Special relativity

35
ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ To ςύμοαμ είμαι μη μεσπήςιμξ, ξμξιόμξπφξ χωπίρ όπια, αμαγεμμάσαι και ενελλείςεσαι διημεκώρ, ερ αεί και αδιάλειοσα, ςε χώπξ και χπόμξ. Ν.ΜΑΝΤΖΑΚΟΥΡΑΣ e-mail:[email protected]

Transcript of Special relativity

ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

To ςύμοαμ είμαι μη μεσπήςιμξ, ξμξιόμξπφξ χωπίρ όπια,

αμαγεμμάσαι και ενελλείςεσαι διημεκώρ,

ερ αεί και αδιάλειοσα, ςε χώπξ και χπόμξ.

Ν.ΜΑΝΤΖΑΚΟΥΡΑΣ

e-mail:[email protected]

Δηαθνξνπνηήζεηο νη νπνίεο παξνπζηάδνληαη εμεηάδνληαο ηα θαηλόκελα ζύκθσλα κε ηελ

ζεσξία ηεο Σρεηηθόηεηαο, απν άιιε νπηηθή θαη θπζηθή ινγηθή.

Οι αλλαγζσ που κα αναφζρουμε και προκφπτουν ςφμφωνα πάντα με τθν ορκολογιςτικι και τθν επιςτθμονικι εξιγθςθ, εντοπίηονται ςε 7 διαφορετικζσ εξθγιςεισ – διαφοροποιιςεισ ςε ςχζςθ με αυτά που παραδζχεται θ κεωρία τθσ ςχετικότθτασ και πιό ςυγκεκριμζνα:

1.Διαςτολι – χρόνου,ςυςτολι μικουσ ςτθ γενικι κίνθςθ και πότε ιςχφει. 2.Ιςχφει ι όχι θ ςχζςθ Μάηασ – ταχφτθτασ. 3.Τπάρχει μεταβλθτότθτα τθσ ταχφτθτασ του φωτόσ γενικότερα με χρόνο –Βαρφτθτα. 4.Κακοριςμόσ και διάκριςθ μεταξφ μάηασ αδράνειασ και μάηασ βαρφτθτασ

5.Η ςχζςθ για τθν Ενζργεια 2mcE και πώσ προκφπτει.

6.Σροποποιιςεισ ςε Κοςμολογικά μοντζλα 7.Βαρυτικζσ επιδράςεισ και αποκλίςεισ ςτθν πορεία του φωτόσ.

Α.Βαςικζσ ςχζςεισ διαςτολισ χρόνου – υςτολισ μικουσ

Σφμφωνα με τθ κεωρία τθσ ςχετικότθτασ οι διαςτάςεισ ενόσ ςϊματοσ και θ χρονικι διάρκεια ενόσ φαινομζνου δεν είναι ίδια για όλουσ τουσ παρατθρθτζσ.Για να διερευνιςουμε τισ καινοφργιεσ αυτζσ αντιλιψεισ πρζπει να αναπτφξουμε προςεκτικά τον οριςμό τθσ ςχετικότθτασ.αλλά και τα βαςικά αξιϊματα αυτισ τθσ κεωρίασ.

Η Θεσξία ηνπ Αηλζηάηλ γλσξίδνπκε όηη ζεκειηώλεηαη πάλσ ζε 2 αμηώκαηα:

1.Αμίσκα 1. Όια ηα αδξαλεηαθά ζπζηήκαηα είλαη ηζνδύλακα ώο πξνο άπαληεο ηνπο θπζηθνύο

λόκνπο.

2.Αμίσκα 2. Η ηαρύηεο ηνπ θσηόο ζην θελό έρεη πάληνηε ηελ ίδηα ηηκή с.

Εδϊ κα επιχειριςουμε να δϊςουμε μια άλλθ απάντθςθ ςτα αποτελζςματα αυτισ τθσ κεωρίασ, αφου βεβαίωσ δεχκοφμε τισ ςχζςεισ που ςυμφωνοφν κατα Lorenntz.Ασ προςζξουμε βεβαίωσ να δοφμε πωσ αποδεικνφεται το φαινόμενο τθσ διαςτολισ του χρόνου και τθσ ςυςτολισ του μικουσ, ςφμφωνα με τθν κεωρία τθσ ςχετικότθτασ αλλά και με τθν απλι γεωμετρικι οπτικι τθσ κίνθςθσ φωτεινισ ακτίνοσ, του ίδιου ι ςχετικοφ ςυςτιματοσ.Φαίνεται θ ιςοδυναμία ςτα 2 παραδείγματα που κα αναφζρουμε ,αλλά παρόλα αυτά δεν είναι ίδια όςον αφορά τθν προοπτικι του προκφπτονοσ ςυμπεράςματοσ.

Πείξακα 1.Φαληαδόκαζηε έλα ηξέλν πνπ ηξέρεη κε κηα ηαρύηεηα u, κπξνζηά απν έλαλ παξα-

ηεξεηή αθίλεην ζηνλ ζηαζκό.Σην δάπεδν ηνπ ηξέλνπ ππάξρεη κηα πεγή πνπ παξάγεη θσηεηλέο

αλαιακπέο θαη αθξηβώο απν πάλσ ππάξρεη θαζξέπηεο.

χ,1

To ρξνληθό δηάζηεκα πνπ θάλεη ην θώο γηα λα πάεη θαη λα έξζεη πξόο θαη απν ηνλ θαζξέπηε,

είλαη ζύκθσλα κε ηελ απιή ζρέζε ηεο ηαρύηεηαο θαη όπσο ην αληηια-κβάλεηαη ν επηβάηεο

κέζα ζην ηξέλν:

c

dt

2' (1)

Έλαο παξαηεξεηήο αθίλεηνο έμσ απν ην ηξέλν, αληηιακβάλεηαη νπηηθώο ηελ θσηεηλή

αθηίλα λα θηλείηαη πιάγηα θαη λα ζρεκαηίδεη έλα ηζνζθειέο ηξίγσλν βάζεο s θαη ύςνπο

d.H βάζε ηνπ ηξηγώλνπ ζα είλαη πξνθαλώο

tus (2)

Η δηαδξνκή όκσο ηνπ θσηεηλνύ ζήκαηνο ζα είλαη 2l θαη πξνθαλώο απν ην νξζνγώλην ηξίγσ-

λν ζα πξνθύςεη : 22

)2

(tu

dl

(3).

Πξέπεη λα δερζνύκε όηη ε ηαρύηεηα ηνπ θσηόο ζηηγκηαία ηνπιάρηζηνλ είλαη ζηαζεξή θαη

ίζε κε c. Αιιά επεηδή ην κήθνο l ηεο θσηεηλήο δηαδξνκήο όπσο επίζεο θαη ηεο νξηδόληηαο

δηαδξνκήο s δηαλύνληαη απν ηελ θσηεηλή αθηίλα ζε ίζνπο ρξόλνπο ζηηγκηαία t (t νιόθιεξν)

ε ζπλέπεηα ζα είλαη λα έρνπκε ηελ ζρέζε:

c

tud

c

lt

22)

2(2

2'

(4)

Aπν ηελ (4) κεηά απν πξάμεηο πξνθύπηεη όηη:

22

)(1

'

с

u

tt

(5)

To νπνίν ζεκαίλεη όηη «ην θώο κεηξηέηαη απν ηνπο 2 παξαηεξεηέο δηαθνξεηηθά

ζε ρξνληθή δηάξθεηα».

Ζνα γεγονόσ που ςυμβαίνει χρονικά μζςα ς' ζνα ςφςτθμα αναφοράσ ' το οποίο κινείται ωσ προσ ζνα ςφςτθμα αναφοράσ , μετριζται ώσ μεγαλφτερθ χρονικι διάρκεια για ζναν παρατθ-ρθτι που είναι ακίνθτοσ ςτο , απ' ότι για ζναν παρατθρθτι που είναι ακίνθτοσ ςτο '.

υμπλθρωματικά πρζπει να αναφζρουμε ότι για τον ο ’ φαίνεται ότι κινείται ενώ είνα ακίνθτοσ για το δικό του ςφςτθμα. Το ςυμπέραςμα αυτό αποφαςίςτηκε να λέγεται διαςτολό του χρόνου. Κάθε αδρα-νειακό ςύςτημα έχει τον ιδιόχρονό του.Ο ιδιόχρονοσ ενόσ αδρανειακού ςυςτήματοσ είναι ο χρόνοσ που μετράει ένα ρολόι ακίνητο ωσ προσ το αδρανειακό ςύςτημα. Όλεσ οι διαδικαςίεσ - φυςικέσ, χημικέσ, βιολογικέσ – οι οποίεσ μπορούν να ςυμβαίνουν ς' ένα ςύςτημα αναφοράσ που κινείται ςχετικά μ' ένα άλλο, το οποίο θεωρούμε ότι παραμένει ακίνητο, όταν ο χρόνοσ μετρείται με ρολόγια του ακίνητου ςυςτήματοσ, πραγματοποιούνται πιο αργά από εκείνεσ που θα ςυνέβαιναν ςε κάποιο ακίνητο ςύςτημα.

Πεύραμα 2ο Εν ςυνεχεία κάνουμε ένα πείραμα που η διεύθυνςη ταχύτητασ του φωτόσ είναι παράλληλη με την ταχύτητα του τρένου όπωσ δαίνεται ςτο ςχήμα

χ,2

Ζνα μζτρο ζχουμε τοποκετθςει μζςα ςτο τρζνο ςτθ διεφκυνςθ κίνθςθσ. Στο ζνα άκρο του ςυςτιματοσ ςτερεϊνουμε μια πθγι φωτεινϊν αναλαμπϊν και ςτο άλλο άκρο ζναν κακρζφτθ. Για τον παρατθρθτι που ταξιδεφει μζςα ςτο τρζνο ο χρόνοσ που χρειάηεται μια φωτεινι αναλαμπι για να επιςτρζψει ςτθν πθγι ανακλϊμενθ ςτον κακρζφτθ κα είναι

c

lt

02

' ( 6)

όπου 0

l το μικοσ του χάρακα όπωσ το αντιλαμβάνεται ο παρατθρθτισ του τρζνου.

Για ζναν παρατθρθτι που είναι ζξω απο το τρενο ςτο ςτακμό, μια φωτεινι αναλαμπι κα διανφςει απόςταςθ

11

tuld (7)

Και για επιςτροφι τθσ αναλαμπισ προσ τθν πθγι κα διανυκεί διάςτθμα απο τθν ίδια

22tuld (8)

Για τον παρατθρθτι ςτο ςτακμό, το φωσ ξεκινϊντασ από τθν πθγι,για να φτάςει ςτον

κακρζφτθ διανφει απόςταςθ 21

dd όπου l το μικοσ του μζτρου όπωσ το αντιλαμβάνεται

ο παρατθρθτισ ςτο ςτακμό. Το φωσ διαδίδεται με τθν ίδια ταχφτθτα και ςτισ δφο περιπτϊςεισ. Επειδι ζχουμε φωτεινι αναλαμπι μζςα ςτο κλειςτό ςφςτθμα κα ζχουμε ότι τρζχει με τθν ταχφτθτα του φωτόσ с και άρα κα ζχουμε

22

11

tctul

tctul

(9)

Ο ςυνολικόσ χρόνοσ που διανφει το φωσ πθγι – κακρζπτθσ πθγι κα είναι

21ttt (10)

πνπ ζεκαίλεη όηη

)/1(

2

22cuc

l

uc

l

uc

lt

(11)

Χρθςιμοποιϊντασ τθν ςχζςθ (5) που υπολογίςαμε προθγουμζνωσ κα ζχουμε

)/1(

/2

)(1

/'2

22

22cu

cl

с

u

clt

(12)?? .Τν νπνίν θαη πξνηείλεη Θ.Ε.Σρεηηθόηεηαο

απ΄ όπνπ πξνθύπηεη 2

2

1'c

ull (13) ??

Βλζπουμε ότι το μικοσ (l)που μετράει ο παρατθρθτισ o οποίοσ είναι ακίνθτοσ ςτο ςτακμό είναι μικρότερο από το μικοσ (l’) που μετράει ο παρατθρθτισ που βρίςκεται ςτο τρζνο. Το φαινόμενο αυτό ονομάηεται "ςυςτολι μικουσ". Στθν πραγματικότθτα δε ςυςτζλλεται το ίδιο το αντικείμενο, αλλά θ μζτρθςι του από ζνα άλλο ςφςτθμα αναφοράσ. Είναι ο χώροσ που φαίνεται ότι παραμορφώνεται και όχι το ίδιο το αντικείμενο, όπωσ επίςθσ είναι ο χρόνοσ που παρατθροφμε ότι παραμορφώνεται όταν βρίςκουμε ότι κάποια ρολόγια πθγαίνουν πιο αργά και όχι τα ίδια τα ρολόγια.Ολα αυτά είναι προιόν τθσ ταχφτθτασ του ενόσ αδρανειακοφ ςυςτιματοσ ςε ςχζςθ με ζνα αλλο.

Ιςοδφναμα πειράματα Τo προθγοφμενo πείραμα τθσ διαςτολισ του χρόνου μπορεί να γίνει ιςοδφναμο με 2 άλλα πειράματα: 1ον Πείραμα Ιςοδυναμεί με το να ξεκινά μια φωτεινι αναλαμπι ,πθγισ με ταχφτθτα u, θ οπoία ανακλάται ςε απόςταςθ d υπο γωνία φ και ςε χρόνο 't και επανζρχεται ςτθν φωτεινι πθγι μετά απο τθν πάροδο χρόνου Δt , θ οποία κινείται ςε οριηόνια διεφκυνςθ του άξονα x. O Κάτοπτρο

C

Φ

D

C

Φ

D

A u Άξονασ x B χ,3 Απο το Σχ.3 βλζπουμε ότι για τθν κίνθςθ τθσ ακτίνασ με ταχφτα с, θ φωτεινι αναλαμπι κα διαγράψει το διάςτθμα ΑΟΒ=2ΑΟ=2L.Απο το ορκογϊνειο τρίγωνο κα ζχουμε

22)

2(

tuDAO

2/',,2/ tcDtuABtcAO

Mετά απο πράξεισ και αντικατάςταςθ προκφπτει ότι:

'

)(1

'

22

t

с

u

tt

Θ ςχζςθ (5) που είδαμε και πιό πριν. Επομζνωσ βλζπουμε ότι τα ςυςτιματα είναι ιςοδφναμα αφου καταλιγουμε ςτο ίδιο αποτζλεςμα,δθλαδι τθσ διαςτολισ του χρόνου. Εάν επίςθσ καλζςουμε β=u/c τότε καταλιγουμε για τθν ςχζςθ που ςυνδζει τθν γωνία φ και όλα τα υπόλοιπα δεδομζνα ότι:

12/'2

2/

u

с

tu

AB

D

Επίςθσ παρατθροφμε ότι τα μικθ L και D ςυνδζονται με τισ ςχζςεισ:

tcLtcD '&

Απο προθγουμζνωσ προκφπτει διαςτολι του μικουσ L=ΑΟ τθσ πορείασ τθσ φωτεινισ ακτίνασ, επειδι δεχόμαςτε το D ςαν ςτακερι απόςταςθ:

2

2

1c

u

DLDL

Επίςθσ παρατθροφμε ότι για το μικοσ τθσ διαδρομισ τθσ πθγισ προκφπτουν τα εξισ ςθμαντικά ςτοιχεία:

DDc

utuAB )2/'(2/

Που ςθμαίνει ότι το διαςτθμα που διανφει θ πθγι, εξαρτάται πλιρωσ απο το μζγεκοσ του παρανομαςτι του κλάςματοσ κα πιό ςυγκεκριμζνα:

1

2

2

2

u

c

DAB

που προφανϊσ ζχει μια άλλθ όψθ ςε ςχζςθ με τθν κανονικι ςυςτολι του μικουσ.

ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΣΟΤ ΣΤΠΟΤ

1

2

2

2

u

c

DAB

Σφμφωνα με τον παρανομαςτι κα ιςχφει καταρχιν с2/u2>1 ι u<c που είναι ςωςτό. Εν ςυνεχεία κα πρζπει ςφμφωνα με τθν φιλοςοφία διαςτολισ - ςυςτολισ ο παρανομαςτισ να είναι :

1ον .

сcuu

c7071.0

2

211

2

2

και επομζνωσ προκφπτει ςυςτολι του μικουσ ΑΒ

2ον .

сcuu

c7071.0

2

211

2

2

που ςθμαίνει διαςτολι του μικουσ ΑΒ

3ον .

сcuu

c7071.0

2

211

2

2

το οποίο ςυνεπάγεται ιςομικεσ AB/2 με D,δθλαδι

ΑΒ/2=D.

2ον Πείραμα Ιςοδυναμεί με το να ξεκινά μια φωτεινι αναλαμπι , με τθν διεφκυνςθ ταχφτθτασ του φωτόσ να είναι παράλλθλθ με τθν ταχφτθτα πθγισ u και να ανακλάται ςε ζνα κακρζπτθ ενςωματωμζνο ςτθν άλλθ άκρθ του ςυςτιματοσ. Για ζναν παρατθρθτι που είναι ζξω απο το ςφςτθμα και ακίνθτοσ ςε ςχζςθ με αυτό.Μια φωτεινι αναλαμπι κα διανφςει απόςταςθ d ,ενϊ ςτθν επιςτροφι d’, θ οποία ωσ γνωςτόν κινείται ςε οριηόνια διεφκυνςθ του άξονα των x. | Χ1 |Χ2|

A B Γ

C

u

L’

Επομζνωσ ιςχφουν οι ςχζςεισ για τισ 2 μετακινιςεισ x1,x2 που ςχετίηονται με το ποφ κα

πάει θ φωτεινι αναλαμπι απο τθν βάςθ ςτον κακρζπτθ και όταν ξαναγυρίςει πίςω ςε

αυτιν :

22

11

tux

tux

και με αντικατάςταςθ ςε ςχζςθ με τθν ταχφτθτα του φωτόσ, κα ζχουμε ιςοδφναμα τισ

ςχζςεισ:

22

11

'

'

tctuL

tctuL

Οι οποίεσ ιςοδφναμα καταλιγουν ςτθν ςχζςθ :

)/1(

/'2

)/1(

'2''

222221cu

cL

cuc

L

uc

L

uc

Lttt

Άρα ζχουμε τθν τελικι ςχζςθ:

)/1(

/'2

22cu

cLt

Αλλά ςυγχρόνωσ ιςχφει για τθν μζτρθςθ που κάνει ζνασ παρατθρθτισ, μζςα ςτο κινοφμενο

ςφςτθμα ότι δθλαδι

c

Lt

'2'

Και τελικά

)/1(')/1(

' 22

22cutt

cu

tt

εκ του οποίου

)2('/1

)/2('

/1

/'2

)/1(

1)'2()(

2

22222222121L

cu

cuL

cu

cLu

cuccLuttuxxx

Αλλά ο ακίνθτοσ παρατθρθτισ μετράει ςυνολικό διάςτθμα Lτ (για να πάει και να ζρκει θ ακτίνα μζςα ςτο κουτί, ςυνολικά 2L’ μικοσ (L’=ιδιομικοσ)) δθλαδι

2

222

2

2121

1

'2'2''

c

u

L

uc

cLtctcxxL

Επομζνωσ για τθν ςχζςθ ςυνολικοφ μικουσ Lτ=d+d’ που μετράει ο ακίνθτοσ παρατθρθτισ ςτο Σ ςφςτθμα αναφοράσ κα είναι:

)2('/1

'2

2

22

L

cu

LL

και αντίςτιχα L’ ο κινοφμενοσ ςτο Σ’ ςφςτθμα αναφοράσ είναι

2

22

22

1)/1('

LcuLL

Θ τελευταία δίνει τθν ςχζςθ για 2 ςτιγμιαίεσ μετατοπίςεισ , ςτα 2 ςυςτιματα αναφοράσ που κινοφνται ςχετικά με ταχφτθτα u ίδιασ διεφκυνςθσ. υνοπτικοί Πίνακεσ

1. cu

D

u

c

DAB

D

c

u

DL

t

с

u

tt

1

2/

1

'

)(1

'

2

2

2

2

22

2. cu //

2

22

2

22

2

22

'2/1

'2

22)/1('

')/1(

'

L

cu

LL

LLcuL

tcu

tt

Που ςθμαίνει για το Δt ζχουμε πάντα διαςτολι. Για τα x,L’ εκτελϊντασ διερεφνθςθ ανάλογα με τθν ςχζςθ u/c προκφπτει ότι: 1ον .υςτολι-Διαςτολι μικουσ L’ ςε ςχζςθ με x.

ήcu

ήcu

u

ccuxL

....4142.0

....4142.0

2)/1(/'

22

2ον . Διαςτολι-υςτολι μικουσ x ςε ςχζςθ με L’.

ήcu

ήcu

cuc

uLx

....4142.0

....4142.0

)/1(

12'/

22

Όπου Δt,Δt’, οι χρόνοι και L,L’ τα μικθ ςε ακίνθτο ,κινοφμενο ςφςτθμα αναφοράσ ,’ αντίςτοιχα. Ανάλυςθ υςτθμάτων ςε ςχζςθ με ταχφτθτα ι επιτάχυνςθ

1.Κίνθςθ με ςτακερι ταχφτθτα // ςτθν διεφκυνςθ xx’ με cu Bλζπουμε το κλειςτό ορκογϊνιο κουτί το οποίο κινείται παράλλθλα ςτον άξονα xx’ με το ζνα άκρο του ςυςτιματοσ να ζχουμε ςτερεϊςει μια πθγι φωτεινϊν αναλαμπϊν και ςτο άλλο άκρο ζναν κακρζφτθ.Κατα τα ςτιγμιότυπα τθσ κίνθςθσ παρατθροφμε τθν φωτεινι ακτίνα να φεφγει απο τθν βάςθ Α ,να φκάνει ςτον ανω άκρο Ο που είναι ο κακρζπτθσ και να επιςτρζφει ςτθν βάςθ Β , αφοφ ζχει εκτελζςει ζνα τριγωνικό ςχιμα.

Σχ.4

Για ζναν ακίνθτο παρατθρθτι Ο’ που μετρά το ςφςτθμα όπωσ κινείται βλζπει ότι για τθν κίνθςθ τθσ ακτίνασ με ταχφτα с, θ φωτεινι αναλαμπι κα διαγράψει το διάςτθμα ΑΟΒ=2ΑΟ=2L και ΟΚ=D.Απο το ορκογϊνειο τρίγωνο ΑΟΚ κα ζχουμε άν προςζξουμε τισ ταχφτθτεσ, ςτθν δ/νςθ ΑΚ ταχφτθτα u, ςτιν δ/νςθ ΑΟ ταχφτθτα с και ςτθν δ/νςθ ΚΟ ταχφτθτα с.Για τουσ χρόνουσ που μετράει ο κινοφμενοσ Ο και ακίνθτοσ Ο’ κα είναι Δt,Δt’ αντίςτοιχα. Ιςχφουν οι ςχζςεισ(πάνω – κάτω φωτεινισ ακτίνασ)...

'tcDOK

tuAK

tcAO

Σφμφωνα με τα προθγοφμενα και με το κριτιριο των ταχυτιτων cu και τθν ςυμμετρία των κινιςεων κα ιςχφουν όςα υπολογίςαμε και πριν δθλαδι: υνοπτικά ζχουμε το τυπολόγιο...

'//, xxucu

1

2/

1

,'

)(1

'

2

2

2

222

u

c

DAB

c

u

DLt

с

u

tt

2.Κίνθςθ με ςτακερι επιτάχυνςθ // ςτθν διεφκυνςθ xx’ με cu Σφμφωνα με τα προθγοφμενα το κλειςτό ορκογϊνιο κουτί, κινείται παράλλθλα ςτον άξονα xx’ ενϊ θ φωτεινι αναλαμπι κινείται μζςα ςτο ορκογϊνιο με ταχφτθτα u, όπου cu ϊσ προσ το άλλο άκρο, το οποίο ζχει ενςωματωμζνα ζναν κακρζφτθ.

00

Σχ.5

a) Ιςχφουν οι ςχζςεισ για το διάςτθμα ΑΚ(πάνω κίνθςθ φωτεινισ ακτίνασ)...

'

2

1 2

tcDOK

tcAO

tAK

Επομζνωσ κα ζχουμε τθν ςχζςθ ΑΚ2+ΚΟ2=ΑΟ2 πράγμα που ςθμαίνει ότι :

0'1

2

'11

'4

1

2

2

2

2

2

2

2

2

222242

с

t

c

сt

ttctct

Που ςθμαίνει ότι...

2

2

2

2''0'1

cD

c

c

Dt

ct

сt

Θ ςχζςθ αυτι αποτελεί κριτιριο για να φκάςθ θ φωτεινι ακτίνα ςτον κακρζπτθ ςτο ςφςτθμα του κινοφμενου ορκογϊνιου .

b) Ιςχφουν οι ςχζςεισ για το διάςτθμα BΚ(Kάτω κίνθςθ φωτεινισ ακτίνασ)... Για μιά επιταχυνόμενθ-επιβραδυνόμενθ κίνθςθ, που κα ζχει αποκτιςει πλζον μια αρχικι

ταχφτθτα ςτο Κ, 0u κα ιςχφει

0')(

4

1

')2

1(

22

2

22

03

2

04

2

2

222222

0

ttc

cut

c

ut

c

tctcttu

θ οποία λφνεται ςαν 4ου βακμοφ εξίςωςθ με άγνωςτο το Δt ςε ςυνάρτθςθ του Δt’ αφοφ

AKu 20

3.Κίνθςθ με ςτακερι ταχφτθτα u ςτθν διεφκυνςθ υπο γωνία φ με xx’ 00

90 cu

Όμοια όπωσ προθγοφμενωσ, δεχόμαςτε τϊρα ότι το κλειςτό ορκογϊνιο κουτί, κινείται με ταχφτθτα u ,υπο γωνία φ ϊσ προσ τον άξονα xx’ ,ενϊ θ φωτεινι αναλαμπι κινείται μζςα ςτο ορκογϊνιο κατακόρυφα με ταχφτθτα с, όπου 0

' xxu .

00

Σχ 6 Κίνθςθ με ςτακερι ταχφτθτα u ςτθν διεφκυνςθ υπο γωνία φ με xx’

a) Ιςχφουν οι ςχζςεισ για το διάςτθμα Α0(πάνω κίνθςθ φωτεινισ ακτίνασ)... Με απλι γεωμετρικι φαίνεται ςχθματικά ότι OE κα ειναι θ ουςιαςτικι διαδρομι που κα κάνει θ φωτεινι αναλαμπι ςτον χϊρο και για χρόνο Δt1

1tcOE

tuA

tсA

x

Επομζνωσ κα ζχουμε ξανά τθν ςχζςθ 222AOEOAE πράγμα που ςθμαίνει ότι κα

ιςχφει θ Εξίςωςθ κίνθςθσ:

222

1

222

tutctc

x (ς1)

Θ ςτακερι ταχφτθτα u ςχθματίηει χει γωνία φ με τθν διεφκυνςθ xx’ και επομζνωσ τότε

0090 cu , αλλά επίςθσ ιςχφουν για τθν ταχφτθτα sin,cos uuuu

yx

που ςυνδζουν τθν ταχφτθτα με τθν γωνία φ τριγωνομετρικά, ςφμφωνα με το ςχιμα 6.

b) Ιςχφουν οι ςχζςεισ για το διάςτθμα ΗB(κάτω κίνθςθ φωτεινισ ακτίνασ)... Γεωμετρικά τουλάχιςτον φαίνεται αυτό ςτο ςχιμα και επειδι κεωροφμε ότι το κινθτό διαγράφει μεγάλεσ αποςτάςεισ και το ορκογϊνειο κουτί είναι ςχετικά αμελθτζο ςε μζγεκοσ με αυτζσ , κα ιςχφουν οι ςχζςεισ και άρα οι χρόνοι Δt κα είναι ίδιοι κατα τθν διαδρομι ΑΟ και ΟΒ ,BΣ κα ειναι θ ουςιαςτικι διαδρομι που κα κάνει θ φωτεινι αναλαμπι ςτον χϊρο και για χρόνο Δt2,επομζνωσ :

2tcB

tuO

tсB

x

Ομοια απο το ορκογϊνειο ςχιμα 6 , κα ζχουμε ξανά τθν ςχζςθ 222 OO το

οποίο ςθμαίνει ότι κα ιςχφει θ Εξίςωςθ κίνθςθσ:

222

2

222

kxktutctc (ς2)

Αλλά μέςα ςτο ορθογώνειο κουτί μήκουσ D ιςχύουν τα εξήσ:

22

11

tctuD

tctuD

y

y

Το οποίο ςθμαίνει ότι..

y

y

uc

Dt

uc

Dt

2

1

(ς3)

Τελικώσ για τον υπολογιςμό του ολικού χρόνου που θα διανύςει η ακτίνα πάνω και

κάτω απο την πηγή μέχρι τον καθρέπτη και αντίςτροφα θα είναι ttt

ol και

ςύμφωνα με τισ ςχέςεισ {ς1,ς2,ς3} παίρνουμε :

)1

(2

)2

()(2222

2

222222yxyxyyx

olucuc

Dc

uc

cD

uc

c

uc

D

uc

D

uc

ct

Tελικϊσ παίρνουμε...

)

sin1

1(

cos1

/2

2

2

2

2

2

2

c

u

c

u

cDt

ol

(σ4)

Διερεφνθςθ τφπου

Σφμφωνα με τθν τιμι τθσ γωνίασ φ παίρνουμε για τισ 2 παριπτϊςεισ που ζχουμε ιδθ

υπολογίςει,,,

2

2

2

2

1

/2

2/)

1

/2

0)

c

u

cDt

c

u

cDt

i

ol

ol

χηματικϊ μπορούμε να ςυνοψόςουμε τισ ακόλουθεσ περιπτώςεισ(.Θ):

1. .Κίνθςθ με ςτακερι ταχφτθτα // ςτθν διεφκυνςθ xx’ με cux , cu

y

Σχθματικά βλζπουμε πωσ ςυνδζονται οι 2 κινιςεισ ςε δφο άξονεσ x,y με τισ ταχφτθτεσ που

εφαρμόηονται ςε κάκε περίπτωςθ, μζςα ςτο ορκογϊνειο κουτί:

X u

C

Δ t

Δt’C

Για τισ 2 ανεξάρτθτεσ κινιςεισ, κα ζχουμε γα τουσ χρόνουσ που μετράει ζνασ ακίνθτοσ

παρατθρθτισ Δt και Δt’ ςε ςχζςθ με τα ςυςτιματα αυτά ςε x-y αντίςτοιχα δθλαδι:

22

0

22

0

)(1

/2,

)(1

/2

с

u

clt

с

u

clt

yx

2.Κίνθςθ με ςτακερι ταχφτθτα u ςτθν διεφκυνςθ υπο γωνία φ με xx’ 00

90 cu

i)Σχθματικά όταν ζχουμε 2 κινιςεισ ςε δφο άξονεσ x,y με τισ ταχφτθτεσ ux , uy να εφαρμόηο-

νται ςε κάκε περίπτωςθ και ςυγχρόνωσ Δt//c,ux

και

Δt'c,ux

επάνω ςτο

ορκογϊνειο κουτί προκφπτουν αρχικά οι ςχζςεισ για downupxΔtΔtΔt'c,u :

2

2

2

0

2

2

2

0

1

)/(2,

1

)/(2

с

u

uclt

с

u

uclt

y

x

down

y

x

up

Τελικά παίρνουμε τισ ςχέςεισ πϊνω και κϊτω:

2

2

2

0

2

2

0

2

2

2

2

2

0

1

)/(2',

)1(

/2,

)1(

1

1

/2

с

u

uclt

c

u

clt

c

u

с

u

clt

y

x

yxy

sum

ii) Aντίςτοιχα όταν αντιμετακζςουμε τθν ςφνκετθ κίνθςθ των ux , uy με Δt//c,uy

και Δt'c,uy

oι ταχφτθτεσ να δροφν επάνω ςτο ορκογϊνειο κουτί κατα τθν

διάρκεια τθσ κίνθςθσ τότε ςφμφωνα με τα προθγοφμενα, κα προκφψουν οι ςχζςεισ για τουσ χρόνουσ:

Με τφπο για τουσ χρόνουσ...

2

2

2

0

2

2

0

2

2

2

2

2

0

1

)/(2',

)1(

/2,

)1(

1

1

/2

с

u

uclt

c

u

clt

c

u

с

u

clt

x

y

xyx

sum

X -C u

Y

-C

u

Xu

Yu

Δ t

Δ t’

Y

-uC

Yu

Δt

X -C u

Xu

Δ t’

Γενικότερα για το πείραμα με τυχοφςα κίνθςθ ςτο επίπεδο με ςτακερι ταχφτθτατα..u

Αν δεχκοφμε ότι το κινθτό κουτί κινείται ςφμφωνα με μια ςυνάρτθςθ Y=F(x) τότε με απλι γεωμετρικι φαίνεται ςχθματικά ότι θ πορεία τθσ κίνθςθσ κα είναι ωσ ςτο ςχ.7

u X

u Y

u X

u Y

S

A

D

O

ςχ. 7

Το ορκογϊνιο κουτί διαγράφει μία κλειςτι γραμμι μικουσ S, για τθν οποία ιςχφει

dydy

dxS

D

0

2)(1

και ςφμφωνα με τθν προθγοφμενθ γενίκευςθ και το ςχ.7 κα ζχουμε για κίνθςθ επάνω-κάτω τθν ςχζςθ

)(

)(

x

k

x

uc

D

S

ct

uc

D

S

ct

Τζλοσ για τον ςυνολικό χρόνο ςε ςφνολο τθσ κίνθςθσ, κα ζχουμε αντίςτοιχα

)1

(2

)2

()(22

2

22

xxxx

olucS

Dc

uc

cD

S

c

uc

D

uc

D

S

ct

Ή διαφορετικά

2

22

0

2

2

)/(1

1)cos(,)tan(),cos(

)1

(

)(1

2

dxdydx

dyuu

uc

dydy

dx

Dct

x

xD

ol

4. Κίνθςθ με ςτακερι επιτάχυνςθ // ςτθν διεφκυνςθ xx’ με cu // Η Ιςοδυναμία αντιςτοιχεί με το να ξεκινά μια φωτεινι αναλαμπι , με τθν διεφκυνςθ ταχφτθτασ του φωτόσ // με τθν ταχφτθτα πθγισ (A) u και αφοφ ανακλάται ςε ζνα κακρζπτθ

ενςωματωμζνο ςτθν άλλθ άκρθ του ςυςτιματοσ και επιςτρζφει ςτθν πθγι.Ο ακίνθτοσ παρατθρθτισ κα μετριςει να πάει θ ακτίνα μζχρι τον κακρζπτθ, απόςταςθ d= сt1 ,ενϊ ςτθν επιςτροφι d’=ct2. Επομζνωσ κα μετριςει ςυνολικά μικοσ L=d+d’, θ οποία κα είναι θ ςυνολικι απόςταςθ, που διφνθςε θ φωτεινι ακτίνα μπροςτά μζχρι τον κακρζπτθ και πίςω προσ τθν πθγι. | d1 |d2|

A B Γ

C

u

L’

Άρα ιςχφουν οι ςχζςεισ για τισ 2 μετακινιςεισ x1,x2 που ςχετίηονται με το που κα πάει θ φωτεινι αναλαμπι απο τθν πθγι ςτον κακρζπτθ και όταν ξαναγυρίςει πίςω ςε αυτιν :

10

2

2202

2

11

2

1

2

1

t

ttx

tx

και με αντικατάςταςθ ςε ςχζςθ με τθν ταχφτθτα του φωτόσ, κα ζχουμε ιςοδφναμα τισ ςχζςεισ:

10

2

2

220

1

2

1

2

1'

2

1'

t

ctttL

cttL

Αλλά ο ακίνθτοσ παρατθρθτισ μετράει ςυνολικό διάςτθμα L (για να πάει και να ζρκει θ ακτίνα μζςα ςτο κουτί, ςυνολικά 2L’ μικοσ(L’=ιδιομικοσ)) δθλαδι

21' ctctddL

Μετά απο πράξεισ ευρίςκουμε ότι:

Που είναι οι μόνεσ παραδεκτζσ λφςεισ.

Γενίκευςθ Διαςτολισ χρόνου –υςτολισ μικουσ υπο προυποκζςεισ.

Ασ κεωριςουμε δφο αδρανειακά ςυςτιματα Σ και Σ’ ζτςι ϊςτε το Σϋκινείται με ταχφτθτα u ϊσ προσ το Σ.Επειδι ομιλοφμε για εν ςφςτθμα κυτίου με 2 κάτροπτα μεταξφ των οποίων ζνασ φωτεινόσ παλμόσ κινείται και υφ’ενόσ μετρθτοφ ο οποίοσ καταγράφει εκάςτθν επαναφοράν του παλμοφ.Εξετάηουμε τϊρα 2 περιπτϊςεισ:

i)φμφωνα με τθν κ.χετικότθτασ.

1.Yποκζτουμε οτι ζνα ωρολόγιο κινείται κακζτωσ προσ το μικοσ του με ταχφτθτα u ϊσ προσ το ςφςτθμα Σ,ϊσ γνωςτόν γνωρίηουμε ότι για τον χρόνο ιςχφει..

22

)(1

/'2

с

u

clt

το οποίο παριςτά τθν διαςτολι του χρόνου.

2.Ομοίωσ για κίνθςθ όπου το ωρολόγιο κινείται παράλλθλα προσ τθν τθχφτθτα ζχουμε αποδείξει προθγουμζνωσ ότι ..

)/1(

/2

22cu

clt

Άν εξιςϊςουμε τουσ χρόνουσ προκφπτει ότι το μικοσ κατα τθν παράλλθλθ διεφκυνςθ κα μετρείται μικρότερο απο ότι το ιδιομικοσ l0 ςτο ςφςτθμα Σ’ ,το οποίο βγαίνει απο τθν ιςότθτα:

22

022

22

0)(1

)/1(

/2

)(1

2

с

ull

cu

cl

с

u

clt

3.Για τθν περίπτωςθ που ζχουμε κίνθςθ του ςυςτιματοσ με ταχφτθτα u υπο γωνία φ ωσ προσ xx’,κα ζχουμε τθν ςχζςθ για τον ςυνολικό xρόνο ταξιδιοφ και αφορά το ορκογϊνειο κυτίο όρκιο…

)1(

1

1

/2

2

2

2

2

2

0

c

u

с

u

clt

yx

sum

Για να διαςταυρϊςουμε τον χρόνο ςφμφωνα με τθν Θ.Σ ,πρζπει να υποκζςουμε τθν κίνθςθ

ςτον άξονα xx’ με ταχφτθτα ux//c δθλαδι...

)1(

11

)1(

/2

)1(

1

1

/2

2

22

2

2

0

2

2

2

2

2

2

2

0

c

ull

c

u

cl

c

u

с

u

clt

y

x

xyx

sum

Αντίςτοιχα για τθν ςυμμετρικι κίνθςθ του ςυςτιματοσ κα ιςχφουν:

)sin(),cos(

)1(

11

)1(

/2

)1(

1

1

/2

2

22

2

2

0

2

2

2

2

2

2

2

0

uuuu

c

ull

c

u

cl

c

u

с

u

clt

yx

x

y

yxy

ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΣΟΤ ΣΤΠΟΤ ΤΣΟΛΗ –ΔΙΑΣΟΛΗ ΜΗΚΟΤ

Ενώ η θ.Σχετικότητασ έχει ξεκαθαρίςει ότι έχουμε διαςτολό χρόνου και ςυςτολό

μήκουσ, βλέπουμε ότι κατα πρώτον ότι για το μήκοσ διακρίνουμε για ποιεσ γωνίεσ

έχουμε ςυςτολή και πότε διαςτολή.

Ι.Γενικι περίπτωςθ εκπομπισ-επιςτροφισ φωτεινοφ παλμοφ

1.υςτολι – μικουσ.

Στον προθγοφμενο τφπο κα πρζπει ο παρανομαςτισ να είναι μικρότεροσ τθσ μονάδασ, άρα

1)1(1),(2

2

2

2

2

c

u

с

u

ufxy

Λφνονοντασ τθν εξίςωςθ κα πρζπει ...

00038322218142

2Διαςτολι μικουσ.

Στον προθγοφμενο τφπο κα πρζπει ο παρανομαςτισ να είναι μεγαλφτεροσ τθσ μονάδασ, και

επομζνωσ...

1)1(1),(2

2

2

2

2

c

u

с

u

ufxy

Λφνονοντασ τθν εξίςωςθ κα πρζπει ...

000032221838142

ΙΙ.Γενικι περίπτωςθ εκπομπισ μόνο(μία διεφκ/νςθ) φωτεινοφ παλμοφ

)1(

1

/1

/1

)1(

/2

)1(

1

1

/20

22

2

2

0

c

ucu

cull

c

u

cl

c

u

с

u

clt

yx

x

xyx

1.υςτολι – μικουσ.

Στον προθγοφμενο τφπο κα πρζπει o πολλαπλαςιαςτισ να είναι μικρότεροσ τθσ μονάδασ,

δθλαδι

1

)1(

1

/1

/1),(

c

ucu

cuuf

yx

x

Λφνονοντασ τθν εξίςωςθ κα πρζπει ...

0000450360225

2.Διαςτολι – μικουσ.

Όμοια κα πρζπει o πολλαπλαςιαςτισ να είναι μεγαλφτεροσ τθσ μονάδασ, δθλαδι

1

)1(

1

/1

/1),(

c

ucu

cuuf

yx

x

Λφνονοντασ τθν εξίςωςθ κα πρζπει ...

0022545

ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΣΟΤ ΣΤΠΟΤ ΤΣΟΛΗ –ΔΙΑΣΟΛΗ ΧΡΟΝΟΤ

Σφμφωνα με τον γενικό τφπο για τον χρόνο εκπομπισ – επιςτροφισ παίρνουμε

)sin(),cos(........

)1(

1

1

/2

2

2

2

2

2

0

uuuu

c

u

с

u

clt

yx

xy

1.Διαςτολι – Χρόνου.

Στον προθγοφμενο τφπο κα πρζπει o πολλαπλαςιαςτισ του παρανοματι να είναι

μικρότεροσ τθσ μονάδασ, δθλαδι

1)1(12

2

2

2

2

c

u

с

uxy

που ςυμβαίνει πάντα για u/c<1 ανεξάρτθτα τθσ γωνίασ φ.

2.υςτολι – Χρόνου.

Δζν υπάρχει

ΔΕΡΕΤΝΗΗ ΣΟΤ ΣΤΠΟΤ ΤΣΟΛΗ –ΔΙΑΣΟΛΗ ΧΡΟΝΟΤ –ΕΚΠΟΜΠΗ ΦΩΣΕΙΝΟΤ ΠΑΛΜΟΤ

Σφμφωνα με τον γενικό τφπο για τον χρόνο εκπομπισ - επιςτροφισ παίρνουμε μόνο τθν

περίπτωςθ εκπομπισ τθν ςχζςθ...

)sin(),cos(........

)1(

1

1

/2

2

2

2

0

uuuu

c

u

с

u

clt

yx

xy

Επομζνωσ αρκεί να εξετάςουμε τον πολλαπλαςιατι ςε ςχζςθ με τθν μονάδα.

1.ΤΣΟΛΗ ΦΡΟΝΟΤ(ΕΚΠΟΜΠΗ ΥΩΣΕΙΝΟΤ ΠΑΛΜΟΤ)

Όπωσ φαίνεται για να ζχουμε ςυςτολι χρόνου ο παρανομαςτισ μεγαλφτεροσ τθσ μονάδασ

και επομζνωσ κα πρζπει να ιςχφουν για τον πολλαπλαςιαςτι και τθν γωνία εκπομπισ...

1)1(1),(2

2

2

c

u

с

uuf

xy

Λφνονοντασ τθν εξίςωςθ κα πρζπει ...

000036027036090

2.ΔΙΑΣΟΛΗ ΧΡΟΝΟΤ(ΕΚΠΟΜΠΗ ΦΩΣΕΙΝΟΤ ΠΑΛΜΟΤ)

Αντίςτοιχα για τθν διαςτολι του χρόνου πρζπει να ιςχφουν για τον πολλαπλαςιαςτι και τθν

γωνία εκπομπισ...

1)1(1),(2

2

2

c

u

с

uuf

xy

Με λφςθ τθσ ανίςωςθσ κα πρζπει να ιςχφει...

0027090

Η ςχϋςη Ενϋργειασ – μϊζασ 2mcE

Τζλοσ κα πρζπει να υπολογίςουμε τθν ενζργεια για τθν κίνθςθ εκπομπισ–επιςτροφισ του

φωτεινοφ παλμοφ για το ςφςτθμα που αναφζρουμε και που πρζπει να ποφμε ότι διαφζρει

απο τον τρόπο που ο Αινςταιν τθν παράγει, επειδι ο γνωςτόσ τρόποσ αναφζρεται ςε

κροφςθ πρίν και μετά, διατθρϊντασ το κεϊρθμα διατιρθςθσ τθσ Ορμισ.Πράγμα που

δθμιουργεί ερωτθματικά για υψθλά όρια ταχφτθτασ ,εκφεφγοντασ τθσ μακθματικισ

λογικισ.

Για τθν απόδειξθ αρχίηουμε με τον οριςμό του ζργου. Όταν θ δφναμθ ζχει τθν ίδια

διεφκυνςθ με τθν μετατόπιςθ ιςχφει θ ςχζςθ dxFW Αντικακιςτϊντασ τθν δφναμθ

με τθν μάηα όπωσ τθν ζχει θ υπολογίςει θ κεωρία τθσ ςχετικότθτασ δθλαδι τθν ςχζςθ

3 /2

2

2

υ(1

am

F καταλιγουμε αφοφ το ζργο duumdx(du/dt)mW ςτθν

τελικι ςχζςθ 2

1 /2

2

2

2

3 /2

2

2cm

υ(1

cm

υ(1

duumK

012

W δθλαδι θ κινθτικι

ενζργεια.

Είναι γεγονόσ όμωσ ότι διαφζρει ο τρόποσ ο ςωςτόσ για το ςφςτθμα που εξετάηουμε

προφανϊσ, και δεν ζχει ςχζςθ με τον προθγοφμενο τφπο. Ενϊ δεχόμαςτε τον τφπο του

ζργου όπωσ προθγουμζνωσ κα ζχουμε...

dx

L

x1

cxu...με....dcm/Lx

2

1c2m

dx

L

x1

L

x1cxc

m2duum2WL

x1cu

c

u1

xL

2

2

2222

0

L

2

2

2

2

0

L

2 11 22

2

2

2

Επομζνωσ θ ολικι ςχζςθ για το Ζργο- Ενζργεια 2cm

sumW κα είναι μια ςχζςθ

ανεξάρτθτθ απο τθν ταχφτθτα u και μιλάμε πάντα για το ςφςτθμα που εξετάηουμε, του

φωτεινοφ παλμοφ μζςα ςτο κινοφμενο ορκογϊνιο κουτί ταχφτθτασ u και μικουσ L.

Εν ςυνεχεία για το ςυνολικό ζργο και όταν ζχουμε κίνθςθ υπο γωνία φ ϊσ προσ τον άξονα

xx’ κα πρζπει να λφςουμε τθν εξίςωςθ

)1(

11

2

22

2

2

c

u

Lx

x

y

ωσ προσ u,δθλαδι

ψάχνουμε μια ςυνάρτθςθ u=F(x).Με το mathematica ζχουμε:

Reduce[(1-y^2*a^2)^2==x/L*(1-y^2*b^2),y],με )sin(),cos( ba

και y=u/c.Θ κφρια λφςθ που παίρνουμε με 0,0 ba είναι για το y=u/c

Κατόπιν υπολογίηουμε τθν πρϊτθ παράγωγο του y ωσ προσ x, και κα ζχουμε ...

Η ολικι ενζργεια για εκπομπι – επιςτροφι κα δίνεται απο τον τφπο

Με τελικι λφςθ και διερεφνθςθ απο το mathematica…

Mια ειδικι λφςθ κα ζχουμε για φ=π/2 τότε προκφπτει για τθν ολικι Ενζργεια 2cmW

Αλλά εν ςυνεχεία δίνουμε μια λφςθ και γαι τθν περίπτωςθ φ=π/6 που θ απόλυτθ ολικι

ενζργεια 2

4 cmW

Πυκνότθτα ροισ ςε ςχζςθ με τθν ςυςτολι μικουσ

Το πλικοσ ςωματιδίων ςε ζνα ςφςτθμα , κα διατθρεί τον ίδιο πλθκάρικμο θρεμίασ ςε

ςχζςθ με το ίδιο ςφςτθμα, όταν κινείται με ταχφτθτα u.Υποκζτουμε ότι ζχουμε ζνα ςτοι-

χειϊδθ όγκο V=dxdydz που καταλαμβάνει ζνα ορκογϊνειο παραλλθλεπίπεδο ,κατα τθν

ςχετικι κίνθςθ του ϊσ προσ τθν ςυντεταγμζνθ x, κα μειωκεί ο όγκοσ V,ςε V’=dx’dydz

όπωσ γνωρίηουμε απο τθν Θ..Αυτό κα ζχει ςαν ςυνζπεια να μετατρζψει τθν πυκνότθτα

τθσ δεδομζνθσ μάηασ που εξετάηουμε και αυτό επειδι κεωροφμε τθν ροι ςε ςτακερι

επιφάνεια εμβαδοφ dydz.

α.)Από τθν γνωςτι ςχζςθ για τθν πυκνότθτα (Θ.Σ) προκφπτει θ διατιριςθ τθσ μάηασ ενόσ

υλικοφ ςυςτιματοσ και άρα..

22

000)(1'''''''

с

uLLLLLdydzLdydzLctVm

V

m

και τελικά προκφπτει θ ςχζςθ...

22

022

0

)(1

')(1'

с

u

.

Επομζνωσ δεν μεταβάλεται θ μάηα κατα τθν ςχετικι κίνθςθ παρα μόνο θ τελικι πυκνότθτα,

ςε ςχζςθ με τθν αρχικι, ϊσ προσ τθν ταχφτθτα.Για τθν περίπτωςθ κονιορτοφ κα ζχουμε

nm ,n=αρικμόσ ςωματιδίων,μάηασ m ζκαςτου.

β.)Σφμφωνα με κίνθςθ u//c υπολογίςαμε 22

0

/1

2'

cu

LL

για ολικό χρόνο κίνθςθσ, άρα για

τθν πυκνότθτα 22

0

)(1

'

с

u

ςτθν ειδικι περίπτωςθ δθλαδι που δεν ζχουμε κατακόρυφθ

– οριηόντια κίνθςθ, ςτο κουτί φωτεινοφ παλμοφ, αλλά μόνο οριηόντια εκπομπι –

επιςτροφι.

υμπζραςμα 1ον :Δεν ιςχφει ο τφποσ τθσ Θ., 1/2

2

2

0

u(1

mm

,ο οποίοσ μάλιςτα αντιβαίνει

με τθν λογικι, επειδι για ζνα φωτόνιο με απειροςτι μάηα ,που θ ταχφτθτα του cu κα

προκφπτει ανάλογα ότι m .

υμπζραςμα 2ον:

Στθν διερεφνθςθ του τφπου 22

0

)(1

'

с

u

,όταν cu θ πυκνότθτα του ςϊματοσ ι του

ακροίςματοσ των υλικϊν ςθμείων , δθλαδι τείνει ςτο άπειρο.Το γεγονόσ αυτό

ςθμαίνει ότι υπάρχει φοβερι ςυμπίεςθ ςτο ςϊμα ι ρευςτοφ λόγω παρα πολφ υψθλισ

ταχφτθτασ θ οποία τείνει ςτθν ταχφτθτα του φωτόσ. Σε κάκε άλλθ περίπτωςθ που ζχουμε

μικρζσ ταχφτθτεσ θ τελικι πυκνότθτα του ςϊματοσ ςυμπίπτει ι πλθςιάηει με τθν αρχικι.

Μιά άλλθ προςζγγιςθ..

Η ςχετικιςτικι μορφι από τουσ τφπουσ τθσ μθχανικισ των ρευςτών

Ο αικζρασ είναι ζνα αςυμπίεςτο υπερρευςτό ςτθν ςχετικότθτα, ζτςι ϊςτε να μποροφμε να

κεωριςουμε τον αικζρα ωσ ζνα ιδανικό ρευςτό, το οποίο ζχει διαταραχζσ του ιχου, και θ

εξίςωςθ που το ικανοποεί να είναι 2сddP ,όταν θ dP είναι θ μικρι αφξθςθ τθσ πίεςθσ

του αικζρα. Το c είναι θ ταχφτθτα του ιχου,και το dρ είναι θ μικροςκοπικι αφξθςθ τθσ

πυκνότθτασ του αικζρα. Θ προθγοφμενθ Εξίςωςθ είναι θ ίδια με τθν μάηασ-ενζργειασ,θ

ςχζςθ τθσ ςχετικότθτασ επιςιμωσ, θ οποία φαίνεται να ςθμαίνει ότι θ ενζργεια είναι

ςχετικιςτικι και αντιςτοιχεί ςτθ μικροςκοπικι αφξθςθ τθσ πίεςθσ του αικζρα.Θ ςχετικιςτικι

μάηα αντιςτοιχεί ςε μικροςκοπικό αφξθςθ τθσ πυκνότθτασ αικζρα. Ο αικζρασ κα πρζπει να

ικανοποιεί τθν εξίςωςθ τθσ ςυνζχειασ: 0/ udivt

Με Χριςθ του Lorentz ςε ςυνδιακφμανςθ, μπορεί να αποδειχκεί ότι..

(1)

Όπου το u είναι θ ταχφτθτα του ςϊματοσ που κινείται. Το ν είναι θ ταχφτθτα του πλαίςιου

αναφοράσ O '(x', Υ ', Η') ςε ςχζςθ με το O (x, y, z) όταν θ κατεφκυνςθ τθσ είναι παράλλθλοσ

προσ τον άξονα xx’.

Αντικακιςτϊντασ τθν πρϊτθ εξίςωςθ ςτθ δεφτερθ, τρίτθ και τζταρτθ παίρνουμε

Και ςυγχρόνωσ

Απο τισ προθγοφμενεσ εξιςϊςεισ προκφπτει

(2)

Απο (1,2) βγαίνει ότι

Και επομζνωσ

Τελικϊσ θ ίδια εξίςωςθ που είχαμε αποδείξει προθγουμζνωσ δθλαδι..

(3)

Διαφορίηοντασ 1,2,3 προκφπτει το ςφςτθμα των εξιςϊςεων που ιςχφουν ταυτόχρονα και

είναι οι ηθτοφμενεσ...

Οι ποςοτικζσ επιπτώςεισ εξιςώςεων Φωτόσ ςε ςχζςθ με βαρυτικζσ εφαρμογζσ

Θ κεωρία τθσ ςχετικότθτασ, ςτθν πραγματικότθτα, δεν αποκλίνει από τθν απόλυτθ κεωρία

του χωροχρόνου, επειδι εξθγεί πϊσ του χωροχρόνου το πρότυπο αλλάηει με τθ βοικεια τθσ

ςχετικισ αμετάβλθτθσ ποςότθτασ τθσ απόλυτου περιγραφισ. Οι κατάλλθλεσ ποςότθτεσ τθσ

ςχετικότθτασ είναι οι ίδιεσ ποςότθτεσ απόλυτθσ περιγραφισ, και ωσ εκ τοφτου, κα

υπάρξουν οριςμζνα ςυμπλθρωματικά μεταξφ των ποςοτικϊν, με απόλυτεσ περιγραφζσ.

Θ ειδικι κεωρία τθσ ςχετικότθτασ δείχνει ότι θ ςχζςθ μεταξφ τθσ μονάδασ μικουσ dr

χρόνου dt και dr0 ϊσ επίςθσ dt0 είναι θ ςωςτι μονάδα μικουσ και του χρόνου, αντίςτοιχα.

Δεν διαφζρουν με τθν ταχφτθτα και χρθςιμοποιοφνται για τθ μζτρθςθ τθσ μεταβολισ των

προτφπων χϊρου-χρόνου ςτα αντικείμενα ςε ςχετικι κίνθςθ με οποιαδιποτε ταχφτθτα.

Ζτςι, είναι θ μονάδα μικουσ και του χρόνου του απόλυτου, αλλά και θ περιγραφι ςε αυτό

το πλαίςιο αδράνειασ ςε αναφορά με τθν Εξίςωςθ

που είναι οι εξιςϊςεισ των ποςοτικϊν επιδράςεων ςτθν ειδικι κεωρία τθσ ςχετικότθτασ.

Χρθςιμοποιϊντασ το βαρυτικό δυναμικό κα ζχουμε τθν εξίςωςθ..

(4)

Όταν θ dr0 και dt0 είναι θ ςωςτι μονάδα μικουσ και μονάδα χρόνου ςτο πλαίςιο αναφοράσ

που είναι πολφ μακριά από το βαρυτικό πεδίο, το φ είναι το βαρυτικό δυναμικό ενόσ

ουράνιου ςϊματοσ. Θ dt0 και dr0 δεν μεταβάλλεται ανάλογα με το βαρυτικό δυναμικό.

Δθλαδι, είναι θ ποςότθτα ςτθν απόλυτθ περιγραφι. Οι Εξ. (4) είναι οι εξιςϊςεισ των

ποςοτικϊν επιπτϊςεων τθσ γενικισ κεωρίασ τθσ ςχετικότθτασ.

Οι εξιςϊςεισ των ποςοτικϊν επιπτϊςεων μπορουν να χρθςιμοποιθκοφν για να εξθγιςουν

τα ςχετικιςτικά φαινόμενα απλά. Το πείραμα για τθν κακυςτζρθςθ τθσ θχϊ των ραντάρ,

ζδειξε ότι θ ταχφτθτα του φωτόσ γίνεται βραδφτερθ ςε ζνα βαρυτικό πεδίο, το οποίο

μπορεί να λυκεί απλά με τθ χριςθ των Εξ(4): Θ ςχζςθ μεταξφ των ταχφτθτων τθσ ποςοτικισ

περιγραφισ (dr / dt) και τθσ απόλυτθσ περιγραφισ (dr0/ dt0) δίνεται απο τθν ςχζςθ

και τθσ τελικισ εξίςωςθσ που προκφπτει

θ οποία ςυνδζει άμεςα τισ ταχφτθτεσ ςτο κενό (с) αλλά και εξ αιτίασ βαρυτικοφ πεδίου(c0).

Προφανϊσ, το ςυμπζραςμα ότι θ ταχφτθτα του φωτόσ γίνεται πιο αργι ςε ζνα βαρυτικό

πεδίο είναι μια απόλυτθ περιγραφι, θ οποία είναι το αποτζλεςμα τθσ μετριςεωσ τθσ

ταχφτθτοσ του φωτόσ με τον χρόνο,ςε ολόκλθρο το πεδίο βαρφτθτασ με ζνα αμετάβλθτο

πρότυπο του χωροχρόνου. Ποςοτικά, θ αρχι του αμετάβλθτου τθσ ταχφτθτασ του φωτόσ

είναι ακόμθ ανοικτι, διότι τα πρότυπα του χωροχρόνου ςε ζνα βαρυτικό πεδίο μπορεί να

ποικίλουν με το βαρυτικό δυναμικό.

ΦΑΙΡΙΚΑ Η/Μ ΚΤΜΑΣΑ

Ασ Φανταςτοφμε μια ςθμειακι πθγι (π.χ. ταλαντοφμενο ςθμειακό φορτίο) που

πάλλεται ς’ ζνα ςθμείο του χϊρου. Τα κφματα που διαδίδονται προσ όλεσ τισ

διευκφνςεισ μζςα ςε ζνα ομογενζσ και ιςότροπο μζςο κα ζχουν ςαν μζτωπα

ςφαιρικζσ επιφάνειεσ. Ενϊ ςτα επίπεδα κφματα ζχουμε Ε=E(x, y, z, t), ςτα ςφαιρικά

κφματα είναι:

E E r t ( , ) με r x y z ( )/2 2 2 1 2

Θ κυματικι εξίςωςθ:

2

2

2

2

2

2 2

2

2

1E

x

E

y

E

z u

E

t

ςτθν περίπτωςθ ςφαιρικϊν ςυντεταγμζνων όπου ( x r sin cosθ φ ,

y r= θ φsin sin , z r= θcos ) γίνεται:

2

2

22

2

222

2

2

1

sin

1sin

sin

11

E

E

u

E

r

E

rr

Er

rr

Λόγω ςφαιρικισ ςυμμετρίασ όμωσ E(r, κ, φ, t)=E(r, t) . Συνεπϊσ τα

E

θ και

E

φ

είναι μθδζν και θ παραπάνω εξίςωςθ γράφεται:

2

2

2

2

2

11

t

E

ur

Er

rr

Μετά από πράξεισ ςτα α' μζλοσ, θ εξίςωςθ αυτι διαδοχικά γράφεται

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22

2

1)(1112

t

Er

ur

rE

t

E

ur

rE

rt

E

ur

E

rr

E

Επειδι το r είναι ανεξάρτθτο του t θ προθγοφμενθ εξίςωςθ γράφεται:

2

2 2

2

2

1( ) ( )rE

r u

rE

t

Θ γενικι λφςθ αυτισ είναι :

rE f r ut g r ut E r tf r ut

r

g r ut

r

( ) ( ) ( , )

( ) ( )

Θ δεφτερθ λφςθ g r ut

r

( ) ενϊ είναι μακθματικά αποδεκτι δεν ζχει φυςικό περιεχόμενο

και πρζπει να απορριφκεί. Θ μζχρι τϊρα εμπειρία δείχνει ότι όταν επιταχφνονται φορτία

(που είναι οι πθγζσ Θ/Μ κυμάτων) τα κφματα που δθμιουργοφνται ζχουν διεφκυνςθ ϊςτε

να απομακρφνονται από τα φορτία. Άρα δεχόμαςτε κφματα που γεννϊνται από μία πθγι

και διαδίδονται προσ τα ζξω. Πρζπει να ςθμειϊςουμε ότι αυτι είναι μια επιπρόςκετθ

ςυνκικθ που δεν προκφπτει από τισ εξιςϊςεισ του Maxwell.Σφμφωνα με τα λεχκζντα κα

ζχουμε λοιπόν: E r tf r ut

r( , )

( )

. Διαπιςτϊνουμε ότι το πλάτοσ του ςφαιρικοφ κφματοσ

είναι αντιςτρόφωσ ανάλογθ του r. Ζνα άλλο πρόβλθμα τθσ λφςθσ αυτισ είναι ότι ςτθ κζςθ

r=0 y(r) . Στο επίπεδο αυτισ τθσ ςυηιτθςθσ κα κεωροφμε τθν παραπάνω λφςθ για

όλο το χϊρο εκτόσ από τθ κζςθ r=0.

Μεταβολι του πλάτουσ με τθν απόςταςθ για διάφορα είδθ κυμάτων

Ιςχφει E uV όπου u :θ πυκνότθτα ενζργειασ. Θ ενζργεια που περνά από τθν ιςοφαςικι

επιφάνεια Α ςε χρόνο dt είναι dE udV uAdr και ςυνεπϊσ ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ

ενζργειασ κα είναι :

dE

dtu A

dr

dtu A υ

όπου υ : θ ταχφτθτα του κφματοσ.

i. Επίπεδα κφματα

Σφμφωνα με το κεϊρθμα διατιρθςθσ τθσ ενζργειασ (Σχιμα 22) που περνά από δφο

διαδοχικζσ επιφάνειεσ Α1 και Α2 ςτθ μονάδα του χρόνου :

dE

dt

dE

dtu A u A u u u

A A

1 2

1 1 1 2 2 2 1 2

1 2 1 2

υ = υυ υ,

ζηαθερο

Στο επόμενο κεφάλαιο κα δοφμε ότι u Eo

2

και επομζνωσ: E o επιπεδοζηαθερo

Στα επίπεδα κφματα το πλάτοσ διατθρείται ςτακερό αφοφ οι ιςοφαςικζσ επιφάνειεσ του

κφματοσ (επίπεδεσ) διατθροφν ςτακερό εμβαδό.

ii. φαιρικά κφματα

Σφμφωνα με το κεϊρθμα διατιρθςθσ τθσ ενζργειασ :

u A u A u r u r ur

,A r ,A r u E o

1 1 1 2 2 2

4 4

1 1

2

2 2

2

2

1 2 1 1

2

2 2

2 2

4 4 1

υ = υ π πυ υ π π

Er

o σφαιρ ικο

1

Yπολογιςμόσ τθσ ταχφτθτασ του φωτόσ ςε ςχζςθ με τον χρόνο.

Υποκζτουμε ότι εκπζμπεται μια φωτεινι δζςμθ και κα κζλαμε να υπολογίςουμε

τθν ταχφτθτα του φωτόσ ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο.Υπάρχουν 2 βαςικζσ

παραδοχζσ..

1.Σο ςφμπαν διαςτζλλεται κατα προςζγγιςθ προσ όλεσ τισ διευκφνςεισ με

ςτακερι ταχφτθτα.

2.Η ενζργεια του ςφαιρικοφ Η/Μ κφματοσ, διατθρείται ςε κάκε φάςθ τθσ

εκπομπισ του ςτακερι.

Άρα Ιςχφει uAdruVE όπου u :θ πυκνότθτα ενζργειασ, Α:Ιςοφαςικι επιφάνεια

κφματοσ,dr: απόςταςθ κατα μικοσ κίνθςθσ και επομζνωσ...

uAdt

druA

dt

dEuAdruVE

Όπου υ=ταχφτθτα κφματοσ

Σφμφωνα με το κεϊρθμα διατιρθςθσ τθσ ενζργειασ για 2 χρονικζσ καταςτάςεισ κα

ιςχφει ..

2

2

221

2

112221112144// ruruAuAudtddtdE (1)

Αλλά ιςχφει 3

1

3

2

212

3

221

3

11/

3

4,

3

4

r

ruuurEurE (2)

Απο (1,2)=> 2121// rr (3)

παξαδνρέο: Θεσξνύκε, όηη:

1) Σο ςφμπαν διαςτζλλεται (κατά πολφ μεγάλθ προςζγγιςθ) με τθν ίδια ςτακερι ταχφτθτα V προσ όλεσ τισ κατευκφνςεισ, και 2) Σο ςφμπαν είναι ςαν να ιταν ολόκλθρο ςυγκεντρωμζνο μζςα ςτθ ςφαίρα So ακτίνασ ro και το διαςτελλόμενο ςφμπαν, είναι ολόκλθρο ςυγκεντρωμζνο μζςα ςτθ ςφαίρα S ακτίνασ R. Θ ςχζςθ(3) μασ δίνει τθν ςχζςθ που ςυνδζεται θ ταχφτθτα Θ/Μ κφματοσ ςυναρτιςεισ τθσ ακτινικισ απόςταςθσ ςε ςχζςθ με το ςθμείο εκπομπισ.Συνδιάηοντασ τον νόμο του Hubble ο οποίοσ ςυνοπτικά αναφζρει ότι:

« Οι γαλαξίερ γύπω μαρ απομακπύνονται με τασύτητα V πος αςξάνεται όσο αςξάνεται η

απόστασή R τοςρ από εμάρ”

και ο νόμος είναι R=Vt. Aντικαθιστώντας στον Νόμο (3) βγάζουμε ότι η ταχφτητα του φωτός с για 2 καταστάσεις

δίνεται απο τον τφπo..

tftr

Vc

r

Rcc )(

0

0

0

0

Όπου f ςτακερι ποςότθτα για τουσ υπολογιςμοφσ μασ.

Για να υπολογίςουμε τϊρα τθν ταχφτθτα ςε δφο χρονικζσ καταςτάςεισ κα προκφψει θ ςχζςθ

2

1

2

1

2

1

t

t

t

t

f

f

c

c

Και τελικϊσ

)/1(/

1201

12

1

2

1

12ttc

ttc

t

tcc

t2 = Ο Xρόνοσ ςε μζλλον(+) ι παρελκόν(-).

Παράδειγμα...

Άν ηθτιςουμε να υπολογίςουμε τον ταχφτθτα του φωτόσ για t0=50.000 ζτθ φωτόσ ςτο

μζλλον, που προζρχεται απο μία απόςταςθ t2=1,5 1010 ζτθ(ασ υποκζςουμε απο ζναν

απομακρυςμζνο γαλαξία) τότε:

Ιςχφουν ... sec/000.300

000033334.1510.1000.501/1

0

10

20

kmc

tt

Και βρίςκουμε

sec/001.300)/1(2002

kmttcc

όταν θ ουςιϊδθσ διαφορά βρίςκεται ςτο γεγονόσ ότι ζνα ςφαιρικό κφμα φωτόσ ζχει γραμικι ςχζςθ με τον χρόνο και διαφζρει για το διαμικεσ με τον τφπο FRESNEL. Ο τροπο-ποιθμζνοσ τφποσ του Fresnel ιςχφει (κατά πολφ μεγάλθ προςζγγιςθ υπο τθν προυπόκεςθ 2), και ο οποίοσ οδθγεί ςτον τφπο

sec/5,001.300)/1(2/3

2002kmttcc

Ο οποίοσ κατ’επζκταςθ κεωρείται ορκόσ για εκπομπι κατα μικοσ τθσ διαδρομισ, ςφμφωνα

με τθν λογικι Fresnel.

Σπκπέξαζκα :

1.Η ταχφτθτα c του φωτόσ δεν είναι μία φυςικι ςτακερά, όπωσ λανκαςμζνα ιςχυρίηεται θ Θεωρία τθσ χετικότθτασ και θ ςφγχρονθ Φυςικι. 2.Αντίκετα, θ ταχφτθτα c του φωτόσ μζςα ςτο ςφμπαν είναι μεταβλθτι και ςυγκεκριμζνα, είναι ςυνάρτθςθ του χρόνου t, ο οποίοσ παριλκε από τθ ςτιγμι μθδζν απο κάποιο ςθμείο μζςα ςτο ςφμπαν.

KΟΜΟΛΟΓΙΑ- ΓΕΝΙΚΑ Θεωρία τθσ υμπφκνωςθσ – Αποςυμπφκνωςθσ των Πολυκζντρων ΒΑΙΚΕ ΔΙΟΡΘΩΣΙΚΕ ΑΡΧΕ ΚΟΜΟΛΟΓΙΑ H εξζλιξθ του χρόνου είναι ι ίδια και μοναδικι ςυγχρόνωσ για όλο το ςφμπαν, όμωσ λόγω των οιονδιποτε ςχετικών αποςτάςεων και κινιςεων απο εμάσ, μετράμε ςφμφωνα με τισ ςχζςεισ που προαναφζραμε, διαφορετικά τα ςυμβαίνοντα γεγονότα που πραγματοποιοφνται, ςχτιηόμενα πάντοτε με τθν εκάςτοτε απόςταςθ ωσ προσ εμάσ. To ςφμπαν είναι άπειρο επειδι θ γζννεςθσ θ δθμιουργία αλλά και θ εξζλιξθ είναι ςυννεχισ , ζσ αεί (για πάντα) και διθνεκισ (χωρίσ να ςταματά) τόςο ςτο παρελκόν όςο και ςτο παρόν αλλά και ςτο μζλλον αδιάλειπτα(χωρίσ διακοπι). Η κεωρία του Bing Bang δεν είναι ςωςτι με τθν ζννοια που τθσ ζχει δοκεί.Τπιρχαν υπάρχουν και κα υπάρξουν Άπειρα Bing Bang ςε τοπικζσ περιοχζσ του ςφμπαντοσ,οι οποιεσ κα αναγενοφν αςτζρια ι αςτρικι φλθ- ςκόνθ αλλά και ςκοτεινθ φλθ ι ομάδεσ αςτεριών όπωσ γαλαξίεσ ι αςτρικά ςυςτιματα. Η φπαρξθ των όντων εμφανίηεται όταν για το κάκε όν ςυνυπάρχουν οι κατάλθλεσ ςυνκικεσ για τθν ανάπτυξθ τουσ, αλλά και για τθν διατιρθςθ τουσ ςτθν ηωι. ΤΜΠΕΡΑΜΑ «Η Θεωρία τθσ υμπφκνωςθσ – Αποςυμπφκνωςθσ των Πολυκζντρων δίνει μια καλφτερθ προςζγγιςθ ςτθν δθμιουργία του ςφμπαντοσ ,τθσ αζναθσ δθμιουργίασ Κζντρων Βάρουσ και δθμιουργίασ αςτζρων –πλανθτών, απο τθν διάχυτθ αςτρικι φλθ-ςκόνθ ςε μιά κυκλικι ςυνζχεια φνκεςθσ-Αποςφνκεςθσ άπειρθσ και ςυνεχοφσ, χωρίσ τθν φπαρξθ μιασ αρχισ αλλά πολλαπλών κζντρων αναςφνκεςθσ και δθμιουργίασ.»

Βιβλιογραφία...

1. Smarandache, Florentin, Absolute Theory of Relativity & Parameterized

Special Theory of Relativity &NoninertialMultirelativity, 92 p., 1982,

Somipress, Fès, Morocco.

2. Smarandache, Florentin, New Relativistic Paradoxes and Open Questions,

126 p., 1983, Somipress, Fès, Morocco.

3. Bell, J. S., On the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox,Physics 1, pp. 195-200,

1964.

4. Bohm, D., The Paradox of Einstein, Rosen, and Podolsky,Quantum Th., pp.

611-623, 1951.

5. Einstein, A.; Podolsky, B.; and Rosen, N., Can Quantum-Mechanical

Description of Physical Reality Be Considered Complete?, Phys. Rev. 47, pp.

777-780, 1935.

6. Smarandache, F., There is No Speed Barrier in the Universe, mss., Liceul

Pedagogic Rm. Valcea, Physics Prof. Elena Albu,1972.

7. Rindler, W., Length Contraction Paradox, Am. J. Phys., 29(6), 1961.

8. Einstein, A., ZurEletrodynamikbewegterKörper, Annalen der Physik, Vol. 17,

pp. 891-921, 1905.

9. A. Einstein, On the Electrodynamics of Moving Bodies, Annalen der

Physik, 17, 891-921, 1905.