CAPITOLUL I Probleme rezolvate 1. Pe mulimea matricelor mn(K) = {A | A = [aij], aij K, i = 1, m , j = 1, n } se definesc operaiile: "+" : mn(K) mn(K) mn(K) prin C = A + B, C = [cij], cij = aij + bij, "" : K mn(K) mn(K) prin D = A, D = [dij], dij =aij, pentru A = [aij], B = [bij] mn(K), K.

S se arate c (mn(K), +, ) este un K-spaiu vectorial de dimensiune mn. Soluie. Operaia de adunare este o operaie intern pe mn(K), care satisface proprietile: 1.1. (A + B) + C = A + (B + C), A, B, C mn(K); 1.2. A + B = B + A; A, B mn(K); A + Omn = A, A mn(K); 1.4. A = [aij] mn(K), -A = [-aij] mn(K) a.. A + (-A) = Omn ; Operaia de nmulire a matricelor cu scalari din K este o operaie extern, care verific proprietile: 2.1. (A) = ()A, , K, A mn(K); 2.2. (A + B) = A +B, K, A, B mn(K); 2.3. ( + )A = A + A, , K, A mn(K); 2.4. 1 A = A, A mn(K) (unde 1 este elementul unitate din corpul K). Demonstraiile proprietilor se fac utiliznd definiiile celor dou operaii i proprietile cmpului K.6

1.3. Omn mn(K), matricea cu toate elementele egale cu 0, a..

SPAII VECTORIALE

Fie BC = {Eij mn(K) | i = 1, m , j = 1, n }, Eij fiind matricea care are elementul 1 la intersecia liniei i cu coloana j, celelalte elemente fiind egale cu 0. BC formeaz o baz n mn(K), numit baza canonic (sau baza natural). ntr-adevr, dac ij K, i = 1, m , j = 1, n , atunci din orice combinaie liniar de forma ij E ij = Omn rezulti =1 j=1 m n

... 0 11 12 ... 1n ... ... 21 22 ... 2n = ... 0 = ... ... ... ... ... ... m1 m 2 ... mn ... 0 0 0 , ... 0 deci ij = 0, i = 1, m , j = 1, n ; BC este un sistem de vectori liniar independeni. Deoarece pentru A mn(K), A = [aij], i = 1, m , j = 1, n , are loc egalitatea

0 ... 0 ... ... ... m n 0 ... ij i =1 j =1 ... ... ... 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... = ... ... ... 0 0 ...

A = a ij E ij ,i =1 j=1

m n

rezult c BC este i un sistem de generatori pentru spaiul mn(K). Numrul elementelor din BC este mn, ceea ce implic dim mn(K) = mn.n(K) i dim n(K)= n2.

Spaiul vectorial nn(K) al matricelor ptratice se noteaz cu

7

CAPITOLUL I Observaie. Spaiul vectorial 11(K) se identific cu K, deci K poate fi considerat ca spaiu vectorial peste el nsui. Spaiul vectorial 1n(K), al matricelor linie, se identific cu spaiul Kn. Spaiul vectorial m1(K), al matricelor coloan, se identific cu Km. 2. Pe mulimea Kn = K 4 ... 3 = { x | x = (x1, x2, ... , xn), xi K, i = 1, n } K K 14 244de n ori

se definesc operaiile: "+" : Kn Kn Kn, x + y = (x1 + y1, x2 + y2 ... , xn + yn), "" : K Kn Kn, x = (x1, x2, ... , xn), pentru x = (x1, x2, ... , xn), y = (y1, y2 ... , yn) Kn, K. S se arate c (Kn, +, ) este un K-spaiu vectorial de dimensiune n (spaiul vectorial aritmetic). Soluie. Rezult din identificarea lui Kn cu spaiul vectorial 1n(K). Baza canonic a lui Kn este BC = { ei | ei = (0, 0, .... , 0, 1, 0, ....., 0), i = 1, n } (n vectorul ei toate coordonatele sunt nule, cu excepia celei de pe locul i, care este 1). Pentru K = (K = ) se obine -spaiul vectorial n (-spaiul vectorial n).3. Fie V un -spaiu vectorial. Pe mulimea VC = V V se definesc operaiile: "+" : VC VC VC, ( x 1, y 1) + ( x 2, y 2) = ( x 1 + x 2, y 1 + y 2 )

"" : VC VC, ( + i)( x 1, y 1) = ( x 1 - y 1, y 1+ x 1),

pentru ( x 1, y 1), ( x 2, y 2) VC, , .8

SPAII VECTORIALE

S se arate c (VC, +, ) este un -spaiu vectorial (spaiu liniar complex), numit complexificatul -spaiului vectorial V.Soluie. Folosind proprietile -spaiului vectorial V se poate arta c (VC, +) este un grup comutativ. Au loc i proprietile: (2.1.) ( + i)[( + i)( x 1, y 1)] = = ( + i)( x 1 - y 1, y 1+ x 1) = = (( x 1 - y 1) - ( y 1 + x 1), ( y 1 + x 1) + ( x 1 - y 1)) = = (( - ) x 1 - ( + ) y 1, ( - ) y 1 + ( + ) x 1) = = [( - ) + i( + )]( x 1, y 1) = [( + i)( + i)]( x 1, y 1). (2.2.) ( + i)[( x 1, y 1) + ( x 2, y 2)] = = ( + i) ( x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) = = (( x 1 + x 2) - ( y 1 + y 2 ), ( y 1 + y 2) + ( x 1 + x 2)) = = (( x 1 - y 1) + ( x 2 - y 2), ( y 1 + x 1) + ( y 2 + x 2)) = = ( x 1 - y 1, y 1 + x 1) + ( x 2 - y 2, y 2 + x 2) = = ( + i) ( x 1, y 1) + ( + i) ( x 2, y 2). (2.3.) [( +i) + ( + i)] ( x 1, y 1) = = [( + ) + i( + )] ( x 1, y 1) = = (( + ) x 1 - ( + ) y 1, ( + ) y 1 + ( + ) x 1) = = (( x 1- y 1) + ( x 1 - y 1), ( y 1 + x 1) + ( y 1 + x 1)) = = ( x 1- y 1, y 1 + x 1) + ( x 1 - y 1, y 1 + x 1) = = ( + i)( x 1, y 1) + ( + i)( x 1, y 1). (2.4.) 1 ( x 1, y 1) = (1 + i0) ( x 1, y 1)= (1 x 1 -0 y 1, 1 y 1 + 0 x 1) = = ( x 1, y 1). Caz particular. Dac V = , atunci VC = este -spaiu vectorial fa de operaiile: "+" : VC VC VC, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 +y2 ),

"" : VC VC, ( + i) (x1, y1) = (x1 - y1, y1 + x1), pentru (x1, y1), (x2, y2) VC, , .9

CAPITOLUL I

Dac se interpreteaz x1 ca partea real i y1 ca partea imaginar a unui numr complex, atunci "+" i "" coincid cu operaiile de adunare i nmulire a numerelor complexe.4. Fie V un - spaiu vectorial (spaiu liniar complex). Pe mulimea V se definesc operaiile: "+" : V V V, rmne aceeai din V,

"" : V V prin a x = (a + 0i) x , x V, a . S se arate c (V, +, ) este un spaiu vectorial real (decomplexificatul spaiului V, notat prin V), cu dim V = 2n, dac dim V = n. Soluie. (V, +) este un grup comutativ. nmulirea cu un numr real a coincide cu nmulirea cu numrul a + i0, deci sunt satisfcute i proprietile (2.1.) - (2.4.) din definiia spaiului vectorial. Caz particular. Decomplexificatul lui n este (n). Dac z = (z1, z2, ... , zn) n, zk = xk + iyk, unde xk, yk , k = 1, n , atunci z se identific cu ( x , y ) = (x1, x2, ... , xn, y1, y2, ... , yn) n n = 2n. Pentru n = 1, decomplexificatul lui este 2. Dac B = ( e1 , e2 , ... , en ) este o baz pentru V, atunci mulimea B = ( f1 , f 2 , ... , f n , f n +1 , ... , f 2n ) este o baz pentru spaiul V, unde vectorii din B sunt dai de egalitile: f1 = e1 , f 2 = e2 , ... , f n = en , f n +1 = (0, 1) e1 = i e1 , ... , f 2n = i en . Orice vector v V se poate scrie sub formav = v k ek , vk .k =1 n

Dac nlocuim vk = (Re vk, Im vk), atunci:

10

SPAII VECTORIALEn n n n v = (Re v k ) ek , (Im v k ) ek = (Re v k ) ek + i (Im v k ) ek = k =1 k =1 k =1 k =1

= ((Re v k )f k + (Im v k )f n + k ) .k =1

n

Deci [B] = V. n plus, B este o mulime liniar independent n V.5. Pe mulimea (X, V) = {f | f : X V}, unde K este un cmp nevid i V este un K-spaiu vectorial, se definesc operaiile: "+" : (X, V) (X, V) (X, V), prin h = f + g;

h(x) = f(x) + g(x), x X;(x) = f(x), x X,

"" : K (X, V) (X, V) prin = f, pentru f, g (X, V), K. S se arate c ((X, V), +, ) este un K-spaiu vectorial. Soluie. Deoarece adunarea determin pe V o structur de grup comutativ, rezult c adunarea indus pe (X, V) determin pe aceast mulime o structur de grup comutativ. Legea de compoziie extern n V peste K induce legea de compoziie extern "" n (X, V). (2.1.) [ (f)](x) = (f)(x) = (f(x)) = ()f(x) = (()f)(x), pentru x X, deci are loc: (f) = ()f, f (X, V), , K. Analog se demonstreaz i celelalte proprieti: (2.2.) (f + g) = f + g, f, g (X, V), K; (2.3.) ( + )f = f + f, f (X, V), , K; (2.4.) 1f = f, f (X, V), cu 1 K.

11

CAPITOLUL I 6. Pe mulimea polinoamelor de grad mai mic sau egal cu n, cu coeficieni din corpul K, Kn[x] = {p(x)| p(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn, ai K, i = 0, n }, se definesc operaiile: "+": Kn[x] Kn[x] Kn[x] prin r(x) = p(x) + q(x), r(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 + ... + (an + bn)xn, "": K Kn[x] Kn[x] prin s(x) = (p)(x), s(x) = (a0) + (a1)x + (a2)x2 + ... + (an)xn, pentru p(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn Kn[x],

q(x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bnxn Kn[x], K. S se arate c (Kn[x], +, ) este un K-spaiu vectorial de dimensiune (n + 1). Soluie. Oricrui element p(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn din Kn[x], ai K, i = 0, n , i se poate asocia (n + 1)-uplul format din

coeficieni, (a0, a1, a2, ... , an) Kn + 1, deci Kn[x] se poate identifica cu Kn + 1. Mulimea BC = {1, x, x2, ... , xn} formeaz o baz n Kn[x] (numit baza canonic) i deci dim Kn[x] = n + 1.7. Pe mulimea * = {x | x , x > 0} se definesc + operaiile: "" : * * * , x y = xy, + + +

"" : * * , x = x, + + pentru x, y * , . + S se arate c ( * , , ) este un -spaiu vectorial. +Soluie. ( * , +) este un grup comutativ deoarece operaia "" + este intern, comutativ, asociativ, numrul e = 1 este element neutru i x * admite un simetric fa de operaia "", anume +

12

SPAII VECTORIALE1 * (sunt proprietile de grup abelian ale lui * fa de + + x nmulirea obinuit). Se verific i proprietile lui * fa de nmulirea cu scalari + reali: (2.1.) ()x = x = (x) = (x) = x = (x);

x' =

(2.2.) (xy) = (xy) = (xy) = xy = xy = = (x) (y); (2.4.) 1x = x1 = x, (2.3.) ( + )x = x + = xx = xx = (x)(x);

pentru x, y * , , . +8. Pe mulimea 2 = { x 2 | x = (x1, x2), xi , i = 1, 2} se definesc operaiile: x + y = (x1 + y1, x2 + y2), x = (x1, x2), y = (y1, y2) 2,

x = (x1, x2), , x 2. S se studieze dac (2, +, ) este un -spaiu vectorial. Soluie. Deoarece ( + ) x = (( + ) x1, x2), x + x = (x1, x2) + (x1, x2) = (( + )x1, 2x2), rezult c ( + ) x x + x , deci (2, +, ) nu este un -spaiu vectorial.9. S se arate c dac S1 i S2 sunt subspaii liniare ale K-spaiului vectorial V, atunci mulimile S1 S2 i

S1 + S2 = { x | x = x1 + x 2 , x1 S1, x 2 S2} sunt subspaii vectoriale ale lui V. Soluie. , K, x , y S1 S2 x , y S1 ix , y S2 x + y S1 i x + y S2 13

CAPITOLUL I x + y S1 S2 S1 S2 este subspaiu liniar.

Pentru , K, x , y S1 + S2 x1 + y1 S1 i x 2 + y 2 S2 x = x1 + x 2 , y = y1 + y 2 , x1 , y1 S1 i x 2 , y 2 S2

x + y = ( x1 + x 2 ) + ( y1 + y 2 ) =

= ( x1 + y1 ) + ( x 2 + y 2 ) S1 + S2 S1 + S2 este subspaiu liniar. Observaie. Dac S1 S2 = { 0 } (caz n care S1 i S2 se numesc subspaii liniar independente), atunci suma lor, S1 + S2, se numete sum direct i se noteaz cu S1 S2.

n plus, dac S1 S2 = V, atunci S1 i S2 se numesc subspaii suplimentare i dim V = dim S1 + dim S2.10. Fie S1 i S2 subspaii liniare ale K-spaiului vectorial V. S se arate c V = S1 S2 dac i numai dac pentru x V, x1 S1 i x 2 S2 unic determinai astfel nct x = x1 + x 2 . Soluie. Necesitatea. Presupunem c V = S1 S2 i

x = x1 + x 2 = y1 + y 2 , x1 , y1 S1 i x 2 , y 2 S2.

Deoarece S1 S2 = { 0 }, rezult c0 = x - x = ( x1 - y1 ) + ( x 2 - y 2 ) S1 S2

Suficiena. Presupunem c x V, x1 S1 i x 2 S2 unic determinai astfel nct x = x1 + x 2 . S artm c S1 S2 = { 0 }. Dac u S1 S2 x = ( x1 + u ) + ( x 2 - u ), cu x1 + u S1,

x1 - y1 = 0 , x 2 - y 2 = 0 x1 = y1 , x 2 = y 2 .

14

SPAII VECTORIALEx 2 - u S2. Din unicitatea descompunerii rezult c x1 = x1 + u , x 2 = x 2 - u, deci u = 0, de unde S1 S2 = { 0}.

11. n spaiul vectorial n(K) se consider submulimile: n(K) = {A n(K)| A = At} (mulimea matricelor simetrice) n(K) = {An(K)| A = -At}(mulimea matricelor antisimetrice) S se arate c mulimile n(K) i n(K) sunt subspaii vectoriale ale lui n(K), n(K) = n(K) n(K) i n (n + 1) n (n 1) , dim n(K) = dim n(K) = . 2 2 Soluie. A, B n(K) A = At, B = Bt. , K (A + B)t = (A)t + (B)t = At + Bt = A + B

A + B n(K) n(K) este subspaiu vectorial. Analog se demonstreaz c n(K) este subspaiu vectorial. Orice matrice A n(K) se poate scrie A = A1 + A2, unde 1 1 A1 = (A + At), A2 = (A - At), cu A1 n(K), A2 n(K). 2 2 Se demonstreaz c descompunerea este unic. Presupunem c are loc i decompunerea A = B1 + B2 cu B1 n(K), B2 n(K). Atunci A = A1 + A2 = B1 + B2, deci A1 - B1 = B2 - A2. Deoarece A1, B1 n(K), care este subspaiu vectorial, rezult c A1 - B1 n(K). Analog B2 - A2 n(K). Deci C = A1 - B1 = B2 - A2 n(K) n(K) C = Ct i C = - Ct 2C = On A1 = B1, A2 = B2.

Se observ c matricea A = [aij] identifica cu vectorul de coordonate15

i = 1, n , j = 1, n

n(K) se poate

CAPITOLUL I

(a11,a12,a13,...,a1n, a22, a23, ..., a2n, ..., an - 1, n - 1, an - 1, n, ann) K . n (n + 1) Deci dim n(K) = . Din relaia dimensiunilor rezult 2 n (n + 1) n (n 1) = . dim n(K) = n2 2 212. S se arate c vectorii u1 , u 2 , ... , u n din spaiul vectorial n sunt liniar independeni dac rangul matricei x11 x 21 ... x n1 x x 22 ... x n 2 12 n(), A= ... ... ... ... x1n x 2n ... x nn format pe coloane din coordonatele vectorilor ntr-o baz oarecare, B = { e1 , e2 , ... , en } din n, este n, adic egal cu numrul vectorilor. Soluie. Dac n relaia i u i = 0 , i , i = 1, n ,i =1 n

n ( n +1) 2

introducem expresiile vectorilor u i n baza B, u i = x ij e j ,j =1

n

obinem urmtorul sistem liniar i omogen n necunoscutele 1, 2, ... , ni =1

i x ij = 0 .

n

Sistemul admite numai soluia banal, i = 0, i = 1, n ,dac matricea sistemului A are determinantul nenul, deci rangA = n.Observaie. Rangul sistemului de vectori linie ai unei matrice este egal cu rangul sistemului de vectori coloan.

16

SPAII VECTORIALE

Rangul unei matrice A este rangul comun sistemelor de vectori linie sau coloan, adic este egal cu numrul maxim de vectori linie sau coloan liniar independeni ai ei.13. S se stabileasc dac urmtorii vectori sunt liniar independeni sau liniar dependeni: a) u1 = (1, -1, 2), u 2 = (-1, 3, -2), u 3 = (5, -11, 10); b) u1 = (1, -1, 0), u 2 = (-1, 2, 1), u 3 = (1, 1, 1). Soluie. a) Considerm combinaia liniar u1 + u 2 + u 3 = 0 , care conduce la sistemul liniar i omogen + 5 = 0 + 3 11 = 0 . 2 2 + 10 = 0 Matricea sistemului este 1 1 5 L3 2L11 1 5 L 2 : 2 1 0 0 A = 1 3 11 ~ 0 2 6 ~ 0 1 0. 0 2 2 10 0 0 0 0 0 i rang A = 2 < 3 = numrul necunoscutelor. Sistemul este compatibil nedeterminat cu soluia = -2, = 3, = , . Rezult c vectorii u1 , u 2 , u 3 sunt liniar dependeni i satisfac relaia de dependen -2 u1 + 3 u 2 + u 3 = 0 , . n particular, pentru = -1, se obine relaia de dependen 2 u1 - 3 u 2 - u 3 = 0 .L 2 + L1

b) Considerm combinaia liniar u1 + u 2 + u 3 = 0 , care conduce la sistemul liniar i omogen

17

CAPITOLUL I + = 0 + 2 + = 0 + = 0 Matricea sistemului este 1 1 1 L1+ L 2 1 1 1 L3 L 2 1 1 1 A = 1 2 1 ~ 0 1 2 ~ 0 1 2 . 0 1 1 0 1 1 0 0 1 i rang A = 3. Sistemul admite numai soluia banal, = = = 0, deci vectorii u1 , u 2 , u 3 sunt liniar independeni.

14. S se studieze, dup valorile parametrului real m , dependena liniar a sistemului de vectori { u1 = (1, 2, 3), u 2 = (4, 5, 6), u 3 = (7, 8, m)}. n cazul n care sistemul este liniar dependent s se gseasc o relaie de dependen. Soluie. Considerm combinaia liniar u1 + u 2 + u 3 = 0 , care conduce la sistemul liniar i omogen + 4 + 7 = 0 2 + 5 + 8 = 0 . 3 + 6 + m = 0 Matricea sistemului esteL 2 2 L1

7 L 2 : ( 3) 1 1 4 7 L3 3L11 4 A = 2 5 8 ~ 0 3 6 ~ 0 3 6 m 0 6 m 21 0 Pentru m 9 rangA = 3 vectorii u1 , independeni.18

L3 2 L 2

7 1 2 . 0 m 9 u 2 , u 3 sunt liniar 4

SPAII VECTORIALE

Pentru m = 9 rang A = 2 vectorii u1 , u 2 , u 3 sunt liniar dependeni. Soluia sistemului este = , = -2, = , . Pentru = 1 se obine relaia de dependen u1 -2 u 2 + u 3 = 0 .15. S se discute, dup valorile parametrilor reali m, n, dependena liniar a vectorilor: a) u1 = (1, 1, 2m), u 2 = (2, -1, m2), u 3 = (1, 2, 3); b) u1 = (m, 1, 1), u 2 = (n, mn, n), u 3 = (1, 1, m). Soluie. a) Cu coordonatele vectorilor u1 , u 2 , u 3 aezate pe coloane se construiete matricea2 1 L3 2mL11 0 0 1 C3 C 2 1 ~ 0 ~ 1 2 3 A= 1 C 2 2C1 2 2 2m m 3 C3 C1 0 m 4m 3 2m 0 0 0 1 L3 (3 2m) L 2 1 0 0 1 ~ 0 1 3 ~ 0 C3 + 3C 2 2 2 0 3 2 m m 4 m 0 0 m 10m + 9 L 2 1

Dac m \ {1, 9}, atunci rangA = 3 i vectorii u1 , u 2 , u 3 sunt liniar independeni. Dac m = 1 sau m = 9, atunci rangA = 2 i vectorii u1 , u 2 , u 3 sunt liniar dependeni. Se poate determina relaia de dependen folosind transformri elementare asupra liniilor matricei At. Pentru m = 1 obinem 1 1 2 u 1 1 1 2 u1 u 2 1 1 ~ u 2u 0 3 3 ~ 1 2 2 u 3 1 2 3 u 3 u1 0 1 1 19

CAPITOLUL Iu1 1 1 2 u1 1 1 2 0 1 1 ~ ( u 2 2u1 ) /(3) 0 1 1 ~ ( u 2 2u1 ) /(3) u 3 u1 0 1 1 u 3 u1 + ( u 2 2 u 1 ) / 3 0 0 0 1 Deci u 3 - u1 + ( u 2 - 2 u1 ) = 0 , adic relaia de dependen 3 liniar este 5 u1 - u 2 - 3 u 3 = 0 . Pentru m = 9 1 1 18 u1 1 1 18 u1 u 2 1 81 ~ u 2u 0 3 45 ~ 1 2 2 u 3 1 2 3 u 3 u1 0 1 15 u1 u1 1 1 2 1 1 2 u 2 u1 u 2 2 u1 ~ 2 0 1 15 ~ 0 1 15 . 3 3 0 1 15 u 3 u1 + ( u 2 2u1 ) / 3 0 0 0 u 3 u1

Relaia de dependen liniar este 5 u1 - u 2 - 3 u 3 = 0 .m n 1 C3 C1 1 n m L3 mL1 b) A = 1 mn 1 ~ 1 mn 1 ~ C 2 nC1 1 n m m n 1 C3 mC1 0 0 0 0 1 L3 + L 2 1 ~ 0 n (m 1) ~ 0 n (m 1) 1 m 1 m 0 n (1 m) (1 m)(1 + m) 0 0 (1 m)(m + 2) Dac n \ {0} i m \ {-2, 1}, atunci rangA = 3 i vectorii u1 , u 2 , u 3 sunt liniar independeni.L 2 L1

Dac n \ {0} i m = 1, atunci rangA = 1 i vectorii u1 , u 2 , u 3 sunt liniar dependeni. Dac n \ {0} i m = - 2, atunci rangA = 2 i vectorii u1 , u 2 , u 3 sunt liniar dependeni.20

SPAII VECTORIALE

Dac n = 0 i m \ {-2, 1}, atunci rangA = 2 i vectorii u1 , u 2 , u 3 sunt liniar dependeni. Dac n = 0 i m = - 2, atunci rangA = 2 i vectorii u1 , u 2 , u 3 sunt liniar dependeni. Dac n = 0 i m = 1, atunci rangA = 1 i vectorii u1 , u 2 , u 3 sunt liniar dependeni.16. Se dau vectorii u1 = (3 + 2 , 1 + 2 ), u 2 = (7, 1 + 2 2 ). S se arate c vectorii sunt liniar dependeni n 2 considerat ca un -spaiu vectorial i liniar independeni n 2 considerat ca un -spaiu vectorial. Soluie. Din relaia u1 + u 2 = 0 rezult sistemul (3 + 2 ) + 7 = 0 (S) (1 + 2 ) + (1 + 2 2 ) = 0 Determinantul sistemului este 3+ 2 7 = 0, 1+ 2 1+ 2 2

deci vectorii u1 , u 2 sunt liniar dependeni n 2 considerat ca-spaiu vectorial. Are loc relaia de dependen: 7 u1 - (3 + 2 ) u 2 = 0 . Sistemul (S) se mai poate scrie sub forma (3 + 7) + 2 = 0 , ( + ) + ( + 2) 2 = 0 cu soluia = = 0, adic vectorii u1 , u 2 sunt liniar independeni n 2 considerat ca -spaiu vectorial. 17. S se arate c sistemul de vectori S = {p(x), p'(x), p''(x), ... , p(n)(x)} n[x] este liniar independent.21

CAPITOLUL I Soluie. Dac p(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an - 1xn - 1 + anxn n[x], atunci: p'(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + ... + nanxn - 1 p''(x) = 2a2 + 2.3a3x + 4.3a4x2 + ... + n(n - 1)an xn - 2 ... p(n - 1)(x) = (n - 1)! an - 1 + n! anx p(n)(x) = n! an. Din combinaia liniar 0p(x) + 1p'(x) + ... + np(n)(x) = 0 = 0 + 0x + ... + 0xn rezult sistemul liniar omogen n necunoscutele k, k = 0, n : 0 a 0 + 1a1 + 2 2 a 2 + ... + (n 1)! n 1a n 1 + n! n a n a + 2 a + ... + (n 1)! a 1 2 n 2 n 1 + n! n 1a n 0 1 .......................................... a + n1a n 0 n 1 0a n =0 =0 =0 =0

Deoarece sistemul admite numai soluia banal, rezult c sistemul de vectori S este liniar independent.18. Se d sistemul de vectori B = { v1 , v 2 , v 3 } 3, unde v1 = (1, 2, 1), v 2 = (2, 3, 3), v 3 = (3, 7, 1).

a) S se arate c B este o baz n 3. b) S se scrie matricea S a schimbrii de baze, de la baza S canonic BC din 3 la B, BC B. c) S se afle coordonatele vectorului x = (3, -1, 2) n baza B. Soluie. a) Deoarece numrul vectorilor din B este egal cu dim 3 = 3, este suficient s artm c B este sistem liniar independent. Din combinaia liniar v1 + v 2 + v 3 = 0 rezult sistemul22

SPAII VECTORIALE + 2 + 3 = 0 2 + 3 + 7 = 0 , + 3 + = 0

care admite numai soluia banal, = = = 0, deci B este o baz n 3. v1 = e1 + 2 e2 + e3 b) Deoarece v 2 = 2 e1 + 3 e2 + 3 e3 v 3 = 3 e1 + 7 e2 + e3 , rezult c matricea S este 1 2 3 S = 2 3 7 . 1 3 1 c) Folosind formula schimbrii coordonatelor la o schimbare de baz, avem 1 5 3 51 1 2 3 3 18 7 2 1 1 = 15 . XB = S-1X B C = 2 3 7 1 = 5 1 3 1 2 3 1 1 2 8 n concluzie, x = (-51, 15, 8)B = -51 v1 + 15 v 2 + 8 v 3 . Din definiie, coordonatele vectorului x n baza B sunt scalarii , , din relaia x = v1 + v 2 + v 3 , care conduce la sistemul liniar neomogen + 2 + 3 = 3 2 + 3 + 7 = 1 + 3 + = 2 cu soluia = -51, = 15, = 8.19. Se consider baza B1 = { u1 = (1, 1, 1), u 2 = (2, -1, 1), u 3 = (-1, 1, 1)}, sistemul de vectori23

CAPITOLUL I

B2 = { v1 = (1, 0, 1), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (1, 1, 0)} i vectorul x = (1, -1, 0). a) S se scrie matricea S a trecerii de la baza B1 la sistemul de S B2 i s se arate c B2 este o baz. vectori B2, B1 c) S se afle coordonatele vectorului x n cele dou baze. Soluie. a) Se caut descompunerile vectorilor din sistemul B2 n raport cu vectorii din baza B1, adic: (1) v1 = s11 u1 + s12 u 2 + s13 u 3 (2) v 2 = s21 u1 + s22 u 2 + s23 u 3 (3) v 3 = s31 u1 + s32 u 2 + s33 u 3 . Relaiile (1), (2), (3) conduc la sistemele liniare neomogene: s11 + 2s12 s13 = 1 (S1) s11 s12 + s13 = 0 ; s + s + s =1 11 12 13 s 21 + 2s 22 s 23 = 0 (S2) s 21 s 22 + s 23 = 1 ; s + s + s =1 21 22 23 s 31 + 2s 32 s 33 = 1 (S3) s 31 s 32 + s 33 = 1 ; s +s +s = 0 31 32 33 Se observ c matricele coeficienilor necunoscutelor celor trei sisteme coincid, avnd pe coloane coordonatele vectorilor u1 , u 2 , u 3 . Cele trei sisteme se pot rezolva simultan (a se vedea anexa p. 246).1 2 1 1 0 1 L3 L11 2 1 1 0 1 L 2 L3 1 1 1 0 1 1 ~ 0 3 2 1 1 0 ~ 1 1 0 1 2 0 1 1 1 1 1 0 L 2 L1

24

SPAII VECTORIALE0 1 2 L 2 + L11 0 3 1 2 1 2 1 1 0 1 2 0 1 1 ~ 0 1 2 0 1 0 3 2 1 1 0 0 0 4 1 2 3L 2 + L 3 L 4 : ( 4 ) 2 L3 + L 2 1 3L3 + L1

1 3

~

5 4 1 0 . 2 1 3 2 4 1 1 1 ; s12 = ; s13 = ; n concluzie: s11 = 4 2 4 1 1 s21 = ; s22 = 0; s23 = ; 2 2 5 1 3 ; s32 = - ; s33 = - , s31 = 4 2 4 1 1 5 4 2 4 1 2 5 1 1 1 adic S = 0 = 2 0 2 . 2 4 2 1 2 3 1 1 3 4 2 4 1 1 0 0 4 1 ~ 0 1 0 0 0 1 2 1 4 1 2

Deoarece matricea S este nesingular (detS 0), rezult c B2 este o baz n 3 i vectorii ei, descompui dup vectorii bazei B1, sunt: 1 1 1 v1 = u1 + u 2 + u 3 ; 4 2 4 1 1 v 2 = u1 + u 3 ; 2 225

CAPITOLUL I

v3 =

5 1 3 u1 - u 2 - u 3 . 4 2 4

Vectorul x n baza B1, respectiv B2, are coordonatele date de: 1 1 1 2 1 1 4 1 S1 1 X B1 = S1 X B C = 1 1 1 1 = , unde BC B1. 2 1 1 1 0 1 4 1 0 1 1 1 S2 X B 2 = S 21 X B C = 0 1 1 1 = 1 , unde BC B2. 1 1 0 0 0 1

Matricea X B 2 poate fi determinat i folosind relaia B2. X B 2 = S- 1X B1 , unde B1 S

20. Fie baza B = { v1 , v 2 , v 3 , v 4 } 4, unde v1 = (1, 2, 0, -1), v 2 = (-1, 0, 3, 0), v 3 = (2, 1, 0, 4), v 4 = (3, 0, -1, 5) i vectorii v = (1, 1, -1, 0) i w = (1, 1, 1, -1). S se determine coordonatele vectorilor v i w n aceast baz. Soluie. Putem rezolva aceast problem i prin lema substituiei, rezultat des folosit n problemele de algebr liniar.

Dac B = { v1 , v 2 , ... , v n } este o baz n K-spaiul vectorial V, v = i vi V este un vector fix i B* = { v1 , v 2 , ... , vi - 1, v,i =1 n

vi + 1, ... , v n } este un sistem de vectori obinut din B prin nlocuirea vectorului vi cu vectorul v , atunci au loc afirmaiile:26

SPAII VECTORIALE

- B* este o baz pentru V dac i numai dac i 0; - dac B* este o baz pentru V, atunci legtura dintre coordonatele unui vector x n bazele B, respectiv B*, este dat de relaiile: x j i x i j , pentru j i i , x* = j xj , pentru j = i j unde x = (x1, x2, ... , xn)B i x = (x1*, x2*, ... , xn*)B*. Pentru uurina calculelor se construiesc tabelele: B* v1 B v1 ... vi ... vj ... vn

v 0... 0 1 0 ... 0 ... 0

v 1 ... i ... j... n

x x1 ... xi ... xj

... v i 1v v i +1

... xn

... vj ... vn

x x1 i x i 1 i ... x i 1 i x i i 1 i xi i x i +1 i x i i +1 i ... x j i x i j

i

... x n i x i n i

27

CAPITOLUL I

Pe coloane sunt coordonatele vectorilor corespunztori n bazele indicate la nceputul fiecrui tabel. Deoarece s-a presupus c i 0, rezult c se poate nlocui v i cu v . Elementul i se numete pivot i se marcheaz printr-un cerc. Trecerea de la tabelul B la B* se face astfel: - elementele liniei din B* corespunztoare liniei pivotului se obin mprind toate elementele liniei pivotului prin pivot; - se completeaz coloana corespunztoare pivotului cu 0-uri; - toate celelalte elemente xj, j i, se nlocuiesc prin x j i x i j x x* = = xj - i j. j i i Trecerea de la coordonatele xj n baza B la coordonatele x * n j * B se face cu regula dreptunghiului, schematizat prin:i j

xi xj

1

xi i x j i x i j i

0

Observaii - n calcule se aleg, dac este posibil, pivoi ct mai simpli (de exemplu 1), - dintre doi pivoi egali va fi ales cel care are pe linia i coloana sa elemente ct mai mici, - dac pe coloana (linia) pivotului apare un 0, atunci coloana (linia) corespunztoare se copiaz neschimbat n noul tabel.

Pentru exemplificarea acestei metode, vom rezolva problema folosind lema substituiei. Avem:

28

SPAII VECTORIALE BCe1 e2 e3 e4 v1 v2 v3 v4 v w

1 2 0 -1

-1 0 3 0

2 1 0 4

3 0 -1 5

1 1 -1 0

1 1 1 -1

B1v1 e2 e3 e4

v1

v2

v3

v4

v

w

1 0 0 0

-1 2 3 -1

2 -3 0 6

3 -6 -1 8

1 -1 -1 1

1 -1 1 0

B2v1 v2 e3 e4

v1

v2

v31 2

v4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 3 2 -3 8 5

9 2 9 2

v 1 2 1 2 1 2 1 2

w 1 2 1 2 5 2 1 2

29

CAPITOLUL I B3v1 v2 v3 e4 v1 v2 v3 v4 8 9 1 3 16 9 -3 v 4 9 1 3 1 9 0 w 2 9 1 3 5 9 -3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

-

B4v1 v2 v3 v4

v1

v2

v3 0 0 1 0

v4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

v 4 9 1 3 1 9 0

w 10 9 2 3 11 9 1

Concluzia: v =

1 (4, - 3, 1, 0)B 9 1 w = (10, 6, - 11, 9)B. 9

21. S se afle matricea schimbrii de baz, S, de la baza S canonic BC din 4[x] la baza B, adic BC B, unde: a) B = {1, 1+x, (1 + x)2, (1 + x)3, (1 + x)4}; 1 1 1 b) B = {1, x, (3x2 - 1), (5x3 - 3x), (35x4 - 30x2 + 3)}. 2 2 830

SPAII VECTORIALE Soluie. a) Exprimnd vectorii bazei B n funcie de vectorii bazei canonice BC = {1, x, x2, x3, x4}, obinem: 1 = 1 + 0.x + 0.x2 + 0.x3 + 0.x4 1 + x = 1 + 1.x + 0.x2 + 0.x3 + 0.x4 (1 + x)2 = 1 + 2.x + 1.x2 + 0.x3 + 0.x4 (1 + x)3 = 1 + 3.x + 3.x2 + 1.x3 + 0.x4 (1 + x)4 = 1 + 4.x + 6.x2 + 4.x3 + 1.x4 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 n concluzie S = 0 0 1 3 6 0 0 0 1 4 0 0 0 0 1 b) Analog se determin matricea schimbrii de baz 1 3 0 1 1 2 8 3 0 0 1 0 2 S= 3 5 15 0 0 2 2 4 0 0 0 0 0 35 0 0 0 0 8 22. Fie S mulimea soluiilor sistemului liniar i omogen de m ecuaii liniare cu n necunoscute a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = 0 a x + a x + ... + a x = 0 21 1 22 2 2n n .......................................... a m1x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = 0

adic S = {X n1()| AX = Om1}, unde

31

CAPITOLUL I x1 a11 a12 ... a1n x a a 22 ... a 2n 2 i A = 21 este matricea sistemului. X= ... ... ... ... ... x n a m1 a m 2 ... a mn a) S se arate c S este un subspaiu liniar al lui n1(); b) S se arate c dim S = n - r, unde r = rang A. Soluie. a) Vectorul nul On1 S i pentru orice X1, X2 S i

, avem: A(X1 + X2) = AX1 + AX2 = Om1 + Om1 = Om1 , deci X1 + X2 S, adic S este un subspaiu vectorial.

b) Dac r = n, atunci sistemul liniar i omogen admite numai soluia banal, adic S = {On1} este subspaiul nul al lui n1() i dim S = 0 = n - r. Dac r = 0, atunci A = Omn i sistemul admite ca soluie orice vector X n1(), ceea ce nseamn c S = n1(), deci dim S = n = n - r. Dac 0 < r < n atunci, printr-o eventual renumerotare a necunoscutelor i o reordonare a ecuaiilor, putem presupune c primele r necunoscute sunt principale i primele r ecuaii sunt principale. Sistemul format din ecuaiile principale se scrie sub forma a11x1 + a12 x 2 + ... + a1r x r = (a1,r +1x r +1 + a1,r +2 x r +2 + ... + a1n x n ) a x + a x + ... + a x = (a 21 1 22 2 2r r 2,r +1x r +1 + a 2,r + 2 x r + 2 + ... + a 2 n x n ) ......................................................................................... a r1x1 + a r 2 x 2 + ... + a rr x r = (a r ,r +1x r +1 + a r ,r +2 x r +2 + ... + a rn x n )

Sistemul de mai sus admite soluia32

SPAII VECTORIALE x1 = c1, r +1x r +1 + c1, r + 2 x r + 2 + ... + c1n x n x = c 2 2, r +1 x r +1 + c 2, r + 2 x r + 2 + ... + c 2 n x n , .................................................... x r = c r , r +1x r +1 + c r , r + 2 x r + 2 + ... + c rn x n unde xr + 1, xr + 2, ... , xn sunt necunoscutele secundare, iar cij ,

i = 1, r , j = r + 1, n . Soluia general a sistemului omogen iniial este x1 c1, r +1x r +1 + c1, r + 2 x r + 2 + ... + c1n x n x c + ... + c 2n x n x +c x 2 2 , r + 1 r + 1 2, r + 2 r + 2 ... ...... x r c r , r +1x r +1 + c r , r + 2 x r + 2 + ... + c rn x n = X= x r +1 x r +1 x r + 2 x r + 2 ... ...... x n x n

Dac necunoscutele secundare iau, pe rnd, valorile xr + 1 = 1, xr + 2 = 0, xr + 3 = 0, ..., xn = 0; xr + 1 = 0, xr + 2 = 1, xr + 3 = 0, ..., xn = 0; .............................................. xr + 1 = 0, xr + 2 = 0, xr + 3 = 0, ..., xn = 1, atunci se obin soluiile particulare

33

CAPITOLUL Ic1n c1, r + 2 c1, r +1 c c c 2 , r +1 2, r + 2 2n ... ... ... c r , r +1 c r, r + 2 c X r +1 = , Xr+2 = , ... , X n = rn 0 0 1 0 1 0 ... ... ... 0 0 1

Soluia general a sistemului se poate scrie sub forma X = xr + 1Xr + 1 + xr + 2Xr + 2 + ... + xnXn. Se poate arta c sistemul de vectori B = {Xr + 1, Xr + 2, ... , Xn} este o baz pentru S, deci dim S = n - r. Baza B se numete sistem fundamental de soluii pentru sistemul liniar i omogen i poate fi determinat cu ajutorul tabloului x1 c1, r +1 c1, r + 2 ... c1n c 2, r +1 c 2, r + 2 ... c 2 n x Necunoscute principale 2 ... ... ... ... ... x r c r , r +1 c r , r + 2 ... c rn x r +1 x Necunoscute secundare r + 2 ... x n 1 0 ... 0 Xr + 1 0 1 ... ... 0 ... 0 ... ...

0 ... 1 Xr + 2 ... Xn

34

SPAII VECTORIALE 23. S se afle dimensiunea i o baz pentru subspaiul S al soluiilor sistemului liniar i omogen x1 2 x 2 + x 3 + x 4 x 5 = 0 2x + x x x + x = 0 1 2 3 4 5 x1 + 7 x 2 5x 3 5x 4 + 5x 5 = 0 3x1 x 2 2x 3 + x 4 x 5 = 0 Soluie. Vom determina rangul matricei A a sistemului prin transformri elementare asupra liniilor A= 5L3 ~ 1 2 1 3 1 0 0 0 2 1 L3 L1 1 1 1 1 L 4 3L1 ~ 7 5 5 5 1 2 1 1 1 1 2 5 0 0 1 1 1 1L 2 2 L1

1 0 0 0

2 5 9 5 1 0 0 0

L 1 1 L 4 3 2 L3 L 2 3 3 3 3 5 ~ 6 6 6 5 2 2

1

1

3 3 2 3

1 3 L 4 2 L3 ~ 1 3

2 5 0 0

1 1 0

1 1 1

3 3

1 3 1 1

Deci rang A = 4; necunoscutele principale sunt x1, x2, x3, x4 iar x5 = este necunoscuta secundar. Se obine sistemul x1 2 x 2 + x 3 + x 4 = 5x 3x 3x = 3 2 3 4 , x3 + x 4 = x4 = care se rezolv folosind metoda eliminrii totale (Gauss).

35

CAPITOLUL I1 1 2 1 0 5 3 3 0 0 1 1 0 1 0 0 1 2 0 1 ~ 0 0 0 0 1 L 2 + 3L 4 1 2 1 3 L1 L 4 0 5 3 ~ 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1L3 L 4

0 ( L 2 + 3L3) : 5 0 L1 L3 ~ 0 0 1 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 L1+ 2L 2 0 ~ 0 1 0 0 0 1 1 0

Soluia sistemului este x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = , x5 = , . Mulimea soluiilor sistemului liniar omogen iniial este S = { x 5 | x = (0, 0, 0, , ), } = = { x 5 | x = (0, 0, 0, 1,1), }. Mulimea B = { v1 = (0, 0, 0, 1, 1)} este o baz pentru S i dim S = 1.

36