Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

29
Sluˇ cajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Kruli´ c Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1/1

Transcript of Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Page 1: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Slucajne varijableMaterijali za nastavu iz Statistike

Kristina Krulic Himmelreich i Ksenija Smoljak

2012/13

1 / 1

Page 2: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Slucajna varijabla

Slucajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridruzujebrojeve. Dakle,

X : Ω→ R.

Slucajne varijable dijelimo na:

1. Diskretne slucajne varijable

2. Neprekidne (kontinuirane) slucajne varijable

2 / 1

Page 3: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Diskretne slucajne varijable

Oznacimo s RX skup svih razlicitih vrijednosti koje slucajna varijabla Xmoze poprimiti. Kazemo da je zadan zakon razdiobe ili distribucijaslucajne varijable X ako je zadan skup RX = a1, a2, a3, . . ., te nizbrojeva pi ≥ 0 tako da1) pi = P(X = ai )

2)∞∑i=1

pi = 1

Zakon razdiobe zapisujemo u obliku tablice:

X ∼(

a1 a2 a3 . . .p1 p2 p3 . . .

)Buduci je skup svih vrijednosti koje slucajna varijabla moze poprimitiRX = a1, a2, a3, . . . diskretan (konacan ili prebrojiv) skup, kazemo da jeX diskretna slucajna varijabla.

3 / 1

Page 4: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Diskretne slucajne varijable

Neka je X : Ω→ R slucajna varijabla. Funkcija vjerojatnosti od X jefunkcija f : RX → [0, 1] definirana s

f (ai ) := P(X = ai ) = pi

Funkcija distribucije slucajne varijable X je funkcija F : R→ [0, 1]definirana s

F (x) := P(X ≤ x), x ∈ R.

Vrijedi

F (x) =∑ai≤x

p(ai ).

4 / 1

Page 5: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Diskretne slucajne varijable

Matematicko ocekivanje diskretne slucajne varijable je broj E[X ]definiran s

E[X ] =∑ai∈RX

ai · f (ai )

BrojV[X ] := E[X 2]− (E[X ])2

zove se varijanca diskretne slucajne varijable X .Standardna devijacija slucajne varijable X je broj

σX := +√

V[X ]

5 / 1

Page 6: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Zadaci

Zadatak

Pokazite da je funkcija f dana tablicom funkcija vjerojatnosti neke slucajnevarijable X. Izracunajte E [X ] i V [X ].

xi 1 2 3 4 5

f (xi )112

524

16

38

16

Zadatak

Odredite konstantu a tako da funkcija f dana tablicom bude funkcijavjerojatnosti slucajne varijable X. Izracunajte E [X ] i V [X ].

xi −1 0 2 3 4

f (xi )a2

a10

a5

a4

a20

6 / 1

Page 7: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Binomna razdioba

Osnovna svojstva koja opisuju binomnu razdiobu (distribuciju):

1. Izvodimo pokus koji ima dva moguca ishoda. Jedan ishod cemo zvati”uspjeh” a drugi ”neuspjeh”.

2. Vjerojatnost ”uspjeha” jednaka je p. Vjerojatnost ”neuspjeha” jetada q = 1− p.

4. Pokus ponavljamo n puta. Pokusi su medusobno nezavisni.

5. Binomna slucajna varijabla broji broj ”uspjeha” k u tih n pokusa.

7 / 1

Page 8: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Binomna razdioba

Slucajna varijabla X ima binomnu razdiobu ili distribuciju sparametrima n i p ako je X poprima vrijednosti iz skupa 0, 1, 2, . . . , n svjerojatnostima

P(X = k) =

(n

k

)pk · qn−k , 0 ≤ k ≤ n,

gdje je q = 1− p. Slucajnu varijablu X koja ima binomnu razdiobuoznacavamo s:

X ∼ B(n, p)

Ocekivanje binomne razdiobe: E [X ] = npVarijanca binomne razdiobe: V [X ] = npq

8 / 1

Page 9: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Zadaci

Zadatak

Baca se ispravna kocka 10 puta. Nadite vjerojatnost da se

(a) 5 puta pojavi broj 6,

(b) barem jednom pojavi broj 6,

(c) 7 puta pojavi neparan broj.

(d) Koji je ocekivani broj pojavljivanja broja veceg od 4?

Zadatak

U skladistu je 1000 proizvoda medu kojima je 50 neispravnih. Izvlacimo nasrecu 5 proizvoda s vracanjem. Izracunajte vjerojatnost da je od tih 5proizvoda

(a) tocno 1 neispravan,

(b) najvise 1 neispravan

(c) barem 1 neispravan.

9 / 1

Page 10: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Hipergeometrijska razdioba

Osnovna svojstva koja opisuju hipergeometrijsku razdiobu:

1 U skupu od N elemenata njih M ima neko svojstvo, dok preostalihN −M nema to svojstvo

2 Pokus se sastoji od slucajnog izvlacenja, bez vracanja, n elemenata izskupa od N elemenata

3 Hipergeometrijska slucajna varijabla broji broj ”uspjeha” (odnosnoelemenata koji imaju neko svojstvo) k u izvlacenju ukupno nelemenata.

10 / 1

Page 11: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Hipergeometrijska razdioba

Slucajna varijabla X ima hipergeometrijsku razdiobu ili distribuciju uoznaci X ∼ Hg(M,N, n) ako je funkcija gustoce te slucajne varijablezadana s:

P(X = k) =

(Mk

)(N−Mn−k

)(Nn

) , max (0, n − (N −M)) ≤ k ≤ min (M, n)

Ocekivanje hipergeometrijske razdiobe: E [X ] =nM

NNapomena: Za dovoljno velike n vrijedi Hg(M,N, n) ∼ B(n, p).

Zadatak

Rijesite prethodni zadatak uz uvjet da se proizvodi ne vracaju.

11 / 1

Page 12: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Zadaci

Zadatak

Odredite ocekivani broj djecaka u obitelji s 8 djece pod pretpostavkom daje spol djeteta jednakovjerojatan. Kolika je vjerojatnost da ce se ostvaritiocekivani broj djecaka?

Zadatak

Vjerojatnost da je proizvod proizveden u tvornici neispravan je 0.02.Posiljka od 10000 proizvoda poslana je u prodaju. Nadite ocekivanje istandardnu devijaciju broja neispravnih proizvoda.

Zadatak

Vjerojatnost da strijelac pogodi cilj je 0.25. Strijelac 7 puta gada cilj.Izracunajte vjerojatnost da pogodi cilj barem dvaput.

12 / 1

Page 13: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Poissonova razdioba

Slucajna varijabla X ima Poissonovu razdiobu ili distribuciju sparametrom λ > 0 ako je funkcija gustoce te slucajne varijable zadanaformulom:

P(X = k) =λk

k!e−λ, k = 0, 1, 2, 3, . . .

Slucajnu varijablu X koja ima Poissonovu razdiobu oznacavamo s:

X ∼ P(λ)

Ocekivanje Poissonove razdiobe: E [X ] = λVarijanca Poissonove razdiobe: V [X ] = λBinomna razdioba B(n, p) moze se aproksimirati Poissonovom razdiobomP(np), to jest λ = np. Aproksimacija je to bolja sto je parametar n veci, aparametar p manji.

13 / 1

Page 14: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Zadaci

Zadatak

Vjerojatnost da je proizvod neispravan iznosi 1%. Iz skladista uzimamopaket od 100 proizvoda. Kolika je vjerojatnost da od tih 100 proizvoda

(a) je 5 neispravnih, (b) broj neispravnih nije veci od 10?

Zadatak

Ako je vjerojatnost da je jedna osoba alergicna na pelud 0.002, odreditevjerojatnost da su od 4000 osoba na pelud

(a) alergicne 4 osobe (b) alergicne vise od 2 osobe.

Zadatak

Pretpostavimo da je 2% proizvoda neke tvornice neispravno. Naditevjerojatnost da u uzorku od 100 proizvoda postoje 3 neispravna.

14 / 1

Page 15: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Neprekidne slucajne varijable

Za slucajnu varijablu X kazemo da je neprekidna ako vrijedi sljedece:

(i) RX je interval ili unija intervala u R(ii) postoji nenegativna funkcija f : R→ R tako da za svaka dva broja

a, b (a < b) vrijedi

P(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

af (t)dt

Funkciju f zovemo funkcija gustoce od X . Vjerojatnost da vrijednostslucajne varijable X upadne u interval [a, b] jednaka je dakle povrsini ispodgrafa funkcije gustoce na tom intervalu.

15 / 1

Page 16: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Funkcija distribucije

Funkcija distribucije F od X definirana je s:

F (x) := P(X ≤ x) =

∫ x

−∞f (t)dt

Vrijedi:P(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a)

Svojstva neprekidne slucajne varijable:

(1) Za svaki broj a ∈ R je P(X = a) = 0

(2) ∫ ∞−∞

f (t)dt = P(−∞ < X <∞) = 1

sto znaci da je ukupna povrsina ispod grafa funkcije gustoce jednaka1.

16 / 1

Page 17: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Matematicko ocekivanje i varijanca od X

Matematicko ocekivanje od X definirano je s:

E [X ] =

∫ ∞−∞

t · f (t)dt,

a za varijancu vrijedi relacija kao i kod diskretnih slucajnih varijabli

V [X ] = E [X 2]− (E [X ])2

gdje je sada

E [X 2] =

∫ ∞−∞

t2 · f (t)dt.

17 / 1

Page 18: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Zadaci

Zadatak

Dokazite da je funkcija

(a)

f (x) =

29x −

49 za x ∈ [2, 5]

0 za x /∈ [2, 5]

(b)

f (x) =

cos x za x ∈ [0, π2 ]

0 za x /∈ [0, π2 ]

funkcija gustoce vjerojatnosti neke slucajne varijable X . Nacrtajte graffunkcije f te izracunajte E [X ].

18 / 1

Page 19: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Normalna razdioba

Kazemo da je slucajna varijabla X normalno distribuirana, ako je onakontinuirana, Rx = R, i ako je funkcija vjerojatnosti dana formulom

f (x) =1

σ√

2πe−

12( x−µ

σ)2

gdje su µ, σ (σ > 0) proizvoljne konstante.

Pisemo: X ∼ N(µ, σ2)

E [X ] = µ, V [X ] = σ2

19 / 1

Page 20: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Gaussova krivulja

Μ Μ+ΣΜ-Σ

Krivulja ovog tipa zove se Gaussova zvonolika krivulja, pa se normalnarazdioba nekad zove i Gaussova razdioba.

20 / 1

Page 21: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Standardna normalna razdioba

Posebno je vazna normalna razdioba s parametrima µ = 0 i σ2 = 1, tj.normalna razdioba N(0, 1). Ta razdioba se naziva standardna normalnarazdioba, pisemo X ∼ N(0, 1).Standardna normalna funkcija gustoce vjerojatnosti

ϕ(x) =1√2π

e−12x2

Standardna normalna funkcija distribucije

Φ(z) =1√2π

∫ z

−∞e−

12 t2dt

Vrijednosti od Φ(z) su tabelirane.

21 / 1

Page 22: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Veza izmedu N(µ, σ2) i N(0, 1) distribucije

Ako X ima N(µ, σ2) distribuciju, onda Z = X−µσ ima N(0, 1) distribuciju.

P(a ≤ X ≤ b) = Φ

(b − µσ

)− Φ

(a− µσ

).

Napomena: Pomocu normalne razdiobe moze se aproksimirati binomnarazdioba ako je n velik, a p nije blizu broja 0 ili 1 (u praksi np ≥ 10).

X ∼ B(n, p) tada je Z =X − np√npq

≈ N(0, 1)

22 / 1

Page 23: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Primjer

Primjer

Pretpostavimo da je visina studenata nekog sveucilista slucajna varijabla,normalno distribuirana, X ∼ N(172, 7.52). Nadite vjerojatnost da je:

a) visina slucajno odabranog studenta izmedu 175cm i 185cm

b) slucajno odabrani student nizi od 170cm

c) slucajno odabrani student visi od 160cm

d) visina slucajno odabranog studenta izmedu 165cm i 180cm

e) Koliki je ocekivani broj studenata visih od 195cm, ako ima ukupno3000 studenata?

23 / 1

Page 24: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Zadaci

Zadatak

U jednom skladistu od 1000 proizvoda je 20% proizvoda prve klase. Zbogkontrole kvalitete 100 puta je uziman 1 proizvod uz vracanje. Naditevjerojatnost da je broj proizvoda prve klase:

a) manji od 16

b) najmanje 30

24 / 1

Page 25: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Zadaci

Zadatak

Neka je X slucajna varijabla da standardnom normalnom distribucijomN(0, 1). Nadite:

a) P(X ≤ 1.42)

b) P(−1.37 ≤ X ≤ 2.01)

c) P(X ≥ 1.13)

d) P(|X | ≤ 0.5)

e) P(0.65 ≤ |X |)

25 / 1

Page 26: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Zadaci

Zadatak

Neka je X slucajna varijabla sa standardnom normalnom distribucijomN(0, 1). Odredite t ako je:

a) P(0 ≤ X ≤ t) = 0.4236

b) P(X ≤ t) = 0.7967

c) P(t ≤ X ≤ 2) = 0.1000

26 / 1

Page 27: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Zadaci

Zadatak

Ako je X ∼ N(8, 42) skicirajte graf funkcije gustoce i odredite t tako davrijedi:

a) P(X ≤ t) = 0.14

b) P(X ≥ t) = 0.975

c) P(|X − 8| ≤ t) = 0.9

Zadatak

Pretpostavimo da je temperatura T u mjesecu lipnju normalnodistribuirana s ocekivanjem 20oC i standardnom devijacijom 3oC. Neditevjerojatnost da je temperatura 15. lipnja izmedu 21oC i 27oC.

27 / 1

Page 28: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Zadaci

Zadatak

Pretpostavimo da je na populaciji od 800 stanovnika slucajna varijablavisina V normalno distribuirana s ocekivanjem 170cm i standardnomdevijacijom 12.7. Nadite broj stanovnika s visinom:

a) izmedu 165.1cm i 177.8cm

b) vecom ili jednakom 182.88cm

28 / 1

Page 29: Slucajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Zadaci

Zadatak

Prema izvjescu Hrvatskog auto kluba ocekivano vrijeme izmedu poziva idolaska do mjesta nesrece je 25 minuta. Pretpostavimo da se radi onormalno distribuiranoj slucajnoj varijabli sa standardnom devijacijom 4.5minute. Ako slucajno izaberemo 80 poziva, na koliko njih ce biti reagiranou roku manjem 15 minuta?

29 / 1