SISTEMA DIÉDRICO

Distancias

Ejercicio Nº 1.- Hallar la distancia del punto P=P'-P'' dado al plano α=α1-α2, en verdadera magnitud y que esta sea minima.

TL

a2

a1

P''

P'

1º Hallamos la 3º proyección α3 del plano α.

TL

a2

a1

P''

P'

PP

a3

2º Hallamos la 3º proyección P’’’ del punto P= P'-P''.

TL

a2

a1

P''

P'

PP

a3

P'''

3º Trazamos por P’’' una perpendicular al plano α3 y obtenemos el punto I’’’. La distancia P’’’-I’’’ es la pedida.

TL

a2

a1

P''

P'

PP

a3

P'''

I'''

4º Hallamos las proyecciones I’ y I’’ de la intersección. La distancia del punto al plano es la minima por ser la perpendicular del punto al plano.

TL

a2

a1

P''

P'

PP

a3

P'''

I'''I''

I'

Ejercicio Nº 2.- Hallar la distancia del punto P dado a una recta de perfil r dada por sus trazas.

L T

r'-r''

Vr

Hr

P''

P'

1º Hallamos la 3º proyección r’’’ de la recta r.

L T

r'-r''

PP

Vr

Hr

P''

P'

r'''

2º Hallamos la 3º proyección P’’’ del punto P

L T

r'-r''

PP

Vr

Hr

P''

P'

r'''

P'''

3º Por P’’’ trazamos un plano auxiliar α3 perpendicular a la recta r’’’, hallamos la intersección del plano α3 y la recta R’’’ punto I’’’.

L T

r'-r''

PP

a3

Vr

Hr

P''

P'

r'''

P''' I'''

4º Hallamos las proyecciones vertical I’’ y horizontal I’ del punto I.

L T

r'-r''

PP

a3

Vr

Hr

P''

P'

r'''

P''' I'''I''

I'

5º Hallamos la distancia en verdadera magnitud. Unimos I’ y P’ (por ejemplo) por P’ trazamos una perpendicular a P’-I’ y llevamos la distancia h=I’’-P’’ es decir la cota de P menos la de I. La distancia en verdadera magnitud es d.

L T

r'-r''

PP

a3

Vr

Hr

P''

P'

r'''

P''' I'''I''

I'

hh

d

Ejercicio Nº 3.- Hallar la distancia de un punto dado A'-A'' de la LT a la recta r'-r''

TL

r''

r'

A'-A''

1º Trazamos por el punto A’-A’’ el plano α1-α2 perpendicular a la recta r’-r’.

TL

r''

r'

A'-A''

a1

a2

2º Hallamos la intersección de r’-r’’ con el plano α1-α2, mediante el plano proyectante δ1-δ2 de r’-r’’.

3º La intersección del plano α1-α2 con el plano proyectante δ1-δ2 es la recta i’-i’’.

4º La intersección de la recta r’-r’’ con la recta i’-i’’ es el punto B’-B’’.

5º La distancia entre el punto A’-A’’ y la recta r’-r’’ es el segmento A’B’-A’’B’’ y en verdadera magnitud el segmento d.

Ejercicio Nº 4.- Hallar la distancia entre dos rectas r y s paralelas.

TL

r''

s''

s'

r'

1º Situamos un punto P=P’-P’’ sobre la recta r’-r’’.

TL

s''

s'

r'

P''

P'

2º Por el punto P=P’-P’’ trazamos una frontal perpendicular a la recta r’-r’’ y por lo tanto también a la recta s’-s’’, hallamos la traza horizontal Hf de la frontal f’-f’’.

TL

s''

s'

r'

P''

P'

f''

f'Hf

3º Trazamos el plano α= α1-α2 perpendicular a las rectas r’-r’’ y s’-s’’ y que pasa por el punto P’-P’. Es decir por Hf trazamos α1 perpendicular a s’ y r’ por el punto de corte de α1 con la LT trazamos α2 perpendicular a r’’y s’’.

TL

r''

s''

s'

r'

P''

P'

f''

f'Hf

2

a1

4º Hallamos la intersección de la recta s’-s’’ con el plano α= α1-α2 mediante el plano proyectante δ de la recta s’-s’’.

5º Por el punto de corte de α1 y δ1 trazamos una perpendicular a LT unimos el punto de corte con la LT con el punto de corte de α2 y δ2 y nos determina el punto I’’ de corte con s’’, hallamos I’ y tenemos el punto de intersección de s’-s’’ con el plano α1-α2.

6º La distancia entre las rectas dadas r’-r’’ y s’-s’’ es la distancia d entre los puntos P’-P’’ y I’-I’’. Unimos I’ y P’ por P’ trazamos una perpendicular y sobre esta llevamos la distancia h que es la diferencia de cotas P’’ menos I’’.

Ejercicio Nº 5.- Hallar la distancia entre dos planos paralelos α y β perpendiculares al 2º bisector.

L T

a1-a2

ß1-ß2

1º Hallamos un punto cualquiera P’-P’’ del plano α1- α2, mediante la recta horizontal r’-r’’.

L T

a1-a2

ß1-ß2

r'

r''P'

P''

2º Por el punto P’-P’’ trazamos una recta s’-s’’ perpendicular a los planos α=α1-α2 y β=β1-β2. La recta s’-s’’ es una recta perteneciente al 2º bisector.

3º.-Trazamos el plano δ1-δ2 proyectante vertical de la recta s’-s’’ para hallar la intersección de s’-s’’ con el plano β=β1-β2.

4º Hallamos la intersección I’-I’’ de la recta s’-s’’ con el plano β=β1-β2 por medio del proyectante vertical δ1-δ2 de s’-s’’.

5º La distancia entre los planos dados α=α1-α2 y β=β1-β2 es la distancia d entre los puntos P’-P’’ y I’-I’’. Unimos I’ y P’ por P’ trazamos una perpendicular y sobre esta llevamos la distancia h que es la diferencia de cotas I’’ menos P’’.

Ejercicio Nº 6.- Hallar la distancia entre dos planos paralelos dados α y β.

L T

a2

a1

ß2

ß1

1º Trazamos una recta perpendicular cualquiera r’-r’’ a los planos dados.

L T

a2

a1

ß2

ß1

r''

r'

2º Hallamos la intersección de la recta r’-r’’ con los planos α=α1-α2 y β=β1-β2 mediante el plano proyectante δ1- δ2.

3º La intersección de r’-r’’ y el plano α=α1-α2 es el punto I’-I’’.

4º La intersección de r’-r’’ y el plano β=β1-β2 es el punto P’-P’’.

5º La distancia entre los planos dados α=α1-α2 y β=β1-β2 es la distancia d entre los puntos P’-P’’ y I’-I’’. Unimos I’ y P’ por P’ trazamos una perpendicular y sobre esta llevamos la distancia h que es la diferencia de cotas I’’ menos P’’.

Ejercicio Nº 7.- Hallar la verdadera longitud del segmento de la recta r comprendido entre los planos α y β.

1º Hallamos la intersección de la recta r=r’-r’’ con los planos α y β mediante el plano proyectante de r δ1- δ2.

2º La intersección de δ1- δ2 y β1- β2 resulta el punto A’-A’’ al ser los planos proyectantes verticales los dos.

3º La intersección de δ1- δ2 y α1- α 2 resulta la recta s’-s’’ pues δ1 y α1 se cortan en Hs, y δ2 y α 2 se cortan en Vs que determinan la recta intersección s’-s’’.

4º El punto de corte de la recta r’-r’’ y la recta s’-s’’ es el punto B’-B’’que es la intersección de la recta r’-r’’ y el plano α1-α 2.

5º La distancia en verdadera magnitud del segmento de recta r’-r’’ comprendido entre los dos planos α y β es la distancia que existe entre los puntos A y B.

Ejercicio Nº 8.- Hallar la distancia del punto P=P'-P'' al plano α =A-B-C.

L TC'

C''B'

B''

A'

A''

P''

P'

1º Hallamos las rectas r=r’-r’’ y s=s’-s’’que determinan los puntos A’-A’’, B’-B’’ y C’-C’’.

L TC'

C''B'

B''

A'

A''

P''

P'

r's''

r''

s'

2º Hallamos las trazas Hr-Vr y Hs-Vs de las rectas r=r’-r’’ y s=s’-s’.

L TC'

C''B'

B''

A'

A''

P''

P'

r's''

r''

s'

VrHr

Hs

Vs

3º Hallamos las trazas α1 y α2 del plano.

L T

a2

C'

C''B'

B''

A'

A''

P''

P'

r's''

r''

s'

VrHr

Hs

Vsa1

4º Por el punto P’-P’’ trazamos la recta t=t’-t’’ perpendicular al plano α1-α2 .

L T

2

C'

C''B'

B''

A'

A''

P''

P'

r's''

r''

s'

VrHr

Hs

Vsa1

t''

t'

5º Hallamos la intersección de la recta t’-t’’ perpendicular al plano α1-α2 mediante el plano proyectante de t’-t’’, δ1- δ2. La intersección del plano α1-α2 y del δ1- δ2, nos determina la recta v’-v’’.

6º Hallamos la intersección de la recta t’-t’’ y el plano α1-α2, que es el punto de corte de la recta t’-t’’ y la recta v’-v’’, punto I’-I’’.

7º La distancia entre el punto P’-P’’ y el plano α1-α2, es la que existe entre los puntos P’-P’’ y el I’-I’’.

Ejercicio Nº 9.- Hallar la distancia de un punto dado P( 80; 15;15) a la recta del segundo bisector r que pasa por los puntos A(40; 0; 0) y B(0; 30; -30).

TL A'-A''

B'-B''

P''

P'

1º Trazamos la recta r’-r’’ que pasa por los puntos A’-A’’ y B’-B’’.

TL

r'-r''

A'-A''

B'-B''

P''

P'

2º Por el punto P’-P’’ trazamos la recta s’-s’’ frontal y perpendicular a la recta r’-r’’, y hallamos la traza horizontal Hs.

TL

r'-r''

A'-A''

B'-B''

P''

P'

s''

s' Hs

3º Por la traza Hs trazamos el plano α1- α2 perpendicular a la recta r’-r’’.

TL

r'-r''

A'-A''

B'-B''

P''

P'

s''

s' Hs

a1-a2

4º Hallamos la intersección de la recta r’-r’’ con el plano α1- α2 mediante el proyectante de r’-r’’ δ1-δ2.

5º La intersección de la recta r’-r’’ con el plano α1- α2 es el punto I’-I’’.

6º La distancia (la minima) entre el punto P’-P’’ y la recta r’-r’’, es la que existe entre los puntos P’-P’’ y el I’-I’’.

Ejercicio Nº 10.- Hallar la distancia en verdadera magnitud, entre dos rectas r'-r'' y s'-s'' dadas cuyas proyecciones horizontales son paralelas.

L T

r''

r'

s''

s'

1º Trazamos los planos proyectantes horizontales de las rectas planos α1-α2 y β1- β2, y vemos que son paralelos entre si, por lo tanto la distancia entre las rectas es igual a la distancia entre los planos.

L T

a2

a1

ß2

ß1

r''

r'

s''

s'

2º Por un punto A’-A’’ de la recta r’-r’’, trazamos la perpendicular t’-t’’ a los planos.

L T

a2

a1

ß2

ß1

r''

r'

A'

s''

s'

A''t''

t'

3º La recta t’ corta a s’ en el punto B’ hallamos B’’ sobre t’’ y por B’’ trazamos la recta r1’- r1’’ paralela a r’-r’’.

L T

a2

a1

ß2

ß1

r''

r'

A'

s''

s'-r1'

A'' t''

t' B'

B''

r1''

D'

4º La recta r1’- r1’’ corta a s’-s’’ en el punto C’-C’’.

L T

a2

a1

ß2

ß1

r''

r'

A'

s''

s'-r1'

A'' t''

t' B'

B''

r1''

C'

C''

D'

5º Por C’-C’’ trazamos la recta v’-v’’ perpendicular común a los planos α1-α2 y β1-β2 que corta a la recta r’-r’’ en el punto D’-D’’. Como la recta v’-v’’es una horizontal el segmento viene dado en verdadera magnitud por su proyección horizontal. Con esto se comprueba que la distancia entre las rectas es la distancia entre los planos y viene dada en verdadera magnitud por la distancia entre las trazas horizontales α1 y β1.

L T

a2

a1

ß2

ß1

r''

r'

A'

s''

s'-r1'

A'' t''

t' B'

B''

r1''

C'

C''D''

D'

d

v''

v'