακα αυτό καταλαβαίνουμε ότι 22 οικογένειες έχουν μέχρι 2 παιδιά

(στήλη Ni) καθώς και ότι το 82,5% των οικογενειών έχουν μέχρι και 3 παιδιά (στήλη

Fi%). Επίσης 3 ή 4 παιδιά έχουν 162238NN 34 =-=- οικογένειες.

Εάν θεωρήσουμε τα δεδομένα διατεταγμένα κατ’ αύξουσα σειρά, τότε από τη

στήλη των αθροιστικών συχνοτήτων (Ni) βλέπουμε ότι η 10η οικογένεια έχει 1 παιδί

και ότι από την 11η μέχρι την 22η οικογένεια έχουμε 2 παιδιά. Έτσι π.χ. η 17η

οικογένεια έχει 2 παιδιά, ενώ η 35η έχει 4.


παρακάτω τρόπους, προκειμένου για ποσοτικές διακριτές μεταβλητές.

i) Διαγράμματα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων

και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων (νi, fi, fi%, Νi, Fi, Fi%)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5

vi

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5

fi%


8

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5

Ni

0

25

50

75

100

0 1 2 3 4 5

Fi%

ii) Πολύγωνα για (νi, fi, fi%, Νi, Fi, Fi%)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5

vi

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5

fi%

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5

Ni

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5

fi%


9

iii) Σημειόγραμμα (μόνο για νi) iv) Κυκλικό Διάγραμμα (ένα για νi, fi, fi% και

όχι για Νi, Fi, Fi%)


N Το διάγραμμα των νi, fi, fi% είναι όμοια διότι τα αντίστοιχα ποσά είναι

ανάλογα. Το ίδιο συμβαίνει και για τις Νi, Fi, Fi%, καθώς και για τα πολύγωνά

τους.

N Τα τελευταία Νi, Fi και Fi% είναι ίσα με ν, 1 και 100 αντίστοιχα.

Η πρώτη στήλη του πίνακα περιέχει τις κλάσεις, η δεύτερη περιέχει τις

κεντρικές τιμές των κλάσεων (δηλαδή το μέσο όρο των δύο άκρων) και ακολουθούν

οι στήλες των νi, fi, fi%, Νi, Fi, Fi% που υπολογίζονται όπως και προηγουμένως. Το

πλάτος των κλάσεων, δηλαδή η διαφορά των δύο άκρων της συμβολίζεται με το

γράμμα c. Μπορούμε να έχουμε πίνακες με κλάσεις ίσου πλάτους και πίνακες με

κλάσεις άνισου πλάτους.

Παραδείγματος χάριν, για τα ύψη των μαθητών μιας τάξης θα μπορούσαμε να

έχουμε τους ακόλουθους πίνακες: Κλάσεις Κεντρική τιμή

xi

νi fi fi% Νι Fi Fi% Κλάσεις xi νi fi fi% Νι Fi Fi%

150-160 155 1 0,05 5 1 0,05 5 150-160 155 1 0,05 5 1 0,05 5

160-170 165 4 0,2 20 5 0,25 25 160-180 170 11 0,55 55 12 0,6 60

170-180 175 7 0,35 35 12 0,6 60 180-185 182,5 3 0,15 15 15 0,75 75

180-190 185 6 0,3 30 18 0,9 90 185-200 192,5 5 0,25 25 20 1 100

190-200 195 2 0,1 10 20 1 100 20 1 100

20 1 100

0 1 2 3 4 5

0

3

2 1

4

5


10

Για την ερμηνεία των Νi, Fi, Fi% ισχύει ότι και στις ποσοτικές διακριτές. Έτσι

π.χ. από τα δεδομένα του πρώτου πίνακα έχουμε ότι ο 14ος κατ’ αύξουσα σειρά

ύψους μαθητής, έχει ύψος από 180 μέχρι 190, ότι ποσοστό 90% των μαθητών έχει

ύψος μέχρι 190 κ.λπ.

Προσοχή:

Στην περίπτωση που οι κλάσεις δηλώνονται όπως στο παράδειγμα δηλαδή

π.χ. 150-160, τότε εάν ένας μαθητής βρίσκεται στο κάτω άκρο μιας κλάσης τον

κατατάσσουμε στην αμέσως επόμενη κλάση. Δηλαδή ένας μαθητής με ύψος 190,

μπαίνει στην κλάση 190-200.


παρακάτω τρόπους, προκειμένου για ποσοτικές συνεχείς μεταβλητές.

α) Για κλάσεις ίσου πλάτους: i) ιστογράμματα συχνοτήτων (για νi, fi, fi%, Νi, Fi, Fi%)

ii) πολύγωνα συχνοτήτων (για νi, fi, fi%, Νi, Fi, Fi%)

(στα παρακάτω σχήματα τα πολύγωνα δηλώνονται με διακεκομμένη γραμμή)

0

1

2

3

4

5

6

7

8vi

0

5

10

15

20

25

30

35

40fi%

150 170 190 150 170 190


11

0

5

10

15

20

25Ni

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100Fi%

iii) κυκλικό διάγραμμα (φτιάχνουμε ένα που είναι και για νi και για fi και για

fi%. Δεν φτιάχνουμε κυκλικό για τις Νi, Fi, Fi%).


@ Για να φτιάξουμε πολύγωνο νi, fi, fi% θεωρούμε ότι υπάρχει μια κλάση ακόμη

πιο πριν και μια πιο μετά, με μηδενικό ύψος και ενώνουμε τα μέσα των άνω

πλευρών των ορθογωνίων.

@ Για να φτιάξουμε πολύγωνο Νi, Fi, Fi% ενώνουμε τα δεξιά άκρα των άνω

πλευρών των ορθογωνίων.

@ Το πλάτος των κλάσεων θεωρείται μονάδα μέτρησης στον οριζόντιο άξονα,

επομένως το εμβαδόν του ορθογωνίου ισούται με το αντίστοιχο νi, fi, fi%, Νi,

Fi, Fi%.

@ Το εμβαδόν του πολυγώνου συχνοτήτων (νi) είναι ίσο με ν.

@ Το εμβαδόν του πολυγώνου σχετικών συχνοτήτων (fi) είναι ίσο με 1.

@ Το εμβαδόν του πολυγώνου συχνοτήτων (fi%) είναι ίσο με 100.

β) Για κλάσεις άνισου πλάτους: Φτιάχνουμε μόνο ιστόγραμμα και το ύψος των ορθογωνίων βρίσκεται από

τους τύπους: i

ii c

vu = , i

ii c

%fu =

150 170 190 150 170 190


12

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

i) Ραβδόγραμμα. Στην περίπτωση ποιοτικής μεταβλητής που εξετάζεται για 2 ή

περισσότερες κατηγορίες ανθρώπων, φτιάχνουμε το διπλό ή πολλαπλό

ραβδόγραμμα εάν δεν θέλουμε να παρουσιάσουμε κάθε κατηγορία χωριστά,

αλλά όλες μαζί σε ένα γράφημα.

Παραδείγματος χάριν, τα δεδομένα του παρακάτω πίνακα που παρουσιάζουν

τα συναισθήματα που ένιωσαν 3 παιδιά κατά τη διάρκεια ενός ψυχολογικού

τεστ, παρουσιάζονται.

Συναίσθημα Παιδί Α Παιδί Β Παιδί Γ

Θυμός

Άγχος

Ευφορία

Τίποτα

3

5

6

4

2

6

4

6

3

4

3

8

18 18 18

150 170 190


13

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10vi

ii) Χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα. Χρησιμοποιείται για να περιγράψει

τη διαχρονική εξέλιξη ενός μεγέθους. Συνήθως στον οριζόντιο άξονα έχουμε

το χρόνο.

Παραδείγματος χάριν το παρακάτω χρονόγραμμα μας δείχνει πως εξελίχθηκε

το βάρος 2 ατόμων ανάλογα με την ηλικία τους.

0

10

20

30

40

50

60

70

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

ηλικία

Kg

iii) Υπάρχουν και άλλοι τρόποι παρουσίασης όπως π.χ. το εικονόγραμμα

Θυμός Άγχος Ευφορία Τίποτα

Α

Α

Α

Α

Β

Β

Β Β

Γ

Γ

Γ

Γ


14

1. (Κατανόηση). Να σημειώσετε στο γραπτό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη

σωστή απάντηση. Σε ένα δείγμα μεγέθους κ ο λόγος i

i

FN είναι ίσος με:

α) iv β) iv

1

γ) k1 δ) κ

2. (Ερώτηση με κατάλληλη συμπλήρωση πίνακα). Ρωτήθηκαν ν άτομα σχετικά με

ποιο από τα τρία δημόσια πρόσωπα Α, Β και Γ είναι πιο δημοφιλές και τα

αποτελέσματα δόθηκαν περιέργως στον παρακάτω πίνακα.

xi vI Fi%

A

B 75 80

Γ 30

Να βρεθεί το πλήθος ν των ερωτηθέντων ατόμων.

3. (Πίνακες συχνοτήτων και κυκλικά διαγράμματα ποιοτικών μεταβλητών). Το

παρακάτω ραβδόγραμμα δίνει το ποσοστό τηλεθέασης 200 ατόμων, οι οποίοι

παρακολουθούν περισσότερο ένα από τα κανάλια Α, Β, Γ και Δ.

0

10

20

30

40

50

60

Α Β Γ Δ

fi%


15

i. Να βρεθεί το πλήθος των παραπάνω τηλεθεατών οι οποίοι παρακολουθούν το

κανάλι Δ.

ii. Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων (xi, vi, fi, Ni, Fi, fi% και Fi%).

iii. Να μετατραπεί το ραβδόγραμμα σε κυκλικό διάγραμμα σχετικών

συχνοτήτων.

3. Από 12 επιβατηγά αυτοκίνητα που ελέγχθηκαν τυχαία τα 4 είχαν από 1 μόνο

επιβάτη (τον οδηγό), τα 2 είχαν από 2 επιβάτες, τα 3 είχαν από 3 επιβάτες και τα

υπόλοιπα είχαν από 4 επιβάτες. Να απεικονίσετε γραφικά τις παρατηρήσεις αυτές

με ένα σημειόγραμμα.

4. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του παρακάτω πίνακα να κατασκευάσετε

χρονόγραμμα που να δείχνει την εξέλιξη της παιδικής εγκληματικότητας από το

1987 έως και το 1997.

Έτος Συχνότητα 1987 9 1988 26 1989 18 1990 2 1991 25 1992 76 1993 208 1994 101 1995 54 1996 110 1997 249

Πηγή: Ελευθεροτυπία 23/10/98

5. Μια ομάδα μπάσκετ πέτυχε σε έναν αγώνα 12 βολές (που δίνουν από ένα πόντο),

20 δίποντα και 8 τρίποντα. Να κατασκευάσετε κυκλικό διάγραμμα και

ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων για τους πόντους που προήλθαν από βολές,

δίποντα ή τρίποντα.

6. Ένα δείγμα από 240 γάτες έχει τα χαρακτηριστικά που συνοψίζονται στον

παρακάτω πίνακα. Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων.

α) ως προς το χρώμα τριχώματος

β) ως προς το χρώμα ματιών


16

ΧΡΩΜΑ ΜΑΤΙΩΝ ΚΑΙ ΤΡΙΧΩΜΑΤΟΣ

Κίτρινα μάτια Πράσινα μάτια Χαλκόχρωμα μάτια

Μονόχρωμο τρίχωμα 50 40 35

Δίχρωμο τρίχωμα 40 45 5

Τρίχρωμο τρίχωμα 4 1 20

7. Να συμπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα ο οποίος αναφέρεται σε κάποια

μεταβλητή Χ.

Μεταβλητή Χ Συχνότητα Σχετική

συχνότητα

Αθροιστική

συχνότητα

Αθροιστική σχετική

συχνότητα

X1 100

X2 0,5

X3 250 0,5

8. Το παρακάτω διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων αναφέρεται στο πλήθος των

υπαλλήλων μιας επιχείρησης. Είναι σωστό το διάγραμμα αυτό; Εξηγήστε γιατί.

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3

πλήθος παιδιών

σχετ

ική

συχν

ότητ

α


17

9. Το παρακάτω πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων αναφέρεται στο σωματικό

βάρος δείγματος 200 ανθρώπων. Είναι σωστά σχεδιασμένο το πολύγωνο αυτό;

Εξηγήστε γιατί.

10. Να εξηγήσετε γιατί το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ του πολυγώνου

συχνοτήτων και του οριζόντιου άξονα είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος.

11. Το παρακάτω διάγραμμα παριστάνει τις προτιμήσεις 270 γυναικών προς 3

διαφορετικά αρώματα. Αν 3x+y=160o τότε να βρείτε ποιο ποσοστό γυναικών

προτιμά καθένα από τα αρώματα και να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα


12. Μια βιβλιοθήκη περιέχει συνολικά 1025 τόμους βιβλίων. Από αυτούς 350 είναι

λογοτεχνικοί, οι 125 εγκυκλοπαιδικοί, οι 50 ιστορικοί και οι υπόλοιποι σχετικοί

με μαθηματικά. Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων και

ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων.

13. Το παρακάτω διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων αναφέρεται στους ορόφους των

κτισμάτων κάποιας πόλης.

α) Να βρείτε το ποσοστό των κτιρίων που έχουν από 3 ορόφους και άνω.

Αθροιστική συχνότητα

Σωματικό βάρος 45 105

3x

y

3x+y

ΥΒ ΣΑΙΝ ΥΔΡΩΤΙΛ

ΚΡΙΣΤΙΑΝ ΠΟΔΑΡΙΛ

ΖΑΝ ΣΚΟΡΔΙΛ


18

β) Να κατασκευάσετε κυκλικό διάγραμμα για το πλήθος των ορόφων.

14. Το παρακάτω ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων αναφέρεται στη διάρκεια ζωής

ενός δείγματος ηλεκτρικών λαμπτήρων. Να βρείτε το ποσοστό των λαμπτήρων

που:

α) διαρκούν περισσότερες από 450 ώρες

β) διαρκούν λιγότερες από 400 ώρες

γ) διαρκούν από 350 έως 450 ώρες.

1 2 3 4 5 6

πλήθος ορόφων

σχετ

ική

συχν

ότητ

α %

6x

4x

5x

3x

2x

x

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

3 0 0 35 0 4 00 4 5 0 5 0 0δ ιά ρ κ ε ια ζ ωή ς ε νό ς λ α μ π τή ρ α (σ ε ώρ ε ς )

σχετ

ική

συχν

ότητ

α %


19

15. Το παρακάτω ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων αναφέρεται στη

διάρκεια δείγματος κινηματογραφικών ταινιών. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σχήμα το

πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. Ποιο περίπου ποσοστό

κινηματογραφικών ταινιών έχει διάρκεια πάνω από 2 ώρες κι ένα τέταρτο;

16. Ένας παίκτης του μπάσκετ είχε το 1998 συμμετοχή σε 30 αγώνες της ομάδας

του. Τα παρακάτω δεδομένα αντιπροσωπεύουν τα φάουλ που έκανε σε κάθεναν

από τους αγώνες.

4 2 3 3 5 0 4 2 4 3

0 4 5 5 1 3 4 0 2 3

3 4 3 1 5 3 2 4 4 3

Να κατασκευάσετε πίνακα με τις συχνότητες, σχετικές συχνότητες, αθροιστικές

συχνότητες και αθροιστικές σχετικές συχνότητες της μεταβλητής “φάουλ”. Στη

συνέχεις να κατασκευάσετε ένα διάγραμμα συχνοτήτων και το αντίστοιχο

πολύγωνο συχνοτήτων.

17. Οι παρακάτω αριθμοί αντιπροσωπεύουν το πλήθος των ενηλίκων επιβατών που

μπορεί να μεταφέρει καθένα από 30 διαφορετικά αυτοκίνητα.

5 4 4 6 4 3 5 4 5 3

4 3 5 6 4 5 5 3 4 4

0102030405060708090

100110

διάρκεια κινηματογραφικής ταινίας (σε λεπτά)

αθρο

ιστι

κή σ

χετι

κή σ

υχνό

τητα

%

60 90 120 150 180


20

6 3 4 5 5 3 4 4 5 4

α) Να κατασκευάσετε πίνακα με τις συχνότητες, σχετικές συχνότητες,

αθροιστικές συχνότητες και αθροιστικές σχετικές συχνότητες της μεταβλητής

«πλήθος επιβατών».

β) Να κατασκευάστε ένα διάγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και

το αντίστοιχο πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.

γ) Να βρείτε το ποσοστό των αυτοκινήτων του δείγματος που μπορεί να

μεταφέρει:

i) τουλάχιστον 5 επιβάτες

ii) το πολύ 4 επιβάτες

iii) 4 ή 5 επιβάτες

18. Ο παρακάτω πίνακας αναφέρεται στους χαρακτηρισμούς που πήραν οι μαθητές

μιας τάξης Γ’ Λυκείου με βάση το βαθμό του απολυτηρίου τους.

α) Να συμπληρώσετε τα κενά στον πίνακα αυτό.

β) Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα και κυκλικό διάγραμμα της κατανομής


ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ Συχνότητα Σχετική Συχνότητα %

Άριστα 3

Λίαν Καλώς 12

Καλώς 12

Σχεδόν Καλώς 25

ΣΥΝΟΛΟ 36

1. Το παρακάτω ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων αναφέρεται στο

νούμερο παπουτσιών δείγματος 150 ανθρώπων.

α) Να σχεδιάσετε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.

β) Ποιο ποσοστό του δείγματος φοράει παπούτσια με νούμερο από 36 έως και 39

γ) Αν ξεχωρίσουμε από τους 150 ανθρώπους τους 75 με τα μεγαλύτερα νούμερα

παπουτσιών τότε από ποιο νούμερο και πάνω θα φοράνε αυτοί;


21

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

νούμερο παπουτσιών

σχε

τική

αθρ

οισ

τική

συχ

νότη

τα %


χρόνο που έκαναν 50 δρομείς στα 400 μέτρα (σε δευτερόλεπτα).

α) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.

β) Αν προκρίνονται οι 20 πρώτοι τότε τι χρόνο πρέπει να έχει κάποιος ώστε να

προκριθεί;

γ) Να κατασκευάσετε ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

χρόνος (sec)

σχετ

ική

αθρο

ιστι

κή σ

υχνό

τητα

%

50 51 52 53 54 55

36 38 40 42 44 46


22

3. Το παρακάτω πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων αναφέρεται στο βάρος

δείγματος 20 γυναικών. Να βρείτε πόσες γυναίκες του δείγματος έχουν σωματικό

βάρος:

α) από 50 έως 60 κιλά

β) το πολύ έως 80 κιλά

γ) 72 κιλά

δ) πάνω από 90 κιλά.

4. Να συμπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα ο οποίος αναφέρεται σε κάποια

μεταβλητή Χ.

Μεταβλητή

Χ

Συχνότητα Σχετ.

συχνότητα

Σχ. Συχν.

%

Αθρ.

συχνότητα

Αθρ. Σχ.

Συχν.

Αθρ. Σχ.

Συχν. %

X1

X2 100 150

X3 67,5

X4 0,1

X5 400

5. Με βάση το παρακάτω χρονόγραμμα να απαντήσετε στις ερωτήσεις:

α) Αυξάνονται οι άμεσοι φόροι σε σχέση με τους έμμεσους ή μειώνονται;

β) Αν το 1997 οι άμεσοι φόροι ήταν 2.800.000.000.000 δρχ. τότε πόσοι περίπου

ήταν οι έμμεσοι φόροι;

γ) Ποιο έτος έγιναν οι έμμεσοι φόροι μέγιστοι σε σχέση με τους άμεσους;

50 60 70 80 90 100 110

Αθροιστική συχνότητα

Βάρος (σε κιλά)

0

20

15

10

5


23

ΛΟΓΟΣ ΕΜΜΕΣΩΝ / ΑΜΕΣΩΝ* ΦΟΡΩΝ

6. (Όμοια και συνδυαστικά). Σε ένα δείγμα ν μαθητών της Γ΄ Λυκείου ενός

σχολείου, σχετικά με ποια κατεύθυνση ακολουθεί κάθε μαθητής, δηλαδή Κ1=

θετική, Κ2 = τεχνολογική, Κ3 = θεωρητική, βρέθηκαν:

ü 21

v32v kk = (συχνότητες)

ü o723=ak (γωνία του κυκλικού διαγράμματος)

ü 25v3=k (συχνότητα)

i. Να βρεθεί το πλήθος ν.

ii. Να γίνει το ραβδόγραμμα συχνοτήτων.

iii. Να γίνει το κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων.

7. Τα παρακάτω δεδομένα αντιπροσωπεύουν τις καθυστερήσεις (σε λεπτά) 30

δρομολογίων μιας αμαξοστοιχίας.

14 18 1 24 6 14 4 0 12 5

2 19 11 12 9 2 17 21 13 5

8 15 2 12 10 17 1 16 14 13

α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε κατάλληλο αριθμό κλάσεων ίσου πλάτους

και να κατασκευάσετε πίνακα με τις συχνότητες, σχετικές συχνότητες,

αθροιστικές συχνότητες και αθροιστικές σχετικές συχνότητες των κλάσεων

αυτών.

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998


24

β) Να κατασκευάσετε τα πολύγωνα σχετικών συχνοτήτων και αθροιστικών

σχετικών συχνοτήτων.

9. Από το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων του διπλανού διαγράμματος, να

υπολογίσετε:

α) Το ύψος x, κάτω από το οποίο βρίσκεται το 30% των μαθητών.

β)Το ποσοστό των μαθητών, που έχουν ύψος από 160 ως 175

10. Στο παρακάτω ιστόγραμμα συχνοτήτων δεν αναγράφεται το ορθογώνιο της

κλάσης [3,5).

α) Αν ως μονάδα του χαρακτηριστικού στον οριζόντιο άξονα έχουμε το c=1, να

βρείτε το ορθογώνιο της κλάσης [3,5).

β) Αν ως μονάδα του χαρακτηριστικού στον οριζόντιο άξονα έχουμε το πλάτος

των κλάσεων c=2, να προσδιορίσετε το ορθογώνιο της κλάσης [3,5).

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

11. Στο διπλανό ιστόγραμμα συχνοτήτων, γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν των

ορθογωνίων είναι συνολικά 180. Θεωρούμε ως μονάδα του χαρακτηριστικού

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

150 160 170 180

Fi%

1 3 5 7 9


25

στον οριζόντιο άξονα το πλάτος της κλάσης c=10. Γνωρίζουμε επίσης ότι το

άθροισμα των συχνοτήτων 1ης και 3ης κλάσης ισούται με το άθροισμα των

συχνοτήτων 2ης και 4ης κλάσης. Να υπολογίσετε τις σχετικές συχνότητες των

κλάσεων [20,30) και [30,40).

10 20 30 40 50


26

1. Η μεταβλητή Χ παίρνει τις τιμές x1,x2,x3 με x1<x2<x3. Οι αντίστοιχες αθροιστικές

συχνότητες είναι: Ν1=30, Ν2=70, Ν3=120. Τότε η σχετική συχνότητα της τιμής x1

είναι:

Α: 30% Β: 60% Γ: 90% Δ: 25% Ε:

50%

2. Ποιο είναι το ύψος του δεύτερου ορθογωνίου στο παρακάτω ιστόγραμμα

σχετικών συχνοτήτων;

Α: 4 Β: 5 Γ: 4,5 Δ: 5,5 Ε: 4,75

3. Ποιο είναι το μέγεθος του δείγματος για το παρακάτω ιστόγραμμα αθροιστικών

συχνοτήτων;

Α: 140 Β: 5 Γ: 60 Δ: 300 Ε: 40

2

1

20 30 45

0

10

20

30

40

50

60

70

1 2 3 4 5


27


χρόνο που έκαναν 50 δρομείς στα 100m. Ποιο ποσοστό των δρομέων έκανε

χρόνους καλύτερους από 11sec;

Α: 60% Β: 40% Γ: 30% Δ: 1% Ε:

50%

5. Οι σχετικές συχνότητες x1, x2, x3, x4 είναι 0,3, 0,25, 0,35, 0,1 αντίστοιχα. Πόσες

μοίρες είναι η γωνία φ του παρακάτω κυκλικού διαγράμματος;

Α: 108ο Β: 90ο Γ: 126ο Δ: 98ο Ε:

100ο

φ

x1

x2

x4

x3

0102030405060708090

100110

10 10,5 11 11,5 12 6


28

6. Θεωρούμε δείγμα μεγέθους 200. Αν η μεταβλητή Χ παίρνει τις τιμές x1, x2, x3 και

οι συχνότητες των x1, x2 είναι 120, 45 αντίστοιχα τότε η συχνότητα της τιμής x3

είναι:

Α: 45 Β: 120 Γ: 35 Δ: 75 Ε: 165

7. Η μεταβλητή Χ παίρνει τις τιμές x1, x2, x3. Ποια είναι η σχετική συχνότητα της

τιμής x3;

Α: 45% Β: 4,5% Γ: 1,25% Δ: 0,125% Ε:

12,5%

8. Με βάση το διπλανό ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων ποια είναι η σχετική

συχνότητα κλάσης [5,15);

Α: 10% Β: 3% Γ: 30% Δ: 75% Ε:

20%

45o

x1

x2

x3

0

1

2

3

4

5

6

7


29

9. Η μεταβλητή Χ παίρνει τις τιμές x1, x2, x3 με x1<x2<x3 και αθροιστικές σχετικές

συχνότητες F1, F2, F3 αντίστοιχα. Αν F2=0,6 τότε η σχετική συχνότητα της τιμής

x3 είναι:

Α: 0,4 Β: 0,6 Γ: 0,2 Δ: 0,3 Ε: 0,8

1. Αντιστοιχίστε σε καθένα από τα γράμματα Α, Β, Γ έναν αριθμό από το 1 έως το 6

ώστε καθεμία από τις παρακάτω σχετικές συχνότητες να ταιριάξει με έναν από

τους τομείς του κυκλικού διαγράμματος.

1: 0,3

2: 0,5

3: 0,1

4: 0,4

5: 0,6

6: 0,2

Α Β Γ Δ

2. Αντιστοιχίστε σε καθένα από τα γράμματα Α, Β, Γ, Δ έναν αριθμό από το 1 έως

το 6 ώστε καθεμία από τις σχετικές συχνότητες της πρώτης στήλης να ταιριάξει

με την κατάλληλη κλάση του ιστογράμματος σχετικών συχνοτήτων.

1: 40%

2: 50%

3: 60%

4: 30%

5: 20%

6: 10%

Α Β Γ

144o 108o

72o

36o

A

B

Δ

Γ

0

1

2

3

4

5

6

10 30 45

Γ Β

Α


30


το 6 ώστε καθεμία από τις κατανομές της δεύτερης στήλης να ταιριάξει με την

ονομασία της.

Α: κανονική

Β: ομοιόμορφη

Γ: ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία

Δ: ασύμμετρη με αρνητική ασυμμετρία

Α Β Γ Δ


το 6 ώστε καθένα από τα ζεύγη της πρώτης στήλης, που παριστάνουν το μέγεθος

του δείγματος και τη συχνότητα κάποιας τιμής, να ταιριάξει με την κατάλληλη

σχετική συχνότητα της δεύτερης στήλης.

Α: 50, 4

Β: 80, 20

Γ: 20, 12

Δ: 60, 12

1: 25%

2: 12%

3: 8%

4: 20%

5: 60%

6: 40%

Α Β Γ Δ

1. Η μεταβλητή Χ παίρνει τις τιμές x1, x2, x3 με x1<x2<x3, συχνότητες ν1, ν2, ν3 και

αθροιστικές συχνότητες Ν1, Ν2, Ν3 αντίστοιχα. Αν 12 23N=N και Ν3=3Ν2 τότε

να γράψετε σε μια σειρά τα γράμματα ν1, ν2, ν3 ώστε πρώτο να είναι αυτό που

αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη συχνότητα και τελευταίο αυτό που αντιστοιχεί στη

μικρότερη συχνότητα.


31

2. Αν f1, f2, f3 είναι οι σχετικές συχνότητες των κλάσεων [0,5), [5,30) και [30,40)

αντίστοιχα τότε να βάλετε σε μια σειρά τα γράμματα f1, f2, f3 ώστε πρώτο να είναι

αυτό που αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη και τελευταίο αυτό που αντιστοιχεί στη

μικρότερη σχετική συχνότητα.

1. Το είδος του διαγράμματος που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να

παραστήσουμε γραφικά τις παρατηρήσεις που αντιστοιχούν σε ποιοτική

μεταβλητή είναι το ή το .

2.

Κλάση Συχνότητα

[0,10) 5

[10,50) 80

[50,75] 75

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40

ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ


32

Το είδος του διαγράμματος που χρησιμοποιούμε για να αναπαραστήσουμε τα

δεδομένα του παραπάνω πίνακα λέγεται . Το ορθογώνιο που

αντιστοιχεί στην κλάση [10,50) έχει ύψος ίσο με . Το ορθογώνιο που

αντιστοιχεί στην κλάση έχει ύψος ίσο με 0,5.

3. α) Αν το μέγεθος ενός δείγματος είναι 50 και η συχνότητα της τιμής x1 είναι 10

τότε η σχετική συχνότητα της τιμής αυτής είναι %.

β) Αν το μέγεθος ενός δείγματος είναι 16 και η συχνότητα της x1 είναι

τότε η σχετική συχνότητα της τιμής αυτής είναι 25%.

γ) Αν το μέγεθος ενός δείγματος είναι και η συχνότητα της x1 είναι 10

τότε η σχετική συχνότητα της τιμής αυτής είναι 12,5%.

4. α) Αν οι αθροιστικές συχνότητες των τιμών x1, x2 είναι 20 και 45 αντίστοιχα τότε

η συχνότητα της τιμής είναι 25.

β) Αν οι αθροιστικές συχνότητες των τιμών x1, x2 είναι 10 και 40 αντίστοιχα τότε

η συχνότητα της τιμής x2 είναι

5. α) Αν οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες των τιμών x1, x2 είναι 25% και 60%

αντίστοιχα τότε η σχετική συχνότητα της τιμής x2 είναι .

Αν επιπλέον το μέγεθος του δείγματος είναι 200 τότε η συχνότητα της τιμής x2

είναι

β) Αν οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες των τιμών x1, x2 είναι 30% και

% αντίστοιχα τότε η σχετική συχνότητα της τιμής x2 είναι 5%. Αν επιπλέον το

μέγεθος του δείγματος είναι τότε η συχνότητα της τιμής x2 είναι 2.


33

i) Μέση Τιμή ( )x

Υπολογίζεται μόνο για ποσοτικά δεδομένα ως εξής:

Ä Όταν τα δεδομένα δεν είναι σε πίνακα από τον τύπο å=

=v

1iit

v1x

Ä Όταν τα δεδομένα είναι σε πίνακα από τον τύπο å=

=k

1iiivx

v1x ή από τον

τύπο å=

=k

1iifx .

Ως κ θεωρούμε το πλήθος των xi.

Παραδείγματα

α) Να βρεθεί η μέση τιμή της βαθμολογίας ενός μαθητή που πήρε τους εξής

βαθμούς: 10, 11, 13, 12, 10, 18, 15, 20

Λύση:

( )

625,1310981

201518101213111081xt

81xt

v1x

8

1ii

v

1ii

=×=

=+++++++=Þ=Þ= åå==

β) Να βρεθεί η μέση βαθμολογία των μαθητών μιας τάξης που οι βαθμοί τους

παρουσιάζονται στον πίνακα:

Βαθμός 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Σύνολο

Μαθητής 2 2 4 5 7 8 6 3 0 1 1 39

Λύση: Κατασκευάζουμε τη στήλη xi·vi και βρίσκουμε το άθροισμα των

στοιχείων της:

xivi 20 22 48 65 98 120 96 51 0 19 20

5592019...2220vx11

1iii =++++=å

=


34

3,14559391vx

391xvx

v1x

11

1iiii

k

1iii =×==Þ= åå

==

γ) Εάν στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι μισθοί των υπαλλήλων μιας

εταιρείας σε χιλιάδες δρχ., να βρεθεί ο μέσος μισθός.

Λύση: Κατασκευάζουμε τη στήλη xi (κέντρα των κλάσεων) και τη στήλη xi×vi.

72,1753155181xvx

181xvx

v1x

3

1iiii

k

1iii =×=Þ=Þ= åå

==

ii) Σταθμικός μέσος ( )x

Υπολογίζεται μόνο για ποσοτικά δεδομένα από τον τύπο:

v21

vv2211v

1ii

v

1iii

w...wwwx...wxwx

w

wxx

++++++

==

å

å

=

= , όπου xi οι τιμές της μεταβλητής και

wi ο αντίστοιχος συντελεστής βαρύτητας.

Παράδειγμα

α) Να βρεθεί η μέση τιμή της βαθμολογίας ενός φοιτητή που έχει πάρει σε

υποχρεωτικά μαθήματα τους βαθμούς 5, 7, 8 και σε μαθήματα επιλογής 6

και 10, εάν είναι γνωστό ότι τα υποχρεωτικά μετράνε με συντελεστή 2,

ενώ τα μαθήματα επιλογής με συντελεστή 1,5.

Μισθοί Υπάλληλοι vi

150-170

170-180

180-190

3

10

5

18

xi xi·vi

160

175

185

480

1750

925

3155


35

Λύση:

5,7964

5,15,12225,1105,16282725x

w

wxx

w

wxx 5

1ii

5

1iii

v

1ii

v

1iii

==++++

×+×+×+×+×=Þ=Þ=

å

å

å

å

=

=

=

=

(Εάν όλα τα μαθήματα είχαν την ίδια βαρύτητα τότε θα ήταν

2,7536

5106875x ==

++++= , που είναι >7,5 καθώς το μάθημα με το

μεγαλύτερο βαθμό εδώ έχει την ίδια βαρύτητα με τα άλλα).

iii) Διάμεσος (δ)

Υπολογίζεται μόνο για ποσοτικά δεδομένα.

Ι. Όταν τα δεδομένα δεν είναι ομαδοποιημένα σε κλάσεις

Ä Σε περιττό πλήθος ν δεδομένων, η διάμεσος είναι η τιμή της μεσαίας

παρατήρησης, δηλαδή της 2

1+n (παρατήρησης).

Ä Σε άρτιο πλήθος ν δεδομένων, η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των τιμών

των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή των τιμών της 2n και της 1

2+

n

παρατήρησης.

ΙΙ. Όταν τα δεδομένα είναι ομαδοποιημένα σε κλάσεις, τότε φτιάχνουμε το

πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό, από το

50% φέρνουμε οριζόντια γραμμή και από το σημείο τομής της με το

πολύγωνο, φέρνουμε κατακόρυφη που τέμνει τον οριζόντιο άξονα σε

κάποιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι η διάμεσος.


α) Να βρεθεί η διάμεσος για τα παρακάτω δεδομένα.

1. 3, 6, 8, 3, 2, 1, 9, 12, 10

2. 24, 35, 35, 13, 2, 1


36

Λύση:

1. Τοποθετούμε τα δεδομένα κατ’ αύξουσα σειρά και βρίσκουμε το μεσαίο: h/

11

h/

22

h/

33

h/

43

h56

h/

68

h/

79

h//

801

h//

921

6=d

(Παρατηρούμε ότι έχουμε περιττό (ν=9) η διάμεσος θα είναι η τιμή της

21+n παρατήρησης, δηλαδή η τιμή της

219 + =5ης παρατήρησης, που είναι

το 6)

2. Τοποθετούμε τα δεδομένα κατ’ αύξουσα σειρά: h/

11

h/

22

h313

h424

h//

553

h//

653

5,18

237

22413

==+

=d

(Εδώ έχουμε άρτιο πλήθος δεδομένων (ν=6). Άρα η διάμεσος είναι η

μέση τιμή της hV==n 3

26

2 παρατήρησης –που είναι το 13- και της

hV=+=+n 41312

παρατήρησης –που είναι το 24. Άρα

5,182

2413=

+=d ).

β) Για τα δεδομένα των παρακάτω πινάκων να βρείτε τη διάμεσο 1. 2. 3.

xi νi Ni xi νi Ni Κλάσ. νi fi fi% Fi%

0

1

2

3

2

6

3

5

2

8

11

16

12

13

14

15

3

4

5

3

3

7

12

15

10-20

20-30

30-40

40-50

2

9

5

4

0,1

0,45

0,25

0,2

10

45

25

20

10

55

80

100

16 15 20 1 100

Λύση:

Για το 1. και 2. επειδή δεν είναι ομαδοποιημένα σε κλάσεις, βρίσκουμε τη

διάμεσο από τη στήλη των Ni (εάν δεν υπάρχει τη φτιάχνουμε εμείς).


37

1. ν=16 (άρτιος) 82

162

==n και 9181

2=+=+

n άρα η διάμεσος είναι η

μέση τιμή της 8ης παρατήρησης (1) και της 9ης παρατ. (2), δηλαδή

5,12

21=

+=d .

2. ν=15 (περιττός) 82

162

1==

+n άρα η διάμεσος είναι η τιμή της 8ης

παρατήρησης δ=14.

3. Εδώ επειδή έχουμε κλάσεις, η διάμεσος υπολογίζεται με τον τρόπο που

περιγράφεται στη σελίδα 13, δηλαδή δ=20+x. Γενικά έχουμε

50551050

yx

--

=rw

=

2030yx -=+

0

20

40

60

80

100

Fi%

iv) Επικρατούσα τιμή ή κορυφή (Μ0)

Υπολογίζεται μόνο για ποιοτικά και ποσοτικά δεδομένα.

Ι. Όταν τα δεδομένα δεν είναι ομαδοποιημένα σε κλάσεις, η Μ0 είναι η

παρατήρηση με τη μεγαλύτερη συχνότητα.


1. 1 2 3 3 4 7 1 3 8 3 9 Μ0=3 2. 10 20 20 30 40 40 60 Μ0=20, Μ΄0=40

(δικόρυφη) 3. 13 17 21 22 35 46 58 Δεν υπάρχει

κορυφή

ρ

ω

χ 10 20 δ 30 40 50

y


38

4. 5. 6. xi νi xi νi xi νi 0 1 2 3

2 3 5 1

0 1 2 3

2 3 3 1

0 1 2 3

3 3 3 3

Μ0=2 Μ0=1 Μ΄0=2

0M$/


39

Μ0=Β

vi

1 2 3 4 5

Μ0=3

Μ΄0=1

vi

10 20 30 40

Μ0=20

ΙΙ. Όταν τα δεδομένα είναι ομαδοποιημένα σε κλάσεις, τότε βρίσκουμε την

κορυφή όπως στο παρακάτω παράδειγμα.


Να βρεθεί η κορυφή για τα δεδομένα του παρακάτω πίνακα:

Λύση:

Κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα συχνοτήτων και στην κλάση

με το μεγαλύτερο ύψος φέρνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και

ΒΔ όπως δείχνει το σχήμα. Από το σημείο τομής των ΑΓ και ΒΔ

φέρνουμε κατακόρυφη που τέμνει τον οριζόντιο άξονα σε κάποιο

σημείο. Αυτό το σημείο είναι η κορυφή (Την υπολογίζουμε με το

μάτι). Για τον ακριβή υπολογισμό της κορυφής έχουμε: Τα ΑΟΒ και ΔΟΓ είναι

όμοια διότι έχουν τις γωνίες τους ίσες άρα ο λόγος των υψών τους ισούται με το

Κλάσεις νi

200-300

300-400

400-500

500-600

2

6

4

3

15

Α Β Γ Δ

7. 8

9


40

λόγο των βάσεων. Δηλαδή: 224

4626AB

yx

==--

=GD

= (1). Επίσης x+y=c=400-

300=100(2). Λύνουμε (1) και (2) και βρίσκουμε το c οπότε M0=300+x.

0

2

4

6

vi

(Υπολογίζονται μόνο για ποσοτικές μεταβλητές)

i) Εύρος (R) ή κύμανση

Είναι η διαφορά της μικρότερης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση.


i) -1 7 2 5 -3 8 R=8-(-3)=11

ii) 20 21 27 70 R=70-20=50

vi

1 2 3 4 5

R=5-1=4

vi

R=59-10=49

B Γ

Α

Δ

ρ

x y

200 300 M0 400 500 600

iii) iv)

10 20 30 40 50 60 αριθμός μαθητών


41

ii) Διακύμανση ή διασπορά (s2)

I. Όταν τα δεδομένα δεν είναι σε πίνακα υπολογίζεται από τους τύπους:

( )ån

=-=

1i

2i

2 xtv1s και

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

n

÷÷ø

öççè

æ

-= åån

=

n

=

1i

2

1ii

2i

2t

tv1s

Όταν η μέση τιμή δεν είναι ακέραιος αριθμός, ο πρώτος τύπος δε

βολεύει, ενώ αντιθέτως, ο δεύτερος τύπος βολεύει πάντα.


Να βρεθεί και με τους δύο τύπους η διασπορά των παρακάτω τιμών:

ti: 1, 3, 6, 9, 11

Λύση:

( ) 63051119631

51xt

51xt

v1x

5

1ii

v

1ii =×=++++=Þ=Þ= åå

==

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) 6,1368

512590925

51

6116966636151sxt

v1s 222222

1i

2i

2

=×=++++=

=-+-+-+-+-=Þ-= ån

=

ή αλλιώς: 6,136851

530248

51

5

tt

51s

25

1i

25

1ii

2i

2 =×=úû

ùêë

é-×=

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é÷÷ø

öççè

æ

-= åå

=

=

ti 1 3 6 9 11

Σύνο

λο 30

t12 1 9 36 81 121 248

II. Όταν τα δεδομένα είναι σε πίνακα, τότε η διακύμανση υπολογίζεται από

τους τύπους: ( )å=

-=k

1ii

2i

2 vxxv1s και

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

n

÷÷ø

öççè

æ

-= åå

=

n

=k

1i

2

1iii

i2i

2vx

vxv1s


42

Όταν η μέση τιμή δεν είναι ακέραιος αριθμός, ο πρώτος τύπος δε

βολεύει, ενώ αντιθέτως, ο δεύτερος τύπος βολεύει πάντα.

Για να υπολογίζουμε εύκολα τη s2 με το δεύτερο τύπο, δημιουργούμε

στον πίνακα μια στήλη xivi και μια i2i vx .

Προφανώς οι δύο τελευταίο τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για

δεδομένα που δεν είναι σε πίνακα.

iii) Τυπική Απόκλιση (s)

Ä Η τυπική απόκλιση δίνεται από τον τύπο 2ss = .

Ä Μετράται στις ίδιες μονάδες με τη μεταβλητή και χρησιμοποιείται αντί της

s2, διότι η s2 μετράται σε τετραγωνικές μονάδες.

Ä Εάν η κατανομή είναι κανονική, ή περίπου κανονική, τότε:

· το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο ( )sx,sx +-

· το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο ( )s2x,s2x +-

· το 99,7% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο ( )s3x,s3x +-

· το εύρος είναι περίπου ίσο με 6s

Ä Όσο πιο μεγάλη είναι η s ή η s2, τόσο πιο διεσπαρμένες είναι οι τιμές των

μεταβλητών σε σχέση με τη μέση τιμή.


Το μέσο ύψος των νερών ενός ποταμού είναι 1m και η διασπορά των υψών

είναι 25cm2. Ζητείται το ύψος των νερών στο 68% των σημείων του ποταμού καθώς

και το διάστημα στο οποίο κυμαίνονται όλα σχεδόν τα ύψη, αν είναι γνωστό ότι τα

ύψη ακολουθούν την κανονική κατανομή. Επίσης να βρεθεί η διαφορά του μέγιστου

από το ελάχιστο ύψος. Είναι οι όχθες απότομες, αν το ποτάμι είναι στενό;

Λύση:

cm5cm25scm25s 222 ==Þ=

Αφού η κατανομή των υψών είναι κανονική, το 68% των παρατηρήσεων

βρίσκεται στο διάστημα ( )sx,sx +- δηλαδή στο (1m-5cm, 1m+5cm). Άρα το ύψος

των νερών στο 68% των σημείων του ποταμού είναι από 95cm μέχρι 105cm.

Το 99,7% των παρατηρήσεων βρίσκονται στο διάστημα (85cm, 115cm).


43

R=6s=6·5cm=30cm. Συνεπώς η διαφορά του μέγιστου από το ελάχιστο ύψος

είναι περίπου –30cm. (Το ίδιο θα βρίσκαμε αν αφαιρούσαμε τα άκρα του

διαστήματος του προηγούμενου ερωτήματος).

Όταν το ποτάμι είναι στενό, το ποσοστό των σημείων στις όχθες είναι μεγάλο

και άρα επηρεάζουν αρκετά τις μετρήσεις. Συνεπώς αφού τα 85cm επηρεάζονται από

το ύψος στις όχθες, αυτές θα είναι απότομες, ως έχουσες μεγάλο βάθος.

iv) Συντελεστής μεταβολής ή μεταβλητότητας (cv)

Ä Δίνεται από τον τύπο xscv = .

Ä Χρησιμοποιείται για να συγκρίνουμε τιμές που είτε εκφράζονται σε

διαφορετικές μονάδες μέτρησης, είτε έχουν σημαντικά διαφορετικές

μέσες τιμές.

Ä Είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης και εκφράζεται επί τοις

εκατό.

Ä Είναι μέτρο σχετικής διασποράς και όχι απόλυτης διασποράς (όπως είναι

το R και οι s2 και s). Δηλαδή εκφράζει τη μεταβλητότητα των δεδομένων

απαλλαγμένη από την επίδραση της μέσης τιμής.

Ä Όσο μικρότερος είναι ο συντελεστής μεταβολής, τόσο μεγαλύτερη

ομοιογένεια παρουσιάζει το δείγμα. Γενικά ένα δείγμα θεωρείται

ομοιογενές όταν cv<10%.

1. Ομοιόμορφη Κατανομή: έχει ως καμπύλη συχνοτήτων

αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Στην ομοιόμορφη

κατανομή όλες οι παρατηρήσεις έχουν την ίδια συχνότητα.

Η μέση τιμή ταυτίζεται με τη διάμεσο, ενώ δεν υπάρχει M0.

x=d


44

2. Κανονική Κατανομή: έχει ως καμπύλη συχνοτήτων αυτή που φαίνεται στο

διπλανό σχήμα. Εδώ xM0 ==d , ενώ δεν ισχύει το

αντίστροφο. Δηλαδή εάν xM0 ==d , δεν έχουμε

απαραίτητα κανονική κατανομή.

Γενικά στις συμμετρικές κατανομές ισχύει x=d όπως

φαίνεται στα παραδείγματα.

3. Ασύμμετρη με θετική ή αρνητική ασυμμετρία:

Όταν έχουμε θετική ασυμμετρία υπάρχουν πολύ μεγάλες ακραίες παρατηρήσεις

άρα d>x .

Όταν έχουμε αρνητική ασυμμετρία υπάρχουν πολύ μικρές ακραίες παρατηρήσεις

άρα d<x .

θετική ασυμμετρία d>x αρνητική ασυμμετρία

d<x Σε τέτοιες περιπτώσεις είναι καλύτερο να χρησιμοποιούμε τη διάμεσο αντί της

x .

4. Εάν σε κάθε τιμή μιας μεταβλητής προσθέσουμε μια σταθερά c, τότε

cxx +=¢ , ss =¢ και cv΄<cv (γιατί;)

5. Εάν πολλαπλασιάσουμε κάθε τιμή μιας μεταβλητής με σταθερά c, τότε

xcx ×=¢ , scs ×=¢

xM0 ==d

x=d

ii) 3, 6, 7, 8, 11 7x ==d

3 1 1 3 i)


45

1. Ποια είναι η μέση τιμή των γωνιών ενός τριγώνου;

2. Να συμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα συχνοτήτων αν είναι γνωστό ότι η μέση

τιμή x είναι 3,34.

xi νi 0 8 1 12 2 16 3 15 4 5 14 6 10 7 5

3. Οι μισθοί (σε δρχ.) 10 υπαλλήλων μιας επιχείρησης είναι:

200.000 180.000 300.000 160.000 200.000

1.500.000 2.000.000 180.000 200.000 220.000

α) Ποια είναι η μέση τιμή; Πόσοι υπάλληλοι έχουν μισθό μικρότερο από αυτήν;

β) Ποια είναι η διάμεσος; Πόσοι υπάλληλοι έχουν μισθό μικρότερο από αυτήν;

γ) Ποια είναι η επικρατούσα τιμή; Πόσοι υπάλληλοι έχουν μισθό μικρότερο από

αυτήν;

4. Σε μια τάξη 20 μαθητών οι βαθμοί των 5 μαθητών στα Μαθηματικά έχουν μέση

τιμή 18, οι βαθμοί των 12 μαθητών έχουν μέση τιμή 15 και οι βαθμοί των

υπολοίπων μαθητών έχουν μέση τιμή 12. Ποια είναι η μέση τιμή των βαθμών στα

Μαθηματικά των 20 μαθητών της τάξης;

5. Οι αριθμοί x, x+2, x+3, x+11 έχουν μέση τιμή 12. Ποιος είναι ο αριθμός x;

6. Μια ομάδα μπάσκετ έδωσε 30 αγώνες το 1998, 15 εντός έδρας και 15 εκτός

έδρας. Η μέση τιμή των πόντων που πέτυχε η ομάδα στους εντός έδρας αγώνες

είναι 75. Η μέση τιμή των πόντων που πέτυχε σε όλους τους αγώνες είναι 71.

Ποια είναι η μέση τιμή των πόντων που πέτυχε η ομάδα στους εκτός έδρας

αγώνες;


46

7. Μια σχολική τάξη έχει 12 αγόρια. Στα μαθηματικά η μέση τιμή των βαθμών των

αγοριών είναι 14 ενώ των κοριτσιών είναι 14,875. Αν η μέση τιμή των βαθμών

στα Μαθηματικά όλων των παιδιών της τάξης είναι 14,5 τότε πόσα είναι από τα

κορίτσια της τάξης;

8. Οι 3 από τους 5 παίκτες μιας ομάδας μπάσκετ έχουν ευστοχία 70% στις

ελεύθερες βολές ενώ οι υπόλοιποι 2 έχουν ευστοχία 80%. Ποια είναι η ευστοχία

της ομάδας στις ελεύθερες βολές;

9. Για τον προσδιορισμό του βαθμού ενός μαθητή σε κάθε μάθημα

συνυπολογίζονται οι βαθμοί των δύο τετραμήνων με συντελεστή βαρύτητας 1 ο

καθένας και ο βαθμός των γραπτών με συντελεστή βαρύτητας 2.

Ένας μαθητής έχει στα Μαθηματικά 13 στο πρώτο τετράμηνο και 15 στο

δεύτερου τετράμηνο. Ποιο βαθμό πρέπει να πάρει στις γραπτές εξετάσεις στα

Μαθηματικά για να είναι ο τελικός βαθμός του στο μάθημα αυτό 15;

10. Η μέση τιμή των x,y,z είναι 30, η μέση τιμή των x, y είναι 14 και η μέση τιμή των

x,y είναι 18. Ποιοι είναι οι αριθμοί x,y,z;

11. (Σχέση των CV, x , s2 και å 2ix

v1 σε ένα δείγμα) Αν το δείγμα των αριθμών x1,

x2, …, xv είναι οριακά ομοιογενές με μέση τιμή 20x = , να βρεθεί η μέση τιμή

των αριθμών 2v

22

21 xxx ,...,, .

12. (Βασικό θέμα). Αν το δείγμα x1, x2, …, xv έχει μέση τιμή x και τυπική απόκλιση

s, καθώς επίσης το δείγμα 2v

22

21 xxx ,...,, έχει μέση τιμή 2x , να αποδειχτεί ότι:

222 xxs -= .

13. (Σχέση των x , s2, å=

v

1i

2ix

v1 . Η μεταβλητή Υ=αΧ+β. Οριακά ομοιογενές δείγμα).

Αν η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση των αριθμών x1, x2, …, xv και αντίστοιχα

8x = και s=2, να βρεθεί:

i. η μέση τιμή των αριθμών 2v

22

21 xxx ,...,, .

ii. η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση των αριθμών αx1+β, αx2+β, …, αxν+β,

όπου α και β γνωστοί θετικοί αριθμοί


47

iii. η μικρότερη τιμή του ab του ερωτήματος (β), ώστε το δείγμα του

ερωτήματος αυτού να είναι ομοιογενές

14. Τέσσερις κύβοι έχουν ακμές 2,3,4,5. Να βρείτε τη μέση τιμή: α) των ακμών τους

και β) των όγκων τους. Υπάρχει κύβος που να έχει ακμή τη μέση τιμή των ακμών

και όγκο τη μέση τιμή των όγκων;

15. Ένας μετεωρολόγος μετράει κάθε 3 ώρες τη θερμοκρασία σε μια περιοχή. Οι

μετρήσεις (σε οC) κατά τη διάρκεια εικοσιτετραώρου είναι:

-1 -4 -5 0 2 4 3 0 -2

Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παραπάνω μετρήσεων.

16. Οι τρεις τάξεις μιας επαγγελματικής σχολής έχουν συνολικά 180 μαθητές. Οι

τάξεις αυτές έχουν 72, 68 και 40 μαθητές με μέσες τιμές ηλικιών 14,2,15,8 και 17

χρόνια αντίστοιχα. Να βρείτε τη μέση τιμή των ηλικιών των μαθητών της σχολής.

17. Οι βαθμοί 10 μαθητών σε ένα διαγώνισμα μαθηματικών είναι:

8 12 16 7 11 19 16 15 10 13

Να βρείτε:

α) Το πρώτο και το τρίτο τεταρτημόριο

β) Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος

18. Σε μια επιχείρηση εργάζονται συνολικά 20 υπάλληλοι με μέσο μηνιαίο μισθό

240000 δρχ. Ο μέσος μηνιαίος μισθός των 10 κατωτέρων υπαλλήλων είναι

180000 δρχ. ενώ των 2 ανωτέρων υπαλλήλων είναι 600000δρχ. Να βρείτε το

μέσο μηνιαίο μισθό των μεσαίων υπαλλήλων της επιχείρησης.

19. Από τους 10 παίκτες μιας ομάδας μπάσκετ οι 8 είναι Έλληνες και η μέση τιμή

των υψών τους είναι 201cm. Οι 2 ξένοι της ομάδας έχουν μέσο ύψος 208cm.

α) Ποιο είναι το μέσο ύψος της ομάδας;

β) Στη μέση της αγωνιστικής περιόδου ο ένας ξένος που είχε ύψος 210cm,

κρίθηκε ανεπαρκής. Ο προπονητής πήρε στη θέση του έναν άλλο ξένο ύψους

212cm. Ποιο είναι το μέσο ύψος της ομάδας μετά από αυτή την αλλαγή; Αν ο

προπονητής ήθελε το μέσο ύψος της ομάδας να είναι 203cm τότε ποιο ύψος

έπρεπε να έχει ο καινούριος ξένος;

20. Να υπολογίσετε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση για καθένα από τα

παρακάτω σύνολα δεδομένων.


48

10 15 20 25 30

110 115 120 125 130

Τι παρατηρείτε; Ποιοι είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές μεταβλητότητας;

21. (Σχέση των CV, s2 και å 2ix

v1 ). Αν s>0 είναι η τυπική απόκλιση του δείγματος

x1, x2, …, xv, για το οποίο ισχύει: 22

v22

21 vs17xxx =+++ ... .

να βρεθεί ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος.

22. Το ρολόι Α πάει μπροστά 1 λεπτό την ημέρα, το ρολόι Β χάνει 5 λεπτά την ημέρα

και το ρολόι Γ πάει μπροστά 30 δευτερόλεπτα την ημέρα.

Αρχικά και τα τρία ρυθμίζονται στη σωστή ώρα. Πόσο κοντά στη σωστή ώρα θα

είναι η μέση τιμή των ενδείξεων των τριών ρολογιών μετά από:

α) Μια εβδομάδα

β) 30 ημέρες

23. Ποια είναι η διακύμανση των παρατηρήσεων x, x+2, x+7; Ποια είναι η τυπική

απόκλιση;

24. Όπως ξέρουμε, το βάρος των μαθητών της ίδιας ηλικίας ακολουθεί την κανονική

κατανομή. Αν το μέσο βάρος δείγματος των μαθητών της Γ’ Λυκείου είναι 70

κιλά με τυπική απόκλιση 5 κιλά τότε να βρείτε ποιο περίπου είναι το ποσοστό

των μαθητών του δείγματος που έχουν βάρος:

α) πάνω από 85 κιλά

β) από 55 έως 85 κιλά

γ) από 60 έως 75 κιλά

δ) κάτω από 55 κιλά

25. Από τις 24 οικογένειες μιας πολυκατοικίας οι 5 δεν έχουν παιδιά, οι 12 έχουν από

1 παιδί, οι 6 έχουν από 2 παιδιά και 1 έχει 3 παιδιά. Να βρείτε τη μέση τιμή και

την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων αυτών.


49

1. Σε μια τράπεζα εργάζονται 40 άτομα με μέση ηλικία 38,5 χρόνια. Αν η μέση

ηλικία των ανδρών είναι 40 χρόνια και των γυναικών 36 χρόνια, τότε:

i. να βρεθεί το πλήθος των ανδρών και το πλήθος των γυναικών,

ii. αν φύγουν 5 άνδρες με μέση ηλικία 40 χρόνια και έρθουν 5 γυναίκες με μέση

ηλικία 34 χρόνια, ποια θα είναι η μέση ηλικία των εργαζομένων στην τράπεζα

στη νέα σύνθεση; Να δικαιολογηθεί η απάντηση.

2. Θεωρούμε δείγμα μεγέθους 10. Αν η μέση τιμή των παρατηρήσεων x, είναι 8 και

å-

=10

1x

21 1000x τότε να βρείτε:

α) Τη διακύμανση

β) Την τυπική απόκλιση

3. Το 10% των κατοίκων μιας χώρας έχει ετήσιο εισόδημα 20000 έως 30000

δολάρια, το 69% έχει εισόδημα 0 έως 10000 δολάρια και το 20% έχει εισόδημα

10000 έως 20000 δολάρια. Οι υπόλοιποι έχουν εισόδημα πάνω από 30000

δολάρια ο καθένας με μέση τιμή 2500000 δολάρια. Ποιο είναι το μέσο εισόδημα

όλων των κατοίκων;

Ποιο ποσοστό των κατοίκων έχει εισόδημα κάτω από τη μέση;

4. Δίνονται τα δύο σύνολα παρατηρήσεων:

1 2 3 500 997 998 1000

1 497 498 500 502 503 100

α) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο για καθένα από τα δύο σύνολα

παρατηρήσεων.

β) να βρείτε αμέσως (χωρίς πράξεις) ποιο από τα δύο σύνολα δεδομένων

παρουσιάζει τη μεγαλύτερη διασπορά.

γ) Να επαληθεύσετε την απάντηση που δώσατε στο προηγούμενο ερώτημα

υπολογίζοντας το ενδοτεταρτημοριακό εύρος και την τυπική απόκλιση για

καθένα από τα δύο σύνολα παρατηρήσεων.

5. (Ομοιόμορφη κατανομή σε θέματα Στατιστικής). Μια βιομηχανία κατασκευάζει

αυτοκίνητα με κυβικά μηχανών από αlt (λίτρα) έως και βlt με α<β. Δίνεται ότι με

μηχανές το πολύ έως και 1,6lt κατασκευάζεται το 20% των αυτοκινήτων, ενώ με


50

μηχανές τουλάχιστον από 1,4lt κατασκευάζεται το 90% των αυτοκινήτων. Αν η

παραπάνω κατανομή είναι ομοιόμορφη στο διάστημα [α,β], να βρεθούν:

i. οι αριθμοί α και β,

ii. η μέση τιμή της κατανομής,

iii. το πλήθος ν των αυτοκινήτων που κατασκευάζει η βιομηχανία σε μια

ορισμένη χρονική περίοδο, αν στο ίδιο χρονικό διάστημα κατασκευάζει

1000 αυτοκίνητα με κυβικά μηχανής έως και 2lt.

6. (Στατιστική διαδοχικών ακεραίων). Αν το δείγμα των αριθμών 1, 2, 3, 4, ν έχει

μέση τιμή 4, να βρεθούν:

i. το μέγεθος ν του δείγματος,

ii. η διασπορά s2,

iii. ο μικρότερος 0c ³ , ώστε το δείγμα 1+c, 2+c, …, v+c, να είναι ομοιογενές.

7. (Κανονική κατανομή). Ένα μηχάνημα κατασκευάζει βίδες. Η κατανομή

συχνοτήτων ως προς το μήκος είναι κανονική με μέση τιμή x και τυπική

απόκλιση s. Δίνεται ότι το 95% των βιδών έχουν μήκος μεταξύ των 4,6cm και

5,4cm.

i. Να υπολογιστούν:

α) η μέση τιμή x και η τυπική απόκλιση s

β) το εύρος R

ii. Τι ποσοστό βιδών έχουν μήκος μεταξύ των 4,8cm και 5,6cm; Να

δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

iii. Μία βίδα θεωρείται ελαττωματική αν έχει μήκος μικρότερο των 4,4cm ή

μεγαλύτερο των 5,6cm. Αν το μηχάνημα παράγει 50.000 βίδες από τις

οποίες οι 140 είναι ελαττωματικές, να εξεταστεί αν το μηχάνημα

παρουσιάζει πρόβλημα λειτουργίας.

8. (Κανονική κατανομή και ακρότατες θέσεις). Οι θερμοκρασίες για 30 διαδοχικές

ημέρες ακολουθούν την κανονική κατανομή με μικρότερη θερμοκρασία 20οC.

Δίνεται ότι για τις θερμοκρασίες αυτές x1, x2, …, x30 ισχύει:

3600xx30230

1ii

30

1i

2i =÷÷

ø

öççè

æ- åå

==

Να βρεθεί η μεγαλύτερη (προσεγγιστικά) θερμοκρασία από αυτές.


51

9. (Σταθερές και ακραίες θέσεις μεγεθών). Έστω το δείγμα x1, x2, …, xν, με μέση

τιμή 4x = και με συντελεστή μεταβολής CV=25%. Να αποδειχθεί ότι:

i. η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι s = 1,

ii. το κλάσμα v21

2v

22

21

xxxxxx

A++++++

=...... είναι ανεξάρτητο από το μέγεθος ν του

δείγματος,

iii. υπάρχει παρατήρηση xκ που βρίσκεται μεταξύ των 3 και 5.

10. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τους βαθμούς 31 αποφοίτων ενός Λυκείου το 1997

στα Μαθηματικά.

Βαθμός Συχνότητα

12 8

14 10

16 7

17 4

18 2 α) Να βρείτε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και την τυπική απόκλιση.

β) Αν η βαθμολογία όλων των μαθητών στα Μαθηματικά αυξανόταν κατά 2

μονάδες πόση θα γινόταν τότε η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση;

11. Δύο επιχειρήσεις έχουν από 6 υπαλλήλους. Οι μισθοί (σε δρχ.) στη μία είναι

200000, 300000, 350000, 180000, 250000, 190000 και στην άλλη είναι 180000,

160000, 380000, 200000, 190000, 350000. Να βρείτε σε ποια από τις δύο

επιχειρήσεις είναι οι μισθοί πιο ομοιογενείς.

12. Οι μηνιαίοι μισθοί των δύο υπαλλήλων μιας επιχείρησης ήταν στο τέλος του

1998 (σε χιλιάδες δραχμές):

175

275

150

350

275

400

175

337,5

150

300

300

212,5

212,5

337,5

212,5

275

175

275

300

212,5

α) Να βρείτε τη μέση τιμή x των μισθών.

β) Το 1999 όλοι όσοι είχαν μισθό μικρότερο από x πήραν αύξηση ώστε ο

μισθός τους να είναι x . Οι υπόλοιποι πήραν αύξηση από 10000 δρχ. ο καθένας.

Ποια είναι η μέση τιμή των μισθών μετά από αυτές τις αυξήσεις;

13. Σε δύο μετεωρολογικούς σταθμούς Α και Β (όπου βρίσκονται σε διαφορετικές

τοποθεσίες) λαμβάνονται μετρήσεις θερμοκρασίας (σε οC) κάθε 3 ώρες. Τα


52

αποτελέσματα των μετρήσεων αυτών κατά τη διάρκεια ενός εικοσιτετραώρου

ήταν:

Σταθμός Α: 12 16 19 25 27 22 18 17 14

Σταθμός Β: -2 0 3 5 5 6 2 1 -1

Να χρησιμοποιήσετε κατάλληλο μέτρο διασποράς για να συγκρίνετε τις

μετρήσεις των παραπάνω δύο σταθμών.

14. Μεταξύ 50 δρομέων 400 μέτρων οι 12 έκαναν χρόνο κάτω από 51sec, οι άλλοι 20

έκαναν χρόνο κάτω από 52sec, οι 30 έκαναν χρόνο κάτω από 53sec και οι 44

έκαναν χρόνο κάτω από 54sec.

Αν οι χρόνοι των αθλητών κυμάνθηκαν από 50 έως 55sec τότε:

α) Να παραστήσετε τα παραπάνω δεδομένα με μορφή πίνακα

β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, το πρώτο και το τρίτο

τεταρτημόριο.

γ) Αν προκρίνεται το 16% των αθλητών τότε ποιο χρόνο το πολύ πρέπει να έχει

κάνει ένας δρομέας ώστε να προκριθεί;

15. Σε μια συνθετική – δημιουργική εργασία μερικοί μαθητές μέτρησαν, ξεχωριστά ο

καθένας το εμβαδόν της αυλής του σχολείου τους χωρίζοντάς την κατάλληλα σε

επιμέρους τρίγωνα, ορθογώνια, τραπέζια κ.λ.π. Τα αποτελέσματα συνοψίζονται

στο παρακάτω ιστόγραμμα.

α) Πόσοι μαθητές πήραν μέρος στην εργασία

β) Πόσοι μαθητές βρήκαν ότι το εμβαδόν της αυλής είναι μεγαλύτερο από 420m2.

γ) Ποια είναι η επικρατούσα τιμή των μετρήσεων;

δ) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και να υπολογίσετε τη μέση τιμή και

τη διακύμανση.


53

16. Το παρακάτω ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων αναφέρεται στη διάρκεια

ζωής δείγματος ηλεκτρικών λαμπτήρων.

α) Ποιο είναι το μέγεθος του δείγματος;

β) Στο ίδιο σχήμα να σχεδιάσετε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων.

γ) Να εκτιμήσετε τα τρία τεταρτημόρια.

δ) Να βρείτε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

ε μ β α δ ό ν (σ ε m 2 )

Πλή

θος

μαθη

τών

390 400 410 420 430

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

δ ιάρ κε ια ζω ής (σ ε ώ ρ ε ς)

πλήθ

ος λ

αμπτ

ήρω

ν

500 550 600 650 700 750


54

13. Να βρείτε τα παρακάτω αθροίσματα αν είναι γνωστό ότι 15x9

1ii =å

=

και

120x9

1i

2i =å

=

:

α) ( )å=

+9

1iii 1xx β) ( )å

=++

9

1ii

2i 3x5x γ) ( )( )å

=+-

9

1iii 2x3x

14. Σε μια κατανομή έχουμε 20 παρατηρήσεις με 60x = . Αν 6 παρατηρήσεις

μειωθούν κατά 4 η καθεμία και άλλες 8 παρατηρήσεις αυξηθούν κατά 6, ποια θα

είναι η νέα μέση τιμή και ποια θα είναι η νέα τυπική απόκλιση αν με τις νέες

τιμές έχουμε:

000.85x20

1i

2i =å

=

15. Σε μια κατανομή έχουμε ,150.1x1 = ,700x 2 = ,800x3 = ,850x 4 = ,110x5 =

950x 6 = και 654321 n=n=n=n=n=n . Να βρείτε την τυπική απόκλιση.

16. Τα νοικοκυριά των δημόσιων υπαλλήλων της Βέροιας έχουν κατά μέσο όρο 2,63

δωμάτια. Από τον πίνακα συχνοτήτων της μεταβλητής x = αριθμός δωματίων

έχουν σβηστεί οι συχνότητες των τιμών 2 και 3. Να υπολογίσετε τη διάμεσο.

xi

Αριθμός δωματίων

Ποσότητα

fi%

1 16

2

3

4 26

Σύνολο

17. Δίνονται 5 διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί με διάμεσο δ = 99. Να υπολογίστε τη

μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. Ποια θα είναι η νέα τυπική απόκλιση, αν

όλοι οι αριθμοί τριπλασιαστούν;

18. Στο διπλανό ιστόγραμμα δίνεται η ομαδοποιημένη κατανομή των απουσιών των

μαθητών ενός τμήματος λυκείου στη διάρκεια του πρώτου τριμήνου.

i) Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων και να

υπολογίσετε τη μέση τιμή των απουσιών του τμήματος.


55

ii) Υπολογίστε την τυπική απόκλιση των απουσιών του τμήματος.

0

5

10

15

20

25

30

35

αριθμός απουσιών

19. A) Αν 5

xxy -= , όπου x μεταβλητή και S η τυπική απόκλιση της x μιας

κατανομής, να δείξετε ότι:

i) 0y = ii) Sy = 1

B) Αν ( ) 60xx12

1i

2i =-å

=

και 100x12

1ii =å

=

, να βρείτε το ( )å=

-12

1i

2i 4x .

20. Σε μια κατανομή είναι ,960x1i

i =ån

=

( ) 90xx1i

2i =-å

n

=

και το δείγμα είναι

μεγέθους ν=6. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή x και την τυπική απόκλιση S.

21. Μια βιομηχανία κατασκευάσει γάλα σε 4 μεγέθη κουτιών και σε ποσοστά 10%,

20%, 30% και 40% με αντίστοιχο κόστος συσκευασίας 8, 6, 4, 2 δρχ. ανά κουτί.

i) Να βρεθούν το μέσο κόστος συσκευασίας και η τυπική απόκλιση του

κόστους αυτού.

ii) Αν το κόστος κάθε συσκευασίας αυξηθεί κατά 10%, να βρεθεί η νέα τυπική

απόκλιση του κόστους συσκευασίας.

22. Οι ετήσιες πωλήσεις (x) των 15 καταστημάτων που έχει μεγάλη εμπορική

επιχείρηση δίνονται σε εκατομμύρια δραχμές από τον παρακάτω πίνακα:

5 10 15 20 25 30 35


56

x 50 60 70 80 90 100 110

f 1 2 4 4 2 1 1

Ζητείται να υπολογιστούν:

α) Το μέσο ετήσιο ύψος πωλήσεων των 15 καταστημάτων.

β) Το εύρος μεταβολής.

γ) Η διακύμανση και η τυπική απόκλιση.

δ) Ο συντελεστής μεταβλητότητας.

Επίσης συγκρίνετε και σχολιάστε τα αποτελέσματα με άλλη επιχείρηση αλυσίδας

καταστημάτων) του ίδιου εμπορικού κλάδου, που παρουσίασε μέσο ετήσιο ύψος

πωλήσεων 70 εκατομμυρίων δρχ. και τυπική απόκλιση 17.

23. Οι αριθμοί

4, 6, 12, 4, 10, 12, 3, x, y

έχουν μέσο 7 και επικρατούσα τιμή 4. Να βρεθούν:

i) Οι τιμές των x, y.

ii) Η διάμεσος του συνόλου των 9 αριθμών.

iii) Όταν προστεθούν δύο επιπλέον αριθμοί 4+n και 7-n η τυπική απόκλιση

των 11 πλέον αριθμών είναι ίση με 4. Να γραφεί ο μέσος των 11 αριθμών

και να υπολογιστεί ο αριθμός n.

24. Δίνεται ο πίνακας:

Κλάσεις Κέντρο κλάσης

xi

νi xiνi xx i - ( )2i xx - ( )2ii xx -n

[2 - 4) 5

[4 - 6) 7

[6 - 8) 9

[8 - 10) 13

[10 - 12) 26

[12 - 14) 24

[14 - 16) 10

[16 - 18) 6

Σύνολο 100

α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα


57

β) Να υπολογίσετε:

i) τη μέση τιμή ii) τη διακύμανση,

iii) την τυπική απόκλιση της κατανομής iv) το συντελεστή

μεταβολής

v) διάμεσο

γ) Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων.

δ) Να υπολογίσετε την επικρατούσα τιμή.

25. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα για καθεμία από τις ακόλουθες

κατανομές συχνοτήτων.

Κατανομές ån i ån ii x ån 2ii x ( )2ii xx -nå x s

A 20 563 16.143

B 270 160 27

Γ 50 10 3

Δ 30 1.025 182,3


58

1. Όλες οι παρατηρήσεις t1, t2, ..., tν κυμαίνονται μεταξύ 10 και 50. Ποια από τις

παρακάτω δεν είναι δυνατόν να είναι η μέση τιμή τους;

Α: 12 Β: 40 Γ: 37,5 Δ: 54 Ε:

28

2. Αν η μέση τιμή είναι 2 και ο συντελεστής μεταβολής είναι 50% τότε η τυπική

απόκλιση είναι:

Α: 0,5 Β: 50 Γ: 1 Δ: 2 Ε: 5

3. Τα παρακάτω σύνολα παρατηρήσεων έχουν την ίδια μέση τιμή. Ποιο

παρουσιάζει τη μεγαλύτερη διασπορά;

Α: 1 18 1000 1982 1999

Β: 1 101 1000 1899 1999

Γ: 1 3 1000 1997 1999

Δ: 1 999 1000 1001 1999

Ε: 1 501 1000 1499 1999


59

4. Το εύρος των παρατηρήσεων που παριστάνονται από το παρακάτω διάγραμμα

είναι:

Α: 50 Β: 12 Γ: 4 Δ: 3 Ε: 24

5. Με βάση το παρακάτω διάγραμμα ποιο είναι το δεύτερο τεταρτημόριο;

Α: 2,5 Β: 3,5 Γ: 3,75 Δ: 3 Ε: 4

6. Ποιο από τα παρακάτω σύνολα παρατηρήσεων έχει το μεγαλύτερο συντελεστή

μεταβλητότητας;

Α: 51, 52, 53 Β: 400, 401, 402 Γ: 5, 6, 7

Δ: 7, 8, 9 Ε: 1000, 1001, 1002

0

10

20

30

40

50

σχετ

ική

συχν

ότητ

α %

6 10 14 18

0102030405060708090

100110

αθρο

ιστι

κή σ

υχνό

τητα

συχ

νοτή

των

%

1 2 3 4 5 6


60

1. Δίνονται οι παρατηρήσεις 2 3 15 20 28 40. Αντιστοιχίστε σε καθένα από

τα γράμματα Α, Β, Γ, Δ έναν αριθμό από το 1 έως το 6 ώστε καθένα από τα μέτρα

θέσης ή διασποράς της πρώτης στήλης να ταιριάξει με την τιμή του.

Α: Διάμεσος

Β: Εύρος

Γ: Ενδοτεταρτημοριακό εύρος

Δ: Τρίτο τεταρτημόριο

1: 28

2: 25

3: 17,5

4: 31,5

5: 34

6: 38

Α Β Γ Δ

2.Αντιστοιχίστε σε καθένα από τα γράμματα Α, Β, Γ έναν αριθμό από το 1 έως το 3

ώστε καθένας από τους χαρακτηρισμούς της πρώτης στήλης να ταιριάξει με το

κατάλληλο μέτρο της δεύτερης στήλης.

Α: Μέτρο θέσης μόνο για ποσοτικές μεταβλητές

Β: Μέτρο διασποράς μόνο για ποσοτικές μεταβλητές

Γ: Μέτρο θέσης για ποσοτικές ή ποιοτικές μεταβλητές

1: Εύρος

2: Επικρατούσα τιμή

3: Διάμεσος


61

1. Να βάλετε σε μια σειρά τα παρακάτω σύνολα δεδομένων ανάλογα με το

συντελεστή μεταβλητότητας ξεκινώντας από εκείνο που έχει μεγαλύτερο

συντελεστή καταλήγοντας σε εκείνο που έχει μικρότερο συντελεστή.

Α: 1996, 2000, 2004

Β: 10, 14, 18

Γ: 1004, 1008, 1012

Δ: 8, 12, 16

Ε: 140, 144, 148

2. Να βάλετε σε μια σειρά τα παρακάτω σύνολα δεδομένων ανάλογα με το εύρος

ξεκινώντας από εκείνο που έχει μεγαλύτερο εύρος και καταλήγοντας σε εκείνο

που έχει μικρότερο εύρος.

Α: 100, 200, 250

Β: 1, 20, 1000

Γ: 5, 5, 10

Δ: 1998, 1999, 2002

Ε: 0, 0, 1000

Statistiki

Documents

Transcript of Statistiki