Sobre la doctrina de los ἀξιώματα a partir de 'Athenaion Politeia' 72a14-18

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    SOBRE LA DOCTRINA DE LOS IMATA

    A PARTIR DEAPO. 72A14-18*

    Eduardo Mombello

    Universidad Nacional del Comahue, Argentina

    1. RECONSTRUCCIN Y PROBLEMASEn las ltimas dcadas, diferentes estudiosos han reiniciado, y suge-

    rido con mayor o menor nfasis la necesidad de la rehabilitacin de, unprograma de reconstruccin de la concepcin axiomtica de Aristteleso de aspectos de ella1. El programa aspira, como es natural, a un resul-tado comprensivo y sinttico del tema. Pero en algunos pasos de su rea-lizacin, visiones diferentes arrojan resultados muy dismiles e incom-patibles entre s; lo cual, a pesar de todo, es evidencia de que aquel pro-

    grama no est, en absoluto, cerrado.Para quien se propone el estudio de la axiomtica aristotlica o aun

    la participacin por modesta que sea en el programa de su recons-__________________

    * El presente trabajo se inscribe en el marco de las actividades del proyecto deinvestigacin plurianual Dialctica y epistemologa en Aristteles. Investigacionessobre problemas metodolgicos relativos a los principios en la filosofa de Aristteles(112-200801-02100), financiado por CONICET y dirigido por F. G. Mi. Una ver-sin parcial fue presentada en las Jornadas Internacionales Ordia Prima (2007).

    Agradezco las valiosas observaciones del auditorio presente entonces y, particular-mente, las de Marcelo D. Boeri y Fabin Mi, con quienes estoy en deuda por bas-tante ms que por la sola razn antedicha. Quiero agradecer, tambin, el apoyo delCentro de Estudios Clsicos y Medievales (UNCo) y de Mara I. Santa Cruz.Finalmente, acerco mi especial gratitud a los evaluadores annimos de la publicacinOrdia Prima por su iluminadora labor, sobre la base de la cual he podido mejorar la

    versin final de este trabajo. Los errores que subsisten en l, naturalmente, me perte-necen con exclusividad.

    1 Vase v.g. Leszl (1981:274); Barnes (1969:131 ss); Cassini (1986);McKirahan (1992:68 ss) et alii.

    ORDIA PRIMA 7 (2008) 43-107

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    truccin, aquellos resultados de los especialistas sobre la teora axiom-tica de Aristteles constituyen elementos en la extensin de una canti-dad de problemas interpretativos, antes que en la de la teora misma2 de

    los aximata. Tres de esos grandes problemas generales, que tienenrelacin entre s, me parecen destacables, y los bosquejo como sigue.

    1.1 UN GRUPO DE DIFICULTADES

    En primer lugar est el problema que podra llamarse del terico des-maado3. En un extremo de ste se encuentra la idea de que (T1) unfilosficamente maduro Aristteles ha establecido el trmino como tcnico4 (naturalmente, para el marco de su teora de la cienciademostrativa) en la definicin ofrecida enAPo. 72a14-18 (en adelantealudida por DT)5:

    (C1) Al principio inmediato silogstico lo llamo tesis, cuando noes posible probarlo, ni es necesario que el que habr de aprenderalgo lo capte. En cambio, al quees necesario que capte el que habr de aprender cualquier cosa, axioma (pues, hay algunas cosas de esa ndole: ciertamen-te, estamos acostumbrados a decir ese nombre, sobre todo, en rela-cin con cosas de tal ndole)6.

    DT es, sin dudas, el inicio obligado de toda reconstruccin de la teoraaxiomtica de Aristteles. En la frontera opuesta, el problema del teri-co desmaado se termina de manifestar con la idea de que (T2) la cons-

    __________________2 Los problemas interpretativos no son aristotlicos. Pero la reconstruccin de

    una teora no presentada explcita y acabadamente en una nica obra como ocurrecon casi todas las teoras de Aristteles requiere, por variadas y conocidas razonessobre todo metodolgicas, el estudio atento de esas interpretaciones.

    3 No todas las tesis (T1-6) que componen estos problemas han sido defendi-das argumentalmente, pero en cada caso remito a posiciones ms o menos prximas,o que podran resultar sustento para su admisin.

    4 Ross (1949:510).5 Sigo la edicin de Ross (1991). Las abreviaturas de obras antiguas son las de

    LSJ.6 Salvo mencin en contrario, las traducciones que presento me pertenecen.

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    truccin y utilizacin terminolgica (incluyendo la de axma) deAristteles enAPo. es conceptualmente vacilante y tentativa7; mostran-do finalmente un cuadro por as decir algo surrealista: la brusque-

    dad, digresin, repeticin e incongruencia, debidas a la ndole delescrito, caracterizan o desfiguran muchos de los argumentos de Arist-teles8, dejando ver el todo de una obra desordenada9. Este carcterenredado del escrito explica razonablemente10, pues, que la pretendidadefinicin de axma como trmino tcnico fuera presentada en formatericamente incompleta. En efecto, DT, con un silencio que aturde, noest determinada explcitamente por la funcin central de los aximatapara la apdeixis en sentido tcnico (75a39-b2), ni para la cienciademostrativa (76b11-21), entre otras notables ausencias11. sta puedeconsiderarse la carencia tcnica e insuficiencia terica central de DT.

    En segundo lugar, est el conocido problema de la originalidad dela teora axiomtica. En tensin se encuentran aqu, por una parte, la ideade que Aristteles ha llegado a ser, quiz por simples avatares de la his-toria, el difusor de la axiomtica conceptualmente elaborada por losmatemticos de su tiempo o anteriores, sin realizar un aporte suficientede su parte que le valga el derecho a ser considerado el fundador de laaxiomtica de la poca actual, (T3) puesto que el trmino axma12 ya

    era utilizado incluso, segn Aristteles, antes de la presentacin deDT precisamente (mlista) para designar las cosas descriptas en su defi-niens (72a18) por los destinatarios de su escrito o por los matemticoscoevos13. Por la otra parte, se encuentra la idea entusiasta de que (T4)

    __________________7 Ross (1949:21).8 Barnes (2002:xiv y 99).9 Ferejohn (1991:15); quien muestra uno de los ms robustos argumentos en

    contra de la desorganizacin del tratado.10 Es posible que, desde algn punto de vista, la discusin sobre si los enredos

    de APo. son o no nimios o carentes de inters sea poco sistemtica (Cf. Barnes(2002:xiv)), pero la que corresponde a los supuestos metodolgicos que subyacen aciertos modos de interpretacin que pueden empeorar aquel cuadro enredado, en lamedida en que obligan a su adopcin o rechazo, no debera ser eludida, independien-temente de si debe ser sistemtica o no.

    11 5.2.12 Ross (1949:202).13 Barnes (2002:99); vase tamb. la presentacin de esta posicin en

    Leszl(1981:271 ss) y en la actualidad, v.g., Kenny(2005:97): [1] LosAnalticos pos-

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    Aristteles ha sido realmente el fundador de la axiomtica moderna14.l habra aportado as una doctrina original o novedosa (aunque nohaya sido la primera) sobre los aximata, puesto que fue el primero

    en producir una teora filosfica con todas las letras de la ciencia axio-matizada; [] en investigar, con algn intento de rigor lgico, laestructura de un sistema axiomtico [] y en discutir la naturaleza delos axiomas15.

    Derivado de este ltimo extremo, en el lugar final se halla quiz el pro-blema ms interesante: el de la axiomaticidad por as decir que losaximata presentan en relacin con la teora de la ciencia demostrativa.En este problema se encuentran, por un lado, la idea de que (T5) losaximata y consecuentemente la axiomtica aristotlicos no tienen

    __________________

    teriores nos explican cmo funciona la lgica en las ciencias. Quienes hayan estudiadogeometra euclidiana en la escuela recordarn cmo muchas verdades geomtricas oteoremas se derivaban mediante razonamientos deductivos a partir de un pequeoconjunto inicial de otras verdades llamadas axiomas. Aunque Euclides no naci hastaque Aristteles tena una edad avanzada, [2] este mtodo axiomtico resultaba fami-liar para los gemetras, y [3] Aristteles crea que era susceptible de una amplia apli-cacin. [4] La lgica proporcionaba las reglas para la derivacin de teoremas a partirde axiomas, y [5] cada ciencia haba de tener su propio conjunto de axiomas. Las cien-

    cias podan ordenarse jerrquicamente, de manera que [6] las ciencias de rango infe-rior podan tratar como axiomas proposiciones que podan ser teoremas en otras cien-cias de rango superior. Alineados en esta posicin, al afirmar que en el interior dela Academia antigua se asiste a la discusin [] de la confiabilidad de aquello quePlatn llama las hiptesis de la geometra: su punto de partida, o sea definiciones,axiomas y postulados se encuentran Cattanei (2002:129), Morrow (1992:lx n.40),quien le adscribe a Platn la contribucin de la estructura axiomtica de la prueba,

    y quiz Dring (2000:157). Contra la idea de Cattanei de que en el interior de laAcademia antigua habra acontecido la redaccin de los primeros Elementos pre-euclidianos de geometra, cf. Fowler (2003:384) quien la describe y reconstruyecomo la opinin general acerca de los Elementos pre-euclidianos y de los deEuclides, y cuyos argumentos en contra difcilmente sean rebatibles.

    14 Incluso, Se puede considerar a Aristteles como el padre fundador delmtodo axiomtico porque fue l quien present por primera vez la idea de sistema-tizacin deductiva de una teora tomando como punto de partida un conjunto redu-cido de principios, de los cuales se infieren los restantes enunciados de la teora,Cassini (2006:21). En otras palabras, Aristteles es la primera de las etapas que lle-

    varon a la construccin del mtodo axiomtico formal tal como se practica en la actua-lidad, Cassini (2006:19).

    15 Barnes (2002:xx-nB). Cf. la posicin de Elisabetta Cattanei en n. 13.

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    mucho que ver con nuestra nocin general de axioma16y, por el otro, lade que (T6) corresponde incluir a los aximata en lo que nosotros lla-mamos genricamente axiomas17, pues, como suele decirse, una teo-

    ra cientfica, segn Aristteles, es una estructura ordenada deductiva-mente formada por los principios o verdades indemostrables y por todoslos enunciados deducidos vlidamente de tales principios18.

    Si bien esos problemas son bsicamente interpretativos y resultadode opciones metodolgicas de los intrpretes, sus consecuencias son, enla parte que me resulta relevante para el programa mencionado, princi-palmente filosficas y de valoracin doctrinal. Cada uno de aquellostres grandes problemas globales tiene su punto neurlgico. En el centrodel problema del terico desmaado se encuentra la cuestin de (P1)cmo se debe explicar la ya mencionada insuficiencia terica de DT.Esta cuestin es probablemente la que ms inclina nuestra comprensinhacia la bsqueda sinttica de todos los elementos que componen ladoctrina de los aximata en el resto de la obra y que permitiran recons-truirla. Pero esa misma cuestin parece implicar al corazn mismo delproblema de la originalidad: el de (P2) cul es, para nosotros, el tipo dedefinicin al que pertenece DT, en su propio marco expositivo; i.e. si se

    trata de una definicin terica de un trmino tcnico, en el marco de su__________________

    16 Contra la asimilacin de la axiomtica aristotlica a una idea contemporneacasi escolar como la que describe Kenny en n. 13, podran incluirse a Hintikka(1999:781; cf. n. 17) y Leszl (1981:273ss.). Ms adelante (5.3), las concepcionessobre los aximata podran mostrar una base ms clara para la defensa de esta idea.

    17 Esto es, a todos los enunciados que se aceptan sin demostracin y constitu-yen el punto de partida de las demostraciones de una teora determinada, Cassini(2006:22). Vase que su posicin sobre la razn por la cual Aristteles merece serconsiderado el padre fundador del mtodo axiomtico (en n. 14) se apoya en la inter-pretacin de una funcin particular de los principios (y por ende de los aximata) enla sistematizacin (silogsticamente) deductiva de una teora, a lo cual Hintikka(1999:781), naturalmente, observa que Aristteles nowhere does he say or imply thatthere is a stage in the development of a science when those principles are all known to thescientist in such a way that all the rest could be proved syllogistically from those premises,and those premises only. Of course, from the interrogative viewpoint there is little reason toexpect that there should exist such a privileged stage.

    18 Cassini (2006:22); ntese que la posicin (4-6) de Kenny en n. 13 resultaconcordante.

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    original teora de la ciencia demostrativa (as como privacin podradecirse que lo es de la fsica aristotlica) o si simplemente la doctrinaque resume DT fue tomada de otro mbito y utilizada en su contexto

    como una pieza incompleta en la reflexin sobre un tema muy difcil.Desde luego, en el corazn del inconveniente de la axiomaticidadde la axiomtica de Aristteles se encuentra uno de los problemas teri-cos ms significativos y estimulantes de la doctrina de la ciencia demos-trativa de Aristteles: (P3) el de la naturaleza y funcin de los axima-ta. Sin embargo, ste no parece poder desvincularse del que constituyeel meollo de la cuestin del terico desmaado: dar una respuesta a lacuestin de la axiomaticidad implica apoyarse en bases que permitanexplicar o dar por supuesta una explicacin para P1; la cual debeencajar con la solucin anterior al de la originalidad, P2. En otras pala-

    bras, pienso que aunque no sea completamente determinante lamanera en que comprendamos el tipo definicional de DT podra afectartanto nuestra explicacin de la propia insuficiencia terica de DT, comonuestra concepcin sobre la naturaleza y funcin de los aximata.

    Puesto que el dictum de la tecnicidad teortica que aporta DT al tr-mino axma choca aparentemente con lo que DT misma expresa, i.e.,con la letra de Aristteles en T3, no parece arbitrario considerar un punto

    de vista reconstructivo que se cia ms a lo que T3 expresa y sugiere.

    1.2 DEJA QUE EL USO TE ENSEE EL SIGNIFICADO19

    Antes que defender, pues, in medio foro una tesis para P3, partiendode los mismos supuestos y bases asumidas por la perspectiva sintticade la tradicin interpretativa especializada (mtodo con el que creo quedifcilmente podra aportar algo de peso a la comprensin buscada), en

    el presente estudio me propongo proceder, en principio, de manerams analtica20, no slo en cuanto a la revisin textual relevante, sino al

    __________________19 La dich die Bedeutung durch den Gebrauch lehren, Wittgenstein

    (1988:486-7;II, xi).20 Puesto que enormes dificultades persisten en las reconstrucciones sintticas

    o comprensivas de la doctrina (cf. 5.3), ensayo aqu un comienzo diferente, por con-traposicin, analtico: intentando el tratamiento de un pasaje textual a la luz de lasindicaciones contextuales ms o menos prximas, no slo de ndole conceptual, sino

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    estudio de algunas de las bases sobre las que se pueden o no edificar lostres grandes problemas iniciales. Pienso que antes de delinear una com-prensin sinttica y abierta del significado aristotlico de axma, es

    necesario, incluso, mnimamente tener presente tambin el peso de lacarga semntica que los usos aristotlicos y no aristotlicos relacio-nados del trmino ensean. Mostrar slo un bosquejo suficiente,tanto desde la perspectiva filolgica como de la filosfica, de la espesu-ra de su tradicin en 2, a fin de presentar y discutir algunas de lasinfluencias centrales que operan como base de las perspectivas de inter-pretacin usualmente sintticas.

    En la parte principal de este trabajo (3), intentar buscar un nuevopunto de apoyo y enfoque en virtud del cual comenzar a desandar aquelcamino de entraamientos problemticos de P1-P3. Me propongo, as,revisar qu papel desempea DT en la exposicin que Aristteles prepa-r de su doctrina de los aximata, i.e. cul es el valor de aquella defini-cin por la que axma es sealado como un trmino tcnico de la teorade la ciencia demostrativa desplegada enAnalticos segundos. Por ello, mianlisis se encaminar, sobre todo, en un estudio del significado de DTconsiderada en sus propios trminos contextuales. Defender la idea deque su papel es el que actualmente atribuimos a las definiciones de carc-

    ter lexicogrfico21: el de evitar ambigedades o enriquecer el vocabula-rio del auditorio para el cual ella se elabora, sobre la base de un trminoen uso; el que antes podra haberse caracterizado de manera imprecisa-mente afn, y que en la versin formularia explcita ofrecida en el texto,desde el punto de vista de Aristteles, informa acerca de la eleccin deun significado que el trmino aceptablemente ya tiene. Aunque esta

    __________________

    histrico-programticas y, sobre todo, expositivas. No es mi intencin desmantelar eltexto, sino revisar la fortaleza de algunas de las bases sobre las cuales pueden edificar-se una reconstruccin menos conflictiva de la axiomtica aristotlica. Pero, contraeste procedimiento, cf. McKirahan (1992:5). A pesar de su tipo, creo que este modode proceder podra contribuir en algo, en la etapa inicial de un programa de revisinreconstructiva como el mencionado al comienzo, que cuenta con tantas dificultadesdesde el arranque.

    21 A veces estas definiciones son llamadas con cierta oscuridad reales, poroposicin a las definiciones estipulativas, a las que se designa como nominales o ver-

    bales. Sobre los tipos de definicin siempre pueden verse Copi (1971:100-106) oHospers (1982:51-60).

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    tesis es bastante elemental, hasta donde s, ni se ha expuesto abierta-mente, ni se han ofrecido argumentos en su favor. Sin dudas, uno podrapreguntar: qu otra cosa pudo haber hecho Aristteles ms que ofre-

    cer una definicin de carcter lexicogrfico?. Pero la respuesta a ellano resulta tan obvia ni directa como un simple nada.En efecto, contrariamente a lo que defiendo, DT se toma implcita e

    influyentemente como de carcter terico (i.e. la que supone la expl-cita aceptacin de una teora, en este caso, la relativa a la ciencia demos-trativa deAPo.), suponiendo incluso, en algunos casos, que la caracte-rizacin de los objetos a los cuales se aplica no era familiarpara su audi-torio, lo que en tales visiones implica que el trmino o bien estaba sindefinicin, o sin una definicin generalmente aceptada, o bien tuvootra definicin previa22. El hecho de que el trmino axma sea sea-lado como conceptualmente tcnico obliga, por cierto, a comprenderque aqul fue definido enAPo. 72a16-18 y empleado all exclusiva-mente, y con sentido distinto del vulgar, en el lenguaje propio de23 lafilosofa aristotlica (y no en el de sus gemetras o acadmicos coevos,por ejemplo). La caracterizacin del trmino como tcnico excluye,entonces, la posibilidad de que Aristteles lo haya definido en ese pasa-

    je con la intencin de informar cul era el significado seleccionado para

    el definiendum de axma, entre los establecidos en el uso de su tiem-po, a fin de tenerlo presente en su exposicin ulterior deAPo. Con esaintencin, dicho uso podra haber sido restringidamente matemticopero, de cualquier manera, no habra podido ser exclusivamente aristo-tlico. En otras palabras, afirmar secamente como hace Ross queaxma es definido en aquel pasaje de Analticos como un trminotcnico impide comprender su definicin como lexicogrfica y obliga aentenderla como terica, diluyndose en tal caso la referencia expl-

    cita de Aristteles acerca de que la nocin que presenta se adecua al usoregular del nombre por parte de sus colegas.De este modo, en el caso de enfrentarnos a un tecnicismo, princi-

    palmente, o bien Aristteles habra estipulado un nuevo yexclusivo sen-tido para el trmino (lo que nos obligara a entender su definicincomo de carcter estipulativo), o bien habra formulado una caracte-

    __________________22 Cf. v.g. McKirahan (1992:43).23 RAE (2001:2144).

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    rizacin tericamente (i.e., en el marco de su exclusiva teora de la cien-cia demostrativa) adecuada de los objetos a los cuales pretendi apli-carse (lo que equivale a decir que su definicin ha sido de tipo teri-

    co). De las dos posibilidades anteriores, la primera debe ser, y mayori-tariamente24 es, descartada redondamente; pues, en todo caso aun enel de aquellos que parecen dejar abierta su posibilidad es claro que losintrpretes concuerdan sobre la base de la evidencia de Metaph.1005a20 con que Aristteles no introduce con axma por vez pri-mera un trmino nuevo en el contexto de discusin (condicin sine quanon de toda definicin estipulativa) acerca de las pruebas rigurosas deciertos cuerpos de conocimiento (como el de las matemticas).

    De lo dicho se siguen algunas consecuencias no menores para lainterpretacin y relectura posterior y comprensiva de los aximata (4)pero, centralmente, ya puede verse que, si la tesis que defiendo fueseacertada, cualquier especulacin sobre la naturaleza o funcin de losaximata que se apoye en la suposicin de que el trmino axma hasido determinado por Aristteles como tcnico enAPo. 72a16-18 estaradescaminada desde el comienzo. Puesto que DT no determina ipso factoa axma como tcnico, intentar mostrar una manera en que puedereconstruirse una teora aristotlica de los aximata, entendidos como

    koin, partiendo de DT en relacin con la restante evidencia textual.Entre las consecuencias del carcter de DT est naturalmente la que

    atae a la cuestin de la originalidad de la doctrina, y a una gua para sulectura y reconstruccin al menos en dos niveles de profundidad teri-co-expositiva (5.1-5.2). La desatencin a estos niveles, slo detecta-

    bles en el estudio nunca realizado sobre el carcter de DT, han sido lafuente central, pienso, de irreconciliables posturas sobre P3 (5.3) Ladistincin de avances tericos por etapas, en la exposicin doctrinal de

    Aristteles, puede ofrecer una salida al problema del terico desmaa-do; y el estudio de los ejemplos relacionados con el uso del trmino__________________

    24 Puesto que para que una definicin sea considerada estipulativa no es nece-sario que el definiendum sea una frmula completamente nueva, sino nueva en el con-texto dentro del cual se da, la sola conclusin de McKirahan (1992:43) de que el tr-mino axma estaba en uso sin una definicin generalmente aceptada (so that

    Aristotle is filling a gap), conclusin que se apoya en la evidencia nica de que Ar.necesit sealar esa definicin, parece dejar abierta la posibilidad de considerar a estadefinicin de 72a16-18 como estipulativa.

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    (5.4), aportes decisivos para la elucidacin de P3. Finalmente, elesquema de una sntesis que sigue ese enfoque reconstructivo, es lo queocupa la ltima parte de este trabajo (5.5-5.7).

    2.AXMA Y AXIOMA, LA CARGA SEMNTICA

    Desde el punto de vista filolgico25, hay dos valores semnticos deaxma que tienen su origen ms inmediato en el verbo axi (oaxiomai), el que significa juzgar digno de o aceptar como tal. Deaqu, axma obtiene su sentido primero y ms generalizado de esti-ma26 o valor27, entre otros matices afines. Podra decirse que este pri-mer uso es descriptivo en relacin con cierto carcter dado, por el que seaprecia o acepta aquello que lo posee.

    Es algo ms raro, en cambio, un segundo uso de axma en el sen-tido ms normativo de exigencia28, o de aquello que se piensa apropia-do, en virtud del cual llega a significar veredicto29, por ejemplo. Dentrode este contorno normativo, a partir de Aristteles, razones filolgicasnos habilitaran a entender axma tal como entendemos actualmenteaxioma30. En efecto, el diccionario oxoniense registra el uso generali-

    zado en el mbito de la ciencia al que describe como aquello que seasume como la base de demostracin o principio auto-evidente31.

    Nuevamente, esta utilizacin generalizada en el marco cientfico sebifurca y axma cuenta con las dos significaciones ms especficas deaxioma y de doctrina32. La primera corresponde a un uso exclusivodel mbito de las matemticas, al cual se recurre en pasajes como

    __________________25 No elucido aqu la compleja multivocidad en la que el trmino se ramific a

    lo largo del tiempo; en lugar de esto me ocupo de describir solamente las ramas prin-cipales que conducen a su aparicin en obras comoAnalticosyMetafsica.

    26 Ch.27 LSJI.4 o aquello de lo cual uno se cree digno (op. cit. I).28 Ch. , tamb. decisin.29 LSJII.130 Cf. Ch. p.94. Y as lo entendi influyentemente Ross (1949:452 ad 62a13).31 Cf. LSJII.2. As se sugiere que lo emplea Aristteles v.g. enMetaph. 997a7,

    1005b33 yAPo. 72a17.32 Ms tarde, para el estoicismo, aparecer su uso como el de proposicin lgica.

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    Metaph. 1005a20. La significacin segunda de doctrina pertenece almismo mbito cientfico, pero alude algo ms indefinidamente a unaposicin particularmente filosfica. As la utiliza Aristteles, en pasa-

    jes como Metaph. 1001b7-1433

    , para referirse a una cierta opinin deZenn, segn la cual si lo uno en s fuera indivisible, no existira nada.Para Aristteles, este axma es el resultado de un hombre que teorizade manera vulgar o tosca,phortiks. Por tanto, si el uso de axma eneste pasaje no es uno descriptivamente irnico (y al parecer no lo es), ladmite un uso normativo del trmino muy distante del descriptivo que serelaciona con un valor aceptado o dado. Esto es, para l, axma puedeentraar, como en este caso, una exigencia de valoracin no aceptable.

    Por otra parte, la revisin del archivo histrico pertinente es, des-afortunadamente, decepcionante. En efecto, no contamos con ningnregistro textual del uso cientfico y normativo de la palabra axma quepueda vincularla inequvocamente al vocabulario ms o menos tcnico deuna disciplina matemtica de carcter axiomtico pre-aristotlico34. Ni enel mbito de la filosofa presocrtica35, ni en Platn36, ni en los pasajesrelevantes de los comentadores tardos del quehacer antiguo de las mate-

    __________________33 Cf. otras referencias en Bonitz (1955:70;#2).34 Sobre la falta de evidencia textual, dentro de los escritos matemticos que con-

    servamos, para hablar incluso de axiomatizacin en la prctica de Euclides cf. Leszl(1981:273); vanse tambin Ross (1949:56); Barnes (1969:130-2): Este punto es decrucial importancia, ya que es el mtodo, y no la sustancia del avance matemtico, lo quese alega que ha influenciado a Aristteles (p.131); Hintikka (1974:94), et alii. Aun asexisten todava notables esfuerzos en sentido contrario. Sobre la base de la interpreta-cin de que las hypothseis no son enunciados de existencia (v.g. la lnea recta existe),sino enunciados declarativos cuyo sujeto apunta a un diagrama (v.g. sea esto una lnearecta), Gmez-Lobo (1977:436 ss) intent mostrar que se puede ver que la axiom-tica aristotlica refleja ciertos aspectos de la prctica de los matemticos griegos comoes conocida para nosotros en Euclides. Cf. tambin una reconstruccin de la axiom-tica antigua sobre la base de la axiomtica de Aristteles en Scholz (1975:52 ss).

    35 Slo dos veces, y sin sentido matemtico, aparece la palabra en el Wortindexde W. Kranz en Diels (1975:57).

    36 Platn lo utiliza en varias ocasiones en el sentido descriptivo ms usual dedignidad o reputacin de una cosa (cf. Smp. 220e5; Prt337e1; R. 495d6; 611a6),o de principio o mxima (de accin moral o poltica) (cf. Lg. 690a1; 4; b9; d3).Podra argirse lo que aqu no har que ste ltimo sentido corresponde a un usofronterizo entre el descriptivo y el normativo. Aqu axma es una opinin (cf. LSJIII) ms o menos colegida por alguien, que se estima digna de regir la conducta pero

    Sobre la doctrina de los a partir deAPo. 72a14-18 53

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    mticas, Proclo37y Simplicio38, se menciona una sola vez el trmino ax-ma en el sentido buscado, i.e. en el matemtico pre-aristotlico39. Dehecho, la evidencia textual primera que conservamos de que ste es un

    trmino que perteneci al vocabulario matemtico quiz pre-aristotli-co es la que el mismo Aristteles anota enMetaph. 1005a20.

    __________________

    que, a la vez, puede comportar cierta exigencia para quienes quedan comprendidos ensu esfera de aplicacin. Para la obra de Platn sigo la edicin de Burnet (1900).

    37 In primum Euclidis elementorum librum commentarii, 64.7 ss. (Friedlein, G.(ed.)).

    38 In Aristotelis physicorum libros commentaria, 60.22-68.32 (Diels, H. (ed.)).39 Esto no implica, desde luego, que el mismo Proclo no haya utilizado el trmi-

    no axma una cantidad de veces en un sentido que se ve fuertemente influenciado porla doctrina misma de daimnios as lo llama Aristteles. Pero nada de ello es eviden-cia, en absoluto, de un uso matemtico pre-aristotlico del trmino. (Cf. por ejemplo In

    Euc. 57-58; 76-77, aqu, especialmente, deja ver su explcita deuda con Aristteles almencionarlo como fuente de su interpretacin; 178-184; 188.5, 193-197 et pass. En194.4-8 Proclo adscribe la idea de que un axma es una premisa inmediata yautoevi-dente a Aristteles y a los gemetras: al margen de que la idea no es directamente de

    Aristteles sino fruto de la misma interpretacin del comentarista sobre el carcter dela disposicin de antemano que el axma tiene en la idea de Aristteles cf. In Euc. 76,la referencia a los gemetras no implica que se trate de coevos o predecesores de

    Aristteles, antes bien, el contexto en el que tambin se menciona a los estoicos pare-ce sugerir lo contrario. En cualquier caso, nada sabemos acerca de a qu gemetras serefiere como no sea al mismo Euclides). Por su parte, Simplicio resulta una fuente indi-recta relevante pues, segn l mismo nos confiesa en su comentario a la Fsica (In Phys.9.60.27-30), cita textualmente una parte de la Histora geometrik del discpulo de

    Aristteles, Eudemo. Simplicio intercala deliberadamente comentarios propios extra-dos de los Elementos de Euclides con fines exegticos que hacen difcil extraer lo queperteneci realmente a Eudemo. Por supuesto, la reconstruccin se ha realizado, perolas valoraciones de los helenistas sobre los resultados son dismiles. Fowler (2003:283)muestra (p.391) que aunque unos pocos enunciados iniciales del fragmento de

    Eudemo tienen el caracterstico estilo prtasis (que a partir de Proclo se adscribe alosElementos de Euclides vase una discusin sobre el punto en op. cit. 385 y ss), ellosparecen haber sido introducidos por la interpretacin de Simplicio, pues la exposicincontina no en el estilo caracterstico de prtasis y pruebas, sino en uno vagamente dis-cursivo. Si esto es as, la forma arcaica de las matemticas que puede exhibir el frag-mento de Eudemo poco se parece a la que se atribuye a losElementos de Euclides. Cf.tamb. n. 34. Aun as, para muchos historigrafos de las matemticas el testimonio deSimplicio es crucial porque se describen all las pruebas sobre la cuadratura de las lnu-las efectuadas por Hipcrates de Quos: un influyente matemtico contemporneo deScrates. Desde una visin optimista de la historiografa de las matemticas podra

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    Ms contemporneamente, desde el punto de vista filosfico, puedeverse que Aristteles hace un doble uso de la palabra axma enAnalticos40. Ambos pertenecen a la carga semntica del trmino que aca-

    bamos de ver como normativa y cientficamente relevante. En rigor, slouna vez enAPr. 62a13 la palabra aparece con la significacin de doc-trina que, como Ross prefiere, podra traducirse por suposicin41 osententia42. En el resto de los lugares en que aparece (72a17; 75a41 y76b14), ella tiene el presunto sentido tcnico dado por Aristteles43 quees el aqu me interesar resaltar (sobre todo en su relacin propia con

    Analticos segundos), i.e. que, cuando Aristteles utiliza el trmino con-forme a DT, ste significa directamente lo que axioma44. En cualquiercaso, de manera ortodoxa, a la luz de una visin sinttica de la doctrinade los aximata, se acepta que, para Aristteles, koin (cosas comunes,

    APo. 76a38, 77a27, 30), koina archa (principios comunes, 88b28),koina dxai (opiniones comunes,Metaph. 996b28), son expresionesintercambiables con aximata en sentido tcnico45. Ello mostrara quela terminologa es fluctuante en su propia obra, y ciertamente parecenencontrarse indicios de su construccin continua a lo largo de APo.46.Tambin se admite que la vacilacin terminolgica alcanza al mbito dela tradicin matemtica47 y, sumando la observable afinidad entre los

    __________________

    decirse: Para nosotros su primordial importancia procede de que, hasta Euclides, esel nico texto matemtico autntico y formando un todo completo que poseamos yque, de esta manera, nos pueda proporcionar como tambin lo subraya Simplicio la forma arcaica, anterior a Euclides, de la geometra griega, Rey (1962:53); cf. tamb.Heath (1998:34-35); contra lo que dice Rey sobre la forma arcaica est, desde luego,la observacin recin mencionada de Fowler. En cualquier caso, de manera decepcio-nante, en la extensa cita de Simplicio (In Phys. 60.22-68.32) no aparece ni una vez lapalabra axma.

    40 Ross (1949:452).41 Ross (1949:452). Cf. Bonitz (1955:70;#2)=placitum42 Cf. Ross (1924:503).43 Cf. Ross (1949:452; 510).44 Cf. Ross (1949:452).45 Cf. Ross (1949:55; 511); McKirahan (1992:68) y otras referencias en Barnes

    (2002:99).46 Cf. Ross (1949:540) et passim.47 Segn Heath (1998:57), la terminologa en ese mbito no permanece estable

    hasta Arqumedes (287-212 a.C.). Debe observarse que esto no implica en absoluto

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    tratamientos de Aristteles y Euclides, se termina por aceptar implcita-mente cierta equiparacin entre los koin aximata (76b14) y las koinannoiai que se atribuyen a Euclides48.

    Entonces, el criterio usual de traduccin del trmino est claramen-te determinado por aquella visin filosfica, la que de esta manera rea-firma el dictum filolgico segn el cual en contextos cientficos de ndo-le matemtica, el trmino tiene el mismo significado que tiene axio-ma. De estas solas indicaciones (i.e. aun sin tener en cuenta lo que Aris-tteles sugiere en DT), se podran extraer dos conclusiones prelimina-res que deben ser seriamente revisadas:

    A DT no pudo hacer ms que expresar el uso matemticocorriente del trmino. El llamado sentido tcnico de ax-ma, en Aristteles, no lo es ms que el que acostumbraba amentar cualquier matemtico contemporneo suyo, cuandoutilizaba axma. En la definicin del trmino, Aristtelesasume, pues, sin discusin la naturaleza de los aximata.

    B Toda vez que la traduccin de la palabra ha de ser directa, endefinitiva, su concepto no deber ser sustancialmente distintode lo que hoy podemos entender por axioma.

    La visin que la conclusin A presenta no es incompatible con yquiz sea parte de la fuente de la que ha dominado la exgesis de

    Analticos segundos, conforme a la cual como seala Leszl (1981:271)las matemticas se consideraron como proveyendo el paradigma decualquier ciencia bien organizada. Interpretacin de la que resulta ellocusvirtualmente classicus de que Aristteles estuvo familiarizado conciertos tratados pre-euclidianos sobre los elementos matemticos,

    __________________

    que Aristteles no haya fijado su propia terminologa tcnica en relacin con su teo-ra de la ciencia demostrativa en general.

    48 Vanse Ross (1949:56-57); Barnes (2002:99); Cattanei (2002:134); et alii.Un estudio detallado de los comentadores antiguos, v.gProclo (referencias principa-les en n. 39); Filpono (inAPo. [Wallies] 13,3.8.22; 13,3.73.15; 13,3.377.1; 13,3.34.9

    y 13,3.127.2; 13,3.3.23-24; 13,3.20.22 (=13,3.39.27); in Cat. [Busse] 13,1.141.6-8),y Temistio (in Apo. [Wallies] 5.1.6.32-7.3), en principio revelador, podra matizar oser directamente la base para parte del rechazo de esta equiparacin. Aun as, desdeel punto de vista filolgico, las koina nnoiai de Euclides se identifican con axiomas(LSJ2).

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    que inspiraron su elaboracin de una teora de la ciencia que intentaextender la axiomatizacin a cualquier ciencia digna de ese nombre.Esta visin puede recusarse de diferentes maneras49, y es argible que lo

    mismo podra hacerse con sus probables fuentes, a saber, las sugerenciasimplcitas, tanto en clasificaciones semnticas del estudio filolgico,como en la posicin filosfica que ilumina la fijacin del texto. Pero aunas, persistira el problema de que la conclusin A tiene cierto sustentotextual en el contexto inmediato de la presentacin tcnica de los axi-mata: Aristteles reconoce que al menos l y los potenciales asistentesa sus lecciones estn habituados a utilizar la palabra axma precisa oespecialmente (mlista) tal como l la presenta en su definicin: la ndo-le de los aximata podemos concluir no es algo que est en discusin,al menos, no en la presentacin del sentido tcnico del trmino.

    Para quienes nos interesamos por observar los lmites del aporte deAristteles a la axiomtica contempornea, esto podra resultar filosfi-camente decepcionante, en la medida en que adhiramos, al menos enparte, a una posicin como la de Barnes50 en T4, por ejemplo. Es ciertoque DT obliga a afrontar P1: cmo explicar la insuficiencia terica deDT. Pero aun cuando la naturaleza bsica de los aximatay los sistemas

    justificativos a los que perteneceran no estuviesen all en discusin, y

    precisamente por ello, creo que sera igualmente posible observar, en elresto de la obra, un grado de profundizacin y reelaboracin filosficade este material terico recibido de las matemticas de su tiempo sinprecedentes textuales. Nada impedira en tal caso que, de la lecturade su obra, se pueda seguir infiriendo, con Barnes que

    La prctica balbuceante de los matemticos y las nociones grandio-sas y programticas de la Academia fueron reemplazadas por teori-zaciones filosficas detalladas y rigurosas.51

    En efecto, pienso que antes y despus de la definicin que estudio,el Corpus permite reconstruir una doctrina filosficamente estimulantede los aximata (y, con ella, probablemente, una definicin aristotli-camente terica u operacional), cuya exclusiva propiedad es atribuible

    __________________49 V.g. Leszl (1981:275 ss) e Hintikka (1999:781). Pero cf. Kenny en n.13.50 Cf. n. 15.51 Ibid.

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    a Aristteles, aun cuando ella concentre en DT, con cierto valor metodo-lgico52, la concepcin usualmente aceptada por sus coetneos exper-tos53. A modo de ejemplo, en 5.2, sealo algunos de los rasgos centra-

    les de aquella doctrina ms avanzada, no presentes en su primera defi-nicin que, como precisiones tcnicas ulteriores respecto de DT, insi-nan, tambin, parte de las dificultades que pueden aparecer en el lasetapas del programa acabado de reconstruccin.

    Por otra parte, las diferentes traducciones e interpretaciones de laobra de Aristteles que recurren al cultismo axioma para verter ax-ma podran inducirnos a suponer la implcita defensa de la conclusinB anterior. Sin embargo, aquella asimilacin directa del concepto deaxma (que puede reconstruirse como tcnicamente aristotlico) alnuestro, puede prestarse a confusiones no menores.

    Ciertamente, es correcto considerar en nuestros trminos a losaximata aristotlicos como bsicos en varios sentidos, relacionadoscon cierta concepcin actual capaz de expresar la estructura de las rela-ciones que mantienen entre s las afirmaciones cientficamente relevan-tes sobre un determinado mbito de lo real, concepcin que puederesultar con un sesgo semntico, por una parte, y sintctico, por el otro.

    Pero debemos tener presente que hay insalvables diferencias para unaasimilacin directa de sus conceptos entre los aximatay los axiomasactuales. Quien se remita a la consulta elemental sobre cmo debeentenderse el concepto de axioma en la actualidad, se encontrar conuna interesante y profunda discusin, en la que probablemente preva-lecer cierta concepcin ampliamente admitida sobre la axiomtica for-mal moderna54. El hallazgo no ser irrelevante para comprender cmo

    __________________52 Esto ser parte de las conclusiones que pueden extraerse del anlisis del valor

    definicional de DT. Trato el asunto en 3 y 4 (esp. 4.6).53 Cf. en Barnes (2002:99) la sugerencia en la remisin a Einarson de que

    quiz el uso terminolgico acostumbrado que menciona Aristteles no perteneci almbito de las matemticos.

    54 Una idea bsica actual sobre el mtodo axiomtico formal indica que los axio-mas son proposiciones que resultan fundamentales en la presentacin de dos tipos decosas: (1) la lgica subyacente a una teora, a los que llamamos axiomas lgicos, y(2) verdades no-lgicas o sustantivas de la teora, a los que llamamos axiomas pro-pios. La llamada ley del tercio excluso es un ejemplo de lo que los primeros repre-

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    podra entenderse el llamado mtodo cientfico de Aristteles. Enefecto, considrense v.g. la influyente reconstruccin de Barnes: unaciencia demostrativa es un sistema deductivo axiomatizado que consta de

    una serie finita de apodexeis (o demostraciones) conectadas55

    . As, lasciencias demostrativas pueden exponerse: Sn: an0 an1 . . . anmnCada Si es una ciencia independiente que consiste en la serie de propo-siciones ai0 . . . aimi. Sus axiomas son representados por el primer miem-

    bro de la serie y cada miembro subsiguiente se sigue de su predecesor deacuerdo con las reglas de la inferencia silogstica. Hay n ciencias, y latotalidad de los hechos cognoscibles es n + m1 + m2 + ... + mn.56.

    Adems, Aristteles ofrece una explicacin formal y precisa de lademostracin en losAnalticos segundos57; en suma, nos enfrentamos auna teora altamente formalizada de la metodologa cientfica58.

    __________________

    sentan. La ley de que cero no tiene predecesor, en la axiomatizacin usual de la arit-mtica de los nmeros naturales, es un ejemplo de lo que el segundo tipo de axiomasrepresenta. En cualquier caso, resultar provechoso para completar el anlisis de lasdiferencias que expongo considerar que What sets apart the formal axiomatic method

    from the earlier axiomatic thinking of, say, Euclids geometry is that the primitive termsoccurring in the axioms are uninterpreted and the axioms devoid of any meaning; and thatthe rules of reasoning have been made completely explicit and formal. The axioms state

    purely formal relationships between the terms. This suffices for the purpose of deducingtheorems from the axioms by rigorous reasoning. [...] In the formal axiomatic method thesubject matter is provided from the outside by an interpretation of the primitive terms ofthe theory. One and the same theory may be open to radically diverse interpretations. A

    perspicuous system of axioms requires under the formal axiomatic method the independ-ence of each axiom from the others: a dependent axiom can be dropped without loss of con-tent. Swijtink (1998:1 The axiomatic method) . Los trminos (primitivos) no soninterpretados y, consecuentemente, los axiomas carecen de significacin. Una agudadiscusin sobre la axiomatizacin aplicada al caso Aristteles en Leszl (1981:275 ss),

    y sobre la axiomatizacin relacionada con los Elementos de Euclides, en Mueller(1969:289 ss).

    55 Barnes (1969:123). El nfasis es mo.56 Op.cit. 148.57 Op. cit. 126. En el artculo citado, Barnes utiliza la palabra formal en una

    variedad de sentidos, por ejemplo, para referirse a la estructura de la enseanza msall de sus contenidos, pero no parece ser el caso en las lneas que aqu cito, las cualesse refieren al hecho de que la exposicin aristotlica de la metodologa cientficodemostrativa abstrae de sus contenidos posibles y procede utilizando un lenguajesimblico artificial (lo cual es mucho decir para la exposicin deAPo., naturalmente).

    58 Op. cit. 124.

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    Sin embargo, las concepciones acerca de la formalizacin de siste-mas y de la axiomtica formal moderna establecen una serie de incom-patibilidades bsicas con el concepto de axma, tal como mayoritaria

    e influyentemente la crtica aristotlica lo ha interpretado. Al margende las obvias diferencias en su mbito de aplicacin teoras (cientfi-cas) modernas59 versus ciencia demostrativa o demostracin aristotli-ca, quiero destacar slo algunas diferencias que pienso estn entrelas ms importantes:

    1. Una cosa es que una reconstruccin como la anterior deBarnes de la presunta metodologa cientfica muestre un carcterformalizado y otra que lo que Aristteles ha pensado sobre cada cienciademostrativa sea asimilable a una teora cientfica entendida como unsistema axiomtico o un sistema axiomtico formal60. Ninguna de lasdos ltimas variantes es aristotlica. La primera, porque los aximatano pueden ser consecuencias lgicas (silogsticas) de s mismos61. Losegundo, por lo mismo y porque los aximata nunca son presentadoscomo proposiciones formales62 (aunque as pudiramos reformular-los).

    2. El hecho de que nuestros axiomas sean fundamentales significaque ellos no admiten prueba deductiva a partir de otros enunciados de

    __________________59 Cuyo contenido (o informacin ofrecida) podra ser concebido como el

    conjunto de consecuencias lgicas de los axiomas (Dez (1999:268)) propios. Unsistema axiomtico es una teora organizada axiomticamente, lo que implica que enla teora de que se trate se incluyen sus axiomas (cuando se trata de una teora axio-mtica) (Cassini (2006:55); cf. lo citado por n.18). El asunto de cmo caracterizar,desde un punto de vista formal, (1) el papel que desempean los axiomas en la baseaxiomtica de una teora, y (2) a una teora en relacin o no con sus axiomas, implicaun enorme desarrollo y discusin entre diferentes versiones de enfoques sintctico-axiomticos y semnticos o modelotericos; asunto que no slo es irrelevante, sinoque es imposible de abordar aqu. Un panorama del asunto puede verse en Diez(1999:267-366)

    60 Sobre estas nociones puede verse Cassini (2006:55 y ss.)61 Cassini (2006:22) reconoce esta seria limitacin del silogismo como herra-

    mienta lgica.62 Ha de resultar extrao que quien es considerado el iniciador de la lgica for-

    mal por la introduccin de variables en las leyes de su silogstica, al percibir conintuitiva seguridad qu es lo que pertenece a la lgica (ukasiewicz (1997:22)), nohaya preferido exponer formal o simblicamente prescindiendo de la dimensinsemntica al menos algunos de los ejemplos ofrecidos de expresiones axiomticas?

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    veracidad tampoco es actualmente requerida66; y (d) puesto que unamisma teora admite formulaciones axiomticas diversas, de los axio-mas que componen cada una de esas formulaciones de la teora no

    puede requerirse que revistan el carcter de necesarios para esa teora.No en todas las interpretaciones de la crtica los aximata aristotlicosconservan, entre otros, esos cuatro requisitos simultneamente, pero stodos se han considerado en alguna.

    3. A primera vista, y en los propios trminos de Aristteles, podraverse que los ejemplos de aximata tienen significacin, pues ellos pare-cen serprotseis (si son principios de demostracin67; 72a7) y, por ende,un tipo de lgoi. El mismo desarrollo posterior de la doctrina confirma,al menos, la lectura de que tienen significacin. En efecto, puesto que loque las cosas comunes (o aximata) significan es conocido, no hay queinterpretar68 qu cosa significan (t smanei; APo. 76b20-21), observa

    Aristteles. En otras palabras, uno no tiene que interpretar qu es lodenotado por la proposicin axiomtica es imposible afirmar y negar,porque ello es conocido (gnrimon). Los aximata, para Aristteles, evi-dentemente, tienen siempre cierto significado. sta es, como las anterio-res, otra diferencia sustancial con los axiomas desde la perspectiva(sobre todo sintctica) del mtodo axiomtico formal.

    Finalmente, creo que nada de lo anterior implica que axioma nosea la palabra ms adecuada para verter axma en el sentido tcnicoque, asimilndolos a koin, puede reconstruirse como aristotlico, sinoque la traduccin directa podra resultar, racionalmente, un cultismoopaco y una de las fuentes de potenciales confusiones, por ejemplo,como la sealada por Hintikka (1999:781), consistente en proyectarla idea euclidiana, por no decir hilbertiana de una ciencia axiomtica

    __________________presuponga), algunas de ellas para fijarlas como axiomas. La pregunta por el signifi-cado de los trminos primitivos y por la justificacin de los axiomas de la teora surgepues inmediatamente al contemplar las teoras como sistemas axiomticos. (Diez(1999:272-3)). Vase tamb. Cassini (2006:37 y ss.).

    66 Algunas discusiones modernas Carnap, Hilbert acerca de la atribucin devalor veritativo a los axiomas relacionado con la forma en que estos definen implci-tamente los trminos, vase Diez (1999:288).

    67 McKirahan (1992:41).68 Cf. n. 184 infra.

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    de vuelta hacia Aristteles69, que pueden observarse en erradas visio-nes como las de T4.

    3. DT EN SU TINTAI (VALOR DEFINICIONAL EN CONTEXTO)

    A fin de considerar su tipo definicional, me concentro aqu en el con-texto prximo y en un nico aspecto textual de DT70: el relacionado conla mencin del hbito o costumbre de llamar axma a la clase de obje-tos definidos. Sobre esto ya he observado que la naturaleza de los art-culos en su extensin no es algo que est en discusin71 a esa altura dela exposicin de APo. Como hiciera en otros campos de estudio,

    Aristteles presupone un buen tratamiento de conocimiento pre-exis-tente de parte de su audiencia72y, por ende, ciertos acuerdos implci-tos de todos los asistentes. Dicho conocimiento puede mentar tanto eluso de cierta terminologa bsica, como la comprensin de algunas delas notas esenciales de aquello a lo que la terminologa remite.

    Ciertamente, l crey que las conferencias o lecciones (akroseis)salan bien cuando eran conformes a los hbitos lingsticos y de com-prensin, a las jergas particulares podra decirse y expectativas del

    auditorio de expertos:(C2) Los unos no se contentan con las cosas que se dicen, si no sedice algo de manera matemtica, los otros, si no pormedio de ejemplos, y otros exigen que se aduzca el testimonio deun poeta (Metaph. 995a6-8).

    Asimismo, DT, con una estructura de gnero-diferencia, sugiere queest construida para un cierto tipo de expertos no slo familiarizados

    __________________69 Pero de teora cientfica y de teora axiomtica, como el conjunto de

    todos los enunciados deducibles de los axiomas para, en parte, caracterizar unaciencia aristotlica, todava se sigue hablando (Cassini (2006:22-23)).

    70 Para los aportes tericos que DT en s misma ofrece para el programa dereconstruccin vase 5.1.

    71 En la medida en que Aristteles advierte que cuanto menos l y los poten-ciales asistentes a sus lecciones estn completamente habituados a utilizar la palabraaxma tal como se la presenta en DT.

    72 Burnyeat(1981:118).

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    con cierta terminologa bsica, sino capaces, tambin, de comprender,de manera semejante, sus significados73.

    Considrese, adems, que, enAPo.A2, Aristteles va a anticipar los

    requisitos generales implicados en su concepto central de cienciademostrativa74 de un modo particular. Desde el comienzo, el tipo deredaccin y el modo de argumentacin, caracterizados por cierta repeti-cin de la primera persona del plural75, la reiteracin de algunas tesis quedebieron resultar familiares a los alumnos de la Academia76, y el hechoobservado de que l y su auditorio parecen sostener cierto acuerdo ter-minolgico y conceptual latente como parte del conocimiento previo asu leccin, son elementos textuales que sugieren que Aristteles procedecon decisin a la presentacin constructiva77 de aquella doctrina, a partir

    __________________73 En efecto, Tpicos (141b15-142a11) ensea que el definiens con aquella

    estructura es un tem de conocimiento que presenta directamente lo ms conocido ensentido estricto (hapls) en lugar de lo ms conocido para cada uno de nosotros(141b25-34). ste es, ciertamente, el nico modo de definir, en ocasin de un legti-mo proceso de enseanza y aprendizaje (141a28-31). Pero, por ello mismo, no esapto para cualquiera. Una definicin, como la del trmino axma, no est preparadapara ser presentada a un auditorio de principiantes que a su juicio quiz podranno tener la capacidad de conocer por ese medio (141b17), sino para sujetos ms rigu-

    rosos (142a4), o que tienen bien dispuesto el pensamiento (142a10).74 Ferejohn (1991:140n1) defiende agudamente la idea de que en A2 y, cierta-

    mente, en los tres primeros captulos de la obra, Aristteles est interesado en la ela-boracin de un grupo de condiciones epistemolgicas que l cree que debe satisfacercualquier teora de la justificacin (i.e., apdeixis en sentido no tcnico), mientras queen A10 est interesado en una teora especfica que ha diseado para satisfacer esosrequerimientos.

    75 Sobre el recurso frecuente a los argumentos de consensus para sentar posicio-nes cf. Barnes (2002:91). Otras veces, contextos similares son llamados pasajes-nos-otros, como hace Dring (2000:446). Tales pasajes han sido fuente de diversas inter-pretaciones no ms aceptadas que sugestivas relacionadas, por ejemplo, con ladeterminacin del perodo cronolgico y conceptual de un escrito en cuestin, enparticular, interpretaciones tendientes a establecer la adscripcin o no de Aristtelesa la teora de las ideas (cf. Jaeger (1997:199 y n6) y la refutacin que Dring(2000:446) apoya en Cherniss (en op. cit. n249)). En cualquier caso, es plausible queen algunos de estos pasajes la palabra nosotros signifique nosotros los investigado-res de la Academia; cf. Ross (1924:xxii).

    76 Cf. Ferejohn (1991:6-9).77 El carcter progresivo de la presentacin de las doctrinas deAnalticos segun-

    dos es una interpretacin admisible de los varios lugares en que la terminologa tcni-

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    de cierto tipo de consensus omnium78. Esto es, l avanza sobre una base deevidencia79 constituida por algunas opiniones reputadas (ndoxa) almenos en la esfera de su auditorio. ste es un recurso al que se ha

    dicho80

    Aristteles apela casi obsesivamente en sus lecciones81

    .Ms all de estas fundadas concepciones, pienso que hay indicios muyclaros en el contexto cercano a DT de que Aristteles procede a la cons-truccin de la exposicin de la teora sobre una base de evidencia comn,la cual no debera dejar de tenerse en cuenta. En parte, podra decirse queesa base en Alfa 2 est constituida por un cierto consensus en primerlugar acerca de una idea pre-aristotlica de conocer con certeza (epstas-thai), more scientium82. En segundo trmino, por una idea no tcnica acer-ca de las relaciones entre los principios de la justificacin (silogstica) y lasconclusiones alcanzadas, en un determinado mbito de estudio (quiz,matemtico). En efecto, el texto muestra que su auditorio tena una con-cepcin pre-aristotlica de archdeductivo (o silogstico), segn la cual los

    principios deberan ser apropiados (oikeai) a lo deducido (71b23)83, pues

    __________________

    ca que emplea Aristteles se presenta vacilante. Cf. v.g. Ross (1949:540), quien supu-so que lo que estaba en construccin era, antes que la exposicin de la teora, la ter-minologa terica misma.

    78 Tpicamente aristotlico, este modo de proceder establece el argumentum econsensu omnium para aprovecharlo como elemento de prueba (cf. Oehler (1961)Der consensus omnium als Kriterium der Wahrheit in der antiken Philosophie und derPatristik enAntike und Abendland 10, 103-129; cit. en Dring (2000:626n23)). Cf.tamb. Dring (2000:710y771).

    79 Cf. una explicacin del procedimiento expositivo, de investigacin, sobre labase de evidencia y del valor del acuerdo (krtiston mn gr pntas anthrpous pha-nesthai synomologontas tos rthsomnois), en el logro de conviccin, en relacin conlos lgoi philosphs legmenoi enEE 1216b26-39.

    80 Cf. Burnyeat (1981:117).81 Sobre el carcter y aplicacin de las ndoxa yphainmena como puntos de

    partida dialcticos cf. Irwin (1995:37ss), sobre su valor epistemolgico vase Berti(2002). Sobre el recurso caracterstico de comenzar su argumentacin constructivacon un punto que no est en disputa cf. Irwin op. cit. p. 44. Una cantidad de trata-mientos relevantes sobre las ndoxa se han desarrollado desde Owen (1961), cf. v.g.Nussbaum (1982), Pritzl (1999) y Berti (2002).

    82 Es decir, conocer cientficamente con certeza, a la manera de los expertos (hoiepistmenoi; 71b14) reputados de tales (tal como parecen haber sido los matemticos).

    83 Cf. antecedentes de formas diversas de afinidad entre los puntos de partida ylo derivado, en Platn, Plt. 280b4-9 (aqu, un concepto inferido, o conceptualmente

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    pues Aristteles se esfuerza por presentar las condiciones de produccinde la ciencia demostrativa como garanta de ese requisito de idoneidad(APo. 71b19-22). Y no es una exigencia exclusiva de la concepcin aris-

    totlica deprincipio deductivo, el que su referente sea concebido comoun artculo apropiado para algo: como se puede ver, sta es tanto en elregistro filolgico una nota general del sentido normativo de axma,como una nota cercana a la que conceptualmente se registra en el hechode que los aximata (en sentido no tcnico, i.e. los supuestos) fueranconcebidos como estrechamente afines (snengys) o apropiados(oikeai), i.e., propiamente relativos a la conclusin o al argumento84 porel auditorio prximo al crculo platnico de Tpicos85. En tercer lugar, esclaro que su auditorio tiene una nocin pre-aristotlica de apdeixis, laque claramente no se denominaba ni se asimilaba inequvocamente alsilogismo cientfico86, puesto que l necesita, precisamente, darle ese

    bautismo teortico aqu. Esa nocin le permite a Aristteles organizar sutesis de que, entre los modos de conocer con certeza more scientium(epstasthai), se encuentra el de conocer en virtud de la demostracin((diapodexes eidnai) 71b16-17). Si esto es as, no veo razn para noseguir la indicacin de Aristteles: l presupuso, al menos, que su audi-torio estaba habituado a utilizar el trmino axma de la forma en que lo

    defini, tal como presupuso como conocidas o familiares otras nociones.Y si el trmino fue tomado de las matemticas, el uso habitual al quealude puede ser ejemplificado con el que hicieron los matemticos, i.e.,

    __________________

    separado, tiene una conexin con (oikeitta), o es apropiado a, aquello a partir de locual fue inferido); Phd 100a3-7; 101c9-e3 (aqu, entre el punto de partida un enun-ciado o hypthesis slida y los enunciados subsecuentes existe una relacin de con-cordancia (symphnen), en otro lugar he defendido la idea de que esa relacin esinterpretable lgicamente como una relacin de entraamiento entre el punto de par-tida y los enunciados subsecuentes, la cual funciona como criterio veritativo (cf.Mombello (2003); sobre la valoracin del segundo rumbo de Phd. en relacin conel papel que juegan las hiptesis en las discusiones filosficas relativas a la axiomticagreiga, vase Mueller (1969:292)).

    84 Cf. 155b15 y 156a23-26 y 160a6-7.85 Tpicos se mueve ms completamente que los Analticos dentro del crculo

    de pensamiento platnico (Ross (1949:6)); cf. tamb. Dring (2000:121).86 Cf. Top. 155b15-16 donde los silogismos cientficos se producen a partir de

    ciertos aximata quiz, como en el resto del libro viii, se trate de protseis. Cf.Slomkowski (1999:29 n.101).

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    no es incompatible con el de aquellos lo que no implica que ni ellos, nisu auditorio, supieran responder con precisin teortica aristotlica a lapregunta socrtica qu es axma?, naturalmente.

    Sea que la leccin en la que aparece DT estuviera preparada paraexpertos matemticos o no, lo cierto es que Aristteles parece estar intro-duciendo un concepto comprensible, que no aporta mucha ms novedadque su clarificacin y precisin, a un auditorio que l crey habituadoa utilizarlo, precisamente, en el sentido establecido. Un auditorio que nonecesita tener ms conocimientos matemticos que los que un investiga-dor de la Academia como l mismo pudiera haber tenido87. En trmi-nos actuales, su definicin de axma corresponde a lo que solemos lla-mar definicin lexicogrfica. Preparada para el auditorio que ha tenidoen mente una vaga idea de experto, el cual conoce con certeza morescientium lo referente a cierto dominio de cosas y efecta pruebasdeductivas rigurosas (a veces llamadas demostraciones88 en sentido notcnico) acerca de esa de esfera de su saber (a la manera de los matem-ticos), la definicin de Aristteles aporta, desde luego, ciertas precisasfijaciones teorticamente bsicas al concepto genrico de principio deuna deduccin: precisa que ste es inmediato (i.e que no hay otro ante-

    rior (72a8) o sea, que es causa de lo probado (71a31) o ms conocidoen algn sentido (71b35-72a5)), que no lo es de cualquier inferencia sinodel silogismo, y llega a diferenciar la especie de los aximata por su con-dicin de conocimiento previo a todo aprendizaje hasta aqu, plausible-mente deductivo o silogstico. Pero ninguna de estas ideas, en forma indi-

    vidual, debi resultar completamente ajena a su auditorio, si estaba cer-cano al crculo platnico o, al menos, ha asistido a algunas de sus leccio-nes deAnalticos primerosy escuch la revisin que comienza enAPo.A1.

    Aristteles esper que su auditorio comprendiera los lmites de loque estaba diciendo, tanto como pens que comprendera su mencindel rompecabezas deMenn 80e (71a29) en relacin con el tipo de cono-cimiento previo que requiere todo saber de cierto valor epistmico, y comosu auditorio debi comprender lo interesante del asunto que lo com-

    __________________87 Una defensa del talento matemtico de Aristteles en Ross (1949:59).88 Cf. Phd. 73a; 77c; 92d (aqu las demostraciones son las pruebas que parten de

    hypothseis);passim en Platn.

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    prometi desde la primera lnea deAPo. (71a y ss): el establecimiento dela necesidad del conocimiento preexistente (o que necesariamente hay quetener de antemano (71a11)), que est presente en el fenmeno de toda

    enseanza y todo aprendizaje intelectual de algn valor reconocido para suequipo de colegas (tal es lo que sucede con las matemticas, los argu-mentos deductivos e inductivos, e incluso los retricos). La existenciadel axma TE89 (APo.71a14) es un ejemplo de ese conocimiento. Enpocas palabras, la evocacin presente en DT le evita a Aristteles el tenerque recurrir a otros tipos de evidencia en relacin con la exigencia departir de conocimientos preexistentes, por ejemplo, a la que presenta laconocida pirueta con compromiso innatista que Scrates efecta sobreel esclavo delMen. Aristteles no est preocupado momentneamen-te por establecer claramente la funcin propia que los aximata pue-dan cumplir, el origen de donde puedan proceder o su naturaleza,desde el punto de vista de su propia teora de la ciencia demostrativa(todo lo que, mediado por una cantidad de difciles desarrollos argu-mentales y precisiones teorticas, no cerrar su primer tratamientohastaAPo. B19). De ninguna manera, tampoco, se preocupa aqu por laimportancia que ellos pueden tener para la filosofa en general90.

    Por el momento, l parece estar ms preocupado por recordar que

    artculos con esas caractersticas definidas son algo dado en, yvaloradocomo, el origen de toda empresa de enseanza intelectual y ms quenada en la de base silogstica de cada epistm, aun en sentido no aris-totlico.

    Como otras veces, Aristteles slo crey poner un poco de ordentericamente incontaminado en la masa conceptual recibida; pero esta

    vez, intenta desambiguar su vocabulario por el uso establecido del tr-mino axma. Que lograra o no tal asepsia teortica es harina de otro

    costal. Pero, naturalmente, tanto el caracterstico labrar cierta materiaprima conceptual ya discutida evidente en Tpicos yAPr., como laprecisin resultante del orden en que dispone los conceptos para lograrla determinacin conveniente de los objetos a los que apunta la defini-cin, son inconfundible, normativa y originalmente aristotlicos.

    __________________89 Para los ejemplos de aximata utilizo la nomenclatura de 5.4.90 Vase 5.

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    4. LOS SALDOS PRIMEROS DE ENTENDERDTCOMO LEXICOGRFICA

    4.1 EXPOSICIN GRADUAL DE UNA TEORA REFINADA(SOBRE P1)

    Cualquier estudio del desarrollo de la teora aristotlica de los axi-mata puede tener presente las visiones T3 y T4, que resultaran ele-mentos vitales del problema de la originalidad de la axiomtica. Peroellas, aunque han discurrido paralelamente sin entrar de lleno en con-frontacin, no encajarn nada bien, a no ser que esa definicin tenga uncarcter lexicogrfico. En tal caso, sugiero que convendra comprender

    que Aristteles desarrolla la exposicin de su doctrina al menos endos niveles. En el primero de ellos se expresan las bases de lo que se des-envolver luego, en un segundo nivel. Este ltimo es aquel en el que seregistran varias precisiones tericas91 para la comprensin acabada de lasignificacin de axma, a medida que l describe los avances de la teo-ra de la ciencia demostrativa. El nivel primero estara caracterstica-mente determinado por lo que Aristteles crey era el uso establecido

    y preexistente del trmino, apto para sentar las bases de una doctrina delos aximata comprensiva, apropiada para, e incluida en, su teora de la

    ciencia demostrativa. La presentacin del trmino axma tiene lugaren el desarrollo introductorio de la teora de la ciencia demostrativa de

    APo.A2.El problema P1 muestra claramente que (T7) varias determinacio-

    nes conceptuales que habitualmente cuentan como centrales en lasinterpretaciones de la doctrina de los aximata (veracidad, ser prima-rio, relacin indisoluble y constitutivamente recproca con la demos-tracin y la ciencia demostrativa, i.e. su poco claro papel originario92,

    etc.) no estn explcitas en la definicin del trmino tcnico que lapresenta y supuestamente debera sintetizar. Puede haber diferentesrazones para ello, entre las que pienso que cuenta centralmente el tipo

    y funcin de la definicin por la que Aristteles presenta y estructuraelementos basales de su doctrina, en un primer nivel. Antes que una

    __________________91 5.2.92 Abordo algunas de estas determinaciones en 5.2.

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    definicin imprecisamente terica para un trmino tcnico utilizadocon vacilacin, una definicin lexicogrfica en la metodologa expositi-

    va de Aristteles torna naturales aquellas ausencias, que dejarn de ser

    tales en el nivel avanzado de exposicin de ciertas precisiones. As, eneste enfoque, P1 deja de ser un problema potencial para el programa dereconstruccin doctrinal. Es claro, tambin, que estas determinacionesde T7 no resultan conceptualmente incompatibles con las que explci-tamente constituyen a DT93, aun cuando, en relacin con algunas deter-minaciones que la completan, no sea perfectamente visible cul es ellugar si lo tienen94 que ocupan.

    4.2 SOBRE EL PROBLEMA DE LAORIGINALIDAD (LEJOS DE T3)

    Es evidente, por tanto, que el examen precedente deja una cantidadde cuestiones por analizar y un amplio saldo prospectivo. De maneranegativa, se pueden computar adems dos limitaciones bsicas queafectan el orden metodolgico. Primero, no conservamos actualmenteregistros textuales95 que precedan al uso aristotlico del trmino ax-ma, sobre la base del cual defender seriamente la controvertida idea de

    (T8) la existencia de un modelo axiomtico pre-aristotlicoobrante en las matemticas que Aristteles pudo observar, y unareconstruccin plausible de ese presunto modelo.

    En segundo lugar habra que considerar el hecho de que no existeevidencia de peso, ni en el nivel de la exposicin de la doctrina que ocu-

    __________________93 Vase (i-iii) en 5.1.94 Por ejemplo, en contra de la inclusin de la auto-evidencia en esa recons-

    truccin, Barnes (2002:97) es extremo: se debera enfatizar que Aristteles norequiere que sus principios sean auto-evidentes [...] la nocin tarda de que los axio-mas de una ciencia pueden ser, en algn sentido, evidentemente y a todas luces ver-daderos no es en absoluto aristotlica. Pero cf. n. 64.

    95 Aunque hay indicios ciertamente, muy discutibles, a su vez de que esto nofue as en tiempos de la Academia. Vanse argumentos concordantes y que siguen laidea de Heath (1921) A History of Greek Mathematics, Oxford, p. 217 contra lasupuesta evidencia disponible para hablar de una metodologa axiomtica pre-aristo-tlica en Barnes (1969:130-2; punto iii): Este punto es de crucial importancia, yaque es el mtodo, y no la sustancia del avance matemtico, lo que se alega que hainfluenciado a Aristteles (p.131).

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    pa a la definicin por la que se establece el llamado concepto tcnico deaxma, ni en el nivel de la exposicin ms expresa y avanzada de las exi-gencias ulteriores de la teora, a favor de la suposicin todava operan-

    te en actuales y sobresalientes explicaciones de que(T9) la intencin de Aristteles en APo. pudo haber sido la deextender la aplicacin de la dudosamente existente y difcilmen-te reconstruble axiomatizacin del modelo matemtico pre-euclideano al dominio entero de la ciencia96.

    Pero estas mismas razones ofrecen su costado constructivo.

    4.3 LO QUE EVOCA EL TRMINO: UN NUEVO PUNTO DE PARTIDA PARA LARECONSTRUCCIN DE LA DOCTRINA

    Ciertamente, las limitaciones recin sealadas abonan la idea, yaexpresada por Leszl97 (sobre la base de la multiplicidad de severas dudaspersistentes en la explicacin de APo. en trminos de axiomatizacinmatemtica), de que se justifica una nueva mirada sobre el asunto. Peroaquella mirada puede reconstruir el sentido aristotlico de axma ysus implicancias nuevamente, sin considerar DT como terica, ni el tr-

    mino como tcnico en ese pasaje. Para el intento de una relectura (4.4-5.2) en estos trminos, corresponde recordar que lo visto en 3 hacepausible la idea de que el uso del vocablo axma es un recurso de

    Aristteles para evocarinstantneamente en su auditorio el tipo y la fun-cin (en el razonamiento y en el aprendizaje) basales, i.e., conocidos yaceptados (en 72a14-18), que algunos principios constitutivos de laspruebas reputadas entre los expertos tienen. Sin perjuicio para la evoca-cin de otras notas conceptuales operantes, con el slo uso del trmino

    Aristtelespone de relieve, as, sobre todo, la necesidad de contar con cier-tos conocimientos de antemano a cualquier saber cientficamente relevante(y, por ende, intelectualmente enseable98). Esta evocacin implica que el

    __________________96 Cf. n. 13. Por supuesto, esto no implica que Aristteles no haya pretendido

    extender supropio modelo axiomtico al dominio entero de la ciencia demostrativa.Pero la reconstruccin de ese modelo es harina de otro costal.

    97 Op. cit. 274.98 Para Aristteles y sus oyentes al menos conocedores de la existencia del

    Menny sus planteos pertinentes, la epistmsiempre est platnicamente vinculada

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    trmino ha tenido ciertafuncin en el filosofar terico de Aristteles, lacual retomo a partir de 5.5.

    4.4 RELECTURA DE LOS PASAJES EVOCATIVOS

    Con naturalidad, entonces, aunque otras lecturas del pasaje sonposibles, pienso que no es mucho ms que esta sola evocacin la que hade prevalecer en 76b14: las koin que se llaman [habitualmente entrenosotros, los matemticos-acadmicos] aximata99, si como Ross(1949:540)100 conectamos el pasaje con el paralelo evocativo de

    Metaph. 1005a20 (y por qu no con el de 72a14-18). As, la idea de

    __________________con las tareas del aprendizaje y la enseanza. Vase el origen platnico de estas rela-ciones en Menn 87c1-3; 89b9-c4. Cf. tambin tratamientos posteriores en de An.417b12-13 yRh. 1355a26. De manera convincente, Ferejohn (1991:15 y ss) encuen-tra en las investigaciones iniciadas enMen., R.. yTht. de Platn, el motivo de la orga-nizacin deAPo., en el cual Aristteles intenta responder a cules son las caractersti-cas esenciales del conocimiento en sentido no-cualificado y cmo pueden asegurarseesas caractersticas dentro del contexto de las propias lgica y teora de la predicacinde Aristteles.

    99 Esta no es la nica traduccin de la clusula, pero es literal y sigue el mismocriterio de la lectura aplicada a Metaph. 1005a20. En un argumento sinttico,McKirahan(1992:39) llega a una conclusin semejante: In the common principles,called axioms (t koin legmena aximata), axioms should be understood as a glosson common principles, the term that has been used until now in this chapter (76a38,a41, b10). Pienso que los problemas con esta traduccin son que, al introducir lapalabra principio palabra que no acompaa en el texto a koin se presuponeque el auditorio de Aristteles y no nosotros entiende que todas las koin de las quel est hablando son principios sin necesidad de aclaracin y, entonces, (1) se impide

    ver el lmite bastante preciso trazado por l aqu sobre el extenso suelo de las koin(i.e. sobre la base de lo que su auditorio bsicamente comprende) al introducir ladeterminacin aximata; (2) se presupone al introducir la palabra principio lomismo que quiere interpretar: que Aristteles se estuvo refiriendo a principios comu-nes, identificados por su auditorio como aximata sin necesidad de aclaracin (lo que

    vuelve ociosa la glosa aximata); este ltimo presupuesto es, por lo dems, bastan-te improbable: desde el comienzo del captulo Aristteles utiliza la palabra principiopara mentar esas cosas que no es lcito probar que existen (76a31-2), entre los cua-les caen losgneros de unidad y magnitud (34-5), lo cuales no son koin (aximata).En ibid, vanse otras variantes, ms libres, de traduccin.

    100 Aunque all Ross invierte inexplicablemente contra su propia y natural inter-pretacin de Metaph. 1005a20 (the things that are in mathematics called axioms;

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    76b14 (parte del segundo nivel de exposicin de la doctrina) puedeleerse como una especificacin de las koin aplicable a ciertos instru-mentos (76a37) de produccin de ciencias demostrativas concordan-

    te con las expectativas de su auditorio. En tal caso, por tanto, est justi-ficada la desconfianza (y a ella me sumo) en la idea de que el trminoaxma tiene, en rigor, un valor filosfico-aristotlico decididamentetcnico-terico al menos dentro del marco deAnalticos. Pero, segnse ver, tanto la relacin entre koin yaximata que es tcnicamentemejor precisada por Aristteles en el transcurso del segundo nivel de suexposicin (5.2), como el nfasis puesto en la existencia de aximata(5.7) con inusuales caractersticas (5.6), podran sugerir profundasdirecciones para la retrotraccin interpretativa enAnalticos.

    4.5 RELECTURA DE LA ORIGINALIDAD DE LA DOCTRINA SIN T3 NI T4

    Por otra parte, pienso que aquella nueva mirada sobre la doctrina delos aximata deAPo. debe poder explicar su originalidad o no, toman-do como punto de partida las afirmaciones de Aristteles en su propiocontexto. Bsicamente, puede argirse en favor de esa perspectiva que

    (T10) no parece razonable dudar de que Aristteles ha credoque l tomaba la palabra101 axma y su aristotlicamenteimpreciso concepto del dominio de los expertos en matemtica,para utilizarlo decisivamente como parte basal del concierto desu teora de la ciencia demostrativa, y que lo ha tomado y expre-sado tal como slo l poda verlo, antes de alcanzar la exposicinde los avances de la investigacin102 sobre la teora de la demos-tracin y la ciencia demostrativa que desarrollar en APo., des-

    pus de sentar los fundamentos de stas en A1 y 2; y(T11) es el registro de su propia pluma el que para nosotroscuenta como evidencia primera de un uso matemtico (pre-aris-totlico) del trmino.

    __________________

    Ross (1924:261)) la lectura deAPo. 76b14 al traducir the axioms which the mathe-maticians call common. Cf. tambin con Barnes (2002:99), el cual sigue a Bonitz.

    101 Ross (1949:511).102 APr.A1,24a1-2.

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    Sin embargo, contra lo que podra suponerse, ni de T7103 ni de T11pueden colegirse T8-T9104, si la definicin de APo. estudiada aqu eslexicogrfica antes que imprecisamente terica: el uso en ciencias de

    principios probatorios conocidos de antemano al aprendizaje razonadono implica la existencia de un modelo axiomtico pre-aristotlico, nicomo el tripartito que Aristteles se afana en describir como natural-mente constitutivo de la ciencia demostrativa (76b11-21) que se ocupade las demostraciones (75a39-b2), ni mucho menos semejante al eucli-diano o posterior.

    4.6 LA FUNCIN DE DT IMPLICA ORIGINALIDAD PARA NOSOTROS, NOPARAARISTTELES

    Toda definicin lexicogrfica, como puede considerarse a DT, es uninforme acerca del uso ms o menos ortodoxo del trmino en ciertombito y, en cuanto tal, puede resultar con reservas obvias verdaderao falsa. En cualquier caso, ella tiene sin dudas algo ms que aportar alas discusiones actuales sobre la historia o prehistoria de la axiomti-ca y sobre el valor de Aristteles como historiador de las ideas.

    Constructivamente, tambin, T10 y T11 implican que Aristteles nocrey ser, o no fue105, original al elaborar las bases de su propia doctrinade los aximata. En parte, eso no sera nada sorprendente: l no parecehaber credo ser original aunque lo haya sido en relacin con varios desus trminos tcnicos implantados a la base de sus altas construccionestericas. En efecto, ha visto que Scrates se haba ocupado con la tica(t thik), fijando su atencin por primera vez en la definicin (horis-ms) e investigando lo universal (kathlou)106, y que filsofos anteriores

    a l107

    haban postulado la materia (hyl), por ejemplo108

    . Por ello,__________________103 Cf. 4.1.104 Cf. 4.2.105 De esto por T11 no hay evidencia.106 Cf. Metaph. 987b1-4; 1078b17-31.107 Tales, Anaxmenes, Anaxgoras, Empdocles, Anaximandro, Herclito y el

    mismo Platn (Boeri (1993:144) ad Ph. 187a12).108 Este enfoque distorsionado tan visible en Fsica I 4 de Ar. es un problema

    clsico de la exgesis presocrtica de Cherniss en adelante (cf. v.g. Kirk (1999:18);

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    de las ensordecedoras ausencias de T7 lo ms que podra especularsesi el informe de uso del trmino que Aristteles realiza en su definicinfuese verdadero es la existencia de una manera habitual de impartir

    conocimiento de cualquier tipo (en un aristocrtico circulo de expertos,quiz matemticos), consistente en parte en considerar como axi-mata a ciertos puntos de partida argumentativos que han de ser necesa-riamente conocidos de antemano por el que aprende intelectualmente,aun si es capaz de aprender a partir de su propia investigacin:

    (C3) El filsofo, es decir, el que investiga por s mismo, no se pre-ocupa en absoluto, toda vez que el silogismo se ocupa con cosas que verdaderas y bien conocidas, [] pero igualmente se esfor-

    zara en que los postulados (t aximata)109 sean indudablemente

    __________________

    Eggers Lan (1986:28-33) y Boeri (1993:22n.19)). Sobre la distorsin aplicada al casode la actividad filosfica de Scrates cf. v.g.Vlastos (1992:93).

    109 Slomkowski(1999:33) prefiere protaseis; Pickard-Cambridge en Ross(1952:211), axioms, lo cual reproduce sin enmiendas Barnes (1995:261); aunqueen su registro altamente selectivo (p.2467) de axioms, prefiere registrar comonica entrada de Top. el pasaje de 156a23 (p.2472). El pasaje parece ser una interpo-lacin pero, en cualquier caso, sin contar aun con una teora de los aximata para laciencia demostrativa que los diferencie de las hypothseisy los aitmata (APo. 73b23-24; cf. Bonitz (1958:70)), el trmino axma tiene aqu un sentido normativo no tc-nico, que quiz sea prximo al que los expertos contemporneos han utilizado, segnsugiere Aristteles. En espaol, postulado es una traduccin de compromiso quenecesita una justificacin filolgica que no es posible ofrecer aqu. Tngase en cuentaque, enAPr. 62a11-19, Aristteles dio una muestra de cmo, en un tipo particular deuso, un axma un postulado que si es utilizado para probar la verdad tiene que seruna consideracin necesariamente falsa resulta una opinin reputada (ndoxon) slopara quien la admite (Ross (1949:452) ad 15) y contradictoria de lo que se concluir,para su aplicacin silogstica en la prueba de reduccin al absurdo. No deja de ser lla-mativo, y un dato para un estudio ms profundo, que, en esta significacin, el trminoaxma en ocasiones parece haber podido ser comprendido como tan prximo al dehypthesis (suposicin, cf. v.g. Metaph. 1005a13; 1055b34; 1013a16, b20; 1083b6,1086a10, 15; 1090a27) que, cuando le es necesario referirse a las caractersticas tcni-cas que l atribuye a los aximata en una exposicin terica, Aristteles necesita des-pegarlos conceptualmente de las hypothseis (APo. 76b23-24; Metaph. 1005b8-18)entendidas como postulados o suposiciones, generalmente, pertenecientes a la esferade conocimiento de alguna disciplina ms o menos rigurosa, como la geometra quePlatn describe en R. 510c.

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    bien conocidos y prximos, pues de ellos se producen los silogis-mos para la ciencia110 (Top. 155b10-16).

    Si se considera, junto con el anlisis contextual, el marco histrico-filosfico plausible que puede dar sentido en la medida de lo posibletambin al orden expositivo (a primera vista, enredado) de la doctrinaoriginal, tal como se lo ha considerado en relacin con el orden de laresolucin de los problemas filosficos a los que APo. parece dar res-puesta111, entonces la originalidad de la doctrina de los aximata noencuentra conflictos con su primera presentacin en sociedad. La con-dicin para esto es que la definicin de axma sea considerada de tipolexicogrfica, la cual o bien lleva implcitas una serie de determinaciones

    aristotlicas fundamentales para la doctrina, o bien prepara el terreno,por medio de cierta ordenacin conceptual, para otras. En este caso, laconcepcin usualmente aceptada por sus coetneos expertos funcionapara Aristteles como ncleo metodolgico para el ulterior desarrollosistemtico de la doctrina acabada.

    Adicionalmente, si la definicin de axma reviste el carcter expositi-vo que he indicado, el programa de reconstruccin de la doctrina puede

    seguir contando con la originalidad de Aristteles enAPo. sobre el asun-to, sin apelar a la habitual adhesin a T2. Vista as, esta definicin teri-camente insuficiente no solo puede ser considerada como un legtimoaporte de Aristteles al desarrollo posterior de la axiomtica (el primeroque conservamos), sino como una ms de sus refinadas contribuciones anuestra disposicin de estrategias relacionadas con los modos de intro-duccin, presentacin y argumentacin en favor de una doctrina original.

    5.AXMA: FUNCIONES GENERALES Y NATURALEZA.

    La importancia que Aristteles otorga, finalmente, a los aximata enla investigacin del filsofo es conocida: estn a un mismo nivel con laousa. Tambin es claro por qu tienen tal relevancia: son los principios

    __________________110 Sobre enai ek toutn, de ellos se producen cf. 5.2.111 En esta direccin vase v.g. Ferejohn (1991:15-16).

    76 Eduardo Mombello

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    de todas las cosas sin excepcin y, razonablemente, por tanto, univer-sales en el ms alto grado112. El punto es cmo conciliar esto con nues-tra comprensin de los aximata como principios pertenecientes a cada

    ciencia?113

    En una parte no menor, la respuesta implica, evidentemen-te, un compromiso con el ncleo problemtico P3.Conforme al enfoque reconstructivo que el anlisis sobre el carcter

    de DT parece sugerir, hay dos grandes etapas de la teora que conciliarpara cualquier visin sinttica de la cuestin. Presento partes decisivasde sus contenidos en 5.1 y 5.2, respectivamente. Dadas las limitacio-nes de espacio de un trabajo como el presente, slo presentar, ensegundo lugar, tres respuestas influyentes y discordantes para P3(5.3), prcticamente sin discusin. Sobre la base de los contenidosdoctrinales que he distinguido y el estudio de las sugerencias de los pro-pios ejemplos registrados por Aristteles (5.4), muestro finalmente(en 5.5-5.7) la visin sinttica que me parece aristotlicamente msnatural y plausible para P3.

    5.1 DT EN SU TINTAII (PRESENTACIN INICIAL DE LA DOCTRINA)

    En mi interpretacin, la determinacin de un principio P como ax-ma, considerando el aporte que DT en s misma hace al programa dereconstruccin, est dada por la conjuncin de tres circunstancias quepueden esquematizarse as:

    i) P es un principio inmediato silogstico, yii) no hay un silogismo tal que P sea su conclusin114, y

    __________________112 Metaph. 997a12-13; 1005a20-21. Cf. (C5) infra.113 Creo que esta misma pregunta bien ha podido ser una inquietud prevista por

    Aristteles entre los expertos frente a los cuales presentAnalticos segundos. De all lanecesidad del tratamiento terico y el nivel de importancia metafsica en los que

    Aristteles ubica, finalmente, a los aximatajunto con la ousa.114 Al ofrecer su definicin de axma, Aristteles procede a dar una primera

    divisin (por dicotoma (cf. McKirahan (1992:43)), distinguiendo thseis de axi-mata. Las interpretaciones, de manera unnime, acuerdan en que ambas especies sonprincipios inmediatos silogsticos y han desestimado el asunto de que ambas tengan,adems, la propiedad de no poder ser probadas (m sti dexai). Aun cuando los intr-pretes dan por supuesto que es as, no incluyen esta propiedad en sus esquematiza-

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    iii) si un individuo x aprender C115, entonces capta P.Cuando P puede ser llamado axma con aristotlica legitimidad,

    las tres premisas anteriores son verdaderas. Si P se llama thsis, enton-

    ces las premisas son verdaderas a excepcin de iii. Es