Stati di Equilibrio Limite W A.A. 2016-2017 Vv0 Ip ... Stati di equilibrio... · Stati di...

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Stati di Equilibrio Limite Ip.: terreno omogeneo privo di coesione Due condizioni: 1) Stato tensionale LONTANO DA ROTTURA: per un dato σ’ v0 i cerchi di Mohr sono infiniti [K 0 = f(natura terreno, storia tensionale)] 2) Condizione a ROTTURA: esistono solo DUE cerchi di Mohr che soddisfano contemporaneamente le condizioni di equilibrio e di rottura A.A. 2016-2017 8.5.2017 ' ' a' v0' p' Rottura v0' h' ' ' h' h' Equilibrio z h' v0' P.C. c’=0 φ’≠0 σ’v0=γ’ . z σ’h0=K0 . σ’v0

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Stati di Equilibrio Limite

Ip.: terreno omogeneo privo di coesione

Due condizioni: 1) Stato tensionale LONTANO DA ROTTURA: per un dato σ’v0 i cerchi di

Mohr sono infiniti [K0 = f(natura terreno, storia tensionale)] 2) Condizione a ROTTURA: esistono solo DUE cerchi di Mohr che soddisfano contemporaneamente le condizioni di equilibrio e di

rottura

A.A. 2016-2017

8.5.2017

'

'a'

v0' p'

Rottura

v0'

h' '

'

h'h'

Equilibrio

z

h'

v0'

P.C.

c’=0 φ’≠0

σ’v0=γ’.z

σ’h0=K0.σ’v0

Stati di Equilibrio Limite

Equilibrio Limite ATTIVO – teoria di Rankine La condizione di LIMITE ATTIVO viene raggiunta a seguito di una compressione per scarico espansione laterale del provino

tens. efficace orizzontale diminuisce

tens. efficace verticale geostatica cost

Durante la compressione per scarico si ha la riduzione di σ’h fino alla

rottura (scorrimento plastico) per stato di equilibrio limite attivo

A.A. 2016-2017

8.5.2017

0'h

00 'v

P.C.

z

v0'

'

'

v0'A'

Riduzione di h'

h1'h2'

diminuzione della tensione orizzontale

Elemento di terreno omogeneo

ROTTURA PER LIMITE ATTIVO

Stati di Equilibrio Limite

Equilibrio Limite ATTIVO KA= coefficiente di spinta attiva

A.A. 2016-2017

8.5.2017

'

'

A B

v0'

Polo

'

ROTTURA PER LIMITE ATTIVO

'

1'

1'

3'3'

Superfici di Rottura

Superfici di Rottura inclinata di sull’orizzontale (direzione di ’3)

AvvvA K

'

0

2'

0

'

0

'

2

'

4tan

'sin1

'sin1

Stati di Equilibrio Limite

Equilibrio Limite ATTIVO Dimostrazione: Dal cerchio di Mohr per il limite attivo si ha:

A.A. 2016-2017

8.5.2017

'sin'' 110 OAABOAv

Analogamente: 'sin'' 13 OAABOAA

'

'

A v0'A'O

B

(*)

(**)

Ricavando OA da (**): 'sin

'

1

3OA

E sostituendo in (*): 'sin

'sin''

1

131 'sin

'sin''

1

113

2

'45tan

'sin1

'sin1 2'

0

'

0

'

vvA

Si ottiene:

245

1

1 2 'tan

'sin

'sin

AK

AvA K''

0

0KKA

Stati di Equilibrio Limite

Equilibrio Limite PASSIVO – teoria di Rankine La condizione di LIMITE PASSIVO viene raggiunta a seguito di una estensione per carico compressione laterale del provino

tens. efficace orizzontale aumenta

tens. efficace verticale geostatica cost.

Durante la compressione per carico si ha l’aumento di σ’h fino alla

rottura (scorrimento plastico) per stato di equilibrio limite passivo.

A.A. 2016-2017

8.5.2017

0'h

00 'v

v0'

z

P.C.

'

'

Aumento di h'

v0' P'h1' h2'

aumento della tensione orizzontale

Elemento di terreno omogeneo

ROTTURA PER LIMITE PASSIVO

Stati di Equilibrio Limite

Equilibrio Limite PASSIVO KP= coefficiente di spinta passiva

A.A. 2016-2017

8.5.2017

PvvvP K

'''' 'tan

'sin

'sin0

200 241

1

'

Polo

v0'

BA

'

'

ROTTURA PER LIMITE PASSIVO

'

3'

3'

1'1'

Superfici di Rottura

Superfici di Rottura inclinata di β sull’orizzontale (ovvero di 45+’/2 rispetto alla direzione di ’3)

N.B.

KA.KP=1

Stati di Equilibrio Limite

Ip: mezzo dotato di coesione e attrito Dal cerchio di Mohr, che rappresenta lo stato tensionale dell’elemento di terreno, si ha:

A.A. 2016-2017

8.5.2017

'sin' 11 OAABOAd

'sin' 13 OAABOAd

'

'

A

B

c'

c''ta

n'

d 3' 1'

O

(I)

(II)

Ricavando OA da (II): 'sin

'

13 d

OA

E sostituendo in (I):

'sin

'sin

'sin

'sin'sin

'sin'

''

1

1

1

11

1 33

1 dd

d

'sin

'sin'

'sin

'cos''cot'

21

cccd

1

1

1

1

131 'sin

'sin

'sin

'sin''

dSi ottiene:

Stati di Equilibrio Limite A.A. 2016-2017

8.5.2017

Si ottiene:

1

1

1

1

131 'sin

'sin

'sin

'sin''

d

L’equazione trovata per d: 'sin

'sin'

'sin

'cos''cot'

21

cccd

1

1

11

1

1 2

31 'sin

'sin

'sin

'sin'

'sin

'sin''

c

Da cui:

'sin

'sin'sin

'sin

'sin'

'sin

'sin''

1

111

1

1 2

31 c

'sin

'sin

'sin

'sin'

'sin

'sin''

1

21

1

1 2

31 c

2

2

31

1

12

1

1

'sin

'sin'

'sin

'sin''

c

231

1

112

1

1

'sin

'sin'sin'

'sin

'sin''

c

'sin

'sin'

'sin

'sin''

1

12

1

131 c

(*)

Sostituendo in:

Stati di Equilibrio Limite A.A. 2016-2017

8.5.2017

'sin

'sin'

'sin

'sin''

1

12

1

131 c

'sin

'sin

'sin

'sin'''

1

1

1

1213 c

'sin

'sin'

'sin

'sin''

1

12

1

113 c

In caso di spinta Attiva si ha: σA’<σv0’ σ1’=σv0’ σ3’=σA’

In caso di spinta Passiva si ha: σv0’<σP’ σ1’=σP’ σ3’=σv0’

Stati di Equilibrio Limite

Equilibrio limite ATTIVO

A.A. 2016-2017

8.5.2017

AAvA kck ''' 20Tensione orizzontale nel caso di equilibrio limite ATTIVO per un terreno dotato di COESIONE ed ATTRITO

AvA k''

0Tensione orizzontale nel caso di equilibrio limite ATTIVO per un terreno NON dotato di COESIONE

Nel caso si debba procedere ad una verifica in condizioni NON DRENATE

(ossia a breve termine) la determinazione della spinta attiva scaturisce

direttamente dall’applicazione del criterio di rottura espresso in termini di tensioni

totali. Ponendo c’=cu e φ’=0, si ottiene:

u0vA c2

Tensione orizzontale nel caso di equilibrio limite ATTIVO in condizioni NON DRENATE

Nel caso di TERRENO NON DOTATO DI COESIONE (c’=0), si ha:

Stati di Equilibrio Limite

Equilibrio Limite PASSIVO

A.A. 2016-2017

8.5.2017

PPvP kck ''' 20Tensione orizzontale nel caso di equilibrio limite PASSIVO per un terreno dotato di COESIONE ed ATTRITO

Nel caso di TERRENO NON DOTATO DI COESIONE (c’=0), si ha:

PvP k''

0Tensione orizzontale nel caso di equilibrio limite PASSIVO per un terreno NON dotato di COESIONE

Nel caso si debba procedere ad una verifica in condizioni NON DRENATE

(ossia a breve termine) la determinazione della spinta passiva scaturisce

direttamente dall’applicazione del criterio di rottura espresso in termini di tensioni

totali. Ponendo c’=cu e φ’=0, si ottiene:

u0vp c2

Tensione orizzontale nel caso di equilibrio limite PASSIVO in condizioni NON DRENATE.

Stati di Equilibrio Limite

OSSERVAZIONE: Se, a monte di un’opera di sostegno viene raggiunto uno condizione di stato limite, la presenza di tensioni tangenziali al contatto muro-terreno dovute ad attrito e ad aderenza) altera lo stato tensionale, che non corrisponde più a quello ottenuto secondo le ipotesi di Rankine

Le espressioni da usare in questo caso sono:

A.A. 2016-2017

8.5.2017

PCPvP kck '''0

ACAvA kck '''0

Con KA, KP, KPC e KAC ricavati da procedimenti che tengono conto di

δ≠0 (angolo di attrito muro-terreno)

ca≠0 (aderenza muro-terreno).

Se δ≠0 le risultanti delle spinte Attiva e Passiva sono inclinate: in presenza di attrito muro-terreno lo spostamento del muro rispetto al terreno non è libero ma vincolato dall’attrito Si generano delle tensioni tangenziali τ che inclinano la risultante della spinta attiva e passiva: in questo modo si ha una componente normale e una tangenziale al muro

Stati di Equilibrio Limite

Altezza Critica di una parete verticale

Rappresenta un limite superiore: l’altezza massima superata la quale la

parete verticale di uno scavo non è più in grado di autosostenersi

Il concetto di altezza critica è applicabile ai soli terreni dotati di coesione e dipende dall’equilibrio della spinta attiva

A.A. 2016-2017

8.5.2017

P.C.h'

z0

Avanzamento del fondo scavo

h'v1'

1

h'v2'

2

h'v3'

3

trazione '

'h'

v1' v2' v3'

c'

Aumento lo scavo

v1'

c'

Raggiungimento dell’ altezza critica Hc

Stati di Equilibrio Limite

Altezza Critica di una parete verticale Il profilo di σA’ al variare della profondità z è un diagramma

lineare a farfalla, prima negativo e poi positivo

L’altezza z0 corrisponde alla posizione in cui si annulla la spinta attiva

(inversione di segno)

Quindi, per ricavare z0:

A.A. 2016-2017

8.5.2017

P.C.h'

z0

Fondo Scavo

Hc=2z0

A'=0020 AAvA kck '''

020 AAA kckz ''

'

'tan'

'

'

2

4522

0

c

k

cz

A

02zHc Altezza critica Hc: per un’altezza pari a 2z0 il diagramma di spinta è equilibrato Valida solo se non si considerano le fessure