Solutionnaire Exercices récapitulatifs - mapage.clg.qc.camapage.clg.qc.ca/michelmilot/a11/corrige...

© 2009 Chenelière Éducation inc.

SolutionnaireExercices récapitulatifs

C h a p i t r e 1 (page 51) 1 1. a)

b)

d’où-d

dϕθ

ϕ θϕθϕ θϕ

=+

2 2

21 2sin ( )

sin ( )

c) Déterminons d’abord dy

dx.

doncdydx

x x y

y x y= − +

+ −5 22 2

2 2

2 2

cos ( )cos ( )

Ainsi dydx (0, 0)

= −−

5 00 2

d’où dydx (0, 0)

-= 52

2 5 5

8 272

15

4 3 4

3 4 2

72

72

52

x y x y

x y x y y x

−( )′ = ′

+ ′ −

( )

( yy x y y

y x y x y x y x

4 3 3

4 3 3 2 4 3

5 4 0

7 20 15 852

+ ′ =

′ −( ) = −

)

yy

yx y x y

x y x y

x y y

72

72

52

72

1

15 8

7 20

15

2 4 3

4 3 3

2

′ = −−

=22

52

12

8

7 203

−( )−( )

x

x y x y

2 5 5

8 272

15

4 3 4

3 4 2

72

72

52

x y x y

x y x y y x

−( )′ = ′

+ ′ −

( )

( yy x y y

y x y x y x y x

4 3 3

4 3 3 2 4 3

5 4 0

7 20 15 852

+ ′ =

′ −( ) = −

)

yy

yx y x y

x y x y

x y y

72

72

52

72

1

15 8

7 20

15

2 4 3

4 3 3

2

′ = −−

=22

52

12

8

7 203

−( )−( )

x

x y x y

d’oùdydx

y y x

x x y=

−( )−( )

15 8

7 20

dd

dd

dd

dd

θθϕ

θϕ

θϕθ

θϕθ

ϕ

cos ( )

sin ( ) ( )

sin (

2

2 2

=

=-

- θθϕ ϕθ

θ θθ

ϕθ

ϕ

θϕ ϕ

2 2 2

2 2 1

)

sin ( ) ( )

dd

dd

dd

+

=

- ++

=

−

θ ϕ ϕθ

ϕθ

ϕ θϕ θϕ θϕ

2

22 2 2

dd

dd

- sin ( ) sin ( )ddd

dd

dd

dd

d

ϕθ

ϕθ

ϕθ

θϕ θϕ ϕθ

ϕ θϕ

=

+ =2 2 2 2sin ( ) sin ( )-

ϕϕθ

θϕ θϕ ϕ θϕd

1 2 2 2 2+[ ] =sin ( ) sin ( )-

sin ( ) ( )cos ( ) ( )

x y y xx y x yy

2 2

2 2

2 52 2

+( )′ = + ′+( ) + ′ == ′ +

+ + ′ + = ′ +′

2 52 2 2 5

2

2 2 2 2

yx x y yy x y y

ycos ( ) cos ( )

yy x y y x x yy y x y

cos ( ) cos ( )cos (

2 2 2 2

2

2 5 22

+ − ′ = − +′ + 22 2 22 5 2) cos ( )−( ) = − +x x y

doncdydx

x x y

y x y= − +

+ −5 22 2

2 2

2 2

cos ( )cos ( )

d) Déterminons d’abord y′.

Calculons y″.

En calculant ′y ( , ),0 0 nous obtenons ′ =y ( , )0 0 1-

Ainsi ′′ = + − − =y ( , )

( )( ) ( )( )( )0 0 2

0 1 1 0 1 11

0- -

d’où ′′ =y ( , )0 0 0

e) Calculons d’abord y′.

d’où

f) Déterminons d’abord dydx

.

Déterminons y lorsque x = 3. De l’équation initiale, nous avons, en remplaçant x par 3,

donc y = 5 ou y = 1

Déterminons d ydx

2

2.

( ) ( )e e xye y e y xyy

e y xy

y x

y x

y

− ′ = ′′ + = + ′

′ −

-

-

33 6

6

2

2

′′ = −′ − = −

′ = −−

y y ey e xy y e

yy e

e

x

y x

x

y

36 3

36

2

2

2

-

-

-

( )

xxy

′′ = ′ + − − − ′ − −y

yy e e xy y e e y y xx y x y( )( ) ( )(6 6 3 6 62- - ′′−

ye xyy

)( )6 2

( ln sin (cos )) ( )

ln c

e y x y

e ye y

y

x

xx

2

22

3 1

2 3

+ ′ = ′

+ ′ + oos cos sin (cos )3 3 0x y x y y− ′ =

e yy

x yy e y x y

ye

xx

x

22

2

3 2 3 3′ + ′ = −

′

sin cos ln cos cos-

yyx y e y x y

y

x+

= −

′ =

sin cos ln cos cos3 2 3 3

2

2-

- ee y x yey

x y

y

x

x

e

2

2

0

3 3

3

2

ln cos cos

sin cos

( , )

−

+

′ = −- 331

0

cos e

e−

dydx

e e ee( , )

cos0

2 3= −-

( ) ( )

( )

y xy xyy y xy

y y x

2 2 6 232 2 2 6

2 2 6

− ′ = − ′′ − − ′ =

′ − = ++

′ = +−

= +−

26 2

2 23

y

yy

y xy

y x

y yy y

y y

2

2

6 18 236 5 0

5 1 0

− = −− + =

− − =( )( )

2 exerCiCes rÉCapitulatifs Calcul intégral, 4e édition – solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse


1

( ) ( )

(

yy y xyy y yy y y xy

y

′ − − ′ ′ = ′′ ′ + ′′ − ′ − ′ − ′′ =

′′

30

yy x y y y

yy y yy x

− = ′ − ′ ′

′′ = ′ − ′ ′−

) 22

Calculons ′y(3, 1)

..

′ = +−

=y(3, 1)

-3 11 3

2

Calculons ′y(3, 5)

..

′ = +−

=y(3, 5)

3 55 3

4

d’où d ydx

2

2

2 2 2 21 3

4(3, 1)

- - -= −−

=( ) ( )( )

et d ydx

2

2

2 4 4 45 3

4(3, 5)

-= −−

=( ) ( )( )

2. a)

La tangente est horizontale lorsque y′ = 0.Donc 3 0

3− =

=xx

En remplaçant x par 3, nous obtenons

3 6 3 8 08 9 0

9 1 0

2 2

2

+ − − =− − =

− + =

y yy y

y y

( )

( )( )

Ainsi y = 9 ou y = -1d’où les points A(3, -1) et B(3, 9).La tangente est verticale lorsque y′ n’est pas définie.Donc

y

y− =

=4 0

4

En remplaçant y par 4, nous obtenons

x xx xx x

2 2

2

4 6 8 4 06 16 0

8 2 0

+ − − =− − =

− + =

( )

( )( )

Ainsi x = 8 ou x = -2d’où les points C(-2, 4) et D(8, 4)

b) > with(plots):> c:=implicitplot(x^2+y^2-6*x-8*y=0,x=-2..8,y=-1..9, > color=orange):> y12:=plot([-1,9],x=0.5..5.5,color=blue):> x1:=plot([-2,y,y=1.5..6.5],color=green):> x2:=plot([8,y,y=1.5..6.5],color=green):> display(c,y12,x1,x2,scaling=constrained,view=[-2..8,-1..9]);

( ) ( )

( )

x y x yx yy y

y y

2 2 6 8 02 2 6 8 0

2 8

+ − − ′ = ′+ ′ − − ′ =

′ − = 66 23

4

−

′ = −−

x

yx

y

0

4

8

y

x

2

42-2 86

6

3. Il faut vérifier que le produit des pentes des tangentes respectives au point (1, 2) est égal à -1.

Puisque m m1 2 212

1( ) ,=

=-

- les courbes sont orthogonales au point (1, 2).

4. a)

b)

c)

d)

( ) lny x

y yx

yy

x

m

22

23

2

223

2

14

2

22

-

--

-

′ = +

′

′ =

′ =

== ′ =y2 1 2

12( , )

-

( ) ( )

(

y xy y x

yxy

m y

14 2

13

1

113

1 1

2 144 4 0

− ′ = ′′ − =

′ =

= ′ 11 2 2, ) =

y xy xy x

x

x

===

(sin )ln ln (sin )ln cos ln

cos

cos

2 3

2 3

3 ssin(ln ) (cos ln sin )

sin l

xy x x

ydydx

x

2

231

3 3

′ = ′

= - nn sin cossin

cos

( sin ln s

x xx

x x

dydx

y x

22

231

2

3 3

+

= - iin cos cot )

(sin ) ( sincos

x x x x

dydx

x x

2 2

2 3

2 3

3 3

+

= - xx x x x xln sin cos cot )2 22 3+

yx

x x

yx

x x

x

x

=

=

10 3

10 3

2

2

4 5

5 4

cos

sin

ln lncos

(sin )

= + − −

′

ln ln cos ln ln (sin )

(ln

10 32 12 5 4x x x x

y)) ln ln cos ln ln (sin )= + − −

′

x x x x

y

2 3 51012

4

1 ddydx

xxx x

xx

= − − −2 103 3

31

24

5

5ln

sincos

(cos )(sin ))

cos

sinln tan

5

10 32 10 3 3

12

4

4 5

2

x

dydx

x

x xx x

x

x= − − −−

20 4 5x xcot

11

11

1

− =− =

−( )′ = ′

−= ′

x yx y

x y y

x

y

yln ( ) ln

ln ( ) ( ln )-

yy y yy

y

xy y

dydx x

ln

(ln )

( )( ln

+ ′

−= ′ +

=− +

1

11

1

11 1

-

-yy)

y xy x

y x x

x

x

== ( )

′ =

(ln )ln ln (ln )

(ln ) ln ln (ln )

ln

ln

(( )′= +

=

1 1 1 1y

dydx x

x xx x

dydx

x x

ln (ln ) lnln

(ln )lnlln (ln )

(ln )ln (ln )

ln

x

x xdydx

xx

xx

+

= +[ ]

1

1

Calcul intégral, 4e édition – solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCes rÉCapitulatifs 3


1

e)

f)

5. Calculons d’abord f ′(x).

Ainsi ′ = +( )f x x xx( ) ( ) ln ( )3 2 1 2

a) Équation de la tangente D1 :

d’où D1 6 1 2 6 2: ( ln ) lny x= + −

yx e

x x

yx e

x

x

= −− +

= −

( )( )

ln( )

(

15 2 1

1

4

2

4

15

ln55 2 12

15

x x− +

)

ln ln( )

( )

ln ln (

yx e

x x

y

x= −

− +

= −

15

15 2 1

15

1

4

2

xx e x x

y x x

x4 2

4

5 2 1

15

1

) ln ( ) ln ( )

ln ln ( )

+ − − +( )

= − + − lln ( )

(ln ) ln ( ) ln (

5 2 1

15

1 5 2

2

4 2

x x

y x x x

− +( )

′ = − + − − xx

ydydx

xx

xx x

+( ){ }′

=−

+ − −− +

1

1 15

41

110 2

5 2 1

3

4 2

)

-

=−

+ − −− +

dydx

yxx

xx x

15

41

110 2

5 2 1

3

4 2

-

= −− + −

+ −dydx

x ex x

xx

xx15

15 2 1

41

1104

25

3

4

( )( )

- −−− +

25 2 12x x

yx

x

yx

x

y x

x

x

= −

= −

= −

−

−

1

1

1

1

1

ln ln

ln ( ) lln

ln ( ) ln ( ) ln

(ln ) (

1

1 1

−

= − − −( )′ =

xx

y x x x

y xx x x

ydydx

x x

− − −( ) ′

= − −( )1 1

11

) ln ( ) ln

ln ( ) ln ++ −−

−

= −

+ −

( )

ln (

xx x

dydx

yx

xx

11

11

1

-

111

1

1 11

)( )

-−

= −

−x x

dydx

xx x

x

++ −

ln

1 xx

f x xf x xf x

x

x

( ) ( )ln ( ) ln ( )ln ( ) ln ln (

== ( )= +

3 23 2

3 2xxf x x x

f x x x

x)ln ( ) ln ln ( )

ln ( ) ln ln ( )

= +( )′ = +

3 2

3 2(( )′′ = +

′ = +

f xf x

x xx

f x f x

( )( )

ln ( )

( ) ( )

22

21 lln ( )2x( )

y fx

f

y xy

−−

= ′

− = + −− =

( )( )

( ) ( )( ln )( )

11

1

3 2 3 2 1 2 16 6(( ln ) ( ln )1 2 6 1 2+ − +x

b) Équation de la normale D2 :

d’où D-

2 6 1 237 36 26 1 2

:( ln )

ln( ln )

yx=

++ +

+

c) > with(plots):> f:=x->3*(2*x)^x; > y1:=x->6*(1+ln(2))*x-6*ln(2);

> y2:=x->(-x/(6*(1+ln(2))))+(37+36*ln(2))/(6*(1+ln(2)));

> c:=plot(f(x),x=0..2,y=0..10,color=orange):> D1:=plot(y1(x),x=0.5..1.5,color=blue):> D2:=plot(y2(x),x=0.2..1.8,color=green):> display(c,D1,D2,scaling=constrained);

0

4

8

y

x

10

2

1 2

6

6. a) [2, 3]b) [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]

7.

1) f est non continue sur [a, b]

2) f est non dérivable sur ]a, b[

3)

Aucune des hypothèses du théorème de Rolle n’est vérifiée.

Il existe un c a b f c∈ ′ =] , [ ( ) .tel que 0.

y fx f

y x

yx

−−

=′

− =+

−

− =

( )( )

( ln )( )

11

11

61

6 1 21

66

-

-

-(( ln ) ( ln )1 2

16 1 2+

++

f x x x: ( )= → 3 2

y x x1: ln ( ) ln ( )= → +( ) −6 1 2 6 2

y xx

2 -:ln ( )

ln ( )ln ( )

= →+

+ ++6 6 2

37 36 26 6 2

xbca

y

f a f b( ) ( )≠



1

8. a) f x x x x( ) = − − +3 22 5 6 sur [1, 3]

1) f est continue sur [1, 3], car f est une fonction polynomiale.

2) ′ = − −f x x x( ) 3 4 52 f est dérivable sur ]1, 3[, car f ′ est définie sur ]1, 3[.

3) f ( ) ( ) ( )1 1 2 1 5 1 6 03 2= − − + = et f ( ) ( ) ( )3 3 2 3 5 3 6 03 2= − − + = , d’où f f( ) ( )1 3=

Ainsi, les trois hypothèses du théorème de Rolle sont vérifiées. Déterminons la valeur de c.

d’où c c= + = − ∉

2 193

2 1932 ]1, 3[

b) g x x( ) = + −5 3 sur [1, 5]

Ainsi, g est non dérivable en x = 3 et 3 ∈ ]1, 5[. Donc, la deuxième hypothèse du théorème de Rolle n’est pas vérifiée.

c) v t tt

( ) = +33

1 sur --

313

,

1) v n’est pas définie pour t = 0. Ainsi v est continue

sur --

313

,

car 0 3

13

∉

--

, .

2) ′ = − = −v t t t

tt

( )( )

3 33 12 4

6

4-

v′ n’est pas définie pour t = 0. Ainsi v est dérivable

sur --

313

,

car 0 3

13

∉

--

, .

3)

d’où v v( ) .--

313

=

Ainsi, les trois hypothèses du théorème de Rolle sont vérifiées.

Déterminons la valeur de c.

′ = − −′ = − −

− − =

f x x xf c c c

c c

( )( )

3 4 53 4 5

3 4 5 0

2

2

2

Ainsi(car ′ =f c( ) )0

c c1 24 16 60

64 16 60

6= + + = − +

,

xx x

x x− = − ≥

− <

33

3 3si 3si

Ainsi si si

si si

si - si

g xx x

x x

g xx xx x

g xxx

( )( )( )

( )

( )

= + − ≥+ − <

= + ≥− <

′ = ><

5 3 35 3 3

2 38 3

1 31 3

v

v

( ) ( )( )

- --

- et

- -

3 313

27127

13

13

33

= + = −

=

+

= −3

3

1

13

127

27-

-

′ = − ′ = −v t

tt

v ccc

( )( )

, ( )( )3 1 3 16

4

6

4

d’où c c= = ∉

- --

1 1 3131 ,

d)

Puisque f est discontinue en x = 0 et que 0 ∈[-1, 1], la première hypothèse du théorème de Rolle n’est pas vérifiée.

e)

1) f n’est pas définie pour x = 0. Ainsi f est continue sur

2)

f ′ n’est pas définie pour x = 0. Ainsi

f est dérivable sur 12

2,

car 0 ∉ 1

22,

.

3) f 12

12

4

12

2

1 174

( ) = ( ) +( )

= et f ( )216 1

4174

= + = ,

d’où f 12( ) = f (2)

Ainsi, les trois hypothèses du théorème de Rolle sont vérifiées. Déterminons la valeur de c.

c1 = 1, c

2 = -1

d’où c = 1

f) h( )1 1 1= = et h( )9 9 3= = , ainsi h h( ) ( )1 9≠ et la troisième hypothèse du théorème de Rolle n’est pas vérifiée.

g) f x x( ) [ , ]= + 3 4 23 sur - -

1) f est continue sur [ , ].- -4 2

2)

f ′ n’est pas définie en x = -3, où Ainsi f est non dérivable en x = -3.

Donc, la deuxième hypothèse du théorème de Rolle n’est pas vérifiée.

h)

Puisque g est discontinue en π2

et que π π2

0∈ [ , ], π],

la première hypothèse du théorème de Rolle n’est pas vérifiée.

′ =− =

− + =

v c

cc

c c

( )

( )

( )( )

0

3 10

3 1 1 0

6

4

3 3

c c1 21 1= =, -

f xx

x( ) ,= +4

2

11 sur [- 1]

f xx

x( ) = +

4

2

1 12

sur , 2

12

12

, 2 car 0 , 2

∉

′ = − + = −f x

x x xx

xx

( )( )

( )4 2 1 2 25 4

2 2

4

3

′ = −

′ = −

− = ′ =

− =− + + =

f xx

x

f cc

cc

cf c

cc c c

( )

( )

( ) )

( )( )( )

2 2

2 2

2 20 0

2 2 02 1 1 1 0

4

3

4

3

4

3

4

2

(car

c2 112

2= ∉

- ,

′ =+

f xx

( )( )

13 3 23

- - -3 4 2∈] , [

g( ) tan [ , ]θ θ π= sur 0



1

i) x t t t( ) [ , ]= − +4 23 1 3 3sur -1) x est continue sur [ , ],-3 3 car x est une fonction

polynomiale.2)

x est dérivable sur ] , [,-3 3 car x′ est définie sur ] , [,-3 33)

Ainsi, les trois hypothèses du théorème de Rolle sont vérifiées.


d’où c c c1 2 3032

32

= = =, et -

9. a) f x x( ) = 3 sur [-2, 1]

1) f est continue sur [-2, 1], car f est une fonction polynomiale.

2) f est dérivable sur ]-2, 1[, car f ′ est définie sur ]-2, 1[.

Les hypothèses du théorème de Lagrange sont vérifiées, donc ∃ c ∈ ]-2, 1[ tel quef f

f c( ) ( )

( )( )

1 21 2

−−

= ′--


Ainsi c1 = -1 et c

2 = 1

d’où c = -1 (c2 = 1 ∉ ]-2, 1[ )

b) f x x( ) ( )= − 123 sur [-2, 2]

1) f est continue sur [-2, 2], aucune discontinuité.

2)

f est non dérivable en x = 1 et 1 ∈]-2, 2[.

Donc, la deuxième hypothèse du théorème de Lagrange n’est pas vérifiée.

c) f x x( ) = −3 1 sur [0, 8]

1) f est continue sur [0, 8], aucune discontinuité.

2)

f est dérivable sur ]0, 8[, car f ′ est définie sur ]0, 8[.Les hypothèses du théorème de Lagrange sont vérifiées, donc ∃ c ∈ ]0, 8[ tel que

′ = −x t t t( ) 4 63

xx( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )- - -3 3 3 3 1 553 3 3 3 1 55

4 2

4 2

= − + == − + =

xx x( ) ( )1 3=

′ = + ′ = −′ =

−

x t t t x c c cx c

c

( ) , ( )( )

4 6 4 60

4

3 3

3

ainsi

66 02 2 3 02

cc c

=− =( )

c c c1 2 3032

32

= = =, et -

′ =f x x( ) 3 2

1 23

3

1

3 32

2

− =

=

( )-c

c

′ =−

f xx

( )( )

23 13

′ =f xx

( )1

3 23

f ff c

( ) ( )( )

8 08 0

−−

= ′


Ainsi, c18 39

= - et c2

8 39

=

d’où c = 8 39

c18 3

90 8= ∉

-] , [

d) f x x( ) = Arc tan sur [-1, 1]

1) f est continue sur [-1, 1], aucune discontinuité.

2)

f est dérivable sur ]-1, 1[, car f ′ est définie sur ]-1, 1[.Les hypothèses du théorème de Lagrange sont vérifiées, donc ∃ c ∈ ]-1, 1[ tel que


d’où c14

1= −-π

et c24

1= −π

e) f x xx

( ) = + 1 sur [-1, 1]

1) f n’est pas définie en x = 0.

Ainsi f n’est pas continue sur [-1, 1], car 0 ∈[-1, 1].Donc, la première hypothèse du théorème de Lagrange n’est pas vérifiée.

f) f x x( ) = −( )432 sur [0, 16]

1) f est continue sur [0, 16].

2)

f est dérivable sur ]0, 16[, car f ′ est définie sur ]0, 16[.Les hypothèses du théorème de Lagrange sont vérifiées, donc ∃ c ∈]0, 16[ tel que

8 1 18 0

1

314

1

343

3

23

23

23

−( ) −−

=

=

=

( )-

c

c

c

′ =+

f xx

( )1

1 2

f ff c

( ) ( )( )

( )1 11 1

−−

= ′--

Arc tan Arc tan -

-

1 12

11

4 42

11

2

− =+

−

=+

( )c

c

π π

22

2

2

14

41

+ =

= −

c

c

π

π

′ = −f x

xx

( )3 4

4

f ff c

( ) ( )( )

16 016 0

−−

= ′



1


d’où c = −369 53 217

32

c2

369 53 217

32=

+∉

]0, 16[

g)

1) f est continue sur

2) f n’est pas dérivable sur ] , [,0 π car ′

f

π2

n’est pas définie.

Donc, la deuxième hypothèse du théorème de Lagrange n’est pas vérifiée.

h) f x x x( ) , [ , ]= −3 8 38 3 35 3 sur - 1) f est continue sur 2)

f est dérivable sur ] , [,-3 3 car f ′ est définie sur ] , [.-3 3

Les hypothèses du théorème de Lagrange sont vérifiées, donc ∃ ∈c ] , [-3 3 tel que

f ff c

( ) ( )( )

( )3 33 3

−−

= ′--


d’où nous obtenons quatre valeurs de c possibles.

3 44

0 816

4 23

4 49

16 369 1296 02

− = −

− =

− =

− + =

cc

cc

cc

c c

-

f x x( ) cos [ , ]= sur 0 π

f xx x

x x( )

cos

cos=

≤ ≤

< ≤

si

- si2

02π

π π

x

y

π π2

[ , ].0 π

[ , ].-3 3

′ = −f x x x( ) 19 1144 2

[ , ( ) ( ) ] [ , ( ) ( ) ]3 8 3 38 3 3 8 3 38 36

19 15 3 5 3

4− − − = −- -

c 114

19 114 34 2 019 6 1 8 0

2

4 2

4 2

c

c cc c− + =

− + =,

( , )

c2 6 36 7 22

3 6 0 2= − =±±

,,

c c2 23 6 0 2 3 6 0 2= − = +, ,ou

c c= − = +± ±3 6 0 2 3 6 0 2, ,ou

10. a) Soit

Puisque ′ =f x( ) 0, ∀ x où f est définie, d’après le corollaire 1, f (x) = C.

Ainsi ln (csc cot ) ln (csc cot )x x x x C+ + − =En posant x = π

2, ln 1 + ln 1 = C

d’où C = 0

b) Soit f x x x x( ) (ln )(ln ) (ln )= −2 22 et g x x( ) (ln )= 2 2

Puisque ′ = ′f x g x( ) ( ), ∀ x où f et g sont définies, d’après le corollaire 2,

En posant x = 1,

d’où

c) Soit Arc tan et Arc tf xxx

g x( ) ( )= −+

=1

1

2

2aan -( )x2

Puisque f ′(x) = g′(x), ∀ x où f et g sont définies, d’après le corollaire 2, f (x) = g (x) + C.

Ainsi

En posant x = 0,

d’où

c

c

c

1

2

3

3 6 0 2 0 56

3 6 0 2 0 56

3 6 0 2 2

= − ≈

= − ≈

= + ≈

- -

- -

, ,

, ,

, ,,

, ,

38

3 6 0 2 2 384c = + ≈

f x x x x x( ) ln (csc cot ) ln (csc cot )= + + −

′ = −+

+ +f x

x x x

x x

x x( )

csc cot csccsc cot

csc cot cs- -2 cccsc cot

csc (cot csc )csc cot

csc

2 x

x xx x x

x x

−

= ++

+- xx x x

x xx x

(csc cot )csc cot

csc csc

−−

= + =- 0

′ = + −

= + −

=

′ = =⋅

f xx

x xx

xx

xx

xx

xx

xx

g x xx

xx

( ) (ln ) (ln )(ln )

(ln ) (ln ) (ln )

(ln )

( ) (ln )(ln )

22

1 2

2 2 2 2

2 2

2 21 2 2

2

f x g x Cx x x x C

( ) ( )(ln )(ln ) (ln ) (ln )

= +− = +2 2 22 2

(ln )(ln ) (ln ) (ln )(ln )

1 2 1 20 2

2 2

2

− = += +

CC

C = -(ln )2 2

′ =+ −

+

+=

+f x

xx

x

x

x

x( )

( ) (1

111

41

412

2

2 2 2 2

- -)) ( )2 2 2

4

1

21

+ −

=+

x

x

x

-

′ =+

=+

g xx

xxx

( )( )

( )1

12

212 2 4-

--

Arc tan Arc tan -11

2

22−

+

= +x

xx C( )

nous obtenons Arc tan Arc tan1 0= + C,

C = π4



1

11. a) Dans le cas où x = 0, Dans le cas où x > 0, appliquons le théorème de

Lagrange à f x x( ) sin= 2 sur [0, x], où x ∈]0, +`

1) f est continue sur [0, x].

2) f est dérivable sur ]0, x[, car ′ =f x x x( ) sin cos2 est définie ∀ x ∈]0, +`.

Alors ∃ c ∈]0, x[ tel que

Ainsi

b) Dans le cas où x = 0, 1 2 0 0 1+ = +( ) Dans le cas où x > 0, appliquons le théorème

de Lagrange à f x x( ) = +1 2 sur [0, x], où x ∈]0, +`

1) f est continue sur [0, x].

2) f est dérivable sur ]0, x[, car ′ =+

f xx

( )1

1 2

est définie ∀ x ∈]0, +`.

Alors ∃ c ∈ ]0, x[ tel que

Ainsi

c) Appliquons le théorème de Lagrange à f x eax( ) =

sur [0, x], où x ∈]0, +`1) f est continue sur [0, x].

2) f est dérivable sur ]0, x[, car ′ =f x aeax( ) est définie ∀ x ∈]0, +`.

Alors ∃ c ∈ ]0, x[ tel que

sin ( )2 0 0 2 0= =

f x fx

f c( ) ( )

( )−−

= ′00

sin sinsin cos

sin( sin co

2 2

2

00

2

2

xx

c c

xx

c

−−

=

< car ss ] , )

sin ] ,sin

c c

x x xx

< ∀ ∈

< ∀ ∈≤

+

+

1 0

2 02

2

,

,d’où

`

`22 0x x, ∀ ∈ +[ , `

f x fx

f c( ) ( )

( )−−

= ′00

1 2 10

1

1 2

1 2 11

1

1 21

+ −−

=+

+ − <+

< ∀ ∈ +

xx c

xx c

ccar 0, ] , `̀

`

+ − <+ < + ∀ ∈+ ≤

+

1 2 1

1 2 1

1 2

x x

x x x

x x

, 0

d’où

] ,

++ ∀ ∈ +1, 0x [ , `

f x fx

f c( ) ( )

( )−−

= ′00

Ainsi

car ]0,

ex

ae

ex

a e c

axac

axac

− =

− > > ∀ ∈ +

1

11( ) , `̀

`

( )− >

> + ∀ ∈ +

e ax

e ax x

ax

ax

1

1d’où ]0,,

d) f x x nx x xn( ) ( ) ], ] ,= + − − ∈ +1 1 0sur [0, où ` Les hypothèses du théorème de Lagrange étant vérifiées,

∃ ∈ ]0,c x [ tel que

e) Dans le cas où x = 0,

Dans le cas où x > 0

D’une part,

donc

D’autre part, appliquons le théorème de Lagrange à f x x x( ) ln ( ) ] , [= +1 0sur

Les hypothèses du théorème de Lagrange étant vérifiées,

∃ ∈c x] , [0 tel que

donc ln ( )1 + <x x

d’où

12. a) i) 1) f et g sont continues sur [0, 1] (fonctions polynomiales)

2) f et g sont dérivables sur ]0, 1[ (fonctions polynomiales)

3) g g g g( ) ( ) , ( ) ( )0 0 1 0 0 1= = =et donc g g g g( ) ( ) , ( ) ( )0 0 1 0 0 1= = =et donc g g g g( ) ( ) , ( ) ( )0 0 1 0 0 1= = =et donc

d’où f et g satisfont les hypothèses du théorème de Rolle.

ii)

′ = − + −

= − − +[ ]g x x x x x

x x x x( ) ( ) ( )

( ) ( )4 1 2 1

1 4 1 2

3 2 4

3

∃ ∈c f ] , [0 1 tel que

d’où

∃ ∈cg ] , [0 1 tel que

d’où

( )( )

( )

1 1 00

1

1 1

1+ − − −−

= + −

+ − −

−x nxx

n c n

x nxx

nn

n> 00 car ( > 1),

d’où > (

( )

( ) ),

1

1 1

1+

+ +

−c

x nx

n

n ∀∀ ∈ +x ] ,0 `

-00 1

0 1 0+

= + =ln ( )

-et

xx

x+

< + >1

0 1 0ln ( )

-xx

x+

< +1

1ln ( )

f x fx

f c

x

x cx

( ) ( )( )

ln ( ) ln ( )

ln (

−−

= ′

+ − =+

+

00

1 1 11

1 )), ] ,

x cc<

+< ∀ ∈

+1

11

1 0car `

-x

xx x x

+≤ + ≤ ∀ ∈ +

11 0ln ( ) , [ , `

f f f f( ) ( ) , ( ) ( )0 0 1 0 0 1= = =et donc

′ = − + −= − − +[ ]

f x x x x xx x x x

( ) ( ) ( )( ) ( )

3 1 2 11 3 1 2

2 2 3

2

′ =− − +[ ] =

f c

c c c cf

f f f f

( )

( ) ( )

0

1 3 1 2 02

c f = 35

′ =− − +[ ] =

g c

c c c cg

g g g g

( )

( ) ( )

0

1 4 1 2 03

cg = =46

23



1

iii)

b) i) 1) h est continue sur [0, 1] (fonction polynomiale)

2) h est dérivable sur ]0, 1[ (fonction polynomiale)

3)

ainsi h satisfait les hypothèses du théorème de Rolle.Déterminons la valeur de

d’où c

mm nh =

+

ii)

1ch

0

d’où

iii) k x x x( ) ( )= −7 51En utilisant le résultat obtenu en i) avec m = 7 et n = 5,

nous obtenons ck =+7

7 5

d’où ck = 712

13. a) Vérifions si les hypothèses du théorème de Cauchy sont satisfaites.

1) f et g sont continues sur

2) f est dérivable sur π π4 2

, ,

car

est définie sur π π4 2

, .

g est dérivable sur π π4 2

, ,

car ′ =g x x( ) sin-2 2

est définie sur π π4 2

, .

3)

ainsi

c

c

c

c

f

f

g

g

1

35

135

32

1

23

123

2

−=

−=

−=

−=

h h h h( ) ( ) , ( ) ( )0 0 1 0 0 1= = =et donc

c h ch h∈ ′ =] , [ ( )0 1 0tel que

′ = − + −= −

− −

− −h x mx x nx x

x x m

m n m n

m n

( ) ( ) ( )( )

1 1

1 1

1 11 (( )x nx− +[ ]1

′ =− − +[ ] =− −

h cc c m c nc

h

hm

hn

h h

( )( ) ( )

01 1 01 1

cc

mm n

mm n

h

h1 1−= +

−+

cc

mn

h

h1 −=

π π4 2

, .

′ =f x x( ) cos2 2

′ =′ = =

=

=

g x xg x x

x k

x k

( ) sin( ) sin

,

-si

où

2 20 2 0

2

2

ππ

kk ∈

′ ≠ ∀ ∈

g x x( ) , ,04 2π π

alors ∃ ∈

cπ π4 2

, tel que

d’où c = 38π

b) Vérifions si les hypothèses du théorème de Cauchy sont satisfaites.

1) f et g sont continues sur [0, 1].

2) ′ = ′ =f x xe g x xex x( ) ( )6 43 22 2et sont définies sur ]0, 1[ d’où f et g sont dérivables sur ]0, 1[.

3)

ainsi ′ ≠ ∀ ∈g x x( ) , ] , [0 0 1

alors ∃ ∈c ] , [0 1 tel que

d’où

14. Puisque les fonctions f et g satisfont les hypothèses du théorème de Lagrange, nous pouvons déterminer c

1 et c

2.

a) ∃ c1 ∈ ]0, 8[ tel que

b) ∃ c2 ∈ ]0, 8[ tel que

f f

g g

f cg c

π π

π π2 4

2 4

−

−

= ′′( )( )

sinn sin

cos cos

cossin

c

π π

π π

−

−=

−−

=

2

2

2 22 2

0 11 0

cc-

-- oot

cot

2

2 1

234

c

c

c

=

=

-π

′ =′ = = ∉

g x xeg x x

x( )( ) ] , [

40 0 0 1

2 2

si

f fg g

f cg c

ee

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

1 01 0

1 01

3

2

−−

= ′′

− −+ −−

=

−−

=

= −−

264

11

3223

1

3

2

3

2

3

2

2

2

2

2

cece

ee

e

eee

c

c

c

c

11

23

11

23

2

( )= −

−( )

c

ee

ln

cee

= −−( )

≈ln ,

23

11

0 833

2

f ff c

c

c

( ) ( )( )

8 08 0

68 48

2

4

1

1

1

−−

= ′

− =

=d’où

g gg c

c

c

( ) ( )( )

8 08 0513 1

83

8 33

8

2

22

2

−−

= ′

− =

=d’où- 33

30 8∉

] , [



1

c) Vérifions d’abord les hypothèses du théorème de Cauchy.1) f et g sont continues sur [0, 8].

2) f et g sont dérivables sur ]0, 8[.

3) g′(x) = 3x2 ≠ 0, ∀ x ∈ ]0, 8[.

Donc ∃ c ∈ ]0, 8[ tel que

15. a)

limsin

limcos

l

x x

x xx

xx→ →

− = −

=

0 2 0

12

00

ind.

iimsin

x

x→

=0 2

0

-

RH

RH

b) limtan

sinx

x xx x→

−

0

00

ind.

limtan

sinlim

secsin cosx x

x xx x

xx x x→ →

− = −+0 0

21indd.

-

00

22

00

2

=−

=→

limsec tan

cos sinx

x xx x x

RH

RH

c)

lim ( ) limx

x x

x

x

xe e

e

e→ →+ +=

` `Arc tan

Arc tanind-

-

-..

-

-

--

-

00

11 2

= +

=

→

→

+lim ( )

( )

lim

x

xx

x

x

ee

e`

++ +=

`

11

1

2( )e x-

RH

d)

lim limx

x

x x

x

x

e xe x

ee→ →+ +

+ −+ −

= ++` `

3

2

3

2

4 73 1

3 42 3

iind.+

+

=

=

→

→

+

+

`

`

`

`

lim

lim

x

x

x

x

x

ee

e

9494

3

2

== +`

RH

RH

e)

Si Ax

x

x

=

→

( )−

limtan

π π2

, alors ln lim lntan

Ax

x

x

=

→

( )−π π

2

f fg g

cc

( ) ( )( ) ( )8 08 0

23 2

−−

=

Ainsi

d’où

23

68 4513 1

163

c

c

= −−

=

limsin

x

x xx→

−

0 2

ind.00

lim ( ) ( )x

x xe e→+

+ ⋅`

`Arc tan ind.- 0

limx

x

x

e xe x→+

+ −+ −

+

+`

`

`

3

2

4 73 1

ind.

lim ( )tan

x

xx

→

( )−

+

π π

2

1ind. `

ln lim tan ln ( ( ) )Ax x

x=

→ −

+ ⋅π π2

0ind. `

==

=

→ −lim

ln

cot

li

x

x

xπ

π

2

ind.00

mmcsc

x

x

x→ −

=

=

⋅

π

ππ

π

π

1 1

12 2

1

122

2-

-

-

d’ooù-

A e=2π

RH

f) limx

x x

x x→

−−

0

Arc tanArcsin

ind.00

lim limx x

x x

x xx

→ →

−−

=−

+

−−

0 0

21

11

11

1

Arc tanArcsin

xx

xxx

x

x

2

0

2 2

2

21

132

ind.00

-

= +

−

=

→lim ( )

( )

liim( )

( )x

xx→

−+

=0

2

2 2

2 11

2

32-

-

RH

RH

g) lim ( )x

x

e x→

0

3

0101

2

ind.

Si Aex

x

x

=

→

lim ,0

311

2

alors ln lim lnAex

x

x

=

→0

311

2

ln lim ln ( )

lim

A xex

x

x

=

( )

=

→

→

+03

101

2

ind. `

00

0

3 1

31

2

12x e

xx

e

x

x

ln ln

lim ln

li

− ( )( )

=

=

→

-

mm

lim

x

x

x

x

A

→

→

=

=

=

0

0

32

00

32

32

-ind.

-

-

d où’ ee- 3

2



1

h)

lim ln ln limln ln

x xx

xx

→ →

=

0 2 0

211

=

+

±

→

1

11

0

2

x

xx

ind.`

`

limln

=

→

11

2

1

21

2

3

2

0

2

xx

xx

x

x

-

-

limln

= 0

RH

i)

lim ( sec tan ) limcosx x

x x xx→( ) →( )− −

− =π π

π π

2 2

2 22

4 −−

= −→( )−

4

4

2

2 2

2

x xx

x x

x

sincos

limsin

cosπ

πxx

x x x x

x

ind.

--

00

8 4

2

2

= −→( )−lim

sin cossπ iin x

=

=

--41

4

π

π

RH

j)

Si Axxx

x

= +−( )→+

lim ,`

3 13 1

alors ln lim lnA x

xx

x

=+

−

→+ `

31

31

ln lim ln ( )A x x

xx

=+

−

(→+

+`

` 3

1

31

0ind. ))

=+

− −

→+lim

ln ln

x

x x

x`

31

31

100

ind.

=+

−

−

→+lim

x

xx

x`

1

31

1 1

312

-

=+

→+

1

1

1

31

2

2

x

x

x

x

-

lim`

+

−

=

=

1

31

23

23

x

A ed où’

RH

lim ln ln ( )x

xx→

( )+

0 2

10ind. `

lim ( sec tan ) (x

x x x→( )−

− +π

π2

2 24 ind. ` `− )

lim limx

x

x

xx

x

x→ →+ +

+−

=

+

−

` `

3 13 1

31

31

+

x

( )ind. 1 `

k)

lim lim(x x x x

x x

xe ee ee→ →−

−−

= − +

0 2 0

211

21

2 1−− −

= −→

1 1

2 2

2

0

2

2

)( )

lim(

e

e ee e

x

x

x x

x

ind.00

xx x x

x

x x

e e

e e

− + −

= −→

1 2 1

2 2

2

0

2

) ( )

lim

ind.00

33 24 2

9

3 2

0

2

3

e e ee e

e

x x x

x

x x

− −

= −→

ind.00

limxx x xe e− −

=

412

2

RH

RH

RH

l)

lim (tan ) lim (tan )( )

x

x

x

x x→( )

−

→( )− −=

12

12

2 21 2π π (( )

) )

1 2

0

− x

(ind. (+`

Si

alors

ln lim ( ) ln (tan ) ( ( ))

l

A x xx

= −

=

→( )−⋅ +

12

1 2 0π ind. `

iimln (tan )

( )

li

x

x

x→( )−

−

=

+

+12

11 2

πind.

`

`

mm

sectan

( )

lim(

x

x

x

x

x→( )

→( )

−

−

−

=

12

12

2

2

21 2

1

π ππ

π −−

=→( )

22

00

2

12

xx x

x

)(sin )(cos )

lim

π πind.

−−

−−

=

-4 1 22 2

0

2 2

ππ π π π

( )cos sin

xx x

RH

RH

Ainsi

d’où

m)

limsin

sinlim

sin cosx x

x x xx x

x x x→ →

+−

= + +0 0

22

1 2 2 211 2 2

1

−=

cos x

-

RH

lim ( ) ))x x xe e→ −

−−

−± ±

0 2

11

21

ind. ( (` `

A xx

x=→( )

−−

lim (tan )( )12

1 2π

ln lim ln (tan )( )A xx

x=→( )

−−1

2

1 2π

A e= =0 1

lim (tan )( )

x

xx A→( )

−−

= =12

2 2 21 2π

limsin

sinx

x x xx x→

+−

0

22

00

ind.



1

n) limx

x xx→

+ + − −

0 2

1 1 2 00

ind.

lim limx x

x xx

x xx→ →

+ + − − = +−

−0 2 0

1 1 21

2 1

1

2 12

00

ind.

= +−

−

=

→lim

( ) ( )x

x x0

3 3

1

4 1

1

4 12

14

-

-

RH

RH

o)

lim limx x

x

x

x

x

→ →+ +−( ) = −( )

` `

2

2

4 14 1

100

1

1

ind.

=

=

→

→

+

+

limln

lim

x

x

x

x

x

x

`

`

4 41

2

4

1

1

2

3

-

-

xxln 4

2= +`

RH

p)

limsin

coslim

cos

sin

lim

x x

x

x

x

x

xx

→ →

→

+ +−=

=

0 0

0

1 1

2

++

+

=−

→

2 00

2

0

x x

xx

xx

x

cos

sin

lim

cossin

ind.

xx

x

x

x x x

xx

cos

lim(cos sin )

cos

2

2 2

2

0= −

=→ +

RH

RH

q) lim ( )x

x xe e x

→∞

++ −

+

01

21

12-

ind.

Si Ae e

x

x x x

= + −

→ +

lim0

12

12-

alors

lim ) )x

x x

→+−( ) + ⋅

``2 4 1 0

1

(ind. (

limsin

cosx

x

x→ + −

0 1

00

ind.

ln lim lnAe e

x

x x x

= + −

→ +0

12

12-

ln lim ln ( )

lim

Ax

e ex

x x= + −

=

→ ++ ⋅

0

12

12

0-

ind. `

xx

x x

x

e e

x

e

→

→

+

+

+ −

=

0

0

12

200

ln

lim

-

ind.

xx x

x x

e

e e

A e e

+

+ −

=

= =

-

-

d’où

2

12

212

12

RH

r) limsinx x x→

−

( )+ −

0 2 2

1 1ind. ` `

lim

sinlim

sinsinx xx xx x

x→ →−

= −

0 2 2 0

2 2

2 2

1 1xx

x x xx x xx

ind.00

2 22 20 2

= −+→

limsin cos

sin 22

0

2 2

00

2 2

sin cos

limcos sin

x x

x xx

ind.

= − −→

222 8 2 2

002 2 2 2 2sin sin cos cos sinx x x x x x x x+ + −

ind.

=+→

limsin ( ) cos ( )

sin cos cx

x x

x x x0

812 12

-oos sin sin ( ) cos ( )2 2 212 8

00x x x x x x− −

=

ind.

llimcos sin

cos sin sinx

x x

x x x→

+− −0

2 2

2 2

8 824 24 64

-xx x x x x xcos cos sin− +

=

8 8

13

2 2 2 2

-

RH

limsin

limsin

sinx xx xx x

x→ →−

= −

0 2 2 0

2 2

2 2

1 1xx

x x xx x xx

ind.00

2 22 20 2

= −+→

limsin cos

sin 22

0

2 2

00

2 2

sin cos

limcos sin

x x

x xx

ind.

= − −→

222 8 2 2


ind.

=+→

limsin ( ) cos ( )

sin cos cx

x x

x x x0

812 12

-oos sin sin ( ) cos ( )2 2 212 8

00x x x x x x− −

=

ind.

llimcos sin

cos sin sinx

x x

x x x→

+− −0

2 2

2 2

8 824 24 64


=

8 8

13

2 2 2 2

-

RH

RH

RH

16. a) i)

Si A xx

x=→ +lim

0, alors ln lim lnA x

x

x=→ +0

ln lim ln ( ( ))

limln

A x x

x

x

x

x

=

=

→

→

+

+

⋅0

0

0

1

ind. -

ind

`

..-

-

-

`

`+

=

=

=

→

→

+

+

lim

lim ( )

x

x

x

x

x

0

2

0

1

1

0

RH

Ainsi A e= =0 1, d’où lim

x

xx→ +

=0

1

ii)

iii)

b) i) > with(plots):> c1:=plot(x^x,x=0..1,color=orange):> c2:=plot((x^x)^x,x=0..1,color=blue):> c3:=plot(x^(x^x),x=0..1,color=green):> display(c1,c2,c3,scaling=constrained);

limsin

limsin

sinx xx xx x

x→ →−

= −

0 2 2 0

2 2

2 2

1 1xx

x x xx x xx

ind.00

2 22 20 2

= −+→

limsin cos

sin 22

0

2 2

00

2 2

sin cos

limcos sin

x x

x xx

ind.

= − −→

222 8 2 2


ind.

=+→

limsin ( ) cos ( )

sin cos cx

x x

x x x0

812 12

-oos sin sin ( ) cos ( )2 2 212 8

00x x x x x x− −

=

ind.

llimcos sin

cos sin sinx

x x

x x x→

+− −0

2 2

2 2

8 824 24 64


=

8 8

13

2 2 2 2

-

limsin

limsin

sinx xx xx x

x→ →−

= −

0 2 2 0

2 2

2 2

1 1xx

x x xx x xx

ind.00

2 22 20 2

= −+→

limsin cos

sin 22

0

2 2

00

2 2

sin cos

limcos sin

x x

x xx

ind.

= − −→

222 8 2 2


ind.

=+→

limsin ( ) cos ( )

sin cos cx

x x

x x x0

812 12

-oos sin sin ( ) cos ( )2 2 212 8

00x x x x x x− −

=

ind.

llimcos sin

cos sin sinx

x x

x x x→

+− −0

2 2

2 2

8 824 24 64


=

8 8

13

2 2 2 2

-

lim )x

xx→ +0

00(ind.

lim

lim ( )

( )

x

x

x

x x

x

x

x

→

→

+

+

= =

= =0

1

0

0

0 0

1 1lim

lim ( )

( )

x

x

x

x x

x

x

x

→

→

+

+

= =

= =0

1

0

0

0 0

1 1



1

Plot1 Plot2 Plot3

\Y1=X^X

\Y2=(X^X)^X

\Y3=X^(X^X)

\Y4=

\Y5=

\Y6=

\Y7=

WINDOWXmin=0

Xmax=1

Xscl=.2

Ymin=0

Ymax=1

Yscl=.2

Xres=1

0

x

0,4

0,8

1

0,2

0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,6

GraPh

ii) > with(plots): > c1:=plot(x^x,x=1..2,color=orange): > c2:=plot((x^x)^x,x=1..2,color=blue): > c3:=plot(x^(x^x),x=1..2,color=green): > display(c1,c2,c3,view=[0..2,0..16]);

Plot1 Plot2 Plot3

\Y1=X^X

\Y2=(X^X)̂ X

\Y3=X (̂X^X)

\Y4=

\Y5=

\Y6=

\Y7=

WINDOWXmin=1

Xmax=2

Xscl=.2

Ymin=1

Ymax=18

Yscl=2

Xres=1

GraPh

0

x

0,4

0,8

1

0,2

0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,6

0x

4

8

10

2

0,2 0,4 0,6 0,8 1,2 1,4 1,6 1,81 2

6

14

12

16

17. a) limsin

cosx

x xx x→+

++

+

+`

`

`

3 23

2

2ind.

b) lim ( ) ( )x

x xe e→

− −+-

- - ind.`

` `3 3

lim ( ) lim ( )

( )x

x x

x

x xe e e e→ →

− = −

= + ⋅-

- -

-

- -

` `

`

3 33 2

(( )--

``=

c) lim ( ) ( )csc

x

x xx e→ +

+ +

0

3 1ind. `

Si A x e

x

x x= +→ +lim ( )csc

0

3

alors

RH

ln lim csc ln ( ) ( ( ) )

lim

A x x ex

x

x

= +

=→

→

++ ⋅

0

3

0

0ind. `

++

+

+

=

++

→

ln ( )sin

lim

x e

x

ex

x

x

x

3

0

3

00

1 3

ind.

eex

A e

x3

4

4cos

==d’où

d) lim ( )x

x ax x→+

+ −( ) −+`

` `2 ind.

e)

RH

lim limx x x

x

xe xx exe→ →−

−

= − +−0 2 0

2

2

11

12

2 12 22

00

2 22 4 20

2

2 2

x

ee xex

x

x x

ind.

ind

= −+ −→

lim ..

-

-

00

44 4 8

12

0

2

2 2 2

=+ −

=

→limx

x

x x x

ee e xe

RH

limsin

coslim

sin

x x

x xx x

xx

x→ →+ +

++

=+

` `

3 23

32

2

2

22

+

=+

+→+

xx

x

xx

x

22

2

13

32

1

cos

lim

sin

` ccos

limsin

limcos

3

3

20

3

2

2

xx

xx

x

x

x

==

→

→

+

+

car

et

`

` xx20=

ln lim ln ( )cscA x ex

x x= +→ +0

3

ln lim csc ln ( ) ( ( ) )

lim

A x x ex

x

x

= +

=→

→

++ ⋅

0

3

0

0ind. `

++

+

+

=

++

→

ln ( )sin

lim

x e

x

ex

x

x

x

3

0

3

00

1 3

ind.

eex

A e

x3

4

4cos

==d’où

lim limx x

x ax xx ax x x ax x

x→ →+ ++ −( ) = + −( ) + +( )

` `

22 2

22

1 1

+ +

=+ +

→+

+

+

ax x

ax

xax

xlim

`

`

`ind.

=+ +

=

→+lim

x

a

ax

a

`1 1

2

lim ( ( ) ( ))x xe x→ −

−

−± ±0 2

11

12

ind. ` `



1

f)

limtantan

limsincos

cossin

limsinsin

limcoscos

( ) limcoscos

( ) lim

x x

x x

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

→( ) →( )

→( ) →( )

→( )

− −

− −

−

=

=

=

=

π π

π π

π

2 2

2 2

2

53

55

33

53

35

135

00

1

- ind.

-→→( )−

=

=

π2

3 35 5

135

35

--

--

sinsin

( )

xx

RH

g)

limln

limln

lim

x

x x

xx

xx

→

→

+

+

+

+

=

`

`

`

`

7

7

ind.

→→+

=`

7

10

x

limln

limln

lim

x

x x

xx

xx

→

→

+

+

+

+

=

`

`

`

`

7

7

ind.

→→+

=`

7

10

x

limln

limln

lim

x

x x

xx

xx

→

→

+

+

+

+

=

`

`

`

`

3

3

ind.

→→+

=`

3

10

x

limln

limln

lim

x

x x

xx

xx

→

→

+

+

+

+

=

`

`

`

`

3

3

ind.

→→+

=`

3

10

xRH RH

Nous avons

limln

lim( cos ) ln

limx x x

xx

x xx→ →+ +

≤ + ≤` `

3 5 2

→→+ `

7 ln xx

=

0

=

0

d’où

h) limsin (sin )

x

x x

x→

−

0 3

00

ind.

limsin (sin )

limcos (sin ) cos

x x

x x

x

x x

x→ →

− = −0 3 0

13 22

0

2

00

ind.

-

= −→

limsin (sin ) cos cos (si

x

x x nn ) sin

limcos (sin ) cos

x x

xx

x

600

0

3

ind.

-

=→

xx x x x x x x+ − −2 sin (sin ) cos sin sin (sin ) cos sin cos ((sin ) cosx x

613

= -

RHlim

sin (sin )lim

cos (sin ) cosx x

x x

x

x x

x→ →

− = −0 3 0

13 22

0

2

00

ind.

-

= −→


x

x x nn ) sin

limcos (sin ) cos

x x

xx

x

600

0

3

ind.

-

=→


613

= -

RH

limsin (sin )

limcos (sin ) cos

x x

x x

x

x x

x→ →

− = −0 3 0

13 22

0

2

00

ind.

-

= −→


x

x x nn ) sin

limcos (sin ) cos

x x

xx

x

600

0

3

ind.

-

=→


613

= -

RH

i) lim (ln ) (x

xx e→+

− +`

` `ind. − )

limtantanx

xx→( )−

+

+

π

2

53

ind.`

`

--

-

1 12 2 2

5 2 5 2 2 53 5 2

≤ ≤≤ ≤

+ ≤ + ≤ +≤ +

coscos

( ) cosc

xx

xoos

ln ( cos ) ln ln

x

xx

x xx

xx

≤

≤ + ≤

7

3 5 2 7

lim( cos ) ln

x

x xx→+

+ =`

5 20

limsin (sin )

limcos (sin ) cos

x x

x x

x

x x

x→ →

− = −0 3 0

13 22

0

2

00

ind.

-

= −→


x

x x nn ) sin

limcos (sin ) cos

x x

xx

x

600

0

3

ind.

-

=→


613

= -

lim (ln ) limln

x

x

x

xx

x e ex

e→ →+ +− = −

` `

1

or ind.limln

x x

xe→+

+

+

`

`

`

lim

lnlim

x x x x

xe

xe→ →+ +

= =` `

1

0RH

18. Puisque les hypothèses du théorème de Lagrange sont satisfaites, alors ∃ c ∈ ]a, b[ tel que

f b f a

b af c

( ) ( )( )

−−

= ′ , où f ′(c) = 2Pc + Q

Trouvons cette valeur de c.

d’où cb a= +

2, c’est-à-dire la valeur située au milieu de [a, b].

19. 3 3832 3N i N i+ + =

a)

d’où dNdi ( , )

, ,9 5

1 422≈ - c’est-à-dire environ

-1422 maisons/% intérêt.

Interprétation : lorsque le taux d’intérêt i augmente, le nombre de maisons vendues N diminue.

b) Calculons d’abord dNdt

.

d où’ lim (ln ) limln

x

x

x

xx

x e ex

e→ →+ +− = −

=` `

1

-- forme -` `+( )( 1)

22 2

2 2

Pc QPb Qb S Pa Qa S

b aPb Qb Pa Q

+ = + + − + +−

= + − −

( ) ( )

aab a

P b a Q b ab a

b a P b a Q

b a

−

= − + −−

= − + +[ ]−

( ) ( )

( ) ( )

2 2

== + += +

P b a Q

Pc P b a

( )

( )Donc 2

ddi

N i N iddi

NdNdi

N iN

dNd

3 383

61

2

2 3+ +( ) =

+ +

( )

iii

dNdi

NiN

i N

dNdi

i N

N

+ =

+

= −

= −

+

3 0

62

3

3

6

2

2

2

-

-iiN

dNdi

2

3 5 9

6 95

2 9

78

5456

19 5

2

( , )

( )

( ),= −

+=

+=- -

- 4422

ddi

N i N iddi

NdNdi

N iN

dNd

3 383

61

2

2 3+ +( ) =

+ +

( )

iii

dNdi

NiN

i N

dNdi

i N

N

+ =

+

= −

= −

+

3 0

62

3

3

6

2

2

2

-

-iiN

dNdi

2

3 5 9

6 95

2 9

78

5456

19 5

2

( , )

( )

( ),= −

+=

+=- -

- 4422

dNdt

dNdi

didt

dNdt

i

=

=

(notation de Leibniz)

-3 2 −−( )+

=

N

Ni

N

didt

dNdt

62

19 5

(voir a))

-( , )

( ,, )( , )

,( , )

422 0 5

1 422 09 5

-

car - et -dNdi

didt

= = ,,5



1

d’où dNdt ( , )

, ,9 5

0 711≈ c’est-à-dire environ

711 maisons/année.

Interprétation : lorsque le taux d’intérêt i diminue, le nombre de maisons vendues N aumente.

c) > with(plots): > c:=implicitplot(3*N^2+i*N^(1/2)+i^3=383,

i=3..6.5,N=0..15): > display(c,view=[0..7,0..12]);

0

i

N

4

8

10

2

1 2 3 4 5 6 7

6

12


SolutionnaireProblèmes de synthèse

C h a p i t r e 1 (page 53) 1c)

d’où

d)

d’où

3. a) Calculons d’abord y ′.

mtan

au point (1, 0) = ′ =y( , )1 0 2

y x xy x xy x

x x

x x

== [ ]=

sin

sin

si

(cos )ln ln (cos )ln ln nn ln (cos )ln sin ln ln (cos )

(ln ) si

x xxy x x x x

y

+= +

′ = nn ln ln (cos )

cos ln sin

x x x x

yy

x x xx

+( )′′ = +

1 ++ +

ln (cos )

sincos

x xx

x

-

dydx

x x x xx

xx x xx x= + + −

sin (cos ) cos lnsin

ln (cos ) tan

y x xy x x

x x

x x

x x

x x

= + +′ = + +( )′

= ′ + +( )′

2 5

2 5

2 5

3 13 1

3 1

( )( )

( ) ( )

Soit

donc

u xu xu x x

u x x

uu x x

xu x x

x x x

x

x

x

x x

===

′ = ′

′ = +

′ = +′ = +

2

2

2

2 2

22

12 2

1

2 22 1

ln lnln ln

(ln ) ( ln )

ln

( ln )( ) ( ln )

Soit

donc

v xv xv x x

v x x

vv x x

x

v x xx

x

x

x

x

x

= += += +

′ = +( )′

′ = + ++

′ = + + ++

+

( )ln ln ( )ln ln ( )

(ln ) ln ( )

ln ( )

( ) ln ( )

( )

3 13 1

5 3 15 3 1

15 3 1 5

33 1

3 1 5 3 115

3 1

3 1

5

5

5

55 55 3 1 3 13

3 1x xx x

xx

( )′ = + + ++

( ) ln ( )

dydx

x x x xx

xx x= + + + + +

+

2 1 5 3 1 3 13

3 12 5( ln ) ( ) ln ( )

( sin tan ) ( )Arc Arcy x xy+ ′ = + ′2 π

′−

++

= + ′

′ =−

+

−−

y

y xy xy

yy

x

y

1

41

2 2

24

11

12

2 2

2

2

d’oùxx

′−

++

= + ′

′ =−

+

−−

y

y xy xy

yy

x

y

1

41

2 2

24

11

12

2 2

2

2

d’oùxx

1. a)

b) Non

c)

limln ( )

limx x

xx

x→ →+ +

+ = + =0 0

1 33

1 31

3RH

d) À partir d’une certaine valeur, voisine de zéro, la calculatrice (ou l’outil technologique) considère x = 0 dans le calcul de ln (1 + 3x). Ainsi le numérateur devient ln 1 = 0, d’où la réponse 0.

2. a)

b)

limln ( )

x

x

x→ +

+

0

1 3 00

ind.

x xx x

y x

y

y

sin

sin

ln ( )ln ln ln ( )

sin ln l

= += +( )=

2

2

11

nn ln ( )

(sin ln ) ln ln ( )

(co

x

y x x

2

2

1

1

+( )′ = +( )

′

ss ) ln sinln ( )

y y x yx x x

′ +

=

+ +

1 11

112 2

22

21 12 2

x

dydx

xx x

yx

y xd’où = + +

−( ) ln ( )

sin

cos ln

x xx x

y x

y

y

sin

sin

ln ( )ln ln ln ( )

sin ln l

= += +( )=

2

2

11

nn ln ( )

(sin ln ) ln ln ( )

(co

x

y x x

2

2

1

1

+( )′ = +( )

′

ss ) ln sinln ( )

y y x yx x x

′ +

=

+ +

1 11

112 2

22

21 12 2

x

dydx

xx x

yx

y xd’où = + +

−( ) ln ( )

sin

cos ln

yxy

yxy

x yxy

x

x

=

=

=

3

3

3

ln ( ) ln

ln ln

′ = −( )′

+ ′ = − ′

( ln ) (ln ln )

ln

x y x y

yxyy x

yy

3

31

′ + ′ = −

′ +

= −

xyy

yy x

y

yx

yx yx

3 3

3 3

ln

ln

d’ooùdydx

y x yx x

= −+

( ln )( )

33

yxy

yxy

x yxy

x

x

=

=

=

3

3

3

ln ( ) ln

ln ln

′ = −( )′

+ ′ = − ′

( ln ) (ln ln )

ln

x y x y

yxyy x

yy

3

31

′ + ′ = −

′ +

= −

xyy

yy x

y

yx

yx yx

3 3

3 3

ln

ln

d’ooùdydx

y x yx x

= −+

( ln )( )

33

x f (x)

0,001 2,995 5090

10-50 2,999 9550

10-70 2,999 9996

10-90 0

10-13 0

10-15 0

1

16 problèmes de synthèse Calcul intégral, 4e édition – solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse


Puisque la droite y = 2x + b passe par P(1, 0), nous trouvons b = -2d’où l’équation de la droite tangente est y = 2x − 2

mnormale

au point (1, 0) = - -1 1

21 0′=

y( , )

Puisque la droite y = -12

x b+ passe par P(1, 0), nous

trouvons b = 12

d’où l’équation de la droite normale est y x= +-12

12

b) > with(plots):> c:=implicitplot(arcsin(y)+4*arctan> (x)=2*x*y*+Pi,x=0..2,y=-1..1,color=red):> t:=plot(2*x-2,x=0..2,y=-1..1,color=blue):> n:=plot((-x+1)/2,x=0.4..1.6,y=-1..1,> color=green):> display(c,t,n,scaling=constrained);

4. a) ( )( ) ( )

( )(

x y x yx y x y

x y

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 22

+ = −+( )′ = + ′

+ 22 2 2 22 2 2 23 2 2 3

x yy x yyx x yy xy y y x y

+ ′ = − ′+ ′ + + ′ = − ′

)yy

y x y y y x x xy

yx x xy

x

′ + + = − −

′ = − −[ ]2 2 2 2

2 22

2 3 3 2

3 2

2yy y y+ +2 3

a

La tangente à la courbe est horizontale lorsque y ′ = 0, c’est-à-dire

En substituant dans a, nous obtenons

En substituant dans x y2 2 12

+ = , nous obtenons

0-0,4

0,4

0,8

-0,8

x

y

0,4 0,8 1,2 1,6 2

Ainsi ′ = − −+ +

yx x yy x y( )( )1 2 22 2 1

2 2

2 2

x x yx y

x

( )1 2 2 01 2 2

0

2 2

2 2

− − =− − =

=0

ou (à rejeter,, car si )x yx y

= =+ =

0 02 2 12 2

,

x y y x2 2 2 212

12

+ = = −, ainsi

x x x x

x

x

2 2

2

2 2

2

2

12

12

14

212

3

+ −

= − −

= −

=88

38

donc x = ±

x x x x

x

x

2 2

2

2 2

2

2

12

12

14

212

3

+ −

= − −

= −

=88

38

donc x = ±

y

y

2 12

38

18

18

= − =

= ±donc

Les points cherchés sont

A38

18

, ,

B -38

18

, ,

C -38

18

,

et .

b) Algébriquement, nous constatons que la tangente est verticale lorsque y = 0.

En substituant y = 0 dans a, nous obtenons

donc x = -1, x = 1 ou x = 0 (à rejeter)

Les points cherchés sont E(1, 0) et F(-1, 0).

c) > with(plots):> c:=implicitplot((x^2+y^2)^2=x^2-y^2,x=-1..1,> y=-1..1,color=red,numpoints=1000):> y1:=plot((1/8)^(1/2),x=-0.9..-0.3,color=blue):> y2:=plot((1/8)^(1/2),x=0.3..0.9,color=blue):> y3:=plot(-(1/8)^(1/2),x=-0.9..-0.3,color=blue):> y4:=plot(-(1/8)^(1/2),x=0.3..0.9,color=blue):> x1:=plot([1,y,y=-0.3..0.3],color=green):> x2:=plot([-1,y,y=-0.3..0.3],color=green):> y5:=plot(0.4,x=-1..1,color=white):> p:=plot([[(3/8)^(1/2),(1/8)^(1/2)],[(3/8)^(1/2),-(1/8)^> (1/2)],[-(3/8)^(1/2),(1/8)^(1/2)],[-(3/8)^(1/2),-(1/8)^> (1/2)],[1,0],[-1,0]],style=point,symbol=circle,color=red):> display(c,y1,y2,y3,y4,x1,x2,p,y5,scaling=constrained);

5. a) Calculons d’abord y′.

La tangente à la courbe est horizontale lorsque y′ = 0,

c’est-à-dire ( ) ,ay x− =2 0 ainsi

En remplaçant y par xa

2, dans l’équation initiale,

nous obtenons

donc

D - -38

18

,

( )

( )

x xx x

x x

2 2 2 2

4 2

2 2

0 00

1 0

+ = −− =− =

0-0,1

0,10,20,30,4

-0,2-0,3

x

y

C A

D

F E

B

0,2 0,4 0,6 0,8 1-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2

( ) ( )x y axyx y y ay axy

y y a

3 3

2 2

2

33 3 3 3

3 3

+ ′ = ′+ ′ = + ′

′ − xxy ay xy y ax ay x

yay xy ax

′ = −′ − = −

′ = −−

3 3 2

2 2

2

2

( )

yxa

=2

.

xxa

x

xxa

x

xxa

36

33

33

33

3

3

3

1 3

0 1

+ =

+

=

≠ +si

= 3

x a y a y x= = =2 43 3 2et car( )

1

Calcul intégral, 4e édition – solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse problèmes de synthèse 17


d’où la tangente est horizontale au point

La tangente à la courbe est verticale lorsque

ainsi xya

=2

.

En remplaçant x par ya

2 dans l’équation initiale,

nous obtenons

donc

d’où la tangente est verticale au point

b) Lorsque x = y et que

De plus, en remplaçant x par y dans l’équation initiale, nous obtenons

x = 0 (à rejeter) ou x =

Le point d’intersection du folium de Descartes et

de la droite y = x lorsque x ≠ 0 est

Équation de la tangente y

a

xa

ya

xa

−

−=

− = −

32

32

1

32

132

-

-

d’où y x a= +- 3

c) > with(plots):> folium:=implicitplot(x^3+y^3=3*x*y,x=-3..3,> y=-3..3,numpoints=8000,view=[-3..3,-3..3],color=orange):> y1:=plot(4^(1/3),x=0.5..2,color=black):> x1:=plot([4^(1/3),y,y=0.5..2],color=black):> t:=plot(-x+3,x=1..2,color=blue):> P:=plot([[4^(1/3),2^(1/3)],[2^(1/3),4^(1/3)],[3/2,3/2]],> style=point,symbol=circle,color=orange):> display(folium,y1,x1,t,P,scaling=constrained);

P 2 43 3a a,( )( ) ,y ax2 0− =

ya

y y

yya

y

yya

6

33 3

33

33

3

3

3

1 3

0 1

+ =

+

=

≠ +

si == 3

y a x a x y= = =2 43 3 2et car( )

Q 4 23 3a a,( )x ≠ 0,

dydx

x xx xx y=

= −−

=2

21-

x x axx ax

x x a

3 3 2

3 2

2

32 3 0

2 3 0

+ =− =

− =( )32a

R32

32

a a, .

0-1

1

2

3

-2

-3

x

y

1 2 3-3 -2 -1

6.

Calculons d’abord y ′.

En remplaçant x par 0, dans l’équation initiale, nous obtenons

Ainsi

Équation de la droite perpendiculaire à la courbe au point (0, -4)

Équation de la droite perpendiculaire à la courbe au point (0, 4)

Nous trouvons l’intersection des deux droites en résolvant

Lorsque

D’où nous obtenons le point

7.

a) Calculons d’abord y′.

Déterminons les valeurs de x telles que

( )xy y x3 2 2 16+ = +

( ) ( )( )( )

xy y xxy y y xy y y

3 2 2

3 3 2

162 3

+( )′ = + ′+ + ′ + ′ = 22

3

3 1

3 23

23

3

x

y xy y yx

xy y

y xyx

xy yy

+ ′ + ′ =+

′ + =+

−

′

( )

yy xyx xy y

xy ydydx

x xy y

( )

(

3 126 4

3

6 4

+ = − −+

= − −ainsi

33 12 3xy xy y+ +)( )

( ) ,0 0 16 4 42+ = + = =y y ydonc - ou

dydx

dydx( , ) ( , )0 4 0 4

64 64-

et -= =

yx

y x

−−

=

= −

( )- -

-

40

1641

6441

yx

y x

−−

=

= +

40

1641

6442

y y

x x

x

x

1 2

164

41

644

264

8

256

=

− = +

=

=

-

-

-

x y= =-256 0,

R -( , )256 0

x x xy y y2 22 2 27− − + + =

( ) ( )x x xy y yx y xy yy y

2 22 2 272 2 4 0

− − + + ′ = ′− − − ′ + ′ + ′ =

-- -

ainsi

xy yy y x yy y x y x

′ + ′ + ′ = + +′ − + = − +

4 2 24 1 2 2( )

ddydx

y xy x

= − +− +2 2

4 1

dydx

= 0

y xy x

y x− +

− += = −2 2

4 10 2 2si

1



En remplaçant y par

dans l’équation initiale, nous obtenons

ainsi En remplaçant x par 3, nous obtenons y = − =2 3 2 4( )

et nous avons le point A(3, 4).

En remplaçant x par -1, nous obtenons y = − =2 1 2 4( )- - et nous avons le point B(-1, -4).

Calculons

Calculons d ydx

2

21 4aux points A(3, 4) et B(- -, )

sachant que ′ = ′ =y y( , ) ( , )3 4 0 1 4 0et - -

Puisque

le point A(3, 4) est le point de maximum.

Puisque

le point B(- -1 4, ) est le point de minimum.

b) En posant le dénominateur de dydx

égal à 0,

nous obtenons

En remplaçant x par 4y + 1 dans l’équation initiale, nous obtenons

donc y y= =- ou2 2

ainsi x x= + = +- ou4 2 1 4 2 1

D’où D - et D1 2: :x x= + = +4 2 1 4 2 1

c) > with(plots):> c:=implicitplot(x^2+2*y^2-x*y-2*x+y=27,x=-6..7,y=-5..5):> p:=plot([[-1,-4],[3,4]],symbol=circle,style=point,color=red):> d1:=plot([1+4*(2)^(1/2),y,y=-2..4],color=blue):> d2:=plot([1-4*(2)^(1/2),y,y=-4..2],color=blue):> display(c,p,d1,d2,scaling=constrained,view=[-5..7,-5..5]);

( )2 2x −

x x x x x xx x x

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 272 2 2

− − − + − + − =− − +

( ) ( ) ( )xx x x x

x xx x

+ − + + − − =− − =− +

8 16 8 2 2 27 07 14 21 07 3

2

2

( )( 11 0) =x x= =3 1ou -

d ydx

y xy x

y y x

2

2

2 24 1

2 4 1

= − +− +

′

= ′ − − + −( )( ) (yy x yy x

− + ′ −− +

2 2 4 14 1 2

)( )( )

d ydx

d

2

23 4

2

2

0 2 14 0 0 114

17

0( , )

( )( ) ( )( )( )

= − − − = <-

yydx2

1 42

0 2 14 0 0 114

17

0( , )

( )( ) ( )( )( )- -

-= − − − = >

dydx

d ydx( , ) ( , )

,3 4

2

23 4

0 0= <et que

dydx

d ydx( , ) ( , )

,- - - -

et que1 4

2

21 4

0 0= >

4 1 04 1

y xx y

− + == +donc

( ) ( ) ( )4 1 2 4 1 4 1 2 2716 8 1 8

2 2

2

y y y y y yy y

+ − + − + + + =+ + − yy y y y y

yy

− − − + + − =− =− =

2 4 2 27 014 28 014 2 0

2 2

2

2( )

D1

D2

A(3, 4)

B(-1, -4)

0

-2

-4

2

4

x

y

2 4 6-2-4

8.

a) Calculons y′.

En remplaçant x par 7 dans l’équation initiale, nous obtenons

donc y y= =0 4ou

d’où θ ≈ 28 07,

b) En posant dydx y

=−

=12 4

1, nous trouvons y = 2,5.

En posant dydx y

=−

=12 4

1- , nous trouvons y = 1,5.

En remplaçant successivement y par 2,5 et y par 1,5 dans l’équation initiale, nous obtenons

D’où les points cherchés sont A(3,25 ; 2,5) et B(3,25 ; 1,5)

Représentation graphique :

> with(plots):> c:=implicitplot(x-y^2+4*y=7,x=-1..10,y=-1..7, > color=orange):> t1:=plot((7-x)/4,x=-2..9,color=blue):> t2:=plot(4+(x-7)/4,x=-2..9,color=blue):> t3:=plot(x-0.75,x=1..6,color=green):> t4:=plot(-x+4.75,x=1..9,color=green):> P:=plot([[7,0],[7,4],[3.25,2.5],[3.25,1.5]],symbol=circle,> style=point,color=orange):> display(c,t1,t2,t3,t4,P,view=[-2..10,-1..7], > scaling=constrained);

x y y− + =2 4 7

( ) ( )

( )

x y yyy y

y y

dydx

− + ′ = ′− ′ + ′ =

′ + =

2 4 71 2 4 0

2 4 1- -

==−1

2 4y

7 4 74 04 0

2

2

− + =+ =+ =

y yy y

y y-

-( )

dydx

dydx( , ) ( , )7 0 7 4

14

14

= =-et

tan , ,θ θ1 114

14 036= =-ainsi -

tan , ,θ θ2 214

14 036= =ainsi

x x− + = =( , ) ( , ) , ,2 5 4 2 5 7 3 252 donc

x x− + = =( , ) ( , ) , ,1 5 4 1 5 7 3 252 donc

1



9. dom f = ]0, +` Asymptotes : lim

x

xx→ +0

est une indétermination de la forme 00.

Soit

ind. -

A x

A x xx

x

x

=

=

=

→

→

+

+⋅

lim

ln lim ln ( ( ))0

00 `

llimln

lim l

x

x

x

x

x

x

→

→

+

+

+

= =

0

0

2

1

1

1

ind.-

-

`

`

iim ( )

ln

xx

AA

→ +=

==

00

01

-

d’où

RH

Puisque limx

xx→ +

=0

1, alors il n’y a pas d’asymptote

verticale.

Puisque limx

xx→+

= +`

` , alors il n’y a pas d’asymptote

horizontale.

′ = +f x x xe

x( ) ( ln ) ;11

n.c. : ′ = +f x x xe

x( ) ( ln ) ;11

n.c.

′′ = + + −f x x x xx x( ) ( )1 2 1 ; aucun nombre critique.

x 01e

+`

f ′(x) ∃/ − 0 +

f ′′(x) ∃/ + + +

f ∃/ < 0,69… < +`

E de G (0,36… ; 0,69…)

min.

10. a) Soit H est continue sur [0, 1] ; H(0) = -1 et H(1) ≈ 0,017.

Puisque H(0) < 0 < H(1), alors ∃ c ∈ ]0, 1[ tel que H(c) = 0

c’est-à-dire H(c) = c − 1 + tan c = 0

d’où ∃ c ∈ ]0, 1[ tel que tan c = 1 − c

�AB

0-1

1234567

x

y

2 4 6 8 10-2

2

y

1 x

min.

f (x) = xx

H x x x( ) tan .= − +1

b) Vérifions d’abord les hypothèses du théorème de Rolle :où f x x x( ) ( ) sin= − 1 sur [0, 1].

1) f est continue sur [0, 1] ;2) f est dérivable sur ]0, 1[,

car ′ = + −f x x x x( ) sin ( ) cos1 est définie sur ]0, 1[ ;3) f (0) = 0 et f (1) = 0, d’où f (0) = f (1)

Alors ∃ c ∈ ]0, 1[ tel que f ′(c) = 0c’est-à-dire

d’où ∃ c ∈ ]0, 1[ tel que tan c = 1 − c

c) > f:=x->tan(x);

f x x: tan ( )= → > g:=x->(1-x);

g x x:= → −1

> plot([f(x),g(x)],x=0..1,color=[red,blue],scaling=constrained);

> c:=fsolve(f(x)=g(x));

c : .= 0 4797310073

Plot1 Plot2 Plot3

\Y1=tan(X)

\Y2=1-X

\Y3=

\Y4=

\Y5=

\Y6=

\Y7=

WINDOWXmin=0

Xmax=1

Xscl=.2

Ymin=0

Ymax=1.6

Yscl=.2

Xres=1

IntersectionX=.47973101_Y=.52026899

GraPh

sin ( ) cossin ( ) cossincos

( cos ] , [)

c c cc c ccc

c c

+ − == −

= − ≠

1 01

1 0 0 1

-

car sur

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

x

y

0,2 0,4 0,6 0,8 1

1



11. a) Appliquons le théorème de Lagrange à x(t ) sur [0, 4].

∃ c ∈ ]0, 4[ tel que

d’où t1 ≈ 0,85 s ou t

2 ≈ 3,15 s

b) si 12 − 6t = 0 d’où t = 2 s

′ =v ( )2 0 et

donc la vitesse est maximale lorsque t = 2 s, et v vmax ( )= =2 12 m/s.

c) > x:=t->6*t^2-t^3+4;

> v:=t->12*t-3*t^2;

> a:=t->12-6*t;

> plot([x(t),v(t),a(t)],t=0..4,color=[red,blue,green]);

Plot1 Plot2 Plot3

\Y1=6X

2-X^3+4\Y

2=12-3X2

\Y3=12-6X

\Y4=

\Y5=

\Y6=

\Y7=

WINDOWXmin=0

Xmax=4

Xscl=1

Ymin=-10

Ymax=40

Yscl=10

Xres=1

GraPh

12. a)

x xx c

c cc c

c

( ) ( )( )

4 04 0

8 12 33 12 8 0

12

2

2

−−

= ′

= −− + =

= ± 4486

v t x t t t( ) ( )= ′ = −12 3 2

′ =v t( ) 0

′′ = <v ( )2 6 0-

x t t t:= → − +6 42 3

v t t t:= → −12 3 2

a t t:= → −12 6

x(t) = 6t2 − t3 + 4

v(t) = 12t − 3t2

a(t) = 12 − 6t0

-10

20

10

30

1 2t

3 4

f x x a x bf x m x a x b n x b x af x x a x b m x b n x af c c a c b m c

m n

m n n m

m n

m n

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) (

= − −′ = − − + − −′ = − − − + −( )′ = − − −

− −

− −

− −

1 1

1 1

1 1 bb n c a) ( )+ −( )

b)

13.

′ = − = − +f x x x x x x( ) ( )( )15 60 15 2 24 2 2 ; n.c. : 0, -2 et 2

x -` -2 0 2 +`

f ′(x) + 0 − 0 − 0 +

f 64 0 -64

max. min.

1) f est continue sur [ , ],-2 2 fonction polynomiale

2) f est dérivable sur ] , [,-2 2 car ′ = −f x x x( ) 15 604 2 est définie sur ] , [-2 2

d’où ∃ ∈c ] , [-2 2 tel que

c2260 60 4 15 32

2 1560 1680

3030 2 105

1= − = =± ± ±( )( )

( ) 55

30 2 10515

c = ±±

d’où c130 2 105

150 796= − ≈- - ,

c330 2 105

150 796= − ≈ ,

et

14. h x x x( ) , ,= − +0 006 0 1 92

a) La distance maximale D entre la corde rectiligne reliant le sommet des deux poteaux et le télésiège peut être

calculée en utilisant la valeur c du théorème de Lagrange.

1) h est continue sur [0, 100], car h est une fonction polynomiale

∃ ∈ ] [ ′ =− + − =

− = −−−

=

c a b f cm c b n c a

n c a m b cc ab c

mn

, tel que , ainsi( )( ) ( )

( ) ( )

00

cc

c ccc

−−

=

− = −==

410

63

4 20 23 24

8

f x x x( ) = −3 205 3

f ff c

c c

c

( ) ( )( )

( )2 22 2

64 644

15 60

15

4 2

4

−−

= ′

− = −

--

-

−− + =60 32 02c

c230 2 105

151 835= + ≈- - ,

c430 2 105

151 835= + ≈ ,

1



2) h est dérivable sur ]0, 100[, car

est définie sur ]0, 100[

d’où ∃ ∈c ] , [0 100 tel que

Équation de la sécante y passant par (0, h(0)) et (100, h(100))

d’où D = 25 mètres

b)

x 0 20 100

d ′(x) ∃/ − 0 + ∃/d d (0) 6,6 d (100)

max. min. max.

d’où d = 6,6 mètres

c) Nous savons que

ainsi dhdt

x= −( , , )( , )0 012 0 1 1 8

i)

ii)

d) > with(plots): > h:=x->0.006*x^2-0.1*x+9;

> y1:=plot(h(x),x=0..100,y=0..60,color=orange): > d1:=plot([20,y,y=2.8..h(20)],color=blue): > d2:=plot([50,y,y=h(50)..34],color=blue): > p1:=plot([100,y,y=0..h(100)],color=black,thickness=3): > p2:=plot([0,y,y=0..h(0)],color=black,thickness=3): > s:=plot(0.5*x+9,x=0..100,color=green):

′ = −h x x( ) , ,0 012 0 1

h hh c

c

c

( ) ( )( )

, ,

100 0100 0

59 9100

0 012 0 1

5

−−

= ′

− = −

= 00

y hx

h h

yx

y x

−−

= −−

− = −

=

( ) ( ) ( )00

100 0100 0

9 59 9100

12

++ 9

D y h= −

= −

( ) ( )50 50

34 19

d x h x x

x x x

( ) ( )

( , , ) ,,

= −

= − + −=

14100

0 006 0 1 9 0 140 0

2

006 0 24 90 012 0 240 20

2x xd x xd x x

− +′ = −′ = =

,( ) , ,( ) si

dxdt

= 1 8, m/s

dhdt

dhdx

dxdt

ddx

x xdxdt

=

= − +( , , )0 006 0 1 92

dhdt x =

= −( ) =5

0 012 5 0 1 1 8 0 072, ( ) , ( , ) ,- m/s

dhdt x =

= −( ) =95

0 012 95 0 1 1 8 1 872, ( ) , ( , ) , m/s

h x x x: . .= → − +0 006 0 1 92

> sol:=plot(0.14*x,x=0..100,color=black,thickness=2): > display(y1,d1,d2,s,p1,p2,sol,scaling=constrained);

Plot1 Plot2 Plot3

\Y1=0.006X

2-0.1X+9\Y

2=0.5X+9\Y

3=0.14X\Y

4=

\Y5=

\Y6=

\Y7=

WINDOWXmin=0

Xmax=100

Xscl=20

Ymin=-10

Ymax=60

Yscl=10

Xres=1

GraPh

15.

12 2

0x

yy

+ ′ = , ainsi ′ = ′ =yy

xy

d

aa d

-et

-( , )

L’équation de la tangente au point (a, c), c’est-à-dire

a C a, −( )( )2 est y

C a

ax b= −( )

+- qui passe par

a C a, −( )( )2

Ainsi C aC a

aa b−( ) = −( )

+2 -

d’où b C C a= −2

L’équation de la tangente est donc

d’où k = 4

16. a) Déterminons d’abord l’équation de la tangente à la courbe de f au point z f z, ( ) .( )

D

h(x) = 0,006x2 − 0,1x + 9

y 2 = 0,5x + 9

d

0

10

20 50 x100

y

y1 = 0,14x

x y C+( )′ = ′( )

yC a

ax C C a= −( )

+ −( )-2

si ainsisi ainsi

x y C C a r C C ay x C a s C

= = − = −= = =

00

2 2,, aa

r s C C a C a C+ = − + =2 2

0

1

1 x

y

A

A(a, 0)

B(0, b)

(z, e−z)

f (x) = e−x

1



Déterminons les coordonnées des points A(a, 0) et B(0, b).

z 0 1 +`

A′(z) ∃/ + 0 −

A A(0) A(1)

min. max.

D’où A Ae emax ( ) ,= = ( )12

112u et P

b) lim ( ) lim( )

( )

l

z z

zA z

z e→ →+ +

= + ( )

=

+ ⋅` `

`12

02 -

ind.

iim( )

lim(

z z

z

ze

z

→

→

+

+

+

= +

+

+`

`

`

`

12

2 1

2ind.

))

lim

2

1

0

e

e

z

z z

ind.+

+

=

=→+

`

`

`

RH

RH

17. a) Soit f xxx

( ) = +−

Arc tan

11

si x ≠ 1

et g x x( ) tan= Arc

ainsi ′ = ′ ∀ ∈f x g x x( ) ( ), \{ } 1 IR′ = ′ ∀ ∈f x g x x( ) ( ), \{ } 1

Puisque g est continue sur IR et que f est continue sur -`, 1[ et sur ] ,1 +`, il y a deux cas à étudier.

y f zx z

f z

y ex z

e f x ez

z x

−−

= ′

−−

= ′ =( )

( )( )

( )-

- -- -

ainsi --

- -

- -

y e x z ey e x e z

z z

z z

= − += + +

( )( )1

si d où B- -x y e z e zz z= = + +( )0 1 0 1, ( ), , ( )’

si d où Ay x z z= = + +0 1 1 0, , ( , )’

Aire du triangle AOB-

= = + +ab z e z

A z

z

21 1

2( ) ( )

( ) == +

′ = + − +

= +

( )

( )( ) ( )

(

z e

A zz e z e

z

z

z z

12

2 1 12

1

2

2

-

- -

)) ( )e zz- 12

−

′ = =A z z( ) 0 1si

′ =+ +

−

−

=−

f xxx

x x( )

( ) ( )1

111

21

212 2 2 ++ +

=+

( )1

11

2

2

x

x

′ =+

g xx

( )1

1 2

1er cas : Si x ∈ -`, 1[ D’après le corollaire 2 du théorème de Lagrange, ∃ ∈C1 IR IR tel que

En remplaçant x par 0, car 0 ∈ -`, 1[, nous obtenons

d’où

2e cas : Si x ∈ +] ,1 `D’après le corollaire 2 du théorème de Lagrange,

∃ ∈C2 IR IR tel que

En appliquant la RH au membre de gauche, nous obtenons

d’où C234

= - π

b) > f:=x->arctan((1+x)/(1-x));

> g:=x->arctan(x);

> with(plots): > c1:=plot(f(x),x=-8..8,color=orange,discont=true): > c2:=plot(g(x),x=-8..8,color=blue): > display(c1,c2,scaling=constrained);

f x g x C

xx

x C

( ) ( )

tan

= ++−

= +

1

11

1Arc tan Arc

Arc tan Arc tan( )1 0

40 1

= +

= +

C

Cπ

C1 4= π

f x g x C

xx

x C

( ) ( )

tan

li

= ++−

= +

2

211

Arc tan Arc

mm lim ( tanx x

xx

x C→ →+ +

+−

= +

` `Arc tan Arc

11 2))

lim limArc tan Arx x

xx→ →+ +

+−

=` `

11

cc tan x C+ 2

Arc tan-

Arc tan (-

limx

C→+

= +

`

11 2

1

2π

)) = +

= +

π

π π2

4 2

2

2

C

C-

f xxx

g x x( ) ( ) tan= +−

=Arc tan et Arc

11

f xxx

:= → +−

Arc tan

11

g x x: ( )= → Arc tan

( )f (x) = Arc tan 1 − x1 + x

g (x) = Arc tan x 1

1 x

y

1



Plot1 Plot2 Plot3

\Y1=tan

-1((1+X)/(1-X))\Y

2=tan-1(X)

\Y3=

\Y4=

\Y5=

\Y6=

WINDOWXmin=-5

Xmax=5

Xscl=1

Ymin=-2

Ymax=2

Yscl=.5

Xres=1

GraPh

18. a)

lim( ) sin

lim limsin

limsin

limcos

θ θ θ θ θ

θ

θ

θ θθ

θ θθ

θθ

θ

→ → →

→

→

+ = +

=

=

=

0

2

0

2

0

0

0

5 7 3 5 7 3

73 0

0

73 3

121

e e

ind.

RH

b) limtan

ln limtan

limx x x

xx

x xx

x→ → →+ ++

= +0 0 0++

+

⋅

=→

x x

x

ln

( )

limse

ind. et ind. -00

0

0

`

cclim

ln

limln

2

0

0

1 1

11

x x

x

x

x

x

x

+

= +

→

→

+

+ +ind.

-`

`

= +

= +

= +=

→

→

+

+

1

1

1

1

1 01

0

2

0

lim

lim ( )

x

x

x

x

x

-

-

RH

RH

c) lim( ln )

limlnt

t

t

tte

t tt

t t→ →+ +

+

+=

+

` `

1

2 2

+

→+

+

+

+

+

1 limt t

te`

`

`

`

ìnd. et ind.

=+

+

→ →+ +lim lim

t t t

te` `

1

21

11

=

+

=

12

1 0

12

( )

RH

lim( ) sin

θ θθ θ

θ→

+

0

25 7 3 00e

ind.

d) lims

s s

s s→+

+−

+

+`

`

ìnd.

lim lims s

s s

s ss

s

→ →+ +

+−

=+

−=

` `

11

2

11

2

1RH

Ainsi ind.lim ( )

s

ss s

s s→+

++−

`

`1

Si As s

s ss

s

= +−

→+

lim`

alors ln lim lnAs s

s ss

s

= +−

→+ `

ln lim ln ( ) )

lim

A ss s

s ss

s

= +−

=

→++ ⋅

`ìnd. ( 0

→→

→

+

+

+( ) − −( )

=

+

`

`

ln ln

lim

s s s s

s

s

100

1

ind.

112

11

2

1

2

11

2

32

ss s

ss s

s

s ss

s

+−

−

−

=−( ) +

→+

-

lim`

− +( ) −

−

=

s ss

s

s s

11

22

1

32

2( )( )

l

-

iim( )s

ss

s ss

s s

s s→+

+ − − − + − +

−

=

`

212 2

12

2

1

32

llim

lim

s

s

s ss

ss

→

→

+

+

( )−

=−

`

`

`

`

-

-ind.

--

21

21

=

=→+lim

s `2

2

RH

RH

e) limln

tan

lim

x

xxx

e

x→+

+−

=

`

-

Arcπ2

xx x

xxx

e

x→ →+ +

+−

+

+

` `

`

lnlim

tan

-

Arc

ind.

π2

`̀

` `

et ind.

--

-

00

1

11

= +

+→ →+ +lim lim

x x

xxx

e

xx

xe

x

x x

x

2

20

1

2

= + +

=

→

→

+

+

+

+lim

lim

`

`

`

ìnd.

ee

e

x

x x

ind.+

+

=

=→+

`

`

`lim

2

0

RH

d’où A e= 2

1



limln

tan

lim

x

xxx

e

x→+

+−

=

`

-

Arcπ2

xx x

xxx

e

x→ →+ +

+−

+

+

` `

`

lnlim

tan

-

Arc

ind.

π2

`̀

` `

et ind.

--

-

00

1

11

= +

+→ →+ +lim lim

x x

xxx

e

xx

xe

x

x x

x

2

20

1

2

= + +

=

→

→

+

+

+

+lim

lim

`

`

`

`ind.

ee

e

x

x x

ind.+

+

=

=→+

`

`

`lim

2

0

RH

RH

f) limcos

sinx

xx

xx

e x

→++

=

`

2 3 5-

llimcos

lim sin lix x

xx

xx→ →+ +

+

⋅

` `

2 3mm

limsin

x

x

e

x

x

x

→

→

+

+

= +

`

`

-5

0

3

1

=

⋅

⋅→+

e

xx

0 00

3

ind.

-

limcos

`

33

11

3

2

2

x

x

x

=

⋅

→+

-

lim`

ccos

( )

3

3 13

x

==

RH

g)

h)

Soit xy

= 1, c’est-à-dire y

x= 1

, lorsque x → +`, nous avons y → +0

lim sin lim

x yx x

x y→ →+ +−

= −

`

2

0 21

1 11

1yy

y

y yyy

sin

limsin

li

= −

=

→ +0 3

00

ind.

mmcos

limsin

y

y

yy

yy

→

→

+

+

−

=

0 2

0

13

00

6

ind.

indd.00

616

0

=

=

→ +lim

cosx

y

RH

RH

RH

lim,

x

xx→+

+

+

+`

`

`

5 831

34

1ind.

lim lim,

,,

x x

xx

xx

→ →+ +

+ =+

` `

5 831

34

5 8315 8311

11

= +→

−( )→+ +

x

xxx x

34

5 831 345 831

11

lim lim,,` `

=

=→+

+

lim ( ),

xx

`

`

0 000 048 1

lim sin )x

x xx→+

−

+ + ⋅`

` `2 11

0ind. 1 − ((( )( )

i) limsin

x

xx→

0

4

4

5 32

00

ind.

limsin

lim(sin )

x x

xx

xx→ →

= 0

4

4 0

4

4

5 32

52

3 00

ind.

=

=

→

52

3 00

52

0

4

limsin

l

x

xx

ind.

iimcos

( )

x

x→

=

=

0

4

4

3 31

52

3

4052

RH

j) lim lim

lim

ln ln

ln

x x x x x x

x

x

e e e

ee

→ − →

→

+ +

+

=

=

` `

`

1 1-

xx

x x

xe

ind.

ind.

+

+

+

+

=

=

→+

`

`

`

``lim

liimx xe→+

=`

1

0

RH

k)

lim limx a x a

a x x a a xa ax

a xa

→ →

− −−

=

−2

2 42 23 4 23

34

3 3

3xx xaaa x

axax

aa

aa

−−

=−

4

2

2 23

2

3 34

3

4

3

33

4

22 3

( )

( )-

-663

3

124

34

334

169

-

-

-

aa

aa

a

=−

=

RH

19. a)

′ = =( )f m f( ) tan , ( )- - -1 21 1 car est l équation de la - -y x f1 2 2 1 1= + ’ tan , ( )(( )( )est l’équation de la tangente au point car est l équation de la - -y x f1 2 2 1 1= + ’ tan , ( )(( )( )

′ = =( )g m g( ) tan , ( )- -- -1 21 1 car - est l équation de la - -y x g2 2 2 1 1= − ’ tan , ( ))( )( )est l’équation de la tangente au point car est l équation de la - -y x g1 2 2 1 1= + ’ tan , ( )(( )( )Donc,

lim

( )( )

lim( )( )

( )(

x x

f xg x

f xg x

fg

→ →= ′

′

= ′′

- -

-

1 1

1--

-

-

1

22

1

)

=

=

RH

limx a

a x x a a x

a ax→

− −−

2 00

3 4 23

34ind.

lim( )( )

( ) ( )x

f xg x

f g→

=-

ind. , car - et -1

00

1 0 1 ==

0

1



b) lim( )( )

, ( ) ( )x

f xg x

f g→

= =

1

00

1 0 1 0ind. car et

L’équation de la tangente à la courbe de f au point 1 1, ( )f( ) est

ainsi m fftan , ( ) ( )1 1 1 3( ) = ′ = -

L’équation de la tangente à la courbe de g au point 1 1, ( )g( ) est

ainsi

lim( )( )

lim( )( )

( )( )

x x

f xg x

f xg x

fg

→ →= ′

′

= ′′

=

1 1

11

--32

RH

c)

′ =f ( ) ,2 0 car la tangente à la courbe de f au point

2 2, ( )f( ) est horizontale.

′ =g ( ) ,2 0 car la tangente à la courbe de g au point

2 2, ( )g( ) est horizontale.

lim( )( )

lim( )( )x x

f xg x

f xg x→ →

= ′′

2 2

00

ind.RH

d’où on ne peut pas évaluer lim( )( )x

f xg x→2

20. a) > f:=x->(sin(tan(x))-tan(sin(x)))/(arcsin(arctan(x))-> arctan(arcsin(x)));

> Limit(f(x),x=0)=limit(f(x),x=0);

y fx

f f

yx

y x

1

1

1

11

1 01 0

01

0 31

3 3

−−

= −−

−−

= −

= +

( ) ( ) ( )

-

y gx

g g

yx

y x

2

2

2

11

1 01 0

01

0 21

2

−−

= −−

−−

= −

=

( ) ( ) ( )

( )-

−− 2

m ggtan , ( ) ( )1 1 1 2( ) = ′ =

lim( )( )

, ( ) ( )x

f xg x

f g→

= =

2

00

2 0 2 0ind. car et

f xx x

x:

sin tan ( ) tan sin ( )

( )= →

( ) − ( )arc sin arc tan(( ) − ( )arc tan arc sin ( )x

limsin tan ( ) tan sin ( )

(x

x x

x→

( ) − ( )0 arc sin arc tan )) ( )( ) − ( ) =

arc tan arc sin x1

b) > plot(f(x),x=-1..1,y=0..3,color=orange,discont=true);

21. f x x x x( ) ( ) ( )= −[ ] −2 2 242

a) f x( ) = 1 si

1er cas : ( )x2 24 1− = (base égale à 1) x2 4 1− = ou x2 4 1− = - x2 5= ou x2 3= ainsi x x x x= = = =- - ou5 5 3 3, ,

2e cas : ( )x x2 2 0− = et ( )x2 24 0− ≠ x x2 2 0− = et x2 4 0− ≠ x x( )− =2 0 et ( )( )x x− + ≠2 2 0 x x= =0 2ou et x x≠ ≠2 2et - ainsi x = 0 d’où f x( ) = 1 pour les valeurs de x suivantes : - - et5 3 0 3 5, , ,

b) g x x xk x

x x

( ) ( ) ( )

= −[ ] ≠=

−2 2 24 22

2sisi

Si A xx

x x= −[ ]→

−lim ( ) ,( )

2

2 2 242

alors

ln lim ln ( )

ln lim (

( )A x

A x

x

x x

x

= −[ ]= −

→

−

→

2

2 2 2

2

2

4

2

2

xx x

x

xx

) ln ( ) (

limln ( )

2 2

2

2 2

2

4 0

41

− ( )

= −

⋅

→

ind. -`)

−−

=

−−

±

→

2

2 4 24

2

2

2 2

x

x xx

x

ind.-

-

`

`

lim

( )( )(22 2

2

44

22 2

2 2

2 2

2 2

x

x x

xx

x xxx

−−

=−

−−

→

)( )

lim( )

( )-

=−

−−→ →

lim( )

lim( )

x x

xx

x xx2 2

2 2

2

42 2

24-

ind..

-

-

00

82

2 2 2 22

4 0

2

2

= − −

==

→lim

( )( )

( )

x

x x xx

00

RH

RH

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

x

y

0,2 0,4 0,6 0,8 1-0,2-0,4-0,6-0,8-1

lim ( ) ( )( )

x

x xx

→

−−[ ]2

2 2 2 04 02

ind.

1



ainsi A e= =0 1

d’où a = 2 et k = 1 et nous avons

22. a) , où dom f = IR\{0, 1}

lim( )x

x xx x→ −

+ −−

= +0

3

2

2 31

` ; lim( )x

x xx x→ +

+ −−

=0

3

2

2 31

-`

d’où la droite d’équation x = 0 est une asymptote verticale.

lim limx x

x xx x x

xx x→ →− −

+ −− +

= +− +1

3

3 2 1

2

2

2 32

6 13 4 1

==+ −

− += +

−→ →+ +

-`

lim limx x

x xx x x

xx1

3

3 2 1

2

2

2 32

6 13 44 1x +

= +`

RH

RH


lim limx x

x xx x x

xx x→ →

+ −− +

= +− +- -` `

2 32

6 13 4 1

3

3 2

2

2iind.

ind.---

+

+

=−

→

`

`

`

``lim

x

xx12

6 4

=

=

=

→

→

lim

limx

x

-

-

`

`

126

2

2

RH

RH

RH

De même, lim( )x

x xx x→+

+ −−

+

+`

`

`

2 31

3

2ind.

lim limx x

x xx x x

xx x→ →+ +

+ −− +

= +− +` `

2 32

6 13 4 1

3

3 2

2

2iind.

ind.

+

+

+

+

=−

→+

`

`

`

``lim

x

xx12

6 4

=

=

=

→

→

+

+

lim

limx

x

`

`

126

2

2

RH

RH

RH

d’où la droite d’équation y = 2 est une asymptote horizontale.

> with(plots): > f:=x->(2*x^3+x-3)/(x*(x-1)^2);

> ah:=plot(2,x=-5..10,color=black,linestyle=4): > av:=plot([1,y,y=-40..40],color=black,linestyle=4): > c:=plot(f(x),x=-5..10,y=-40..40,color=orange,discont=true): > display(c,ah,av);

g x x xx

x x

( ) ( ) ( )

= −[ ] ≠=

−2 2 24 21 2

2sisi

f xx xx x

( )( )

= + −−

2 31

3

2

lim( )x

x xx x→

+ −−

1

3

2

2 31

00

ind.

lim( )x

x xx x→

+ −−

-

ind.--`

`

`

2 31

3

2

f xx xx x

:( )

= → + −−

2 31

3

2

Plot1 Plot2 Plot3

\Y1=(2X^3+X-3)/

(X((X-1)^2))\Y

2=

\Y3=

\Y4=

\Y5=

\Y6=

WINDOWXmin=-4

Xmax=7

Xscl=2

Ymin=-30

Ymax=30

Yscl=10

Xres=1

GraPh

b)

Ax

Ax

x

x

x

= +

= +

→

→

+

+

lim

ln ln lim

0

0

11

11

xx

x

x

x

x

x

= +

= +

→

→

+

+

lim ln

lim ln

0

0

11

11xx

x

xx

=+

⋅ +

→ +

(ind.

i

0

11

10

( ))

limln

`

nnd.

-

+

+

=+

→ +

`

`

limx

xx

0

2

1

11

1

--1

1

11

0

1

2

0

0

x

x

A e

x

=+

== =

→ +lim

donc

RH

f (x) = 2x3 + x − 3x(x − 1)2

0

-10

-20

-30

-40

10

20

30

40

x

y

2 4 6 8 10-2-4

f xx

x

( ) ] ,= +

+11

0sur `

lim ( ) )x

x

x→ ++

+0

011

ind. ( `

Ax

Ax

x

x

x

= +

= +

→

→

+

+

lim

ln ln lim

0

0

11

11

xx

x

x

x

x

x

= +

= +

→

→

+

+

lim ln

lim ln

0

0

11

11xx

x

xx

=+

⋅ +

→ +

(ind.

i

0

11

10

( ))

limln

`

nnd.

-

+

+

=+

→ +

`

`

limx

xx

0

2

1

11

1

--1

1

11

0

1

2

0

0

x

x

A e

x

=+

== =

→ +lim

donc

1



d’où aucune asymptote verticale.

Axx

x

= +

→+

lim`

11

Par un procédé analogue au calcul précédent, nous obtenons

d’où la droite d’équation y = e est une asymptote horizontale.

> f:=x->(1+(1/x))^x;

> plot([f(x),exp(1)],x=0..40,y=0..3,color=[red,black], > linestyle=[1,4]);

Plot1 Plot2 Plot3

\Y1=e^(1)

\Y2=(1+(1/X))^X

\Y3=

\Y4=

\Y5=

\Y6=

\Y7=

WINDOWXmin=0

Xmax=40

Xscl=10

Ymin=0

Ymax=3

Yscl=.5

Xres=1

GraPh

Ax

Ax

x

x

x

= +

= +

→

→

+

+

lim

ln ln lim

0

0

11

11

xx

x

x

x

x

x

= +

= +

→

→

+

+

lim ln

lim ln

0

0

11

11xx

x

xx

=+

⋅ +

→ +

(ind.

i

0

11

10

( ))

limln

`

nnd.

-

+

+

=+

→ +

`

`

limx

xx

0

2

1

11

1

--1

1

11

0

1

2

0

0

x

x

A e

x

=+

== =

→ +lim

donc

lim ( )x

x

x→+

++

`

`11

1ind.

ln limA

x

A e

x=

+

==

→+ `

1

11

1donc

f xx

x

:= → +

1

1

f (x) = (1 + )x1

x

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

x

y

10 20 30 40

( )

c) f xx

e xe xx x( ) =

− − −2 2, où dom f = IR\{0}

lim lim

lim

x x x x x x

x

xe xe x e xe→ →− −− − −

=− −

=0 02 2

11

-`

→→ →+ +− − −=

− −=

0 3 02 21

1x

x xe x e xex x x xlim -`

RH

RH


En évaluant lim ,x

xxe→-`

qui est une indétermination

de la forme ( )-` ⋅ 0, nous obtenons

lim lim

lim

x

x

x x

x

xex

e→ →

→

=

=

+- - -

-

ind.-

` `

`

`

`̀

1

0- -e x

=

RH

ainsi

donc

lim lim

x x x x x x

xe xe x e xe→ →− − −

=− −

=- -

- (car` `2 2

11

1 llim )x

xxe→

=-`

0

RH

d’où la droite d’équation y = -1 est une asymptote horizontale.

Évaluons

lim ( ) lim

x

x x

x

xx x

e xe x e xxe e→ →+ +

− − − = − − −` `

2 2 22

=

=

=

→+

+ ⋅

-

car

et - -

`

` ` `

`lim

( )

x x

xe

0

lim ( ) limx

x x

x

xx x

e xe x e xxe e→ →+ +

− − − = − − −` `

2 2 22

=

=

=

→+

+ ⋅

-

car

et - -

`

` ` `

`lim

( )

x x

xe

0

donc

lim lim

lim

x x x x x x

x

xe xe x e xe→ →

→

+ +

+

− − −=

− −

=

` `2 21

1

`̀

1

11

0

e xe

xx

− −

=

RH

d’où la droite d’équation y = 0 est une asymptote horizontale.

> with(plots): > f:=x->x/(2*exp(x)-x*exp(x)-x-2);

> ah:=plot(-1,x=-10..5,color=black,linestyle=4): > c:=plot(f(x),x=-10..5,y=-20..0,color=orange): > display(c,ah);

limx x x

xe xe x→ − − −

0 2 2

00

ind.

lim ( )x

x xe xe x→

− − − = +-`

`2 2

limx x x

xe xe x→ − − −

+-

ind.-

`

`

`2 2

lim ( ) ( )x

x xe xe x→+

− − − −+`

` `2 2 ind.

limx x x

xe xe x→+ − − −

+

`

`

`2 2ind.

-

f xx

e xe xx x:= →

− − −2 2

1



Plot1 Plot2 Plot3

\Y1=X/(2e^(X)-Xe^

(X)-X-2)\Y

2=-1\Y

3=

\Y4=

\Y5=

\Y6=

WINDOWXmin=-10

Xmax=4

Xscl=2

Ymin=20

Ymax=1

Yscl=2

Xres=1

GraPh

23. a)

b) lim ( ) lim,

,t t

t

tN t

t et e→ →+ +

= ++ +` `

3 24005

0 36

2 0 36iind.

+

+

`

`

`

= ++→+

lim,

,

t

tet e3 864

2 0 36

0 36

0,,

,lim

,,

36

0 36311 042 0

t

t

te

ind.+

+

`

`

`

=+→+ 11296

111 9744

0 36

0

e

e

t

t

,

lim,

ind.+

+

`

`

`

=→+

,,

,,

lim,

,

36

0 360 046 656

111 97440 046 656

t

t

t

e

=→+ `

== 2400, d’où 2400 truites

RH

RH

RH

c) A.H. : y = 2400

> with(plots): > Q:=(3*t+2400*exp(0.36*t))/(t^2+5+exp(0.36*t));

> c:=plot(Q(t),t=0..36,y=0..2500,color=orange): > h:=plot(2400,t=0..36,color=black,linestyle=4): > display(c,h);

0-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-18

-20

y

x-2 2 4-6 -4-8-10

Nee

( )00 24005 02400

6400

0

0= +

+ +

= = , d’où 400 truites

Qt et e

t

t:

( . )

( . )= +

+ +3 2400

5

0 36

2 0 36

Q (t) = 3t + 2400e0,36t

5 + t2 + e0,36t

0

500

1000

1500

2000

2500

t

y

105 15 20 25 30 35

y � 2400

Plot1 Plot2 Plot3

\Y1=2400

\Y2=(3X+2400e^

(.36X))/(5+X2+e^ (.36X))\Y

3=

\Y4=

\Y5=

WINDOWXmin=0

Xmax=35

Xscl=5

Ymin=0

Ymax=2500

Yscl=500

Xres=1

GraPh

24. x y2 2 3 24+ = ,a) Calculons d’abord y ′.

Déterminons les coordonnées du point M1(1,7 ; b) où

b > 0 si x = 1,7

1

x 2 + y 2 = 3,24

lignearrière

80 m

k1

L : lanceur

L(0, 0)

M1(1, 7 ; �0,35)�

( ) ( , )x yx yy

dydx

x

y

2 2 3 242 2 0

+ ′ = ′+ ′ =

= -

( , ) ,,

, , ,

1 7 3 240 35

0 35

2 2

2

+ === =±

yyy b0 35 donc

dydx ( , ; )1 7 0,35

-1,7

0,35=

tan ,,θ θ1 17= =

1,7

0,35ainsi Arc tan

1

0,35k1

180= sinθ

1



ainsi l k= + = +1 0 35 75 5 0 591, , ,

d’où l ≈ 76 15, mètres

b) Déterminons les coordonnées du point M(1,75 ; b), où b > 0 si x = 1,75

lignearrière

80 k2

l

L : lanceur

M2(1, 75 ; -�0,1775)

2�

ainsi l k= − = −2 0 1775 77 7 0 421, , ,

d’où l ≈ 77 36, mètres

25. Démontrons, par l’absurde, que f possède au plus une valeur fixe.

Supposons que f possède deux valeurs fixes distinctes, a et b, c’est-à-dire f a a f b b( ) ( )= =et .

En appliquant le théorème de Lagrange à f sur [a, b], ∃ c ∈ ]a, b[ tel que

ce qui contredit l’hypothèse.D’où f possède au plus une valeur fixe.

k1 807

75 5=

=sin,

,Arc tan1

0,35

( , ) ,,

, , ,

1 75 3 240 1775

0 1775 0

2 2

2

+ === =±

yyy bdonc - 11775

( , ) ,,

, , ,

1 75 3 240 1775

0 1775 0

2 2

2

+ === =±

yyy bdonc - 11775

dydx 1 75 0 1775

1 75

0 1775, ; ,

,

,-

-

-( )=

tan,

,

,

,θ θ2 2

1 75

0 1775

75

0 1775= =, ainsi Arc tan

1

k2280

= sinθ

k2 8075

0 177577 7=

=sin,

,,Arc tan

1

′ = −−

= −−

= =

f cf b f a

b ab ab a

f b b f a a

( )( ) ( )

( ( ) ( )car et ))

= 1

26. a) Démontrons, par l’absurde, que f a au plus (k + 1) zéros distincts.

Supposons que f a (k + 2) zéros distincts : z1, z

2, z

3, …,

zk+2

.

En appliquant le théorème de Rolle à f sur chaque intervalle [z

1, z

2], [z

2, z

3], …, [z

k+1, z

k+2],

alors

∃ c1 ∈ ]z

1, z

2[ tel que f ′(c

1) = 0

∃ c2 ∈ ]z

2, z

3[ tel que f ′(c

2) = 0

∃ ck+1

∈ ]zk+1

, zk+2

[ tel que f ′(ck+1

) = 0 ; donc f ′ possède (k + 1) zéros distincts, ce qui contredit

l’hypothèse.

D’où f a au plus (k + 1) zéros distincts.

b) Puisque f ′ a k zéros distincts, alors f ′′ a au plus (k + 1) zéros distincts (par a)) d’où f a au plus (k + 2) zéros distincts (par a))

c) Puisque f (n) a k zéros distincts, alors f (n−1) a au plus (k + 1) zéros distincts (par a)) f (n−2) a au plus (k + 2) zéros distincts (par a))

d’où f a au plus (k + n) zéros distincts (par a))

Solutionnaire Exercices récapitulatifs - mapage.clg.qc.camapage.clg.qc.ca/michelmilot/a11/corrige...

Documents

Transcript of Solutionnaire Exercices récapitulatifs - mapage.clg.qc.camapage.clg.qc.ca/michelmilot/a11/corrige...