S€mata kai Sust€mata - Τμήμα Επιστήμης...
29
Κεφάλαιο 2 Σήmατα και Συστήmατα 2.1 Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο, θα συζητήσουmε ορισmένα βασικά θέmατα των σηmάτων, mε έmφαση στα σήmατα συνεχούς χρόνου. Επιπλέον, θα εισάγουmε mερικές βασικές έννοιες και ποιοτικές εξηγήσεις του ‘‘πώς και γιατί’’ της θεωρίας συστηmάτων συνεχούς χρόνου, χτίζοντας έτσι ένα στερεό υπόβαθρο κατανόησης της ποσοτικής ανάλυσης που ακολουθεί στα επόmενα κεφάλαια. 2.1.1 Σήmατα ΄Ενα σήmα δεν είναι τίποτα αλλο από ένα σύνολο από πληροφορίες ή από δεδοmένα. Μερικά παραδείγmατα περιλαmβάνουν ένα τηλεφωνικό σήmα, ένα σήmα ήχου, τις mηνιαίες πωλήσεις mιας εφηmερίδας, ή τις ηmερίσιες τιmές mιας mετοχής του χρηmατιστηρίου. Σε όλα αυτά τα παραδειγmατα, τα σήmατα είναι συναρτήσεις mιας ανεξάρτητης mεταβλητής: του χρόνου. Αυτό δεν είναι κανόνας – ένα σήmα εικόνας ή ένα ηλεκτρικό σήmα που διατρέχει το ανθρώπινο σωmα είναι περισσότερο συναρτήσεις του χώρου παρά του χρόνου. Σε αυτό το σύγγραmmα, θα mας απασχολήσουν αποκλειστικά σήmατα που αποτελούν συναρτησεις του χρόνου. 2.1.2 Συστήmατα Τα σήmατα mπορούν να επεξεργαστούν περαιτέρω από συστήmατα, τα οποία mπορούν να τροποποιήσουν ή να εξάγουν πληροφορία από τα σήmατα που αναλύουν. ΄Ενα σύστηmα επεξεργάζεται ένα συνολο από σήmατα (είσοδοι) και δίνει ένα σύνολο από αλλα σήmατα (έξοδοι). ΄Ενα σύστηmα mπορεί να αποτελείται από φυσικά στοιχεία, όπως ηλεκτρικά, mηχανικά, ή υδραυλικά συστήmατα (υλοποίηση σε υλικό), ή από έναν αλγόριθmο που υπολογίζει την έξοδο από ένα σήmα εισόδου (υλοποίηση σε λογισmικό). Θα mιλήσουmε στη συνέχεια πιο αναλυτικά για τα συστήmατα. 2.2 Κατηγορίες Σηmάτων Υπάρχουν πολλές κατηγορίες σηmάτων, από τις οποίες θα θεωρήσουmε mόνο τις παρακάτω, που mας ενδιαφέρουν περισσότερο: 1. Συνεχούς χρόνου και διακριτού χρόνου σήmατα 2. Αναλογικά και ψηφιακά σήmατα 3. Περιοδικά και απεριοδικά σήmατα 4. Σήmατα ισχύος και ενέργειας 5. Ντετερmινιστικά και Στοχαστικά σήmατα 2.2.1 Σήmατα Συνεχούς και Dιακριτού Χρόνου ΄Ενα σήmα που ορίζεται για κάθε τιmή της ανεξάρτητης mεταβλητής του χρόνου t είναι ένα σήmα συνεχούς χρόνου, και ένα σήmα που ορίζεται mόνο για διακριτές τιmές του t = nT , mε n ακέραιο αριθmό και T mια σταθερά, είναι ένα σήmα διακριτού χρόνου. Το τηλεφωνικό σήmα, το σήmα mιας βιντεοκάmερας, καθώς και το τηλεοπτικό
Transcript of S€mata kai Sust€mata - Τμήμα Επιστήμης...
-
2
2.1
, , . , , .
2.1.1
. , , , . , : . . , .
2.1.2
, . () (). , , , ( ), ( ). .
2.2
, , :
1.
2.
3.
4.
5.
2.2.1
t , t = nT , n T , . , ,
-
22
t
t
t
t
0
0
0
0
() ()
() ()
2.1: : () , , () , , () , , () ,
1 . , , .
2.2.2
. . . , , . M , M - . (M = 2) M - , . (). (). , , . 2.1 . .
2.2.3
x(t) T0
x(t) = x(t+ T0), t (2.1)
T0 . . , T0. , t = ., . 2.2. .
1 Digea ,
-
2. 23
t0
x(t)
... ...
T0
2.2: T0.
2.2.4
.
2.2.4.1
x(t) , . . ; , ( , ). x2(t), . , Ex,
Ex =
|x(t)|2dt (2.2)
, ,
Ex =
x2(t)dt (2.3)
, |x(t)|. .
2.2.4.2
. 0 |t| . , (2.3) .
, 0 |t| , . , , . . x(t), , Px,
Px = limT
1
2T
TT
x2(t)dt (2.4)
Px = limT
1
2T
TT|x(t)|2dt (2.5)
x(t) . . , . , x(t) = t t + ( t ,
-
24
. , ( ) ( ), .
( ), . , , x(t). x(t) , V 2s (Volts seconds), V 2 (Volt ). x(t) , A2s (Ampere seconds) A2 (Ampere ), . , ... . .
2.1:
2.3.
: 1
0.5
0 t
0
x(t)
t
x(t)
1
-1
... ...
e2t
1 3 5-1-3
()
()
x(t)
1
-1
... ...
1 3 5-1-3
()
t
-
0
2.3: () (-) .
2.3(), , |t| . , .
Ex =
x2(t)dt = +
0
e4tdt+
12
0
12dt =3
4(2.6)
2.3)(), , |t| . , . (2.4) , T 2.3)(). .
Px = limT
1
2T
TT
x2(t)dt (2.7)
= limT
1
2T
( 1T
(1)2dt+ 11
12dt+
T1
(1)2dt)
(2.8)
= limT
1
2T
(t]1T
+ t]11
+ t]T
1
)(2.9)
= limT
1
2T(1 + T + 2 + T 1) (2.10)
= limT
1
2T(2T + 2) = 1 (2.11)
( 2.3)() ), ( 4 , ). , x2(t) . ,
Px =1
T0
T0
x2(t)dt =1
4
31x2(t)dt =
1
4
( 11
12dt+
31
(1)2dt)
(2.12)
=1
4
(t]11
+ t]3
1
)=
1
4(2 + 3 1) = 1 (2.13)
.
-
2. 25
2.2:
:
() x(t) = A cos(2f0t+ )
() x(t) = A1 cos(2f1t+ 1) +A2 cos(2f2t+ 2), f1 6= f2
() x(t) = A2 ej2f0t, A C
:
() T0 = 1/f0. . , T0. , , .
Px = limT
1
2T
TT
A2 cos2(2f0t+ )dt = limT
A2
4T
TT
[1 + cos(4f0t+ 2)]dt
= limT
A2
4T
TT
dt+ limT
A2
4T
TT
cos(4f0t+ 2)dt (2.14)
A2/2. , , 2T , T . , . A2/4T , T . ,
Px =A2
2(2.15)
A A2/2, f0( f0 6= 0) . f0 = 0, ! , A2.
()
Px = limT
1
2T
TT
[A1 cos(2f1t+ 1) +A2 cos(2f2t+ 2)]2dt
= limT
1
2T
TT
A21 cos2(2f1t+ 1)dt+ lim
T
1
2T
TT
A22 cos2(2f2t+ 2)dt
+ limT
A1A2T
TT
cos(2f1t+ 1) cos(2f2t+ 2)dt (2.16)
, A21/2 A22/2,
. , , 2
Px =A212
+A222
(2.17)
x(t) =
k=1
Ak cos(2fkt+ k) (2.18)
Px =1
2
k=1
A2k (2.19)
2 f1 6= f2. f1 = f2;
-
26
() , ,
Px = limT
1
T
T/2T/2
A2ej2f0t
2dt (2.20) |ej2f0t| = 1,
A2 ejf0t2 = A2 2 Px =
|A|2
4(2.21)
- , A A2/2. - Euler
A cos(2f0t+ ) =A
2ejej2f0t +
A
2ejej2f0t (2.22)
, A/2, |A|2/4, .
, x(t) :
:
.
, x(t) 0 |t| .
:
T0 , .
|x(t)| < Mx, t Mx < (2.23)
, .
, . .
2.3:
, , .
() x(t) = eat, a > 0, t 0
() x(t) = eat, a < 0, t 0
() x(t) = 2 sin(2t), limx+
sin(x)
x= 0.
() x(t) =
1, t < 0
0, t = 0
1, t > 0
() x(t) = e2t, t [0, 1]
-
2. 27
:
) , . , , .
) , |x(t)| 0 t +.
Ex =
+0
(eat)2dt =
+0
e2atdt =1
2a( limt+
e2at 1) = 12a
(0 1) = 12a, a < 0 (2.24)
) , . .
Px = limT+
1
2T
TT
x2(t)dt = limT+
1
2T
TT
4 sin2(2t)dt (2.25)
= limT+
2
T
TT
sin2(2t)dt = limT+
2
T
TT
(12 1
2cos 4t
)dt (2.26)
= limT+
( 1T
TT
dt 1T
TT
cos 4tdt)
(2.27)
= limT+
(1
T2T 1
T 1
4sin 4t
]TT
)(2.28)
= limT+
(2 1
4t(sin 4T + sin 4T )
)(2.29)
= limT+
(2 2 sin 4T
4T
)= 2 lim
T+2
sin 4T
4T= 2 0 = 2 (2.30)
Px = 2. , .
) , .
Px = limT+
1
2T
TT
x2(t)dt = limT+
1
2T
0T
(1)2dt+ limT+
1
2T
T0
12dt (2.31)
= limT+
1
2Tt]0T
+ limT+
1
2Tt]T
0= limT+
1
2TT + lim
T+
1
2TT (2.32)
=1
2+
1
2= 1 (2.33)
) , .
Ex =
10
e4tdt =1
4(e4 1) (2.34)
2.2.5
, , . , , , , . , .
2.3
. , (audio transformations) , . ,
-
28
(concatenated speech synthesis), () , , , . , (aircraft detection), .
, . : , , . , t.
2.3.1
x(t) t0 , y(t). , x(t), y(t) T .
y(t+ T ) = x(t) (2.35)
y(t) = x(t T ) (2.36)
, t0, t t t0. , x(t t0) x(t), t0 . t0 , (), (). , x(t 2) x(t) 2 , x(t+ 2) x(t) 2 . :
2.4:
x(t) = et 2.4 t0 = 1 .
t
1
0
x(t)
e-t
2.4: : x(t)
. x(t) t0 = 1 .
x(t) =
et, t 00, t < 0 (2.37) xd(t) = x(t 1) ( ) t0 = 1 -, 2.5(). t t 1.
x(t) =
e(t1), t 1 0 t 10, t 1 < 0 t < 1 (2.38) xa(t) = x(t + 1) ( ) t0 = 1, 2.5(). t t+ 1.
-
2. 29
x(t) =
e(t+1), t+ 1 0 t 10, t+ 1 < 0 t < 1 (2.39)
t
1
0
e-(t-1)
x(t-1)
1
-1
1
0
x(t+1)
e-(t+1)
t
()
()
2.5: : () x(t) t0 = 1 -, () x(t) t0 = 1 .
2.3.2
. x(t) y(t) x(t) 0 < a < 1. , , x(t) t, y(t) t/a,
y(t/a) = x(t) (2.40)
y(t) = x(at) (2.41)
, x(t) a > 1
y(t) = x( ta
)(2.42)
, a, t at. a > 1, , 0 < a < 1, .
2.5:
2.6 x(t).
-
30
t
x(t)
e-t/21
0
-1
-12
2.6: : x(t).
2 . 2 .
x(t)
x(t) =
1, 1 t < 0
et/2, 0 t < 2
0,
(2.43)
2.7() xe(t), x(t) a = 2. , x(t/2), t t/2. :
xe(t) = x(t/2) =
1, 1 t/2 < 0 2 t < 0
et/4, 0 t/2 < 2 0 t < 4
0,
(2.44)
t = 1 t = 2 x(t) t = 2 t = 4 x(t/2).
2.7() xc(t), a = 2. , x(2t), t 2t, :
xc(t) =
1, 1 2t < 0 0.5 t < 0
et/2, 0 2t < 2 0 t < 1
0,
(2.45)
t = 1 t = 2 x(t) t = 0.5 t = 1 x(2t).
2.3.3
x(t). x(t), 180 . y(t) = x(t).
y(t) = x(t) (2.46)
y(t) = x(t) (2.47)
, , t t. , x(t) x(t).
-
2. 31
t
x(t/2)
e-t/4 ()1
0
-1
-24
t
x(2t)
e-t ()1
0
-1
-0.51
2.7: : () x(t) a = 2,() x(t) a = 2.
2.6:
2.8,
0 1
1
x(t)
t3
1/3
2.8: : x(t)
x(t), x(t).
1 3 x(t) 1 3 x(t). x(t) = t/3, x(t) = t/3.
x(t) =
t/3, 1 t 30, (2.48) x(t), . x(t) t t x(t)
x(t) =
t/3, 1 t 3 3 t 10, (2.49) x(t) 2.9.
-
32
0
1
x(-t)
-1 t-3
1/3
2.9: : x(t)
2.4
(. , ) . : () (step function), () (rectangular pulse), () (triangular pulse), () (Delta function).
2.4.1 u(t)
, t < 0, . t = 0. . u(t), :
u(t) =
1, t > 00, t < 0 (2.50) -, t < 0 () t > 0 ( ). t = 0 (. t < 0), u(t). 2.10. ,
t
1
0
u(t)
2.10: u(t).
t = t0 > 0, u(t t0). , eat, a > 0 t = . , , 2.11 eatu(t). . . . , t!
2.12(). - (2.12)() , , 2.12(). u(t) - T u(tT ). 2.12(), [2, 4]
x(t) = u(t 2) u(t 4) (2.51)
-
2. 33
t
1
0
e-tu(t), > 0
2.11: eatu(t), a > 0.
t2
1
4
x(t)
0 t2
1
4
x(t)
0
2.12: .
2.4.2
, . rect, rectangular3.
( T
2,T
2
)= Arect
( tT
)=
A, t (T/2, T/2)0, (2.52) 2.13.
t-T/2
A
T/2
x(t)
0 t-T/2
A
T/2
x(t)
0
-A
2.13: .
rect(). t. ,
3, .
-
34
Arect( tT
)= A(u(t (T/2)) u(t T/2)) = A
(u(t+
T
2) u(t T
2))
(2.53)
2.12,
rect( t 3
2
)= u(t 2) u(t 4) (2.54)
2.4.3
, tri, triangular4.
( T, T
)= Atri
( tT
)=
A(
1 |t|T), t (T, T )
0, (2.55)
2.14.
0 T
A
t
Atri(t/T)
-T
2.14: .
t. tri() - , rect. .
2.4.4 (t)
( , , (t), ), . , . 5.
(t) = 0, t 6= 0 (2.56)
(t)dt = 1 (2.57)
. , , ( (2.57) ). 0. , , 1 ( 1 = 1). , , , ! , ; , 2.15 , , . ; , . - - , .
2.4.4.1
x(t), t = 0. t = 0, x(t) t = 0 x(0),
x(t)(t) = x(0)(t) (2.58)
4, .5 t.
-
2. 35
t-/2
1/
/2
p(t)
0t0
(t) 0
2.15: : .
, x(t) (t), (t T ) ( t = T ),
x(t)(t T ) = x(T )(t T ) (2.59)
; x(t), x(t) ! , , ( ) ! 2.16.
x(t)
0 0
(t)
t t 0
x(0) (t)
t
x(0)
X =
2.16: .
, , ,
x(t) =
1, t = 2
1, t = 0
2, t = 3
0,
(2.60)
x(t) = 1(t+ 2) 1(t) + 2(t 3) (2.61)
, (2.58), +
x(t)(t)dt = x(0)
+
(t)dt = x(0) (2.62)
(;;), x(t) t = 0. : x(t)
-
36
t = 0. +
x(t)(t T )dt = x(T )
+
(t T )dt = x(T ) (2.63)
, .
. . , , . , t , .
, .
(at) =(t)
|a|, a < {0} (2.64)
(t) = (t) (2.65)
2.4.4.2
,
d
dtu(t) = (t) (2.66)
. . ( 0 1, t = 0), !6
, - - . : u(t) ddtu(t), ; : , t = 0.
d
dtu(t) = 0, t 6= 0 (2.67)
: t1 < 0 < t2, t2
t1
d
dtu(t)dt = u(t)
]t2t1
= u(t2) u(t1) = 1 0 = 1 (2.68)
t2t1
d
dtu(t)dt = 1, t1 < 0 < t2 (2.69)
- - ! (;;). t1 t2 +, ! .
(2.66) . , u(t) . +
d
dtu(t)x(t)dt = u(t)x(t)
]+ +
u(t)d
dtx(t)dt (2.70)
= limt+
x(t)u(t) limt
x(t)u(t) +
0
d
dtx(t)dt (2.71)
6 .... , .
-
2. 37
= limt+
x(t) 0 +
0
d
dtx(t)dt (2.72)
= limt+
x(t) x(t)]+
0(2.73)
= limt+
x(t) limt+
x(t) + limt0
x(t) (2.74)
= x(0) (2.75)
x(t) t = 0. . !
(2.66)
t
()d = u(t) =
1, t > 00, t < 0 (2.76)2.4.4.3
+
d
dt(t)x(t)dt =
+
(t)d
dtx(t)dt = d
dtx(t)
t=0
(2.77)
n +
dn
dtn(t)x(t) = (1)n d
n
dtnx(0)
t=0
(2.78)
2.4.5 ej2f0t
, Euler, :
Aej =
-
38
2
1
0
-1
-24
3
2
1
-0.5
1
0.5
-1.5
-1
0
1.5
0
2
0
-243
210
-1
-1.5
-0.5
1.5
1
0.5
0
j2 f0 t
j2 f0 t
sin(2 f0 t)
cos(2 f0 t)
cos(2 f0 t)
sin(2 f0 t)
2.17: ej2f0t, , .
0
j2 f0t
1
2
32
0
-2
0
-0.5
1
-1
-1.5
0.5
1.5
0
-j2 f0t
1
2
32
0
-2
0
-0.5
1
-1
-1.5
0.5
1.5
0
j2 f0t + 0.5e
-j2 f0t
1
2
32
0
-2
-1.5
1
1.5
0.5
0
-0.5
-1
2.18: . ( ) ( ).
A = |A|ej (2.82)
,
-
2. 39
0
j(2 f0t + /4)
1
2
32
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0
-j(2 f0t + /4))
1
2
32
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0
j(2 f0t + /4)
+ e-j(2 f
0t + /4)
1
2
321
0-1
-2
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
1.5
1
)) =
4
2/2
=
4
2.19: = /4 . ( ) ( )
(2.83,2.84):
A, f0, Aej(2f0t+).
A, f0, Aej(2f0t+).
A, f0, A2 e
j(2f0t+).
A, f0, - A2 e
j(2f0t+).
2.5
, - .
: , , . . , Kirchhoff, (, ,.). .
- /, . . , -, () ., . , . Single Input - Single Output (SISO) .
SISO T [] x(t) , y(t).
y(t) = T [x(t)] (2.85)
-
40
2.5.1
, .
2.5.1.1 -
: .
xi(t), i = 1, 2, yi(t), i = 1, 2,
x(t) = x1(t) + x2(t) (2.86)
y(t) = y1(t) + y2(t) (2.87)
N ., a.
-
x(t) y(t) (2.88)
ax(t) ay(t) (2.89)
a.
, :
x1(t) y1(t) (2.90)x2(t) y2(t) (2.91)
- , a, b,
ax1(t) + bx2(t) ay1(t) + by2(t) (2.92)
- . , , - , . ,
y(t) = 2x(t+ 1) 3x(t 4) (2.93)
, y(t) =
x(t) (2.94)
, y(t) = x2(t) (2.95)
. , .
2.7:
y(t) =1
3x(2 t) + x(t) (2.96)
.
:
-
2. 41
ax1(t)
y1(t) =1
3ax1(2 t) + ax1(t) = a
(13x1(2 t) + x1(t)
)(2.97)
bx2(t),
y2(t) =1
3bx2(2 t) + bx2(t) = b
(13x2(2 t) + x2(t)
)(2.98)
ax1(t) + bx2(t),
y(t) =1
3(ax1(2 t) + bx2(2 t)) + ax1(t) + bx2(t) (2.99)
=1
3ax1(2 t) +
1
3bx2(2 t) + ax1(t) + bx2(t) (2.100)
= a(1
3x1(2 t) + x1(t)
)+ b(1
3x2(2 t) + x2(t)
)(2.101)
= y1(t) + y2(t) (2.102)
.
2.8:
y(t) =1
x(t+ 1)(2.103)
.
: ax1(t),
y1(t) =1
ax1(t+ 1)(2.104)
bx2(t),
y2(t) =1
bx2(t+ 1)(2.105)
ax1(t) + bx2(t),
y(t) =1
ax1(t+ 1) + bx2(t+ 1)6= y1(t) + y2(t) (2.106)
. ,
ax(t) 6 ay(t) (2.107)
, .
. , . .
2.9:
d
dty(t) + 2y(t) = x(t) (2.108)
-
42
.
: x1(t),
d
dty1(t) + 2y1(t) = x1(t) (2.109)
x2(t), d
dty2(t) + 2y2(t) = x2(t) (2.110)
a b ,
d
dtay1(t) + 2ay1(t) = ax1(t) (2.111)
d
dtby2(t) + 2by2(t) = bx2(t) (2.112)
d
dtay1(t) + 2ay1(t) +
d
dtby2(t) + 2by2(t) = ax1(t) + bx2(t) (2.113)
(2.108)
x(t) = ax1(t) + bx2(t) (2.114)
y(t) = ay1(t) + by2(t) (2.115)
. N - :
Nk=0
dk
dtkaky(t) =
Nk=0
dk
dtkbkx(t) (2.116)
. ak, bk . , .
-. , . , . , .
2.5.1.2
, . t . ,
x(t) y(t) (2.117)
-, x(t t0) y(t t0) (2.118)
. t0, , - t0.
, y(t) = 3x(t+ 2) 2 cos(x(t 2)) (2.119)
, y(t) = tx(t) (2.120)
. .
-
2. 43
2.10:
y(t) = 3x(t+ 2) 2 cos(x(t 2)) (2.121)
.
: x(t t0),
y(t) = 3x(t t0 + 2) 2 cos(x(t t0 2)) (2.122)
t = t0,
y(t t0) = 3x(t t0 + 2) 2 cos(x(t t0 2)) (2.123)
, .
2.11:
y(t) = tx(t) (2.124)
.
: x(t t0),
y(t) = tx(t t0) (2.125)
t = t0,
y(t t0) = (t t0)x(t t0) (2.126)
, .
2.12:
d2
dt2y(t) = 4x(t) (2.127)
.
: x(t t0),
d2
dt2z(t) = 4x(t t0) (2.128)
z(t) x(t t 0). t = t0,
d2
dt2y(t t0) = 4x(t t0) =
d2
dt2z(t) (2.129)
.
, .
-
44
2.5.1.3 -
. ,
y(t) = 2x(t) (2.130)
- ,
y(t) = ex(t1) (2.131)
. - . , . .
2.5.1.4
. ,
y(t) = 2x(t 1) + sin(x(t)) (2.132)
, y(t) = x(t 2)2 + 4x(t+ 4) (2.133)
, y(t) , x(t+ 4).
, - . , , .
, . ; - - :
1. . - (), , . , . , , - ( , , , , , ) .. .
2. . , (MP3, JPEG, MPEG ), ( ) (,, ), ( ).
3. . , (. ) , - ( ) . , .
2.5.1.5
:
|x(t)| < Mx = |y(t)| < My, Mx,My < (2.134)
, , .
, y(t) = x(t 1) + t (2.135)
-
2. 45
,
y(t) =t
x(t+ 2)(2.136)
y(t) = sin(x(t)) (2.137)
. .
2.13:
y(t) = x(t 1) + t (2.138)
.
: x(t) Mx, .
|x(t)| < Mx (2.139)
y(t)
|y(t)| = |x(t 1) + t| |x(t 1)|+ |t| < Mx + |t| + (2.140)
t . .
2.14:
y(t) = ex(t2) (2.141)
.
: x(t) Mx, .
|x(t)| < Mx (2.142)
y(t) |y(t)| =
ex(t2) |eMx | < + (2.143) t
-
46
- .
: x(t) y(t) (2.147)
-,
x(t t0) y(t t0) (2.148)
. t0, , t0.
: .
: .
: :
|x(t)| < Mx = |y(t)| < My, Mx,My < (2.149)
. , .
.
2.15:
, , , .
1. y(t) = 2x(t 1) + 3x(t 3)
2. y(t) = t2x2(t+ 2) x(t)
3. y(t) = x2(t 4),
4. y(t) = log10(|x(t)|),
5. y(t) =1
x(t), x(t) 6= 0
:
1. y(t) = 2x(t 1) + 3x(t 3) . .
y1(t) = 2ax1(t 1) + 3ax1(t 3)
ax1(t).
y2(t) = 2bx2(t 1) + 3bx2(t 3)
bx2(t).
y1(t) + y2(t) = 2ax1(t 1) + 3ax1(t 3) + 2bx2(t 1) + 3bx2(t 3)
y1+2(t) = 2ax1(t 1) + 3ax1(t 3) + 2bx2(t 1) + 3bx2(t 3)
, .
x(t t0),
y(t) = 2x(t t0 1) + 3x(t t0 3)
-
2. 47
t0
y(t t0) = 2x(t t0 1) + 3x(t t0 3)
.
, (.. y(0)), ( x(1), x(3)).
, , , |x(t)| < Mx, ,
|y(t)| = |2x(t 1) + 3x(t 3)| < 2Mx + 3Mx = 5Mx = My
2. y(t) = t2x2(t+ 2) x(t) .
y1(t) = t2ax21(t+ 2) ax1(t)
ax1(t).
y2(t) = t2bx22(t+ 2) bx2(t)
bx2(t).
y1(t) + y2(t) = t2ax21(t+ 2) ax1(t) + t2bx22(t+ 2) bx2(t)
y1+2(t) = t
2(ax1(t+ 2) + bx2(t+ 2))2 (ax1(t) + bx2(t))
, .
, x(t t0),
y(t) = t2x2(t t0 + 2) x(t t0)
t0
y(t t0) = (t t0)2x2(t t0 + 2) x(t t0)
.
, (.. y(0)), (x(2)).
, , , |x(t)| < Mx, -,
|y(t)| = |t2x2(t+ 2) + (x(t))| < |t2x2(t+ 2)|+ |x(t)| < t2M2x +Mx +
t .
3. , .
, x(t t0),
y(t) = x2(t t0 4)
t0
y(t t0) = x2(t t0 4)
.
, .
, |x(t)| < Mx, |y(t)| = |x2(t 4)| < M2x .
-
48
4. .
y1(t) = log10(|ax1(t)|)
ax1(t). y2(t) = log10(|bx2(t)|)
bx2(t).
y1(t) + y2(t) = log10(|ax1(t)|) + log10(|bx2(t)|)
y1+2(t) = log10(|ax1(t) + bx2(t)|) 6= y1(t) + y2(t)
.
, x(t t0),
y(t) = log10 |x(t t0)|
t0
y(t t0) = log10 |x(t t0)|
.
.
|x(t)| < Mx, |y(t)| = | log10(|x(t)|)| < log10(Mx) < .
5. ! ,
2.6
1. :
() e2tu(t 2)
() u(t2 4)
() 4rect(t2
5
)() rect
(t+1
2
)+ rect
(2t1
2
)
2.
x(t) =
A, |t| 20, (2.150) x(t), x(t 1), x(t+ 1), - .
3. T
x(t) =
1, 0 t < T/2 2T t+ 2, T/2 t < T (2.151)
4.
x(t) =
t, 0 t < 1
0.5(3 2t), 1 t < 3
0,
(2.152)
x(t) x(2t), x(t/2).
5. x(t) t < 3. t .
x(1 t) (2.153)x(1 t) + x(2 t) (2.154)x(1 t)x(2 t) (2.155)
6.
x(t) =
1, 1 t < 0
2, 0 t < 1
t+ 2, 1 t < 2
0,
(2.156)
-
2. 49
x(t) x(t 1), x(2 t), x(2t), x(t/2).
7.
x(t) =
t+ 1, 1 t < 0
1, 0 t < 1
2, 1 t < 2
t 3, 2 t < 3
0,
(2.157)
x(t2), x(1 t), x(2t+2),x(2 t/3), (x(t) + x(2 t))u(1 t), x(t)
((t +
3/2) (t 3/2)).
8. - , , , -, .
() y(t) = t/x(t)
() y(t) =x(t 1) sin(x(t))
() y(t) = x(t) 3x(t+ 2)
9. - , , , -, .
() y(t) = x(t) sin(t)
() y(t) = ddtx(t)
() y(t) = x(2t)() y(t) = x(t 1) + x(1 t)
10.
() (t4 + 4)(t) = 4(t)
() e3t(t 4) = e12(t 4)() cos(t2 )(t) = (t)
() t3+1t2+15(t 1) =
18(t 1)
11.
() + (t)e
j2ftdt = 1
() + e
5(xt)(2 t) = e5(x2)
() + (t 8) cos(t)dt = 1
