Sistem koordinat - Iwan78's Space · PDF filemenggunakan koordinat tabung dan bola ... Sistem...

Click here to load reader

  • date post

    25-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    337
  • download

    2

Embed Size (px)

Transcript of Sistem koordinat - Iwan78's Space · PDF filemenggunakan koordinat tabung dan bola ... Sistem...

  • Beberapa kasus yangakan lebih mudah penyelesaiannya denganmenggunakan koordinat tabung dan bola

    Sebagai contoh,persoalan kabel yangmenggunakan koordinat silindrisdan persoalan antena yangmemiliki penyelesaian menggunakan koordinatbola.

    Ilustrasi :Titik Pdapat digambarkan dalam 3buah koordinatKoordinat cartesian =(x,y,z)Koordinat silindris =(,,z)Koordinat bola =(r,,)

    Sistem koordinat

  • Pendefinisian Variabel-Variabel Koordinat dalam Tiga Sistem Koordinat

    Bentuk komponen dari sebuah vektor dalam ketiga sistemkoordinat :A = Axax + Ayay + Azaz (Cartesian)A = Aa + Aa + Azaz (Silindris)A = Arar + Aa + Aa(Bola)

    Z

    Y

    Xx

    y

    z

    A(x,y,z)

    Z

    X

    z

    Y

    Z

    X

    z

    Y

    r

    A(r,,z)A(,,z) A(r,,)

  • Komponen Koordinat Cartesian

  • Komponen Koordinat Silinder

  • Komponen Koordinat Bola

  • Arah vektor satuan untuk tiga sistem koordinat

    Masing-masing vektor satuan adalah normal terhadap bidangpermukaan koordinatnya dan memiliki arah di manakoordinatnya bertambah.

    Semuasistemmerupakansistemtangankanan:ax xaY=aZaxa =azarxa =a

  • Koordinatcartesian koordinatsilinder

    Transformasi Koordinat Cartesian - Silinder

    vektor dalam Cartesian :

    A = Axax + Ayay + AzazDengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z;

    vektor dalam Silinder :

    zazAaAaAA Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, dan z;

    Maka komponen variabel koordinat cartesian (x,y,z) dapat ditransformasike koordinat silinder (, ,z) atau sebaliknya dengan persamaan:

    cartesiansilinder silindercartesian

  • Sedangkankomponenvektor dapatditransformasikandengnmenggunakantabelperkaliantitiksebagaiberikut:

    a a azax. cos -sin 0

    ay. Sin cos 0

    az. 0 0 1

    A = (Axax + Ayay + Azaz) a

    A = (Axax + Ayay + Azaz) a

    Az = (Axax + Ayay + Azaz) az

  • Contohsoal1:

  • Transformasi koordinat cartesian - bolaKoordinatcartesian koordinatbola

    vektor dalam Cartesian :A = Axax + Ayay + AzazDengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z;

    vektor dalam Silinder :

    aAaArarAA Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, dan z;

    Maka komponen variabel koordinat cartesian (x,y,z) dapatditransformasi ke koordinat bola (r, ,z) atau sebaliknya denganpersamaan:

    cartesian bola bola cartesian

  • Dengancarayangsamamakatransformasikomponenvektordapatdilakukandenganperkaliantitiksepertipadatabelberikut:

    ar a az

    ax. Sin Cos Cos Cos -Sin

    ay. Cos Sin Cos

    az. Cos -Sin 0

    Ar = (Axax + Ayay + Azaz) ar

    A = (Axax + Ayay + Azaz) a

    A = (Axax + Ayay + Azaz) a

    Sin sin

  • Contohsoal2:

  • Diferensial volume pada tiga sistem koordinat

    Sebagai contoh, dalam koordinat bola, elemen diferensial permukaan yang tegakterhadap ar adalah,

    dS = (r d)(r sin d) = r2 sin dElemen diferensial garis, dl, adalah diagonal melalui P. Jadi,

    dl2 = dx2 + dy2 + dz2 (Cartesian)d12 = dr2 + r2d2 + dz2 (Silindris)d12 = dr2 + r2d2 + r2 sin2 d2 (Bola)

  • Hitunglah jarak antara (5,3/2,0) dan (5,/2,10) dalam koordinatsilindris!

    Penyelesaian :Pertama carilah posisi Cartesian dari vektor A dan b

    Panda gambar diperoleh:A = -5ay,B = 5ay + 10az

    Contoh Soal 3

    Selanjutnya, B A = 10ay + 10az, dan jarak ekuivalenantara kedua titik

    210|| AB

  • Gunakanlah sistem koordinat bola untuk memperoleh luas area darisebuah lembaran tipis pada selubung bola dengan jarijari r = r (Gambar 19).Berapakah luas area yang diperoleh jika = 0 dan = ?

    Penyelesaian :Diferensial elemen permukaan adalah[ lihat Gambar diferensial volume pada tiga sistem koordinat Bola ]

    dS = r02 sin d d

    Selanjutnya,

    2

    0

    20

    20 )cos(cos2sin rddrA

    sehingga saat = 0 dan = , A = 4r02, yang merupakan luas permukaan bola.

    Contoh Soal 4