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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural RECOMENDACIÓN PARA REDUCIR LAS ORDENADAS ESPECTRALES DE DISEÑO SÍSMICO DEBIDO A UN INCREMENTO DE AMORTIGUAMIENTO VISCOSO EN ESTRUCTURAS DESPLANTADAS SOBRE SUELO DURO. FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO β . Sonia Elda Ruiz Gómez 1 y Juan Pablo Hidalgo Toxqui 2 RESUMEN Se propone una ecuación sencilla para el factor de amortiguamiento β que es útil para reducir los espectros de diseño sísmico de sistemas cuando estos cuentan con amortiguamiento adicional de tipo viscoso. El factor β se determina a partir de dos tipos de análisis: 1) mediante el método de Monte Carlo, y 2) método probabilista de peligro de la demanda sísmica. En ambos casos se obtiene el cociente entre los espectros correspondientes a sistemas con porcentaje de amortiguamiento crítico igual a 5% y los correspondientes a porcentajes efectivos del amortiguamiento crítico de 10, 15, 20, 25 y 30%. Se analizan S1GDL tanto lineales elásticos (Q=1) como no-lineales (Q=2), ubicados en terreno rocoso. La expresión se incorporará en la nueva versión del Manual de Obras Civiles de la CFE. ABSTRACT A simple equation is proposed for the damping factor β which is used to reduce the seismic design spectral ordinates due to the addition of viscous dampers to the structural system. The factor β is obtained based on two different approaches: 1) Monte Carlo method, and 2) Probabilistic seismic demand hazard analysis. For both cases the ratio between the spectral ordinates associated to a percentage of critical damping equal to 5% and those corresponding to 10, 15, 20, 25 and 30%, are calculated. The single-degree-of-freedom systems, located on firm ground, are assumed to present linear elastic, and alternatively non-linear behavior. The expression will be incorporated to the new version of the CFE Design Manual. INTRODUCCIÓN En la literatura se encuentran algunas reglas para reducir los espectros de diseño sísmico para tomar en cuenta el incremento de amortiguamiento que introducen al sistema los disipadores viscosos (Hanson at al., 1993; Kawashima y Aizawa, 1998; Ramírez et al. 2002; Arroyo y Terán, 2002; Tena 2004). Estos estudios se basan principalmente en análisis de Monte Carlo y no consideran todas las posibles intensidades que pueden ocurrir en el sitio en donde se localiza el sistema estructura-disipador. A diferencia de estos, en el presente estudio se analizan los sistemas tanto con el método de Monte Carlo, como con un método probabilista que considera la ocurrencia de sismos de una amplia gama de intensidades. Este método emplea espectros correspondientes a sistemas de un grado de libertad (S1GDL) que tienen una tasa anual de falla uniforme. OBJETIVO El objetivo de este estudio es proponer una ecuación sencilla sobre el factor de reducción por 1 Investigadora. Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, Instituto de Ingeniería, Ciudad Universitaria, C.P. 04510, DF. Tel 56233654. [email protected] 2 Estudiante de Posgrado. Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, Circuito Escolar s/n, CU, 04510, DF. Tel 56233600 ext. 8480. [email protected] 1

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RECOMENDACIÓN PARA REDUCIR LAS ORDENADAS ESPECTRALES DE DISEÑO SÍSMICO

DEBIDO A UN INCREMENTO DE AMORTIGUAMIENTO VISCOSO EN ESTRUCTURAS DESPLANTADAS SOBRE SUELO DURO. FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO β .

Sonia Elda Ruiz Gómez1 y Juan Pablo Hidalgo Toxqui2

RESUMEN

Se propone una ecuación sencilla para el factor de amortiguamiento β que es útil para reducir los espectros de diseño sísmico de sistemas cuando estos cuentan con amortiguamiento adicional de tipo viscoso. El factor β se determina a partir de dos tipos de análisis: 1) mediante el método de Monte Carlo, y 2) método probabilista de peligro de la demanda sísmica. En ambos casos se obtiene el cociente entre los espectros correspondientes a sistemas con porcentaje de amortiguamiento crítico igual a 5% y los correspondientes a porcentajes efectivos del amortiguamiento crítico de 10, 15, 20, 25 y 30%. Se analizan S1GDL tanto lineales elásticos (Q=1) como no-lineales (Q=2), ubicados en terreno rocoso. La expresión se incorporará en la nueva versión del Manual de Obras Civiles de la CFE.

ABSTRACT

A simple equation is proposed for the damping factor β which is used to reduce the seismic design spectral ordinates due to the addition of viscous dampers to the structural system. The factor β is obtained based on two different approaches: 1) Monte Carlo method, and 2) Probabilistic seismic demand hazard analysis. For both cases the ratio between the spectral ordinates associated to a percentage of critical damping equal to 5% and those corresponding to 10, 15, 20, 25 and 30%, are calculated. The single-degree-of-freedom systems, located on firm ground, are assumed to present linear elastic, and alternatively non-linear behavior. The expression will be incorporated to the new version of the CFE Design Manual.

INTRODUCCIÓN En la literatura se encuentran algunas reglas para reducir los espectros de diseño sísmico para tomar en cuenta el incremento de amortiguamiento que introducen al sistema los disipadores viscosos (Hanson at al., 1993; Kawashima y Aizawa, 1998; Ramírez et al. 2002; Arroyo y Terán, 2002; Tena 2004). Estos estudios se basan principalmente en análisis de Monte Carlo y no consideran todas las posibles intensidades que pueden ocurrir en el sitio en donde se localiza el sistema estructura-disipador. A diferencia de estos, en el presente estudio se analizan los sistemas tanto con el método de Monte Carlo, como con un método probabilista que considera la ocurrencia de sismos de una amplia gama de intensidades. Este método emplea espectros correspondientes a sistemas de un grado de libertad (S1GDL) que tienen una tasa anual de falla uniforme.

OBJETIVO El objetivo de este estudio es proponer una ecuación sencilla sobre el factor de reducción por 1 Investigadora. Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, Instituto de Ingeniería,

Ciudad Universitaria, C.P. 04510, DF. Tel 56233654. [email protected] 2 Estudiante de Posgrado. Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, Circuito Escolar s/n, CU, 04510, DF. Tel 56233600 ext. 8480. [email protected]

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amortiguamiento que permita reducir las ordenadas espectrales de diseño sísmico convencionales, y obtener así espectros que sirvan para el diseño de estructuras con disipadores viscosos. ESPECTROS DE PSEUDOACELERACIÓN Los análisis se realizan mediante dos métodos. El primero es un método de convencional de análisis dinámico que utiliza la técnica de Monte Carlo, y el segundo un método probabilista del peligro de la demanda sísmica que utiliza espectros con tasas anuales de falla estructural uniforme. En ambos casos se utilizan movimientos sísmicos simulados. SIMULACIÓN DE SISMOS En este estudio se simulan sismos, y se escalan con el fin de abarcar una amplia gama de intensidades. En cada uno de los análisis que se realizan en este estudio se utilizan 100 movimientos sísmicos simulados (SS) a partir del sismo registrado en la estación “Filo de Caballo” en Chilpancingo, Gro., el 19 de septiembre de 1985. Los factores que se toman en cuenta en el proceso de simulación son: 1) La duración del movimiento símico 2) El contenido de frecuencias del movimiento 3) La evolución de la intensidad en el tiempo En la figura 1a se presenta el registro del sismo “semilla”, y en la figura 1b se muestra la forma de su densidad espectral ajustada de acuerdo con el filtro de Clough y Penzien, S(ω).

Figura 1a. Registro “semilla” Figura 1b. Densidad espectral ajustada

ESPECTROS DE PSEUDOACELERACIÓN OBTENIDOS A PARTIR DE ACELEROGRAMAS SIMULADOS Se obtuvieron los espectros de respuesta correspondientes a 100 movimientos sísmicos simulados. Para calcular los espectros(para porcentajes del amortiguamiento crítico iguales a ς = 5, 10, 15, 20, 25 y 30%), se utilizó el programa DEGTRA A4 versión 5.1.0 (Ordaz, 1990; Montoya, 2002). Posteriormente se determinó la mediana y el coeficiente de variación de cada conjunto de espectros, para cada valor de ς . En la figura 2 se muestra la mediana de los espectros para los seis valores de porcentaje del amortiguamiento crítico antes mencionados, y para ductilidades de diseño (Q) iguales a 1 (figura 2a), y a 2 (figura 2b).

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Figura 2a. Mediana de los espectros elásticos Figura 2b. Mediana de los espectros inelásticos lineales simulados. Q=1 no lineales simulados. Q=2 En las figuras 2a y 2b se puede ver la influencia del amortiguamiento viscoso en las estructuras. Es claro que a medida en que aumenta el valor del amortiguamiento, las ordenadas espectrales se reducen. Los coeficientes de variación (CV) se presentan en las figuras 3a y 3b. Estos muestran que a medida que el amortiguamiento aumenta, el CV se reduce. También se puede observar que el CV crece a medida que el periodo aumenta. El valor máximo del CV lo presenta el espectro correspondiente al 5% del amortiguamiento crítico.

Figura 3a. Coeficiente de variación de la mediana Figura 3b. Coeficiente de variación de la mediana de los espectros elásticos lineales. Q=1 de los espectros inelásticos no lineales. Q=2

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ESPECTROS CON TASA ANUAL DE FALLA UNIFORME (ETFU) Tasa Anual de Falla Estructural Para obtener el valor esperado de la tasa anual de falla estructural de los sistemas se utiliza a la siguiente integral (Esteva 1968; Cornell, 1969):

(1)

Donde: νCy (cy) es la tasa anual de falla estructural νSa es la curva de peligro sísmico Sa es la intensidad sísmica

yC es el coeficiente sísmico P(falla│Sa) es la probabilidad que la capacidad de la estructura sea menor que la solicitación, dada una intensidad Sa. Obtención de las Curvas de Peligro correspondientes a Diferentes Amortiguamientos En este estudio se obtienen factores de reducción para varios niveles de amortiguamiento, por lo que es necesario contar con curvas de peligro sísmico para los porcentajes del amortiguamiento crítico en estudio ( eς = 5, 10, 15, 20, 25 y 30%). Para construir dichas curvas de peligro se utiliza la siguiente ecuación (Esteva 1976):

(1) Donde: x es la variable que considera las propiedades de la función conocida y es la variable que representa la intensidad espectral con propiedades de la función que se desea determinar z es la variable de integración xM es la máxima intensidad que puede tomar la curva de peligro sísmico ε es la relación entre intensidad espectral de la función conocida y de la función que se desea determinar (ε=y/z). fε es la función de densidad de probabilidad de ε Eε es la esperanza de ε En la figura 4 se presentan curvas de peligro sísmico correspondientes al sitio en estudio para sistemas con periodo de vibración =1s, y para diferentes valores de porcentaje de amortiguamiento crítico eT ς .

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Figura 4. Curvas de peligro de diferentes porcentajes de amortiguamiento crítico. Te=1s.

Obtención de las curvas de peligro de demanda Se determinaron los espectros con tasa anual de falla uniforme mediante el programa de cómputo “ETFU4” (Rivera y Ruiz, 2004). Los datos básicos que requiere el programa son: ductilidad nominal, periodo estructural, fracción de amortiguamiento crítico, y curva de peligro sísmico correspondiente a un periodo y a un amortiguamiento específicos. Se propone un valor inicial de Cy, se ejecuta el programa y se calcula la tasa anual de falla Cyν . El valor de Cy se itera hasta que la tasa de falla anual resulte cercano al valor “objetivo”. En la figura 5 se muestra la manera que los valores se interpolan para encontrar el valor de Cy que corresponde al valor objetivo de Cyν . En este estudio se consideró este igual a 0.008. Figura 5. Curva de peligro de demanda T=1s, Q=1 y ζ=15% ESPECTROS CON TASA ANUAL DE FALLA UNIFORME (ETFU) Con el algoritmo mencionado antes, se obtuvieron los espectros de tasas de falla anual uniforme (ETFU) correspondientes a Cyν = 0.008. En la figura 6a se muestran los ETFU para estructuras con comportamiento lineal, Q=1. En esta figura se puede observar que a medida en que aumenta el porcentaje del amortiguamiento crítico en las estructuras, las ordenadas espectrales se reducen. Lo mismo ocurre para las estructuras con ductilidad Q=2 (ver figura 6b).

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Figura 6a. Espectro ETFU. Q=1 Figura 6b. Espectro ETFU. Q=2

EFINICION DE AMORTIGUAMIENTO EFECTIVO D El porcentaje efectivo del amortiguamiento crítico ( eς ) se define aquí como la suma del que proporciona el

sistema básico estructural (generalmente %5=SBς ) más el que proporcionan los elementos disipadores de

energía EDEς . Es decir, EDEe ςς += %5

.

FACTORES DE REDUCCIÓN

o ico de estructuras que cuentan con su propio amortiguamiento (por

dQ Para obtener los espectros de diseñ sísmejemplo, %5=SBς ) más un incremento de amortiguamiento proporcionado por el sistema disipador ( EDEς )

se deberá spectro asociado con SBdividir el e ς = 5% y ductilidad Q, entre el factor de reducción (Qd) d o al incremento de amortiguamiento viscoso, decir:

ebid es

),,(

)%,5,(),,(

eed

eSByeey TQQ

TQCTQC

ςς

ς=

= (6)

eño sísmico (para el caso de estructuras con comportamiento lineal elástico

Enseguida se dos

) y, alternativamente, a partir de los ETFU. Para ello, se divide el valor de la ordenada espectral

onde yC es el coeficiente de disD

sy CC = , eT y Q son los valores del periodo de vibración y de la ductilidad de diseño de la estructura.

determinan los valores de Q

)

d a partir de los espectros obtenidos usando los sismos simula(SS

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correspondiente a un sistema con SBς = 5% entre la correspondiente a cada uno de los espectros con diferente fracción de amortiguamiento crítico, para cada periodo estructural:

),,(

)%,5,( SBy TQC ς =),,(

eey

eeed TQC

TQQς

ς = (7)

En la figura 7a se muestran los factores de reducción (encontrados a partir de la ecuación 7) correspondientes los sismos simulados (SS) para estructuras elástico-lineales. Mientras que en la figura 7b se presentan los

to inelástico no neal, Q=2, correspondientes a espectros de sismos simulados (SS). Los factores tienen un comportamiento

afactores de reducción obtenidos a partir de los espectros ETFU, para las mismas estructuras. En la figura 8a se presentan los factores de reducción Qd para estructuras con comportamienlisimilar a los correspondientes a Q=1 para sismos simulados; sin embargo, las ordenadas correspondientes a Q=2 son ligereamente menores que para el caso elástico-lineal. Es decir, que se observa un efecto de reducción de los valores de Qd debido al incermento de ductilidad en las estructuras. Esto coincide con lo encontrado por Wu y Hanson, 1989. En la figura 8b se puede notar que el comportamiento de los factores de reducción de estructuras con ductilidad Q=2 obtenidos a partir de espectros ETFU no es tan regular como el asociado a los sismos simulados.

Figura 7.a. Factores de Reducción usando SS, Figura 7.b. Factores de Reducción usando para Q=1 ETFU, para Q=1

Figura 8.a. Factores de Reducción usando SS, Figura 8.b. Factores de Reducción usando para Q=2 ETFU, para Q=2 FUNCIÓN ENVOLVENTE DE LOS FACTORES DE REDUCCIÓN

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las funciones envolventes (FE) propuestas en este estudio de los factores e reducción Q . Se puede observar que algunos valores de la FE (líneas continuas) se sobreestiman para

ta como periodo de referencia el valor TC para asegurar que los desplazamientos spectrales tiendan correctamente al desplazamiento del terreno. Para suelo duro T es igual a 3s según Pérez

ncontrados a partir e los espectros con tasa de falla uniforme (ETFU). Estas funciones resultan adecuados para cocientes de

Sistemas Elásticos Lineales. Q=1 En las figuras 9a y 9b se muestran d dalgunos periodos, y se subestiman para otros, con respecto al los valores encontrados numéricamente. También se puede notar en las figuras 9a y 9b que la FE es constante desde un periodo igual a cero hasta un periodo Tc; es decir, no se toma en cuenta que en la parte inicial de cada curva de Qd obtenida numéricamente existe una rama ascendente. Más adelante se explica la conveniencia de haber adoptado esta forma de las funciones envolventes. Por otro lado, se adope CRocha et al. 2007. Este estudio se pretende incorporar en una metodología para construir espectros de diseño sísmico que formará parte del Manual de Obras Civiles que se encuentra en revisión (Pérez Rocha et al, 2007), por lo que no es parte del presente estudio modificar valores, ecuaciones o constantes que se especifiquen en dicho Manual, así que en este estudio adoptamos el valor TC =3s. En la figura 9b se muestran las funciones envolventes (FE) para los factores de reducción edamortiguamientos bajos, es decir para 5%/10% y 5%/15%, y resultan conservadores para los cocientes altos (por ejemplo 5%/30%). En la figura 9b se observa que se carece de factores que nos indiquen el efecto ocasionado por el incremento de amortiguamiento crítico para periodos mayores que 2s; pero por otro lado, para proponer la forma de las FE no se puede ignorar lo que sucede en la figura 9a en la que se aprecia un decremento de los factores de reducción encontrados a partir de los sismos simulados (SS).

Figura 9. Función envolvente factores de reducción a) sismos sim y b) ETFU. Suelo duro, Q=1

La función envolvente (FE) que ese indica con líneas l enas en las figuras 9a y 9b corresponde a la siguiente expresión:

para ulados

(a) (b)

l

λς ⎞⎛

ς ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ =

=%5SB

eFE (8)

Donde:

SBς es la fracción de amortiguamiento crítico del sistema básico (estructura sin disipadores)

eς es la fracción de amortiguamiento crítico de la estructura con disipadores

λ es un parámetro que depende del periodo estructural Te:

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0λ ; si

eT < CT

λ = (9)

1exp

⎞⎛ T0 ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

C

Tλ ; si Ce TT ≥

e

onde

un valor inicial constante el exponente que determina de la rapidez con que decrecen los factores de reducción a partir de TC. El

a el tipo de suelo donde se localice la estructura.

D λ0 esxp1 es e

v lor del exponente exp1depende d Los valores de 0λ y exp1 que corresponden a las funciones envolventes que se muestran en las figuras 9a y 9b son λ0 =0.45 y exp1= 0.60.

nvolventes para los factores de reducción obtenidos a partir de los s (SS) para estructuras inelásticas no lineales con ductilidad Q=2. Se

obtenidos a partir de espectros obtenidos con sismos

Sistemas Elásticos No Lineales. Q=2 En esta sección se proponen funciones eespectros ETFU y de sismos simuladoprocede de la misma forma que en la sección anterior. En la figura 10 se muestran las funciones envolventes para suelo duro correspondientes a sistemas con Q=2. La figura 10a corresponde a los factores de reducciónsimulados (SS), y la 10b a factores correspondientes a los ETFU.

Figura 10. Función envolvente para factores de reducción a) sismos simulados y b) ETFU.

Suelo duro

r adición de amortiguamiento en las estructuras (lo que coincide con Wu y

(a) (b)

, Q=2

Comparando las figuras 9 y 10 se puede observar que el incremento en la ductilidad produce una disminución n los factores de reducción poe

Hanson, 1989). Debido a esto, para el caso en que Q=2, el valor de λ0 se reduce a 0.35. El valor de exp1 se conserva igual a 0.6.

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optaron así debido a que los resultados obtenidos al construir los espectros de diseño smico con la formulación propuesta en este estudio, resultan adecuados. Es importante mencionar que son

a función envolvente que se propone aquí sobreestima los valores, para periodos estructurales pequeños (Te os obtenidos analíticamente. La razón para proponer que la primera

ma de dicha función sea constante (para < ) se explica con ayuda de las figuras 11 y 12.

renteme (en la figura 1b la FE presenta una rama ascendente); sin embargo, cuando se construyen los espectros de diseño sísmico

Si bien las funciones envolventes son ligeramente mayores (para algunos periodos) que los Qd encontrados numéricamente, se adsípocas las normas de diseño con las que se puede comparar esta propuesta, dado que dichas normas no contemplan factores de reducción para estructuras con ductilidad mayor que la unidad. Forma de la Función Envolvente L≤ 0.5s, aproximadamente) con respecto a lra e C

En la figura 11a (Caso A) se muestra la forma de la FE que se propone aquí, mientras que en la figura 11b (Caso B) se presenta una función que apa nte es más adecuada que la de la figura 11a

T T

1usando el Caso B, ocurren algunas alteraciones indeseables que se muestran en la figura 12.

Figura 11. Propuestas de funciones envolventes para factores de reducción

(a) Caso A (b) Caso B

Figura 12. Espectros de diseño sísmico a partir de las propuestas de funciones envolventes

En la figura 12 se pueden observar los espectros de diseño sísmico construidos partir de las dos propuestas de fu rama ascendente que parte de la aceleración del suelo, una m seta, y una rama descendente para periodos altos; sin

En resumen, el efecto de emplear una función envolvente como la del Caso B que se muestra en la figura 11b repercute en un aumento indeseable de las ordenadas espectrales. Por esta razón se propone usar un valor

a nción envolvente (Casos A y B). Para el Caso A resulta un espectro bien definido con una

eembargo, para el Caso B (figura 12, línea discontinua) resulta un espectro que parte de una aceleración menor a la del suelo, y continúa con una curva que tiene ordenadas espectrales mayores que las de la meseta, y para periodos mayores que 1s coincide con las ordenadas espectrales correspondientes a las del Caso A.

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constante desde al periodo igual a cero hasta el periodo Tc (como se muestra en la figura 11ª correspondiente al Caso A). FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO β Dado que en las normas vigentes tanto del Distrito Federal (Apéndice A de las NTC-2004) como en la

ropuesta depd

l MOC de la CFE (2008), la reducción por amortiguamiento de las ordenadas del espectro de r que multiplica a dichas ordenadas en vez de dividirlas, es

rt uamiento (β) como β=1/Qd, como sigue: iseño sísmico se hace a través de un facto

conveniente representar al Factor por Amo ig

λςβ ⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

== SB1

ς ⎠⎝ edQ (10)

Donde

0λ ; si

eT < CT

λ = (9)

1exp

0 ⎟⎠⎝ eT C⎟⎞

⎜⎜⎛ CTλ ; si e TT ≥

0 es un e la ductilida o de la estructura. Los valores de λ0 se muestran en Tabla gual a 0.6 rocoso

Tabla 1. Valores de λ0 y exp1

λ a constante que depende d d de diseñla 1, y exp1 es una constante i para terreno .

Q λ0 exp1

1 0.45 0.6

2 0.35 0.6

En la figura 13 se representan gráfi ente los res de tiguamiento en función del periodo estructural normalizado ( ). La figura 13a se e a estru s elásticas lineales, y la figura 18b a

elásticas no lineales con Q=2.

cam facto amor

Ce TT / refier cturain

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(b) (a)

Figura 13. Factor de amortiguamiento para estructuras desplantadas en suelo duro con comportamiento a) elástico lineal, Q=1, y b) inelástico no lineal, Q=2

CONCLUSIONES Se propone una ecuación sencilla para calcular el factor de amortiguamiento β que sirve para reducir los espectros de diseño sísmico por el incremento de amortiguamiento viscoso en la estructura. La ecuación propuesta depende de parámetros que son función de la ductilidad estructural, el amortiguamiento crítico efectivo en el sistema y el periodo fundamental de vibración estructural. La ecuación que aquí se propone se incluirá en el capítulo “Espectros de Diseño Sísmico para el Territorio Mexicano” de la nueva versión del Manual de Obras Civiles (2008).

AGRADECIMIENTOS Se agradece a la DGAPA-UNAM (PAPIIT-IN108708) y a la Comisión Federal de Electricidad su apoyo para el desarrollo de este proyecto de investigación.

REFERENCIAS

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