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Introduzione Estrapolazione al limite di una sequenza ε-algorithm in Matlab Esempi Numerici

Slides estratte dalla tesi: EMT: UNALIBRERIA MATLAB

PER METODI DI ESTRAPOLAZIONE EDAPPLICAZIONI

Corso di Laurea in Matematica

Laureanda: Elena De CiaRelatore: Prof. Michela Redivo Zaglia

Universita degli studi di PadovaFacolta di Scienze MM.FF.NN

Anno Accademico 2008-2009


Successioni convergenti

Confronto e Trasformazione di successioni Consideriamo dellesuccessioni numeriche convergenti allo stesso limite.

Confronto:

Siano �Sn� e �Tn� due successioni entrambe convergenti ad S .Si dice che �Tn� converge piu rapidamente di �Sn� se

limn�+ª

Tn − S

Sn − S= 0.

Trasformazione:

Se �Sn� converge lentamente al suo limite S , allora puo esseretrasformata in una nuova successione �Tn� con unatrasformazione di successione T :

T � �Sn�� Tn�



Proprieta richiesteVogliamo che, sotto alcune ipotesi, la nuova successione possiedale seguenti proprieta, almeno per alcune classi di successioniconvergenti:

1 �Tn� converge;

2 �Tn� converge allo stesso limite S di �Sn�;in tal caso si dice che T e regolare per �Sn�;

3 �Tn� converge piu velocemente di �Sn�;in tal caso si dice che T accelera la convergenza di �Sn�.



Risultato negativo

Teorema [DELAHAYE,GERMAIN-BONNE, 1980]

Non esiste una trasformazione di successione che permetta diaccelerare la convergenza di tutte le successioni convergenti.

E quindi importante e necessario trovare e studiare differentitrasformazioni di successioni in quanto ognuna di esse e capace diaccelerare la convergenza solamente di certe ‘classi’ di successioni.

Nucleo:

Ad ogni trasformazione di successione T puo essere associato ilsuo Nucleo, che e l’insieme delle successioni per le quali esisteS tale che, ∀n (eventualmente ∀n C N,N > N) si ha Tn = S .

Abitualmente il nucleo dipende da piu parametri, tra i quali vi e S .



Accelerazione della convergenza E importante capire un concettobasilare dei metodi di estrapolazione e dei relativi algoritmi:

se la successione �Sn� appartiene al nucleo di una certatrasformazione, applicando quest’ultima, teoricamente (manon numericamente) a partire eventualemente da un certoindice N > N, si ottiene la successione costante �S� dove S e illimite di �Sn�;se applichiamo la stessa trasformazione ad una successione�S ′n� il cui andamento e simile a quello di una del nucleo, ciaspettiamo che vi sia accelerazione della convergenza.



Strategie per metodi di estrapolazione: 1a Nella costruzione deimetodi di estrapolazione possono essere eseguite due strategieprincipali:

¶ Strategia:

(i) Si definisce il Nucleo attraverso una relazione chedipende da S e da alcuni parametri;

(ii) Si cerca di determinare l’espressione di S in modo chedipenda unicamente da alcuni termini della successione�Sn� e da eventuali successioni ausiliarie definite nelnucleo, e si pone Tn �= S ;

(iii) Si definisce un algoritmo ricorsivo che determini Tn

senza utilizzare determinanti (operazionecomputazionalmente non ammissibile);



Strategie per metodi di estrapolazione: 2a

· Strategia:

(i) Si definisce una trasformazione di successione T e se nedimostrano le eventuali proprieta di accelerazione;

(ii) Se ne definisce l’algoritmo ricorsivo;

(iii) Si cerca di determinare il Nucleo di tale trasformazione.

Non sempre e possibile, con tale strategia, determinare il Nucleo(ad esempio, per l’algoritmo ϑ si conoscono numerose proprieta diaccelerazione ma il nucleo non e ancora noto).


Alcuni metodi di estrapolazione

Metodi di estrapolazione presi in esameMetodi con la prima strategia:

Richardson Extrapolation Process:

Nucleo : Sn = S + a1xn + . . . akxkn

Calcolo di Tn �= T�n�k (rapporto di due determinanti)

Algoritmo ricorsivo: Neville-Aitken algorithm(P. Neville Aitken, 1978)

Shanks Transformation

Rational Extrapolation

E Transformation




Richardson Extrapolation Process

Shanks Transformation:

Nucleo : a0�Sn − S� + a1�Sn+1 − S� + . . . ak�Sn+k − S� = 0

Calcolo di Tn �= ek�Sn� (rapporto di due determinanti)

Algoritmo ricorsivo: ε-algorithm (P. Wynn, 1956)


E Transformation






Rational Extrapolation:

Nucleo : Sn =S ċ xk

n + a1xk−1n + . . . + ak

xkn + b1xk−1

n + . . . + bk

Calcolo di Tn �= ρ�n�2k (rapporto di due determinanti)

Algoritmo ricorsivo: ρ-algorithm (P. Wynn, 1956)

E Transformation







E Transformation:

Nucleo : Sn = S + a1g1�n� + . . . + akgk�n�ove �gi�n�� e una successione ausiliaria.

Calcolo di Tn �= E�n�k (rapporto di due determinanti)

Algoritmo ricorsivo: E-algorithm (C. Brezinski, 1980)







E Transformation

Metodi con la seconda strategia:

ϑ-Procedure:

Calcolo di Tn �= θ�n�2k (rapporto di due determinanti)

Algoritmo ricorsivo: θ-algorithm (C. Brezinski, 1971)



OsservazioneQuesti algoritmi sono basati sulla costruzione di formule ricorsive e dischemi di calcolo (triangolari, a losanga e piu complessi).

Essi permetteranno di aggiungere nuovi termini alla successione iniziale e

di ottenere i nuovi termini della successione trasformata senza dover

ricalcolare tutto e senza conservare tutti i valori dello schema, come

avviene per il ben noto schema di Neville-Aitken per l’interpolazione

polinomiale in un punto.


Estrapolazione al limite di una successione:

ε-algorithm



Calcolo di Tn

Consideriamo il seguente nucleo:

a0�Sn − S� + a1�Sn+1 − S� + . . . ak�Sn+k − S� = 0, ∀n

con a0 + a1 + . . . + ak x 0 e a0 ċ ak x 0.

Il sistema omogeneo di k + 1 equazioni in k + 1 incognite a0, . . . , ak

associato a tale nucleo e:

¢¨¦¨¤

a0�Sn − S� + . . . +ak�Sn+k − S� = 0a0�Sn+1 − S� + . . . +ak�Sn+k+1 − S� = 0

� �

a0�Sn+k − S� + . . . +ak�Sn+2k − S� = 0



Calcolo di Tn Si deve quindi avere:

RRRRRRRRRRRRRRRRRRR

Sn − S Sn+1 − S . . . Sn+k − SSn+1 − S Sn+2 − S . . . Sn+k+1 − S� � �

Sn+k − S Sn+k+1 − S . . . Sn+2k − S

RRRRRRRRRRRRRRRRRRR

= 0.

Sostituendo ogni riga, a partire dalla seconda, con la sua differenzacon la riga precedente, e ricordando che ∆Sj = Sj+1 − Sj , si ottiene

RRRRRRRRRRRRRRRRRRR

Sn − S Sn+1 − S . . . Sn+k − S∆Sn ∆Sn+1 . . . ∆Sn+k

� � �

∆Sn+k−1 ∆Sn+k . . . ∆Sn+2k−1

RRRRRRRRRRRRRRRRRRR

= 0.



Calcolo di Tn Utilizzando le proprieta dei determinanti si ha

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

Sn Sn+1 . . . Sn+k

∆Sn ∆Sn+1 . . . ∆Sn+k

� � �

∆Sn+k−1 ∆Sn+k . . . ∆Sn+2k−1

RRRRRRRRRRRRRRRRRR−S ċ

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

1 1 . . . 1∆Sn ∆Sn+1 . . . ∆Sn+k

� � �

∆Sn+k−1 ∆Sn+k . . . ∆Sn+2k−1

RRRRRRRRRRRRRRRRRR= 0.

L’espressione di S risulta pertanto della forma:

S =

RRRRRRRRRRRRRRRRRRR

Sn Sn+1 . . . Sn+k

∆Sn ∆Sn+1 . . . ∆Sn+k

� � �

∆Sn+k−1 ∆Sn+k . . . ∆Sn+2k−1

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

1 1 . . . 1∆Sn ∆Sn+1 . . . ∆Sn+k

� � �

∆Sn+k−1 ∆Sn+k . . . ∆Sn+2k−1

RRRRRRRRRRRRRRRRRRR

.



Shanks Transformation Procedendo con le sottrazioni anche per lecolonne si ottiene S nella seguente forma

S =

RRRRRRRRRRRRRRRRRRR

Sn ∆Sn . . . ∆Sn+k−1

∆Sn ∆2Sn . . . ∆2Sn+k−1

� � �

∆Sn+k−1 ∆2Sn+k−1 . . . ∆2Sn+2k−2

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

∆2Sn . . . ∆2Sn+k−1

� � �

∆2Sn+k−1 . . . ∆2Sn+2k−2

RRRRRRRRRRRRRR

=� Tn.

Poniamo infine Tn �= S . Questa trasformazione viene chiamata

Trasformazione di Shanks [Daniel Shanks, 1955]

ek�Sn� �= Tn.


ε-algorithm

Algoritmo Risolvente Per calcolare numericamente il valore ek�Sn� = Tn

si ricorre al seguente algoritmo ricorsivo

ε-algorithm [Peter Wynn, 1956]

ε�n�−1 = 0 ε

�n�0 = Sn n = 0,1, . . .

ε�n�k+1 = ε

�n+1�k−1 +

1

ε�n+1�k − ε

�n�k

k,n = 0,1, . . .

Sia l’indice inferiore la colonna e l’indice superiore la diagonalediscendente. La struttura dell’algoritmo assume allora la forma

ε�0�−1 = 0

ε�0�0 = S0

ε�1�−1 = 0 ε

�0�1

ε�1�0 = S1 ε

�0�2

ε�2�−1 = 0 ε

�1�1

ε�2�0 = S2 ε

�1�2 �

� � � � �


ε-algorithm

Schema a losanga I termini che vengono utilizzati per determinare unnuovo valore sono cosı disposti:

ε�0�−1 = 0

ε�0�0 = S0

ε�1�−1 = 0 ε

�0�1

ε�1�0 = S1 ε

�0�2

ε�2�−1 = 0 ε

�1�1 ε

�0�3

ε�2�0 = S2 ε

�1�2 �

ε�3�−1 = 0 ε

�2�1 ε

�1�3

� ε�3�0 = S3 ε

�2�2 �

� � ε�3�1 ε

�2�3

� � � � �

Tali valori possono dunque essere visti come vertici di una losanga:

ε�n�k

� �

ε�n+1�k−1 ε

�n�k+1

� �

ε�n+1�k


ε-algorithm

Risultati teorici

Teorema [BECKERMANN, 1989]

ε�n�2k = ek�Sn� ε

�n�2k+1 =

1

ek�∆Sn� .

I valori ε�n�2k+1 delle colonne ad indice dispari sono quindi risultati

intermediari, mentre quelli ad indice pari rappresentano i valoridella successione trasformata.

Inoltre, per definizione di Nucleo, se la successione Sn appartiene alNucleo della Trasformazione di Shanks, i valori trasformaticorrispondono (teoricamente, ma non numericamente) al limitedella successione.


ε-algorithm in Matlab

Ridefinizione degli indici: Ridefiniti gli indici della formula e delloschema per l’implementazione in Matlab, disponiamo lo schema in formamatriciale:


ε-algorithm in Matlab

Maxc Nota: Spesso si desidera pero fermarsi ad una fissata colonna econtinuare le iterazioni dell’algoritmo scendendo lungo tale colonna:


Tecnica della diagonale montante

Tecnica della diagonale montante: Per ottimizzare il risparmio dimemoria si e ricorsi alla

tecnica della diagonale montante:la matrice puo infatti essere calcolata per diagonali ascendenti.

I valori utili per il calcolo della prossima diagonale sono solo quellidell’ultima diagonale calcolata.



Costruzione di una diagonale montante Per calcolare ogni nuovovalore, ricordando che lo schema e a losanga, si ottiene:

Quindi, per calcolare una nuova diagonale, aggiungiamo il primovalore, che corrisponde ad un termine di Sn, e si determinano,termine a termine, le nuovi componenti.



Costruzione di una diagonale montante


Esempio Numerico (1)

Esempio Numerico 1:

Sia Sn = �n�2 ċ 0.8n n = 1,2, . . .

limn�+ª

Sn = limn�+ª

�n�2 ċ 0.8n= 0


Esempio Numerico (2)

Esempio Numerico 2:Definita la serie convergente

+ª

Qi=0

1

�i + 1�2 =π2

6= 1.644934066848226 . . .

consideriamo come successione le somme parziali

Sn =

n

Qi=0

1

�i + 1�2 .

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