Sinxeia Oria Erwtiseis Apantiseis

Συναρτήσεις Όρια

Συνέχεια

Ερωτήσεις Απαντήσεις

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίας

http:// perikentro. blogspot.gr

1

ΕΡΩΤΗΣΗ 1

Ερώτηση Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Απάντηση Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε τον τύπο της. Για

παράδειγμα , έστω η συνάρτηση με τύπο τότε:

Σωστή κίνηση: Βρίσκουμε πρώτα το πεδίο ορισμού της που είναι το

και στη συνέχεια απλοποιούμε τον τύπο και βρίσκουμε ότι .

Λάθος κίνηση: Απλοποιούμε τον τύπο και βρίσκουμε και στη συνέχεια

βρίσκουμε ότι .

ΕΡΩΤΗΣΗ 2

Ερώτηση Αν δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα, τότε πότε η δεν ορίζεται; Απάντηση

Η δεν ορίζεται όταν .

ΕΡΩΤΗΣΗ 3

Ερώτηση



2

Αν οι συναρτήσεις είναι ορισμένες στο Α και για κάθε , ισχύει ,

τότε μπορώ να πω ότι για κάθε ) ή για κάθε ); Απάντηση Όχι γιατί υπάρχουν συναρτήσεις που έχουν γινόμενο μηδέν, αλλά αυτές δεν είναι μηδενικές.

Για παράδειγμα οι συναρτήσεις: και .

ΕΡΩΤΗΣΗ 4

Ερώτηση

Πως γίνεται η μετατόπιση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης κατακόρυφα ή οριζόντια; Απάντηση

Αν έχω ή , η γραφική παράσταση της

προκύπτει με μετατόπιση της πάνω ή κάτω αντίστοιχα κατά μονάδες.

Αν έχω ή , η γραφική παράσταση της

προκύπτει με μετατόπιση της αριστερά ή δεξιά αντίστοιχα κατά μονάδες.

Παράδειγμα: Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης .

Για κάθε έχουμε .

Σχεδιάζουμε πρώτα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης . Μετατοπίζουμε αυτή κατά 2 μονάδες αριστερά και έτσι προκύπτει η γραφική παράσταση της

συνάρτησης . Τη νέα γραφική παράσταση την μετατοπίζουμε προς τα κάτω

κατά 9 μονάδες και προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης .

Έτσι η γραφική παράσταση της προκύπτει από τη γραφική παράσταση της με μετατόπιση 2 μονάδων προς τα αριστερά και 9 μονάδες προς τα κάτω.



3

(βλέπε σχήμα)

ΕΡΩΤΗΣΗ 5

Ερώτηση

Αν για μία συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα διάστημα , τα και είναι

, μπορούμε να πούμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο ; Απάντηση Όχι , αν δεν ξέρουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο .

ΕΡΩΤΗΣΗ 6

Ερώτηση Όλες οι συναρτήσεις είναι οπωσδήποτε μονότονες στα υποδιαστήματα του πεδίου ορισμού τους; Απάντηση Όχι. Δεν είναι απαραίτητο μία συνάρτηση να είναι μονότονη στο πεδίο ορισμού της.



4

Υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι μονότονες σε κανένα υποδιάστημα του πεδίου ορισμού τους. Για παράδειγμα, η συνάρτηση με τύπο

(συνάρτηση Dirichlet)

ΕΡΩΤΗΣΗ 7

Ερώτηση Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) σε δύο διαστήματα του πεδίου ορισμού της, σημαίνει ότι θα είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) και στην ένωσή

τους ; Απάντηση

Όχι. Διότι, για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση με τότε:

i. Αν με . Άρα

γν. φθίνουσα στο .

ii. Αν με . Άρα

γν. φθίνουσα στο .

iii. Όμως για (βλέπε σχήμα)

Άρα η δεν είναι γν. φθίνουσα για κάθε .



5

ΕΡΩΤΗΣΗ 8

Ερώτηση

Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, πως αποδεικνύουμε ότι η έχει το ίδιο είδος μονοτονίας; Μπορώ να χρησιμοποιήσω αυτή την πρόταση στην λύση μιας άσκησης; Απάντηση

A. Απόδειξη 1ος τρόπος:

Έστω γνησίως αύξουσα στο .

Έστω με . Τότε θα υπάρχουν με

και . Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:

o Αν και επειδή η είναι συνάρτηση θα έχουμε:

. Άτοπο.



6

o Αν και επειδή η είναι γν. αύξουσα τότε . Άτοπο

διότι υποθέσαμε ότι .

o Αν έχουμε

Άρα και συνεπώς η είναι γν. αύξουσα. 2ος τρόπος:

o Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο .

o Έστω με έτσι ώστε άρα και

επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, οπότε

έχουμε , Άτοπο. Άρα και συνεπώς η είναι γν. αύξουσα.

B. Αυτή η πρόταση δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο. Καλό είναι, αν χρειαστεί να αποδειχθεί.

ΕΡΩΤΗΣΗ 9

Ερώτηση

Αν μία συνάρτηση είναι ορισμένη στο και διέρχεται από τα σημεία και

, μπορώ να πω ότι είναι γν. φθίνουσα, αφού ισχύει: ; Απάντηση

Όχι. Αυτό για να ισχύει πρέπει η να είναι γν. μονότονη



7

ΕΡΩΤΗΣΗ 10

Ερώτηση Η εύρεση του τύπου της αντιστρόφου συνάρτησης βρίσκεται πάντοτε, σε οποιοδήποτε τύπο συνάρτησης; Απάντηση Δεν είναι πάντα δυνατόν να βρούμε τον τύπο της αντιστρόφου συνάρτησης. Για παράδειγμα η

συνάρτηση με τύπο , ενώ είναι “1-1” και αντιστρέφεται, δεν μπορούμε να λύσουμε αλγεβρικά την εξίσωση

ως προς χ, για την εύρεση του τύπου της αντιστρόφου συνάρτησης.

ΕΡΩΤΗΣΗ 11

Ερώτηση

Είναι λάθος να βρούμε πρώτα τον τύπο της και στη συνέχεια να βρούμε το πεδίο ορισμού της από τον τύπο της; Απάντηση Η εύρεση του πεδίου ορισμού της αντιστρόφου συνάρτησης προκύπτει , από τους περιορισμούς

που θα προκύψουν για το :

α) στην πορεία επίλυσης της εξίσωσης ως προς και

β) από τους περιορισμούς που υπάρχουν για τα από το πεδίο ορισμού της . Οποιαδήποτε άλλη διαδικασία εύρεσης του πεδίου ορισμού της αντιστρόφου, ενδεχομένως να οδηγήσει σε σφάλμα.

ΕΡΩΤΗΣΗ 12

Ερώτηση

Θέλω να γνωρίζω ως προς τα σημεία τομής των γραφημάτων της και , τι συμβαίνει όταν:



8

η είναι γνησίως αύξουσα.

η είναι γνησίως φθίνουσα.

Απάντηση

Όταν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο ,τότε τα σημεία τομής

(αν υπάρχουν) των γραφημάτων της και είναι υποχρεωτικά πάνω στη διχοτόμο . Σε αυτή την περίπτωση, για να βρούμε τα σημεία τομής λύνουμε το σύστημα των

σχέσεων:

ή Δηλαδή ισχύουν οι ισοδυναμίες:

και

. Δηλαδή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την

. Απόδειξη

Έστω μία ρίζα της εξίσωσης . Δηλαδή , πρέπει να αποδείξουμε ότι και

. Είναι γν. αύξουσα και αν υποθέσουμε ότι (Ι), αφού και η

έχει το ίδιο είδος μονοτονίας θα ισχύει άρα και

και λόγω της υπόθεσης (είναι ) προκύπτει

(άτοπο λόγω της Ι ). Με όμοιο τρόπο απορρίπτουμε και το . Οπότε

, δηλαδή το είναι ρίζα της .

Αντιστρόφως. Έστω ότι , θα αποδείξουμε ότι και . Πράγματι:

και (από υπόθεση

είναι ) άρα .

Όταν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, για να βρούμε τα σημεία τομής των

γραφημάτων της και , αν υπάρχουν, λύνουμε το σύστημα των σχέσεων:



9

Σε αυτή την περίπτωση , τα κοινά σημεία τομής των γραφημάτων της και , αν

υπάρχουν, δεν βρίσκονται υποχρεωτικά μόνο πάνω στη διχοτόμο .

Παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση με τύπο Τότε:

Η είναι γνησίως φθίνουσα στο .

Η είναι αντιστρέψιμη με: .

Λύνοντας το σύστημα:

βρίσκουμε τα εξής σημεία τομής των γραφημάτων της και :

Α(0,1) , Β(1,0) και , όπου , το σημείο Γ ανήκει στη διχοτόμο , ενώ τα σημεία Α και Β δεν ανήκουν στη διχοτόμο , αλλά είναι συμμετρικά ως προς αυτή.

ΕΡΩΤΗΣΗ 13

Ερώτηση

Αν δεν γνωρίζω τον τύπο μιας συνάρτησης , αλλά μία σχέση που ικανοποιεί η , πως μπορώ

να βρω τον τύπο της ; Απάντηση

Αν δεν γνωρίζουμε τον τύπο μιας συνάρτησης , μπορούμε να βρούμε την , αρκεί να



10

γνωρίζουμε μια κατάλληλη συναρτησιακή σχέση που να περιέχει την και να μπορούμε να

δείξουμε ότι η είναι 1-1.

Για παράδειγμα, έστω συνάρτηση και για κάθε ισχύει η σχέση:

.(1)

Αποδεικνύουμε ότι η είναι 1-1:

Έστω για κάθε τότε

(2) και επίσης (3) Προσθέτοντας τις (2) και (3) έχουμε

Άρα η είναι 1-1.

Γνωρίζουμε ότι ισχύει: οπότε αντικαθιστώντας στην (1) προκύπτει:

Άρα .

ΕΡΩΤΗΣΗ 14

Ερώτηση Γνωρίζοντας τον τύπο μιας συνάρτησης , που είναι 1-1, υπάρχει περίπτωση να μη μπορώ να βρω

την ; Τότε τι άλλο μπορώ να κάνω; Απάντηση

Υπάρχει περίπτωση να μην μπορούμε να βρούμε την , . Για παράδειγμα:



11

Έστω η οποία είναι 1-1. Όμως δεν μπορούμε να βρούμε την .

Αυτό που μπορούμε όμως να κάνουμε, είναι να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της

διότι γνωρίζουμε ότι η είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της , ως προς τη διχοτόμο της γωνίας .

Έτσι, αφού σχεδιάσουμε την , μπορούμε να σχεδιάσουμε την .

ΕΡΩΤΗΣΗ 15

Ερώτηση

Αν για μια 1-1 συνάρτηση ισχύει τότε αναγκαστικά ; Απάντηση

Όχι. Διότι για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε την συνάρτηση . Τότε

, δηλαδή , όμως .

ΕΡΩΤΗΣΗ 16

Ερώτηση

Αν για κάθε τότε ; Απάντηση

Ναι, Θέτουμε στην όπου το οπότε θα έχουμε

.



12

ΕΡΩΤΗΣΗ 17

Ερώτηση

Αν ορίζεται η , τότε για κάθε ; Απάντηση

Όχι, διότι πρέπει το .

ΕΡΩΤΗΣΗ 18

Ερώτηση Μία συνάρτηση που είναι ορισμένη σ΄ ένα διάστημα Δ και είναι 1-1, η γραφική της παράσταση

τέμνει τον άξονα σε ένα ακριβώς σημείο; Απάντηση

Όχι, διότι για να ισχύει θα πρέπει το , πράγμα το οποίο δεν γνωρίζουμε.

ΕΡΩΤΗΣΗ 19

Ερώτηση

α) Αν με τότε ;

β) Αν με τότε ;

γ) Αν με τότε ;



13

Απάντηση

α) Όχι διότι, αν , έχουμε , όμως . β) Ναι. γ) Όχι πάντα. Για να ισχύει πρέπει η να είναι 1-1.

ΕΡΩΤΗΣΗ 20

Ερώτηση

Το , αν υπάρχει, είναι μοναδικό; Απάντηση Ναι.

ΕΡΩΤΗΣΗ 21

Ερώτηση

Μπορώ να βρω το ; Απάντηση

Το πεδίο ορισμού της με τύπο , είναι Αφού η

δεν ορίζεται κοντά στο -5, δεν έχει νόημα να αναζητήσουμε το . Συμπέρασμα:

Στη λύση ασκήσεων, που θέλουμε να βρούμε αν υπάρχει ή δεν υπάρχει το , πρέπει πριν τον υπολογισμό του ορίου , να κάνουμε τα εξής βήματα:

1. Να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης .



14

2. Να ελέγχουμε αν η ορίζεται κοντά στο .

3. Αν η δεν ορίζεται κοντά στο , τότε δεν αναζητούμε το .

4. Αν η ορίζεται κοντά στο , τότε αναζητούμε την ύπαρξη ή την μη ύπαρξη του

.

ΕΡΩΤΗΣΗ 22

Ερώτηση

Η αναζήτηση του ορίου μιας συνάρτησης στο έχει πάντα νόημα; Απάντηση

Όχι. Πρέπει η συνάρτηση να ορίζεται όσο θέλουμε κοντά στο , δηλαδή η να

είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής

Το όριο στο παρακάτω σχήμα δεν έχει νόημα



15

ΕΡΩΤΗΣΗ 23

Ερώτηση

Τι σημαίνει η μεταβλητή μιας συνάρτησης , παίρνει τιμές πολύ κοντά στο ; Απάντηση

Σημαίνει ότι η απόσταση των τιμών της μεταβλητής από το , δηλαδή η γίνεται οσοδήποτε μικρή και αν θέλουμε.

ΕΡΩΤΗΣΗ 24

Ερώτηση

Για να αναζητήσουμε το , το πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης; Απάντηση Δεν είναι απαραίτητο. Αρκεί η συνάρτηση να ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο . Δηλαδή η

συνάρτηση να είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ή ή

.

ΕΡΩΤΗΣΗ 25

Ερώτηση

Το όριο της στο είναι ίσο με την τιμή της στο ; Απάντηση

Μπορεί να είναι ίσο με την ή διαφορετική από αυτή Παράδειγμα 1ο:



16

Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το

ενώ το δεν ορίζεται. Παράδειγμα 2ο:

Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το

ΕΡΩΤΗΣΗ 26

Ερώτηση

Τι σημαίνει ότι μια συνάρτηση έχει μια ιδιότητα κοντά στο ; Απάντηση

Ότι η συνάρτηση έχει την ιδιότητα για κάθε ή

ή Παραδείγματα:

1ο: Η συνάρτηση έχει την ιδιότητα θετική για κάθε

2ο: Αν τότε η συνάρτηση έχει την ιδιότητα για τα x κοντά στο .

ΕΡΩΤΗΣΗ 27

Ερώτηση Οι ιδιότητες των πράξεων των ορίων ισχύουν πάντα;



17

Απάντηση Όχι, βασική προϋπόθεση να υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων

Παράδειγμα: Έστω οι συναρτήσεις

Έχουμε και άρα δεν υπάρχει το

Επίσης έχουμε άρα δεν υπάρχει το

, όμως το

Άρα η ιδιότητα δεν ισχύει.

ΕΡΩΤΗΣΗ 28

Ερώτηση

Υπάρχουν τα όρια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων , ; Απάντηση Όχι γιατί είναι περιοδικές συναρτήσεις



18

Σαν απόδειξη μπορούμε να θεωρήσουμε την εξής:

Α) Έστω η συνάρτηση .

α) Αποδεικνύουμε ότι ισχύει

β) Αν υποθέσουμε ότι χρησιμοποιώντας το (α) βρίσκουμε ,

από το οποίο προκύπτει ή , που είναι άτοπο ,διότι αν υπάρχει το όριο είναι μοναδικό.

Β) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση , χρησιμοποιούμε τον τύπο

ο οποίος μπορεί να γραφεί και , άρα

ισχύει και θεωρώντας ότι υπάρχει το καταλήγουμε σε άτοπο.

ΕΡΩΤΗΣΗ 29

Ερώτηση Τι λέμε απροσδιόριστη μορφή; Απάντηση Απροσδιόριστη μορφή λέγεται εκείνη η μορφή για την οποία δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα, δηλαδή το όριο μπορεί να πάρει οποιοδήποτε αποτέλεσμα. Απροσδιόριστες μορφές

είναι , , , , ,

ΕΡΩΤΗΣΗ 30

Ερώτηση Η συνάρτηση του σχήματος είναι συνεχής στο ;



19

Απάντηση Η ερώτηση δεν έχει νόημα γιατί το δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Εξετάζουμε τη συνέχεια μιας συνάρτησης μόνο στο πεδίο ορισμού της.

ΕΡΩΤΗΣΗ 31

Ερώτηση Μια συνεχής συνάρτηση έχει γραφική παράσταση η οποία δεν διακόπτεται ποτέ; Απάντηση Κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα έχει γραφική παράσταση που δεν διακόπτεται. Σε ένωση διαστημάτων μπορεί να διακόπτεται.

ΕΡΩΤΗΣΗ 32

Ερώτηση Πότε εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano; Απάντηση Το Θεώρημα Bolzano (όταν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του) είναι ένας τρόπος για να

αποδεικνύουμε την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας της εξίσωσης σε κάποιο ανοικτό διάστημα του πεδίου ορισμού της .



20

ΕΡΩΤΗΣΗ 33

Ερώτηση

Με το Θεώρημα Bolzano βρίσκουμε τη ρίζα της εξίσωσης ; Απάντηση Όχι. Το Θεώρημα Bolzano μας εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας της εξίσωσης

, χωρίς όμως να την προσδιορίζει. Για να βρούμε τη ρίζα ή τις ρίζες πρέπει να λύσουμε την εξίσωση με τους γνωστούς τρόπους που μάθαμε στην Α΄ και Β΄ Λυκείου. Όταν η εξίσωση δε

λύνεται μπορούμε να βρούμε τη ρίζα της εξίσωσης με όποια προσέγγιση θέλουμε με τη βοήθεια του Θεωρήματος Bolzano με διαδοχικές διχοτομήσεις των διαστημάτων.

ΕΡΩΤΗΣΗ 34

Ερώτηση

Έστω συνάρτηση , συνεχής σε ένα διάστημα και , για κάθε . Τι προκύπτει για το πρόσημο της στο ; Απάντηση

Η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο, δηλαδή οι τιμές της θα είναι θετικές ή αρνητικές.

Το ίδιο συμβαίνει και ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης Η παρατήρηση αυτή μας βοηθάει να βρούμε το πρόσημο της συνάρτησης ανάμεσα στις διαδοχικές ρίζες επιλέγοντας ένα αριθμό σε κάθε ένα υποδιάστημα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες.

ΕΡΩΤΗΣΗ 35

Ερώτηση

Τι κάνουμε όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι η εξίσωση , έχει δύο ή περισσότερες ρίζες σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ;



21

Απάντηση Χωρίζουμε το διάστημα σε υποδιαστήματα ανάλογα με το πλήθος των ριζών και εξετάζουμε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano σε κάθε ένα από τα διαστήματα αυτά. Ένας

άλλος τρόπος είναι να βρούμε τα επί μέρους σύνολα τιμών της και να εξετάσουμε αν το 0 ανήκει σε αυτά.

ΕΡΩΤΗΣΗ 36

Ερώτηση Τι κάνουμε όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχει ακριβώς μία ρίζα της εξίσωσης

στο διάστημα (α,β) , που είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση

Εξετάζουμε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [α,β] , για να εξασφαλίσουμε την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας στο (α,β).

Αποδεικνύουμε την μοναδικότητα της ρίζας , αν η συνάρτηση είναι 1-1 ή γνησίως μονότονη στο δεδομένο διάστημα.

Σχόλιο: Την ύπαρξη της ρίζας μπορούμε να την αποδείξουμε και με το σύνολο τιμών ή με την προφανή λύση.

ΕΡΩΤΗΣΗ 37

Ερώτηση

Αν στην εφαρμογή του Θεωρήματος Bolzano για μια συνεχή συνάρτηση σε ένα διάστημα

ισχύει , τι προκύπτει; Απάντηση

Αν , τότε από το Θεώρημα Bolzano στο διάστημα , υπάρχει μία

τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης στο .

Αν τότε ή . Δηλαδή το α ή το β μπορεί να είναι

ρίζα της εξίσωσης. Δηλαδή τελικώς η ρίζα μπορεί να ανήκει στο .



22

ΕΡΩΤΗΣΗ 38

Ερώτηση Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο τι κάνουμε; Απάντηση

Ως γνωστόν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των και είναι οι λύσεις της

εξίσωσης . Αν δεν μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση αλγεβρικά , ένα τρόπος λύσης του προβλήματος είναι

να θεωρήσουμε τη συνάρτηση , και να εφαρμόσουμε το Θεώρημα Bolzano σε κατάλληλο διάστημα.

ΕΡΩΤΗΣΗ 39

Ερώτηση Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος των ενδιαμέσων τιμών; Απάντηση

Κάθε ευθεία με τέμνει τη γραφική παράσταση τουλάχιστον σ’ ένα σημείο.

Η σημαντικότερη συνέπεια του Θεωρήματος είναι ότι

o Η εικόνα διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα (όχι ένωση διαστημάτων)

o Η εικόνα κλειστού διαστήματος μέσω συνεχούς συνάρτησης είναι κλειστό διάστημα.

Sinxeia Oria Erwtiseis Apantiseis

Documents

Transcript of Sinxeia Oria Erwtiseis Apantiseis