Sollecitazioni semplici Il Taglio

Considerazioni introduttive

• Tuttavia, anche se il momento varia sezione per sezione, è ancora lecito utilizzare

la formula di Navier per il calcolo delle sollecitazioni flessionali perché la presenza del taglio non modifica la distribuzione degli sforzi normali σ

• La presenza di azioni di taglio aggiunge una ulteriore distribuzione di sforzi che

agiscono tangenzialmente alla sezione, detti appunto di scorrimento o di taglio.

• La distribuzione degli sforzi di taglio dipende essenzialmente dalla forma della sezione

e, in generale, non è di facile determinazione.

• Per i nostri scopi sarà sufficiente affrontare la trattazione relativamente al caso di

sezioni rettangolari e circolari.

dx

dMT = quindi se M= costante, T=0

• La trattazione relativa al calcolo delle sollecitazioni flessionali, è stata basata

sull’ipotesi che la struttura fosse soggetta unicamente a momento flettente costante.

• Questo è un caso abbastanza particolare perché si caratterizza per l’assenza di azione tagliante. Come accennato in precedenza

Considerazioni introduttive

Il primo caso che esamineremo è relativo a sezioni rettangolari sollecitate da taglio

allineato con uno degli assi della sezione

La derivazione dell’espressione degli sforzi può essere

ottenuta da semplici considerazioni di equilibrio assumendo che siano soddisfatte le seguenti due

condizioni:

1. la distribuzione degli sforzi di taglio si può ritenere

costante lungo qualsiasi corda (m-n) perpendicolare alla direzione di applicazione del carico

2. ai due bordi laterali della sezione gli sforzi di taglio sono

tangenti ai bordi e quindi diretti parallelamente alla

direzione del taglio

Facendo riferimento alla figura, si vede che affinchè l’elementino di materiale di facce parallele a quelle della trave sia in equilibrio alla rotazione intorno all’asse z, quando

sulle facce normali all’asse della trave agiscono sforzi di taglio, anche sulle altre facce di

normale y devono esistere tensioni uguali in modulo e dirette in modo tale che le punte dei

vettori si incontrino (a causa di questa proprietà si parla di sforzi di taglio coniugati)

Calcolo delle sollecitazioni τ

Calcolo delle sollecitazioni τ

Consideriamo la porzione di trave compresa tra due sezioni poste a distanza dx e un

piano parallelo alla faccia inferiore posto a distanza y1 dall’asse.

Per trovare la distribuzione degli sforzi τ è sufficiente imporre l’equilibrio alla traslazione

lungo l’asse x di questa porzione di trave (n-n1-p1-p) che è soggetta a tre forze

F1 dovuta agli sforzi di flessione σσσσx sulla faccia n-p

F2 dovuta agli sforzi di taglio sulla faccia p-p1

F3 dovuta agli sforzi di flessione σσσσx sulla faccia n1-p1

F1 F3

Esistono anche forze verticali le cui componenti però non entrano in

gioco nell’equilibrio alla traslazione orizzontale

F2

• Gli sforzi σx sono tipicamente diversi sulle due facce considerate perchè sta variando il momento flettente (che si incrementa di dM da una sezione all’altra).

• Questo succede proprio perchè il taglio non è nullo (se il momento fosse costante non ci sarebbe taglio)

F1 F3

Calcoliamo le forze F1, F2 e F3 ed imponiamo l’equilibrio

dAJ

yMdAx ⋅

⋅=⋅σ ∫∫ ⋅

⋅=⋅=

AAx dA

J

yMdAF σ

1

A rappresenta l’area della parte di sezione sottostante la corda posta a y=y1

F1

( )∫ ⋅

⋅+=

AdA

J

ydMMF

3

Per effetto dell’incremento del momento flettente, sulla faccia adiacente di traccia n1-p1 agisce il momento M+dM

F3

F2 dxbF ⋅⋅= τ

2

La risultante degli sforzi di taglio è data semplicemente dal prodotto della tensione tangenziale per l’area della superficie. Il termine «b» rappresenta la larghezza della sezione

F2

Calcolo delle sollecitazioni τ

Per l’equilibrio deve risultare

F1 F3

F2

1323210 FFFFFF −=⇒=−+

∫ ⋅⋅

⋅⋅=

AdAy

bJdx

dM 1τ

da cui si ottiene:

Ricordando che dM/dx = T, e che l’integrale rappresenta il momento statico S(y)

rispetto all’asse baricentrico z della parte di sezione sottesa dalla corda posta a

distanza y1 dall’asse z, si ha infine:

( )bJ

yST

⋅

⋅=τ Formula di Jourawski

Calcolo delle sollecitazioni τ

( )∫∫∫∫∫ ⋅

⋅−⋅

⋅+⋅

⋅=⋅

⋅−⋅

⋅+=⋅⋅

AAAAAdA

J

yMdA

J

ydMdA

J

yMdA

J

yMdA

J

ydMMdxbτ

∫∫ ⋅=⋅⋅

=⋅⋅AA

dAyJ

dMdA

J

ydMdxbτ

Osservazioni

( )bJ

yST

⋅

⋅=τ

• Alle estremità inferiore e superiore della sezione, essendo nullo il momento

statico, saranno nulle anche le tensioni di taglio.

• Le superficie laterali del solido sono scariche, quindi sarà nulla qualunque

sollecitazione, in particolare le τ parallele all’asse del solido

• Per l’uguaglianza delle τ coniugate, anche gli sforzi dovuti al taglio agenti in

direzione z, devono essere nulli alle estremità nel piano di sezione

• Quindi la variazione delle ττττ lungo y dipende soltanto dall’andamento del momento statico S(y) essendo tutti gli altri termini costanti

Osservazioni

( )bJ

yST

⋅

⋅=τ

Il momento statico S(y) può essere determinato semplicemente moltiplicando l’area della sezione sottesa dalla corda di lunghezza b per la distanza del suo baricentro dal baricentro della sezione totale

( )

+

⋅−−

⋅−+

⋅⋅=

−+⋅

−⋅=

−+⋅

−⋅=

244822422

2

2

2

112

1

1

2

11

11

1

11

yyhy

yhhyhb

yhyy

hb

yh

yyh

byS

che, inserita nella formula ( )bJ

yST

⋅

⋅=τ

−

⋅= 2

1

2

42y

h

J

TτFornisce infine:

−⋅=

−⋅= 2

1

22

1

2

4228y

hbyhb

Osservazioni

• Quindi l’andamento delle ττττ è parabolico con massimo in corrispondenza dell’asse

baricentrico e sollecitazioni nulle agli estremi dove y=±h/2

Il valore massimo (ottenuto per y=0) è dato da:

−

⋅= 2

1

2

42y

h

J

Tτ

J

hT

⋅

⋅=

8

2

maxτ

nella quale A=bh, area della sezione rettangolare

• Da questa relazione si può osservare come, nel caso della sezione rettangolare,

esista una differenza rilevante tra il valore massimo degli sforzi e quello medio dato da T/A (50%)

e ricordando che: 12

3hb

J⋅

=

A

T

⋅

⋅=

2

3

maxτ

Sforzi di taglio in sezioni non rettangolari

Quando si analizzano sezioni aventi geometria differente da quella rettangolare, emerge

la difficoltà legata al fatto che gli sforzi non sempre sono tangenti al bordo della sezione

Infatti per le proprietà di uguaglianza degli sforzi di taglio coniugati, e poiché le facce

esterne del solido sono scariche, sulle facce laterali della trave non possono esistere

componenti di τ perpendicolari al bordo. Gli sforzi di taglio devono quindi sempre essere tangenti al bordo Per esempio, in una sezione circolare questa proprietà è garantita solo in corrispondenza del diametro da una distribuzione costante e diretta come il taglio.

Qualunque altra corda non rispetta questa condizione.

Tuttavia la formula di Jourawski riesce ancora a fornire con sufficiente precisione il valore

dello sforzo di taglio laddove è massimo, ossia sul diametro perpendicolare alla forza di taglio dove è lecito considerare una distribuzione di sforzi costante e allineata con il

taglio T

A

T

r

T

bJ

ST

⋅

⋅=

⋅⋅

⋅=

⋅

⋅=

3

4

3

4

2max

πτ

3

2

3

4

2 2

4

324rrr

Srbr

J =

===

π

ππessendo

Deformazioni nel taglio

Poiché gli sforzi tangenziali τ variano lungo la sezione (con legge parabolica nel caso

della geometria rettangolare) anche le deformazioni non saranno costanti

Nel caso delle sollecitazioni di taglio le deformazioni (dette “di scorrimento” o “scorrimenti” si indicano con la lettera greca γ

Il modo in cui si deforma un

elementino di materiale

sottoposto a sforzi di taglio

prevede che cambino gli angoli

(inizialmente retti) formati dalle

facce

Per i materiali a comportamento lineare elastico la legge di Hooke per il taglio esprime

una proporzionalità tra τ e γ per mezzo della costante G detta modulo di elasticità tangenziale

γτ ⋅= Gν21+

=E

GG è legato al modulo di elasticità E attraverso la relazione

Queste relazioni mostrano come per un materiale lineare omogeneo e isotropo i valori delle costanti E, G e νννν non sono indipendenti tra loro

Deformazioni nel taglio

γτ ⋅= G

In una sezione rettangolare di un solido soggetto a taglio, quindi, le deformazioni γ

seguono l’andamento delle τ, dovendo valere:

G

τγ =

Non essendo questi angoli γ uguali in tutti i punti, la

sezione, in origine piana, dopo la deformazione presenta

un ingobbamento caratterizzato dalla presenza di un

punto di flesso in corrispondenza dello sforzo di taglio

massimo, mentre alle estremità, essendo γ=0, il profilo

della deformata resta perpendicolare alle superfici

superiore ed inferiore del solido

Lo spostamento relativo dη tra due sezioni adiacenti può essere valutato per mezzo della deformazione

media γmed come segue:

dxd med ⋅= γη

La deformazione media si può esprimere in generale come:

med

T

G A

χγ

⋅=

⋅

Dove χ è una costante detta fattore di taglio che dipende dalla forma della sezione

Tabella fattori di Taglio

AG

Vmed

⋅

⋅=

χγ Dove χ è una costante detta fattore di taglio

che dipende dalla forma della sezione

Esempio

Una barra di acciaio di lunghezza 3 m deve sostenere i carichi concentrati mostrati in

figura.

Sapendo che le sollecitazioni ammissibili sono

σ = 12.6 MPa

τ = 0.84 MPa

Si determini il diametro minimo della barra

A B

11000 N 11000 N 4500 N

3 m

0.6 0.6 0.9 0.9