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SOLUÇÕES

180.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços, e os pontos AA e BB, pelassuas projecções, em função dos dados – o plano ! é ortogonal ao "1/3, pelo que osseus traços são simétricos em relação ao eixo XX. O ponto AA é um ponto de hh!, que éuma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. A recta hh, horizontal (de nível),com 3 cm de cota e pertencente ao plano, foi a recta a que se recorreu para determinaras projecções do ponto BB. O plano ! não é paralelo a nenhum dos planos de projecção,pelo que o triângulo [AABBCC] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projec-ção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto AAé um ponto do Plano Horizontal de Projecção, no sentido de uma maior economia detraçados optou-se por rebater o plano ! para o Plano Horizontal de Projecção (a char-neira é hh! – hh! # ee11 # hh!rr), pelo que se tem imediatamente AArr # AA11, pois AA é um ponto dacharneira. Para rebater o plano ! há que rebater o seu traço frontal, o que se processarebatendo um dos seus pontos – o ponto FF (traço frontal da recta hh), por exemplo. Paratal conduziu-se, por FF, o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebati-mento (note que se omitiu a representação do plano mas que este corresponde à per-pendicular à charneira que passa por FF11). Os traços do plano ! são concorrentes numponto fixo (um ponto do eixo XX, que é um ponto da charneira) – com o recurso ao com-passo, fazendo centro nesse ponto e raio até FF22, transportou-se essa distância até à per-pendicular à charneira que passa por FF11 e obteve-se FFrr. O traço frontal do plano ! emrebatimento (ff!rr) passa por FFrr e é concorrente com hh!rr no eixo XX (ff!rr está definido pordois pontos). A recta hhrr passa por FFrr e é paralela a hh!rr (rectas horizontais de um planosão paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento) – hhrr está definidapor um ponto e uma direcção. Por BB11 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contémo arco do rebatimento de BB) e determinou-se BBrr sobre hhrr (BB é um ponto de hh, pelo que BBrr tem de se situar sobre hhrr). A partir de AArr e BBrr, cons-truiu-se o triângulo [AABBCC] em V.G., em rebatimento, determinando-se CCrr. Para determinar as projecções do triângulo, inverteu-se o rebatimentodo plano !, invertendo o rebatimento de CC. Para tal conduziu-se, em rebatimento, uma recta pelo ponto CC – a recta ff, frontal (de frente). A recta ffrrpassa por CCrr e é paralela a ff!rr (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, o que se verifica no espa-ço, em projecções e em rebatimento). A recta ffrr é concorrente com hh!rr em HHrr – HH é o traço horizontal de ff e é um ponto da charneira, pelo que sedeterminaram imediatamente as projecções de HH (HH11 # HHrr e HH22 está no eixo XX). Pelas projecções de HH conduziram-se as projecções homónimasde ff (que é paralela a ff!). Em seguida conduziu-se, por CCrr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira quecontém o arco do rebatimento de CC) – o ponto em que esta intersecta ff11 é CC11. CC22 situa-se sobre ff22, na linha de chamada de CC11. A partir das pro-jecções de CC, construíram-se as projecções do triângulo [AABBCC].

181.Em primeiro lugar representou-se o plano $, pelos seus traços, e ospontos AA e OO, pelas suas projecções, em função dos dados. O pon-to AA é um ponto de ff$, que é uma recta frontal (de frente) do planocom afastamento nulo. A recta ff, frontal (de frente), com 3 cm deafastamento e pertencente ao plano, foi a recta a que se recorreupara determinar as projecções do ponto OO. O plano $ não é paraleloa nenhum dos planos de projecção, pelo que o quadrado [AABBCCDD]não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – énecessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vezque o ponto AA é um ponto do Plano Frontal de Projecção, no sentidode uma maior economia de traçados optou-se por rebater o plano $para o Plano Frontal de Projecção (a charneira é ff$ – ff$ # ee22 # ff$rr),pelo que se tem imediatamente AArr # AA22, pois AA é um ponto da char-neira. Para rebater o plano $ há que rebater o seu traço horizontal,o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto HH(traço horizontal da recta ff), por exemplo. Para tal conduziu-se, por HH,o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento(note que se omitiu a representação do plano mas que este corres-ponde à perpendicular à charneira que passa por HH22). Os traços doplano $ são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo XX, queé um ponto da charneira) – com o recurso ao compasso, fazendocentro nesse ponto e raio até HH11, transportou-se essa distância até àperpendicular à charneira que passa por HH22 e obteve-se HHrr. O traçohorizontal do plano $ em rebatimento (hh$rr) passa por HHrr e é

REPRESENTAÇÃO DE FIGURAS PLANAS III

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SOLUÇÕES

concorrente com ff!rr no eixo XX (hh!rr está definido por dois pontos). A recta ffrr passa por HHrr e é paralela a ff!rr (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento) – ffrr está definida por umponto e uma direcção. Por OO22 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém oarco do rebatimento de OO) e determinou-se OOrr sobre ffrr (OO é um ponto de ff, pelo que OOrr tem de se situar sobre ffrr). Com centro em OOrr e raio atéAArr desenhou-se a circunferência circunscrita ao quadrado e construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. Para determinar as projecçõesdo quadrado, inverteu-se o rebatimento do plano !, invertendo o rebatimento de BB, CC e DD. Para inverter o rebatimento de CC conduziu-se, emrebatimento, uma recta por CC – a recta hh, horizontal (de nível). A recta hhrr passa por CCrr e é paralela a hh!rr (rectas horizontais de um plano sãoparalelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento). A recta hhrr é con-corrente com ff!rr em FFrr – FF é o traço frontal de hh e é um ponto da charneira, pelo que se determinaram imediatamente as projecções de FF(FF22 " FFrr e FF11 está no eixo XX). Pelas projecções de FF conduziram-se as projecções homónimas de hh (que é paralela a hh!). Em seguida condu-ziu-se, por CCrr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de CC) – oponto em que esta intersecta hh22 é CC22. CC11 situa-se sobre hh11, na linha de chamada de CC22. Para inverter o rebatimento de BB e DD conduziu-se, emrebatimento, uma recta pelos dois pontos – a recta rr. A recta rrrr passa por BBrr e DDrr e é concorrente com hh!rr em HH’’rr (HH’’ é o traço horizontal de rr)e é concorrente com ff!rr em FF’’rr (FF’’ é o traço frontal de rr e é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram imediata-mente – FF’’22 " FF’’rr e FF’’11 está no eixo XX). Por HH’’rr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneiraque contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se HH’’22 no eixo XX – HH’’11 situa-se sobre hh!. Pelas projecções de FF’’ e HH’’ conduziram-se asprojecções homónimas da recta rr. Por BBrr e DDrr conduziram-se perpendiculares à charneira (que correspondem aos planos ortogonais à char-neira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) e determinaram-se as projecções de BB e DD, sobre as projecções homónimas da rectarr. A partir das projecções de BB, CC e DD, construíram-se as projecções do quadrado [AABBCCDD]. Note que a inversão do rebatimento de BB e DD sepoderia ter processado, por exemplo, com o recurso a rectas horizontais (de nível) do plano, à semelhança do efectuado para inverter o reba-timento do vértice CC. Tal possibilidade resultaria, no entanto, na necessidade de se ter de recorrer a duas rectas para inverter o rebatimento(uma recta por ponto) o que, na situação apresentada, se evitou, pois a recta rr contém os dois pontos.

182.Em primeiro lugar representou-se o plano µ, pelos seus traços, e o pontoOO, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta hh, horizontal (de nível), com 3 cm de cota e pertencente ao plano, foi a recta a que serecorreu para determinar as projecções do ponto OO. O plano µ não é para-lelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o pentágono não seprojecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano µpara o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hhµ – hhµ " ee11 " hhµrr).Para rebater o plano µ há que rebater o seu traço frontal, o que se processarebatendo um dos seus pontos – o ponto FF (traço frontal da recta hh), porexemplo. Para tal conduziu-se, por FF, o plano ortogonal à charneira quecontém o arco do seu rebatimento (note que se omitiu a representação doplano mas que este corresponde à perpendicular à charneira que passapor FF11). Os traços do plano µ são concorrentes num ponto fixo (um pontodo eixo XX, que é um ponto da charneira) – com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até FF22, transportou-se essa distância atéà perpendicular à charneira que passa por FF11 e obteve-se FFrr. O traço frontaldo plano µ em rebatimento (ffµrr) passa por FFrr e é concorrente com hhµrr noeixo XX (ffµrr está definido por dois pontos). A recta hhrr passa por FFrr e é para-lela a hhµrr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelasao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebatimento)– hhrr está definida por um ponto e uma direcção. Por OO11 conduziu-se umaperpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneiraque contém o arco do rebatimento de OO) e determinou-se OOrr sobre hhrr (OO éum ponto de hh, pelo que OOrr tem de se situar sobre hhrr). Uma vez que umdos vértices do polígono tem cota nula (situa-se sobre hhµ) e o seu lado de maior cota é horizontal (paralelo a hhµ), infere-se que a circunferênciacircunscrita ao pentágono é tangente a hhµ. Assim, com centro em OOrr desenhou-se uma circunferência tangente a hhµrr – um dos vértices do polí-gono (o vértice AA, por exemplo) é o ponto de tangência da circunferência com hhµrr. Em seguida, construiu-se o pentágono em V.G., em rebati-mento. Para determinar as projecções do pentágono inverteu-se o rebatimento. AA é um ponto da charneira, pelo que se tem imediatamente AArr " AA11 – AA22 situa-se no eixo XX. Para inverter o rebatimento de CC e DD conduziu-se, em rebatimento, uma recta pelos dois pontos – a recta hh’’, horizontal (de nível). A recta hh’’rr passa por CCrr e DDrr e é paralela a hhµrr e a hhrr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas aotraço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebatimento). A recta hh’’rr é concorrente com ffµrr em FF’’rr – FF’’ é o traço frontal de hh’’. PorFF’’rr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se FF’’11 no eixo XX – FF’’22 situa-se sobre ffµ. Pelas projecções de FF’’ conduziram-se as projecções homónimas de hh’’ (que é paralela a hhµe a hh). Em seguida, por CCrr e DDrr conduziram-se perpendiculares à charneira (que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêmos respectivos arcos do rebatimento) e determinaram-se as projecções de CC e DD, sobre as projecções homónimas da recta hh’’. O processo repetiu-se para os pontos BB e EE. A recta hh’’’’ é a recta horizontal (de nível) a que se recorreu para inverter o rebatimento dos dois pontos, e FF’’’’ éo seu traço frontal. A partir das projecções dos cinco pontos desenharam-se as projecções da figura. Note que a inversão do rebatimento de BB,CC, DD e EE se poderia ter processado, por exemplo, com o recurso a rectas frontais (de frente) do plano, conforme exposto no relatório do exercí-cio 118800. Tal possibilidade resultaria, no entanto, na necessidade de se ter de recorrer a quatro rectas para inverter o rebatimento (uma recta porponto) o que, na situação apresentada, se evitou, pois cada recta contém dois pontos.

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SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços, e ospontos AA e CC, pelas suas projecções, em função dos dados – o plano !é ortogonal ao "1/3, pelo que os seus traços são simétricos em relação aoeixo XX. A recta ff, frontal (de frente), com 2 cm de afastamento e pertencenteao plano, foi a recta a que se recorreu para determinar as projecções doponto AA. A recta ff’’, frontal (de frente), com 5 cm de afastamento e perten-cente ao plano, foi a recta a que se recorreu para determinar as projec-ções do ponto CC. O plano ! não é paralelo a nenhum dos planos deprojecção, pelo que o quadrado [AABBCCDD] não se projecta em V.G. em ne-nhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processogeométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano ! para o Plano Horizontalde Projecção (a charneira é hh! – hh! # ee11 # hh!rr). Para rebater o plano ! háque rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seuspontos – o ponto PP (PP é um ponto qualquer de ff!, escolhido aleatoriamente,para rebater ff!). Para tal conduziu-se, por PP11, uma perpendicular à char-neira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arcodo seu rebatimento). Os traços do plano ! são concorrentes no ponto MM,que é fixo (é um ponto da charneira) – com o recurso ao compasso, fazen-do centro em MM e raio até PP22, transportou-se MM!22!PP!22! para a perpendicular àcharneira que passa por PP11 e obteve-se PPrr. O traço frontal do plano ! emrebatimento (ff!rr) passa por PPrr e é concorrente com hh!rr no ponto MMrr(ff!rr está definido por dois pontos). Para rebater o ponto AA, é necessário re-bater uma recta a que o ponto pertença – a recta ff, por exemplo. HH, o tra-ço horizontal de ff é um ponto da charneira, pelo que é fixo – HHrr # HH11. A recta ff em rebatimento, ffrr, passa por HHrr e é paralela a ff!rr (rectas frontaisde um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, noespaço, em projecções e em rebatimento) – ffrr está definida por um ponto

e uma direcção. Por AA11 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco dorebatimento de AA) e determinou-se AArr sobre ffrr (AA é um ponto de ff, pelo que AArr tem de se situar sobre ffrr). O processo repetiu-se em relação àrecta ff’’ (a recta que contém o ponto CC), obtendo-se CCrr sobre ff’’rr (HH’’ é o traço horizontal da recta ff’’). A partir de AArr e CCrr construiu-se o quadrado

183.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços, e opontos PP, pelas suas projecções, em função dos dados. O ponto PP éum ponto de hh!, que é uma recta horizontal (de nível) do plano comcota nula. Note que o ângulo dado (o ângulo que o lado [PPQQ] do qua-drado faz com o traço horizontal do plano) é um âânngguulloo rreeaall e não umângulo em projecções – esse ângulo existe nnoo eessppaaççoo ou, mais preci-samente, está contido nnoo ppllaannoo ! e não é possível representá-lo direc-tamente em projecções. O plano ! não é paralelo a nenhum dosplanos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processogeométrico auxiliar. Uma vez que o ponto PP é um ponto do Plano Hori-zontal de Projecção, no sentido de uma maior economia de traçadosoptou-se por rebater o plano ! para o Plano Horizontal de Projecção (acharneira é hh! – hh! # ee11 # hh!rr), pelo que se tem imediatamente PPrr # PP11,pois PP é um ponto da charneira. Para rebater o plano ! há que rebatero seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos –o ponto AA (AA é um ponto qualquer de ff!, escolhido aleatoriamente,para rebater ff!). Para tal conduziu-se, por AA11, uma perpendicular àcharneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contémo arco do seu rebatimento). Os traços do plano ! são concorrentesnum ponto fixo (um ponto do eixo XX, que é um ponto da charneira) –com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até AA22, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira quepassa por AA11 e obteve-se AArr. O traço frontal do plano ! em rebatimento (ff!rr) passa por AArr e é concorrente com hh!rr no eixo XX (ff!rr está definidopor dois pontos). EEmm rreebbaattiimmeennttoo, a partir de PPrr, mediu-se o ângulo dado (o ângulo que o lado [PPQQ] faz com hh! – 30°) e determinou-se QQrrsobre ff!rr (o ponto QQ tem afastamento nulo, pelo que é um ponto de ff!). A partir de PPrr e QQrr construiu-se o quadrado em VG., em rebatimento,obtendo RRrr e SSrr. Para inverter o rebatimento de SS conduziu-se, em rebatimento, uma recta por SSrr – a recta ff, frontal (de frente). A recta ffrr pas-sa por SSrr e é paralela a ff!rr (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, no espaço, em projecçõese em rebatimento). A recta ffrr é concorrente com hh!rr em HHrr – HH é o traço horizontal de ff. HH é um ponto da charneira, pelo que as suas projec-ções se determinam imediatamente – HH11 # HHrr e HH22 situa-se no eixo XX. Pelas projecções de HH conduziram-se as projecções homónimas de ff(que é paralela a ff!). Em seguida, por SSrr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira quecontém os arcos do seu rebatimento) e determinaram-se as projecções de SS sobre as projecções homónimas da recta ff O processo repetiu--se para o ponto RR. A recta ff é a recta frontal (de frente) a que se recorreu para inverter o rebatimento de RR e HH’’ é o seu traço horizontal. A partir das projecções dos quatro pontos, desenharam-se as projecções do quadrado.


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SOLUÇÕES

em VG., em rebatimento, obtendo BBrr e DDrr. Para inverter o rebatimento de DD conduziu-se, em rebatimento, uma recta por DDrr – a recta rr (note quea recta rr é a recta suporte do lado [CCDD] do quadrado). A recta rrrr passa por CCrr e DDrr e é concorrente com ff!rr em FFrr (FF é o traço frontal de rr) e éconcorrente com hh!rr em HH’’’’rr (HH’’’’ é o traço horizontal de rr e é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram imediata-mente – HH’’’’11 " HH’’’’rr e HH’’’’22 está no eixo XX). Por FFrr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneiraque contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se FF11 no eixo XX – FF22 situa-se sobre ff!. Pelas projecções de FF e HH’’’’ conduziram-se as pro-jecções homónimas da recta rr (note que as projecções de rr têm nneecceessssaarriiaammeennttee de passar pelas projecções homónimas do ponto CC, pois CCé um ponto da recta rr). Por DDrr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arcodo seu rebatimento) e determinaram-se as projecções de DD, sobre as projecções homónimas da recta rr. Para inverter o rebatimento de BB con-duziu-se, em rebatimento, uma recta por BBrr – a recta ss (note que a recta ss é a recta suporte do lado [AABB] do quadrado e é paralela à recta rr). Arecta rrrr passa por AArr e BBrr e é paralela à recta rrrr (o paralelismo verifica-se no espaço, em projecções e em rebatimento). As projecções da rectass determinam-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas do ponto AA (que é um ponto da recta ss) e são paralelas às projecçõeshomónimas da recta rr (as duas rectas são paralelas). Por BBrr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonalà charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinaram-se as projecções de BB, sobre as projecções homónimas da recta ss. A partirdas projecções dos quatro vértices do polígono, desenharam-se as suas projecções. Note que a inversão do rebatimento de BB e DD se poderiater processado, por exemplo, com o recurso a rectas horizontais (de nível) do plano, conforme exposto no relatório do exercício 118822.

186.Em primeiro lugar representaram-se os planos # e $, pelos respectivostraços, e os pontos AA e BB, pertencentes ao plano #, pelas suas projec-ções, em função dos dados. O plano # é ortogonal ao %1/3, pelo que osseus traços são simétricos em relação ao eixo XX. O ponto AA é um pontode ff#, que é uma recta frontal (de frente) do plano com cota nula. Oponto BB é um ponto de hh#, que é uma recta horizontal (de nível) do pla-no com cota nula. O plano # não é paralelo a nenhum dos planos deprojecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométricoauxiliar. Uma vez que o ponto AA é um ponto do Plano Frontal de Projec-ção e que o ponto BB é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, aonível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento doplano # para o Plano Horizontal de Projecção ou para o Plano Frontal deProjecção. Optou-se por rebater o plano # para o Plano Horizontal deProjecção (a charneira é hh# – hh# " ee11 " hh#rr), pelo que se tem imediata-mente BBrr " BB11, pois BB é um ponto da charneira. Para rebater o plano #há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dosseus pontos – o ponto AA, que é um ponto de ff# (ver relatório do exer-cício 117755). A partir de AArr e de BBrr construiu-se o quadrado em V.G., em

Em primeiro lugar representou-se o plano #, pelos seus traços, e o ponto QQ,pelas suas projecções, em função dos dados. O plano # é ortogonal ao %2/4,pelo que tem os seus traços coincidentes. A recta hh, horizontal (de nível), com5 cm de cota e pertencente ao plano, foi a recta a que se recorreu para deter-minar as projecções do ponto QQ. O plano # não é paralelo a nenhum dos pla-nos de projecção, pelo que o hexágono não se projecta em V.G. em nenhumdos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométricoauxiliar. Optou-se por rebater o plano # para o Plano Horizontal de Projecção (acharneira é hh# – hh# " ee11 " hh#rr). Para rebater o plano # há que rebater o seu traçofrontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto FF (traçofrontal da recta hh), por exemplo. Sobre o rebatimento de FF, de ff# e de QQ, ver relatório do exercício 118822, uma vez que os dois exercícios são semelhantes.Com o compasso, fazendo centro em QQrr e com 4 cm de raio (o raio da cir-cunferência circunscrita ao hexágono é igual ao comprimento do lado do hexágono) desenhou-se a circunferência circunscrita ao polígono e cons-truiu-se o hexágono em V.G., em rebatimento. Dois dos lados do hexágonosão horizontais (de nível), pelo que são paralelos ao traço horizontal do plano(ou seja, em rebatimento são paralelos a hh#rr, pois rectas horizontais de umplano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebatimento). Para inverter o rebatimento recor-reu-se a rectas horizontais (de nível) do plano (as rectas suporte dos ladoshorizontais do hexágono) – ver exercício 118822. A partir das projecções de todos os vértices do hexágono, desenharam-se as suas projecções.


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SOLUÇÕES

rebatimento, obtendo CCrr e DDrr. Para inverter o rebatimento recorreu-se às rectas suporte de dois lados do quadrado – o lado [AABB] e o lado[CCDD]. A recta rrrr é a recta suporte do lado [AABB], em rebatimento – as projecções de rr determinaram-se imediatamente, a partir das projec-ções homónimas de AA e BB. Por CCrr e DDrr conduziu-se uma recta ssrr, que é a recta suporte do lado [CCDD] em rebatimento – ssrr é paralela a rrrr,pois os dois lados em questão são paralelos. HHrr é o ponto de concorrência de ssrr com hh!rr – HH é o traço horizontal da recta ss e é um ponto dacharneira, pelo que é fixo (HH11 " HHrr e HH22 situa-se no eixo XX). Uma vez que as rectas rr e ss são paralelas, as suas projecções homónimas sãotambém paralelas entre si – as projecções da recta ss determinaram-se imediatamente, paralelas às projecções homónimas da recta rr e pas-sando pelas projecções homónimas de HH, o seu traço horizontal (a recta ss está definida por um ponto e uma direcção). Conduzindo, por CCrre DDrr, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivosarcos do rebatimento), determinaram-se CC11 e DD11 sobre ss11 – CC22 e DD22 situam-se sobre ss22, nas respectivas linhas de chamada. A partir das pro-jecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções. Note que a inversão do rebatimento se poderia ter processadocom o recurso a rectas horizontais (de nível) do plano (à semelhança do efectuado no exercício 118822) ou com o recurso a recta frontais (defrente) do plano (à semelhança do efectuado no exercício 118800), mas tal implicaria o recurso a duas rectas para inverter o rebatimento, o quese processou com o recurso a, apenas, uma única recta, o que se traduziu em maior economia de traçados. Para determinar as projecçõesdo segmento [RRSS], o segmento resultante da intersecção do plano # com o quadrado [AABBCCDD] (que está contido no plano !), é necessáriodeterminar a recta de intersecção dos dois planos – a recta ii. A recta ii determinou-se a partir dos seus traços (trata-se do caso geral daintersecção entre planos). FF é o traço frontal da recta ii e HH’’ é o seu traço horizontal. A recta ii intersecta o lado [AADD] do quadrado no ponto RRe intersecta o lado [CCDD] do quadrado no ponto SS – o segmento [RRSS] é, assim, o segmento da recta ii que se situa no quadrado [AABBCCDD].

Em primeiro lugar representaram-se os pontos AA e BB, pelas suasprojecções, em função dos dados. Em seguida, pelas projecçõesde AA e BB conduziram-se as projecções homónimas da recta rr, arecta que passa por AA e BB, e determinaram-se os seus traços nosplanos de projecção – FF e HH. Uma vez que, de acordo com oenunciado, a recta rr é uma recta de maior inclinação do plano $,por FF (o traço frontal da recta rr) conduziu-se ff$, perpendicular a rr22– hh$ é concorrente com ff$ no eixo XX e passa por HH, o traço hori-zontal da recta rr. O plano $ não é paralelo a nenhum dos planosde projecção, pelo que é necessário o recurso a um processogeométrico auxiliar. Uma vez que FF é um ponto do Plano Frontalde Projecção e que HH é um ponto do Plano Horizontal de Projec-ção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o reba-timento do plano $ para o Plano Horizontal de Projecção ou parao Plano Frontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano $ parao Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hh$ – hh$ " ee11 " hh$rr),pelo que se tem imediatamente HHrr " HH11, pois HH é um ponto dacharneira. Para rebater o plano $ há que rebater o seu traço fron-tal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o pontoFF, que é um ponto de ff$ (ver relatório do exercício 117755). A recta rrrr(a recta rr em rebatimento) fica definida por HHrr e FFrr e o traço fron-tal do plano, em rebatimento (ff$rr) é concorrente com hh$rr no eixoXX e passa por FFrr (note que ff$rr é perpendicular a rrrr, pois rr é umarecta de maior inclinação do plano). Conduzindo, por AA11 e porBB11, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e quecorrespondem aos planos ortogonais à charneira que contêm osrespectivos arcos do rebatimento), determinaram-se AArr e BBrr so-bre rrrr. A partir de AArr e BBrr construiu-se o quadrado em V.G., em re-batimento, obtendo CCrr e DDrr. Após a construção do quadrado emrebatimento, constata-se que dois dos lados do quadrado sãoparalelos a ff$rr – este facto tem uma justificação científica, que emseguida se apresenta. Recorde que rectas de maior inclinação deum plano são perpendiculares ao traço frontal do plano (e a to-

das as rectas frontais do plano) – o lado [AABB] do quadrado está contido numa recta de maior inclinação do plano (bem como o lado [CCDD], que éparalelo a [AABB]). Uma vez que os lados [BBCC] e [AADD] do quadrado são perpendiculares aos outros dois lados (que estão contidos em rectas demaior inclinação do plano), então os lados [BBCC] e [AADD] estão nneecceessssaarriiaammeennttee contidos em rectas frontais (de frente) do plano e, por isso, sãoparalelos a ff$rr (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, no espaço, em projecção e em rebatimen-to). Assim, por AArr e DDrr conduziu-se uma recta ffrr, que é paralela a ff$rr – ff é uma recta frontal (de frente) do plano e é a recta suporte do lado [AADD]. Arecta ffrr é concorrente com hh$rr em HH’’rr – HH’’ é o traço horizontal da recta ff e é um ponto da charneira, pelo que é fixo (HH’’11 " HH’’rr e HH’’22 situa-se noeixo XX). As projecções da recta ff determinaram-se imediatamente, pois ff é paralela a ff$ (a recta ff está definida por um ponto e uma direcção).Note que as projecções da recta ff passam pelas projecções homónimas de AA, que é um ponto da recta ff. Conduzindo, por DDrr, uma perpendicu-lar à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinou-se DD11 sobre ff11 – DD22 situa-sesobre ff22, na respectiva linha de chamada. O processo repetiu-se para o ponto CC – ff’’ é a recta frontal (de frente) que é a recta suporte do lado[BBCC] e HH’’’’ é o seu traço horizontal. As projecções da recta ff’’ passam pelas projecções homónimas de BB, que é um ponto da recta ff’’. A partir dasprojecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as projecções do polígono. Note que a projecção frontal do lado [CCDD] do quadradoé perpendicular a ff$ (pois é o outro lado do quadrado que também está contido numa recta de maior inclinação do plano $).

187.

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SOLUÇÕES

188.Em primeiro lugar representaram-se os pontos AA e BB, pelas suas projecções, em fun-ção dos dados. Uma vez que AA tem afastamento nulo e BB tem cota nula, sabe-se imedia-tamente que AA é um ponto do traço frontal do plano e que BB é um ponto do traçohorizontal do plano, o que nos permitiu desenhar ff! e hh!. O triângulo não se projectaem V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano ! não é paralelo a nenhumdos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométricoauxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano. Uma vez que o ponto AA é um ponto doPlano Frontal de Projecção e que BB é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, nosentido de uma maior economia de traçados é indistinto rebater o plano ! para o PlanoFrontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se, no entanto,por rebater o plano ! para o Plano Frontal de Projecção (a charneira é ff!), pelo que setem imediatamente AArr " AA22, pois AA é um ponto da charneira. Para rebater o plano ! háque rebater o seu traço horizontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos –o ponto BB (que é um ponto de hh!). Para tal conduziu-se, por BB, o plano ortogonal àcharneira que contém o arco do seu rebatimento (que é um plano de perfil e, na pre-sente situação, é o próprio plano YYZZ). O ponto BB rebateu-se através do seu triângulo dorebatimento. OO é o ponto de intersecção do plano YYZZ com a charneira (note que não seidentificou o ponto OO) e é o centro do arco do rebatimento de BB. O triângulo do rebati-mento de BB é [OOBBBB22], que é rectângulo em BB22, e o comprimento da sua hipotenusa([OOBB]) é a distância que nos permite rebater BB. Construiu-se o triângulo do rebatimentode BB em V.G. (pelo rebatimento do plano YYZZ) – numa paralela à charneira (ou seja, nopróprio eixo XX) representou-se o afastamento de BB, obtendo BBrr11. O triângulo do rebati-mento de BB em V.G. é [OOBBrr11

BB22] (recorde que não se identificou o ponto OO, apesar dese lhe fazer referência). Com centro em OO transportou-se OO!BB!rr!11! para a perpendicular àcharneira que passa por BB22 (que é YY " ZZ), obtendo BBrr – hh!rr passa por BBrr e é paralelo aoeixo XX (e a ff!rr). A partir de AArr e BBrr construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, de-terminando CCrr. Para determinar as projecções do triângulo inverteu-se o rebatimento do plano !, invertendo o rebatimento de CC. Para tal con-duziu-se, em rebatimento, uma recta rr, do plano, passando por CC – por economia de traçados optou-se por fazer com que a recta rr seja a rectasuporte do lado [BBCC] do triângulo. Assim, a recta rr, em rebatimento (rrrr), passa por CCrr e BBrr. A recta rrrr é concorrente com ff!rr no ponto FFrr – FF é otraço frontal da recta rr. FF é um ponto da charneira (é fixo – roda sobre si próprio), pelo que se tem imediatamente FFrr " FF22 – FF11 situa-se no eixo XX.O ponto BB é o próprio traço horizontal da recta rr – as projecções da recta rr desenharam-se imediatamente, passando pelas projecções homó-nimas de FF e BB (a recta rr está definida por dois pontos). Conduzindo, por CCrr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogo-nal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de CC sobre as projecções homónimas da recta rr. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.

189.Em primeiro lugar representaram-se os pontos OO e AA, pelas suas projecções,em função dos dados. Uma vez que AA tem cota nula, sabe-se imediatamenteque AA é um ponto do traço horizontal do plano, o que nos permitiu desenhar hh!.Por OO e AA conduziu-se uma recta rr e determinou-se o seu traço frontal – FF.Por FF conduziu-se ff!, o traço frontal do plano. Note que AA é, imediatamente, otraço horizontal da recta rr. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhumdos planos de projecção, pois o plano ! não é paralelo a nenhum dos planosde projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométricoauxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano. Uma vez que o ponto AA é umponto do Plano Horizontal de Projecção, no sentido de uma maior economiade traçados optou-se por rebater o plano ! para o Plano Horizontal de Pro-jecção (a charneira é hh!), pelo que se tem imediatamente AArr " AA11, pois AA éum ponto da charneira. Para rebater o plano ! há que rebater o seu traçofrontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto FF (que éum ponto de ff!). Para tal conduziu-se, por FF, o plano ortogonal à charneiraque contém o arco do seu rebatimento (que é um plano de perfil). O ponto FFrebateu-se através do seu triângulo do rebatimento. MM é o ponto de intersec-ção da charneira com o plano ortogonal à charneira que contém o arco dorebatimento de FF (note que não se identificou o ponto MM no desenho) – MM é ocentro do arco do rebatimento de FF. O triângulo do rebatimento de FF é[MMFFFF11], que é rectângulo em FF11, e o comprimento da sua hipotenusa ([MMFF])é a distância que nos permite rebater FF. Construiu-se o triângulo do rebati-mento de FF em V.G. (pelo rebatimento do plano de perfil que contém o arcodo rebatimento de FF) – numa paralela à charneira (ou seja, no próprio eixo XX)representou-se a cota de FF, obtendo FFrr11. O triângulo do rebatimento de FF emV.G. é [MMFFrr11

FF11] (recorde que não se identificou o ponto MM, apesar de se lhe


65

SOLUÇÕES

fazer referência). Note que, devido a se ter efectuado o rebatimento do plano de perfil para a direita, FFrr11 ficou coincidente com AA22, mas quetal não se verificaria caso se tivesse rebatido o plano de perfil para a esquerda. Com centro em MM transportou-se MM!FF!rr!11! para a perpendicularà charneira que passa por FF11 (que é o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de FF), obtendo FFrr – ff!rr passa por FFrr eé paralelo ao eixo XX (e a hh!rr). Por FFrr e AArr conduziu-se uma recta, que é rrrr – a recta rr em rebatimento. Por OO11 conduziu-se uma perpendicularà charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de OO) e determinou-se OOrr sobre rrrr (OO é umponto de rr, pelo que OOrr se situa sobre rrrr). Com o compasso, fazendo centro em OOrr e raio até AArr, desenhou-se a circunferência circunscritaao quadrado em V.G., em rebatimento, e construiu-se o polígono, inscrito na circunferência, em rebatimento. Note que o vértice CCrr, do qua-drado em rebatimento, se situa sobre a recta rrrr (a recta rr é a recta suporte de uma diagonal do quadrado). Para inverter o rebatimento de CCconduziu-se, por CCrr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento)– o ponto em que esta intersecta rr11 é a projecção horizontal de CC (CC11), o que nos permitiu determinar CC22, em seguida, sobre rr22. Para invertero rebatimento de BB e DD conduziu-se, em rebatimento, uma recta ss, do plano, passando pelos dois pontos – a recta ss é a recta suporte dadiagonal [BBDD] do quadrado. Assim, a recta ss, em rebatimento (ssrr), passa por BBrr e DDrr – uma vez que ss é a recta suporte da diagonal [BBDD], ve-rifica-se que ssrr passa por OOrr. A recta ssrr é concorrente com hh!rr no ponto HH’’rr – HH’’ é o traço horizontal da recta ss. HH’’ é um ponto da charneira(é fixo – roda sobre si próprio), pelo que se tem imediatamente HH’’rr " HH’’11 – HH’’22 situa-se no eixo XX. A recta ssrr é concorrente com ff!rr no pontoFF’’rr – FF’’ é o traço frontal da recta ss. Para determinar as projecções de FF’’ conduziu-se, por FF’’rr, uma perpendicular à charneira (que correspondeao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se FF’’11 sobre o eixo XX – FF’’22 determinou-se em seguida,sobre ff! (FF’’ é um ponto de ff!). A partir das projecções de HH’’ e de FF’’ desenharam-se as projecções da recta ss (note que as projecções darecta ss passam nneecceessssaarriiaammeennttee pelas projecções homónimas de OO). Conduzindo, por BBrr e DDrr, as perpendiculares à charneira que poreles passam (que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) determinaram-se asprojecções de BB e DD sobre as projecções homónimas da recta ss. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-seas suas projecções.

190.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços, e o pon-to PP, pelas suas projecções, em função dos dados. O ponto PP é umponto de hh!, que é uma recta horizontal (fronto-horizontal) do plano comcota nula. Note que o ângulo dado (o ângulo que o lado [PPQQ] do qua-drado faz com o traço horizontal do plano) é um âânngguulloo rreeaall e não umângulo em projecções – esse ângulo existe nnoo eessppaaççoo ou, mais precisa-mente, está contido nnoo ppllaannoo ! e não é possível representá-lo directa-mente em projecções. O plano ! não é paralelo a nenhum dos planosde projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométricoauxiliar. Uma vez que o ponto PP é um ponto do Plano Horizontal de Pro-jecção, no sentido de uma maior economia de traçados optou-se porrebater o plano ! para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hh!– hh! " ee11 " hh!rr), pelo que se tem imediatamente PPrr " PP11, pois PP é umponto da charneira. Para rebater o plano ! há que rebater o seu traçofrontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto AA(AA é um ponto qualquer de ff!, escolhido aleatoriamente, para rebater ff!).O ponto AA rebateu-se conforme exposto no relatório do exercício anteriorpara o rebatimento de FF. Por AArr conduziu-se ff!rr, paralelo a hh!rr (e ao eixoXX). EEmm rreebbaattiimmeennttoo, a partir de PPrr, mediu-se o ângulo dado (o ânguloque o lado [PPQQ] faz com hh! – 30°) e determinou-se QQrr, a 4 cm de PPrr. Apartir de PPrr e QQrr construiu-se o quadrado em VG., em rebatimento, ob-tendo RRrr e SSrr. Para inverter o rebatimento, recorreu-se a duas rectas doplano – as rectas rr e ss, que são as rectas suporte de dois lados do qua-drado. A recta rrrr é, em rebatimento, a recta suporte do lado [PPSS] – FFrr é oponto de concorrência entre rrrr e ff!rr (FF é o traço frontal da recta rr). Asprojecções de FF determinaram-se conduzindo, por FFrr, uma perpen-dicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneiraque contém o arco do seu rebatimento) – FF11 situa-se no eixo XX e FF22 situa-se sobre ff!. As projecções da recta rr determinam-se imediatamente,a partir das projecções homónimas de FF e de PP (PP é o traço horizontal da recta rr). Para determinar as projecções do ponto SS conduziu-se,por SSrr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) – as projec-ções de SS estão sobre as projecções homónimas da recta rr (o ponto SS é um ponto da recta rr). A recta ssrr é, em rebatimento, a recta suportedo lado [QQRR] – as rectas rrrr e ssrr são paralelas entre si. HH’’rr é o ponto de concorrência da recta ssrr com hh!rr – HH’’ é o traço horizontal da recta ss eé um ponto da charneira, pelo que é fixo (roda sobre si próprio), pelo que se tem imediatamente HH’’11 " HH’’rr e HH’’22 situa-se no eixo XX. FF’’rr é oponto de concorrência entre ssrr e ff!rr (FF’’ é o traço frontal da recta ss). As projecções de FF’’ determinaram-se de forma semelhante à expostapara o ponto FF. As projecções da recta ss determinam-se imediatamente, a partir das projecções homónimas de FF’’ e de HH’’. Para determinaras projecções dos pontos QQ e RR conduziram-se, por QQrr e por RRrr, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondemaos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) – as projecções de QQ e RR estão sobre as projecçõeshomónimas da recta ss (QQ e RR são dois pontos da recta ss). A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suasprojecções. Note que o ponto FF’’ não é fundamental para a determinação das projecções da recta ss, pois esta poderia estar definida por umponto (HH’’ o seu traço horizontal) e por uma direcção (a direcção da recta rr, pois as duas rectas são paralelas).

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SOLUÇÕES

Um plano de rampa paralelo ao !2/4 é nneecceessssaarriiaammeennttee ortogonal ao !1/3,pelo que o plano " tem os seus traços simétricos em relação ao eixo XX. Combase no raciocínio acima apresentado, em primeiro lugar representou-se o pla-no ", pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida constatou-se quenão é dada a medida do lado da figura. No entanto, sendo dado que o lado[AABB] pertence ao Plano Frontal de Projecção, sabe-se imediatamente que[AABB] tem afastamento nulo, pelo que AA e BB são dois pontos de ff". Por outrolado, uma vez que o lado [DDEE] pertence ao Plano Horizontal de Projecção,sabe-se imediatamente que [DDEE] tem cota nula, pelo que DD e EE são dois pon-tos de hh". Por outro lado, ainda, sabendo que as diagonais [AAEE] e [BBDD] são deperfil, é possível, de forma imediata, representar os pontos AA e EE pelas respec-tivas projec-ções, pois os dois pontos têm a mesma abcissa – não é possívelrepresentar os pontos BB e DD, pois não é conhecida a medida do lado do hexá-gono. O plano " não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que énecessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o pontoAA é um ponto do Plano Frontal de Projecção e o ponto EE é um ponto do PlanoHorizontal de Projecção, no sentido de uma maior economia de traçados é in-distinto rebater o plano " para o Plano Frontal de Projecção ou para o PlanoHorizontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano " para o Plano Horizon-tal de Projecção (a charneira é hh" – hh" # ee11 # hh"rr), pelo que se tem imediata-mente EErr # EE11, pois EE é um ponto da charneira. Para rebater o plano " há querebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos –o ponto AA (AA é um ponto de ff"). O ponto AA rebateu-se conforme exposto norelatório do exercício 118899 para o rebatimento de FF. Por AArr conduziu-se ff"rr, pa-ralelo a hh"rr (e ao eixo XX). Em rebatimento, já temos dois pontos do hexágonoem V.G. – AArr e EErr são dois extremos de uma das diagonais menores do hexá-

gono, pelo que a construção do hexágono requer um raciocínio particular. Esse raciocínio é que a diagonal [AAEE] do hexágono faz, com a diago-nal [AADD], um ângulo de 30o (a diagonal [AADD] contém dois vértices diametralmente opostos do hexágono e, por isso mesmo, contém o centro dafigura). Por outro lado, sabe-se que DD é um ponto de hh". Assim, a partir de AArr mediram-se 30o em V.G. e obteve-se DDrr sobre hh"rr – uma vez que adiagonal [BBDD] é de perfil e BB é um ponto de ff", a determinação de BBrr, sobre ff"rr é imediata. As diagonais [AADD] e [BBEE] bissectam-se no centro dohexágono (que é o centro da circunferência circunscrita ao hexágono), o que nos permitiu determinar OOrr (OO é o centro da figura). Com ocompasso, fazendo centro em OOrr e raio até AArr (ou até BBrr ou até DDrr ou até EErr, pois todos estes pontos estão equidistantes de OOrr), desenhou-se acircunferência circunscrita ao hexágono (a circunferência passa pelos quatro pontos). Em seguida, construiu-se o hexágono em V.G., em rebati-mento, obtendo CCrr e FFrr. Para determinar as projecções da figura, há que inverter o rebatimento, o que se processa invertendo o rebatimento decada um dos pontos. A inversão do rebatimento dos pontos DD e BB é imediata, com o recurso a uma perpendicular à charneira que contém osdois pontos (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém os respectivos arcos do rebatimento, que é o mesmo plano). DD11 # DDrr,pois DD é um ponto da charneira e DD22 situa-se no eixo XX. BB11 situa-se no eixo XX, pois BB é um ponto de ff" (tem afastamento nulo) e BB22 situa-sesobre ff". Os pontos CC e FF situam-se numa recta fronto-horizontal do plano " – essa recta é a recta gg, que passa pelo centro da figura – (OO). Assim, determinaram-se as projecções da diagonal [BBEE] (poderia ter-se recorrido à diagonal [AADD]) e por OO conduziu-se uma perpendicular àcharneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), o que nos permitiu determinar as projec-ções de OO sobre as projecções da diagonal [BBEE]. Pelas projecções de OO conduziram-se as projecções homónimas da recta gg – gg está defini-da por um ponto (o ponto OO) e uma direcção (é fronto-horizontal). Por CCrr e FFrr conduziram-se as perpendiculares à charneira que por eles passam(que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) e determinaram-se as projecções de CC eFF sobre as projecções homónimas da recta gg (recorde que CC e FF são dois pontos da recta gg). A partir das projecções dos seis vértices da figura,desenharam-se as suas projecções.

192.Em primeiro lugar representou-se o plano " pelos seus traços, em função dos da-dos. Note que não é possível, de forma imediata, determinar as projecções do pontoOO, o centro da circunferência, pois apenas se sabe que a figura é tangente ao doisplanos de projecção – OO está necessariamente equidistante dos dois traços do pla-no. Este raciocínio permitir-nos-ia determinar as projecções de OO com alguns traça-dos auxiliares, mas optou-se por determinar o ponto OO previamente emrebatimento. O plano " não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo queé necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebati-mento do plano para o Plano Horizontal de Projecção (ao nível da economia de tra-çados, é indistinto rebater o plano " para o Plano Horizontal de Projecção ou para oPlano Frontal de Projecção), pelo que a charneira é hh" – hh" # ee11 # hh"rr. Para rebater oplano " há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dosseus pontos – o ponto AA (AA é um ponto qualquer de ff", escolhido aleatoriamente,para rebater ff"). O ponto AA rebateu-se conforme exposto no relatório do exercício118899 para o rebatimento de FF. Por AArr conduziu-se ff"rr, paralelo a hh"rr (e ao eixo XX). Emrebatimento, determinou-se OOrr, equidistante de ff"rr e de hh"rr (optou-se por localizarOOrr no plano de perfil que contém AA, mas tal não é essencial – tem vantagens ape-nas ao nível da economia de traçados). Com centro em OOrr, desenhou-se a circunfe-rência em V.G., em rebatimento, tangente a ff"rr e a hh"rr (note que a circunferência é


191.

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SOLUÇÕES

tangente a ff!rr em AArr. As dduuaass pprroojjeeccççõõeess da circunferência serão eelliippsseess, cujo desenho requer, no mínimo, oito dos seus pontos, para alémdo paralelogramo envolvente e, de preferência, os seus dois eixos. Note que o diâmetro que não sofre deformação em projecção frontal é omesmo que também não sofre deformação em projecção horizontal (é o diâmetro fronto-horizontal da circunferência) – esse diâmetro é aque-le que nos dará os eixos maiores das duas elipses. Por outro lado, o diâmetro da circunferência que sofre a deformação máxima em projec-ção frontal é o mesmo que também sofre a deformação máxima em projecção horizontal (é o diâmetro de perfil da circunferência) – essediâmetro é aquele que nos dará os eixos menores das duas elipses. O eixo de homologia é a charneira, que é hh!. Assim, inscreveu-se a cir-cunferência num quadrado de lados paralelos a hh! (o quadrado [PPQQRRSS]) e desenharam-se as suas medianas e as suas diagonais (que sebissectam duas a duas em OOrr). Os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado dão-nos, imediatamente, os extremos dosdois eixos das elipses – a mediana fronto-horizontal é o diâmetro cujas projecções são os eixos maiores das duas elipses, enquanto que amediana de perfil é o diâmetro cujas projecções são os eixos menores das duas elipses. Em seguida, inverteu-se o rebatimento dos vérticesdo quadrado e determinaram-se as duas projecções da figura (o quadrado), a partir dos seus vértices – um dos lados do quadrado está con-tido em hh! e outro lado está contido em ff!. Note que as duas projecções do quadrado são rectângulos. Em seguida, desenharam-se, em pro-jecções, as medianas e das diagonais do quadrado (as diagonais e as medianas dos dois rectângulos). Os pontos em que as medianas doquadrado se apoiam nos seus lados (em projecções) são, imediatamente, quatro pontos de cada uma das elipses e são, também, os pontosde tangência das elipses aos lados do quadrado (dos rectângulos que são as projecções do quadrado). Já temos quatro pontos para o dese-nho de cada uma das elipses. Os outros quatro pontos são os pontos de intersecção da circunferência com as diagonais do quadrado – es-tes transportaram-se para as projecções das diagonais através das perpendiculares à charneira que por eles passam (que correspondem aosplanos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento). A partir dos oito pontos assim determinados, desenharam--se as duas elipses que são as projecções da circunferência pedida, atendendo às situações de tangência atrás referidas.

Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelo seu traço hori-zontal (o único que é dado, uma vez que o plano ! está definidopela sua orientação), bem como o ponto AA, pelas suas projec-ções, em função dos dados – AA é um ponto de hh!, que é umarecta horizontal (fronto-horizontal) do plano com cota nula. O pla-no ! não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo queé necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Umavez que o ponto AA é um ponto do Plano Horizontal de Projecção,no sentido de uma maior economia de traçados optou-se porrebater o plano ! para o Plano Horizontal de Projecção (a char-neira é hh! – hh! " ee11 " hh!rr), pelo que se tem imediatamente AArr " AA11,pois AA é um ponto da charneira. Note ainda que não seria possí-vel rebater o plano ! para o Plano Frontal de Projecção, pois nãoé conhecido o seu traço frontal (que seria, nessa situação, acharneira). Para rebater o plano ! há que rebater o seu traçofrontal, mesmo sem este ser conhecido. Para rebater ff! é neces-sário rebater um dos seus pontos – considerou-se um ponto PP,qualquer, pertencente a ff!. Uma vez que PP será um ponto comafastamento nulo, sabe-se imediatamente que PP11 se situa no eixoXX. No sentido de uma maior economia de traçados, optou-se porse situar o ponto PP no plano de perfil que contém AA, pelo quese tem PP11 " AA22. O plano de perfil que contém os dois pontos é oplano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimentode PP e, por conseguinte, também contém o triângulo do rebati-mento de PP. O triângulo do rebatimento de PP, nnoo eessppaaççoo, é otriângulo [AAPPPP11] (note que AA é o ponto de intersecção da char-neira com o plano de perfil que contém o triângulo, pelo que AA éo centro do arco do rebatimento de PP). O triângulo [AAPPPP11] é rec-tângulo em PP11 e a hipotenusa [AAPP] está contida numa recta deperfil (que é a recta de intersecção do plano ! com o plano de

perfil que contém o triângulo). Sabe-se que o diedro que um plano de rampa faz com o Plano Horizontal de Projecção tem a mesma amplitudeque o ângulo que as rectas de perfil do plano fazem com o Plano Horizontal de Projecção – assim, sabe-se imediatamente que a hipotenusa[AAPP] faz, com o Plano Horizontal de Projecção, um ângulo de 60o, sendo que PP se situa no SSPPFFSS. Assim, desenhou-se o triângulo do rebatimentode PP directamente em V.G., pelo rebatimento do plano de perfil – com vértice em AArr mediu-se o ângulo de 60o com hhffrr, obtendo PPrr11 no eixo XX. PPrr11é o ponto PP rebatido pelo rebatimento do plano de perfil e o triângulo [AArrPP11PPrr11] é o triângulo do rebatimento de PP em V.G. – com o compasso, fazendo centro em PP11 e raio até PPrr11 (o raio corresponde à cota de PP) inverteu-se o rebatimento do plano de perfil, obtendo PP22, pelo qual se con-duziu ff!. Para rebater o ponto PP, pelo rebatimento do plano !, com o recurso ao compasso, com centro em AArr (que é o centro do arco do rebati-mento de PP, no rebatimento do plano !) e raio até PPrr11 (a medida da hipotenusa do triângulo do rebatimento de PP, em V.G.), desenhou-se umarco até à perpendicular à charneira que passa por PP11 (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento),obtendo PPrr. Por PPrr conduziu-se ff!rr. A partir de todos os procedimentos efectuados, que consistiram em rebater o plano ! que estava definido poruma recta e pela sua orientação, passou-se à realização dos traçados necessários à determinação das projecções do quadrado [AABBCCDD]. Noteque o ângulo dado (o ângulo que o lado [AABB] do quadrado faz com o traço horizontal do plano) é um âânngguulloo rreeaall e não um ângulo em projec-ções – esse ângulo existe nnoo eessppaaççoo ou, mais precisamente, está contido nnoo ppllaannoo ! e não é possível representá-lo directamente em projecções.Esta situação é semelhante à do exercício 119900, pelo que se aconselha o acompanhamento da restante resolução com a leitura daquele relatório.

193.

195.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços (que estão coincidentes com o eixo XX) e pelas projecções do ponto PP. Paradeterminar as projecções do quadrado, há que rebater previamente o plano ! e construir o quadrado em V.G., em rebatimento, pois o polígononão se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano ! não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Na presente situa-ção, não há qualquer diferença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá rebater o plano !, no sentido de uma maior economia detraçados. Optou-se por rebater o plano ! para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hh!, que é o próprio eixo XX). Para rebater o ponto PPrecorreu-se ao seu triângulo do rebatimento. Assim, por PP conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal àcharneira que contém o arco do seu rebatimento) – OO é o centro do arco do rebatimento de PP (note que não se identificou o ponto OO, que é oponto de intersecção da charneira com o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de PP). O triângulo do rebatimento dePP é [OOPPPP11], que é rectângulo em PP11, e o comprimento da sua hipotenusa ([OOPP]) é a distância que nos permite rebater PP. Construiu-se o triân-gulo do rebatimento de PP em V.G. (pelo rebatimento do plano de perfil que contém PP, que é o plano ortogonal à charneira que contém o arco

68

SOLUÇÕES

194.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelo seu traçohorizontal (o único dado concreto, uma vez que é referidoque os traços do plano distam, entre si, 9 cm, e essa medidanão se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projec-ção), bem como o ponto AA, pelas suas projecções, em fun-ção dos dados – AA é um ponto de hh!, que é uma rectahorizontal (fronto-horizontal) do plano com cota nula. O pla-no ! não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, peloque é necessário o recurso a um processo geométrico auxi-liar. O ponto AA é um ponto do Plano Horizontal de Projecção,pelo que se rebateu o plano ! para o Plano Horizontal deProjecção (a charneira é hh! – hh! " ee11 " hh!rr) – tem-se imedia-tamente AArr " AA11, pois AA é um ponto da charneira. Note quenão seria possível rebater o plano ! para o Plano Frontal deProjecção, pois não é conhecido o seu traço frontal (que se-ria, nessa situação, a charneira). Para rebater o plano ! háque rebater o seu traço frontal, mesmo sem este ser conheci-do. Para rebater ff! é necessário rebater um dos seus pontos– considerou-se um ponto PP, qualquer, pertencente a ff!. Umavez que PP será um ponto com afastamento nulo, sabe-seimediatamente que PP11 se situa no eixo XX. No sentido de umamaior economia de traçados, optou-se por se situar o pontoPP no plano de perfil que contém AA, pelo que se tem PP11 " AA22.O plano de perfil que contém os dois pontos é o plano orto-gonal à charneira que contém o arco do rebatimento de PP e,por conseguinte, também contém o triângulo do rebatimentode PP. O triângulo do rebatimento de PP, nnoo eessppaaççoo, é o triân-gulo [AAPPPP11] (note que AA é o ponto de intersecção da char-neira com o plano de perfil que contém o triângulo, pelo queAA é o centro do arco do rebatimento de PP). O triângulo [AAPPPP11] é rectângulo em PP11 e a hipotenusa [AAPP] está contida numa recta de perfil (que é arecta de intersecção do plano ! com o plano de perfil que contém o triângulo) – [AAPP] mede 9 cm, que é a distância entre os dois traços do plano.Assim, desenhou-se o triângulo do rebatimento de PP directamente em V.G., pelo rebatimento do plano de perfil – com o recurso ao compasso,fazendo centro em AArr e com 9 cm de raio (a distância entre os dois traços do plano) determinou-se PPrr11 no eixo XX (PPrr11 está a 9 cm de AArr). PPrr11 é oponto PP rebatido pelo rebatimento do plano de perfil e o triângulo [AArrPP11PPrr11] é o triângulo do rebatimento de PP em V.G. – com o compasso, fazen-do centro em PP11 e raio até PPrr11 (o raio corresponde à cota de PP) inverteu-se o rebatimento do plano de perfil, obtendo PP22, pelo qual se conduziuff!. Para rebater o ponto PP, pelo rebatimento do plano !, com o recurso ao compasso, com centro em AArr (que é o centro do arco do rebatimentode PP, no rebatimento do plano !) e raio até PPrr11 (o raio é 9 cm, que é a medida da hipotenusa do triângulo do rebatimento de PP), desenhou-se umarco até à perpendicular à charneira que passa por PP11 (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento),obtendo PPrr. Por PPrr conduziu-se ff!rr. Note que o ângulo dado (o ângulo que o lado [AABB] do triângulo faz com o traço horizontal do plano) é um âânn--gguulloo rreeaall e não um ângulo em projecções – esse ângulo existe nnoo eessppaaççoo ou, mais precisamente, está contido nnoo ppllaannoo ! e não é possívelrepresentá-lo directamente em projecções. Esta situação é semelhante à do exercício 119900, pelo que se aconselha o acompanhamento da restan-te resolução com a leitura daquele relatório. Após a construção do triângulo [AABBCC] em V.G., em rebatimento, para determinar as projecções dafigura é necessário inverter o rebatimento, invertendo o rebatimento dos pontos BB e CC. Para tal recorreu-se a uma recta rr, que contém os doispontos – a recta rr é a recta suporte do lado [BBCC] do triângulo. A recta rrrr é, em rebatimento, a recta suporte do lado [BBCC]. HHrr é o ponto de concor-rência da recta rrrr com hh!rr – HH é o traço horizontal da recta rr e é um ponto da charneira, pelo que é fixo (roda sobre si próprio), pelo que se temimediatamente HH11 " HHrr e HH22 situa-se no eixo XX. FFrr é o ponto de concorrência entre rrrr e ff!rr (FF é o traço frontal da recta rr). As projecções de FFdeterminaram-se de forma semelhante à exposta para o ponto FF no relatório do exercício 118899. As projecções da recta rr determinam-se imediata-mente, a partir das projecções homónimas de FF e de HH. Para determinar as projecções dos pontos BB e CC conduziram-se, por BBrr e por CCrr, asperpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos dorebatimento) – as projecções de BB e CC estão sobre as projecções homónimas da recta rr (BB e CC são dois pontos da recta rr). A partir das projec-ções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.


69

SOLUÇÕES

do seu rebatimento) – numa paralela à charneira que passa por PP11representou-se a cota de PP, obtendo PPrr11. O triângulo do rebatimentode PP em V.G. é [OOPPrr11

PP11]. Com centro em OO transportou-se OO!PP!rr!11! paraa perpendicular à charneira que passa por PP11, obtendo PPrr. A partir dePPrr, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, de acordo comos dados – QQrr está no eixo XX (QQ é um ponto do eixo XX), à direita de PP,tal que PP!rr!QQ!rr! = 6 cm (que é a medida do lado do polígono). A constru-ção do quadrado em rebatimento permitiu-nos determinar também RRrre SSrr. Para determinar as projecções do quadrado, há que inverter orebatimento e determinar as projecções de QQ, RR e SS. QQ é um pontoda charneira (roda sobre si próprio, pelo que é fixo), pelo que as suasprojecções se determinam imediatamente. Para inverter o rebatimentode SS recorreu-se a uma recta do plano – a recta rr, que é a recta su-porte do lado [PPSS] do quadrado. A recta rrrr é a recta rr em rebatimentoe passa por PPrr e por SSrr. A recta rrrr é concorrente com o eixo XX (que é acharneira) num ponto, que é fixo (roda sobre si próprio) – as projec-ções da recta rr determinaram-se imediatamente, a partir do seu pontode concorrência com o eixo XX e das projecções do ponto PP. Condu-zindo, por SSrr, uma perpendicular à charneira (que corresponde aoplano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento),determinaram-se as projecções de SS sobre as projecções homónimasda recta rr. Para inverter o rebatimento do ponto RR recorreu-se a outrarecta do plano – a recta ss, que é a recta suporte do lado [QQRR] do quadrado. A recta ss é paralela à recta rr. A recta ssrr passa por QQrr e por RRrr e éparalela a rrrr. QQ é o ponto de concorrência da recta ss com o eixo XX, e é fixo – as projecções da recta ss desenharam-se imediatamente, pois arecta está definida por um ponto (o ponto QQ) e por uma direcção (é paralela à recta rr). Conduzindo, por RRrr, uma perpendicular à charneira (quecorresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de RR sobre as projecçõeshomónimas da recta ss. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções.

Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços (queestão coincidentes com o eixo XX) e pelas projecções do ponto AA. Paradeterminar as projecções do triângulo, há que rebater previamente oplano ! e construir o triângulo em V.G., em rebatimento, pois o polígononão se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano! não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Nesta situaçãonão há qualquer diferença quanto ao plano de projecção para o qualse deverá rebater o plano !, no sentido de uma maior economia detraçados. Optou-se por rebater o plano ! para o Plano Horizontal deProjecção (a charneira é hh!, que é o próprio eixo XX). Para rebater oponto AA recorreu-se ao seu triângulo do rebatimento, o que consisteno processo exposto no relatório do exercício anterior para o rebati-mento do ponto PP, pelo que se aconselha a leitura do respectivo rela-tório. A partir de AArr, construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento,de acordo com os dados – BBrr está no eixo XX (BB é um ponto do eixo XX),à direita de AA, tal que AA!rr!BB!rr! = 7 cm (que é a medida do lado do polígo-no). A partir de AArr e de BBrr construiu-se o triângulo em V.G., em rebati-mento, e determinou-se CCrr. Para determinar as projecções do

triângulo, há que inverter o rebatimento e determinar as projecções de BB e CC. BB é um ponto da charneira (roda sobre si próprio, pelo que éfixo), pelo que as suas projecções se determinam imediatamente. Para inverter o rebatimento de CC recorreu-se a uma recta do plano – arecta ss. A recta ss é uma recta do plano !, paralela a uma outra recta do plano ! – a recta rr, que é a recta suporte do lado [AABB] do triângulo.A recta rrrr é a recta rr em rebatimento e passa por AArr e por BBrr. As projecções da recta rr determinam-se imediatamente, a partir das projecçõeshomónimas de AA e BB (note que a recta rr é apenas uma recta auxiliar, essencial à determinação das projecções da recta ss). A recta ssrr passapor CCrr e é paralela a rrrr. A recta ssrr é concorrente com o eixo XX num ponto que é fixo – as projecções da recta ss determinam-se imediatamente,a partir do seu ponto de concorrência com o eixo XX, sendo paralelas às projecções homónimas da recta rr (as duas rectas são paralelas ea recta ss está definida por um ponto e uma direcção). Conduzindo, por CCrr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano orto-gonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de CC sobre as projecções homónimas da recta ss.A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.

196.

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SOLUÇÕES

197.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços (que estãocoincidentes com o eixo XX) e pelas projecções do ponto PP. Os dados doenunciado permitiram-nos, ainda, determinar a projecção frontal do pontoAA. Para determinar a projecção horizontal de AA recorreu-se a uma recta rr,do plano, passando por PP e por AA – as projecções da recta rr (que é umarecta passante) desenharam-se a partir da sua projecção frontal, que pas-sa por PP22 e por AA22. AA11 situa-se sobre rr11, na linha de chamada de AA22. Paradeterminar as projecções do quadrado, há que rebater previamente o pla-no ! e construir o quadrado em V.G., em rebatimento, pois o polígono nãose projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano ! não éparalelo a nenhum dos planos de projecção). Mais uma vez não há qual-quer diferença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá reba-ter o plano !, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-sepor rebater o plano ! para o Plano Frontal de Projecção (a charneira é ff!,que é o próprio eixo XX). Assim, por PP conduziu-se uma perpendicular àcharneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém oarco do seu rebatimento) – OO é o centro do arco do rebatimento de PP(note que não se identificou o ponto OO, que é o ponto de intersecção dacharneira com o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebati-mento de PP). O triângulo do rebatimento de PP é [OOPPPP22], que é rectânguloem PP22, e o comprimento da sua hipotenusa ([OOPP]) é a distância que nospermite rebater PP. Construiu-se o triângulo do rebatimento de PP em V.G.(pelo rebatimento do plano de perfil que contém PP, que é o plano ortogo-nal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) – numa paralela àcharneira que passa por PP22 representou-se o afastamento de PP, obtendo PPrr11. O triângulo do rebatimento de PP em V.G. é [OOPPrr11

PP22]. Com centroem OO transportou-se OO!PP!rr!11! para a perpendicular à charneira que passa por PP22, obtendo PPrr. A partir de PPrr rebateu-se a recta rr – rrrr fica definida porPPrr e pelo seu ponto de concorrência com o eixo XX, que é fixo. Conduzindo, por AA22, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano or-togonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) determinou-se AArr sobre rrrr (AA é um ponto da recta rr). Note que o ângulo dado (o ân-gulo que o lado [AABB] do triângulo faz com o eixo XX) é um âânngguulloo rreeaall e não um ângulo em projecções – esse ângulo existe nnoo eessppaaççoo ou, maisprecisamente, está contido nnoo ppllaannoo ! e não é possível representá-lo directamente em projecções. Assim, eemm rreebbaattiimmeennttoo, a partir de AArr, mediu-se o ângulo dado (o ângulo que o lado [AABB] faz com o eixo XX – 60o) e determinou-se BBrr, a 5 cm (a medida do lado do quadrado) de AArr. A partir de AArr e BBrr construiu-se o quadrado em VG., em rebatimento, obtendo CCrr e DDrr. Para inverter o rebatimento, recorreu-se a duas rectas doplano – as rectas aa e bb, que são as rectas suporte de dois lados do quadrado. A situação exposta é, assim, semelhante à utilizada para inverter orebatimento do plano ! no exercício 119955, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução sequente com a leitura daquele relatório.

198.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços(que estão coincidentes com o eixo XX). Uma vez que é dada aorientação do plano !, não nos é possível determinar as pro-jecções do ponto AA – os dados do enunciado permitiram-nos,apenas, determinar a projecção horizontal do ponto AA. Paradeterminar as projecções do triângulo, há que rebater previa-mente o plano ! e construir o triângulo em V.G., em rebati-mento, pois o polígono não se projecta em V.G. em nenhumdos planos de projecção (o plano ! não é paralelo a nenhumdos planos de projecção). Mais uma vez não há qualquer dife-rença quanto ao plano de projecção para o qual se deverárebater o plano !, no sentido de uma maior economia de traça-dos. Optou-se por rebater o plano ! para o Plano Horizontal deProjecção (a charneira é hh!, que é o próprio eixo XX). Para reba-ter o plano ! é necessário rebater o ponto AA, para o que énecessário o recurso ao seu triângulo do rebatimento. O triân-gulo do rebatimento de AA, nnoo eessppaaççoo, é o triângulo [OOAAAA11] – OOé o centro do arco do rebatimento de AA e é o ponto de inter-secção da charneira com o plano de ortogonal à charneiraque contém o triângulo do rebatimento de AA. O triângulo[OOAAAA11] é rectângulo em AA11 e a hipotenusa [OOAA] está contida numa recta de perfil (que é a recta de intersecção do plano ! com o plano deperfil que contém o triângulo do rebatimento de AA). Sabe-se que o diedro que um plano de rampa (um plano passante é um plano de rampa)faz com o Plano Frontal de Projecção tem a mesma amplitude que o ângulo que as rectas de perfil do plano fazem com o Plano Frontal de


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SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se os pontos RR e SS, pelas respectivasprojecções, em função dos dados – os dois pontos pertencem ao !1/3,pelo que as suas projecções são simétricas em relação ao eixo XX (os doispontos têm cota igual ao afastamento, pois pontos do !1/3 têm coordenadasiguais). Note que não é necessário representar os traços do !1/3 (queestão coincidentes no eixo XX, pois trata-se de um plano passante). Noteainda que se trata de uma situação semelhante à do exercício anterior, sebem que com alguns contornos diferentes – o !1/3 está igualmente definidopor uma recta (o eixo XX) e pela sua orientação (faz diedros de 45o com osdois planos de projecção). No entanto, ao contrário da situação anterior, foipossível determinar, imediatamente, as dduuaass pprroojjeeccççõõeess dos pontosdados. Para determinar as projecções do triângulo, há que rebater previa-mente o !1/3 e construir o triângulo em V.G., em rebatimento, pois o polí-gono não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o !1/3não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Não há qualquer dife-rença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá rebater o !1/3,no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o!1/3 para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é o próprio eixo XX).Assim, por SS conduziu-se uma perpendicular à charneira (que correspon-de ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento)– SSoo é o centro do arco do rebatimento de SS (SSoo é o ponto de intersecçãoda charneira com o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de SS). O triângulo do rebatimento de SS é [SSooSSSS11], que é rec-tângulo em SS11, e o comprimento da sua hipotenusa ([SSooSS]) é a distância

que nos permite rebater SS. Construiu-se o triângulo do rebatimento de SS em V.G. (pelo rebatimento do plano de perfil que contém SS, que é oplano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento e, nesta siuação, é o próprio plano YYZZ) – numa paralela à charneira quepassa por SS11 representou-se a cota de SS, obtendo SSrr11. O triângulo do rebatimento de SS em V.G. é [SSooSSrr11

SS11]. Note que [SSooSSrr11] é a hipotenusado triângulo do rebatimento de SS e o seu comprimento é o raio do arco do rebatimento de SS – [SSooSS] está contido numa recta de perfil do!1/3, pelo que [SSooSSrr11] faz um ângulo de 45o com o eixo XX e um ângulo de 45o com [SSooSS11]). Com centro em SSoo transportou-se SS!oo!SS!rr!11! para aperpendicular à charneira que passa por SS11, obtendo SSrr. Para determinar RRrr, e para evitar a construção de novo triângulo do rebatimento,recorreu-se a uma recta rr, do !1/3 – a recta que passa por RR e SS (é uma recta passante, concorrente com o eixo XX num ponto fixo). A recta rrrr(a recta rr em rebatimento) fica definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo XX e por SSrr. Conduzindo, por RR11, uma perpendicular àcharneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) determinou-se RRrr sobre rrrr (RR é um pontoda recta rr). A partir de RRrr e SSrr construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, obtendo TTrr. Para inverter o rebatimento de TT recorreu-se auma recta do plano – a recta ss. A recta ss é uma recta do !1/3 paralela à recta rr. A recta ssrr passa por TTrr e é paralela a rrrr. A recta ssrr é concor-rente com o eixo XX num ponto que é fixo – as projecções da recta ss determinam-se imediatamente, a partir do seu ponto de concorrênciacom o eixo XX, sendo paralelas às projecções homónimas da recta rr (as duas rectas são paralelas e a recta ss está definida por um ponto euma direcção). Conduzindo, por TTrr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco doseu rebatimento), determinaram-se as projecções de TT sobre as projecções homónimas da recta ss. A partir das projecções dos três vérticesdo triângulo, desenharam-se as suas projecções.

Projecção – assim, sabe-se imediatamente que a hipotenusa [OOAA] faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 60°. Esse ânguloestará em V.G. no ângulo que a hipotenusa do triângulo fará com o eixo XX (sugere-se que tente visualizar a situação no espaço, para umamelhor compreensão do exposto). Assim, desenhou-se o triângulo do rebatimento de AA directamente em V.G., pelo rebatimento do plano deperfil – com vértice em OO mediu-se o ângulo de 60o, o que nos permitiu determinar AArr com o eixo XX (que corresponde a um ângulo de 30o

com o lado [OOAA11] do triângulo), obtendo AArr11 na paralela ao eixo XX que passa por AA11 (note que o segmento [AArr11AA11] corresponde à cota de AA,

que era desconhecida. AArr11 é o ponto AA rebatido pelo rebatimento do plano de perfil e o triângulo [OOAA11AArr11] é o triângulo do rebatimento de AAem V.G. – com o compasso, fazendo centro em OO e raio até AArr11 (a hipotenusa do triângulo do rebatimento de AA, que é o raio do arco do rebatimento de AA), desenhou-se um arco até à perpendicular à charneira que passa por AA11 (que corresponde ao plano ortogonal à charneiraque contém o arco do seu rebatimento), obtendo AArr. Note que todos os procedimentos atrás explicitados consistiram em rebater o plano ",que estava definido por uma recta e pela sua orientação. Em seguida passou-se à realização dos traçados necessários à determinação dasprojecções do triângulo [AABBCC], que se trata de uma situação semelhante à do exercício 119966, pelo que se aconselha o acompanhamento daresolução sequente com a leitura daquele relatório.

199.

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SOLUÇÕES

200.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços,e os pontos AA e BB, pertencentes ao plano !, pelas suas pro-jecções, em função dos dados. O plano ! é ortogonal ao "2/4,pelo que tem os seus traços coincidentes. O ponto AA é umponto de hh!, que é uma recta horizontal (de nível) do planocom afastamento nulo. O ponto BB é um ponto de ff!, que éuma recta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo.O plano ! não é paralelo a nenhum dos planos de projecção,pelo que é necessário o recurso a um processo geométricoauxiliar. Uma vez que o ponto AA é um ponto do Plano Horizon-tal de Projecção e que o ponto BB é um ponto do Plano Frontalde Projecção, ao nível da economia de traçados é indistintoefectuar o rebatimento do plano ! para o Plano Frontal de Pro-jecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se porrebater o plano ! para o Plano Horizontal de Projecção (acharneira é hh! – hh! # ee11 # hh!rr), pelo que se tem imediatamenteAArr # AA11, pois AA é um ponto da charneira. Para rebater o plano! há que rebater o seu traço frontal, o que se processa reba-tendo um dos seus pontos – o ponto BB, que é um ponto de ff!(ver relatório do exercício 117755). A partir de AArr e de BBrr cons-truiu-se o rectângulo em V.G., em rebatimento, obtendo CCrr eDDrr. Para inverter o rebatimento recorreu-se à recta suportedo lado [CCDD] do rectângulo – a recta rr. A recta rrrr é a recta rr emrebatimento e passa por CCrr e por DDrr. HHrr é o ponto de concor-rência de rrrr com hh!rr – HH é o traço horizontal da recta rr e é umponto da charneira, pelo que é fixo (HH11 # HHrr e HH22 situa-se noeixo XX). FFrr é o ponto de concorrência de rrrr com ff!rr – FF é o tra-ço frontal da recta rr (é um ponto com afastamento nulo). Parainverter o rebatimento de FF conduziu-se, por FF11, uma perpen-dicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se FF11 sobre o eixo XX –FF22 situa-se sobre ff!, pois FF é um ponto de ff!. As projecções da recta rr estão definidas pelas projecções homónimas de FF e HH. Conduzindo, porCCrr e DDrr, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivosarcos do rebatimento), determinaram-se CC11 e DD11 sobre rr11 – CC22 e DD22 situam-se sobre rr22, nas respectivas linhas de chamada. A partir das projec-ções dos quatro vértices do rectângulo, desenharam-se as suas projecções. Note que a inversão do rebatimento se poderia ter processado como recurso a rectas horizontais (de nível) do plano (à semelhança do efectuado no exercício 118822) ou com o recurso a recta frontais (de frente) doplano (à semelhança do efectuado no exercício 118800), mas tal implicaria o recurso a duas rectas para inverter o rebatimento, o que se processoucom o recurso a, apenas, uma única recta, o que se traduziu em maior economia de traçados.

201.Em primeiro lugar representou-se o plano $, pelos seustraços, e determinaram-se as projecções do ponto OO,pertencente ao plano, em função dos dados. O plano $ éortogonal ao "2/4, pelo que tem os seus traços coinciden-tes. A recta hh é a recta horizontal (de nível) do plano, com4 cm de cota, a que se recorreu para determinar as pro-jecções do ponto OO. Para determinar as projecções dacircunferência, há que rebater o plano $ e construir a cir-cunferência em V.G., em rebatimento, pois a figura nãose projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção(o plano $ não é paralelo a nenhum dos planos de pro-jecção). Na presente situação, não há qualquer diferençaquanto ao plano de projecção para o qual se deverárebater o plano $, no sentido de uma maior economia detraçados. Optou-se por rebater o plano $ para o PlanoHorizontal de Projecção (a charneira foi hh$). Para rebatero plano $ há que rebater o seu traço frontal, o que se pro-cessa rebatendo um dos seus pontos – o ponto FF(o traço frontal da recta hh), por exemplo. O rebatimentode FF e de ff$ processou-se conforme exposto no relatóriodo exercício 117755. A recta hhrr é a recta hh em rebatimento –está definida por um ponto (FFrr) e por uma direcção (é pa-ralela a hh$rr, pois rectas horizontais de um plano são para-lelas entre si e ao traço horizontal do plano, no espaço,


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SOLUÇÕES

em projecções e em rebatimento). Conduzindo, por OO11, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira quecontém o arco do seu rebatimento), determinou-se OOrr sobre hhrr. Em seguida, com o compasso, fazendo centro em OOrr e com 3,5 cm de raio,desenhou-se a circunferência em V.G., em rebatimento. Note que as dduuaass pprroojjeeccççõõeess da circunferência serão eelliippsseess. Assim, tratando-se dedduuaass eelliippsseess, é necessário ter em conta que o desenho de cada uma requer alguns cuidados particulares, nomeadamente uumm mmíínniimmoo de oitopontos e, se possível, os dois eixos (de cada uma) e um paralelogramo envolvente. A relação mais directa é a que existe entre a circunferênciaem V.G. e a elipse que é a sua projecção horizontal, sendo uma relação homológica cujo eixo de homologia é hh! (a charneira do rebatimento).Tratemos, então, da eelliippssee que é a pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall ddaa cciirrccuunnffeerrêênncciiaa. Assim, inscreveu-se a circunferência num quadrado (o quadrado[AABBCCDD]) de lados paralelos ao eixo de homologia (que é hh!) e desenharam-se as suas medianas e as suas diagonais. Os extremos das media-nas do quadrado são os pontos em que a circunferência é tangente aos quatro lados do quadrado e dão-nos, imediatamente, os extremos dosdois eixos da elipse que é a projecção horizontal da circunferência. Assim, a projecção horizontal do diâmetro da circunferência que é paralelo ahh!rr corresponderá ao eixo maior da referida elipse (por ser paralelo ao eixo de homologia e, assim, não sofrer qualquer deformação), enquantoque a projecção horizontal do diâmetro que é perpendicular a hh!rr corresponderá ao eixo menor da elipse (por ser aquele que é perpendicular aoeixo de homologia e, assim, sofrer a maior redução). As projecções horizontais dos extremos dos dois diâmetros referidos serão, imediatamente,quatro pontos da elipse – os outros quatro pontos serão os pontos de intersecção da circunferência com as diagonais do quadrado em queaquela se inscreve. Para determinar as projecções da circunferência começou-se, então, por inverter o rebatimento e construir as projecções doquadrado [AABBCCDD]. A recta hh’’ é a recta horizontal (de nível) do plano a que se recorreu para inverter o rebatimento dos pontos AA e BB – a recta hh’’ éa recta suporte do lado [AABB] do quadrado (ver exercício 118822 e respectivo relatório). A recta hh’’’’ é a recta horizontal (de nível) do plano a que serecorreu para inverter o rebatimento dos pontos CC e DD – a recta hh’’’’ é a recta suporte do lado [CCDD] do quadrado (ver exercício 118822 e respectivorelatório). A partir das projecções de AA, BB, CC e DD desenharam-se as duas projecções do quadrado envolvente da circunferência – a projecçãohorizontal do quadrado é um rectângulo e a sua projecção frontal é um paralelogramo. Em projecções, desenharam-se as projecções das me-dianas e das diagonais do quadrado, que se bissectam duas a duas sobre as projecções homónimas do ponto OO. Os pontos em que as media-nas do rectângulo (que é a projecção horizontal do quadrado) se apoiam nos lados do polígono são, imediatamente, quatro pontos da elipseque é aa pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall ddaa cciirrccuunnffeerrêênncciiaa e são, também, os extremos dos dois eixos da figura. Os pontos em que as medianas do para-lelogramo (que é a projecção frontal do quadrado) se apoiam nos lados do polígono são, imediatamente, quatro pontos da elipse que é aapprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall ddaa cciirrccuunnffeerrêênncciiaa – ao contrário da projecção horizontal, no entanto, estes quatro pontos nnããoo ssããoo os extremos dos dois eixos da elipse. Já temos quatro pontos de cada uma das elipses. Conduzindo, pelos pontos em que a circunferência (em rebatimento) corta asdiagonais do quadrado [AABBCCDD], as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneiraque contêm os respectivos arcos do rebatimento), determinaram-se as projecções horizontais daqueles pontos – a partir das projecções horizon-tais desses quatro pontos, determinaram-se as suas projecções frontais sobre as projecções frontais das diagonais do quadrado. Já temos oitopontos para desenhar cada uma das duas curvas. No que respeita à eelliippssee que é a pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall ddaa cciirrccuunnffeerrêênncciiaa, esta foi desenha-da a partir dos seus dois eixos e atendendo às situações de tangência da curva em relação aos lados do rectângulo em que se inscreve. Já noque respeita à eelliippssee que é a pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall ddaa cciirrccuunnffeerrêênncciiaa, optou-se por desenhá-la imediatamente, a partir dos oito pontos determi-nados e dos seus pontos de tangência ao paralelogramo envolvente. No entanto, este desenho carece do rigor da outra elipse, uma vez que nãoforam determinados os seus dois eixos. Para tal bastaria, em rebatimento, determinar o diâmetro da circunferência que é paralelo a ff!rr e o outroque lhe é perpendicular – a projecção frontal do primeiro seria o eixo maior dessa elipse e a projecção frontal do segundo seria o eixo menordessa mesma elipse. Esse procedimento dar-nos-ia mais quatro pontos da curva em cada uma das projecções, o que permitiria um desenhoainda mais preciso das duas elipses (com um total de doze pontos). No entanto, optou-se por não efectuar esses procedimentos na soluçãoapresentada, uma vez que a quantidade de informação gráfica que tal iria provocar dificultaria, em muito, a leitura da resolução gráfica proposta.


Em primeiro lugar representou-se o plano ", pelo seu traço horizontal (o único que é conhecido), bem como os pontos AA e BB, pelas suas projec-ções, em função dos dados. Note que o lado [AABB] do hexágono, porquetem cota nula, se situa em hh" (que é uma recta horizontal do plano comcota nula) e, atendendo a que hh" é uma recta fronto-horizontal, o segmento[AABB] projecta-se em V.G. em ambas as projecções. Os dados do enuncia-do não nos permitem desenhar ff", mas é possível prosseguir com o exercí-cio. O plano " não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo queé necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se peloprocesso do rebatimento, o que nos obriga a rebater o plano " para o Pla-no Horizontal de Projecção, pois não se conhece o seu traço frontal (queseria a charneira, caso se efectuasse o rebatimento do plano " para o Pla-no Frontal de Projecção). Assim, a charneira foi hh", pelo que se tem imedia-tamente hh" # ee11 # hh"rr – AArr # AA11 e BBrr # BB11, pois AA e BB são dois pontos dacharneira. A partir de AArr e BBrr efectuaram-se os traçados necessários à de-terminação do centro da figura em rebatimento (o ponto OOrr) e à construçãodo hexágono em V.G., em rebatimento. Sabe-se que os vértices DD e EE têmafastamento nulo, pelo que é possível conduzir ff"rr directamente por DDrr epor EErr – DD e EE são dois pontos de ff". Tenha em conta que, sabendo que DDe EE são dois pontos de ff" é possível, de forma imediata, determinar as suasprojecções horizontais, que se situam no eixo XX – conduzindo, por DDrr e EErras perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondemaos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do

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SOLUÇÕES

rebatimento), é possível determinar DD11 e EE11 no eixo XX (DD11 ! BB22 e EE11 ! AA22). Para inverter o rebatimento, é necessário determinar ff" em primeirolugar, o que se processa invertendo o rebatimento de um dos seus pontos – o ponto DD, por exemplo. Consideremos, então, o ponto DD – otriângulo do rebatimento de DD está contido num plano ortogonal à charneira (que é o plano de perfil que contém a diagonal [BBDD] do hexá-gono), plano esse que corta a charneira no ponto BB. O ponto BB é, assim, um dos vértices do triângulo do rebatimento de DD e é o centro doarco do rebatimento de DD (o triângulo do rebatimento de DD é o triângulo [BBDDDD11], que é rectângulo em DD11). Com o compasso, fazendo cen-tro em BBrr e com raio até DDrr (a hipotenusa do triângulo em rebatimento é [BBrrDDrr], e o seu comprimento está em V.G. e é o raio do arco dorebatimento de DD) desenhou-se um arco de circunferência até ao eixo XX, onde se situa DDrr11. DDrr11 é o ponto DD rebatido pelo rebatimento doplano de perfil e o triângulo [BBrrDD11DDrr11] é o triângulo do rebatimento de DD em V.G. – com o compasso, fazendo centro em DD11 e raio até DDrr11 (oraio corresponde à cota de DD) inverteu-se o rebatimento do plano de perfil, obtendo DD22, pelo qual se conduziu ff". Sobre a inversão do rebati-mento dos restantes vértices do hexágono, a atendendo a que doravante esta situação é semelhante à situação do exercício 119911, sugere-seo acompanhamento da resolução sequente com a leitura daquele relatório. A recta rr é a recta suporte da diagonal [AADD] do hexágono. A rectamm é a recta fronto-horizontal que contém os vértices CC e FF do hexágono – é a recta suporte da diagonal [CCFF] do hexágono e é concorrentecom a recta rr no ponto OO.

204.Em primeiro lugar representou-se o ponto OO, pelas suas projecções, em função dos dados – OO pertence ao #1/3, pelo que as suas projecçõessão simétricas em relação ao eixo XX (o ponto tem coordenadas iguais, pois pertence ao #1/3). Note que não é necessário representar ostraços do #1/3 (que estão coincidentes no eixo XX, pois trata-se de um plano passante) – ver relatório do exercício 119999. Para determinar asprojecções do pentágono, há que rebater previamente o #1/3 e construir o polígono em V.G., em rebatimento, pois o pentágono não se pro-jecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o #1/3 não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Não há qualquer diferençaquanto ao plano de projecção para o qual se deverá rebater o #1/3, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o#1/3 para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é o próprio eixo XX) – o ponto OO rebateu-se com o recurso ao seu triângulo do rebati-mento, de forma semelhante à exposta para o rebatimento de SS no relatório do exercício 119999, pelo que se aconselha a leitura do respectivorelatório. Com o compasso, fazendo centro em OOrr e com 3,5 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao pentágono e cons-truiu-se a figura, inscrita na circunferência, de acordo com os dados. Para determinar as projecções do pentágono, há que inverter o rebati-mento, o que se processou com o recurso a rectas do plano, para evitar o recurso a cinco triângulos do rebatimento. Assim, começou-sepor desenhar, em rebatimento, três rectas do plano – a recta aa (a recta suporte do lado [AABB] do pentágono), a recta bb (a recta suporte dadiagonal [CCEE] do pentágono, que é paralela à recta aa) e a recta cc (que é a recta paralela às rectas aa e bb e contém o vértice DD do pentágono).

203.Em primeiro lugar representou-se o plano $, pelo seu traço horizontal (o único que é conhecido), bem como o ponto AA, pelas suas projecções, emfunção dos dados – AA é um ponto de hh$, que é uma recta horizontal (de ní-vel) do plano com cota nula. Os dados do enunciado não nos permitem de-senhar ff$ – note que o ângulo dado (o ângulo entre os dois traços do plano)é o âânngguulloo rreeaall, que existe nnoo eessppaaççoo (ou, mais correctamente, que estácontido no plano $) e não tem correspondência directa em projecções, poiso plano $ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. No entanto, épossível prosseguir com o exercício. O plano $ não é paralelo a nenhum dosplanos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geo-métrico auxiliar. Optou-se pelo processo do rebatimento, o que nos obriga arebater o plano $ para o Plano Horizontal de Projecção, pois não se conhe-ce o seu traço frontal (que seria a charneira, caso se efectuasse o rebatimen-to do plano $ para o Plano Frontal de Projecção). Assim, a charneira foi hh$,pelo que se tem imediatamente hh$ ! ee11 ! hh$rr – AArr ! AA11, pois AA é um ponto dacharneira. Em rebatimento, com vértice no ponto de concorrência dos doistraços do plano (que é um ponto fixo, pois é um ponto da charneira) e apartir de hh$rr, mediram-se os 70° (o ângulo entre os dois traços do plano)em V.G., em rebatimento, o que nos permitiu desenhar ff$rr. O vértice BB, doquadrado, tem afastamento nulo, pelo que BB é um ponto de ff$ – BBrr tem dese situar sobre ff$rr. Com o compasso, fazendo centro em AArr e com 5 cm deraio (a medida do lado do quadrado), determinou-se BBrr sobre ff$rr. A partirde AArr e BBrr construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, obtendo CCrr eDDrr. Para inverter o rebatimento, é necessário determinar ff$, o que se pro-cessa determinando as projecções de um dos seus pontos – o ponto BB, neste caso, que é o único ponto conhecido de ff$ (note que se poderia, de qualquer forma, representar um outro ponto qualquer sobre ff$rr). Por BBrr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corres-ponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se BB11 no eixo XX (BB é um ponto com afastamentonulo). Com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é fixo) e raio até BBrr, desenhou-se um arcode circunferência até à linha de chamada de BB11, onde se situa BB22 – ff$ passa por BB22 e é concorrente com hh$ no eixo XX. A inversão do rebati-mento dos pontos CCrr e DDrr processou-se com o recurso a rectas frontais (de frente) do plano $, à semelhança do exercício 118800, pelo que seaconselha a leitura do respectivo relatório. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções.


Para determinar as projecções destas três rectas recorreu-se auma outra recta, paralela às rectas aa, bb e cc, que contenha umponto conhecido do plano – a recta rr, que contém o ponto OO. Arecta rrrr é paralela a aarr, a bbrr e a ccrr e passa por OOrr – as projecçõesda recta rr determinam-se imediatamente, pois a recta rr é umarecta passante (é concorrente com o eixo XX num ponto fixo) e assuas projecções passam pelas projecções homónimas do pontoOO. Em seguida, determinaram-se as projecções da recta aa – estassão paralelas às projecções homónimas da recta rr e são concor-rentes entre si num ponto do eixo XX, que é o ponto fixo da recta(o seu ponto de concorrência com o eixo XX, que é a charneira).Conduzindo, por AArr e por BBrr, as perpendiculares à charneira quepor eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais àcharneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento),determinaram-se as projecções de AA e BB sobre as projecçõeshomónimas da recta aa. O processo descrito repetiu-se em relaçãoà recta bb e aos pontos CC e EE, bem como em relação à recta cc eao ponto DD, o que nos permitiu determinar as projecções dos cincovértices do polígono e, em seguida, desenhar as projecções dopentágono.

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SOLUÇÕES

205.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços,e o ponto AA, pertencente ao plano, pelas suas projecções, emfunção dos dados. O plano " é ortogonal ao #2/4, pelo que temos seus traços coincidentes. O ponto AA é um ponto de ff!, queé uma recta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo.Em seguida, há que determinar as projecções do ponto BB.Uma vez que o lado [AABB] tem as suas projecções paralelasentre si, para que tal se verifique BB tem de ter afastamentoigual à cota de AA (o lado [AABB] está contido numa recta paralelaao #2/4). Um outro processo para determinar as projecções deBB seria determinar, em primeiro lugar, a recta de intersecção doplano ! com o #2/4 (a recta ii) – a recta suporte do lado [AABB],por ser paralela ao #2/4, seria paralela à recta ii. Assim, pelasprojecções de AA conduzir-se-iam as projecções homónimas deuma recta paralela à recta ii e BB seria o traço horizontal dessarecta. O plano ! não é paralelo a nenhum dos planos deprojecção, pelo que o triângulo não se projecta em V.G. emnenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso aum processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto AA é umponto do Plano Frontal de Projecção e BB é um ponto do PlanoHorizontal de Projecção, ao nível da economia de traçados éindistinto rebater o plano ! para o Plano Frontal de Projecçãoou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebatero plano ! para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira éhh! – hh! $ ee11 $ hh!rr). BB é um ponto da charneira, pelo que se temimediatamente BBrr $ BB11. Para rebater o plano ! há que rebater oseu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seuspontos – o ponto AA. Sobre o rebatimento de AA e de ff!, ver relató-rio do exercício 118822. A partir de AArr e BBrr construiu-se o triângulo[AABBCC] em V.G., em rebatimento. Para inverter o rebatimentorecorreu-se a uma recta horizontal (de nível) do plano – a rectahh, que contém o ponto CC – ver exercício 118822. A partir das pro-jecções de todos os vértices do triângulo, desenharam-se assuas projecções.


206.Em primeiro lugar representou-se o ponto OO, pelas suas projecções, em função dos dados – OO pertence ao #1/3, pelo que as suas projecções sãosimétricas em relação ao eixo XX (o ponto tem 4 cm de cota e 4 cm de afastamento, pois pontos do #1/3 têm coordenadas iguais). Note que não énecessário representar os traços do #1/3 (que estão coincidentes no eixo XX, pois trata-se de um plano passante) – ver relatório do exercício 119999.Para determinar as projecções do pentágono, há que rebater previamente o #1/3 e construir o polígono em V.G., em rebatimento, pois o pentágono

Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelo seu traço horizontal (o único que é conhecido), bem como o ponto AA, pelas suas projecções,em função dos dados – AA é um ponto de hh!, que é uma recta horizontal (denível) do plano com cota nula. Os dados do enunciado não nos permitemdesenhar ff! – note que o ângulo dado (o ângulo entre os dois traços doplano) é o âânngguulloo rreeaall, que existe nnoo eessppaaççoo (ou, mais correctamente, queestá contido no plano !) e não tem correspondência directa em projec-ções, pois o plano ! não é paralelo a nenhum dos planos de projecção.Trata-se, portanto, de uma situação semelhante à do exercício 220033, peloque se aconselha a leitura do respectivo relatório. O plano ! não é paraleloa nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a umprocesso geométrico auxiliar. Rebateu-se o plano ! para o Plano Horizontalde Projecção, pois não se conhece o seu traço frontal (que seria a charnei-ra, caso se efectuasse o rebatimento do plano ! para o Plano Frontal deProjecção). Assim, a charneira foi hh!, pelo que se tem imediatamentehh! " ee11 " hh!rr – AArr " AA11, pois AA é um ponto da charneira. Em rebatimento,com vértice no ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é umponto fixo, pois é um ponto da charneira) e a partir de hh!rr, mediram-se os60o (o ângulo entre os dois traços do plano) em V.G., em rebatimento, oque nos permitiu desenhar ff!rr. O vértice BB, do triângulo, tem afastamentonulo, pelo que BB é um ponto de ff! – BBrr tem de se situar sobre ff!rr. Por outrolado, o ângulo que o lado [AABB] faz com hh! é, também, um âânngguulloo rreeaall queestá contido no próprio plano ! (e que também não tem correspondência

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SOLUÇÕES

não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o #1/3não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Não há qualquerdiferença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá reba-ter o #1/3, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-sepor rebater o #1/3 para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira éo próprio eixo XX) – o ponto OO rebateu-se com o recurso ao seu triân-gulo do rebatimento, de forma semelhante à exposta para o rebati-mento de SS no relatório do exercício 119999, pelo que se aconselha aleitura do respectivo relatório. Com o compasso, fazendo centro emOOrr, desenhou-se a circunferência circunscrita ao pentágono (que étangente ao eixo XX) e construiu-se a figura, inscrita na circunferência,de acordo com os dados (AA tem cota nula, pelo que é um ponto doeixo XX –os pontos do #1/3 que têm cota nula situam-se todos no eixoXX, pelo que AA é o ponto em que a circunferência é tangente ao eixoXX). Para determinar as projecções do pentágono, há que inverter orebatimento, o que se processou com o recurso a rectas do plano,para evitar o recurso a quatro triângulos do rebatimento. Assim, começou-se por desenhar, em rebatimento, a recta rr – a recta rr éuma recta que contém o ponto OO e que contém um vértice do pentá-gono (o vértice CC). A recta rrrr passa por OOrr e CCrr – as projecções darecta rr determinam-se imediatamente, pois trata-se de uma rectapassante (é concorrente com o eixo XX num ponto fixo) e as suas pro-jecções passam pelas projecções homónimas do ponto OO. Condu-zindo, por CCrr, uma perpendicular à charneira (que corresponde aoplano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento),determinaram-se as projecções de CC sobre as projecções homóni-mas da recta rr. A recta aa é a recta suporte da diagonal [BBEE] do pen-tágono – é uma recta fronto-horizontal. A recta aarr passa por BBrr e EErr eé concorrente com rrrr no ponto PPrr. As projecções de PP determinaram-se imediatamente, sobre as projecções homónimas da recta rr, recorrendo aoplano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento. Pelas projecções de PP conduziram-se as projecções homónimas da recta aa –a recta aa está definida por um ponto (o ponto PP) e por uma direcção (é fronto-horizontal). Conduzindo, por BBrr e por EErr, as perpendiculares à char-neira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determina-ram-se as projecções de BB e EE sobre as projecções homónimas da recta aa. A recta bb é a recta suporte do lado [CCDD] do pentágono – é outra rectafronto-horizontal. A recta bbrr passa por CCrr e DDrr e é concorrente com rrrr em CCrr. As projecções de CC já são conhecidas. Pelas projecções de CCconduziram-se as projecções homónimas da recta bb – a recta bb está definida por um ponto (o ponto CC) e por uma direcção (é fronto-horizontal).Conduzindo, por DDrr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de DD sobre as projecções homónimas da recta bb. AA é um ponto de charneira, que é o eixo XX pelo que se tem ime-diatamente AArr " AA11 " AA22. A partir das projecções dos cinco vértices do polígono, desenharam-se as projecções do pentágono.

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SOLUÇÕES

directa em projecções). Uma vez que o plano ! já está rebatido, esse ângulo já pode ser medido em V.G. (em rebatimento). Assim, comvértice em AArr e a partir de hh!rr, mediram-se os 60°, havendo duas hipóteses de o fazer – numa delas, o outro lado do ângulo fica paralelo aff!rr, pelo que o ponto BB se situaria no infinito. Assim, das duas hipóteses para medir os 60°, apenas a apresentada é a solução pretendida –o ponto BBrr situa-se sobre ff!rr. A partir de AArr e de BBrr construiu-se o triângulo [AABBCC] em V.G., em rebatimento – note que, em função dos ângu-los dados, o lado [BBrrCCrr] é nneecceessssaarriiaammeennttee paralelo a hh!rr (está contido numa recta horizontal do plano) e o lado [AArrCCrr] é nneecceessssaarriiaammeenntteeparalelo a ff!rr (está contido numa recta frontal do plano). Para inverter o rebatimento, é necessário determinar ff!, o que se processa determi-nando as projecções de um dos seus pontos – o ponto BB, neste caso, que é o único ponto conhecido de ff! (note que se poderia, de qual-quer forma, representar um outro ponto qualquer sobre ff!rr). Por BBrr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao planoortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se BB11 no eixo XX (BB é um ponto com afastamento nulo). Com ocompasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é fixo) e raio até BBrr, desenhou-se um arco de circunfe-rência até à linha de chamada de BB11, onde se situa BB22 – ff! passa por BB22 e é concorrente com hh! no eixo XX. A inversão do rebatimento doponto CCrr processou-se com o recurso a uma recta horizontal (de nível) do plano ! (a recta hh, que é a recta suporte do lado [BBCC] do triân-gulo), à semelhança do exercício 118822, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Note que o ponto BB é o traço frontal da rectahh. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.

208.Em primeiro lugar representou-se o plano ", pelo seu traço hori-zontal (o único dado concreto, uma vez que o enunciado é omissoem relação ao traço frontal do plano), bem como o ponto CC, pelassuas projecções, em função dos dados – CC é um ponto de hh", queé uma recta horizontal (fronto-horizontal) do plano com cota nula.O plano " não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, peloque é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Oponto CC é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, pelo que serebateu o plano " para o Plano Horizontal de Projecção (a charneiraé hh" – hh" # ee11 # hh"rr) – tem-se imediatamente CCrr # CC11, pois CC é umponto da charneira. Note que não seria possível rebater o plano "para o Plano Frontal de Projecção, pois não é conhecido o seu tra-ço frontal (que seria, nessa situação, a charneira). Não é possívelrebater o traço frontal do plano, pois aquele não é conhecido, masé possível prosseguir com o exercício. Consideremos, então, plano" já rebatido e efectuemos os traçados necessários à construçãodo quadrado em rebatimento. O ângulo dado entre a diagonal[AACC] e o traço horizontal do plano é um âânngguulloo rreeaall, que existe nnooeessppaaççoo e não em projecções (esse ângulo eessttáá ccoonnttiiddoo nnoo ppllaannoo") – ver exercício 119900 e respectivo relatório. Assim, uma vez que oplano está rebatido, esse ângulo está em V.G. – com vértice em CCrr,e a partir de hh"rr, mediram-se os 60° (o ângulo dado), garantindoque AA se situa à esquerda de CC, e obtendo uma recta rrrr (a recta rr éa recta suporte da diagonal [AACC] do quadrado). Sobre rrrr mediram--se os 8 cm (o comprimento da diagonal) e determinou-se AArr (noteque AArr se situa à esquerda de CCrr – caso o ângulo se tivesse medidopara a direita, AArr situar-se-ia à direita de CCrr). Por AArr conduziu-se ff!rr, paralelo a hh"rr (e ao eixo XX) – note que é dado, no enunciado, que AA tem afas-tamento nulo, pelo que AA é um ponto de ff". A partir de AArr e CCrr, construiu-se o quadrado [AABBCCDD] em V.G., em rebatimento. Para determinar asprojecções do polígono, há que inverter o rebatimento. Comecemos por determinar ff" – para tal é necessário inverter o rebatimento de um pontode ff", que é o ponto AA. Por AArr conduziu-se uma perpendicular à charneira, que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arcodo seu rebatimento (que é um plano de perfil, que também contém o triângulo do rebatimento de AA) e determinou-se AA11 no eixo XX (AA tem afasta-mento nulo). O triângulo do rebatimento de AA, nnoo eessppaaççoo, é o triângulo [OOAAAA11] – note que OO é o ponto de intersecção da charneira com o planode perfil que contém o triângulo, pelo que OO é o centro do arco do rebatimento de AA (OO é um ponto fixo do qual não se assinalaram as projec-ções, por questões de simplificação da leitura da resolução gráfica apresentada). O triângulo [OOAAAA11] é rectângulo em AA11 e a hipotenusa [OOAA]está contida numa recta de perfil (que é a recta de intersecção do plano " com o plano de perfil que contém o triângulo). Com o compasso,fazendo centro em OO e raio até AArr ([OOAA] é a hipotenusa do triângulo do rebatimento de AA e está em V.G. no rebatimento do plano ") desenhou--se um arco de circunferência até ao eixo XX, onde se situa AArr11 – o triângulo do rebatimento de AA está em V.G. (pelo rebatimento do plano de perfilque o contém) no triângulo [OOAA11AArr11]. Note que AA!11!AA!rr!11! é a cota de AA – com o compasso, fazendo centro em AA11 e raio até AArr11, desenhou-se umarco de circunferência até à perpendicular à charneira que passa por AArr (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arcodo seu rebatimento bem como o seu triângulo do rebatimento) e determinou-se AA22. O traço frontal do plano ", ff", passa por AA22 e é paralelo aoeixo XX. Para inverter o rebatimento dos pontos BB e DD recorreu-se a duas rectas do plano, paralelas à recta rr – a recta aa e a recta bb. A recta aarrpassa por BBrr e é paralela a rrrr – HHrr é o ponto de concorrência de aarr com hh"rr e é um ponto da charneira (é fixo), pelo que se tem imediatamenteHH11 # HHrr (HH22 situa-se no eixo XX). As projecções da recta aa determinaram-se imediatamente, passando pelas projecções homónimas de HH e parale-las às projecções homónimas da recta rr – a recta aa está definida por um ponto (HH) e por uma direcção (é paralela à recta rr). Note que as projec-ções da recta aa se poderiam ter determinado a partir dos seus dois traços, à semelhança da situação do exercício 119900. Conduzindo, por BBrr, umaperpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projec-ções de BB sobre as projecções homónimas da recta aa. O processo exposto repetiu-se para o vértice DD – a recta bb é a recta paralela à recta rr quecontém DD e HH’’ é o seu traço horizontal. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções.

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