Σεισμική Μετακίνηση Τοίχων Βαρύτητας που Αντιστηρίζουν Ξηρή Άμμο

Seίsmίc Dίsplacement of Gravity Walls Retaining Dry Sand

ΒΕΛΓΑΚΗ, Ε. Γ. Πολιτικός Μηχανικός, Κοτζιάς-Σταματόπουλος Ε.Π.Ε. ΠΑΜΑΤΟΠΟΥΛΟΣ, Κ. Α Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, Κοτζιάς-Σταματόπουλος Ε.Π. Ε.

ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Παρουσιάζεται μία απλή και ακριβής μέθοδος υπολογισμού της μετακίνησης ενός τοίχου βαρύτητας που aντιστηρίζει ξηρή άμμο , υπό σεισμική φόρτιση. Ο τοίχος και μέρος της αντιστηριζόμενης μάζας αποτελούν σύστημα δύο σωμάτων που υφίσταται μετάθεση υπό ένα κινηματικά αποδεκτό πεδίο ταχυτήτων. Δίνεται η εξίσωση κίνησης του ολισθαίνοντος συστήματος και, υπό την υπόθεση οριακής ισορροπίας, εξάγονται εκφράσεις για την κρίσιμη γωνία aστοχίας της εδαφικής μάζας και την ελάχιστη κρίσιμη επιτάχυνση. Τα αποτελέσματα της μεθόδου συγκρίνονται με τα αντίστοιχα μεθόδων που αναφέρονται στη διεθνή βιβλιογραφiα.

ABSTRACτ: An accυrate and simple method of estimating the seismic displacement of a rίgid graνity wall , which retains dry sand is proposed. The wall and the rυρtυred backfill constitυte a system of two rigid bodies, which moνe in translation υnder a kίnematίcally admissible νelocity field. The paper first derίνes the eqυation of motion of the sliding system and then, assυming limίt eqυilibriυm state, giνes expressίons for (a) the critical rυρtυre angle of the backfill and (b) the corresponding minimυm νalυe of critical acceleration. The resυlts are compared with those obtained from well known methods of designing graνity walls.

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οπως έχει αποδειχθεί από δοκιμές δονητικής τράπεζας, η αύξηση της επιβαλλόμενης σεισμικής δύναμης σε τοίχους βαρύτητας που aντιστηρίζουν ξηρή άμμο, δημιουργεi αυξανόμενη διατμητική δύναμη στην αντιστηριζόμενη μάζα, μέχρις ότου σχηματιστεί μία ενεργή σφήνα εδάφους πίσω από τον τοίχο. Η περαιτέρω αύξηση της σεισμικής οριζόντιας επιτάχυνσης, επιφέρει μετάθεση του τοίχου και της εδαφικής σφήνας. Η μετακίνηση συσσωρεύεται κατά τις χρονικές στιγμές όπου η σεισμική επιτάχυνση ξεπερνάει την τιμή της "κρίσιμης επιτάχυνσης". Η κρίσιμη επιτάχυνση

kc είναι η οριζόντια επιτάχυνση που πρέπει να ασκηθεί για την έναρξη της κίνησης είναι δε, συνάρτηση της γεωμετρίας και της αντοχής του υπό εξέταση συστήματος.

Η μέχρι σήμερα μελέτη της παραττάνω συμπεριφοράς τοiχων βαρύτητας υπό σεισμικά φορτία στηρίζεται κυρίως πάνω στη λύση που πρότειναν οι Richards and Elms (1979):

υπολογίζεται καταρχήν η ώθηση που ασκείται στον τοίχο σύμφωνα τον τύπο των Mononobe - Okabe (1926 και 1929) και ακολούθως εξάγεται , με επαναληπτική διαδικασία, η κρίσιμη επιτάχυνση του τοiχου. Η οριζόντια

μετάθεση του τοίχου υπολογίζεται με τη χρησιμοποίηση του μοντέλου του "σώματος­σε-κεκλιμένο-επίπεδο"του Newmark (1965). Πρέπει να σημειωθεί οι Μ-0, για τον υπολογισμό της ώθησης, λαμβάνουν υπόψη μόνο τις δυνάμεις που ασκούνται στο έδαφος. Κάτι τέτοιο όμως δεν αντιπροσωπεύει αυτό που πραγματικά συμβαίνει κατά την κίνηση

του συστήματος "τοίχος-έδαφος", αφού η δύναμη που αναπτύσσεται στην μεταξύ τους επιφάνεια (ώθηση) εξαρτάται επιπλέον και από τις δυνάμεις που ασκούνται στον τοίχο.

Το άρθρο αυτό, καταρχήν δίνει την εξiσωση κίνησης του συστήματος "τοίχος-έδαφος", η οποία προβλέπει την μετακίνησή του υπό σεισμικά φορτία. Κατόπιν δίνονται αναλυτικές εκφράσεις για τη γωνία αστοχlας του εδαφικού πρίσματος και την αντίστοιχη ελάχιστη τιμή της

123

κρίσιμης επιτάχυνσης. Τέλος προσδιορίζονται και σχολιάζονται οι διαφορές στη μετακίνηση που υπολογίζεται βάσει της προγενέστερης μεθοδολογίας και με την παρούσα μέθοδο.

2. ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΥΠΗΜΑΤΟΣ

Στην παρούσα εργασία, ο τοίχος (σώμα 1) και η εδαφική σφήνα (σώμα 2) προσομοιάζονται με ένα σύστημα δύο σωμάτων (Σχήμα 1). Τα κύρια γεωμετρικά στοιχεία του συστήματος είναι η κλίση της επιφάνειας ολίσθησης του

τοίχου και της σφήνας, α, και α2 , καθώς και οι

μάζες τους m, και m2 αντίστοιχα.

Επίσης η επιφάνεια επαφής του τοίχου με το έδαφος λαμβάνεται κατακόρυφη και η τριβή που αναπτύσεται σε αυτήν λαμβάνεται σταθερή καθόλη τη διάρκεια της κίνησης. Η συνολική μετάθεση κάθε σώματος πάνω στην

επιφάνεια ολίσθησής του είναι υ,.

Σχήμα 1. Γεωμετρία του συστήματος. Figure 1. Considered geometry.

Σχήμα 2. Οι ασκούμενες δυνάμεις.

ολίσθησης δύναμη Ν, και (ε) η παράλληλη

στην επιφάνεια ολίσθησης δύναμη Ν, · tan φ,.

Λαμβάνοντας την ισορροπία των παραπάνω δυνάμεων για κάθε σώμα χωριστά , έχουμε:

.. 1 ~ . { ) m,u, = --ιm,gsιn\a, - φ, + cosφ,

+ k(t}m,gcos(a, - φ, )+ (1)

+ Ρ, cos(φ3 - α, -t φ, )]

.. 1 [ . ( ) m2uι =-- mι9sιn αα2 - φ2 +

cοsφι

+ k(t}mι9cos(αα2 - φ2 )- (2)

-Ρ, cos(φ3 - αα2 t Ψι )]

όπου η τελεία δηλώνει παραγώγιση ως προς το χρόνο. Επιπλέον, η γωνία αα2 συμβολίζει

την άγνωστη, προς το παρόν, κρίσιμη γωνία aστοχίας του εδαφικού πρίσματος α2 •

Δεχόμαστε επιπροσθέτως, ότι τα δύο σώματα δεν χάνουν την επαφή τους σε καμία χρονική στιγμή της κίνησης, άρα οι ταχύτητες και οι μετακινήσεις τους έχουν ίσες προβολές κάθετα στην ενδοεπιφάνεια.

Αυτή η υπόθεση μας παρέχει ένα κινηματικό αποδεκτό πεδίο ταχυτήτων το οποίο εκφράζεται μαθηματικά ως:

Η συνολική εξίσωση κlνησης του συστήματος των δύο σωμάτων παράγεται από τον συνδυασμό των Εξισώσεων (1) έως (3), σαν συνάρτηση της κρίσιμης επιτάχυνσης του συστήματος, kkc, και γράφεται σε σχέση με τη μετακίνηση του 2"" σώματος :

(4)

Fi9υre 2. Aρplied forces for the system under όπου: consideratίon.

Οι δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σώμα

(Σχήμα 2) είναι : (α) το βάροςm,9 (όπου 9 είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας) , (β) η οριζόντια

σεισμική δύναμη k(t} · m, · 9 , συναρτήσει του χρόνου t, (γ) η δύναμη από την άλλη μάζα σε επαφή Ρ1, (δ) η κάθετη στην επιφάνεια

124

Ζι = (m , cos(α , - φ, )cos(φ3 -ααι + Ψι ) + m2 cοs(αα 2 - φ2 }cοs(φ3 - α, + φ,)]ι [λm, cosφ, cos(φ3 - αα2 + ψ2 )+ mι cosφι cos(φ3 - α , + φ , ))

και

(5)

kk. = [m, sin(φ, - α,)cοs(φ, - αα2 +φ2)+ m2 sin(φ2 - αα2 )cοs(φ, - α, + φ,)]ι [m, cos(α, - φ,)cοs(φ,- αα2 + φ2) + m2 cos(αα2 - φ2 )cοs(φ, - α, + φ,)]

(6)

Ο συμβολισμός kk. χρησιμοποιείται για να δηλώσει την άγνωστη τιμή της ελάχιστης

κρίσιμης επιτάχυνσης k. Εναλλακτικά, (σε όρους μετακίνησης του

1ou σώματος), η Εξίσωση (4) γράφεται:

ϋ, = z, . [k(t) - kk. ]· 9 (7)

όπου η μεταβλητή Ζ, ισούται με:

(θ)

και ο συντελεστής λ δίνεται από την Εξίσωση (3).

Οι παραπάνω εκφράσεις για την εξίσωση κίνησης του συστήματος και την κρίσιμη

επιτάχυνση είναι οι ίδιες με αυτές που προτείνουν σε πρόσφατη εργασία τους οι Sarma and Chlimitzas (2000).

Επιπλέον, η ώθηση Ρ. που ασκείται στον

τοίχο έχει την ακόλουθη έκφραση:

Ρ Ρ, = - g • p2

όπου:

Ρ, = m,λcosφ, ·

και

[k(t)cos(aa2 -φ2 )+sin(αa2 - φ2 )] ­

- m2 cosφ2 •

[k(t)cos(a, - φ,) +sin(αΊ-φ,)]

Ρ2 = m2 cos(φ, - α, + φ,)cοs φ2 +

+ m,λcos(φ3 - αα2 +φ2)cοsφ,

(9)

(10)

(11)

3.ΚΡΙΣΙΜΗ ΓΩΝΙΑ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΔΑΦΙΚΗΣ ΣΦΗΝΑΣ ΚΑΙ ΚΡΙΣΙΜΗ

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΤΟΥ ΣΥΠΗΜΑΤΟΣ

3.1. Αναλυτική λύση

Η κρίσιμη γωνiα aστοχίας της εδαφικής

σφήνας, α2 , είναι η τιμή της γωνiας αα2 που δίνει την ελάχιστη τιμή της κρίσιμης

επιτάχυνσης k. = min(kk.). Αυτό εύκολα

συμπεραίνεται από την Εξίσωση (6), αλλά και από τη γραφική παράσταση kk. = t(αα2 ) (Caltabiano et al, 1999).

Η Εξίσωση (6) μπορεί, μετά από αρκετή επεξεργασία, να γραφτd ως εξής:

kk. = Α/Β (12}

όπου τα Α και Β δίνονται από τις εκφράσεις:

Α = m, · { tan(φ, - a,)·[1 + tanφ2tanαOι]­- [tanφ2 - tanα~)anφ3 }+

+ m2 • [tanφ2 - tanαα2] • . [1 - tanφ,)an(φ,- α,)

Β = m, · {[1 + tanφ2 tanαa2 )­- tanφ3 [tanφ2 - tanαα2 ) }+

+ m2 • [1 + tanφ2 tanaα2 ] · · [1 - tan(φ1 - α1 }tanφ3 ]

(13)

(14)

Η μάζα της ενεργού εδαφικής σφήνας δεν είναι γνωστή εξ αρχής, καθώς είναι συνάρτηση

της αα2 :

= 0.5γΗ2

(15)

Στην παραπάνω σχέση, Η είναι το ύψος

του τοίχου και i είναι η κλίση της εδαφικής επιφάνειας. Η ανπκατόσταση των Εξισώσεων (13) -

(15} στη (12) δίνει:

Οι συντελεστές Α, - Α3 ενσωματώνουν τα

γεωμετρικά χαρακτηριστικά, την αντοχή του

συστήματος αλλά και την κρίσιμη ετπτάχυνση που προς το παρόν είναι ένας από τους αγνώστους του προβλήματος:

Α, = x - (β + f) · (ε - kk. ) (17)

Α2 = (1-ε - f) · (1 + β · kk,) + + [f . κ - 1+β ·(f +ι<:)]· (kk.- ε)<

(18)

Α, = (1-εf}· (kk. - β)-+ κ -χ- (1 - βf} - (ε-kk. ) (19)

125

όπου οι αδιάστατες παράμετροι που μπαίνουν στις εκφράσεις των τελευταίων, δίνονται σπό τις παρακάτω εκφράσεις:

β = tanφ2 , ε = tan(φ, - α, } κ = tanί

f 2m,g

= tanφ,, χ= --2 γΗ

(20)

Οι ρίζες του τριωνύμου της Εξίσωσης (16) aντιστοιχούν σε τυχαίες γωνiες ολίσθησης της εδαφικής σφήνας aα2 , ενώ διπλές ρίζες της

εξίσωσης αντιστοιχούν στην κρίσιμη γωνία

ολίσθησης a2 , η οποία δίνει την ελάχιστη

κρίσιμη επιτάχυνση k. . Η τελευταία

περίmωση διασφαλίζεται μέσω του μηδενισμού της διακρίνουσας:

(21)

ή αλλιώς:

κ , ·(kk. Y + Κ2 ·kk. +Κ3 = ο (22)

Η επίλυση της παρσπάνω εξίσωσης σποτελεί έναν εύκολο τρόπο προσδιορισμού της ελάχιστης κρίσιμης επιτάχυνσης, aφού όλα τα

άλλα μεγέθη που εμφανiζονται σε αυτήν, είναι δεδομένα του προβλήματος.

Έτσι, έχουμε για τους συντελεστές Κ, - Κ3 :

Κ, = β 2 (εt - 1Υ + 2(εt - 1) · · ~ + 2f + βfκ + β ψ + κ)]χ +

+ [1 - βf + (β + f)κ]2 χ2

Κ2 = 2β( εf - 1)2 - 2(εt - 1)·

· { 1+ β(2β + t) - κ(β + f) +

+ εχ · [β + 2f + βfk + β2 (f + κ)]}­- 2ε[ 1- βf + κ(β + t) f χ2

κ, = (εt - 1Υ + 2ε(εf - 1)·

(23)

(24)

·[1 + β(2β + f)- (β + t)κ]χ + (25)

+ε2[1- βf + (β + f)κ]χ2

Άρα η ελάχιστη κρίσιμη επιτάχυνση είναι :

(26)

126

Αντικαθιστώντας την πaρσπάνω έκφραση σης

(16)-(19), έχουμε για την έκφραση της κρίσιμης γωνiaς:

(27)

3.2. Σύγκριση με άλλες μεθόδους

Οι Μ-0 υπολογίζουν την ενεργητική ώθηση Ρ. στον τοίχο αντιστήριξης ως:

(28)

όπου ο συντελεστής κ. δίνεται ως:

---------~c~os~·~~~·--~ψ)~------~ κ ... .:z -

cosψcos(φ +ψf1 +(sin(φ, +φ,}sin(φ, -.i - ψ)).'J ' ι coS(φ, + ψ)cοsΙ

(29)

όπου (kg), (k.Q ) : είναι η οριζοντιa και κατακόρυφη aντίστοιχα σεισμική επιτάχυνση που ασκείται στο εδαφικό πρίσμα και:

ψ = tan-1[k 1(1- k.)] (30)

Επιπλέον, ο Zarrabί-Kashanί (1979) υπολογίζει την κρίσιμη γωνία a2 ως:

~ = φ2 - ψ + tan-1{[c, - tan(φ2 - ψ - i)]tC2 }

(31) όπου:

(C,)2 = tan(φ 2 - ψ - i) . · [tan(φ 2 - ψ - ί) + cοt(φ2 - ψ)]· · [1+tan(φ3 - ψ) · cοt(φ 2 - ψ)]

c2 = 1 + tan(φ, - ψ)· ·[tan(φ2 -ψ - i)+cot(φ2 - ψ)]

(32)

(33)

τέλος, οι Richards and Elms (1979) δίνουν την έκφραση της κρίσιμης επιτάχυνσης

οριζόντιου τοίχου αντιστήριξης, εφαρμόζοντας ισορροπία δυνάμεων που ασκούνται σε αυτόν ως:

k Ρ cosφ3 + sinφ3 tanφ1 • = tanφ1 - • . _ ____:_;::_ __ .;..:::. __ ~

m,g (34)

Ο παραπάνω υπολογισμός απαιτεί διαδοχικές

επαναλήψεις, έως ότου οι τιμές του k. της

(34) και του k που χρησιμοποιείται για τον

υπολογισμό του Ρ. (Εξισώσεις (28)·(30))

συμπέσουν. Η σύγκριση των παραπάνω σχέσεων με τη

νέα μέθοδο έδειξε ότι μόνο όταν ισχύει η

ισότητα k(t) = k. (κατάσταση οριακής ισορροπίας), (α) η Εξίσωση (9) και η μέθοδος Μ-0 δίνουν τα ίδια αποτελέσματα για την τιμή της ενεργητικής ώθησης και (β) η Σχέση (31) του Zaπabί-Kashanί και η Εξίσωση (27) δίνουν ίδιες τιμές για την κρίσιμη γωνία aστοχίας.

Επίσης, η τιμή του k. όπως δίνεται στην (26)

είνα ι ίδια με αυτήν που εξάγεται μετά πό επαναλήψεις από τη σχέση (34) των R & Ε.

3.3. Αριθμητική εφαρμογή - Παραμετρικές

αναλύσεις

Με σκοπό να διερευνηθεί η ευαισθησία των αποτελεσμάτων σε αλλαγές της γεωμετρίας αλλά και της αντοχής του συστήματος τοίχος -έδαφος εξήχθησαν διαγράμματα συσχετισμού της κρίσιμης επιτάχυνσηςk. και της κρίσιμης

γωνίας 0 2 (Σχέσεις (26) και (27)) με τις

βασικές παραμέτρους που υπεισέρχονται

στους υπολογισμούς. Αποτελέσματα αυτών των αναλύσεων

δίνονται στα Σχήματα 3 και 4. Παρατηρείται αύξηση της ελάχιστης κρίσιμης επιτάχυνσης

k. όταν οι παράμετροι φ, , φ2 , φ3 και χ

αυξάνουν. Η τιμή του k. επηρεάζεται δε, κατά

μεγάλο ποσοστό από την τιμή της γωνίας τριβής στη βάση του τοίχου, φ, , (αύξηση 75%

μεταξύ φ1 = 25° και φ, = 35°), λιγότερο από τη μεταβολή του φ3 (αύξηση 20% μεταξύ

φ3 = 0° και φ3 = 0.5φ2 ) και ελάχιστα από τις

μεταβολές του φ2 • Η κρίσιμη γωνία aστοχίας α2 ελαπώνεται

όταν αυξάνονται οι τιμές του χ (δηλαδή το βάρος του τοίχου) και του φ3 , ενώ το αντίθετο

συμβαίνει όταν αυξάνονται τα φ, , φ2 . Σημειώνεται εδώ ότι όταν η παράμετρος χ λαμβάνει μεγάλες τιμές - βαρύς τοίχος · ακόμα και μικρές αλλαγές στις παραμέτρους αντοχής επηρεάζουν σημαντικά την α2 . Τέλος, αν

αυξηθεί η κλίση της εδαφικής επιφάνειας, η

γωνία aστοχίας μικραίνει.

Ο.>

- .:t-21 .• 1•25 - •2-:21.•1•'10 --•2w25.•1•30 - .. . ~ •• 1•25 --~·1·10 -.~ •• 1•:15 -·1!ι05.•1•25 -.2'ι01 .• 1-» -.~., ••

~ L..L-===========~

.. 40

20 ~

Σχήμα 3. Μεταβολή του k., και του α2 με το χ. Figure 3. k., and Oz plotted νersus χ.

οι(")ισ ~---------------.

ω

-.. ~-----------~~ 1

--.1~ .• 1-:n -.,~ .z-:JCΙ -··-zs .• 283, I -tt~ .~ _ .. ,t -.:JO. flιι30 _ ,,.._ φ;ta.)S

- •t ιOS. tt-25 -•145r.f28» _,,~.~

1.2 Ο λ ... ι .ι

..nιο ~---------------.

~ ..

Σχήμα 4. Μεταβολή του α2 με το λόγο φ;s/φ2 και με την εδαφική κλίση ί . Fίgure 4. Diagrams of α2 νersus the ratio φ;s/Ψ2 and ί .

127

4. ΥΠΟΛΟΠΣΜΟΣ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΜΗΑΚΙΝΗΣΗΣ ΣΥΠΗΜΑΤΟΣ

4.1 Μικρές μετατοπίσεις

Τ ο μοντέλο του NewmarX μελετάει την κίνηση ενός στερεού σώματος που ολισθαίνε ι σε κεκλιμένο επίπεδο. Η εξίσωση κίνησης του ολισθαίνοντος σώμστος, όταν σε αυτό ασκείται

οριζόντια σεισμική δύναμη, k{t) , διαμορφώνεται ως εξής (Sarma & Chlimitzas 2000):

ϋ. = Ζ. · (k(t) - k. ) ·9

με: cos(φ - a) cosφ

(35)

(36)

όπου k. είναι η κρίσιμη επιτάχυνση του

συστήμστος, η γωνiα α είναι η κλίση του επιπέδου και η φ είναι η γωνiα τριβής μεταξύ σώματος και κεκλιμένου επιπέδου.

Στην πράξη, επειδή οι τιμές που παίρνει ο συντελεστής z. είναι πολύ κοντά στη μονάδα,

η Εξίσωση (35) συχνά αντικαθίσταται από την:

(37)

Στη διεθνή βιβλιογραφία προτείνονται αρκετές λύσεις της εξίσωσης (37) για την

εύρεση της σεισμικής μετακίνησης u. , συναρτήσει των χαρακτηριστικών της σεισμικής διέγερσης k(t) . Παραδείγματος χάριν, οι Ambraseys & Srbuloν (1995) αναλύουν ένα μεγάλο δείγμα σεισμών και

δίνουν την προκύmουσα μετακίνηση u. σαν

συνάρτηση (α) του λόγου I<Jk.,, όπου k., είναι η μέγιστη σεισμική επιτάχυνση, (β) του k., και (γ) του μεγέθους του σεισμού και της επικεντρικής απόστασης.

Στην παρούσα μέθοδο, ο συνδυασμός των Εξισώσεων (4), (5) και (37) παρέχει έναν εύκολο τρόπο υπολογισμού των μετακινήσεων

u, (ί= 1 για τον τοίχο και ί=2 για το εδαφικό

πρίσμα), μέσα από τη συσχέτισή τους με τη

μετακίνηση u. :

u, = Ζ, · U. (38)

Συμπεραίνεται ότι μπορούμε να έχουμε μία άμεση εκτίμηση του μεγέθους της μετατόmσης

128

U 1 ή u2 , χρησιμοποιώντας τις λύσεις που

δίνονται στη βιβλιογραφία για το u. ι μέσα από

τον υπολογισμό των τιμών των Ζι στην οριακή κατάσταση aστοχίας.

z, z r---------------,

1.1

0.5

' •

z, 1.2 r---------------,

0.1

ο.ι

Ο λ

0.2 -.,.......... -.,.......... - ., ..... ..... -.,......... -........... - ....... .....

ο L-~-=·~·~-=· ... ::'"~-==•'=-=· ... ~·===-~·Ξ'-~·~ ... Ξ~~~ ο 3

Σχήμα 5. Μεταβολή των Ζ1 και Ζ2 με το χ = 2m,g/γH2.

Fίgure 5. The Ζ1 and Ζ2 coefficίents plotted νersus χ.

Οι συντελεστές z, δίνονται από τις

Εξισώσεις. (5) και (8) και η μεταβολή τους σε σχέση με το χ, στην οριακή κατάσταση aστοχίας, εικονiζεται στο Σχήμα 5.

Η παρατήρηση των παραπάνω εξισώσεων μας παρέχει πολύτιμες πληροφορίες για τη

συμπεριφορά των συντελεστών Ζι ανάλογα με το πώς μεταβάλλεται η σχέση μεγέθους τοίχου-εδαφικής σφήνας. Καταρχήν, για μικρές τιμές του χ, όταν δηλαδή το βάρος του τοίχου

είναι αμελητέο συγκρινόμενο με το μέγεθος του εδαφικού πρίσματος (πρακτικά όταν

W2 /W1 > 100), το Ζ1 τείνει στο Ο ενώ το Ζ2 τείνει στην τιμή:

(39)

Επίσης ενδιαφέρον είναι το τι συμβαίνει σε μεγάλες τιμές του χ, δηλαδή όταν το εδαφικό πρίσμα έχει κατά πολύ μικρότερο βάρος aπ' ό,τι ο τοίχος (πρακτικά όταν νν,ινν2 > 10). Παρατηρείται τότε ότι η γωνία α2 λαμβάνει

πολύ μικρές τιμές (πρακτικά μηδενίζεται) και επομένως, Ζ,=Ζ2. Η δε Εξίσωση (5) για α, = Ο , τότε δίνει :

Z cos(φ1 - a1) <>ι 0

, ~ = cosφ,

(40)

4.2 Μεγάλες μετατοπίσεις

Όταν η σεισμική διέγερση προκαλεί μεγάλες μετακινήσεις του συστήματος, οι μάζες των δύο κινουμένων σωμάτων μεταβάλλονται σε κάθε χρονική στιγμή. Επίσης υπάρχουν αλλαγές στα μήκη των επιφανειών ολίσθησης, αλλά και στη γωνία aστοχίας της εδαφικής σφήνας 0 2 • Η ανάλυση και παρουσίαση του

τρόπου υπολογισμού aυτών των μετακινήσεων αποτελεί αντικείμενο μελλοντικής εργασίας.

5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Μελετάται η μετακίνηση ενός τυπικού τοίχου βαρύτητας που aντιστηρίζει ξηρή άμμο, όταν διεγείρεται aπό οριζόντια σεισμικά φορτία. Υποθέτοντας οριακή ισορροπία του συστήματος, δίνονται κλειστές εκφράσεις για την κρίσιμη γωνία aστοχίας της εδαφικής σ~ήνaς αλλά και για την ελάχιστη τιμή της κρισιμης επιτάχυνσης που απαιτείται για έναρξη της ολίσθησης. Τα αποτελέσματα της παρούσης μεθόδου συγκρίνονται με αυτά μεθόδων που απαντώνται στη διεθνή βιβλιογραφία (Rίchards & Elms, Mononobe­Okabe). Τέλος, ανιχνεύονται και σχολιάζονται οι διαφορές στον υπολογισμό της μετακίνησης με την προτεινόμενη μέθοδο και το μοντέλο Newmark.

6. ΕΥΧΑΡΙΠΙΕΣ

Η παρούσα εργασία έγινε μέσα στα πλαίσια του ερευνητικού προγράμματος "Seίsmic Ground Displacements as a tool for town planning, design and mitigation• που χρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση DGXJI (ρroject ENV4-CT97-0392).

7. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Ambraseys, Ν . and Srbuloν, Μ. (1995), "Earthquake lnduced Displacements of Slopes", Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Νο.14, pp. 59-71 .

Caltabiano, S., Cascone, Ε. , Maugeή, Μ. (1999), "Siiding response of ήgid retaining walls", Proc. 2ncι lntemational Conf. on E.arthquake Geotechnical Engineeήng, Lιsbon, pp. 285-290.

Mononobe, Ν . and Matsuo, Η. (1929), "On the determination of earth pressures duήng earthquakes," Proc., Wor1d Engineering Congress.

Newmark Ν. Μ. (1965). "Effect of earthquakes on dams and embankments• Geotechnique, Vol. 15, Νο. 2, London: England, June, pp. 139-160.

Nishimura, Υ., Fukui, S., Satoh, Μ., Kurose, Η. , Fujitani, Μ. (1995), "Shaking table tests and numeήcal simulation of seismic response of the seawalr, Proc., 3πι Ιnt. Conf. On Recent Adνances in Geot. Earth. Eng and Soil Dyns, pp. 335-338.

Okabe, S. (1926), "General Theory of earth pressures," J. of Japan Society of Civil Engineeήng, Vol.12, Νο. 1 .

Richards, R. and Elms, D. (1979), "Seismic behaviour of gravity retaining walls," Joumal of the Geotechnical Engineering Division, ASCE, Vol. 105, Νο GT4, pp. 449-464.

Sarma S.K. and Chlimitzas G. (2000), Second Edited Report for the project ENV4-CT97-

. 0392, European Commission, DGXII for Scίence, Research and Deνelopment.

Zarrabi - Kashani, Κ. (1979), "Siiding of gravity retaining walls duήng earthquakes considering νertica l accelerations and changing inclination of failure surface • S.M.Thesis, Department of Ci~l Engineeήng, M.I.T.

129