Sind reguläre Bäume immer Tief- oder Flachwurzler?

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Sind regul¨ are B¨ aume immer Tief- oder Flachwurzler? Fragen und Ideen ¨ uber die mittlere H¨ ohe von regul¨ aren Baumsprachen Raphael Reitzig @ FORMAT 2014 uftelt mit Eric Noeth (Universit¨ at Siegen) FACHBEREICH INFORMATIK FACHBEREICH INFORMATIK & Algorithmen Komplexität

Transcript of Sind reguläre Bäume immer Tief- oder Flachwurzler?

Sind regulare Baume immer

Tief- oder Flachwurzler?

Fragen und Ideen uber die mittlere Hohevon regularen Baumsprachen

Raphael Reitzig @ FORMAT 2014

tuftelt mit Eric Noeth (Universitat Siegen)

FACHBEREICHINFORMATIKFACHBEREICHINFORMATIK

&Algorithmen Komplexität

Die Frage

Gibt es unendliche regulare Baumsprachen mit mittlerer Hohe

Hn 6∈ Θ(√

n)∪Θ(n) ?

Die Frage

Gibt es unendliche regulare Baumsprachen mit mittlerer Hohe

Hn 6∈ Θ(√

n)∪Θ(n) ?

≈Syntaxbaumevon CFGs

Die Frage

Gibt es unendliche regulare Baumsprachen mit mittlerer Hohe

Hn 6∈ Θ(√

n)∪Θ(n) ?

≈Syntaxbaumevon CFGs

Mitteln uber alleBaume mit n Knoten

Die Frage

Gibt es unendliche regulare Baumsprachen mit mittlerer Hohe

Hn 6∈ Θ(√

n)∪Θ(n) ?

≈Syntaxbaumevon CFGs

Mitteln uber alleBaume mit n Knoten

z. B. Binarbaumeund viele

”simple varieties“

Die Frage

Gibt es unendliche regulare Baumsprachen mit mittlerer Hohe

Hn 6∈ Θ(√

n)∪Θ(n) ?

≈Syntaxbaumevon CFGs

Mitteln uber alleBaume mit n Knoten

z. B. Binarbaumeund viele

”simple varieties“

z. B. lineare Liste u. a.

Die Frage

Gibt es unendliche regulare Baumsprachen mit mittlerer Hohe

Hn 6∈ Θ(√

n)∪Θ(n) ?

≈Syntaxbaumevon CFGs

Mitteln uber alleBaume mit n Knoten

z. B. Binarbaumeund viele

”simple varieties“

z. B. lineare Liste u. a.

Nota bene: Random Permutation auf BSTs ist nicht uniform;Hohenbalancierung ist nicht regular.

Warum die Frage?

I Baume sind ein”naturlicher“ Formalismus.

Hohe ist ein naturlicher, interessanter Parameter.

I Regulare Baume verallgemeinern viele”klassische“ Familien.

I Mittlere Hohe bisher nur fur Spezialfalle bekannt.

I Enger Zusammenhang zur mittleren Kompressionsgute vonBaumen via DAGs.

Warum die Frage?

I Baume sind ein”naturlicher“ Formalismus.

Hohe ist ein naturlicher, interessanter Parameter.

I Regulare Baume verallgemeinern viele”klassische“ Familien.

I Mittlere Hohe bisher nur fur Spezialfalle bekannt.

I Enger Zusammenhang zur mittleren Kompressionsgute vonBaumen via DAGs.

Warum die Frage?

I Baume sind ein”naturlicher“ Formalismus.

Hohe ist ein naturlicher, interessanter Parameter.

I Regulare Baume verallgemeinern viele”klassische“ Familien.

I Mittlere Hohe bisher nur fur Spezialfalle bekannt.

I Enger Zusammenhang zur mittleren Kompressionsgute vonBaumen via DAGs.

Warum die Frage?

I Baume sind ein”naturlicher“ Formalismus.

Hohe ist ein naturlicher, interessanter Parameter.

I Regulare Baume verallgemeinern viele”klassische“ Familien.

I Mittlere Hohe bisher nur fur Spezialfalle bekannt.

I Enger Zusammenhang zur mittleren Kompressionsgute vonBaumen via DAGs.

Regulare Baumgrammatiken

Eine Baumgrammatik G = (S ,N,Σ,R)

ist regular, wenn alleRegeln r ∈ R eine dieser Formen haben:

A→a

A1. . . Ak

oder A→ a

normalisierte

Ableitungen und erzeugte (Baum-)Sprache L = L(G) wie ublich.

Reduziertheit, Normalform und Eindeutigkeit gibt es o. B. d. A.

Regulare Baumgrammatiken

Eine Baumgrammatik G = (S ,N,Σ,R) ist regular, wenn alleRegeln r ∈ R eine dieser Formen haben:

A→a

A1. . . Ak

oder A→ a

normalisierte

Ableitungen und erzeugte (Baum-)Sprache L = L(G) wie ublich.

Reduziertheit, Normalform und Eindeutigkeit gibt es o. B. d. A.

Regulare Baumgrammatiken

Eine Baumgrammatik G = (S ,N,Σ,R) ist regular, wenn alleRegeln r ∈ R eine dieser Formen haben:

A→a

A1. . . Ak

oder A→ a

normalisierte

Ableitungen und erzeugte (Baum-)Sprache L = L(G) wie ublich.

Reduziertheit, Normalform und Eindeutigkeit gibt es o. B. d. A.

Regulare Baumgrammatiken

Eine Baumgrammatik G = (S ,N,Σ,R) ist regular, wenn alleRegeln r ∈ R eine dieser Formen haben:

A→a

A1. . . Ak

oder A→ a

normalisierte

Ableitungen und erzeugte (Baum-)Sprache L = L(G) wie ublich.

Reduziertheit, Normalform und Eindeutigkeit gibt es o. B. d. A.

Beispiel: Binarbaume

Die Grammatik G = (S , S, ,R) mit

S →

S S

∣∣∣ erzeugt die Menge aller vollen/erweiterten Binarbaume.

S ⇒

S S

S

S S

S ⇒

S S ⇒

S

Nota bene: L(G ) = Lsg[B = Σ× B × B + Σ

]

Beispiel: Binarbaume

Die Grammatik G = (S , S, ,R) mit

S →

S S

∣∣∣ erzeugt die Menge aller vollen/erweiterten Binarbaume.

S ⇒

S S

S

S S

S ⇒

S S ⇒

S

Nota bene: L(G ) = Lsg[B = Σ× B × B + Σ

]

Beispiel: Binarbaume

Die Grammatik G = (S , S, ,R) mit

S →

S S

∣∣∣ erzeugt die Menge aller vollen/erweiterten Binarbaume.

S ⇒

S S

S

S S

S ⇒

S S ⇒

S

Nota bene: L(G ) = Lsg[B = Σ× B × B + Σ

]

TREG vs. CFDT

I CFDT ⊆ TREG.

I yield(TREG) ⊆ CFL.

I TREG \ CFDT 6= ∅.Denn: in CFDT erzwingt gleiches Label gleiches Nichtterminal.

TREG vs. CFDT

I CFDT ⊆ TREG.

I yield(TREG) ⊆ CFL.

I TREG \ CFDT 6= ∅.Denn: in CFDT erzwingt gleiches Label gleiches Nichtterminal.

TREG vs. CFDT

I CFDT ⊆ TREG.

I yield(TREG) ⊆ CFL.

I TREG \ CFDT 6= ∅.Denn: in CFDT erzwingt gleiches Label gleiches Nichtterminal.

TREG vs. CFDT

I TREG \ CFDT 6= ∅:

S →s

A BA→

c

aB →

c

b

L =

s

c

a

c

b

s → cc c → a | b

|L′| = 4

Macht das hier einen Unterschied?

TREG vs. CFDT

I TREG \ CFDT 6= ∅:

S →s

A BA→

c

aB →

c

b

L =

s

c

a

c

b

s → cc c → a | b

|L′| = 4

Macht das hier einen Unterschied?

TREG vs. CFDT

I TREG \ CFDT 6= ∅:

S →s

A BA→

c

aB →

c

b

L =

s

c

a

c

b

s → cc c → a | b

|L′| = 4

Macht das hier einen Unterschied?

TREG vs. CFDT

I TREG \ CFDT 6= ∅:

S →s

A BA→

c

aB →

c

b

L =

s

c

a

c

b

s → cc c → a | b

|L′| = 4

Macht das hier einen Unterschied?

TREG vs. CFDT

I TREG \ CFDT 6= ∅:

S →s

A BA→

c

aB →

c

b

L =

s

c

a

c

b

s → cc c → a | b

|L′| = 4

Macht das hier einen Unterschied?

Mehr Beispiele

Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von Baumen gemaß

T = T × SEQΩ(T )

ist regular!

Beweis:

S →a

S . . . S

k ×

⇐⇒ a ∈ T ∧ k ∈ Ω

Wissen: hier ist Hn ∈ Θ(√n) ∪Θ(n).

Mehr Beispiele

Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von Baumen gemaß

T = T × SEQΩ(T )

ist regular! Solange 0 ∈ Ω und |Ω| <∞.

Beweis:

S →a

S . . . S

k ×

⇐⇒ a ∈ T ∧ k ∈ Ω

Wissen: hier ist Hn ∈ Θ(√n) ∪Θ(n).

Mehr Beispiele

Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von Baumen gemaß

T = T × SEQΩ(T )

ist regular! Solange 0 ∈ Ω und |Ω| <∞.

Beweis:

S →a

S . . . S

k ×

⇐⇒ a ∈ T ∧ k ∈ Ω

Wissen: hier ist Hn ∈ Θ(√n) ∪Θ(n).

Mehr Beispiele

Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von Baumen gemaß

T = T × SEQΩ(T )

ist regular! Solange 0 ∈ Ω und |Ω| <∞.

Beweis:

S →a

S . . . S

k ×

⇐⇒ a ∈ T ∧ k ∈ Ω

Wissen: hier ist Hn ∈ Θ(√n) ∪Θ(n).

Probleme

I Beweis zu SV nicht direkt ubertragbar.

I Hohe ist immer unangenehm – keine additive Große!

I Nichtterminale konnen sich beliebig vermischen– wie ihre Beitrage zur Hohe isolieren?

Probleme

I Beweis zu SV nicht direkt ubertragbar.

I Hohe ist immer unangenehm – keine additive Große!

I Nichtterminale konnen sich beliebig vermischen– wie ihre Beitrage zur Hohe isolieren?

Probleme

I Beweis zu SV nicht direkt ubertragbar.

I Hohe ist immer unangenehm – keine additive Große!

I Nichtterminale konnen sich beliebig vermischen– wie ihre Beitrage zur Hohe isolieren?

Idee

Zerlegen Baume nach den Beitragen der Nichtterminale:

a

a

a

a a a

a

a a

a a

a

a

a

a

a

a

a a

a

a a a a

Idee

Zerlegen Baume nach den Beitragen der Nichtterminale:

a

a

a

a a a

a

a a

a a

a

a

a

a

a

a

a a

a

a a a a

Idee

Zerlegen Baume nach den Beitragen der Nichtterminale:

a

a

a

a a a

a

a a

a a

a

a

a

a

a

a

a a

a

a a a a

Das sind gerade (A- bzw. B-) Minoren!

Idee

Wir beobachten:

I Die Sprache der A-Minoren ist stets eine”smooth simple

variety“ SVA.

I maxA∈N

HA(t) ≤ H(t) ≤∑A∈N

HA(t)

=⇒ 1

|N|·maxA∈N

HA,n ≤ Hn ≤∑A∈N

HA,n.

I∑A∈N

HA,n ∈ Θ

(1

|N|·maxA∈N

HA,n

)fur n→∞, da N endlich.

Also ist das Problem gelost

Idee

Wir beobachten:

I Die Sprache der A-Minoren ist stets eine”smooth simple

variety“ SVA.

I maxA∈N

HA(t) ≤ H(t) ≤∑A∈N

HA(t)

=⇒ 1

|N|·maxA∈N

HA,n ≤ Hn ≤∑A∈N

HA,n.

I∑A∈N

HA,n ∈ Θ

(1

|N|·maxA∈N

HA,n

)fur n→∞, da N endlich.

Also ist das Problem gelost

Idee

Zerlegen Baume nach den Beitragen der Nichtterminale:

a

a

a

a a a

a

a a

a a

a

a

a

a

a

a

a a

a

a a a a

≥ 3

≤ 3 + 2 = 5

Idee

Wir beobachten:

I Die Sprache der A-Minoren ist stets eine”smooth simple

variety“ SVA.

I maxA∈N

HA(t) ≤ H(t) ≤∑A∈N

HA(t)

=⇒ 1

|N|·maxA∈N

HA,n ≤ Hn ≤∑A∈N

HA,n.

I∑A∈N

HA,n ∈ Θ

(1

|N|·maxA∈N

HA,n

)fur n→∞, da N endlich.

Also ist das Problem gelost

Idee

Wir beobachten:

I Die Sprache der A-Minoren ist stets eine”smooth simple

variety“ SVA.

I maxA∈N

HA(t) ≤ H(t) ≤∑A∈N

HA(t)

=⇒ 1

|N|·maxA∈N

HA,n ≤ Hn ≤∑A∈N

HA,n.

I∑A∈N

HA,n ∈ Θ

(1

|N|·maxA∈N

HA,n

)fur n→∞, da N endlich.

Also ist das Problem gelost

Idee

Wir beobachten:

I Die Sprache der A-Minoren ist stets eine”smooth simple

variety“ SVA.

I maxA∈N

HA(t) ≤ H(t) ≤∑A∈N

HA(t)

=⇒ 1

|N|·maxA∈N

HA,n ≤ Hn ≤∑A∈N

HA,n.

I∑A∈N

HA,n ∈ Θ

(1

|N|·maxA∈N

HA,n

)fur n→∞, da N endlich.

Also ist das Problem gelost

Idee

Wir beobachten:

I Die Sprache der A-Minoren ist stets eine”smooth simple

variety“ SVA.

I maxA∈N

HA(t) ≤ H(t) ≤∑A∈N

HA(t)

=⇒ 1

|N|·maxA∈N

HA,n ≤ Hn ≤∑A∈N

HA,n.

I∑A∈N

HA,n ∈ Θ

(1

|N|·maxA∈N

HA,n

)fur n→∞, da N endlich.

Also ist das Problem gelost!

Idee

Wir beobachten:

I Die Sprache der A-Minoren ist stets eine”smooth simple

variety“ SVA.

I maxA∈N

HA(t) ≤ H(t) ≤∑A∈N

HA(t)

=⇒ 1

|N|·maxA∈N

HA,n ≤ Hn ≤∑A∈N

HA,n.

I∑A∈N

HA,n ∈ Θ

(1

|N|·maxA∈N

HA,n

)fur n→∞, da N endlich.

Also ist das Problem gelost?

Probleme mit der IdeeI Verschiedene

”Mittel“ bei SVA und HA

– uniform uber SVA 6= uniform uber L(G )!

S = A→a

A A

∣∣∣ a

A

∣∣∣ a

BB → a | b

I Nicht jede Minorensprache dominiert:

S →s

A BA→ Σ1

A A

∣∣∣ Σ1 B → Σ2

B

∣∣∣ Σ2

– Hohe in Θ(√

n)

oder Θ(n)?

I Und selbst wenn:

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

Probleme mit der IdeeI Verschiedene

”Mittel“ bei SVA und HA

– uniform uber SVA 6= uniform uber L(G )!

S = A→a

A A

∣∣∣ a

A

∣∣∣ a

BB → a | b

I Nicht jede Minorensprache dominiert:

S →s

A BA→ Σ1

A A

∣∣∣ Σ1 B → Σ2

B

∣∣∣ Σ2

– Hohe in Θ(√

n)

oder Θ(n)?

I Und selbst wenn:

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

Probleme mit der IdeeI Verschiedene

”Mittel“ bei SVA und HA

– uniform uber SVA 6= uniform uber L(G )!

S = A→a

A A

∣∣∣ a

A

∣∣∣ a

BB → a | b

I Nicht jede Minorensprache dominiert:

S →s

A BA→ Σ1

A A

∣∣∣ Σ1 B → Σ2

B

∣∣∣ Σ2

– Hohe in Θ(√

n)

oder Θ(n)?

I Und selbst wenn:

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

Ausflug: Knotenzahlen

Den Hohenbeitrag von A hangt von mehreren Großen ab:

HA,n ←→ HA nA . . .

– lohnt es sich, nA zu untersuchen?

nA =An

WA,n=

# A-Knoten in Ln# A-Minorenbaume in Ln

Damit konnen wir umgehen!

Ausflug: Knotenzahlen

Den Hohenbeitrag von A hangt von mehreren Großen ab:

HA,n ←→ HA nA . . .

– lohnt es sich, nA zu untersuchen?

nA =An

WA,n=

# A-Knoten in Ln# A-Minorenbaume in Ln

Damit konnen wir umgehen!

Ausflug: Knotenzahlen

Den Hohenbeitrag von A hangt von mehreren Großen ab:

HA,n ←→ HA nA . . .

– lohnt es sich, nA zu untersuchen?

nA =An

WA,n=

# A-Knoten in Ln# A-Minorenbaume in Ln

Damit konnen wir umgehen!

Ausflug: Knotenzahlen

Technik: Erzeugendenfunktionen

S(a, z) =∑t∈L

a|t|Az |t|

=∑n≥0

∑i≥0

(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· aizn

∂∂a A(a, z) =

∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· ai−1zn

A(1, z) =∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· zn

[zn]A(1, z) = An

Ausflug: Knotenzahlen

Technik: Erzeugendenfunktionen

S(a, z) =∑t∈L

a|t|Az |t|

=∑n≥0

∑i≥0

(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· aizn

∂∂a A(a, z) =

∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· ai−1zn

A(1, z) =∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· zn

[zn]A(1, z) = An

Ausflug: Knotenzahlen

Technik: Erzeugendenfunktionen

S(a, z) =∑t∈L

a|t|Az |t|

=∑n≥0

∑i≥0

(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· aizn

∂∂a A(a, z) =

∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· ai−1zn

A(1, z) =∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· zn

[zn]A(1, z) = An

Ausflug: Knotenzahlen

Technik: Erzeugendenfunktionen

S(a, z) =∑t∈L

a|t|Az |t|

=∑n≥0

∑i≥0

(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· aizn

∂∂a A(a, z) =

∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· ai−1zn

A(1, z) =∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· zn

[zn]A(1, z) = An

Ausflug: Knotenzahlen

Technik: Erzeugendenfunktionen

S(a, z) =∑t∈L

a|t|Az |t|

=∑n≥0

∑i≥0

(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· aizn

∂∂a A(a, z) =

∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· ai−1zn

A(1, z) =∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· zn

[zn]A(1, z) = An

Ausflug: Knotenzahlen

Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)

mit weiteren Argumenten

Ausflug: Knotenzahlen

Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

A = azA2 + azB

B = bzB + bz

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)

mit weiteren Argumenten

Ausflug: Knotenzahlen

Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

S(a, b, z) =1− bz −

√(1− bz)(1− bz − 4a2bz3)

2az(1− bz)

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)

mit weiteren Argumenten

Ausflug: Knotenzahlen

Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

S(1, 1, z) =1− z −

√(1− z)(1− 2z)(1 + z + 2z2)

2z(1− z)

A(1, 1, z) =2z2

(1− 2z)(1 + z + 2z2) +√

(1− z)(1− 2z)(1 + z + 2z2)

B(1, 1, z) =z2

(1− z) ·√

(1− z)(1− 2z)(1 + z + 2z2)

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)

mit weiteren Argumenten

Ausflug: Knotenzahlen

Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

. . . Singularitatenanalyse . . .

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)

mit weiteren Argumenten

Ausflug: Knotenzahlen

Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

. . . Singularitatenanalyse . . .

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)

mit weiteren Argumenten

Ausflug: Knotenzahlen

Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

An ∼ 1/2 · n

WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n

Bn ∼ 1/2 · n

WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)

mit weiteren Argumenten

Ausflug: Knotenzahlen

Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

An ∼ 1/2 · n WA,n = 1

nA ∼ 1/2 · n

Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n

nB ∼ 2

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)

mit weiteren Argumenten

Ausflug: Knotenzahlen

Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n

Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)

mit weiteren Argumenten

Ausflug: Knotenzahlen

Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n

Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)

mit weiteren Argumenten

Ausflug: Knotenzahlen

Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n

Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)

mit weiteren Argumenten

Ausflug: Knotenzahlen

Mussen unangenehme Falle ausschließen (oder finden):

HA ∼√n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2

HB ∼ n4/5 ∧ nB ∼ n3/4 HB,n ∼ n3/5

Was fur HA, nA und Verknupfungen derer kann es geben?

Ausflug: Knotenzahlen

Mussen unangenehme Falle ausschließen (oder finden):

HA ∼√n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2

HB ∼ n4/5 ∧ nB ∼ n3/4 HB,n ∼ n3/5

Was fur HA, nA und Verknupfungen derer kann es geben?

Ausflug: Knotenzahlen

Mussen unangenehme Falle ausschließen (oder finden):

HA ∼√n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2

HB ∼ n4/5 ∧ nB ∼ n3/4 HB,n ∼ n3/5

Was fur HA, nA und Verknupfungen derer kann es geben?

Ausflug: Knotenzahlen

Mussen unangenehme Falle ausschließen (oder finden):

HA ∼√n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2

HB ∼ n4/5 ∧ nB ∼ n3/4 HB,n ∼ n3/5

Was fur HA, nA und Verknupfungen derer kann es geben?

Ausflug: Knotenzahlen

Wissen von Banderier/Drmota (2014):

|Ln| ∼ α · βn · nγ fur alle γ ∈ −1− 2−kk≥1

∪ m · 2−k − 1k≥0,m≥1

moglich

Aber ist An vielleicht”passend“ unangenehm und An ”

hubsch“?

Andererseits: was sind nA und nB in

S →s

A B,

wenn|LA,n| ∼ . . . · nγ1 und |LB,n| ∼ . . . · nγ2 ?

Ausflug: Knotenzahlen

Wissen von Banderier/Drmota (2014):

|Ln| ∼ α · βn · nγ fur alle γ ∈ −1− 2−kk≥1

∪ m · 2−k − 1k≥0,m≥1

moglich – also”beliebig“ unangenehm!

Aber ist An vielleicht”passend“ unangenehm und An ”

hubsch“?

Andererseits: was sind nA und nB in

S →s

A B,

wenn|LA,n| ∼ . . . · nγ1 und |LB,n| ∼ . . . · nγ2 ?

Ausflug: Knotenzahlen

Wissen von Banderier/Drmota (2014):

|Ln| ∼ α · βn · nγ fur alle γ ∈ −1− 2−kk≥1

∪ m · 2−k − 1k≥0,m≥1

moglich – also”beliebig“ unangenehm!

Aber ist An vielleicht”passend“ unangenehm und An ”

hubsch“?

Andererseits: was sind nA und nB in

S →s

A B,

wenn|LA,n| ∼ . . . · nγ1 und |LB,n| ∼ . . . · nγ2 ?

Ausflug: Knotenzahlen

Wissen von Banderier/Drmota (2014):

|Ln| ∼ α · βn · nγ fur alle γ ∈ −1− 2−kk≥1

∪ m · 2−k − 1k≥0,m≥1

moglich – also”beliebig“ unangenehm!

Aber ist An vielleicht”passend“ unangenehm und An ”

hubsch“?

Andererseits: was sind nA und nB in

S →s

A B,

wenn|LA,n| ∼ . . . · nγ1 und |LB,n| ∼ . . . · nγ2 ?

Protoidee: Simple Varieties erweitern

Simple Variety SVΩ ist charakterisiert durch

φΩ(z) =∑k∈Ω

zk .

Konnen wir die Beweise sinnvoll etwa auf

φn(z) =∑k≥0

# Knoten in Ln mit Grad k

n · Tn· zk

ubertragen? Was passiert dann fur n→∞?

Protoidee: Simple Varieties erweitern

Simple Variety SVΩ ist charakterisiert durch

φΩ(z) =∑k∈Ω

zk .

Konnen wir die Beweise sinnvoll etwa auf

φn(z) =∑k≥0

# Knoten in Ln mit Grad k

n · Tn· zk

ubertragen? Was passiert dann fur n→∞?

Protoidee: Nichtterminale eliminieren

Induktion uber |N|?

I. A. |N| = 1: simple variety X

I. S. |N| = k + 1: konstruiere

I hohen-Θ-aquivalente Grammatik mitI k Nichtterminalen.

Protoidee: Nichtterminale eliminieren

Induktion uber |N|?

I. A. |N| = 1: simple variety X

I. S. |N| = k + 1: konstruiere

I hohen-Θ-aquivalente Grammatik mitI k Nichtterminalen.

Protoidee: Symbolische Methode fur Baume

Konnen wir eine

I Basis von Sprachen und

I Operationen

finden, die TREG erzeugen?Es gibt

”regular tree expressions“ in TATA!

Konnten wir dann die symbolische Methode darauf erweitern?

Welchen Effekt hatten diese Operationen auf die mittlere Hohe?

Protoidee: Symbolische Methode fur Baume

Konnen wir eine

I Basis von Sprachen und

I Operationen

finden, die TREG erzeugen?Es gibt

”regular tree expressions“ in TATA!

Konnten wir dann die symbolische Methode darauf erweitern?

Welchen Effekt hatten diese Operationen auf die mittlere Hohe?

Protoidee: Symbolische Methode fur Baume

Konnen wir eine

I Basis von Sprachen und

I Operationen

finden, die TREG erzeugen?Es gibt

”regular tree expressions“ in TATA!

Konnten wir dann die symbolische Methode darauf erweitern?

Welchen Effekt hatten diese Operationen auf die mittlere Hohe?